Manekenų vektoriai. Veiksmai su vektoriais

Pagaliau gavau į rankas šią plačią ir ilgai lauktą temą. analitinė geometrija. Pirma, šiek tiek apie šią aukštosios matematikos skyrių... Tikrai dabar prisimenate mokyklos geometrijos kursą su daugybe teoremų, jų įrodymų, brėžinių ir kt. Ką slėpti, nemylimas ir dažnai neaiškus dalykas nemenkai daliai mokinių. Kaip bebūtų keista, analitinė geometrija gali atrodyti įdomesnė ir prieinamesnė. Ką reiškia būdvardis „analitinis“? Iš karto į galvą ateina dvi klišinės matematinės frazės: „grafinis sprendimo metodas“ ir „analitinis sprendimo metodas“. Grafinis metodas, žinoma, yra susijęs su grafikų ir brėžinių konstravimu. Analitinis arba metodas apima problemų sprendimą daugiausia per algebrines operacijas. Šiuo atžvilgiu beveik visų analitinės geometrijos problemų sprendimo algoritmas yra paprastas ir skaidrus, dažnai pakanka atidžiai pritaikyti reikiamas formules - ir atsakymas yra paruoštas! Ne, žinoma, be piešinių to padaryti visiškai nepavyks, be to, kad geriau suprasčiau medžiagą, pabandysiu juos cituoti be būtinybės.

Naujai atidarytas geometrijos pamokų kursas nepretenduoja į teorinį užbaigimą, jis orientuotas į praktinių uždavinių sprendimą. Į savo paskaitas įtrauksiu tik tai, kas, mano požiūriu, yra svarbu praktiškai. Jei jums reikia išsamesnės pagalbos dėl bet kurio poskyrio, rekomenduoju šią gana prieinamą literatūrą:

1) Dalykas, kurį, ne juokai, žino kelios kartos: Mokyklinis geometrijos vadovėlis, autoriai – L.S. Atanasjanas ir kompanija. Ši mokyklos rūbinės kabykla jau praėjo 20 (!) pakartotinių spaudinių, o tai, žinoma, nėra riba.

2) Geometrija 2 tomuose. Autoriai L.S. Atanasjanas, Bazilevas V.T.. Tai literatūra vidurinei mokyklai, tau prireiks pirmasis tomas. Retai pasitaikančios užduotys gali iškristi iš mano akiračio, o pamoka bus neįkainojama pagalba.

Abi knygas galima nemokamai atsisiųsti internetu. Be to, galite naudoti mano archyvą su paruoštais sprendimais, kuriuos galite rasti puslapyje Atsisiųskite aukštosios matematikos pavyzdžius.

Tarp įrankių vėl siūlau savo tobulėjimą - programinės įrangos paketą analitinėje geometrijoje, kuri labai supaprastins gyvenimą ir sutaupys daug laiko.

Daroma prielaida, kad skaitytojas yra susipažinęs su pagrindinėmis geometrinėmis sąvokomis ir figūromis: tašku, tiese, plokštuma, trikampiu, lygiagretainiu, gretasieniu, kubu ir kt. Patartina prisiminti kai kurias teoremas, bent jau Pitagoro teoremą, sveiki kartotojai)

O dabar svarstysime nuosekliai: vektoriaus sąvoką, veiksmus su vektoriais, vektorių koordinates. Rekomenduoju skaityti toliau svarbiausias straipsnis Taškinė vektorių sandauga, ir taip pat Vektorius ir vektorių mišrus sandauga. Vietinė užduotis - šiuo atžvilgiu segmento padalijimas - taip pat nebus nereikalinga. Remdamiesi aukščiau pateikta informacija, galite įvaldyti tiesės lygtis plokštumoje Su paprasčiausi sprendimų pavyzdžiai, kuris leis išmokti spręsti geometrijos uždavinius. Taip pat naudingi šie straipsniai: Plokštumos erdvėje lygtis, Tiesės lygtys erdvėje, Pagrindiniai tiesės ir plokštumos uždaviniai, kiti analitinės geometrijos pjūviai. Natūralu, kad pakeliui bus svarstomos standartinės užduotys.

