Vektoriai Vektoriaus daugyba iš skaičiaus Nulinio vektoriaus sandauga iš skaičiaus yra vektorius, kurio ilgis yra lygus, o vektoriai ir yra bendrakrypčiai. Pamoka „Vektoriaus sandauga pagal skaičių“

Vektorinė atimtis

Vektorių papildymas

Galima pridėti vektorių. Gautas vektorius yra abiejų vektorių suma ir nustato atstumą bei kryptį. Pavyzdžiui, jūs gyvenate Kijeve ir nusprendėte aplankyti senus draugus Maskvoje, o iš ten - pas savo mylimą uošvę Lvove. Kaip toli būsite nuo savo namų, kai lankysitės pas žmonos mamą?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite nubrėžti vektorių nuo kelionės pradžios taško (Kijevas) iki galutinio taško (Lvovas). Naujasis vektorius nustato visos kelionės rezultatą nuo pradžios iki pabaigos.

• Vektorius A - Kijevas-Maskva
• Vektorius B - Maskva-Lvovas
• Vektorius C - Kijevas-Lvovas

C = A+B, kur C - vektoriaus suma arba gautas vektorius

Puslapio viršuje

Vektorius galima ne tik sudėti, bet ir atimti! Norėdami tai padaryti, turite sujungti atimties ir atimties vektorių pagrindus ir sujungti jų galus rodyklėmis:

• Vektorius A = C-B
• Vektorius B = C-A

23 klausimas:

Vektorius yra nukreipta atkarpa, jungianti du taškus erdvėje arba plokštumoje. Vektoriai paprastai žymimi mažomis raidėmis arba pradžios ir pabaigos taškais. Paprastai viršuje yra brūkšnys.

Pavyzdžiui, vektorius, nukreiptas iš taško A iki taško B, galima nurodyti a,

Nulinis vektorius 0 arba 0 yra vektorius, kurio pradžios ir pabaigos taškai yra vienodi, t.y. A=B.Iš čia 0 = – 0.

Vektoriaus a ilgis (modulis) yra jį reprezentuojančios atkarpos AB ilgis, žymimas | a |. Visų pirma, | 0 | = 0.

Vektoriai vadinami kolinearinis, jei jų nukreiptos atkarpos yra lygiagrečiose tiesėse. Kolineariniai vektoriai a Ir b yra paskirti a|| b.

Vadinami trys ar daugiau vektorių koplanarinis, jei jie guli toje pačioje plokštumoje.

Vektorių papildymas. Kadangi vektoriai yra nukreiptas segmentus, tada galima atlikti jų pridėjimą geometriškai.(Algebrinis vektorių sudėjimas aprašytas toliau, pastraipoje „Vienetiniai stačiakampiai vektoriai“). Tarkime, kad

a = AB ir b = CD,

tada vektorius __ __

a+ b = AB+ CD

yra dviejų operacijų rezultatas:

a)lygiagretus perdavimas vienas iš vektorių taip, kad jo pradžios taškas sutaptų su antrojo vektoriaus pabaigos tašku;

b)geometrinis papildymas, ty sukurti gautą vektorių, einantį nuo fiksuoto vektoriaus pradžios taško iki perkelto vektoriaus pabaigos taško.

Vektorių atėmimas.Ši operacija sumažinama iki ankstesnės, pakeičiant subtrahend vektorių priešingu: a–b =a+ (–b) .

Papildymo dėsniai.

I.a+ b = b + a(Pereinamojo laikotarpio teisė).

II. (a+ b) + c = a+ (b + c) (Kombinuota teisė).

III. a+ 0= a.

IV. a+ (-a) = 0 .

Vektoriaus dauginimo iš skaičiaus dėsniai.

aš. 1 · a= a,0 · a= 0 , m· 0 = 0, ( – 1) · a= – a.

II. m a = a m,| m a| = | m | · | a | .

III. m (n a) = (m n) a .(C o m b e t a l

daugybos iš skaičiaus dėsnis).

IV. (m+n) a= m a + n a,(PLATINIMAS

m(a+ b)= m a + m b . daugybos iš skaičiaus dėsnis).

Taškinė vektorių sandauga. __ __

Kampas tarp nulinių vektorių AB Ir CD– tai kampas, kurį sudaro vektoriai, kai jie perkeliami lygiagrečiai, kol taškai išsilygins A Ir C. Taškinė vektorių sandauga a Ir b vadinamas skaičiumi, lygiu jų ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandauga:

Jei vienas iš vektorių yra lygus nuliui, tada jų skaliarinė sandauga pagal apibrėžimą yra lygi nuliui:

(a, 0) = (0, b) = 0 .

