Vektorių atėmimas iš. Skirtumo apskaičiavimas grafiškai

X ir y vadinamas vektoriumi z toks kad z+y=x.

1 variantas. Visų vektorių pradžios taškai sutampa su koordinačių pradžia.

Sukonstruokime vektorių skirtumą ir .

Norėdami pavaizduoti vektorių skirtumą z=x-y, reikia pridėti vektorių x su priešinga y vektorius y". Priešingas vektorius y" lengva statyti:

Vektorius y" yra priešingas vektoriui y, nes y+y"= 0, kur 0 yra atitinkamo dydžio nulinis vektorius. Toliau atliekamas vektorių pridėjimas x Ir y":

Iš (1) išraiškos aišku, kad norint sukurti skirtumą tarp vektorių, pakanka apskaičiuoti atitinkamų vektorių koordinačių skirtumus x Ir y.

Ryžiai. 1

Nuotraukoje pav. 1 dvimatėje erdvėje pavaizduotas vektorių skirtumas x=(10.3) ir y=(2,4).

Paskaičiuokime z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). Palyginkime gautą rezultatą su geometrine interpretacija. Iš tiesų, sukūrus vektorių y" ir lygiagretus vektoriaus pradžios taško judėjimas y" iki vektoriaus pabaigos taško x, gauname vektorių y"", o pridėjus vektorius x Ir y"", gauname vektorių z.

2 variantas. Vektorių pradžios taškai yra savavališki.

Ryžiai. 2

Nuotraukoje pav. 2 dvimatėje erdvėje pavaizduotas vektorių skirtumas x=AB Ir y=CD, Kur A(1,0), B(11,3), C(1,2), D(3.6). Norėdami apskaičiuoti vektorių z=x-y, sukonstruotas priešais vektoriui y vektorius y":

Toliau reikia pridėti vektorius x Ir y". Vektorius y" juda lygiagrečiai taip, kad taškas C" sutapo su tašku B. Tam apskaičiuojami taškų koordinačių skirtumai B Ir SU.

ov, pirmiausia turite suprasti tokią sąvoką kaip vektoriaus atidėjimas nuo tam tikro taško.

1 apibrėžimas

Jei taškas $A$ yra bet kurio vektoriaus $\overrightarrow(a)$ pradžia, tai vektorius $\overrightarrow(a)$ yra atidėtas nuo taško $A$ (1 pav.).

1 pav. $\overrightarrow(a)$ nubrėžta iš taško $A$

Pateikiame tokią teoremą:

1 teorema

Iš bet kurio taško $K$ galima nubraižyti vektorių $\overrightarrow(a)$ ir, be to, tik vieną.

Įrodymas.

Egzistavimas:Čia reikia apsvarstyti du atvejus:

Vektorius $\overrightarrow(a)$ yra nulis.

Šiuo atveju akivaizdu, kad norimas vektorius yra vektorius $\overrightarrow(KK)$.

Vektorius $\overrightarrow(a)$ yra ne nulis.

Tašku $A$ pažymėkime vektoriaus $\overrightarrow(a)$ pradžią, o tašku $B$ vektoriaus $\overrightarrow(a)$ pabaigą. Nubrėžkime tiesę $b$ per tašką $K$ lygiagrečiai vektoriui $\overrightarrow(a)$. Šioje tiesėje pavaizduokime segmentus $\left|KL\right|=|AB|$ ir $\left|KM\right|=|AB|$. Apsvarstykite vektorius $\overrightarrow(KL)$ ir $\overrightarrow(KM)$. Iš šių dviejų vektorių norimas bus tas, kuris bus nukreiptas kartu su vektoriumi $\overrightarrow(a)$ (2 pav.)

2 pav. 1 teoremos iliustracija

Unikalumas: unikalumas iš karto išplaukia iš „egzistencijos“ taške atliktos statybos.

Teorema įrodyta.

Vektorių atėmimas. Taisyklė viena

Pateikiame vektorius $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$.

