Pateikiamos ribą turinčių skaitinių sekų pagrindinių teoremų ir savybių formuluotės. Pateikiamas sekos apibrėžimas ir jos riba. Nagrinėjami aritmetiniai veiksmai su sekomis, savybės, susijusios su nelygybėmis, konvergencijos kriterijai, be galo mažų ir be galo didelių sekų savybės.

Sekos

Skaitmeninė seka yra dėsnis (taisyklė), pagal kurį kiekvienam natūraliajam skaičiui priskiriamas skaičius.
Skaičius vadinamas n-tuoju sekos nariu arba elementu.
Toliau darysime prielaidą, kad sekos elementai yra tikrieji skaičiai.

ribotas, jei yra toks skaičius M, kad visiems realiesiems n .

Viršutinis kraštas sekos vadinamos mažiausiu skaičiumi, ribojančiu seką iš viršaus. Tai yra, tai yra skaičius s, kurio visiems n ir bet kuriam , yra sekos elementas, viršijantis s′: .

Apatinis kraštas sekos vadinamos didžiausiu skaičiumi, ribojančiu seką iš apačios. Tai yra, tai yra skaičius i, kurio visiems n ir bet kuriam , yra sekos elementas, mažesnis už i′: .

Viršutinė riba taip pat vadinama tiksli viršutinė riba, o apatinė riba yra tiksli apatinė riba. Supremumo ir infimum sąvokos taikomos ne tik sekoms, bet ir bet kokioms realiųjų skaičių aibėms.

Sekos ribos nustatymas

Skaičius a vadinamas sekos riba, jei bet kuriam teigiamam skaičiui yra natūralusis skaičius N, priklausomai nuo to, kad visiems natūraliems skaičiams galioja nelygybė
.
Sekos riba žymima taip:
.
Arba adresu .

Naudojant loginius egzistavimo ir universalumo simbolius, ribos apibrėžimą galima parašyti taip:
.

Atviras intervalas (a – ε, a + ε) vadinamas ε – taško a kaimynystė.

Seka, kuri turi ribą, vadinama konvergentinė seka. Taip pat sakoma, kad seka susiliejaį a. Seka, kuri neturi ribų, vadinama.

skiriasi nėra sekos riba, jei yra toks, kad bet kuriam natūraliajam skaičiui n yra toks natūralusis m > n, Ką
.
.
Tai reiškia, kad galima pasirinkti tokią ε – taško a kaimynystę, už kurios ribų bus be galo daug sekos elementų.

Sekų baigtinių ribų savybės

Pagrindinės savybės

Taškas a yra sekos riba tada ir tik tada, kai yra už bet kurios šio taško kaimynystės baigtinis elementų skaičius sekas arba tuščią rinkinį.

Jei skaičius a nėra sekos riba, tada yra taško a kaimynystė, už kurios yra begalinis sekos elementų skaičius.

Skaičių sekos ribos unikalumo teorema. Jei seka turi ribą, ji yra unikali.

Jei seka turi baigtinę ribą, tada ji ribotas.

Jei kiekvienas sekos elementas lygus tam pačiam skaičiui C: tada ši seka turi ribą, lygią skaičiui C.

Jei seka pridėti, atmesti arba pakeisti pirmuosius m elementus, tai neturės įtakos jo konvergencijai.

Pagrindinių savybių įrodymai pateikiami puslapyje
Bazinės baigtinių sekų ribų savybės >>>.

Aritmetiniai veiksmai su ribomis

Tegul yra baigtinės abiejų sekų ribos ir .
;
;
;
Ir tegul C yra konstanta, tai yra duotas skaičius. Tada
, Jei.

Dalinio atveju daroma prielaida, kad visiems n.

Jei, tada. pateikiami puslapyje
Aritmetinių savybių įrodymai

Sekų baigtinių ribų aritmetinės savybės >>>.

Savybės, susijusios su nelygybėmis

Jei sekos elementai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, tenkina nelygybę , tai šios sekos riba a tenkina ir nelygybę .

Jeigu sekos elementai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, priklauso uždaram intervalui (segmentui), tai šiam intervalui priklauso ir riba a: .

Jei ir ir sekų elementai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, tenkina nelygybę , Tada .
Jei ir, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, , Tada .
Visų pirma, jei, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, , tada
jei , tada ;

jei, tada.