Vektorinė koncepcija. Nemokamas vektorius

Pirmiausia pakartokime mokyklinį vektoriaus apibrėžimą. Vektorius paskambino nukreiptas segmentas, kurio pradžia ir pabaiga nurodyta:

Šiuo atveju atkarpos pradžia yra taškas, atkarpos pabaiga – taškas. Pats vektorius žymimas . Kryptis yra būtina, jei perkelsite rodyklę į kitą segmento galą, gausite vektorių, ir tai jau yra visiškai kitoks vektorius. Patogu vektoriaus sąvoką tapatinti su fizinio kūno judėjimu: reikia sutikti, įėjimas pro instituto duris ar išėjimas pro instituto duris yra visiškai skirtingi dalykai.

Atskirus plokštumos ar erdvės taškus patogu laikyti vadinamaisiais nulinis vektorius. Tokiam vektoriui pabaiga ir pradžia sutampa.

!!! Pastaba: Čia ir toliau galima daryti prielaidą, kad vektoriai yra toje pačioje plokštumoje arba galima daryti prielaidą, kad jie yra erdvėje – pateiktos medžiagos esmė galioja ir plokštumai, ir erdvei.

Pavadinimai: Daugelis iš karto pastebėjo lazdą be rodyklės pavadinime ir pasakė: viršuje taip pat yra rodyklė! Tiesa, galima parašyti rodykle: , bet galima ir įrašas, kurį naudosiu ateityje. Kodėl? Matyt, toks įprotis susiformavo dėl praktinių priežasčių, mano šauliai mokykloje ir universitete pasirodė per daug įvairaus dydžio ir apšiurę. Mokomojoje literatūroje kartais visai nesirūpinama dantiraščiu, o paryškinamos paryškintos raidės: , tai reiškia, kad tai vektorius.

Tai buvo stilistika, o dabar apie vektorių rašymo būdus:

1) Vektorius galima parašyti dviem didžiosiomis lotyniškomis raidėmis:
ir taip toliau. Šiuo atveju pirmoji raidė Būtinaižymi vektoriaus pradžios tašką, o antra raidė – vektoriaus galinį tašką.

2) Vektoriai taip pat rašomi mažomis lotyniškomis raidėmis:
Visų pirma, mūsų vektorius gali būti perskirtas trumpumu maža lotyniška raide.

Ilgis arba modulis nulinis vektorius vadinamas atkarpos ilgiu. Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui. Logiška.

Vektoriaus ilgis rodomas modulio ženklu: ,

Kaip rasti vektoriaus ilgį (arba pakartosime, priklausomai nuo kieno) išmoksime kiek vėliau.

Tai buvo pagrindinė informacija apie vektorius, pažįstama visiems moksleiviams. Analitinėje geometrijoje vadinamasis nemokamas vektorius.

Paprasčiau tariant - vektorius gali būti brėžiamas iš bet kurio taško:

Esame įpratę tokius vektorius vadinti lygiais (lygių vektorių apibrėžimas bus pateiktas žemiau), tačiau grynai matematiniu požiūriu jie yra TAS PATS VEKTORIAUS arba nemokamas vektorius. Kodėl nemokamai? Nes spręsdami uždavinius galite „pritvirtinti“ tą ar kitą „mokyklos“ vektorių prie BET BEKROSIOS jums reikalingos plokštumos ar erdvės taško. Tai labai šauni funkcija! Įsivaizduokite nukreiptą savavališko ilgio ir krypties segmentą - jį galima „klonuoti“ be galo daug kartų ir bet kuriame erdvės taške, iš tikrųjų jis egzistuoja VISUR. Yra toks studentų posakis: Kiekvienas dėstytojas velniasi apie vektorių. Juk tai ne tik šmaikštus rimas, viskas beveik teisinga – ten galima pridėti ir nukreiptą segmentą. Bet neskubėkite džiaugtis, dažnai kenčia patys studentai =)

Taigi, nemokamas vektorius- Tai daug identiški nukreipti segmentai. Mokyklinis vektoriaus apibrėžimas, pateiktas pastraipos pradžioje: „Kreiptas segmentas vadinamas vektoriumi...“, reiškia specifinis nukreipta atkarpa, paimta iš tam tikros aibės, susieta su konkrečiu plokštumos ar erdvės tašku.

