Prisiminkime reikiamą informaciją apie kompleksinius skaičius.
Sudėtingas skaičius yra formos išraiška a + bi, Kur a, b yra realūs skaičiai ir i- vadinamasis įsivaizduojamas vienetas, simbolis, kurio kvadratas lygus –1, tai yra i 2 = –1. Skaičius a paskambino tikroji dalis, ir numerį b - įsivaizduojama dalis kompleksinis skaičius z = a + bi. Jeigu b= 0, tada vietoj a + 0i jie tiesiog rašo a. Galima pastebėti, kad realieji skaičiai yra ypatingas kompleksinių skaičių atvejis.
Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais yra tokios pačios kaip ir su realiaisiais skaičiais: juos galima sudėti, atimti, dauginti ir padalyti vienas iš kito. Sudėjimas ir atėmimas vyksta pagal taisyklę ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, o daugyba vyksta pagal taisyklę ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (skelbimas + bc)i(čia jis naudojamas i 2 = –1). Skaičius = a – bi paskambino kompleksinis konjugatasĮ z = a + bi. Lygybė z · = a 2 + b 2 leidžia suprasti, kaip padalyti vieną kompleksinį skaičių iš kito (ne nulio) kompleksinio skaičiaus:
(Pavyzdžiui, 
.)
Sudėtiniai skaičiai turi patogų ir vaizdinį geometrinį vaizdą: skaičių z = a + bi gali būti pavaizduotas vektoriumi su koordinatėmis ( a; b) Dekarto plokštumoje (arba, kas yra beveik tas pats, taškas – vektoriaus su šiomis koordinatėmis pabaiga). Šiuo atveju dviejų kompleksinių skaičių suma vaizduojama kaip atitinkamų vektorių suma (kurią galima rasti naudojant lygiagretainio taisyklę). Pagal Pitagoro teoremą, vektoriaus ilgis su koordinatėmis ( a; b) yra lygus . Šis kiekis vadinamas modulis kompleksinis skaičius z = a + bi ir žymimas | z|. Kampas, kurį šis vektorius sudaro teigiama x ašies kryptimi (skaičiuojant prieš laikrodžio rodyklę), vadinamas argumentas kompleksinis skaičius z ir žymimas Arg z. Argumentas neapibrėžiamas vienareikšmiškai, o tik pridedant 2 kartotinį π
radianų (arba 360°, jei skaičiuojant laipsniais) – juk aišku, kad sukimasis tokiu kampu aplink pradžią vektoriaus nepakeis. Bet jei ilgio vektorius r sudaro kampą φ
su teigiama x ašies kryptimi, tada jos koordinatės yra lygios ( r cos φ
; r nuodėmė φ
). Iš čia paaiškėja trigonometrinis žymėjimas kompleksinis skaičius: z = |z| · (cos(Arg z) + i nuodėmė (Arg z)). Šia forma dažnai patogu rašyti kompleksinius skaičius, nes tai labai supaprastina skaičiavimus. Padauginti kompleksinius skaičius trigonometrine forma yra labai paprasta: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i nuodėmė (Arg z 1 + Arg z 2)) (dauginant du kompleksinius skaičius, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami). Iš čia sekti Moivre'o formulės: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i nuodėmė ( n· (Arg z))). Naudojant šias formules, lengva išmokti iš kompleksinių skaičių išskirti bet kokio laipsnio šaknis. n-oji z šaknis– tai kompleksinis skaičius w, Ką w n = z. Tai aišku 
, ir , kur k gali gauti bet kokią reikšmę iš aibės (0, 1, ..., n– 1). Tai reiškia, kad visada yra tiksliai nšaknys n kompleksinio skaičiaus laipsnis (plokštumoje jie yra dėsnio viršūnėse n-gon).
Teorema apie kompleksinių skaičių lauko egzistavimą. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma. Geometrinis kompleksinių skaičių aiškinimas, trigonometrinis žymėjimas, operacijos su kompleksiniais skaičiais trigonometrine forma.
Pagrindiniai įgūdžiai ir gebėjimai kuriuos studentai turėtų įsisavinti studijuodami šią temą:
Gebėti pavaizduoti kompleksinius skaičius koordinačių plokštumoje taškų ir spindulių vektoriais ir atvirkščiai;
Gebėti rasti modulį ir argumentą zC, pereiti nuo algebrinės kompleksinio skaičiaus rašymo formos prie trigonometrinės ir atvirkščiai;
Gebėti atlikti aritmetinius veiksmus su kompleksiniais skaičiais algebrine ir trigonometrine forma, suprasti jų geometrinę reikšmę;
Įgytas žinias panaudoti sprendžiant algebros ir geometrijos uždavinius.