Jei ir tada. < b Tegul būna. Jeigu a, tada yra natūralusis skaičius N, kad visiems n

> N pateikiami puslapyje
nelygybė galioja.

Savybių, susijusių su nelygybėmis, įrodymai

Be galo maža seka

Pasekmė vadinama be galo maža seka, jei jo riba lygi nuliui:
.

Suma ir skirtumas iš baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų yra be galo maža seka.

Apribotos sekos sandauga iki be galo maža yra be galo maža seka.

Baigtinio skaičiaus sandauga be galo mažos sekos yra be galo maža seka.

Tam, kad seka turėtų ribą a, būtina ir pakanka, kad , kur yra be galo maža seka.

Be galo mažų sekų savybių įrodymai pateikiami puslapyje
Be galo mažos sekos – apibrėžimas ir savybės >>>.

Be galo didelė seka

Pasekmė vadinama be galo didele seka, jei bet kuriam teigiamam skaičiui yra natūralusis skaičius N, priklausomai nuo to, kad visiems natūraliems skaičiams galioja nelygybė
.
Šiuo atveju jie rašo
.
Arba adresu .
Jie sako, kad tai linkusi į begalybę.

Jei, pradedant nuo kurio nors skaičiaus N, tada
.
Jeigu tada
.

Jei seka yra be galo didelė, tai, pradedant nuo kurio nors skaičiaus N, apibrėžiama seka, kuri yra be galo maža. Jei yra be galo maža seka su nuliniais elementais, tada seka yra be galo didelė.

Jei seka yra be galo didelė ir seka ribota, tada
.

Jei sekos elementų absoliučios vertės iš apačios ribojamos teigiamu skaičiumi () ir yra be galo mažos, kai elementai yra nelygūs nuliui, tada
.

Daugiau informacijos be galo didelės sekos apibrėžimas su pavyzdžiais yra pateikta puslapyje
Be galo didelės sekos apibrėžimas >>>.
Be galo didelių sekų savybių įrodymai pateikiami puslapyje
Be galo didelių sekų savybės >>> .

Sekos konvergencijos kriterijai

Monotoniškos sekos

Seka vadinama griežtai didėja, jei visoms n galioja ši nelygybė:
.
Atitinkamai, už griežtai mažėja seka galioja ši nelygybė:
.
Už nemažėjantis:
.
Už nedidėjantis:
.

Iš to seka, kad griežtai didėjanti seka taip pat nemažėja. Griežtai mažėjanti seka taip pat yra nedidėjanti.

Seka vadinama monotoniškas, jei jis nemažėja arba nedidėja.

Monotoninę seką bent vienoje pusėje riboja vertė .

Nemažėjanti seka apribota žemiau: . Nedidėjanti seka ribojama iš viršaus: .

Weierstrasso teorema

. Kad nemažėjanti (nedidėjanti) seka turėtų baigtinę ribą, būtina ir pakanka, kad ji būtų ribojama iš viršaus (iš apačios). Čia M yra tam tikras skaičius.

Kadangi bet kuri nemažėjanti (nedidėjanti) seka yra ribojama iš apačios (iš viršaus), Weierstrasso teoremą galima perfrazuoti taip: Tam, kad monotoninė seka turėtų baigtinę ribą, būtina ir pakanka, kad ji būtų ribojama: .

Monotoniška neribota seka turi begalinę ribą, lygią nemažėjančiai ir nedidėjančiai sekai.
Weierstrasso teoremos įrodymas

pateikta puslapyje

Weierstrasso teorema apie monotoninės sekos ribą >>>. Košio kriterijus sekos konvergencijai
.
Kauchinė būklė . Seka tenkina Koši sąlygą, jei kuriai nors iš jų yra natūralusis skaičius, kad visiems natūraliems skaičiams n ir m, atitinkantiems sąlygą, nelygybė.

Taip pat vadinamos Koši sąlygą tenkinančios sekos pagrindinės sekos

Košio kriterijus sekos konvergencijai turi begalinę ribą, lygią nemažėjančiai ir nedidėjančiai sekai.
. Tam, kad seka turėtų baigtinę ribą, būtina ir pakanka, kad ji tenkintų Koši sąlygą.

