Prisiminimai, kaip sekėsi darbas su A.D. Aleksandrovas apie mokyklinius geometrijos vadovėlius.

1. Kaip tai prasidėjo. Kolmogorovo mokyklos geometrijos kurso reforma ir jos rezultatai

Praėjusio amžiaus septintojo dešimtmečio viduryje SSRS matematikos mokymas mokykloje buvo aktyviai modernizuotas (taip dabar būtų vadinamas tai, kam tuomet vadovavo Andrejus Nikolajevičius Kolmogorovas). Mokyklinės matematikos kursų programos buvo paskelbtos pasenusiomis, atsiliekančiomis nuo šiuolaikinės matematikos, todėl pagal šias naujas programas jas reikėjo atnaujinti ir rašyti naujus vadovėlius. Turėdamas matematikos kursą penktoms ir šeštoms klasėms, taip pat algebros kursą ir analizės pradžią, šį pertvarkymą atliko A. N. Kolmogorovui ir jo kolegoms apskritai pavyko, tačiau jiems nepavyko perdaryti tradicinio geometrijos kurso Rusijai ir SSRS, o reikalas baigėsi skandalu.
Apie naują programą A.N. Kolmogorovas žurnale „Matematika mokykloje“ rašė du kartus: išsamiai straipsnyje „Naujos programos ir kai kurie pagrindiniai matematikos kurso tobulinimo vidurinėje mokykloje klausimai“ ir trumpai pastaboje „Naujų matematikos programų link“.
Pradėdamas diskusiją apie geometrijos programą, pirmoje iš jų A.N. Kolmogorovas rašo: „Jei dabartines programas pavadinau archajiškomis, tai ypač pasakytina apie geometriją“. Ir tada jis išdėsto geometrijos kurso pertvarkymo programą.
„Pagrindines dabar didžiausio pripažinimo sulaukusias mokyklos geometrijos kurso pertvarkos tendencijas galima suformuluoti trijų nuostatų forma.
1. Pradinių geometrinių sąvokų formavimas vyksta žemesnėse klasėse.
2. Vidurinių klasių sisteminės geometrijos kurso loginė struktūra yra pastebimai supaprastinta, palyginti su euklido tradicija. Griežto loginio įrodinėjimo įpročio ugdymas šiame etape derinamas su atviru teisės pripažinti perteklinę prielaidų sistemą be įrodymų.
3. Geometrijos kursas vidurinėje mokykloje yra paremtas vektorinėmis sąvokomis. Tuo pačiu natūralu kreiptis į koordinačių metodą (tačiau kaip pagalbinį, kad dėl šio požiūrio pateikimas netaptų mažiau „geometriškas“).
Pirmoji iš šių nuostatų yra teisinga. Paskutinis (trečiasis) yra tiems metams būdingas įsitikinimas, kad stereometrijos vektorinė konstrukcija („pagal Weyl“) yra paprastesnė nei jos tradicinė sintetinė konstrukcija. Galiausiai sunku sutikti su antrąja pozicija, o tolimesni pokyčiai patvirtino, kad kalbėti apie „platų pripažinimą“ aiškiai per anksti: programoje nebuvo matyti jokio pastebimo supaprastinimo, o atitinkami vadovėliai dar nebuvo parašyti.
Straipsnio pabaigoje A.N. Kolmogorovas rašo:
„Kad būtų galima ramiai ir užtikrintai dirbti su naujais geometrijos vadovėliais, iš esmės reikėtų skubiai atlikti parengiamuosius darbus: viena ar kelios mokslininkų ir dėstytojų komandos, pasinaudodamos užsienio patirtimi, parengtų ir paskelbtų juodraštį (ar kelis juodraščius). ) mokyklinio kurso geometrijos „loginio skeleto“ (pradinės prielaidos ir pagrindinė teoremų grandinė su įrodymais) tokia forma, kuri būtų prieinama kritikai ir eksperimentiniam naudojimui pakankamai patyrusiems mokytojams.
Deja, tai nebuvo padaryta.
Iš dviejų A. N. antrojo užrašo puslapių. Kolmogorovas geometrijai skyrė vieną puslapį. Ten jis rašė:
„Jau ne kartą teko rašyti „Matematikos mokykloje“ puslapiuose, kad vadovaujantis klasikine euklido planimetrijos principų pateikimo schema, pagal kurią gana ilgą laiką apsiribojome „absoliučios geometrijos“ teoremomis. (Lobačevskio terminologija), nesiremiant paralelių postulatu, mūsų mokykloje praktika jau seniai prarado bet kokią pagrįstą prasmę. Daug paprastesnė pateikimo sistema, kai paralelizmas ir lygiagretus perkėlimas naudojamas nuo pat pradžių, jau seniai sukurta ir įdiegta daugelyje užsienio vadovėlių.“
Tačiau sunkumas slypi tame, kad nei mūsų, nei užsienio mokomojoje literatūroje, matyt, nėra paruošto planimetrijos kurso loginės struktūros pavyzdžio, tinkančio mūsų 6–8 klasėms.
Taigi iki 1968 m. įsigalėjo senosios mokyklos matematikos programų archajiškumas, buvo rašomos naujos programos, atėjo laikas rašyti vadovėlius.
A.N pats įsipareigojo parašyti vadovėlį 6–8 klasei. Kolmogorovas. Nors iki to laiko elementarios geometrijos kursą jau buvo parašęs garsusis geometras, akademikas Aleksejus Vasiljevičius Pogorelovas. A.N. Kolmogorovas apžvelgė šią knygą, o šios knygos pratarmėje mokytojams A.V. Pogorelovas išreiškia „nuoširdų dėkingumą akademikui A.N. Kolmogorovui už vertingus komentarus ir patarimus, kuriuos jis pateikė peržiūrėdamas tam tikras pirmojo leidimo dalis. Prisimenu, kaip 1967 metų birželį, atvykęs į Petrozavodską į sąjunginį geometrijos simpoziumą „apskritai“, A.V. Pogorelovas išdidžiai man pasakė: „Rašiau elementarios geometrijos kursą. Jame įvedžiau atstumo aksiomas. Kolmogorovas mane gyrė.
Nepasitikėjo A. N. Kolmogorovas rašo „Geometrija, 6–8“, o tie garsieji geometrijai V.G. Boltyansky ir I.M. Yaglom, kurie buvo jo komisijoje.
Jis nusprendė tai padaryti pats – sukurti planimetrijos sisteminį kursą, pagrįstą geometrinėmis transformacijomis. Bendraautoriai A.N. Kolmogorovas buvo R.S. Čerkasovas ir A.F. Semenovičius. Kodėl A.N. Pats Kolmogorovas nusprendė dirbti su geometrijos kursu, mano nuomone, jis paaiškina tai, ką pasakė savo pranešime „Dėl pagrindinių sąvokų ir žymėjimo sistemos mokykliniam matematikos kursui“, skaitytą 1971 m. sausio 11 d.
„6–10 klasėms nusprendėme laikyti atskirus geometrijos vadovėlius. Lyginant su vieningų matematikos vadovėlių sistema, priimta daugelyje šalių, nuoseklios geometrijos vadovėlio buvimas turi tam tikrų pranašumų, tačiau tik tuo atveju, jei geometrijos kurso konstravimo logika griežtai atitinka algebros ir elementarios analizės kursus.
Būtent tokį griežtą nuoseklumą Andrejus Nikolajevičius nusprendė padaryti pats. Geometrijos kursas A.V. Pogorelovas nelabai tiko tokiam griežtam nuoseklumui.
Prisiminkime, ką I. Niutonas rašė apie geometriją savo garsaus veikalo „Matematiniai gamtos filosofijos principai“ pirmojo leidimo Pratarmėje: „Dėl šios priežasties geometrija yra šlovinama, nes, pasiskolinęs tiek nedaug pagrindinių principų iš išorės, ji pasiekia. tiek daug“ (5 dalis). Kolmogorovo „Geometrija, 6–8“ šeštoje klasėje yra priešingai: iš ten nustatytų 38 teiginių beveik du trečdaliai lieka be įrodymų, o net tarp neįrodytų teiginių daugelis nėra išryškinti. Pirmųjų metų sisteminio geometrijos kurso vadovėlis, kuris visada tolygiai ir nuosekliai judėjo tokio amžiaus studentams prieinamu griežtumo lygiu, savo turiniu tapo netolydus: ką nors įrodysime, tada priimsime be įrodymų, tada vėl kažką įrodysime, o tada vėl priimsime be įrodymų ir t.t. Tai jau ne ta geometrija, apie kurią kalbėjo I. Niutonas! Ko norėjo A.N Kolmogorovui nepasisekė jo geometrijos kursas – padidinti jo griežtumo lygį (ta prasme, kad A.N. Kolmogorovas žodyje reiškė griežtumą) ir tuo pačiu supaprastinti geometrijos kursą. Tai pripažino ir pats A. N. Kolmogorovas, kai pastaboje „Pastaba apie aibės sampratą mokykliniame matematikos kurse“ rašė: „Grįždamas prie geometrijos, manau, kad bet kokia aksiomatika šiuolaikiniame mokyklos kurse turėtų būti pagrįsta aibės teoriniu požiūriu.
Tai visų pirma A. V. aksiomatika. Pogorelova. Tačiau klausimas, kada pradėti kalbėtis su studentais apie geometrijos loginę struktūrą, turėtų būti aptartas iš naujo. Pastarojo dešimtmečio darbo su skirtingomis geometrijos vadovėlių versijomis patirtis parodė, kad 6 klasės kurso pradžioje tai daryti per anksti.“
Kaip darė „Geometrija, 6–8“ autoriai (žodis per anksti yra gana teisingas. Sisteminio kurso pradžioje geometrijos loginės sandaros klausimą galima aptarti įvairiai. Tačiau aiškiai per anksti atmesti šimtametė elementarios geometrijos kurso („pagal Euklidą“) konstravimo patirtis ir pirmaisiais sisteminio kurso kurso kurso pagrindas yra geometrinės transformacijos („pagal Kleiną“): moksleiviai tam nepasiruošę.
Atsižvelgdamas į A. N. Su Kolmogorovu, koks, jo nuomone, turėtų būti sisteminio geometrijos kurso 6–8 klasėse vadovėlis, mes dabar susipažinome. Dabar pavartykime vidurinės mokyklos geometrijos vadovėlį (tada buvo 9–10, dabar – 10–11).
Renkantis įvairių matematikos vadovėlių autorių komandas, A.N. Kolmogorovas keliavo į pedagoginius universitetus visoje šalyje ir susitiko su matematikais. Jis taip pat atėjo į Herzeno institutą, ir aš prisimenu, kaip susitikome su A.N. Kolmogorovą, ir tai buvo apie mokyklų reformą
matematikos kursą. Tikriausiai mūsų pažiūros netiko A.N. Kolmogorovas: jis į savo komandą nepriėmė nė vieno herzenito. Geometrijos vadovėlis vidurinei mokyklai, A.N. Kolmogorovas pavedė Jaroslavlio pedagoginio instituto profesoriui Z.A. Skopetsas ir Kursko pedagoginio instituto docentas V.M. Klopsky ir M.I. Jagodovskis.
Prieš pasirodant vadovėliui „Geometrija, 9–10“ (redagavo Z.A. Skopetsas) 1974 m., gimnazistai buvo mokomi pagal A.P. stereometrijos vadovėlį. Kiseleva. Naujojo vadovėlio „Geometrija, 9–10“ turinys atitiko 1968 m. ministrų programą ir tęsė Kolmogorovo vadovėlyje „Geometrija, 6–8“ išplėtotą liniją. 9 klasėje buvo trys skyriai:
1 skyrius. Pagrindinės stereometrijos sąvokos. Lygiagretumas erdvėje;
2 skyrius. Erdvės transformacijos. Vektoriai;
3 skyrius. Statmenumas erdvėje. Dvikampiai ir daugiakampiai kampai.
Vadovėlis prasideda taip: „Sisteminis stereometrijos kursas sudaromas pagal tą pačią schemą, kaip ir planimetrijos kursas:
1. Išvardijamos pagrindinės sąvokos, kurios nėra apibrėžtos.
2. Suformuluotos aksiomos, kuriose išreiškiamos pagrindinių sąvokų savybės.
3. Naudojant pagrindines sąvokas, formuluojami kitų geometrinių sąvokų apibrėžimai.
4. Teoremos įrodinėjamos remiantis apibrėžimais ir aksiomomis.
Pagrindinės sąvokos – taškas, tiesė, plokštuma ir atstumas. Suformuluotos devynios aksiomos: penkios tradicinės narystės aksiomos, trys metrinės erdvės aksiomos ir 9 aksioma: kiekvienai plokštumai tenkinamos planimetrijos būdu žinomos eilės, plokštumos judrumo ir lygiagrečių tiesių aksiomos.