Visos teorinės pozicijos ir praktinės šios temos išvados išplaukia iš kompleksinių skaičių lauko egzistavimo teoremos.
1 teorema: yra unikalus, iki izomorfizmo, laukas C, kuriame tenkinamos šios sąlygos:
1. R laukas yra C lauko polaukis.
3. zC х, yR: z = x + iy
Kompleksinio skaičiaus z užrašymas formoje x + iy vadinama jos algebrine forma, o (x) vadinama realiąja kompleksinio skaičiaus dalimi, iy yra įsivaizduojama dalis, o (y) yra įsivaizduojamosios dalies koeficientas. Pavadinimas: Re z – tikroji dalis, Im z – įsivaizduojama kompleksinio skaičiaus dalis.
Kadangi (z = x + iy) (C = R x R), tai geometriniu požiūriu bet kuris kompleksinis skaičius turi dvi vienodas geometrines interpretacijas (modelius).
a) koordinačių plokštumos taškas A (x, y);
b) spindulio vektorius, kurio galas yra taške, kurio koordinatės (x, y)
Geometrinis požiūris į kompleksinio skaičiaus sąvoką leidžia jį užrašyti vadinamąja trigonometrine forma.
Tam įvedamos kompleksinio skaičiaus modulio ir argumento sąvokos.
1 apibrėžimas: Kompleksinio skaičiaus z modulis yra kvadratinės šaknies iš x 2 + y 2 aritmetinė reikšmė, tai yra
Ši sąvoka yra sąvokos „absoliuti tikrojo skaičiaus vertė“ apibendrinimas, nes jei z = x + 0i, tada 
.
Geometriniu požiūriu kompleksinio skaičiaus modulis yra spindulio vektoriaus OA ilgis arba atstumas nuo pradžios iki taško su koordinatėmis (x, y).
2 apibrėžimas: Kompleksinio skaičiaus z argumentas yra kampas tarp teigiamos ašies krypties 
o spindulys – vektorius 
, skaičiuojamas prieš laikrodžio rodyklę.
Iš šio apibrėžimo matyti, kad kompleksinio skaičiaus argumentas nustatomas dviprasmiškai, bet iki 2 kartotinio . Todėl praktikoje kaip argumentą jie dažniausiai ima mažiausią teigiamą arba mažiausią absoliutųjį kampą, kuris žymimas =arg z ir randamas iš ryšių:
cos = 
, sin = 
, 0 2 
tada x + iy = 
ir gauname kompleksinio skaičiaus užrašymo trigonometrinę formulę.
Norint išvengti klaidų ieškant kompleksinio skaičiaus z argumento, pirmiausia jis turi būti pavaizduotas koordinačių plokštumoje.
Kompleksinio skaičiaus z modulis ir argumentas yra skaičių z atitinkančio taško polinės koordinatės, žinomos iš geometrijos kurso. Šiuo atveju poliarinė ašis yra ašis 
Kompleksinio skaičiaus z modulio ir argumento samprata leidžia parašyti šį skaičių trigonometrine forma.
1 pavyzdys. Kompleksinis skaičius z = 
parašyta trigonometrine forma.
1. Šį kompleksinį skaičių pavaizduokime koordinačių plokštumoje. Tai bus spindulio vektorius, kuris baigiasi ( 
, -1) (žr. pav.)
2. Raskite jo modulį | z | = | 
| =
3. Raskite argumentą iš ryšių
arba j = 11p/6
Taigi,
Dviejų formų, rašančių tą patį kompleksinį skaičių z = x + iy = |z|, egzistavimas (cosj + sinj) leidžia atlikti aibės C algebrines operacijas tokia forma, kuri kiekvienu konkrečiu atveju yra patogiausia.
2 teorema. Jei z 1 =x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, tada
1. z 1 + z 2 = (x 1 + x 2) + i(y 1 + y 2)
2. z 1 -z 2 = (x 1 -x 2) + i(y 1 -y 2)
3. z 1 z 2 = (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1)
4.