Koši konvergencijos kriterijaus įrodymas

Košio kriterijus sekos konvergencijai >>>. Pasekmės

Bolzano-Weierstrasso teorema turi begalinę ribą, lygią nemažėjančiai ir nedidėjančiai sekai.
. Iš bet kurios ribotos sekos galima išskirti konvergentinę poseką. Ir iš bet kokios neapribotos sekos – be galo didelė poseka, susiliejanti į arba į .

Bolzano-Weierstrasso teoremos įrodymas
Bolzano–Weierstrasso teorema >>> .

Pussekių ir dalinių ribų apibrėžimai, teoremos ir savybės aptariamos puslapyje
Sekos ir dalinės sekų ribos >>>.
Naudota literatūra:
CM. Nikolskis. Matematinės analizės kursas. 1 tomas. Maskva, 1983 m.
L.D. Kudrjavcevas. Matematinės analizės kursas. 1 tomas. Maskva, 2003 m.

Tiems, kurie nori sužinoti, kaip rasti ribas, šiame straipsnyje mes apie tai papasakosime. Mes nesigilinsime į teoriją, dėstytojai ją dažniausiai skaito paskaitose. Taigi „nuobodžiąją teoriją“ reikėtų užsirašyti į sąsiuvinius. Jei taip nėra, tuomet galite skaityti vadovėlius, paimtus iš ugdymo įstaigos bibliotekos ar iš kitų interneto šaltinių.

Taigi, ribos sąvoka yra gana svarbi studijuojant aukštąją matematiką, ypač kai susiduriate su integraliniu skaičiavimu ir suprantate ryšį tarp ribos ir integralo. Šioje medžiagoje bus pateikti paprasti pavyzdžiai, taip pat jų sprendimo būdai.

Sprendimų pavyzdžiai

1 pavyzdys
Apskaičiuokite a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Sprendimas
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Žmonės dažnai atsiunčia mums šias ribas su prašymu padėti jas išspręsti. Nusprendėme jas pabrėžti kaip atskirą pavyzdį ir paaiškinti, kad paprastai šias ribas tiesiog reikia atsiminti. Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo!
Atsakymas
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Ką daryti su formos neapibrėžtumu: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3 pavyzdys
Išspręskite $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Sprendimas
Kaip visada, pradedame pakeisdami reikšmę $ x $ į išraišką po ribos ženklu. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Kas dabar toliau? Kas turėtų atsitikti galiausiai? Kadangi tai yra neapibrėžtumas, tai dar nėra atsakymas ir mes tęsiame skaičiavimą. Kadangi skaitikliuose turime daugianarį, jį faktorinuosime naudodami visiems iš mokyklos žinomą formulę $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Ar prisimeni? Puiku! Dabar eik į priekį ir naudokite ją su daina :) Pastebime, kad skaitiklis $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Mes ir toliau sprendžiame, atsižvelgdami į aukščiau pateiktą transformaciją: $$ \lim \limits_(x \iki -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1) = -1-1 = -2 $$
Atsakymas
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Perkelkime ribą paskutiniuose dviejuose pavyzdžiuose iki begalybės ir apsvarstykime neapibrėžtumą: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5 pavyzdys
Apskaičiuokite $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Sprendimas
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ką daryti? Ką turėčiau daryti? Neišsigąskite, nes neįmanoma yra įmanoma. Būtina išimti x iš skaitiklio ir vardiklio, o tada jį sumažinti. Po to pabandykite apskaičiuoti ribą. Pabandykime... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Naudodami apibrėžimą iš 2 pavyzdžio ir pakeisdami x begalybę, gauname: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Atsakymas
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Ribų skaičiavimo algoritmas

Taigi, trumpai apibendrinkime pavyzdžius ir sukurkime ribų sprendimo algoritmą:

Pakeiskite tašką x į išraišką po ribinio ženklo. Jei gaunamas tam tikras skaičius arba begalybė, tada riba yra visiškai išspręsta. Kitu atveju turime neapibrėžtumo: „nulis padalintas iš nulio“ arba „begalybė padalintas iš begalybės“ ir pereikite prie kitų instrukcijų punktų.
Norėdami pašalinti „nulis padalytas iš nulio“ neapibrėžtumą, turite atsižvelgti į skaitiklį ir vardiklį. Sumažinkite panašių. Pakeiskite tašką x į išraišką po ribos ženklu.
Jei neapibrėžtis yra „begalybė, padalyta iš begalybės“, tada išimame ir skaitiklį, ir vardiklį x iki didžiausio laipsnio. Sutrumpiname X. Mes pakeičiame x reikšmes iš žemiau ribos į likusią išraišką.