Ir tada 1 skyriuje autoriai tradiciniu sintetiniu metodu įrodo pirmąsias stereometrijos teoremas. Studentams, kurie anksčiau trejus metus buvo panirę į plokščią planimetrinį pasaulį, tokia griežtai aksiomatinė pradžia (ir pagal A. P. Kiselevo vadovėlį) visada buvo sunki.
Pirmosiose vadovėlio 2 skyriaus pastraipose kalbama apie judėjimą erdvėje. Kaip ir Kolmogorovo vadovėlyje „Geometrija, 6–8“, bendrosios poslinkių savybės (kad tiesė pereina į tiesę, plokštuma – į plokštumą ir t. t.) išvardytos tik trumpai (be jokio pabrėžimo), bet ne. įrodyta. Ir tada suformuluojamas liūdnai pagarsėjęs apibrėžimas:
Vektorius (lygiagretusis vertimas), apibrėžtas nesutampančių taškų pora (A,B), yra erdvės transformacija, kurioje kiekvienas taškas M susietas su tašku M1 taip, kad spindulys MM1 būtų nukreiptas kartu su spinduliu AB ir atstumas | MM1| yra lygus atstumui |AB|.
Būtent šiuo apibrėžimu akademikai V.S. pradėjo kritikuoti Kolmogorovo reformą. Vladimirovas, L.S. Pontriaginas ir A.N. Tikhonovas „Matematika mokykloje“. Straipsnį „Apie matematiką ir jos mokymo kokybę“ L.S pradeda TSKP CK, žurnale „Kommunist“ (1980, Nr. 14). Pontriaginas. Ją iš SSRS Aukščiausiosios Tarybos tribūnos perskaitė Maskvos valstybinio universiteto Mechanikos ir matematikos fakulteto dekanas.
Vektoriaus nustatymo klausimas tapo politiniu klausimu.
Čia galbūt verta aptarti apibrėžimų grynumo klausimą, kuriam A.N. Kolmogorovas ir jo bendraautoriai bei pasekėjai skyrė ypatingą dėmesį.
Taip rašė A. D.. Aleksandrovas savo programiniame straipsnyje „Apie geometriją“ 1980 m. žurnale „Matematika mokykloje“:
„Esminės yra vizualinės ir operatyvinės dalyko žinios, apimančios vaizdines reprezentacijas ir gebėjimas jas teisingai valdyti. Visi supranta, kas yra kėdė, ir moka ja naudotis, tačiau daugeliui tikriausiai bus sunku iš karto pateikti apibrėžimą, kaip egzamine: „Kėdė vadinasi...“ XVII–XVIII amžių matematikai to nepasakė. turi tikslius funkcijos arba ribos, nei paties kintamojo x apibrėžimus, tačiau jie veikė nepaprastai sėkmingai (prisiminkite Eulerį).
Pedantiškas noras kiekvienai sąvokai pateikti žodinį apibrėžimą gali lemti tai, kad užuot aiškinus ir patikslinus jau turimas idėjas, užuot formavus jose aiškias sąvokas, jiems pateikiama kažkas sunkiai įsivaizduojamo ar visiškai neįsivaizduojamo, o tik išreikšto. žodiniu apvalkalu, kartais tokiu, kad negali nei suprasti, kas sakoma, nei jo pritaikyti. Pavyzdžiui, dabartiniuose vadovėliuose pateikiamas apibrėžimas: „Kryptis yra visų bendrai nukreiptų spindulių rinkinys“. Ir kadangi mokiniai jau buvo išmokyti, kad aibė yra elementų rinkinys, o ji susideda iš jos elementų, tai paaiškėja, kad kryptis susideda iš visų kartu nukreiptų spindulių... Panaši situacija yra ir su aibės apibrėžimais. vektoriaus, daugiakampio ir kt.
Vargu ar yra kas labiau kenkia dvasiniam – protiniam ir doroviniam – vystymuisi, kaip išmokyti žmogų tarti žodžius, kurių reikšmės jis nelabai supranta ir, jei reikia, vadovaujasi kitomis sąvokomis.“
Pateikę sudėtingą vektoriaus apibrėžimą, autoriai vis dar daugiausia operuoja su nukreiptais segmentais.
3 skyriuje baigiamas tiesių ir plokštumų santykinės padėties erdvėje tyrimas, nagrinėjami visi tiesių ir plokštumų statmenumo santykiai, nagrinėjamos ašinės simetrijos ir simetrijos transformacijos plokštumos atžvilgiu. Šiam skyriui būdingas grynai sintetinių metodų, vektorinio metodo ir transformacijos metodų naudojimas vienu metu. Jame nėra vientisumo.
Taigi, 9 klasėje, be tradicinių teoremų apie tiesių ir plokštumų santykinę padėtį erdvėje, vadovėlyje nagrinėjama ir vektorinė algebra bei poslinkiai erdvėje. Akivaizdu, kad tokio griežtumo lygiu, koks buvo A. P. šios klasės vadovėlyje. Kiselevo, tokios plačios medžiagos studijuoti neįmanoma.
Pirmasis 10 klasės vadovėlio skyrius yra trumpas 4 skyrius „Koordinačių metodas erdvėje“. Jame išdėstyti analitinės geometrijos erdvėje elementai.
Kitame 5 skyriuje „Daugiakampiai“ nebėra nei vektorių, nei koordinačių – viskas gana tradiciška: prizmės, piramidės, taisyklingi daugiakampiai. Tik paskutinėje pastraipoje piramidės tūris apskaičiuojamas integruojant jos plokščių sekcijų plotą. O daugiakampio apibrėžimas 5 skyriuje paskatino A.D. Aleksandrovas parašys platų straipsnį „Kas yra daugiakampis? .
Galiausiai paskutinis vadovėlio skyrius yra 6 skyrius „Sukimosi figūros“.
Jame kalbama apie cilindrą, kūgį, rutulį ir jų paviršius.
Pateikti du pagrindinius 10 klasės kurso skyrius – 5 ir 6 skyrius – nereikia jokių vektorių, jokių poslinkių, jokių koordinačių: pirmasis šios klasės skyrius išsiskiria ir gali būti praleistas.
Vadovėlis „Geometrija, 9–10“ (redagavo Z. A. Skopetsas) buvo griežtai susietas su vadovėliu „Geometrija, 6–8“ (redagavo A. N. Kolmogorovas) ir turėjo tuos pačius trūkumus, kaip ir vadovėlis „Geometrija, 6–8“. Papildomi sunkumai dirbant buvo susiję su tuo, kad tais metais SSRS buvo įvestas visuotinis dešimties metų mokymas, todėl vidurinėse mokyklose studentai pradėjo mokytis geometrijos, kuriems tai buvo sunku net pagal A. P. vadovėlį. Kiseliovas, o juo labiau, pasak vadovėlį pakeitusio A.P. Kiseliovo vadovėlį.
Taip išsamiai išnagrinėjau vadovėlio turinį, kad būtų aišku, kodėl A.D. Aleksandrovas, gavęs jį 1979 m. pavasarį iš švietimo ministro M. A. Prokofjevo pasiūlymas redaguoti vadovėlį nutarė, kad būtina parašyti naują stereometrijos vadovėlį.