Jei abu vektoriai nėra lygūs nuliui, kampo tarp jų kosinusas apskaičiuojamas pagal formulę:

Taškinis produktas ( a, a), lygus | a| 2, paskambino skaliarinis kvadratas. Vektoriaus ilgis a ir jo skaliarinis kvadratas yra susiję:

Dviejų vektorių taškinė sandauga:

- teigiamai, jei kampas tarp vektorių aštrus;

- neigiamas, jei kampas tarp vektorių bukas.

Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai kampas tarp jų yra teisingas, t.y. kai šie vektoriai yra statmeni (stačiakampiai):

Skaliarinės sandaugos savybės. Bet kokiems vektoriams a, b, c ir bet koks skaičius m galioja šie santykiai:

aš. (a, b) = (b, a) . (Pereinamojo laikotarpio įstatymas)

II. (m a , b) = m(a, b) .

III.(a+b,c) = (a, c) + (b, c). (Paskirstymo įstatymas

Vektoriaus ir skaičiaus sandauga

Tikslai: pristatyti vektoriaus dauginimo iš skaičiaus sąvoką; apsvarstykite pagrindines vektoriaus dauginimo iš skaičiaus savybes.

Pamokos eiga

I. Naujos medžiagos mokymasis(paskaita).

1. Paskaitos pradžioje patartina pateikti pavyzdį, vedantį į vektoriaus ir skaičiaus sandaugos apibrėžimą, ypač šį:

Automobilis juda tiesia linija greičiu . Jį lenkia dvigubai didesniu greičiu važiuojantis antrasis automobilis. Prie jų juda trečias automobilis, jo greitis toks pat kaip ir antrojo. Kaip išreikšti antrojo ir trečiojo automobilių greičius pirmojo automobilio greičiu ir kaip šiuos greičius pavaizduoti naudojant vektorius?

2. Vektoriaus ir skaičiaus sandaugos nustatymas, jo žymėjimas: (260 pav.).

3. Užsirašykite į sąsiuvinius:

1) bet kurio vektoriaus ir skaičiaus nulio sandauga yra nulinis vektorius;

2) bet kurio skaičiaus k ir bet kurio vektoriaus vektoriai ir yra kolineariniai.

4. Pagrindinės vektoriaus dauginimo iš skaičiaus savybės:

Bet kokiems skaičiams k, l ir bet kokiems vektoriams galioja lygybės:

1°. (kombinacinė teisė) (261 pav.);

2°. (pirmasis paskirstymo dėsnis) (262 pav.);

3°. (antrasis skirstymo dėsnis) (263 pav.).

Pastaba. Mūsų nagrinėtos vektorių operacijų savybės leidžia atlikti transformacijas išraiškose, kuriose yra sumos, vektorių skirtumai ir vektorių sandaugos skaičiais pagal tas pačias taisykles kaip ir skaitinėse išraiškose.

Vektoriaus dauginimas iš skaičiaus Nulinio vektoriaus sandauga iš skaičiaus yra vektorius, kurio ilgis yra lygus, o vektoriai yra vienakrypčiai ir nukreipti priešingai. Nulinio vektoriaus ir bet kurio skaičiaus sandauga laikoma nuliniu vektoriumi. Nulinio vektoriaus ir skaičiaus sandauga yra vektorius, kurio ilgis yra lygus, o vektoriai ir yra kartu nukreipti į ir priešingai. Nulinio vektoriaus ir bet kurio skaičiaus sandauga laikoma nuliniu vektoriumi.

Vektoriaus ir skaičiaus sandauga žymima taip: Vektoriaus ir skaičiaus sandauga žymima taip: Bet kurio skaičiaus ir bet kurio vektoriaus vektoriai ir yra kolinearūs. Bet kurio skaičiaus ir bet kurio vektoriaus vektoriai ir yra kolineariniai. Bet kurio vektoriaus ir skaičiaus nulis sandauga yra nulinis vektorius. Bet kurio vektoriaus ir skaičiaus nulis sandauga yra nulinis vektorius.

Bet kokiems vektoriams ir bet kokiems skaičiams lygybės galioja: Bet kokiems vektoriams ir bet kokiems skaičiams galioja lygybės: (kombinacinė dėsnis) (bendrasis dėsnis) (pirmasis skirstymo dėsnis) (pirmasis skirstymo įstatymas) (antrasis skirstymo dėsnis) ( antrasis paskirstymo įstatymas)

(-1) yra vektorius, priešingas vektoriui, t.y. (-1) =-. Vektorių (-1) ir ilgiai yra lygūs:. (-1) yra vektorius, priešingas vektoriui, t.y. (-1) =-. Vektorių (-1) ir ilgiai yra lygūs:. Jei vektorius yra ne nulis, tada vektoriai (-1) ir yra nukreipti priešingai. Jei vektorius yra ne nulis, tada vektoriai (-1) ir yra nukreipti priešingai. IN PLANIMETRIJOS PLANIMETRIJOS Jei vektoriai ir yra kolineariniai ir, tada yra toks skaičius, kad. Jei vektoriai ir yra kolineariniai ir, tada yra toks skaičius, kad.