Šiame straipsnyje sužinojote apie ribų sprendimo pagrindus, kurie dažnai naudojami skaičiavimo kurse. Žinoma, tai ne visos egzaminuotojų siūlomos problemos, o tik paprasčiausios ribos. Apie kitų tipų užduotis kalbėsime būsimuose straipsniuose, bet pirmiausia turite išmokti šią pamoką, kad galėtumėte judėti pirmyn. Aptarkime, ką daryti, jei yra šaknys, laipsniai, išstudijuokime be galo mažas ekvivalentines funkcijas, reikšmingas ribas, L'Hopital taisyklę.

Jei patys negalite suprasti ribų, nepanikuokite. Mes visada džiaugiamės galėdami padėti!

Skaičių seka.
kaip?

Šioje pamokoje sužinosime daug įdomių dalykų iš didelės bendruomenės, vadinamos Vkontakte, narių gyvenimo skaičių sekos. Nagrinėjama tema susijusi ne tik su matematinės analizės eiga, bet ir paliečia pagrindinius dalykus diskrečiąją matematiką. Be to, medžiaga bus reikalinga norint įvaldyti kitas bokšto dalis, ypač tyrimo metu skaičių serija Ir funkcinė serija. Galima banaliai pasakyti, kad tai svarbu, galima padrąsinančiai pasakyti, kad tai paprasta, galima pasakyti daug daugiau įprastų frazių, bet šiandien pirma, neįprastai tingi savaitė mokykloje, todėl siaubingai glumina rašyti pirmą pastraipą =) Jau išsaugojau failą širdyse ir ruošiausi miegoti, kai staiga... galvą nušvietė mintis apie nuoširdų prisipažinimą, kuri neįtikėtinai praskaidrino sielą ir pastūmėjo toliau baksnoti pirštais į klaviatūrą .

Pailsėkime nuo vasaros prisiminimų ir pažvelkime į šį žavų ir teigiamą naujojo socialinio tinklo pasaulį:

Skaičių sekos samprata

Pirmiausia pagalvokime apie patį žodį: kas yra seka? Seka yra tada, kai kažkas po ko nors seka. Pavyzdžiui, veiksmų seka, sezonų seka. Arba kai kas nors yra už kažkieno. Pavyzdžiui, žmonių seka eilėje, dramblių seka kelyje į girdyklą.

Iš karto išsiaiškinkime būdingus sekos bruožus. Pirma, sekos nariai yra įsikūrę griežtai tam tikra tvarka. Taigi, jei du žmonės eilėje bus sukeisti, tai jau bus kitas seka. Antra, visi sekos narys Galite priskirti serijos numerį:

Tas pats ir su skaičiais. Leiskite visiems gamtos vertybė pagal kažkokią taisyklę suderintas su tikru skaičiumi. Tada jie sako, kad pateikiama skaitinė seka.

Taip, matematiniuose uždaviniuose, skirtingai nei gyvenimo situacijose, seka beveik visada apima be galo daug numeriai.

Šiuo atveju:
paskambino pirmasis narys sekos;
– antrasis narys sekos;
– trečiasis narys sekos;
…
– nth arba bendras narys sekos;
…

Praktikoje dažniausiai pateikiama seka bendra termino formulė, Pavyzdžiui:
– teigiamų lyginių skaičių seka:

Taigi įrašas vienareikšmiškai nustato visus sekos narius – tai yra taisyklė (formulė), pagal kurią gamtos vertybės skaičiai dedami į korespondenciją. Todėl seka dažnai trumpai žymima bendru terminu, o vietoj „x“ gali būti naudojamos kitos lotyniškos raidės, pavyzdžiui:

Teigiamų nelyginių skaičių seka:

Kita įprasta seka:

Kaip daugelis tikriausiai pastebėjo, „en“ kintamasis atlieka savotiško skaitiklio vaidmenį.