2. Darbas su stereometrijos vadovėliais

1979 m. balandžio 20 d. Aleksandras Danilovičius iš Novosibirsko man parašė, kad SSRS parlamentaras atsiuntė jam 4-ąjį spaudai parengto vadovėlio leidimą ir, jo nuomone, „lengviau šį kūrinį perrašyti, nei įtikinti autorius. ką nors pataisyti" Ir toliau: „Ar sutiktumėte kartu su manimi dalyvauti perdirbant šį darbą? Tuo metu jau turėjau patirties rašydamas vadovėlius pedagoginiams institutams, tarp kurių buvo „Aksiomatinė geometrijos konstrukcija (pagal Kolmogorovą)“, išleista 1978 m., parašyta kartu su S.A. Frangulovas ir S.A. Juzvinskis. Tais metais atrodė, kad Kolmogorovo geometrija mokykloje išliks ilgai (kaip sovietmečiu), o mes pedagoginiuose institutuose turėjome ruošti mokytojus darbui su Kolmogorovo vadovėliais ir būti tikri, kad juose nėra loginių klaidų. Sunkumai kuriant vadovėlius studentams tiek turiniu, tiek technine prasme man jau buvo gerai žinomi. Puikiai supratau, kad tie mokyklinių vadovėlių sunkumai buvo daug didesni, ir aš neturėjau ypatingo noro dirbti su vadovėliais mokyklai. Todėl atsakydamas į pirmąjį Aleksandro Danilovičiaus laišką, atsakiau kažkaip išsisukinėdamas ir netrukus gavau griežtą atsakymą 1979 m. gegužės 10 d. Cituosiu plačiau.
„Brangus Aleksejus Leonidovičius!
Matyt, aiškiai nepaaiškinau, apie ką kalbu – ką tau siūlau.
Ministerija man atsiuntė naujo vadovo leidimo (naujos versijos) rankraštį. Ministras man parašė pasiūlymą tapti moksline redaktore.
Tačiau perskaičiusi rašinį priėjau išvados, kad ją redaguoti – bergždžia ir neįmanoma užduotis; jums reikia – ir taip lengviau – dar kartą perrašyti esė. Taigi noriu tai padaryti ir, be to, labai skubiai.
Nereikia nieko ypatingo sugalvoti, nereikia keisti programos ir pan.
Jums tereikia pabandyti perdaryti šį rašinį, kad jis taptų geresnis ir kad jame nebūtų akivaizdžių klaidų ir nesąmonių.
<...>
Taigi, tarkime, aš atvažiuoju į Leningradą gegužės–birželio mėn., kad dirbčiau kartu su geometrija: pabandykite perrašyti vadovėlį 9–10 klasei. Ką apie tai manote?
Vidurinės mokyklos revoliucija yra žiaurumas. Vienas jau buvo. Antrasis jokiu būdu negali būti leistinas. Vinogradovo-Tikhonovo revoliucija arba kontrrevoliucija gali būti dar blogesnė už Kolmogorovo revoliuciją. Mes neturime jų paleisti.
O tam reikia griebtis iniciatyvos, t.y. turime pradėti gerinti dalykus
realiai, be transliacijos deklaracijų, be nereikalingų keiksmų ir pan.
Jūsų A. Aleksandrovas“
Ir mes „ėmėmės tobulinti dalykus“. Pasakiau Leningrado geometrams apie Aleksandro Danilovičiaus pasiūlymą. Viktoras Abramovičius Zalgalleris sakė: „Rašyti naują geometrijos vadovėlį yra tarsi sukurti naują automobilį. Jei valstybė nori jį gauti, tai turi sukurti atskirą institutą, kuris užsiimtų tik šiuo vadovėliu. Ir pridūrė: „Aleksandrovas parašys pernelyg protingą vadovėlį“. Labai dažnai prisimenu šią jo frazę.
Jurijus Aleksandrovičius Volkovas pasakė taip: „Jūsų verslas blogas - Pogorelovas jau parašė vadovėlį“. Bet Jurijus Aleksandrovičius, kol galėjo (jis jau buvo mirtinai sergantis ir mirė po dvejų metų), su susidomėjimu aptarė mūsų pasiūlytus variantus pirmiesiems stereometrijos skyriams ir mums daug patarė.
Pirmuosiuose stereometrijos skyriuose visų pirma nagrinėjome figūras, jų santykines padėtis, o iš paprasčiausių figūrų kūrėme vis sudėtingesnes.
Dirbdamas elementariosios geometrijos kurse, A.D. Aleksandrovas supriešino savo geometrijos supratimą su Kolmogorovo supratimu. Susipažinęs su vadovėliu A.N. Kolmogorovas, Aleksandras Danilovičius sakė: „Ten beveik nėra figūrų“. Savo vadovėlį jis pradėjo pasakojimu apie figūras, kurias tiria stereometrija, kur jos randamos realiame gyvenime ir jų vaidmenį praktikoje.
Sunkumas buvo tas, kad reikėjo parašyti stereometrijos kursą, kuris, viena vertus, būtų nepriklausomas nuo įvairių galimų ankstesnio planimetrijos kurso konstrukcijų, bet, kita vertus, būtų bet kurio kurso tęsinys. planimetrija. Tai užtikrino tai, kad Aleksandras Danilovičius apibrėžė plokštumą kaip figūrą erdvėje, ant kurios atliekama euklido planimetrija. Tačiau nesvarbu, kaip sukonstruota planimetrija. Svarbu tik tai, kad jos pasiūlymai būtų įgyvendinti.
Žinoma, mums nepavyko per vieną vasarą parašyti stereometrijos vadovėlio, kaip tikėjosi Aleksandras Danilovičius. Vien skyrius apie statmenumą ir lygiagretumą erdvėje buvo kelis kartus perrašytas. Ir man teko keletą kartų rašyti apie atstumo sąvoką (kuri vaidina tokį reikšmingą vaidmenį Kolmogorovo požiūriu į geometriją). Taip man parašė Aleksandras Danilovičius 1980 metų balandžio 20 dieną, t.y. praėjus lygiai metams po to pirmojo laiško apie stereometrijos vadovėlį.
„Brangus Aleksejus Leonidovičius!
Perskaičiau tavo pastraipą apie atstumą ir apsiverkiau. Jūs išduodate mūsų reikalą, atsitraukite ir pasiduosite piktadariams. Atsiprask!
Kolmogorovas ir jo kolegos (tvirtesnį žodį Aleksandro Danilovičiaus laiške pakeičiau žodžiu kolega. – A.L.) pripildė mokyklos kursą visokiomis nesąmonėmis, mokslais, moksliniais žodžiais ir t.t., ir t.t.. Reikia ryžtingai maištauti prieš tai. šiukšles ir nuolat jas iššluoti . Jis maišosi su studentų galvomis! Užuot mokę prasmingų dalykų, jie (studentai) turėtų išmokti, kad atstumas nuo Maskvos iki Leningrado yra lygus atstumui nuo Leningrado iki Maskvos, kad atstumas nuo taško iki jo paties yra nulis, kad lygūs, tapatūs objektai nėra lygūs, bet turėtų būti vadinamas kongruentu ir tt, ir tt, ir tt, ir t.t.
<Далее А.Д. Александров в письме две страницы анализирует аксиоматику метрического пространства>
Turime būti arčiau gyvenimo! Gyvenime aišku, kad |AB| > 0 ir |AB| = |BA|.
Aišku be specialių žodžių. Tad būtina, kad mokiniai pirmiausia suprastų, kad kalbama apie kasdienius dalykus, kurie tik tikslinami.
Priešingu atveju paaiškėja, kad gyvenime "atstumas" yra vienas dalykas, o geometrijoje - kas kita, gyvenime objektai yra tie patys, bet geometrijoje jie sutampa.
Jūsų pastaba apie vienodus kūnus ir figūras yra puiki. Jūs tai puikiai supratote. Jūsų AA."
Iš šio laiško aiškiai matyti, kaip aistringai tais metais Aleksandras Danilovičius dirbo prie vadovėlių. Ne veltui vienoje iš mūsų vadovėlių apžvalgų N.P. Dolbilinas rašė, kad A.D. Aleksandrovas su įkvėpimu kalba apie geometriją.
Aleksandro Danilovičiaus aistra geometrijai aiškiai jaučiama mūsų pirmojo jo parašyto vadovėlio pratarmėje ir įvade.
.
Štai dvi pastraipos iš vadovėlio pratarmės.
„Geometrijos esmė – organiškas erdvinių vaizdų derinys su griežta logika, kuriame jie tarpusavyje prasiskverbia ir organizuoja vienas kitą. O kadangi viskas, kas egzistuoja, yra erdvėje, geometrija, kaip erdvinių formų ir santykių teorija, turi visuotinę reikšmę.
Mus supa tikri jo įsikūnijimai, jis yra visų technologijų pagrindas, atsirandantis visur, kur reikia mažiausio tikslumo nustatant formas ir dydžius. Geometrija neegzistuoja be šių jungčių – paėmus „savaime“, ji nebus tokia, kokia yra iš tikrųjų.
Atitinkamai, pirmasis siūlomo vadovėlio bruožas yra tas, kad jame daug daugiau dėmesio nei įprastai skiriama įvestų sąvokų ir patikrintų teoremų sąsajai su tikrais dalykais – nuo ​​kasdienybės iki technologijų ir fizikos dėsnių.
O štai ištrauka iš vadovėlio įvado.
„Geometrijos originalumas, išskiriantis ją iš kitų matematikos šakų ir apskritai visų mokslų, slypi neatskiriamame organiškame gyvos vaizduotės ir griežtos logikos derinyje. Geometrija savo esme yra erdvinė vaizduotė, persmelkta ir organizuota griežtumo
logika.
Bet kuriame tikrai geometriniame sakinyje, nesvarbu, ar tai aksioma, teorema ar apibrėžimas, šie du geometrijos elementai yra neatsiejami:
aiškus vaizdas ir griežta formuluotė, griežta logiška išvada. Ten, kur nėra nė vienos iš šių dviejų pusių, nėra tikrosios geometrijos.
Vizualizacija ir vaizduotė labiau priklauso menui, griežta logika – mokslo privilegija. Tikslios išvados sausumas ir vaizdinio vaizdo ryškumas - „ledas ir ugnis ne taip skiriasi vienas nuo kito“. Taigi geometrija sujungia šias dvi priešybes. Taip ir reikėtų mokytis: ryškią vaizduotę derinant su logika, vaizdinius paveikslus su griežtomis formuluotėmis ir įrodymais.
Aleksejus Vasiljevičius Pogorelovas, perskaitęs vadovėlio įvadą, pasakė: „Aleksandri Danilovič, aš žinau, kaip tu moki rašyti! Bet apskritai jis pasakė: „Bet tai yra vadovėlis“. Remiantis A.V. Pogorelovo, geometrijos vadovėlis turėtų būti tik trumpas ir logiškas.
Aleksandras Danilovičius pirmuosius stereometrijos skyrius pavadino „struktūrine geometrija“. Jie kalba apie tiesių ir plokštumų santykinę padėtį erdvėje, apie tiesių ir plokštumų statmenumo ir lygiagretumo ryšius. Šiuo atveju statmenumas tiriamas prieš lygiagretumą, o svarbiausias iš statmenumo ryšių yra ryšys tarp tiesės ir plokštumos statmenumo. Štai kaip, pereidamas nuo „grynos“ geometrijos prie „tikrųjų dalykų“, Aleksandras Danilovičius rašo apie statmeno reikšmę:
„Labai svarbų vaidmenį atlieka statmenas plokštumai, be to, kad jis yra trumpiausias tarp visų atkarpų nuo tam tikro taško iki plokštumos taškų. Leiskite mums išsamiau paaiškinti jo reikšmę. Plokštumos padėtį erdvėje galima nurodyti nurodant jai statmeną tiesę ir tašką, kuriame ji kerta šią tiesę.
Svarbiausia statmens savybė yra ta, kad plokštuma yra simetriškai jo atžvilgiu. Ką tai reiškia? Visi spinduliai, esantys tam tikroje plokštumoje, sudaro su ja lygius kampus – stačius kampus, tačiau pasvirusioje plokštumoje taip nėra. Sukant aplink statmeną plokštuma susilygiuoja su savimi: ratas turi būti sumontuotas ant ašies taip, kad jo plokštuma būtų statmena ašiai. Stačiakampį, kurio kraštinė yra statmena plokštumai, galima pasukti aplink tą pusę, o kita pusė slys išilgai plokštumos. Tai aiškiai matoma ant tinkamai pakabintų durų. Jei jo kraštas nėra vertikalus, durys neatsidaro laisvai ir liečiasi su grindimis.
Imant pavyzdžius iš fizikos, galima pastebėti, kad skysčio ar dujų slėgis indo sienelėje yra nukreiptas statmenai sienai, kaip ir apkrovos slėgis ant atramos yra nukreiptas statmenai jai.
Statmenas paviršiui atsiranda šviesos atspindžio ir lūžio dėsniuose. Taigi atspindžio dėsnis teigia: „Krentantis spindulys ir atsispindėjęs spindulys yra toje pačioje plokštumoje su statmena veidrodžio paviršiui kritimo taške ir sudaro su juo vienodus kampus“.
Tačiau pagrindinė statmeno reikšmė yra jo vaidmuo technologijose ir mūsų visų gyvenime. Mus, galima sakyti, supa statmenai: stalo kojos statmenos grindims, spintelės kraštas statmenai sienai ir t.t. Vertikalė yra statmena horizontaliai plokštumai. Statmenumas statyboje vaidina didelį vaidmenį: tarpgrindinės lubos klojamos statmenai pastato karkaso stulpams. Plokštumų lygiagretumas yra susijęs su bendrų statmenų buvimu. Tiesių ir plokštumų statmenumas ir lygiagretumas yra esminis statybos elementas, todėl statmenų ir lygiagrečių doktriną galima vadinti konstravimo geometrijos pagrindais.
Iš geometrinių dydžių pagrindinis kurse yra atstumas. Pabrėžiama, kad lygiagrečios figūros – tai figūros, judančios pastoviu atstumu viena nuo kitos (kas yra patikrinama praktikoje). Ir štai kaip atstumo samprata leido supaprastinti teoremos apie tris statmenus įrodymą: pasvirusi tiesė į plokštumą yra statmena tiesei, esančiai šioje plokštumoje, tada ir tik tada, kai pasvirosios tiesės projekcija yra statmena tai tiesi linija.
Įrodymas. Tegu AC yra pasvirusi į plokštumą, jos projekcija BC į šią plokštumą ir tiesė a, esanti plokštumoje ir einanti per tašką C. Teoremoje yra du teiginiai: 1) jei AC ⊥ a, tai BC ⊥ a; 2) jei BC ⊥ a, tai AC ⊥ a. Įrodykime juos.
Paimkime tiesės a kintamąjį tašką X ir apsvarstykime du dydžius AX2 ir BX2. Trikampis ABX yra stačiakampis. Todėl AX2 = AB2 + BX2.
Tai reiškia, kad dydžiai AX2 ir BX2 skiriasi pastoviu nariu. Todėl šie kiekiai įgauna minimalias vertes vienu metu – tame pačiame taške. Iš to išplaukia abu teoremos teiginiai.
Stereometrijos kursas tapo modernesnis: atsirado atskaitos plokštumos koncepcija, svarstomi kūgiai ir cilindrai su savavališkais pagrindais (o ne tik kūgiai ir sukimosi cilindrai), dėl šio požiūrio piramidė yra kūgis su daugiakampiu pagrindu. , o prizmė yra cilindras su daugiakampiu pagrindu, piramidžių ir prizmių tūrių formulės – tai specialūs kūgių ir cilindrų tūrių bendrųjų formulių atvejai. Išvedant kūnų tūrių formules, vartojama išvestinės sąvoka.
Kai vasaros pabaigoje iškilo probleminės medžiagos klausimas, Aleksandrą Danilovičių supažindinau su vienu garsių Leningrado mokytojų Valerijumi Ideljevičių Ryžiku. V.I. Ryžikas baigė Leningrado valstybinio pedagoginio instituto matematikos fakultetą. A.I. Herzenas trejais metais vėliau už mane ir tada dirbo 239 matematikos mokykloje. Pažintis įvyko Herzen instituto viešbutyje, kur tais metais Aleksandras Danilovičius dažnai gyveno kaip Leningrado valstybinio pedagoginio instituto rektoriaus Aleksandro Dmitrijevičiaus Boborykino svečias. Taip susibūrė mūsų autorių komanda: A.D. Aleksandrovas, A.L. Verneris, V.I. Ryžikas.
Susipažinęs su vadovėlio teorija ir susipažinęs su geometrijos kurso situacija mokykloje tais metais, V.I. Ryžikas papasakojo Aleksandrui Danilovičiui, kad mokytojai pamiršo, kas yra geometrija - tikroji geometrija, kuri pasirodys Aleksandrovo vadovėlio puslapiuose. Todėl žurnalui „Matematika mokykloje“ reikia parašyti straipsnį apie geometriją. Šis straipsnis „Apie geometriją“, kuris padarė didelę įtaką geometriniam ugdymui mokykloje, pasirodė devintojo dešimtmečio viduryje dar prieš išleidžiant stereometrijos vadovėlį.
Darbas su stereometrijos vadovėliu truko visą devintąjį dešimtmetį. Buvo intensyvu.
Taigi, pavyzdžiui, Aleksandras Danilovičius parašė V.I. Ryžikas iš Novosibirsko apie vadovėlį rugpjūčio 22 ir 31 d., rugsėjo 1, 2, 3 ir 4 d. 1980 metų gruodį vadovėlį pateikėme leidyklai „Prosveshchenie“. Jau šių metų vasarą tapo aišku, kad laukti, kol bus pradėtas eksperimentas, kol vadovėlis pasirodys spaudoje, teks praleisti dar metus ar dvejus. Išeitis buvo rasta tuo, kad Novosibirsko Matematikos institute Aleksandras Danilovičius 1980–1981 m. išleido keturis išankstinius spaudinius, kuriuose buvo aprėptas pagrindinis vadovėlio 9 klasei turinys. Ten nedideliais numeriais buvo publikuojama ir probleminė medžiaga. Remdamiesi šiais atspaudais ir užduotimis, entuziastingi mokytojai 1980 m. pradėjo eksperimentą keliose Leningrado mokyklose: Larisa Petrovna Evstafjeva 210 mokykloje, Aronas Iosifovičius Ržavinskis 159 mokykloje, Anatolijus Arsenjevičius Okunevas 526 mokykloje.
Prie jų dirbau 239 mokykloje ir V.I. Ryzhik ir Grisha Perelman mokėsi vienoje iš jo klasių naudodami šiuos geometrijos atspaudus. Kai tais metais priekaištaudavau Ryžikui, kad jo užduotys sunkios, jis man pasakė: „Ir Grisha Perelman sėdi mano klasėje. Turiu kuo nors užimti jo galvą. Bet, žinoma, tarp V.I. Ryžika ir paprasti, įmanomi paprastiems studentams. Užduočių visada buvo daug.
Pirmieji du vadovėliai sutrumpinta forma buvo sujungti į vieną vadovėlį „Geometrija, 9–10“, kuris buvo išleistas 1983 m.