2 apibrėžimas

Dviejų vektorių $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$ skirtumas yra vektorius $\overrightarrow(c)$, kurį pridėjus prie vektoriaus $\overrightarrow(b)$, gaunamas vektorius $\ overrightarrow(a)$ , tai yra

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Pavadinimas:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Apsvarstykime, kaip sukurti skirtumą tarp dviejų vektorių naudojant problemą.

1 pavyzdys

Tegu pateikiami vektoriai $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$. Sukurkite vektorių $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Sprendimas.

Sukonstruokime savavališką tašką $O$ ir iš jo nubraižykime vektorius $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$. Sujungę tašką $B$ su tašku $A$, gauname vektorių $\overrightarrow(BA)$ (3 pav.).

3 pav. Dviejų vektorių skirtumas

Naudodami trikampio taisyklę dviejų vektorių sumai sudaryti, matome, kad

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

Iš 2 apibrėžimo mes tai gauname

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Atsakymas:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

Iš šios problemos gauname tokią dviejų vektorių skirtumo nustatymo taisyklę. Norėdami rasti skirtumą $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, turite nubraižyti vektorius $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b) iš savavališką tašką $O$ )$ ir antrojo vektoriaus galą sujunkite su pirmojo vektoriaus pabaiga.

Vektorių atėmimas. Antra taisyklė

Prisiminkime šią mums reikalingą sąvoką.

3 apibrėžimas

Vektorius $\overrightarrow(a_1)$ vadinamas savavališku vektoriaus $\overrightarrow(a)$ atveju, jei šie vektoriai yra priešingos krypties ir yra vienodo ilgio.

Pavadinimas: Vektorius $(-\overrightarrow(a))$ yra priešingas vektoriui $\overrightarrow(a)$.

Norėdami įvesti antrąją dviejų vektorių skirtumo taisyklę, pirmiausia turime įvesti ir įrodyti šią teoremą.

2 teorema

Bet kokiems dviem vektoriams $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$ galioja ši lygybė:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Įrodymas.

Pagal 2 apibrėžimą mes turime

Prie abiejų dalių pridedame vektorių $\left(-\overrightarrow(b)\right)$, gauname

Kadangi vektoriai $\overrightarrow(b)$ ir $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ yra priešingi, tada $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ dešinėn rodyklė (0)$. Turime

Teorema įrodyta.

Iš šios teoremos gauname tokią skirtumo tarp dviejų vektorių taisyklę: Norėdami rasti skirtumą $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, turime nubraižyti vektorių $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ iš savavališko taško $O$, tada iš gauto taško $A$ nubraižykite vektorių $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ ir sujunkite pirmojo vektoriaus pradžią su taško pabaiga antrasis vektorius.

Vektorių skirtumo sampratos uždavinio pavyzdys

2 pavyzdys

Pateikiame lygiagretainį $ADCD$, kurio įstrižainės susikerta taške $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (4 pav.). Išreikškite šiuos vektorius per vektorius $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$:

a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

4 pav. Lygiagretainė

Sprendimas.

a) Sudėjimą atliekame pagal trikampio taisyklę, gauname

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

Iš pirmosios dviejų vektorių skirtumo taisyklės gauname

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) Kadangi $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, gauname

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

Pagal 2 teoremą mes turime

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Pagal trikampio taisyklę mes pagaliau turime

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Matematikoje ir fizikoje studentai ir moksleiviai dažnai susiduria su vektoriniais dydžiais ir įvairių su jais operacijų atlikimu susijusiomis problemomis. Kuo skiriasi vektoriniai dydžiai nuo mums įprastų skaliarinių dydžių, kurių vienintelė charakteristika yra jų skaitinė reikšmė? Faktas yra tas, kad jie turi kryptį.

Vektorių dydžių naudojimas aiškiausiai paaiškinamas fizikoje. Paprasčiausi pavyzdžiai yra jėgos (trinties jėga, tamprumo jėga, svoris), greitis ir pagreitis, nes, be skaitinių verčių, jie taip pat turi veikimo kryptį. Palyginimui, duokime skaliarinių dydžių pavyzdys: Tai gali būti atstumas tarp dviejų taškų arba kūno masė. Kodėl reikia atlikti vektorinių dydžių operacijas, tokias kaip sudėjimas ar atėmimas? Tai būtina, kad būtų galima nustatyti vektorinės sistemos, susidedančios iš 2 ar daugiau elementų, veikimo rezultatą.