Reikėtų pažymėti, kad fizikos požiūriu laisvojo vektoriaus sąvoka paprastai yra neteisinga, o taikymo taškas yra svarbus. Tiesą sakant, tiesioginis tos pačios jėgos smūgis į nosį ar kaktą, kurio pakanka, kad išvystyčiau mano kvailą pavyzdį, sukelia skirtingas pasekmes. Tačiau nelaisvas vektoriai randami ir vyshmat eigoje (neik ten :)).

Veiksmai su vektoriais. Vektorių kolineariškumas

Mokyklos geometrijos kursas apima daugybę veiksmų ir taisyklių su vektoriais: sudėjimas pagal trikampio taisyklę, sudėjimas pagal lygiagretainio taisyklę, vektoriaus skirtumo taisyklė, vektoriaus dauginimas iš skaičiaus, vektorių skaliarinė sandauga ir kt. Iš pradžių pakartokime dvi taisykles, kurios ypač aktualios sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius.

Vektorių pridėjimo taisyklė naudojant trikampio taisyklę

Apsvarstykite du savavališkus nulinius vektorius ir:

Turite rasti šių vektorių sumą. Atsižvelgiant į tai, kad visi vektoriai laikomi laisvaisiais, vektorių atidėsime nuo pabaiga vektorius:

Vektorių suma yra vektorius. Norint geriau suprasti taisyklę, patartina į ją įvesti fizinę reikšmę: tegul koks nors kūnas keliauja vektoriumi , o paskui vektoriumi . Tada vektorių suma yra gauto kelio vektorius, kurio pradžia yra išvykimo taške, o pabaiga - atvykimo taške. Panaši taisyklė suformuluota bet kokio vektorių skaičiaus sumai. Kaip sakoma, kūnas gali eiti labai palinkęs zigzagu, o gal ir autopilotu – pagal gautą sumos vektorių.

Beje, jei vektorius atidėtas nuo prasidėjo vektorius, tada gauname ekvivalentą lygiagretainio taisyklė vektorių pridėjimas.

Pirma, apie vektorių kolineariškumą. Du vektoriai vadinami kolinearinis, jei jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose tiesėse. Grubiai tariant, mes kalbame apie lygiagrečius vektorius. Tačiau kalbant apie juos visada naudojamas būdvardis „kolinearinis“.

Įsivaizduokite du kolinearinius vektorius. Jei šių vektorių rodyklės nukreiptos ta pačia kryptimi, tai tokie vektoriai vadinami bendrai režisavo. Jei rodyklės nukreiptos skirtingomis kryptimis, tada vektoriai bus priešingomis kryptimis.

Pavadinimai: vektorių kolineariškumas rašomas įprastu lygiagretumo simboliu: , tuo tarpu galima detalizuoti: (vektoriai nukreipti kartu) arba (vektoriai nukreipti priešingai).

Darbas ne nulinis vektorius skaičius yra vektorius, kurio ilgis yra lygus , Ir vektoriai ir yra kartu nukreipti ir priešingai nukreipti į .

Vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę lengviau suprasti naudojant paveikslėlį:

Pažvelkime į tai išsamiau:

1) Kryptis. Jei daugiklis yra neigiamas, tada vektorius keičia kryptįį priešingą.