3. Planimetrijos kursas, pastatytas A.D. Aleksandrovas

Baigęs pirmąjį stereometrijos vadovėlio darbo etapą, Aleksandrui Danilovičiui tapo aišku, kad dabar reikia parašyti planimetrijos kursą, kad atsirastų elementari geometrija „pagal Aleksandrovą“. Dvejus metus (nuo 1981 m. iki 1983 m.) dirbo planimetrijos kursuose, kuriuos paskelbė išankstiniuose leidiniuose. Šie išankstiniai atspaudai buvo mūsų vadovėlių „Geometrija 6“, „Geometrija 7“ ir „Geometrija 8“ pagrindas. Tada trys planimetrijos vadovėliai buvo papildyti kitu, vėl pataisytu, stereometrijos vadovėliu „Geometrija, 9–10“ (1987, ). Taigi vidurinėms mokykloms atsirado visas elementarios geometrijos kursas „pagal Aleksandrovą“.
Dirbdamas planimetrijos kursuose mokyklai, Aleksandras Danilovičius tuo pat metu parašė knygą „Geometrijos pagrindai“ (Maskva: „Nauka“, 1987), kuri, kaip rašė šios knygos įžangoje, „skirta ne tik bendrai. tiems, kurie domisi pamatų geometrija, bet ypač tiems, kurie profesionaliai domisi jas perprasti – esamiems ir būsimiems dėstytojams, universitetų ir pedagoginių institutų studentams.
„Geometrijos pagrindai“ prasideda pasakojimu apie praktines geometrijos ištakas, apie tas praktines problemas, kurių sprendimas lėmė geometrijos kaip mokslo atsiradimą. 1 skyrius vadinasi „Praktiniai geometrijos pagrindai“. Šis noras pereiti nuo praktikos paskatino Aleksandrą Danilovičių kaip pagrindinį objektą pasirinkti segmentą, o ne tiesią liniją, kaip įprasta kituose mokyklos geometrijos kursuose. Spindulys ir tiesi linija A.D. Aleksandrovas tai apibrėžia kaip neribotą segmento išplėtimą viena arba abiem kryptimis.
Dėl tos pačios priežasties kurse tradicinė lygiagretumo aksioma pakeičiama stačiakampio aksioma, kuri postuluoja galimybę sukonstruoti stačiakampį, kurio kraštinės yra lygios duotoms atkarpoms (tokios konstrukcijos galimybę kasdien patvirtina praktika). .
Tarp pagrindinių ryšių yra segmentų lygybės santykis, leidžiantis įvesti segmentų matavimą. Aleksandras Danilovičius nustato kampų lygybę, taip pat kitų figūrų lygybę per segmentų lygybę. Pavyzdžiui, trikampius jis vadina lygiais, jei jų kraštinės atitinkamai lygios. Taigi pašalinamas sunkus tradicinio trečiojo trikampių lygybės kriterijaus įrodymas. Ir aksiomos A.D. Aleksandrovas suformulavo taip, kad kiti du trikampių lygybės kriterijai tampa paprastomis jų pasekmėmis. Pradinėms planimetrijos kurso temoms mokykloje tai labai svarbus palengvėjimas. Juk ne veltui sklinda anekdotas apie geometrijos mokytoją, kuris iš pradžių ant lentos nupiešė du vienodus trikampius, o paskui visą pamoką įrodinėjo, kad jie lygūs.
Kokius įrodymus Aleksandras Danilovičius laikė ypač svarbiais mokyklos kurse, rodo jo pastaba, kurią jis padarė, remdamasis garsiuoju Pitagoro teoremos įrodymu:
„Pitagoro teorema taip pat yra nuostabi, nes pati savaime ji nėra visiškai akivaizdi. Jei, pavyzdžiui, atidžiai pažvelgsite į lygiašonį trikampį su nubrėžta mediana, tada visas jo savybes, nurodytas teoremoje apie jį, galima pamatyti tiesiogiai. Bet kad ir kiek žiūrėtumėte į stačiakampį trikampį, niekada nepastebėsite, kad tarp jo kraštų yra toks paprastas ryšys:
a 2 + b 2 = c 2 .
Štai iš ko susideda geriausias matematinis stilius: pasitelkus išradingą konstrukciją, įrenginį ar svarstymą, kad tai, kas nėra akivaizdu, būtų akivaizdu.
Pitagoro teorema - svarbiausia planimetrijos teorema - atsiranda Aleksandrovo kurso pradžioje dėl to, kad iš karto po pirmųjų teoremų apie trikampius šiame kurse (kaip ir Euklido) matuojamas daugiakampių figūrų plotas. Ploto sąvoka leidžia teisingai įvesti sinusą ir kosinusą bei įrodyti sinuso teoremą ir kosinuso teoremą (kurią Aleksandras Danilovičius vadina „apibendrinta Pitagoro teorema“ - GTP).
Toliau tiriame panašius trikampius, kurie apibrėžiami kaip trikampiai, kurių kraštinės yra proporcingos. Visos teoremos apie trikampių panašumą tapo paprastomis sinuso teoremos ir OTP pasekmėmis.
Apskritai Aleksandro Danilovičiaus planimetrijos kursas yra sudarytas taip, kad jame yra mažai pagalbinių teoremų, tokių kaip, pavyzdžiui, trikampio kampų sumos teorema, Pitagoro teorema, sinusų teorema. , OTP, o kiti rezultatai iš jų gaunami kaip gana paprastos pasekmės. Tai leidžia sumažinti pagrindinę teorijos liniją išlaikant jos deduktyvumą.
Elementariąją geometriją „pagal Aleksandrovą“ jis pristatė ir vadovėlyje „Geometrija“, parašytame bendradarbiaujant su Nikita Jurjevičiumi Netsvetajevu (M.: „Nauka“, 1990) universitetams ir pedagoginiams universitetams. Taigi Aleksandrovo parašyti mokykliniai vadovėliai pasirodė paremti jo parašytomis knygomis būsimiems mokytojams.
Aleksandras Danilovičius daug nuveikė mokydamas geometrinį ugdymą. Jo sukurtas elementarios geometrijos kursas yra paprastesnis ir modernesnis nei kiti panašūs kursai. Jo gilias pedagogines idėjas ne iš karto priima daugelis mokytojų, pripratusių prie kitokio geometrijos mokymo stiliaus. Tačiau jas supratę mokytojai tampa tvirtais jo idėjų šalininkais. Tikiuosi, kad ateinančiais metais dauguma rusų mokyklų mokytojų pradės dėstyti geometriją „pagal Aleksandrovą“, o toks geometrijos tyrimas suteiks džiaugsmo ir jiems, ir jų mokiniams. Būtent to norėjo Aleksandras Danilovičius, kai 1979 m. pradėjo dirbti su mokykliniais geometrijos vadovėliais. Ir dabar, pasirodžius Aleksandrovo vadovėliams, vargu ar įmanoma rašyti nuobodžius ir sausus geometrijos vadovėlius mokyklai.

4. Post-Kolmogorovo laikotarpis: konkurencija tarp geometrijos vadovėlių

SSRS švietimo ministro įsakymu 1982 metais geometrijos vadovėliai A.N. Kolmogorovas ir Z.A. Skopetsa buvo pakeistas A. V. geometrijos vadovėliu. Pogorelova. „Vinogradovo-Tikhonovo“ revoliucija (arba kontrrevoliucija) mokyklos geometrijoje įvyko! Posūkis buvo staigus. Daugelis mokytojų, kurie dešimt metų stengėsi įsisavinti A. N. vadovėlį. Kolmogorovą, teko mokytis iš naujo. 1982 metų rudenį Novosibirske, kur tada gyveno A. D.. Aleksandrovas, įvyko jubiliejinė geometrinė konferencija, skirta 70-mečiui A.D. Aleksandrova. Atėjo geometrai, atėjo ir Aleksejus Vasiljevičius. Jo buvo paprašyta pasikalbėti su mokytojais. Klausiausi Aleksejaus Vasiljevičiaus kalbos. Mokytojai jau pradėjo dirbti pagal A. V. vadovėlį. Pogorelovas ir uždavė jam daug aštrių klausimų: "Kodėl segmento galai nepriklauso jam?", "Kodėl negalime naudoti patogios simbolikos?", "Kodėl studentai dabar turi tiek daug rašyti?" ir tt Tada po paskaitos Aleksejus Vasiljevičius buvo labai nusiminęs.
A.V. Pogorelovas knygoje „Elementarioji geometrija“ išdėstė savo požiūrį į geometrijos kursą mokykloje. Šios knygos Mokytojo pratarmėje jis rašo:
„Siūlydami šį kursą rėmėmės tuo, kad pagrindinė geometrijos mokymo mokykloje užduotis yra išmokyti mokinius logiškai samprotauti, pagrįsti savo teiginius ir juos įrodyti. Labai mažai iš tų, kurie baigs mokyklą, bus matematikai, tuo labiau – geometrai. Atsiras ir tokių, kurie savo praktinėje veikloje niekada nenaudos Pitagoro teoremos.
Tačiau vargu ar atsiras bent vienas, kuriam nereikės samprotauti, analizuoti ir įrodinėti.
Visa šimtmečių senumo elementarios geometrijos mokymo patirtis nuo Euklido laikų įrodo tradicinės sistemos racionalumą. Jo tobulinimas, susijęs su bendra mokslo raida, mums atrodo, neturėtų būti susijęs su pagrįstais ir giliai apgalvotais jo pagrindais. Todėl siūlomas kursas, iš esmės tradicinis, skiriasi tik griežtesniu dalyko pristatymu ir tam tikru atskirų jo dalių reikšmės perkainavimu.
Siūlomas geometrijos kursas pagrįstas labai maža geometrinių faktų sistema, kuri yra gerai žinoma mokiniui ir sustiprinta pradinėse mokyklos klasėse. Ši pradinių teiginių sistema, vėliau vadinama aksiomomis, buvo išskirta nuodugniai išanalizavus mokyklos geometrijos kursą, atsižvelgiant į tradicinių įrodymų elementus.

Prieš mokyklinį vadovėlį A.V. Pogorelovas jį užbaigė padedamas SSRS MP Turinio ir mokymo metodų tyrimo instituto (C&MT) matematikos laboratorijos. Viktoras Vasiljevičius Firsovas, kuris tuomet vadovavo šiai laboratorijai, papasakojo, kaip sunku jiems buvo įtikinti Aleksejų Vasiljevičius ką nors pakeisti, padaryti ją prieinamesnę moksleiviams. Vadovėlis A.V. Pogorelovą palaikė Steklovo matematikos institutas ir SSRS parlamentaras. Ši vadovėlio santrauka buvo skirta reprodukcijos metodams, t.y. tik užkimšimui. Tuo pačiu metu Charkove vykusiame sąjunginiame pedagoginių universitetų matematikų susirinkime A.V. Pogorelovas apie darbą pagal savo vadovėlį kalbėjo taip: „Tegul jis pirmiausia išmoksta! Tada jis supras! Be vadovėlio A.V. Pogorelovas negalėjo pasiūlyti jokių kitų Steklovo matematikos instituto vadovėlių.
Kaip dažniausiai atsitinka, tarp pergalingų revoliucionierių kilo nesutarimų. Andrejus Nikolajevičius Tikhonovas ir RSFSR parlamentaras sukūrė autorių grupes, kad atnaujintų visus mokyklinius matematikos vadovėlius. Pirma, geometrija projekte A.N. Tikhonovą parašė Levonas Sergejevičius Atanasjanas ir Eduardas Genrikhovičius Poznyakas, o vėliau jų autorių komandą papildė Valentinas Fedorovičius Butuzovas, Sergejus Borisovičius Kadomcevas ir Irina Igorevna Judina.
Projektas A.N. Tikhonovas džiaugėsi RSFSR MP mokyklų tyrimų instituto parama.
Visada palaikiau gerus santykius su „Atanasyan-Poznyak“ komanda:
aptarėme savo planus, apsikeitėme išleistais vadovėliais. Eduardas Genrikhovičius man pasakė: „Norime parašyti paprastą geometrijos vadovėlį Kiselevo dvasia“. Pirmosios šių vadovėlių versijos buvo smarkiai kritikuojamos (taip pat ir Aleksandro Danilovičiaus), tačiau L.S. Atanasyanas patobulino savo vadovėlį, o dabar vadovėliai yra populiariausi vadovėliai mokykloje.
Platus eksperimentas Leningrade prasidėjo 1981 m., kai buvo išleistas pirmasis mūsų vadovėlis „Stereometrijos principai, 9“: vienas didžiausių Leningrado rajonų Kalininskis pradėjo mokytis pagal šį vadovėlį.
Tuo metu Leningrade pusė likusių rajonų mokėsi pagal A. V. vadovėlį. Pogorelovas, o kita pusė - pagal L.S. vadovėlį. Atanasyanas ir jo kolegos. Taigi Leningrade jau tuo metu iš tikrųjų egzistavo trys alternatyvios geometrijos vadovėliai.
Bandomieji vadovėliai buvo išleisti serijoje „Matematikos mokytojo biblioteka“, kuri išleido visus naujus matematikos vadovėlius.
Tuo metu, kai Aleksandras Danilovičius dirbo planimetrijos kursuose, V.I. 1982 m. vasarą Ryžikas intensyviai dirbo prie stereometrijos vadovėlio, skirto klasėms, kuriose nuodugniai mokosi matematikos. Tokį vadovėlį užsakė Margarita Romanovna Leontyeva, kuri tuo metu vadovavo SSRS MP gamtos mokslų vadovėlių sektoriui. Jis buvo paremtas vadovėliais, tačiau jo turinys, palyginti su šiais vadovėliais, gerokai išsiplėtė. Pirmasis fizikos ir matematikos stereometrijos vadovėlio leidimas. klasės pasirodė 1984 m. Šio vadovėlio turinys tapo tokių klasių ministrų programa.