Tiesą sakant, su skaičių sekomis nagrinėjome dar vidurinėje mokykloje. Prisiminkime aritmetinė progresija. Neperrašysiu apibrėžimo, paliesime esmę konkrečiu pavyzdžiu. Tegul pirmasis terminas ir – žingsnis aritmetinė progresija. Tada:
– antrasis šios progresijos terminas;
– trečiasis šios progresijos terminas;
- ketvirtas;
- penktasis;
…
Ir, aišku, duotas n-tasis terminas pasikartojantis formulę

Pastaba : pasikartojančioje formulėje kiekvienas paskesnis terminas išreiškiamas ankstesniu ar net visu ankstesnių terminų rinkiniu.

Gauta formulė praktiškai neduoda naudos – norint patekti, tarkime, į , reikia pereiti visus ankstesnius terminus. O matematikoje buvo išvesta patogesnė aritmetinės progresijos n-ojo nario išraiška: . Mūsų atveju:

Pakeiskite natūraliuosius skaičius į formulę ir patikrinkite aukščiau sudarytos skaitinės sekos teisingumą.

Panašius skaičiavimus galima atlikti geometrinė progresija, kurio n-tasis narys pateikiamas formule , kur yra pirmasis narys, ir – vardiklis progresija. Matematikos užduotyse pirmasis narys dažnai lygus vienetui.

progresija nustato seką ;
progresija nustato seką;
progresija nustato seką ;
progresija nustato seką .

Tikiuosi, visi žino, kad –1 nelyginiam laipsniui yra lygus –1, o lyginiam laipsniui – vienetui.

Progresas vadinamas be galo mažėja, jei (du paskutiniai atvejai).

Į savo sąrašą įtraukime du naujus draugus, iš kurių vienas ką tik pasibeldė į monitoriaus matricą:

Seka matematiniu žargonu vadinama „mirksėliu“:

Taigi, sekos nariai gali būti kartojami. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje seka susideda iš dviejų be galo besikeičiančių skaičių.

Ar pasitaiko, kad seka susideda iš identiškų skaičių? Žinoma. Pavyzdžiui, jis nustato begalinį skaičių „trijų“. Estetams yra atvejis, kai „en“ vis dar formaliai pasirodo formulėje:

Pakvieskime paprastą draugą pašokti:

Kas atsitinka, kai „en“ padidėja iki begalybės? Akivaizdu, kad sekos nariai bus be galo arti priartėti prie nulio. Tai yra šios sekos riba, kuri parašyta taip:

Jei sekos riba lygi nuliui, tada ji vadinama be galo mažas.

Matematinės analizės teorijoje pateikta griežtas sekos ribos apibrėžimas per vadinamąjį epsilonų rajoną. Kitas straipsnis bus skirtas šiam apibrėžimui, bet dabar pažvelkime į jo reikšmę:

Skaičių eilutėje pavaizduokime sekos ir kaimynystės sąlygas, simetriškas nulio atžvilgiu (riba):

Dabar suimkite mėlyną sritį delnų kraštais ir pradėkite ją mažinti, traukdami link ribos (raudonas taškas). Skaičius yra sekos riba, jei JOKIAI iš anksto pasirinktai apylinkei (tokio mažo, kiek norite) bus jo viduje be galo daug sekos nariai, o UŽ jos – tik galutinis narių skaičius (arba iš viso nėra). Tai yra, epsilonų kaimynystė gali būti mikroskopinė ir net mažesnė, tačiau sekos „begalinė uodega“ anksčiau ar vėliau turi būti pilnai patekti į zoną.

Seka taip pat be galo maža: su tuo skirtumu, kad jos nariai nešokinėja pirmyn ir atgal, o artėja prie ribos išskirtinai iš dešinės.

Natūralu, kad riba gali būti lygi bet kuriam kitam baigtiniam skaičiui, elementarus pavyzdys:

Čia trupmena linkusi į nulį, todėl riba yra lygi „du“.

Jei seka yra ribota riba, tada jis vadinamas susiliejantis(ypač be galo mažas adresu ). Kitaip - Seka, kuri neturi ribų, vadinama, šiuo atveju galimi du variantai: arba riba iš viso neegzistuoja, arba ji yra begalinė. Pastaruoju atveju seka vadinama be galo didelis. Pažvelkime į pirmosios pastraipos pavyzdžius:

Sekos yra be galo didelis, kai jų nariai užtikrintai juda link „pliuso begalybės“:

Aritmetinė progresija su pirmuoju nariu ir žingsniu taip pat yra be galo didelė:

Beje, bet kokia aritmetinė progresija taip pat skiriasi, išskyrus atvejį su nuliniu žingsniu - kai . Tokios sekos riba egzistuoja ir sutampa su pirmuoju terminu.