2) Ilgis. Jei daugiklis yra viduje arba , tada vektoriaus ilgis mažėja. Taigi, vektoriaus ilgis yra pusė vektoriaus ilgio. Jei daugiklio modulis yra didesnis už vieną, tada vektoriaus ilgis didėja kartais.

3) Atkreipkite dėmesį į tai visi vektoriai yra kolineariniai, o vienas vektorius išreiškiamas per kitą, pavyzdžiui, . Ir atvirkščiai: jei vienas vektorius gali būti išreikštas per kitą, tai tokie vektoriai būtinai yra kolineariniai. Taigi: jei vektorių padauginsime iš skaičiaus, gausime kolinearinį(palyginti su originalu) vektorius.

4) vektoriai yra nukreipti kartu. Vektoriai ir taip pat yra bendrai režisuojami. Bet kuris pirmosios grupės vektorius yra priešingas bet kurio antrosios grupės vektoriui.

Kurie vektoriai yra lygūs?

Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra ta pačia kryptimi ir yra vienodo ilgio. Atkreipkite dėmesį, kad kryptingumas reiškia vektorių kolineariškumą. Apibrėžimas būtų netikslus (perteklinis), jei sakytume: „Du vektoriai yra vienodi, jei jie yra kolinearūs, bendros krypties ir vienodo ilgio“.

Laisvo vektoriaus sampratos požiūriu lygūs vektoriai yra tas pats vektorius, kaip buvo aptarta ankstesnėje pastraipoje.

Vektorinės koordinatės plokštumoje ir erdvėje

Pirmiausia reikia atsižvelgti į vektorius plokštumoje. Pavaizduokime Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą ir pavaizduokime ją nuo koordinačių pradžios vienišas vektoriai ir:

Vektoriai ir stačiakampis. Stačiakampis = statmenas. Rekomenduoju pamažu priprasti prie terminų: vietoj lygiagretumo ir statmenumo atitinkamai vartojame žodžius kolineariškumas Ir ortogonalumą.

Pavadinimas: Vektorių ortogonalumas rašomas įprastu statmenumo simboliu, pavyzdžiui: .

Nagrinėjami vektoriai vadinami koordinačių vektoriai arba orts. Šie vektoriai susidaro pagrindu lėktuve. Kas yra pagrindas, manau, daugeliui intuityviai aišku, išsamesnės informacijos galima rasti straipsnyje Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas Paprastais žodžiais tariant, koordinačių pagrindas ir kilmė apibrėžia visą sistemą – tai savotiškas pamatas, ant kurio verda pilnavertis ir turtingas geometrinis gyvenimas.

Kartais konstruojamas pagrindas vadinamas ortonormalus plokštumos pagrindas: „orto“ – kadangi koordinačių vektoriai yra stačiakampiai, būdvardis „normalizuotas“ reiškia vienetą, t.y. bazinių vektorių ilgiai lygūs vienetui.

Pavadinimas: pagrindas dažniausiai rašomas skliausteliuose, kurių viduje griežta seka pateikiami baziniai vektoriai, pvz.: . Koordinačių vektoriai tai draudžiama pertvarkyti.

Bet koks plokštumos vektorius vienintelis būdas išreikštas kaip:
, kur - skaičių kurie vadinami vektoriaus koordinatesšiuo pagrindu. Ir pati išraiška paskambino vektoriaus skaidymaspagal pagrindą .

Patiekiama vakarienė:

Pradėkime nuo pirmosios abėcėlės raidės: . Brėžinyje aiškiai matyti, kad skaidant vektorių į pagrindą, naudojami ką tik aptarti:
1) vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklė: ir ;
2) vektorių sudėjimas pagal trikampio taisyklę: .