5. Visasąjunginis geometrijos vadovėlių konkursas

Iki devintojo dešimtmečio vidurio pagrindiniai konkurentai mokyklinių geometrijos vadovėlių srityje SSRS jau buvo paskelbę savo koncepcijas šia problema, turėjo galimybę keletą kartų leisti savo vadovėlius ir leisti mokytojams bei mokiniams su jais dirbti mokyklose. Pats laikas surengti šių vadovėlių konkursą. 1986 m. SSRS švietimo ministerija paskelbė matematikos vadovėlių konkursus vidurinėms mokykloms: 1) „Matematika, 5–6“; 2) „Algebra, 7–9“; 3) „Algebra ir analizės pradžia, 10–11“; 4) „Geometrija, 7–9“; 5) „Geometrija, 10–11“.
Aleksandras Danilovičius neturėjo ypatingo noro dalyvauti konkurse, bet vis tiek sutiko, pralaimėdamas mano ir V.I. Ryžiko argumentai. Konkurso rezultatai mums apskritai gali būti patenkinti. Į dvi pirmąsias vietas besąlygiškai pretendavo A. V. vadovėlis. Pogorelovas, kuris džiaugėsi SSRS deputato, TSRS mokslų akademijos Matematikos skyriaus ir SSRS Pedagogikos mokslų akademijos prezidiumo parama, taip pat vadovėlį L.S. Atanasyanas ir jo kolegos, kuriuos palaikė RSFSR parlamentaras. Dėl konkurso pirmąją vietą užėmė vadovėlis L.S. Atanasyanas ir jo kolegos bei vadovėlis A.V. Pogorelova liko antra. Mūsų planimetrijos vadovėlis užėmė trečią vietą (aplenkė A. N. Kolmogorovo, V. G. Boltyanskio ir kitų žymių autorių vadovėlius), o stereometrijos vadovėlis – ketvirtoje vietoje, trečioje vietoje liko V. G. vadovėlis. Bevzas ir jo kolegos (kas mums buvo netikėta).
Varžybų sąlygos buvo sunkios. Vadovėlio rankraščiui parengti buvo skirti metai rankraštis su šūkiu pateiktas SSRS deputatui, o informacija apie konkuruojančius autorius nurodyta užklijuotame voke. Rankraštis turi būti tinkamas spausdinti rotaprintu, nurodyti jo apimtys (7–9 geometrijai - 20 spausdintų lapų, o geometrijai 10–11 - 16 spausdintų lapų), turinys turėjo atitikti ministerijų programas.
SSRS MP priimti rankraščiai buvo šifruojami, rotaciniu būdu spausdinami gana dideliais tiražais ir siunčiami peržiūrėti įvairioms organizacijoms: mokslo institutams, mokymo įstaigoms, mokytojų rengimo institutams, metodininkams, mokytojams. Po metų Konkurencijos komisija gavo per aštuonis šimtus ekspertizių ataskaitų, o Konkurencijos komisija pradėjo juos analizuoti.
Žinoma, konkurse dalyvavo ir recenzentams bei Konkurso komisijos nariams nežinomi autoriai, tačiau norint „paslėpti po kodais“ jau gerai žinomus (ir taip individualius) A.V. vadovėlius. Pogorelova, A.N. Kolmogorovas ir jo bendraautoriai L.S. Atanasyanas ir jo bendraautoriai A.D. Aleksandrovas ir jo bendraautoriai buvo neįmanomi.
Tais metais Vilniuje vyko SSRS MP geometrijos komisijos posėdis. Savininkas buvo garsus Lietuvos geometras – profesorius Vaclovas Iono Bliznikas. Tarp komisijos narių buvo L.S. Atanasyanas ir aš. O mums V.I. Bliznikas sakė: „Lietuva bus už Atanasianą. Jų vadovėlis labiau tinka Lietuvos ūkiams.“ Buvo aišku, kad A. V. vadovėliai Pogorelova ir L.S. Ar Atanasyanas ir jo bendraautoriai nekonkuruoja (ir tobulinimo, ir „administracinio rezervo“ prasme)? ir jie užims pirmas dvi vietas. Įdomu tai, kad konkurso komisija, skelbdama konkurso rezultatus, pranešė:
„Konkurso komisijai svarstant rankraščius paaiškėjo skirtumas
jos narių nuomone apie geometrijos vadovėlį aukštajai mokyklai: priimtinas medžiagos pateikimo griežtumo lygis, aksiominio metodo vieta mokyklos kurse, kalba ir pristatymas ir kt. Tai atsispindėjo balsavime, kai už pirmą ir antrą vietas užėmusius vadovėlius balsų skaičius šiek tiek skyrėsi“ (MSh. 1988. Nr. 5. p. 48–50).
Konkursui „Geometrija, 7–9“ buvo pateikti 22 rankraščiai, o konkursui „Geometrija, 10–11“ – 7 rankraščiai.
Pirmąsias vietas abiejuose konkursuose („Geometrija, 7–9“ ir „Geometrija, 10–11“) užėmė vadovėlių rankraščiai L.S. Atanasyanas ir jo kolegos. Konkurso komisija jiems skyrė tokias charakteristikas: „Rankraščiai išsiskiria pristatymo prieinamumu, susitelkimu į savarankišką studentų medžiagos studijavimą ir aiškia praktine orientacija“.
Antrąją vietą konkurse „Geometrija, 7–9“ užėmė vadovėlis A.V. Pogorelovas, o konkurse „Geometrija, 10–11“ – vadovėlį A.V. Pogorelova pasidalijo antrą ir trečią vietas su Kijevo autorių G.P. rankraščiu. Bevza, V.G. Bevza, N.G. Vladimirova (tai buvo nauji autoriai).
A.V. vadovėlių rankraščiai. Konkurso komitetas apibūdino Pogorelovą taip: „Vadovėlių rankraščiai pasižymi dideliu teorinės medžiagos pateikimo griežtumu, kalbos glaustumu ir tikslumu bei kurso konstravimu aksiomatiniu pagrindu“.
Vadovėlio „Geometrija, 7–9“ rankraštis A.D. Aleksandrova, A.L. Werneris ir V.I. Ryžika užėmė trečią vietą. Šis rankraštis buvo apibūdintas taip: „Jis išsiskiria netradiciniu daugelio klausimų pateikimu, kalbos gyvumu ir linksmumu, pratimų sistemos susitelkimu į mokinių ugdymą“.
Išvardintus vadovėlių rankraščius apdovanojo ir spaudai priėmė leidykla „Prosveščenie“.
Konkurse „Geometrija, 7–9“ vadovėlis V.G. Boltyansky, G.D. Glazeris ir L.M. Paškova, o penktoji vieta - vadovėlis A.N. Kolmogorova, A.F. Semenovičius ir R.S. Čerkasova.
Konkurse „Geometrija, 10–11“ vadovėlis A. D. užėmė ketvirtą vietą. Aleksandrova, A.L. Werneris ir V.I. Ryžikas, o penkta vieta - V.G. vadovėlis. Boltyansky, G.D. Glazeris ir L.M. Paškova.
Galima manyti, kad konkursas apibendrino dešimtmečius trukusių Kolmogorovo reformų rezultatus ir jų kritiką: mokyklos geometrija Rusijoje grįžo į tradicinį, euklido kelią.
Įvertinus šio konkurso rezultatus tarp geometrijos vadovėlių, galima teigti, kad jis tarsi „įteisino“ situaciją, kuri tuo metu jau susiklostė tarp esamų vadovėlių:
1) mokytojams buvo lengviausia dirbti naudojant L. S. vadovėlį. Atanasyanas ir jo bendraautoriai, užėmę pirmąją vietą konkurse ir kurį aktyviai rėmė Rusijos švietimo ministerija;
2) daugelis mokytojų jau prisitaikė prie A. V. vadovėlio-sąvado. Pogorelovas, pristatytas 1982 m. SSRS MP įsakymu, tačiau konkurse užėmė antrąją vietą po L.S. vadovėlio. Atanasyanas;
3) tarp mokytojų atsirado A. D. vadovėlių gerbėjų. Aleksandrovas (konkurse užėmė trečią vietą), pirmiausia tarp mokytojų, kurie dirbo klasėse, kuriose nuodugniai studijavo matematiką.

6. Aleksandro naujos kartos vadovėliai

Nuo devintojo dešimtmečio vidurio atsirado mokyklų, kuriose nuodugniai atskirų dalykų buvo pradėta mokytis ne tik dviejose vyresnėse, bet ir nuo 8 klasės. Šioms klasėms esame parašę vadovėlį „Geometrija, 8–9“. Kartu su vadovėliu „Geometrija, 10–11“ jis sudarė visą pradinės geometrijos kursą fizinėms ir matematinėms klasėms. O dabar šio giluminio kurso tobulinimas tęsiamas: jau išleisti nauji vadovėliai.
Aleksandras Danilovičius savo straipsnyje „Apie geometriją“ rašė, kad mokykliniuose vadovėliuose turi būti įvairaus sudėtingumo medžiaga, skirta skirtingų pomėgių ir gebėjimų mokiniams, o planimetrijos kursas turėtų būti papildytas stereometrijos elementais.
Būtent šios problemos sprendžiamos kitame mūsų vadovėlių cikle.
Šie vadovėliai buvo parašyti jau devintajame dešimtmetyje. Jos skirtos diferencijuotam geometrijos mokymui, o jų turinys skirstomas į tris lygius: humanitarinį (bendrąjį ugdymą), plečiantį jo taikomąjį lygmenį ir gilinantį bendrąjį ugdymo lygmenį – loginį (probleminį) lygmenį.
Dėl to, kad Aleksandras Danilovičius žymiai supaprastino ir sumažino elementariąją planimetriją, šiuose vadovėliuose vaizdiniu lygmeniu pateikiama gana plati stereometrinė medžiaga, kuri pateikiama lygiagrečiai su panašia planimetrine medžiaga. Taigi šių vadovėlių ciklas pradeda naujos kartos geometrijos vadovėlius pradinėms mokykloms, kuriuose planimetrijos sisteminis pristatymas bus derinamas su vaizdiniu lygmeniu pateiktais stereometrijos elementais. Būtent šia kryptimi dabar juda geometrinis ugdymas Rusijoje. Praėjusio amžiaus 90-ųjų pabaigoje Aleksandras Danilovičius dėl sveikatos nebedirbo su mokykliniais vadovėliais. Be jo, bet remiantis jo idėjomis, buvo parašyta dar viena vadovėlių serija, kurioje planimetrija „pagal Aleksandrovą“ derinama su stereometrijos elementų pristatymu vizualiu ir intuityviu lygmeniu. Šie vadovėliai tapo nugalėtojais Rusijos Federacijos švietimo ministerijos ir Nacionalinio personalo mokymo fondo rengiamame naujos kartos vadovėlių konkurse.
XXI amžiaus pradžioje atsiradus Švietimo standartams, reikėjo modifikuoti Aleksandro vadovėlius. Po tokio pataisymo juos išleido leidykla „Prosveščenie“ serijoje „Akademinės mokyklos vadovėlis“, kurią 2005 m. įkūrė Rusijos mokslų akademija, Rusijos švietimo akademija ir leidykla „Prosveščenie“. Šiuose vadovėliuose jau atsižvelgta į trisdešimties metų mokytojų, naudojančių Aleksandro vadovėlius, bei jų autorių patirtį.
Aleksandro geometrijos vadovėliuose geometrija iškyla prieš mokinį visu platumu ir įvairiapusiškumu. Kiekvienas mokytojas iš šių vadovėlių galės dirbti pagal savo pedagogines pažiūras, o kiekvienas mokinys ras jam artimų daugiaplanės geometrijos aspektų.