Sekos turi panašų likimą:

Bet kokia be galo mažėjanti geometrinė progresija, kaip aišku iš pavadinimo, be galo mažas:

Jei geometrinės progresijos vardiklis yra , tai seka yra be galo didelė:

Jei, pavyzdžiui, ribos iš viso neegzistuoja, nes nariai nenuilstamai šokinėja arba į „plius begalybę“, arba į „minus begalybę“. Sveikas protas ir Matano teoremos rodo, kad jei kažkas kažkur siekia, tai vienintelė branginama vieta.

Po nedidelio apreiškimo tampa aišku, kad dėl nevaldomo metimo kalta „blyksinti šviesa“, kuri, beje, išsiskiria savaime.
Iš tiesų, sekai nesunku pasirinkti -apylinkę, kuri, tarkime, fiksuoja tik skaičių –1. Dėl šios priežasties begalė sekos narių („pliusų vienetų“) liks už šios kaimynystės ribų. Bet pagal apibrėžimą, sekos „begalinė uodega“ nuo tam tikro momento (natūralus skaičius) turi būti pilnai eikite į bet kurią savo ribą. Išvada: dangus yra riba.

Faktorinis yra be galo didelis seka:

Be to, jis auga nepaprastai greitai, todėl tai yra daugiau nei 100 skaitmenų (skaitmenų) skaičius! Kodėl būtent 70? Ant jo mano inžinerinis mikroskaičiuotuvas prašo pasigailėjimo.

Su kontroliniu šūviu viskas yra šiek tiek sudėtingiau, o mes ką tik priėjome prie praktinės paskaitos dalies, kurioje analizuosime kovos pavyzdžius:

Bet dabar jūs turite sugebėti išspręsti funkcijų ribas bent dviejų pagrindinių pamokų lygiu: Ribos. Sprendimų pavyzdžiai Ir Nuostabios ribos. Kadangi daugelis sprendimo būdų bus panašūs. Bet pirmiausia panagrinėkime esminius skirtumus tarp sekos ribos ir funkcijos ribos:

Sekos ribose „dinaminis“ kintamasis „en“ gali būti linkęs tik iki „plius begalybės“– link didėjančių natūraliųjų skaičių .
Funkcijos ribose „x“ gali būti nukreiptas bet kur – į „pliuso/minuso begalybę“ arba į savavališką realųjį skaičių.

Pasekmė diskretiškas(nepertraukiamas), tai yra, jis susideda iš atskirų izoliuotų narių. Vienas, du, trys, keturi, penki, zuikis išėjo pasivaikščioti. Funkcijos argumentui būdingas tęstinumas, tai yra, „X“ sklandžiai, be incidentų, linksta į vieną ar kitą reikšmę. Ir atitinkamai, funkcijų reikšmės taip pat nuolat artėja prie savo ribos.

Dėl priežasties diskretiškumas sekose yra saviti dalykai, tokie kaip faktorialai, „mirksinčios lemputės“, progresijos ir kt. O dabar pabandysiu išanalizuoti ribas, kurios būdingos sekoms.

Pradėkime nuo progreso:

1 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Sprendimas: kažkas panašaus į be galo mažėjančią geometrinę progresiją, bet ar tai yra? Kad būtų aiškumo, užrašykite keletą pirmųjų terminų:

Nuo tada mes kalbame apie suma be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kuri apskaičiuojama pagal formulę, terminai.

Priimkime sprendimą:

Naudojame be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę: . Šiuo atveju: – pirmasis narys, – progresijos vardiklis.

2 pavyzdys

Parašykite pirmuosius keturis sekos narius ir raskite jos ribą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Norėdami pašalinti skaitiklio neapibrėžtumą, turėsite taikyti pirmųjų aritmetinės progresijos narių sumos formulę:
, kur yra pirmasis ir a yra n-tas progresijos narys.

Kadangi sekose „en“ visada linksta į „plius begalybė“, nenuostabu, kad neapibrėžtumas yra vienas populiariausių.
Ir daugelis pavyzdžių išsprendžiami lygiai taip pat, kaip ir funkcijų ribos!

O gal kažkas sudėtingesnio, pavyzdžiui ? Peržiūrėkite straipsnio pavyzdį Nr. 3 Ribų sprendimo būdai.