5. Praktikoje 3), 4) formulės dažniausiai neįsimenamos, o vadovaujamasi šiomis mnemoninėmis taisyklėmis:
a) norėdami padauginti du kompleksinius skaičius, turite juos padauginti kaip du dvejetainius;
b) norint padalyti z 1 iš z 2 0, reikia skaitiklį ir vardiklį padauginti iš kompleksinio skaičiaus, susieto su vardikliu, ir atlikti nurodytus veiksmus (z = x – iy vadinama konjugatu z = x + iy atžvilgiu ).
Ištraukimas 
algebrine forma jis praktiškai nenaudojamas.
Pavyzdys 2. z 1 = -2 + 5i, z 2 = 1 + 3i
z 1 + z 2 = -1 + 8i
z 1 - z 2 = -3 + 2i
z 1 z 2 = (-2 + 5i) (1 + 3i) = (-2 - 6i + 5i + 15i 2) = -17 - i
3 teorema. Jei z 1 =|z 1 |(cosj+i sinj), z 2 =|z 2 |(cos+i sin), tai
1) z 1 z 2 = |z 1 | |z 2 |
2) z 1 n = |z 1 | n
3)
4)k = 0,1, 2,.., (n-l)
Sudėjimo ir atimties operacijos trigonometrine forma praktiškai neatliekamos.
3 pavyzdys.
k = 0, 1, 2
Operacijos su kompleksiniais skaičiais taip pat gali būti vertinamos geometriniu požiūriu. Taigi dviejų kompleksinių skaičių sudėties ir atėmimo operacijos atitinka dviejų vektorių sudėjimo ir atėmimo operacijas pagal lygiagretainio taisyklę.
4 pavyzdys. Tegu z 1 = 3 + i, z 2 = 1 – 3i.
Geometriškai raskite z 1 + z 2 ir z 1 - z 2.
Kiekvieną kompleksinį skaičių pavaizduojame kaip spindulio vektorių, tada sukuriame lygiagretainį ir randame vektorių, atitinkantį z 1 + z 2 ir z 1 - z 2 (žr. 1 pav.)
Dviejų kompleksinių skaičių sandaugos geometrinę reikšmę galima sužinoti padauginus šiuos skaičius trigonometrine forma. Tegu Z 1 = |Z 1 |(cos + i sin), Z 1 0,
Z 2 = |Z 2 | (cos + i sin), Z 2 0, tada
z 1 z 2 = |z 1 ||z 2 | Dauginant du kompleksinius skaičius trigonometrine forma, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami. Todėl norint padauginti kompleksinį skaičių z 1 iš z 2, reikia vektoriaus ilgio z 1
pakeisti į |z 2 | kartų (ištempti arba suspausti), o po to gautą vektorių pasukite aplink pradžią kampu arg z 2 (žr. 2 pav.). 
Geometrinė operacijos prasmė 
susideda iš spindulio apskritimo padalijimo
į n lygias dalis. 5 pavyzdys. 
Apskaičiuokite
ir visas jo reikšmes pavaizduoti geometriškai.
Kompleksinį skaičių z = - 4 pavaizduokime trigonometrine forma. Norėdami tai padaryti, randame jo modulį ir argumentą. |-4|=4arg(-4)=, -4 = 4 (cos + i sin)
Tada k = 0,1,2,3
Pateikdami parametro (k) reikšmes 0, 1,2, 3, gauname keturias ketvirtosios šaknies -4 reikšmes. 
IR
Rastas šaknis pavaizduokime kompleksinėje plokštumoje;
2 spindulio apskritimas į keturias lygias dalis. Be to, į šį apskritimą įrašėme taisyklingą keturkampį (kvadratą).
Dažnai sprendžiant uždavinius naudojama dviejų kompleksinių skaičių skirtumo modulio geometrinė reikšmė, kaip atstumas tarp dviejų plokštumos taškų. |z 1 - z 2 | = (z 1 , z 2) 1 užduotis.< 3
Raskite taškų, kuriems |z - (2 + i)|, lokusą
Geometrinė šios nelygybės reikšmė yra ta, kad atstumas nuo taško (2, 1) iki taškų (x, y) neturi būti didesnis nei trys vienetai.
Šį atsakymą į probleminį klausimą galima gauti ir algebriškai, naudojant modulio apibrėžimą
|(x + iy) - (2 + i)|< 3 |(x- 2) + i(y -1)| < 3
(x-2) 2 + (y-l) 2<9
Iš geometrijos kurso žinome, kad lygybė (x-2) 2 + (y - 1) 2 =3 2 yra lygtis apskritimo, kurio centras yra taške (2, 1) ir r = 3, tada reikiama g.m.t. bus vidinė šio rato dalis.