LITERATŪRA

1. Kolmogorovas A.N. Naujos programos ir kai kurie pagrindiniai matematikos kurso tobulinimo vidurinėje mokykloje klausimai // Matematika mokykloje. 1967. Nr. 2. P. 4–13.
2. Kolmogorovas A.N. Į naujas matematikos programas // Matematika mokykloje. 1968. Nr. 2. P. 21–22.
3. Kolmogorovas A.N. Apie pagrindinių sąvokų ir žymėjimo sistemą mokykliniam kursui // Matematika mokykloje. 1971. Nr.2. 17–22 p.
4. Kolmogorovas A.N. Pastabos apie aibės sampratą mokykliniame matematikos kurse. // Matematika mokykloje. 1984. Nr.1. P. 52–53.
5. Aleksandrovas A.D. Apie geometriją. // Matematika mokykloje. 1980. Nr 3. P. 56–62.
6. Aleksandrovas A.D. Kas yra daugiakampis? // Matematika mokykloje. 1981. Nr. 1. P. 8–16, Nr. 2. P. 19–25.
7. Aleksandrovas A.D. Apie aibės sampratą geometrijos kurse // Matematika mokykloje. 1984. Nr.1. P. 47–52.
8. Aleksandrovas A.D. Kas yra vektorius? // Matematika mokykloje. 1984. Nr 5. P. 39–45.
9. Vladimirovas V.S., Pontriaginas L.S., Tikhonovas A.N. Apie mokyklinį matematikos ugdymą. // Matematika mokykloje. 1979. Nr.3. 12–14 p.
10. Kolmogorovas A.N., Semenovičius A.F., Čerkasovas R.S. Geometrija, 6–8. M.: “Švietimas”, 1979. 384 p.
11. Klopsky V.M., Skopets Z.A., Yagodovsky M.I. Geometrija, 9–10. M.: „Švietimas“, 1977. red. 3-ioji.
12. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Stereometrijos pradmenys, 9. M.: „Prosveščenija“, 1981. 224 p.
13. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Stereometrijos užuomazgos, 10. M.: „Nušvitimas“, 1982. 192 p.
14. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 9–10. M.: “Švietimas”, 1983. 336 p.
15. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 9–10 (2 leidimas, pataisytas). M.: „Švietimas“, 1987. 272 ​​p.
16. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 9–10 (fizikos ir matematikos pamokoms). M.: “Švietimas”, 1984. 480 p.
17. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija. 6. M.: “Švietimas”, 1984. 176 p.
18. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija. 7. M.: “Švietimas”, 1985. 192 p.
19. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija. 8. M.: “Švietimas”, 1986. 192 p.
20. Pogorelovas A.V. Geometrija, 6–10. M.: “Švietimas”, 1982. 288 p.
21. Atanasyan L.S. ir kiti, 6 (ketvirtas leidimas, pataisytas). M.: “Švietimas”, 1985. 96 p.
22. Atanasyan L.S. ir kiti, 8 (trečiasis leidimas, pataisytas). M.: “Švietimas”, 1987. 128 p.
23. Atanasyan L.S. ir kiti, 9–10 (antrasis leidimas, pataisytas). M.: “Švietimas”, 1985. 256 p.
24. Atanasyan L.S. et al. Geometry, 7–9 (14 leidimas). M.: “Švietimas”, 2004. 384 p.
25. Atanasyan L.S. ir kiti, 10–11 (15 leidimas, papildytas). M.: “Švietimas”, 2006. 256 p.
26. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 7–9. M.: “Švietimas”, 1992. 320 p. (2 leidimas 1995 m., 3 leidimas, peržiūrėtas 2003 m.).
27. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 10–11. M.: „Švietimas“, 1998. 272 ​​p. (2-asis leidimas 2001 m., 4-asis leidimas, atnaujintas 2006 m.).
28. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 8–9 (pažengusiems). M.: “Švietimas”, 1991. 416 p. (2-asis leidimas, pataisytas, 1995, 3 leidimas 1996).
29. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 10–11 (Advanced Grades, 3. leid., pataisyta). M.: “Švietimas”, 1992. 464 p. (1994 m. 4 leid., 1995 m. 5 leid.).
30. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 7. M.: MIROS, 1994. 200 p.
31. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 8. M.: MIROS, Sankt Peterburgas: Orakul, 1997. 302 p.
32. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 9. M.: MIROS, CheRo., 1998. 350 p.
33. Verneris A.L., Ryžikas V.I., Khodotas T.G. Geometrija, 7. M.: „Nušvitimas“, 1999. 192 p. (2-asis leidimas, pataisytas, 2003 m., 176 p.).
34. Verneris A.L., Ryžikas V.I., Khodotas T.G. Geometrija, 8. M.: „Nušvitimas“, 2001 m.
192 p.
35. Verneris A.L., Ryžikas V.I., Khodotas T.G. Geometrija, 9. M.: „Nušvitimas“, 2001 m.
208 p.
36. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I., Khodotas T.G. Geometrija, 7. M.: „Nušvitimas“, 2008. 176 p.
37. Aleksandrovas A.D., Werneris A.L., Ryžikas V.I.. Geometrija, 8. M.: „Nušvitimas“, 2009. 176 p.
38. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 9. M.: „Nušvitimas“, 2010. 176 p.
39. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 8 (išsamiam tyrimui). M.: “Švietimas”, 2002. 240 p. (2-asis leidimas, pataisytas, 2008 m., 272 p.).
40. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 9 (išsamesniam tyrimui). M.: “Švietimas”, 2004. 240 p.
41. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 10 (išsamesniam tyrimui). M.: “Švietimas”, 1999. 240 p. (2-asis leidimas 2001 m.; 3 leidimas 2003 m.; 4-asis leidimas, pataisytas, 2006 m. 272 ​​p.).
42. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija, 11 (išsamesniam tyrimui). M.: “Švietimas”, 2000. 320 p. (2-asis leidimas 2001 m.; 3 leidimas 2006 m.).
43. Aleksandrovas A.D. Geometrijos pradžia // Preprint. Novosibirskas: SSRS mokslų akademijos Sibiro filialo Matematikos institutas, 1981. 46 p.
44. Aleksandrovas A.D. Kiekiai ir skaičiai // Preprint. Novosibirskas: SSRS mokslų akademijos Sibiro filialo Matematikos institutas, 1981. 48 p.
45. Aleksandrovas A.D. Trikampiai // Preprint. Novosibirskas: SSRS mokslų akademijos Sibiro filialo Matematikos institutas, 1982. 48 p.
46. ​​Aleksandrovas A.D. Panašūs trikampiai // Preprint. Novosibirskas: SSRS mokslų akademijos Sibiro skyriaus Matematikos institutas, 1982. 42 p.
47. Aleksandrovas A.D. Lygiagrečios tiesės ir vektoriai // Preprint. Novosibirskas: SSRS mokslų akademijos Sibiro skyriaus Matematikos institutas, 1982. 50 p.
48. Aleksandrovas A.D. Daugiakampiai ir apskritimai // Preprint. Novosibirskas: SSRS mokslų akademijos Sibiro skyriaus Matematikos institutas, 1982. 32 p.
49. Aleksandrovas A.D. Vektoriai ir koordinatės // Preprint. Novosibirskas: SSRS mokslų akademijos Sibiro filialo Matematikos institutas, 1983. 48.
50. Aleksandrovas A.D. Apskritimas ir apskritimas // Preprint. Novosibirskas: SSRS mokslų akademijos Sibiro skyriaus Matematikos institutas, 1983. 12.
51. Aleksandrovas A.D. Rodo // Išankstinis spausdinimas. Novosibirskas: SSRS mokslų akademijos Sibiro skyriaus Matematikos institutas, 1983, 44.
52. Aleksandrovas A.D. Geometrijos pagrindai. M.: “Nauka”, 1987. 288 p.
53. Aleksandrovas A.D., Netsvetajevas N.Ju. Geometrija. M.: “Nauka”, 1990. 672 p.
54. Pogorelovas A.V. Elementari geometrija. Red. 2. M.: “Nauka”, 1974. 208 p.

Geometrija. 7 klasė. Metodinės rekomendacijos mokytojams. Werneris A.L., Ryžikas V.I., Khodotas T.G.

2-asis leidimas - M.: 2017. - 132 p.

Knyga skirta mokytojams, dėstantiems geometriją 7 klasėje pagal autorių A. D. Aleksandrovo, A. L. Vernerio, V. I. Ryžiko, T. G. Khodot vadovėlį. Jis parašytas pagal šio vadovėlio metodinę koncepciją ir visiškai ją atitinka tiek turiniu, tiek struktūra. Knygoje pateikiama 7 - 9 klasių geometrijos kurso konstravimo koncepcija, pamokų vedimo metodinės rekomendacijos, kontroliniai ir kontroliniai, uždavinių sprendimo instrukcijos, teminis planavimas.

Formatas: pdf(2017 m., 132 p.)

Dydis: 3,1 MB

Žiūrėti, parsisiųsti: yandex.disk

Formatas: pdf(2012 m., 143 p.)

Dydis: 2,1 MB

Žiūrėti, parsisiųsti: yandex.disk

Turinys
Pagrindinės mokyklos geometrijos kurso konstravimo koncepcija
1. Naujos kartos geometrijos vadovėlių pradinėms mokykloms ciklo struktūra
2. Aleksandro geometrijos mokymo principai
3. Apie uždavinių sistemą geometrijos kurso 7-9 klasėms
7 klasės geometrija – tai konstrukcijų geometrija
1. Vadovėlio teorinės medžiagos aptarimas
2. Vadovėlio uždavinių sprendimas ir atsakymai į juos
Humanitarinis geometrijos kurso komponentas
1. Kalbos raida geometrijos pamokose
2. Geometrinės ekskursijos
Vaizdinių priemonių kūrimas ir darbas su jomis
Geometrijos kurso testai
Teminis planavimas

1. Naujos kartos geometrijos vadovėlių ciklo struktūra
pagrindinė mokykla
Remiantis vadovėliu „Geometrija, 7 - 9“ (autoriai A. D. Aleksandrovas, A. L. Verneris, V. I. Ryžikas) buvo sukurta nauja geometrijos vadovėlių serija pradinėms mokykloms - paskutinio visos sąjungos vadovėlių konkurso nugalėtoja devintojo dešimtmečio viduryje. praėjusio šimtmečio („Apšvietimas“, 1992), taip pat trys vadovėliai „Geometrija, 7“, „Geometrija, 8“ ir „Geometrija, 9“ (autoriai - A. L. Werneris, V. I. Ryzhik, T. G. Khodot) - nugalėtojai. naujos kartos vadovėlių konkurso („Švietimas“, 1999-2001).
Naujojo ciklo vadovėlių turinys atitinka naujausius ministrų direktyvinius dokumentus (Antros kartos standartus) ir šiuolaikines pedagogines pažiūras. Naujoje vadovėlių serijoje atsižvelgta į ilgametę mokytojų patirtį, dirbusią naudojant vadovėlius, pagal kuriuos buvo sukurti nauji.
Savo kurse autoriai išskiria tris svarbiausias linijas: geometrinių figūrų konstravimo liniją – pirmaujančią eilutę vadovėlyje „Geometrija, 7“, geometrinių dydžių skaičiavimo eilutę – pirmaujančią eilutę vadovėlyje „Geometrija, 8“ o šiuolaikinės geometrijos idėjų ir metodų linija – vadovėlio „Geometrija, 9“ pagrindinė eilutė.
Kiekvienas iš trijų vadovėlių turi vientisumą ir išsamumą, todėl dirbant su juo nereikia remtis kitais vadovėliais. Tai užtikrina tai, kad vadovėlis „Geometrija, 8“ prasideda svarbiausių 7 klasės kurso sąvokų ir sakinių kartojimu, o vadovėlyje „Geometrija, 9“ – reikiama informacija iš 8 klasės kurso. Kartu šie trys vadovėliai apima visą pagrindinio matematinio ugdymo turinio skyrių „Geometrija“, įskaitant stereometrinę poskyrio „Vizualinė geometrija“ dalį.
Vadovėliai neapsiriboja vien tik geometriniu turiniu. Juose daug dėmesio skiriama bendram studentų matematiniam tobulėjimui, apie kurį kalbama pagrindinio turinio skiltyje „Logika ir aibės“: pačioje kurso pradžioje supažindinama, aprašomos figūrų jungimo ir susikirtimo operacijos.
06 aksiomos ir teoremos, specialios pastraipos yra skirtos įrodinėjimo prieštaravimu būdui, tarpusavyje atvirkštinėms teoremoms, būdingoms savybėms ir loginiam ryšiui „jei ir tik tada“.
Visa tai formuoja universalius loginius veiksmus.
Viso ciklo metu pasakojama apie geometrijos istoriją: 7 klasės kursas prasideda pasakojimu apie geometrijos atsiradimą senovėje, apie

Euklidas ir jo „Principai“, o baigiasi pasakojimu apie penktojo postulato problemos sprendimą, apie N. I. Lobačevskį ir jo geometriją, skirtos 8 ir 9 klasių vadovėliams, skirtiems Taliui, Pitagorui, Archimedui. trigonometrijos istorija ir kt. Visa tai atitinka pagrindinio turinio skyrių „Matematika istorinėje raidoje“.