Formaliu požiūriu skirtumas bus tik vienoje raidėje - čia „x“, o čia „en“.
Technika ta pati - skaitiklis ir vardiklis turi būti padalyti iš „en“ iki didžiausio laipsnio.

Be to, sekų neapibrėžtumas yra gana dažnas. Kaip išspręsti tokias ribas kaip galima rasti to paties straipsnio pavyzdžiuose Nr.11-13.

Norėdami suprasti ribą, žr. pamokos 7 pavyzdį Nuostabios ribos(antroji žymi riba galioja ir atskiram atvejui). Sprendimas vėl bus tarsi kopija su vienos raidės skirtumu.

Kiti keturi pavyzdžiai (Nr. 3-6) taip pat yra „dvipusiai“, tačiau praktiškai kažkodėl labiau būdingi sekos riboms, o ne funkcijų riboms:

3 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Sprendimas: pirmiausia visas sprendimas, tada žingsnis po žingsnio komentarai:

(1) Skaitiklyje formulę naudojame du kartus.

(2) Panašius terminus pateikiame skaitiklyje.

(3) Norėdami pašalinti neapibrėžtumą, padalykite skaitiklį ir vardiklį iš („en“ iki didžiausio laipsnio).

Kaip matote, nieko sudėtingo.

4 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, sutrumpintos daugybos formulės padėti.

Per s orientacinis Sekose naudojamas panašus skaitiklio ir vardiklio padalijimo metodas:

5 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Sprendimas Sutvarkykime pagal tą pačią schemą:

Panaši teorema, beje, galioja ir funkcijoms: apribotos funkcijos ir be galo mažos funkcijos sandauga yra be galo maža funkcija.

9 pavyzdys

Raskite sekos ribą

Šis internetinis matematikos skaičiuotuvas padės jums, jei to prireiks apskaičiuokite funkcijos ribą. Programa sprendimo ribos ne tik duoda atsakymą į problemą, bet ir veda išsamus sprendimas su paaiškinimais, t.y. rodomas limito skaičiavimo procesas.

Ši programa gali praversti bendrojo lavinimo mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą.

O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakyla.
Įveskite funkcijos išraišką

Apskaičiuokite limitą
Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.

Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.
Jūsų naršyklėje išjungtas JavaScript.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.

Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas. Palaukite

sek... Jeigu jūs sprendime pastebėjo klaidą
, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje. Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką.

įveskite laukelius

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Funkcijos riba x->x 0

Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta tam tikroje aibėje X ir tegul taškas $x_0 \in X$ arba $x_0 \notin X$
Paimkime iš X taškų seką, kuri skiriasi nuo x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
suartėja su x*. Funkcijų reikšmės šios sekos taškuose taip pat sudaro skaitinę seką
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)

ir galima kelti jos ribos egzistavimo klausimą. Apibrėžimas

. Skaičius A vadinamas funkcijos f(x) riba taške x = x 0 (arba x -> x 0), jei bet kuriai argumento x reikšmių sekai (1) skiriasi nuo x 0 konverguojant į x 0, atitinkama reikšmių seka (2) konverguoja į skaičių A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
Funkcija f(x) taške x 0 gali turėti tik vieną ribą. Tai išplaukia iš to, kad seka

(f(x n)) turi tik vieną ribą.

ir galima kelti jos ribos egzistavimo klausimą. Skaičius A vadinamas funkcijos f(x) riba taške x = x 0, jei bet kuriam skaičiui $\varepsilon > 0$ yra skaičius $\delta > 0$, kad visiems \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), tenkinant nelygybę $|x-x_0| Naudojant loginius simbolius, šis apibrėžimas gali būti parašytas kaip
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Atkreipkite dėmesį, kad nelygybės \(x \neq x_0) , \; x-x_0 | \(\varepsilon - \delta $“.
Šie du funkcijos ribos apibrėžimai yra lygiaverčiai ir galite naudoti bet kurį iš jų, priklausomai nuo to, kuris yra patogesnis sprendžiant konkrečią problemą.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos ribos apibrėžimas „sekų kalba“ dar vadinamas funkcijos ribos apibrėžimu pagal Heine, o funkcijos ribos apibrėžimas „kalba $\varepsilon - \delta $“ dar vadinamas funkcijos ribos apibrėžimu pagal Koši.