Vektorinės matematikos apibrėžimai

Pateiksime pagrindinius apibrėžimus, naudojamus atliekant tiesines operacijas.

Vektorius yra nukreipta atkarpa (turinti pradžios ir pabaigos tašką).
Ilgis (modulis) yra nukreiptos atkarpos ilgis.
Kolineariniai yra du vektoriai, kurie yra lygiagrečiai tai pačiai linijai arba tuo pačiu metu guli ant jos.
Priešingai nukreipti vektoriai vadinami kolineariniais ir tuo pačiu nukreipti į skirtingas puses. Jei jų kryptis sutampa, vadinasi, jie yra vienakrypčiai.
Vektoriai yra lygūs, kai yra vienodos krypties ir vienodo dydžio.
Dviejų vektorių suma a Ir b yra toks vektorius c, kurio pradžia sutampa su pirmojo pradžia, o pabaiga su antrojo pabaiga, jei b prasideda tame pačiame taške, kur baigiasi a.
Vektorių skirtumas a Ir b nurodykite sumą a Ir ( - b ), kur ( - b ) – nukreiptas priešingai vektoriui b. Taip pat dviejų vektorių skirtumo apibrėžimas gali būti pateiktas taip: skirtumas c vektorių poros a Ir b jie tai vadina c, kurį pridėjus prie pogrupio b formuoja minuendą a.

Analitinis metodas

Analitinis metodas apima skirtumo koordinačių gavimą naudojant formulę be braižymo. Galima atlikti plokščios (dvimatės), tūrinės (trimatės) arba n-matės erdvės skaičiavimus.

Skirta dvimačiai erdvei ir vektoriniai dydžiai a {a₁;a₂) Ir b {b₁;b₂} skaičiavimai atrodys taip: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

Pridedant trečią koordinatę, skaičiavimas bus atliekamas panašiai ir už a {a₁;a₂; a₃) Ir b {b₁;b₂; b₃) skirtumo koordinatės taip pat bus gaunamos atimant porą: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃ – b₃}.

Skirtumo apskaičiavimas grafiškai

Norėdami grafiškai sukonstruoti skirtumą, turėtumėte naudoti trikampio taisyklę. Norėdami tai padaryti, turite atlikti šią veiksmų seką:

Naudodamiesi nurodytomis koordinatėmis, sukurkite vektorius, kurių skirtumą reikia rasti.
Sujunkite jų galus (ty sukurkite du nukreiptus segmentus, lygius duotiesiems, kurie baigsis tame pačiame taške).
Sujunkite abiejų nukreiptų atkarpų pradžią ir nurodykite kryptį; Rezultatas prasidės tame pačiame taške, kur prasidėjo vektorius, kuris yra minuend, ir baigsis taške, kur prasideda subtrahenda.

Atimties operacijos rezultatas parodytas paveikslėlyje žemiau.

Taip pat yra skirtumo konstravimo metodas, kuris šiek tiek skiriasi nuo ankstesnio. Jo esmė slypi vektorių skirtumo teoremos taikyme, kuri suformuluota taip: norint rasti nukreiptų atkarpų poros skirtumą, pakanka rasti pirmosios iš jų sumą su atkarpa, nukreipta priešingai antra. Konstravimo algoritmas atrodys taip:

Sukurkite pradinius nukreiptus segmentus.
Tas, kuris atimamas, turi būti atspindėtas, tai yra, sukonstruoti priešingai nukreiptą ir jam lygų atkarpą; tada sujunkite jo pradžią su minuend.
Sudarykite sumą: sujunkite pirmojo segmento pradžią su antrojo atkarpos pabaiga.

Šio sprendimo rezultatas parodytas paveikslėlyje:

Problemų sprendimas

Norėdami įtvirtinti įgūdžius, išanalizuosime keletą užduočių, kuriose analitiškai arba grafiškai reikės apskaičiuoti skirtumą.

1 problema. Plokštumoje yra duoti 4 taškai: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Nustatykite vektoriaus q = AB - CD koordinates, taip pat apskaičiuokite jo ilgį.