Vadovėlyje yra teorinė ir praktinė medžiaga apie stereometriją vidurinės mokyklos kursui. Knygoje yra apie 100 problemų su sprendimais ir daugiau nei 800 savarankiško sprendimo uždavinių. Taip pat pateikiamos problemos, kurios buvo naudojamos atliekant stojamuosius egzaminus įvairiuose universitetuose. Vadovas skirtas moksleiviams, stojantiesiems ir mokytojams.
Lėktuvai erdvėje.

„Struktūrinę geometriją“ natūralu pradėti nuo pasiūlymų, kaip nurodyti plokštumos padėtį erdvėje. Pateikiame tris tokius pasiūlymus.

Pradėkime nuo klausimo, kiek taškų plokštumoje reikia nurodyti, kad jos padėtis būtų vienareikšmiškai nulemta šių taškų. Akivaizdu, kad tam neužtenka vieno ar dviejų taškų. Bet nurodant tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, plokštumos padėtis bus nustatyta vienareikšmiškai (1.1 pav.). Tikras pavyzdys: du vyriai ir spyna fiksuoja durų padėtį, bet du vyriai – ne. Taigi galioja toks sakinys:
Teiginys 1. Per bet kuriuos tris erdvės taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, yra plokštuma ir tik viena.
Plokštuma, einanti per tris taškus A, B, C, kurie nėra toje pačioje tiesėje, vadinama „ABC plokštuma“ ir rašoma (ABC).

Be šio (pagrindinio) plokštumos apibrėžimo metodo, naudosime ir kitus.
TURINYS
Pratarmė
Įvadas
1 skyrius. Linijos ir plokštumos
§ 1. Abipusis linijų ir plokštumų išdėstymas
§ 2. Tiesių ir plokštumų statmenumas
§ 3. Tiesių ir plokštumų lygiagretumas
2 skyrius. Svarbiausios erdvinės figūros
§ 4. Sfera ir rutulys
§ 5. Trikampiai kampai ir sferiniai trikampiai
§ 6. Cilindras
§ 7. Prizmė
§ 8. Kūgis
§ 9. Piramidė
§ 3. Tiesių ir plokštumų lygiagretumas
Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai
3 skyrius. Kietieji kūnai, paviršiai, daugiakampiai
§ 10. Kūnai ir jų paviršiai
§ 11. Daugiakampis
§ 12. Taisyklingas ir pusiau taisyklingas daugiabriaunis
§ 3. Tiesių ir plokštumų lygiagretumas
Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai
4 skyrius. Kūnų tūriai ir jų paviršiaus plotai
§ 13. Tūrio samprata
§ 14. Tiesiojo cilindro tūris
§ 15. Tūrio vaizdavimas integralu
§ 16. Cilindro, kūgio, rutulio tūris
§ 17. Paviršiaus plotas
§ 3. Tiesių ir plokštumų lygiagretumas
Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai
5 skyrius. Koordinatės ir vektoriai
§ 18. Stačiakampės koordinatės
§ 19. Koordinačių metodas
§ 20. Įvairios koordinačių sistemos
§ 21. Vektoriaus samprata
§ 22. Tiesinės operacijos su vektoriais
§ 23. Vektorių skaliarinė daugyba
§ 24. Vektorinis metodas
§ 3. Tiesių ir plokštumų lygiagretumas
Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai
6 skyrius. Transformacijos
§ 25. Judėjimai
§ 26. Judesių savybės
§ 27. Erdvės judesių klasifikacija
§ 28. Panašumas
§ 29. Inversija
§ 3. Tiesių ir plokštumų lygiagretumas
Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai
Atsakymai ir nurodymai
Pagrindinės planimetrijos teoremos ir formulės
Dalyko rodyklė
Naudotos literatūros sąrašas.

Atsisiųskite elektroninę knygą nemokamai patogiu formatu, žiūrėkite ir skaitykite:
Atsisiųskite knygą Stereometry, Geometry in space, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 1998 - fileskachat.com, greitai ir nemokamai atsisiųskite.

• Geometrija, Darbo programų rinkinys, 7-9 kl., Burmistrova T.A., 2011 m.
• Geometrija, 7 klasė, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2013 m.
• Matematika, algebra ir matematinės analizės pradžia, geometrija, 10-11 kl., vadovėlis bendrojo lavinimo organizacijoms, pagrindinio ir aukštesniojo lygio, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2014 m.

/

Geometrijos edukacinio ir metodinio komplekso linija. 10 – 11 klasių (paaukštintas lygis). A. D. Aleksandrovas, A. L. Verneris, V. I. Ryžikas.

UMK liniją parašė akademiko A. D. Aleksandrovo (1912–1999) sukurta ir vadovaujama autorių komanda. Pagrindinė mokymo programos idėja yra galimybė mokyti geometriją skirtingų pomėgių studentams, naudojant daug diferencijuotos probleminės medžiagos.

UMK apima:

• Vadovėliai:
  • Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Matematika: algebra ir matematinės analizės principai, geometrija. Geometrija. 10 klasė (paaukštintas lygis);
  • Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Matematika: algebra ir matematinės analizės principai, geometrija. Geometrija. 11 klasė (paaukštintas lygis);
• didaktinė medžiaga;
• metodinės rekomendacijos.

Vadovėliai atitinka federalinį valstybinį vidurinio (visiško) bendrojo išsilavinimo standartą. Jie skirti nuodugniai tyrinėti geometriją ir juose yra medžiagų, kurios gali būti pasirenkamieji kursai: išgaubtos figūros, daugiakampiai, paviršiaus teorija ir sferinė geometrija, transformacijos, šiuolaikinė geometrija ir reliatyvumas. Vadovėlių teorinė medžiaga diferencijuota tiek nagrinėjamos medžiagos gyliu, tiek galimybe studijuoti papildomas temas. Taip pat diferencijuojama probleminė medžiaga. Tai matyti iš užduočių medžiagoje esančių antraščių pavadinimų pagal veiklos rūšis: „Žiūrėti“, „Teorijos papildymas“, „Planavimas“, „Įrodinėjimas“ ir kt., kuriais mokytojai ir mokiniai vadovaujasi mokomojoje medžiagoje. Skyriuje „Sprendimo supratimas“ pateikiami problemų sprendimo pavyzdžiai. Vadovėlio pabaigoje autoriai pasakoja apie šiuolaikinę geometriją ir reliatyvumo teoriją. Taigi studentai gali sekti geometrijos mokslo raidą šiuolaikiniame pasaulyje. Pabaigoje autoriai pateikia užduotis „Pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui“ su atsakymais.

Didaktinė medžiaga yra dviejų versijų nepriklausomas ir kontrolinis darbas. Į visas problemas pateikiami atsakymai, o kai kurioms – jų sprendimo instrukcijos.

Metodinės rekomendacijos„Išsamus geometrijos tyrimas 10 klasėje“ (autoriai V. M. Papovskis, N. M. Pultsinas) ir „Išsamus geometrijos tyrimas 11 klasėje“ (autoriai V. M. Papovskis, K. N. Aksenovas, M. Ya. Pratusevičius) pateikia rekomendacijas, kaip atlikti geometriją. pamokos ir pasakojimas apie konkretaus mokytojo darbo patirtį. Šiose knygose pateikiamos metodinės rekomendacijos vadovėlio skyriams ir kiekvienos pastraipos uždavinių sprendimai, skyrių pildymo planai ir apytikslis metų teminis medžiagos planavimas, tekstai savarankiškam darbui ir testams.

UMK linijos ypatybės:

• geometrijos pristatymas vadovėliuose jungia aiškumą ir logiką;
• atkreipiamas dėmesys į praktinį geometrijos taikymą, jos ryšį su menu, technologijomis ir architektūra;
• teorinė ir probleminė medžiaga yra diferencijuojama.

Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Stereometrijos pradmenys: 10. Bandomasis vadovėlis. Medžiaga peržiūrai.- M.: Išsilavinimas, 1982.-191 p. - (B-matematikos mokytojas).
Bandomasis vadovėlis X klasei – išsamus antrosios vadovėlio dalies pristatymas. Vadovėlis išleistas siekiant supažindinti mokytojus su galimu mokyklos stereometrijos kurso sudarymo variantu.
Šiuo metu jis bandomas daugelyje mokyklų.
Pirmoji jo dalis (bandomasis vadovėlis IX klasei) išleista 1981 m.
Atsisiųsti (djvu, 7,02 Mb)

Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija 6. Bandomasis vadovėlis vidurinės mokyklos 6 klasei. – M.: Išsilavinimas, 1984. – 176 p.
I skyrius. Geometrijos pradžia: § 1. Apie ką ir kodėl geometrija. § 2. Segmentai. § 3. Kampai. § 4. Trikampiai. § 5. Kai kurie pirmųjų teoremų taikymai trikampiams. § 6. Keturkampiai.
II skyrius. Matavimo dydžiai: § 7. Operacijos su segmentais. § 8. Ilgio matavimas. § 9. Operacijos su kampais. § 10. Kampų matavimas. § 11. Trikampio kampų suma. § 12. Daugiakampės figūros ir daugiakampiai. § 13. Plotas.
Atsisiųsti (djvu, 3,97 Mb)

Naujasis Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija. 7 klasės Bandomasis vadovėlis. - M.: Išsilavinimas, 1985. - 192 p.
III skyrius. Trikampio geometrija: Pitagoro teorema. Statmenas ir įstrižas. Trikampio nelygybė. Sinusas. Stačiųjų trikampių lygybės ženklai ir jų taikymas. Sinusų teorema. Kosinusas. Apibendrinta Pitagoro teorema. Trigonometrinės funkcijos. Panašūs trikampiai.
IV skyrius. Lygiagretumas: lygiagrečios linijos. Lygiagretainis ir trapecija. Lygiagretumas ir panašūs trikampiai.
Vektoriai: Vektoriai. Vektorių papildymas. Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus.
sersol ne twirpx serveryje.
(djvu)ya.disk

Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija 8. Bandomasis vadovėlis 8 vidurinės mokyklos klasei. – M.: Išsilavinimas, 1986. – 190 p.
VI skyrius Vektoriai ir koordinatės: § 29. Vektoriaus projekcijos ir koordinatės § 30. Vektorių skaliarinė daugyba §31. Apskritimo ir tiesės lygtys
VII skyrius Daugiakampiai ir apskritimai: § 32. Akordai ir liestinės § 33. Daugiakampiai § 34. Taisyklingi daugiakampiai § 35. Apskritimo ilgis § 36. Apskritimo plotas
VIII skyrius Judėjimai ir panašumai: § 37. Judėjimai ir figūrų lygybė § 38. Judėjimo rūšys § 39. Figūrų simetrija § 40. Panašumas
Išvada
§41. Planimetrijos pagrindai
Priedai
Parsisiųsti djvu

Naujasis Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija. 9-10 klasių Bandomasis vadovėlis. - 2-asis leidimas, pataisytas. - M.: Išsilavinimas, 1987. - 272 p.
9 klasė. : Stereometrijos pagrindai. Statmenumas ir lygiagretumas. Projekcijos. Atstumai ir kampai. Rutulys ir rutulys.
10 klasė. : Cilindrai ir kūgiai. Daugiakampis. Kūnų tūriai ir jų paviršių plotai. Koordinatės. Vektoriai. Judesiai. Geometrijos pagrindai. Šiuolaikinė geometrija.
Failas paskelbtas vartotojo sersol ne twirpx serveryje.
(djvu)ya.disk

Aleksandrovas A. D., Verneris A. L., Ryžikas V. I. Geometrija. Vadovėlis vidurinės mokyklos 7-9 klasėms. – M.: Išsilavinimas, 1992. – 320 p.: iliustr. - ISBN 5-09-003876-7.
Vadovėlis 1988 metais užėmė trečiąją vietą sąjunginiame vadovėlių konkurse vidurinėms mokykloms.
Atsisiųsti (djvu, 2,78 Mb)