Dabar mintyse nubraižykite vektorių iš bet kurio kito plokštumos taško. Visiškai akivaizdu, kad jo irimas „negailestingai seks jį“. Štai vektoriaus laisvė – vektorius „viską neša su savimi“. Ši savybė, žinoma, galioja bet kuriam vektoriui. Juokinga, kad patys baziniai (laisvieji) vektoriai neturi būti braižyti iš pradžios, pavyzdžiui, vieną galima nubraižyti apačioje kairėje, o kitą – viršuje dešinėje, ir niekas nepasikeis! Tiesa, to daryti nereikia, nes mokytojas taip pat parodys originalumą ir ištrauks jums „kreditą“ netikėtoje vietoje.

Vektoriai tiksliai iliustruoja vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę, vektorius yra kartu su baziniu vektoriumi, vektorius nukreiptas priešais bazinį vektorių. Šių vektorių viena iš koordinačių yra lygi nuliui, galite ją kruopščiai parašyti taip:

O baziniai vektoriai, beje, yra tokie: (iš tikrųjų jie išreiškiami per save).

Ir galiausiai: , . Beje, kas yra vektorinė atimtis ir kodėl aš nekalbėjau apie atimties taisyklę? Kažkur tiesinėje algebroje, nepamenu kur, pažymėjau, kad atimtis yra ypatingas sudėjimo atvejis. Taigi vektorių „de“ ir „e“ išplėtimai lengvai užrašomi kaip suma: , . Sekite brėžinį, kad pamatytumėte, kaip aiškiai šiose situacijose veikia senas geras vektorių pridėjimas pagal trikampio taisyklę.

Svarstomas formos skaidymas kartais vadinamas vektoriniu skaidymu ort sistemoje(t.y. vienetų vektorių sistemoje). Tačiau tai nėra vienintelis būdas rašyti vektorių, įprasta:

Arba su lygybės ženklu:

Patys baziniai vektoriai užrašomi taip: ir

Tai yra, vektoriaus koordinatės nurodytos skliausteliuose. Praktiniuose uždaviniuose naudojami visi trys žymėjimo variantai.

Suabejojau, ar kalbėti, bet vis tiek pasakysiu: vektorių koordinačių negalima pertvarkyti. Griežtai pirmoje vietoje užrašome koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių, griežtai antroje vietoje užrašome koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių. Iš tiesų, ir yra du skirtingi vektoriai.

Lėktuve išsiaiškinome koordinates. Dabar pažiūrėkime į vektorius trimatėje erdvėje, čia beveik viskas tas pats! Tai tik pridės dar vieną koordinatę. Sunku daryti trimačius brėžinius, todėl apsiribosiu vienu vektoriumi, kurį paprastumo dėlei išskirsiu nuo kilmės:

Bet koks 3D erdvės vektorius vienintelis būdas išplėsti ortonormaliu pagrindu:
, kur yra šio pagrindo vektoriaus (skaičiaus) koordinatės.

Pavyzdys iš paveikslėlio: . Pažiūrėkime, kaip čia veikia vektoriaus taisyklės. Pirmiausia padauginkite vektorių iš skaičiaus: (raudona rodyklė), (žalia rodyklė) ir (avietinė rodyklė). Antra, čia yra kelių, šiuo atveju trijų, vektorių pridėjimo pavyzdys: . Sumos vektorius prasideda pradiniame išvykimo taške (vektoriaus pradžioje) ir baigiasi galutiniame atvykimo taške (vektoriaus pabaigoje).

Visi trimatės erdvės vektoriai, žinoma, taip pat yra laisvi, pabandykite mintyse atidėti vektorių nuo bet kurio kito taško, ir jūs suprasite, kad jo skilimas „liks su juo“.

Panašus į plokščią dėklą, be rašymo plačiai naudojamos versijos su skliaustais: arba .

Jei išplėtime trūksta vieno (arba dviejų) koordinačių vektorių, jų vietoje dedami nuliai. Pavyzdžiai:
vektorius (skrupulingai ) – rašykime ;
vektorius (skrupulingai) – užrašyti;
vektorius (skrupulingai ) – rašykime.