Bendraplaniai vektoriai Vektoriai vadinami plokštumais, jei nubraižyti iš to paties taško, jie bus toje pačioje plokštumoje. Vektoriai vadinami koplaniniais, jei, nubraižyti iš to paties taško, yra toje pačioje plokštumoje.

Paveiksle pavaizduotas gretasienis. Paveiksle pavaizduotas gretasienis. Vektoriai ir yra vienodi, nes jei atidedate vektorių, lygų nuo taško O. Vektoriai ir yra lygiagrečiai, nes jei atidedate vektorių, lygų nuo taško O, gausite vektorių, o vektorius – vektorių, ir vektoriai ir yra toje pačioje plokštumoje ESBO. Vektoriai ir nėra lygiagrečiai, nes vektorius nėra OAB plokštumoje. ir guli toje pačioje OCE plokštumoje. Vektoriai ir nėra lygiagrečiai, nes vektorius nėra OAB plokštumoje.

Savybės įrodymas Vektoriai nėra kolineariniai (jei vektoriai yra kolineariniai, tai vektorių koplanarumas yra akivaizdus). Nubraižykime vektorius ir iš savavališko taško O (pav.). Vektoriai ir guli OAB plokštumoje. Vektoriai yra toje pačioje plokštumoje. Vektoriai nėra kolinearūs (jei vektoriai yra kolinearūs, tai vektorių koplanarumas yra akivaizdus). Nubraižykime vektorius ir iš savavališko taško O (pav.). Vektoriai ir guli OAB plokštumoje. Toje pačioje plokštumoje yra vektoriai, taigi ir jų sumos vektorius, taigi ir jų sumos vektorius, kuris yra lygus vektoriui. Vektoriai lygūs vektoriui. Vektoriai yra toje pačioje plokštumoje, t.y. vektoriai ir guli toje pačioje plokštumoje, t.y. vektoriai ir koplanariniai. koplanarinis.

Jei vektoriai ir yra lygiagretūs, o vektoriai ir nėra kolineariniai, tai vektorius gali būti išplėstas į vektorius, o vektoriai ir yra ne kolineariniai, tada vektorius gali būti išplėstas į vektorius ir (t. , pavaizduotas formoje), ir (t .t. y. atstovauti formoje), o plėtimosi koeficientai (t. y. skaičiai ir formulėje) nustatomi unikaliu būdu. Be to, plėtimosi koeficientai (ty skaičiai ir formulėje) nustatomi unikaliu būdu.

„Tai vadinama vektoriumi“ – vektoriai. Vektorių sudėjimas Lygiagretainės taisyklė. Antroji vektoriaus samprata. Vektorių lygybė. Priešingai nukreipti vektoriai. Konstrukcija: priešingų krypčių kolineariniai vektoriai vadinami priešingos krypties vektoriais. Vektorių atėmimas. Kolineariniai vektoriai. Vektoriaus pabaiga.

„Vektoriai plokštumoje“ – duotas taškas ir vektorius. Lygtys segmentais. Bendrosios plokštumos lygties tyrimas. Plokštumos, einančios per tris taškus, lygtis. Vektoriai yra vienodi. Apsvarstykite dabartinį linijos tašką, tada vektorius yra šioje tiesėje. Analitinė geometrija. Tiesės, einančios per du taškus M1 ir M2, lygtis.

„Vektorių sudėties ir atėmimo taisyklės“ - „Daugiakampio“ taisyklė. Trikampio taisyklė. Turinys. Vektorių atėmimas. Kokia pridėjimo taisyklė buvo naudojama ankstesnėje skaidrėje? Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus. (Kolineariniams vektoriams). Taisyklė "Paralelograma". Veiksmai su vektoriais. Vektorių papildymas. Pabandykite atimti naudodami sudėjimą naudodami lygiagrečiųjų taisyklę.

„Kaip rasti vektorių skaliarinę sandaugą“ - kvadratas. Kampas tarp vektorių. Taškinė vektorių sandauga. Užpildykite lentelę. Užpildykite trūkstamą žodį. Av = saulė = ac = 2. Raskite vektorių skaliarinę sandaugą. Trikampio kraštinės. Pasirinkite teisingą atsakymą. Taškinis produktas. Av = saulė = ac. Raskite trikampio kraštines ir kampus. ABCD yra kvadratas.