Naujasis Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija. 7 klasė Eksperimentinis vadovėlis. - M.: MIROS, 1994. - 200 p.: iliustr.
Vadovėlyje pateikiamas diferencijuotas geometrijos mokymas: nuoseklus-lygiagretus medžiagos pateikimas vykdomas trimis lygmenimis – vaizdiniu, taikomuoju ir loginiu. Vadove plėtojamos tradicijos, išplėtotos akademiko A.D. vadovaujamos autorių grupės mokomųjų knygų apie geometriją serijoje. Aleksandrovas. Ne ugdymas, o pokalbis – toks šio kurso autoriaus stilius. Didelis uždavinių rinkinys visomis kurso temomis (tiesą sakant, problemų knyga vadovėlyje) padės mokytojui organizuoti praktinį darbą su studentais.
Failas paskelbtas vartotojo sersol ne twirpx serveryje.
(djvu)ya.disk

Naujasis Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Werner A.L., Khodot T.G. Griežtas geometrijos pasaulis. Knyga mokytojams. Metodinė medžiaga eksperimentiniam vadovėliui A.D. Aleksandrova „Geometrija“ 7 klasei. - M.: MIROS, 1994. - 72 p.: iliustr. - ISBN 5-7084-0046-3.
Geometrijos „pirmųjų pamokų“ problemą padės išspręsti šioje knygoje esanti mokytojo metodinė ir didaktinė medžiaga. Juos ruošė patyrę mokytojai, kurių darbo praktika patvirtino A. D. eksperimentinės mokymo priemonės nuopelnus. Aleksandrova, A.L. Verneris, V.I. Ryžikas „Geometrija“ vidurinių mokyklų 7 klasių mokiniams.
Failas paskelbtas vartotojo sersol ne twirpx serveryje.
(djvu)ya.disk

Naujasis Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija. 8 klasė Eksperimentinis vadovėlis. - M.: MIROS, 1997. - 304 p.: iliustr.
Vadovėlis skirtas diferencijuotam mokymui įvairiose mokyklose ir klasėse: humanitarinėje, paprastoje, gilinantis matematiką. Pirmoje knygos dalyje yra trys planimetrijos kurso skyriai: „Paralelizmas ir vektoriai“, „Daugiakampių figūrų plotai“, „Trikampio geometrija“, taip pat atitinkama stereometrinė medžiaga. Antroje dalyje pateikiamos užduotys visomis kurso temomis, kurios sudaromos skirtingiems studijų lygiams.
Failas paskelbtas vartotojo sersol ne twirpx serveryje.
(djvu)ya.disk

Naujoji Evstafieva L.P., Okunev A.A., Khodot T.G., Sheptovitskaya O.A. Nuo Pitagoro iki Euklido. Knyga mokytojams. Metodinė medžiaga eksperimentiniam vadovėliui A.D. Aleksandrova „Geometrija“ 8 klasės mokiniams. - M.: MIROS, 1997. - 96 p.: iliustr.
Metodinis vadovas skirtas diferencijuotam mokymui įvairaus pobūdžio mokyklose ir klasėse. Knygoje esanti didaktinė medžiaga, metodinės rekomendacijos, kaip organizuoti darbą klasėje, pavyzdinis pamokos planas padės mokytojui pasirinkti savo geometrijos mokymo variantą.
Failas paskelbtas vartotojo sersol ne twirpx serveryje.
(djvu)ya.disk

Naujasis Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. Geometrija. 9 klasė. Eksperimentinis vadovėlis. - M.: MIROS: CheRo, 1997. - 352 p.: iliustr. - ISBN 5-7084-0156-7.
Vadovėliu baigiamas trejų metų sisteminis planimetrijos mokyklinis kursas ir stereometrijos apžvalga. Vadove pateikiamas diferencijuotas geometrijos mokymas: nuoseklus-lygiagretus medžiagos pateikimas vykdomas trimis lygiais – vaizdiniu, taikomuoju, loginiu. Užduočių rinkinys visomis kurso temomis padės dėstytojui organizuoti praktinį darbą su studentais.
Failas paskelbtas vartotojo sersol ne twirpx serveryje.
(djvu)ya.disk

Naujasis Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Khodot T.G. Nuo Euklido iki Lobačevskio. Knyga mokytojams. Metodinė medžiaga eksperimentiniam vadovėliui A.D. Aleksandrova „Geometrija“ 9 klasei. - M.: MIROS, 1997. - 96 p.: iliustr. - ISBN 5-7084-0144-3.
Metodinės rekomendacijos ir didaktinė medžiaga padės mokytojui diferencijuotai dėstyti temas „Vektoriai ir koordinatės“, „Sukimosi figūros“ ir „Transformacijos“, kurios baigia sistemingą planimetrijos studijavimą ir stereometrijos apžvalgą mokykloje, taip pat baigiamas trejų metų eksperimentinio geometrijos kurso pakartojimas.
Failas paskelbtas vartotojo sersol ne twirpx serveryje.
(djvu)ya.disk

Aleksandrovas A. D. ir kt., Geometrija 9-10 klasėms: vadovėlis. vadovas mokyklos mokiniams. ir klases su nuodugniais matematikos studijomis/A. D. Aleksandrovas, A.L. Werneris, V.I.Ryžikas.-M.: Išsilavinimas, 1984. – 480 p., iliustr.
Ši knyga – tai vadovėlis mokyklų ir klasių mokiniams, kuriuose nuodugniai mokosi matematikos. Atskleidžiami tiek vidurinės mokyklos geometrijos programos, tiek atitinkamų klasių ir mokyklų geometrijos programos klausimai. Tai leidžia šių klasių mokiniams įgyti gilesnį matematinį mokymą.
(pdf) ya.disk (ne p. 40, 41, 392)

Aleksandrovas A.D. ir kt., Geometrija 8-9 klasėms. Vadovėlis vadovas mokyklos mokiniams. ir kl. su gyliu studijavo matematika / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-3rd - M.: Education, 1996.-415 with illus.
Skaitykite edu-lib.net

Okunev A. A. Išsamus geometrijos mokymas 8 klasėje: Vadovas mokytojams - M.: Išsilavinimas: UAB „Ucheb. lit.“, 1996.- 175 p.: iliustr.-ISBN 5-09-006591-8.
Vadovas skirtas mokytojams, dirbantiems su mokykloms ir klasėms skirtu vadovėliu A. D. Aleksandrovo, A. L. Wernerio, V. I. Ryžiko „Geometrija 8–9 klasėms“ nuodugniai studijuojantiems matematiką. Autorius supažindina su vadovėlio sandara, geometrijos mokymo tikslais ir taktika. Kiekvienai temai autorius siūlo konkrečius bandomuosius darbus, seminarus, problemų sprendimo komentarus, aptaria geometrijos pateikimo ypatybes.
Atsisiųsti (djvu, 4,72 Mb)

Aleksandrovas A. D. Geometrija: vadovėlis. pašalpa už 8 klasę. su gyliu studijuoja matematiką / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M.: Švietimas, 2002. - 240 p. : iliustr. - ISBN 5-09-010864-1.
Apie išplėstinio geometrijos kurso struktūrą. Mieli draugai! Jūs pradedate ketverių metų išplėstinį geometrijos kursą. Pirmus dvejus metus tai sisteminis elementariosios planimetrijos kursas, papildytas stereometrijos elementais. Įrodysime visas svarbiausias planimetrijos teoremas, o stereometrijos rezultatus pateiksime vaizdiniu lygmeniu. Sisteminės stereometrijos kursas prasideda 10-11 klasėse. Taigi visas ketverių metų išplėstinis kursas yra padalintas į du dvejų metų ciklus. Kiekvienoje iš jų pirmieji metai daugiausia skirti klasikinės (žinomos nuo Senovės Graikijos laikų) elementariosios geometrijos rezultatams. Antrieji metai daugiausia skirti modernesnės geometrijos idėjoms ir metodams.
Atsisiųskite (djvu, 20,79 Mb) ifolder.ru

Aleksandrovas A. D. Geometrija: vadovėlis. pašalpa už 9 klasę. su gyliu studijuoja matematiką / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M.: Švietimas, 2004. - 240 p. : iliustr.- ISBN 5 09 011551-6.
Svarbiausios 8 klasės kurse įrodytos teoremos (išskyrus sinusų teoremą) buvo žinomos dar Senovės Graikijoje. O mes juos įrodėme naudodami tradicinius elementariosios geometrijos metodus, taip pat sukurtas Senovės Graikijoje, tačiau nepraradusius savo reikšmės ir dabar. 9 klasės kurse pradėsime kalbėti apie kitus daug vėliau, XVII-XX a., sukurtus geometrijos metodus - koordinatę, vektorių ir geometrinių transformacijų metodą. Šios geometrijos dalys buvo plačiai pritaikytos technologijos ir gamtos moksluose, pirmiausia fizikoje.
Pagrindinis vadovėlio skyrių turinys yra planimetrinis, o apie atitinkamą stereometrinę medžiagą kalbame skyrių papildymuose.
Atsisiųskite (djvu, 22,51 MB) ifolder.ru

Aleksandrovas A. D. ir kt.: Geometrija. 10 klasės mokiniams. su gyliu studijavo matematikai/A. D. Aleksandrovas, A. L. Werneris, V. I. Ryžikas.-M.: Išsilavinimas, 1999.-238 p.: iliustr.- ISBN 5-09-008530-7
Šis vadovėlis yra pataisyta A. D. Aleksandrovo, A. L. Wernerio, V. I. Ryžiko vadovėlio „Geometrija, 10–11“, skirta nuodugniam matematikos tyrimui (M.: Prosveshchenie, 1988–1995), versija. Dėl peržiūros vadovėlis pateikiamas dviejose knygose: „Geometrija, 10“ ir „Geometrija, 11“, kuriose išsaugoma skyrių seka ir didžioji dalis turinio. Pakeitimai daugiausia paveikė probleminę medžiagą: semantinis vienetas šioje versijoje yra visa pastraipa, o ne jos pastraipa, kuri nulėmė šio leidimo problemų struktūrą. (Norint geriau orientuotis, kiekvienos užduoties numeris skliausteliuose nurodo, kuriam pastraipos taškui ji priklauso.) Visos užduotys suskirstytos į tokias antraštes: „Teorijos papildymas“, „Įrodinėjimas“, „Tyrimas“, „Samprotavimas“, „Planavimas“, „Sprendimo supratimas“, „Dalyvavimas olimpiadoje“ ir kt. Jie optimaliai atspindi visus tris geometrijos komponentus: logiką, vizualinę vaizduotę ir praktiką.
Atsisiųskite (djvu, 5,50 MB) ifolder.ru

Ryzhik V.I. Didaktinė medžiaga apie geometriją 10 klasei su nuodugniu matematikos mokymu.

UMK A.D. Aleksandrova.
Atsisiųskite (djvu, 1,50 MB) rusfolder.com

Ryzhik V.I. Geometrija: didaktika. medžiagos 10 klasei. bendrojo išsilavinimo įstaigos / V. I. Ryžikas - 3 leid., pataisyta - M.: Švietimas, 2007. - 48 p. - ISBN 978-5-09-015968-5.
Šiame vadove pateikiamas savarankiškas ir bandomasis geometrijos darbas, skirtas aukštesniųjų matematikos klasių mokiniams.
aciu, Yri
Atsisiųskite (djvu, 0,3 MB) ya.disk

Ryzhik V.I. Geometrijos didaktinė medžiaga 11 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos: profilis. lygis / V.I. Ryzhik - 4-as leidimas, pataisytas - M.: Išsilavinimas, 2008. - 63 p. : iliustr. - ISBN 978-5-09-015498-7.
Šiame vadove yra dviejų versijų savarankiškas ir bandomasis geometrijos darbas, skirtas studentams specializuotose klasėse ir klasėse, kuriose nuodugniai mokomasi matematikos.
aciu, Yri
Atsisiųskite (djvu, 0,3 MB) ya.disk

Norėjosi

• Okunev A.A., Išsamus geometrijos mokymasis 8 klasėje, knyga mokytojams, Švietimas. Mokomoji literatūra, 1996 m
• Okunev A.A., Išsamus geometrijos tyrimas 9 klasėje, knyga mokytojams, Švietimas, 1997 m.
• Ryzhik V.I., Okunev A.A., Didaktinė medžiaga apie geometriją, 8 klasė.
• Ryzhik V.I., Okunev A.A., Didaktinė medžiaga apie geometriją, 9 klasė, Švietimas, 1999 m.
• Papovskis V.M., Pultsinas N.M., Išsamus geometrijos mokymasis 10 klasėje, knyga mokytojams, Švietimas, 1999 m.
• Papovskis V.M., Aksenovas K.N., Pratusevičius M.Ya., Išsamus geometrijos tyrimas 11 klasėje, knyga mokytojams, Švietimas 2002 m.
• Ryzhik V.I., Didaktinė medžiaga apie geometriją, 10 klasė, Švietimas, 1998 m.
• Ryzhik V.I., Didaktinė medžiaga apie geometriją, 11 klasė, Švietimas, 1999 m.

Pridėti failai pažymėti kaip Nauja.