Sprendimas. Pirmiausia reikia rasti koordinates AB Ir CD. Norėdami tai padaryti, atimkite pradinių taškų koordinates iš galinių taškų koordinačių. Už AB pradžia yra A(1; -3), o pabaiga – B(0; 4). Apskaičiuokime nukreiptos atkarpos koordinates:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Panašus skaičiavimas atliekamas CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Dabar, žinodami koordinates, galite rasti skirtumą tarp vektorių. Anksčiau buvo svarstoma plokštumos uždavinių analitinio sprendimo formulė: už c = a- b koordinatės turi formą ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Konkrečiu atveju galite parašyti:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Norėdami rasti ilgį q, naudokime formulę | q| = √(q₁² + q₂²) = √((-9)² + (-1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

2 problema. Paveiksle pavaizduoti vektoriai m, n ir p.

Jiems būtina sukonstruoti skirtumus: p- n; m- n; m- n- p. Sužinokite, kuris iš jų turi mažiausią modulį.

Sprendimas. Problemai reikia trijų konstrukcijų. Pažvelkime į kiekvieną užduoties dalį išsamiau.

1 dalis. Norint pavaizduoti p- n, Naudokime trikampio taisyklę. Norėdami tai padaryti, naudodami lygiagretųjį vertimą, sujungiame segmentus taip, kad jų galas sutaptų. Dabar sujungkime pradinius taškus ir nustatykime kryptį. Mūsų atveju skirtumo vektorius prasideda toje pačioje vietoje, kur ir subtrahend n.

2 dalis. Pavaizduokime m - n. Dabar, norėdami išspręsti, naudosime vektorių skirtumo teoremą. Norėdami tai padaryti, sukurkite priešingą vektorių n, ir tada suraskite jo sumą su m. Gautas rezultatas atrodys taip:

3 dalis. Norėdami rasti skirtumą m - n - p, turėtumėte padalyti išraišką į du veiksmus. Kadangi vektorinės algebros dėsniai yra panašūs į aritmetikos dėsnius, galimos šios parinktys:

m – (n + p): šiuo atveju pirmiausia brėžiama suma n+p, kuris vėliau atimamas iš m;
(m - n) - p: čia pirmiausia reikia rasti m - n, tada atimkite iš šio skirtumo p;
(m - p) - n: nustatomas pirmasis veiksmas m - p, po kurio reikia atimti iš gauto rezultato n.

Kadangi ankstesnėje problemos dalyje jau radome skirtumą m - n, tereikia iš jo atimti p. Sukurkime skirtumą tarp dviejų duotųjų vektorių naudodami skirtumo teoremą. Atsakymas parodytas paveikslėlyje žemiau (raudona spalva rodo tarpinį rezultatą, o žalia - galutinį rezultatą).

Belieka nustatyti, kuris iš segmentų turi mažiausią modulį. Prisiminkime, kad ilgio ir modulio sąvokos vektorinėje matematikoje yra identiškos. Vizualiai įvertinkime ilgius p- n, m- n Ir m- n-p. Akivaizdu, kad trumpiausias ir mažiausią modulį turintis atsakymas yra atsakymas paskutinėje problemos dalyje, būtent m- n-p.

Vektorius – matematinis objektas, kuriam būdingas dydis ir kryptis (pavyzdžiui, pagreitis, poslinkis), išmestas iš skaliarų, kurie neturi krypties (pavyzdžiui, atstumo, energijos). Skalierius galima sudėti sudedant jų reikšmes (pavyzdžiui, 5 kJ darbo plius 6 kJ darbo yra lygus 11 kJ darbo), tačiau vektorius nėra taip paprasta sudėti ir atimti.