Baziniai vektoriai užrašomi taip:

Tai, ko gero, yra visos minimalios teorinės žinios, reikalingos analitinės geometrijos problemoms spręsti. Gali būti daug terminų ir apibrėžimų, todėl rekomenduoju arbatinukams dar kartą perskaityti ir suprasti šią informaciją. Ir kiekvienam skaitytojui bus naudinga kartas nuo karto pasidomėti pagrindine pamoka, kad geriau įsisavintų medžiagą. Kolineariškumas, ortogonalumas, ortonormalus pagrindas, vektorių skaidymas – šios ir kitos sąvokos bus dažnai vartojamos ateityje. Noriu pažymėti, kad svetainės medžiagos nepakanka norint išlaikyti teorinį testą ar geometrijos koliokviumą, nes aš kruopščiai užšifruoju visas teoremas (ir be įrodymų) - tai kenkia moksliniam pateikimo stiliui, bet pliusas jūsų dalyko supratimas. Norėdami gauti išsamios teorinės informacijos, nusilenkite profesoriui Atanasyanui.

Ir pereiname prie praktinės dalies:

Paprasčiausi analitinės geometrijos uždaviniai.
Veiksmai su vektoriais koordinatėse

Labai patartina išmokti spręsti užduotis, kurios bus svarstomos visiškai automatiškai, ir formules įsiminti, net nereikia tyčia prisiminti, jie patys tai atsimins =) Tai labai svarbu, nes kitos analitinės geometrijos problemos yra pagrįstos paprasčiausiais elementariais pavyzdžiais ir bus nemalonu papildomai praleisti laiką valgant pėstininkus . Nereikia užsisegti viršutinių marškinių sagų, daug dalykų žinote iš mokyklos laikų.

Medžiagos pristatymas vyks lygiagrečiai – tiek plokštumai, tiek erdvei. Dėl to, kad visos formulės... pamatysite patys.

Kaip rasti vektorių iš dviejų taškų?

Jei du plokštumos taškai ir yra pateikti, tada vektorius turi šias koordinates:

Jei du taškai erdvėje yra pateikti, vektorius turi šias koordinates:

tai yra nuo vektoriaus galo koordinačių reikia atimti atitinkamas koordinates vektoriaus pradžia.

Pratimas: Tiems patiems taškams užrašykite vektoriaus koordinačių radimo formules. Formulės pamokos pabaigoje.

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į du plokštumos taškus ir . Raskite vektorių koordinates

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Arba galima naudoti šį įrašą:

Estetai nuspręs taip:

Asmeniškai aš pripratau prie pirmosios įrašo versijos.

Atsakymas:

Pagal sąlygą nereikėjo konstruoti brėžinio (tai būdinga analitinės geometrijos uždaviniams), bet, norėdamas patikslinti kai kuriuos dalykus manekenams, nepatingėsiu:

Būtinai reikia suprasti skirtumas tarp taško koordinačių ir vektorių koordinačių:

Taško koordinatės– tai įprastos koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje. Manau, visi nuo 5-6 klasės moka braižyti taškus koordinačių plokštumoje. Kiekvienas taškas turi griežtą vietą plokštumoje ir jų niekur negalima perkelti.

Vektoriaus koordinatės– tai yra jo išplėtimas pagal pagrindą, šiuo atveju. Bet kuris vektorius yra laisvas, todėl esant norui ar poreikiui, galime jį nesunkiai atitolinti nuo kurio nors kito plokštumos taško. Įdomu tai, kad vektoriams visai nereikia kurti ašių ar stačiakampės koordinačių sistemos, reikia tik pagrindo, šiuo atveju ortonormalaus plokštumos pagrindo.

Taškų koordinačių ir vektorių koordinačių įrašai atrodo panašūs: , ir koordinačių reikšmė absoliučiai skirtinga, ir jūs turėtumėte gerai žinoti šį skirtumą. Šis skirtumas, žinoma, galioja ir erdvei.