Funkcijos riba x->x 0 - ir x->x 0 +

Toliau naudosime vienpusių funkcijos ribų sąvokas, kurios apibrėžiamos taip.

ir galima kelti jos ribos egzistavimo klausimą. Skaičius A vadinamas dešiniąja (kairiąja) funkcijos f(x) riba taške x 0, jei bet kuriai sekai (1), konverguojančiai į x 0, kurios elementai x n yra didesni (mažesni už) x 0, atitinkama seka (2) susilieja su A.

Simboliškai parašyta taip:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Galime pateikti lygiavertį funkcijos vienpusių ribų apibrėžimą „kalba $\varepsilon - \delta $“:

ir galima kelti jos ribos egzistavimo klausimą. skaičius A vadinamas dešiniąja (kairiąja) funkcijos f(x) riba taške x 0, jei bet kuriam $\varepsilon > 0$ yra $\delta > 0$ taip, kad visus x atitinka nelygybės \(x_0 simboliniai įrašai:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Sekų ir funkcijų ribų sampratos. Kai reikia rasti sekos ribą, ji rašoma taip: lim xn=a. Tokioje sekų sekoje xn linksta į a, o n – į begalybę. Seka paprastai vaizduojama kaip serija, pavyzdžiui:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Sekos skirstomos į didėjančias ir mažėjančias. Pavyzdžiui:
xn=n^2 – didėjanti seka
yn=1/n – seka
Taigi, pavyzdžiui, sekos xn=1/n^ riba:
lim 1/n^2=0

x→∞
Ši riba lygi nuliui, nes n→∞, o seka 1/n^2 linkusi į nulį.

Paprastai kintamasis dydis x yra linkęs į baigtinę ribą a, o x nuolat artėja prie a, o dydis a yra pastovus. Tai parašyta taip: limx =a, o n taip pat gali būti linkęs arba į nulį, arba į begalybę. Yra begalės funkcijų, kurių riba linkusi į begalybę. Kitais atvejais, kai, pavyzdžiui, funkcija sulėtina traukinį, gali būti, kad riba gali siekti nulį.
Limitai turi keletą savybių. Paprastai bet kuri funkcija turi tik vieną ribą. Tai yra pagrindinė ribos savybė. Kiti išvardyti žemiau:
* Sumos limitas yra lygus limitų sumai:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Produkto limitas yra lygus limitų sandaugai:
lim(xy)=lim x*lim y
* Dalinio riba yra lygi ribų daliniui:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Pastovus koeficientas imamas už ribinio ženklo ribų:
lim(Cx)=C lim x
Duota funkcija 1 /x, kurioje x →∞, jos riba lygi nuliui. Jei x→0, tokios funkcijos riba yra ∞.
Trigonometrinėms funkcijoms yra keletas šių taisyklių. Kadangi funkcija sin x visada linkusi į vienybę, kai artėja prie nulio, jai galioja tapatybė:
lim sin x/x=1

Daugelyje funkcijų yra funkcijų, kurių ribas skaičiuojant atsiranda neapibrėžtumas – situacija, kai ribos negalima apskaičiuoti. Vienintelė išeitis iš šios situacijos yra „L'Hopital“. Yra dviejų tipų neapibrėžtumas:
* formos neapibrėžtis 0/0
* formos ∞/∞ neapibrėžtis
Pavyzdžiui, pateikiama tokios formos riba: lim f(x)/l(x), ir f(x0)=l(x0)=0. Šiuo atveju iškyla 0/0 formos neapibrėžtis. Norint išspręsti tokią problemą, abi funkcijos yra diferencijuojamos, po to randama rezultato riba. 0/0 tipo neapibrėžčių riba yra:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (esant x → 0)
Ta pati taisyklė galioja ir ∞/∞ tipo neapibrėžčiai. Bet šiuo atveju teisinga tokia lygybė: f(x)=l(x)=∞
Naudodami L'Hopital taisyklę galite rasti bet kokių ribų, kuriose atsiranda neapibrėžčių, reikšmes. Būtina sąlyga

apimtis – jokių klaidų ieškant išvestinių. Taigi, pavyzdžiui, funkcijos (x^2)" išvestinė yra lygi 2x. Iš čia galime daryti išvadą, kad:
f"(x)=nx^(n-1)