Žingsniai

Vektorių su žinomais komponentais pridėjimas ir atėmimas

Kadangi vektoriai turi dydį ir kryptį, juos galima išskaidyti į komponentus pagal x, y ir (arba) z matmenis.<х,у,z>Paprastai jie žymimi taip pat kaip taškai koordinačių sistemoje (pavyzdžiui,

). Jei komponentai žinomi, vektorių pridėjimas / atėmimas yra toks pat paprastas kaip x, y, z koordinačių pridėjimas / atėmimas.
Atkreipkite dėmesį, kad vektoriai gali būti vienmačiai, dvimačiai arba trimačiai. Taigi vektoriai gali turėti „x“ komponentą, „x“ ir „y“ komponentus arba „x“, „y“, „z“ komponentus. 3D vektoriai aprašyti toliau, tačiau 1D ir 2D vektorių procesas yra panašus. Tarkime, kad jums pateikti du trimačiai vektoriai – vektorius A ir vektorius B. Parašykite šiuos vektorius vektorine forma: A = ir B =

Norėdami pridėti du vektorius, pridėkite atitinkamus jų komponentus. Kitaip tariant, pridėkite pirmojo vektoriaus x komponentą prie antrojo vektoriaus x komponento (ir taip toliau). Dėl to gausite gauto vektoriaus komponentus x, y, z.
- A+B = .
- Sudėkime vektorius A ir B. A =<5, 9, -10>Tarkime, kad jums pateikti du trimačiai vektoriai – vektorius A ir vektorius B. Parašykite šiuos vektorius vektorine forma: A =<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, arba <22, 6, -12> .
Norėdami atimti vieną vektorių iš kito, turite atimti atitinkamus komponentus. Kaip bus parodyta toliau, atimtį galima pakeisti pridedant vieną vektorių ir atvirkštinį kito vektorių. Jei žinomi dviejų vektorių komponentai, atimkite atitinkamus vieno vektoriaus komponentus iš kito komponentų.
- A-B =
- Atimti vektorius A ir B. A =<18, 5, 3>Tarkime, kad jums pateikti du trimačiai vektoriai – vektorius A ir vektorius B. Parašykite šiuos vektorius vektorine forma: A =<-10, 9, -10>. A – B =<18--10, 5-9, 3--10>, arba <28, -4, 13> .
Grafinis sudėjimas ir atėmimas
1. Kadangi vektoriai turi dydį ir kryptį, jie turi pradžią ir pabaigą (pradžios ir pabaigos tašką, atstumas tarp kurių yra lygus vektoriaus reikšmei).
  - Kai vektorius atvaizduojamas grafiškai, jis brėžiamas kaip rodyklė, kurios galas yra vektoriaus pabaiga, o priešingas taškas yra vektoriaus pradžia.
2. Braižydami vektorius, labai tiksliai nubrėžkite visus kampus; kitaip gausite neteisingą atsakymą.
  - Norėdami pridėti vektorius, nubrėžkite juos taip, kad kiekvieno ankstesnio vektoriaus pabaiga būtų sujungta su kito vektoriaus pradžia.
3. Jei pridedate tik du vektorius, tai viskas, ką turite padaryti prieš surasdami gautą vektorių.
  