Ponios ir ponai, prikimškime rankas:

2 pavyzdys

a) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir .
b) Skiriami taškai Ir . Raskite vektorius ir .
c) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir .
d) Skiriami taškai. Raskite vektorius .

Galbūt to užtenka. Tai pavyzdžiai jums patiems apsispręsti, pasistenkite jų neapleisti, tai atsipirks ;-). Nereikia daryti brėžinių. Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Kas svarbu sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius? Svarbu būti YPAČ ATSARGIAI, kad nepadarytumėte meistriškos klaidos „du plius du lygu nuliui“. Iš karto atsiprašau, jei kur nors suklydau =)

Kaip sužinoti atkarpos ilgį?

Ilgis, kaip jau minėta, nurodomas modulio ženklu.

Jei du plokštumos taškai pateikti ir , tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę

Jei du taškai erdvėje yra pateikti, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti naudojant formulę

Pastaba: Formulės išliks teisingos, jei atitinkamos koordinatės bus pakeistos: ir , tačiau pirmoji parinktis yra labiau standartinė

3 pavyzdys

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Aiškumo dėlei padarysiu piešinį

Segmentas – tai ne vektorius, ir, žinoma, jo niekur negalite perkelti. Be to, jei piešiate pagal mastelį: 1 vnt. = 1 cm (dvi bloknoto langeliai), tada gautą atsakymą galima patikrinti įprasta liniuote, tiesiogiai išmatuojant atkarpos ilgį.

Taip, sprendimas trumpas, tačiau jame yra dar keletas svarbių punktų, kuriuos norėčiau patikslinti:

Pirma, atsakyme pateikiame matmenį: „vienetai“. Sąlyga nenurodo, KAS tai yra, milimetrai, centimetrai, metrai ar kilometrai. Todėl matematiškai teisingas sprendimas būtų bendra formuluotė: „vienetai“ – sutrumpinta kaip „vienetai“.

Antra, pakartokime mokyklinę medžiagą, kuri naudinga ne tik atliekant nagrinėjamą užduotį:

Atkreipkite dėmesį svarbi technika – daugiklio pašalinimas iš po šaknies. Skaičiuodami turime rezultatą, o geras matematinis stilius apima veiksnio pašalinimą iš šaknies (jei įmanoma). Išsamiau procesas atrodo taip: . Žinoma, palikti atsakymą tokį, koks yra, nebūtų klaida – bet tai tikrai būtų trūkumas ir svarus argumentas dėl mokytojo klegesio.

Štai kiti dažni atvejai:

Dažnai šaknis sukuria gana daug, pavyzdžiui, . Ką daryti tokiais atvejais? Skaičiuoklės pagalba patikriname, ar skaičius dalijasi iš 4: . Taip, jis buvo visiškai padalintas taip: . O gal skaičių vėl galima padalyti iš 4? . Taigi: . Paskutinis skaičiaus skaitmuo yra nelyginis, todėl trečią kartą dalinti iš 4 akivaizdžiai nepavyks. Pabandykime padalinti iš devynių: . Kaip rezultatas:
Paruošta.

Išvada: jei po šaknimis gauname skaičių, kurio negalima išgauti kaip visumos, tada bandome pašalinti koeficientą iš po šaknies - skaičiuotuvu patikriname, ar skaičius dalijasi iš: 4, 9, 16, 25, 36, 49 ir kt.

Sprendžiant įvairias problemas, dažnai susiduriama su šaknimis, kad būtų išvengta žemesnio pažymio ir nereikalingų problemų, susijusių su sprendimų užbaigimu pagal mokytojo pastabas.

Taip pat pakartokime šaknų kvadratą ir kitas galias:

Bendrosios formos veikimo su galiomis taisykles galima rasti mokykliniame algebros vadovėlyje, bet manau iš pateiktų pavyzdžių viskas arba beveik viskas jau aišku.

Užduotis savarankiškam sprendimui su segmentu erdvėje:

4 pavyzdys

Taškai ir skiriami. Raskite atkarpos ilgį.

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.