„Vektorių tipai“ – suteikite vektorius ir užrašykite jų pavadinimus. Vektorių lygybė. Vektorių atėmimas. Įveskite ilgį. Vektorių daugyba. Vektoriai. Sonorektuoti vektoriai. Kolineariniai vektoriai. Pavadinkite vektorių. Pavadinkite priešingos krypties vektorius. Variantas. Kelių vektorių suma. Pavadinkite bendros krypties vektorius. Nurodykite vektorių ilgį.

„Vektorių koordinatės“ - 1. Vektorių sumos koordinatės yra lygios atitinkamų koordinačių sumai. Vektorinės koordinatės. A(3; 2). 2. Vektoriaus skirtumo koordinatės lygios atitinkamų koordinačių skirtumui. 1. Vektorinės koordinatės. 2. Vektorių koordinačių savybės.

Iš viso yra 29 pristatymai

Nulinio vektoriaus ir bet kurio skaičiaus sandauga laikoma nuliniu vektoriumi. Bet kurio skaičiaus k ir bet kurio vektoriaus a vektoriai a ir ka yra kolinearūs. Iš šio apibrėžimo taip pat išplaukia, kad bet kurio vektoriaus ir skaičiaus nulis sandauga yra nulinis vektorius.

Archyvo su pristatymu dydis yra 614 KB.

"Plokščių figūrų plotas" - Užduotis. Pavaizduotų figūrų plotai. Norėdami apskaičiuoti plotą, naudokite formulę. Plokštumos figūrų plotų skaičiavimas. Tiesioginis. Teisingi atsakymai. Algoritmas ieškant ploto. Nelygybė. Figūros plotas. Figūrų plotai.

„Centrinės simetrijos samprata“ – centrinė simetrija yra judėjimas. Taškai M ir M1 vadinami simetriniais. Figūra vadinama simetriška. Susipažinome su lėktuvo judesiais. Erdvės judėjimas. Judesiai. Turtas. Užduotis. Erdvės susiejimas su savimi. Centrinė simetrija yra ypatingas sukimosi atvejis. Centrinė simetrija.

„Koordinačių problemos“ – kaip rasti vektoriaus koordinates. Atstumas tarp taškų A ir B. Paprasčiausi uždaviniai koordinatėmis. Kaip apskaičiuoti vektorių skaliarinę sandaugą iš jų koordinačių. M – atkarpos AB vidurys. Raskite atstumą tarp taškų A ir B. Įgūdžių atlikti apibendrinimą formavimas. Ugdykite susidomėjimą ir meilę šiai temai. Kampas tarp vektorių. Kaip apskaičiuoti atstumą tarp taškų. Kaip apskaičiuoti vektoriaus ilgį iš jo koordinačių.

„Vektoriaus apibrėžimas erdvėje“ – skirtumas tarp dviejų vektorių. Trijų taškų taisyklė. Vektoriaus erdvėje samprata. Vektoriai erdvėje. Taškinis produktas. Priešingai nukreipti vektoriai. Vektorius, nubrėžtas į trikampio centroidą. Išsiplėtimo koeficientai nustatomi unikaliu būdu. Sprendimas. Vektorius, nubrėžtas iki atkarpos vidurio. Kolineariniai vektoriai. Teoremos įrodymas. Įrodymas. Kolinearumo ženklo įrodymas.

„Apskaičiuokite apsisukimo kūno tūrį“ - Kubas. Kūgis. Kūgio apibrėžimas. V kūgio tūris. Cilindrinis indas. Cilindras. Raskite garsumą. Cilindras ir kūgis. Spindulys. Paveikslas. Cilindro apibrėžimas. Cilindrai yra visur aplink mus. Kūgio tūris. Sukimosi kūnų tipai. Kamuolys. Sukimosi kūnų tūriai. Sfera.

„Taisyklingo daugiakampio elementai“ - Euklido elementai. Šešiaedras. Buvimas gamtoje. Įbrėžtos sferos spindulys. Pirmuonys. Daugiakampis. Archimedo kietosios medžiagos. Karališkasis kapas. Pusiau taisyklingas daugiakampis. Oktaedro tūris. Kubo paviršiaus plotas. Dodekaedras. Taisyklingųjų daugiakampių vienybės teorema. Istorinė informacija. Egipto piramidės. Kalbėkite apie įprastą daugiakampį. Paviršiaus plotas. Žemė. Nuostabios būtybės.