  Atkreipkite dėmesį, kad vektorių sujungimo tvarka nėra svarbi, ty vektorius A + vektorius B = vektorius B + vektorius A.
4. Norėdami atimti vektorių, tiesiog pridėkite atvirkštinį vektorių, tai yra, pakeiskite atimto vektoriaus kryptį ir sujunkite jo pradžią su kito vektoriaus pabaiga.
  - Jeigu labai tiksliai nubrėžėte vektorių ilgius ir kampus tarp jų, tuomet gauto vektoriaus reikšmę galite rasti tiesiog išmatuodami jo ilgį. Be to, galite išmatuoti kampą (tarp gauto vektoriaus ir kito nurodyto vektoriaus arba horizontalių / vertikalių linijų), kad surastumėte gauto vektoriaus kryptį.
  - Jei labai tiksliai nubrėžėte vektorių ilgius ir kampus tarp jų, tada gauto vektoriaus reikšmę galite rasti naudodami trigonometriją, būtent sinuso teoremą arba kosinuso teoremą. Jei pridedate kelis vektorius (daugiau nei du), pirmiausia pridėkite du vektorius, tada pridėkite gautą vektorių ir trečią vektorių ir pan. Daugiau informacijos rasite kitame skyriuje.
5. Pateikite gautą vektorių, nurodydami jo reikšmę ir kryptį. Kaip minėta aukščiau, jei labai tiksliai nubrėžėte pridedamų vektorių ilgius ir kampus tarp jų, tada gauto vektoriaus reikšmė yra lygi jo ilgiui, o kryptis yra kampas tarp jo ir vertikalios arba horizontalios linijos. . Prie vektoriaus reikšmės nepamirškite priskirti matavimo vienetų, kuriuose pateikiami pridėti/atimti vektoriai.
  - Pavyzdžiui, jei pridedate greičio vektorius, išmatuotus m/s, tada prie gauto vektoriaus vertės pridėkite „m/s“, taip pat nurodykite gauto vektoriaus kampą formatu „o iki horizontalios linijos“.
Vektorių pridėjimas ir atėmimas ieškant jų komponentų reikšmių
1. Norėdami rasti vektoriaus komponentų reikšmes, turite žinoti pačių vektorių reikšmes ir jų kryptį (kampą horizontalios arba vertikalios linijos atžvilgiu).
  - Apsvarstykite dvimatį vektorių. Padarykite jį stačiojo trikampio hipotenuse, tada šio trikampio kojos (lygiagrečios X ir Y ašims) bus vektoriaus komponentai. Šie komponentai gali būti laikomi dviem sujungtais vektoriais, kuriuos sudėjus kartu gaunamas pradinis vektorius.
  - Dviejų pradinio vektoriaus komponentų (x ir y komponentų) ilgius (reikšmes) galima apskaičiuoti naudojant trigonometriją. Jei "x" yra pradinio vektoriaus reikšmė (modulis), tada vektoriaus komponentas, esantis greta pradinio vektoriaus kampo, yra xcosθ, o vektoriaus komponentas, priešingas pradinio vektoriaus kampui, yra xsinθ.
  - Pavyzdžiui, duotas vektorius, kurio modulis (reikšmė) yra 3 ir kryptis 135 o (palyginti su horizontalia). Tada "x" komponentas yra lygus 3cos 135 = -2,12, o "y" komponentas yra lygus 3sin135 = 2,12.
2. Suradę visų pridedamų vektorių komponentus, tiesiog pridėkite jų reikšmes ir suraskite gauto vektoriaus komponentų reikšmes.
  - Pirmiausia sudėkite visų horizontalių komponentų (ty komponentų, lygiagrečių su X ašimi) reikšmes. Tada sudėkite visų vertikalių komponentų (ty komponentų, lygiagrečių Y ašiai) reikšmes. Jei komponento vertė yra neigiama, ji atimama, o ne pridedama.<-2,12, 2,12>Pavyzdžiui, pridėkime vektorių<5,78, -9>ir vektorius<-2,12 + 5,78, 2,12-9>. Gautas vektorius bus toks<3,66, -6,88>.
3. arba Apskaičiuokite gauto vektoriaus ilgį (reikšmę) naudodami Pitagoro teoremą:
  - c 2 =a 2 +b 2 (kadangi pradinio vektoriaus ir jo komponentų sudarytas trikampis yra stačiakampis). Šiuo atveju kojos yra gauto vektoriaus „x“ ir „y“ komponentai, o hipotenuzė yra pats gautas vektorius.
- Pavyzdžiui, jei mūsų pavyzdyje sudėjote jėgą, išmatuotą niutonais, atsakymą parašykite taip: 7,79 N -61,99 o kampu (į horizontalią ašį).
- Nepainiokite vektorių su jų moduliais (vertėmis).
- Vektorius, kurių kryptis ta pati, galima pridėti arba atimti tiesiog pridedant arba atimant jų reikšmes. Jei pridedami du priešingos krypties vektoriai, jų reikšmės atimamos, o ne pridedamos. Vektoriai, kurie vaizduojami kaip x i + y j + z k
- galima pridėti arba atimti tiesiog pridedant arba atimant atitinkamus koeficientus. Taip pat parašykite atsakymą forma i,j,k. Vektoriaus reikšmę trimatėje erdvėje galima rasti naudojant formulę, Kur a a 2 =b 2 + c 2 + d 2 - vektorinė vertė, Ir b, c, d
- - vektoriniai komponentai.