Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas yra visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai pagrindinei temai. Kas yra išvestinė, kokia jos fizikinė ir geometrinė reikšmė, kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?
Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė
Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:
Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.
Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:
Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:
funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.
Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.
Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį:
Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:
Pirma taisyklė: nustatykite konstantą
Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .
Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:
Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė
Dviejų funkcijų sumos išvestinė yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.
Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.
Raskite funkcijos išvestinę:
Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė
Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:
Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:
Sprendimas: 
Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.
Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:
Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.
Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė
Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:
Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai yra spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.
Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Per trumpą laiką padėsime išspręsti sunkiausią testą ir suprasti užduotis, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.
B9 uždavinys pateikia funkcijos arba išvestinės grafiką, iš kurio reikia nustatyti vieną iš šių dydžių:
- Išvestinės vertė tam tikru tašku x 0,
- Maksimalus arba minimalus balas (ekstremalūs taškai),
- Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalai (monotoniškumo intervalai).
Šioje užduotyje pateikiamos funkcijos ir išvestiniai visada yra tęstiniai, todėl sprendimas yra daug lengvesnis. Nepaisant to, kad užduotis priklauso matematinės analizės skyriui, ją gali atlikti net patys silpniausi mokiniai, nes čia nereikia gilių teorinių žinių.
Norint rasti išvestinės vertės, ekstremumo taškų ir monotoniškumo intervalų reikšmę, yra paprasti ir universalūs algoritmai – visi jie bus aptarti toliau.
Atidžiai perskaitykite B9 uždavinio sąlygas, kad nepadarytumėte kvailų klaidų: kartais susiduriate su gana ilgais tekstais, tačiau yra keletas svarbių sąlygų, turinčių įtakos sprendimo eigai.
Išvestinės vertės apskaičiavimas. Dviejų taškų metodas
Jei uždaviniui pateikiamas funkcijos f(x), liestinės šiam grafui tam tikrame taške x 0 grafikas ir reikia rasti išvestinės reikšmę šiame taške, taikomas toks algoritmas:
- Lietinės grafike raskite du „adekvačius“ taškus: jų koordinatės turi būti sveikosios. Pažymėkime šiuos taškus A (x 1 ; y 1) ir B (x 2 ; y 2). Teisingai užsirašykite koordinates - tai yra pagrindinis sprendimo taškas, ir bet kokia klaida čia lems neteisingą atsakymą.
- Žinant koordinates, nesunku apskaičiuoti argumento Δx = x 2 − x 1 ir funkcijos Δy = y 2 − y 1 prieaugį.
- Galiausiai randame išvestinės D = Δy/Δx reikšmę. Kitaip tariant, reikia padalyti funkcijos prieaugį iš argumento prieaugio – ir tai bus atsakymas.
Dar kartą pastebėkime: taškų A ir B reikia ieškoti būtent liestinėje, o ne funkcijos f(x) grafike, kaip dažnai nutinka. Tangentinėje linijoje būtinai bus bent du tokie taškai – kitaip problema nebus suformuluota teisingai.
Apsvarstykite taškus A (-3; 2) ir B (-1; 6) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Raskime išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .
Apsvarstykite taškus A (0; 3) ir B (3; 0), raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Dabar randame išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .
Apsvarstykite taškus A (0; 2) ir B (5; 2) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Belieka rasti išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Iš paskutinio pavyzdžio galime suformuluoti taisyklę: jei liestinė lygiagreti OX ašiai, funkcijos išvestinė liesties taške yra lygi nuliui. Tokiu atveju jums net nereikia nieko skaičiuoti - tiesiog pažiūrėkite į grafiką.
Maksimalių ir minimalių taškų skaičiavimas
Kartais vietoj funkcijos grafiko uždavinys B9 pateikia išvestinės grafiką ir reikalauja surasti funkcijos maksimalų arba mažiausią tašką. Šioje situacijoje dviejų taškų metodas yra nenaudingas, tačiau yra kitas, dar paprastesnis algoritmas. Pirmiausia apibrėžkime terminologiją:
- Taškas x 0 vadinamas maksimaliu funkcijos f(x) tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≥ f(x).
- Taškas x 0 vadinamas funkcijos f(x) minimaliu tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≤ f(x).
Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią tašką išvestinėje diagramoje, tiesiog atlikite šiuos veiksmus:
- Perbraižykite išvestinį grafiką, pašalindami visą nereikalingą informaciją. Kaip rodo praktika, nereikalingi duomenys tik trukdo priimti sprendimą. Todėl koordinačių ašyje pažymime išvestinės nulius - ir viskas.
- Sužinokite išvestinės ženklus intervaluose tarp nulių. Jei kokiam nors taškui x 0 žinoma, kad f'(x 0) ≠ 0, tai galimi tik du variantai: f'(x 0) ≥ 0 arba f'(x 0) ≤ 0. Išvestinės ženklas yra nesunku nustatyti iš pirminio brėžinio: jei išvestinis grafikas yra virš OX ašies, tai f'(x) ≥ 0. Ir atvirkščiai, jei išvestinis grafikas yra po OX ašimi, tai f'(x) ≤ 0.
- Dar kartą patikriname išvestinės nulius ir ženklus. Kai ženklas keičiasi iš minuso į pliusą, yra minimalus taškas. Ir atvirkščiai, jei išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, tai yra maksimalus taškas. Skaičiavimas visada atliekamas iš kairės į dešinę.
Ši schema veikia tik nuolatinėms funkcijoms – problemų B9 nėra.
Užduotis. Paveiksle parodytas intervale [−5; apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas; 5]. Raskite funkcijos f(x) mažiausią tašką šioje atkarpoje.
Atsikratykime nereikalingos informacijos ir palikime tik ribas [−5; 5] ir išvestinės x = −3 ir x = 2,5 nuliai. Taip pat atkreipiame dėmesį į ženklus:
Akivaizdu, kad taške x = −3 išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą. Tai yra minimalus taškas.
Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7]. Raskite maksimalų funkcijos f(x) tašką šioje atkarpoje.
Perbraižykime grafiką, palikdami tik ribas [−3; 7] ir išvestinės x = −1,7 nuliai ir x = 5. Gautame grafe pažymėkime išvestinės požymius. Turime:
Akivaizdu, kad taške x = 5 išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą – tai didžiausias taškas.
Užduotis. Paveikslėlyje parodytas intervale [−6; apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas; 4]. Raskite atkarpai [−4 priklausančios funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių; 3].
Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad pakanka nagrinėti tik atkarpa ribojamą grafo dalį [−4; 3]. Todėl kuriame naują grafiką, kuriame pažymime tik ribas [−4; 3] ir jo viduje esančios išvestinės nuliai. Būtent taškai x = −3,5 ir x = 2. Gauname:
Šiame grafike yra tik vienas maksimalus taškas x = 2. Būtent šioje vietoje išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą.
Maža pastaba apie taškus, kurių koordinatės nėra sveikos. Pavyzdžiui, paskutinėje užduotyje buvo nagrinėjamas taškas x = −3,5, tačiau su tokia pačia sėkme galime imti x = −3,4. Jei problema surašyta teisingai, tokie pakeitimai neturėtų turėti įtakos atsakymui, nes taškai „be fiksuotos gyvenamosios vietos“ tiesiogiai nedalyvauja sprendžiant problemą. Žinoma, šis triukas neveiks su sveikaisiais taškais.
Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalų radimas
Esant tokiai problemai, kaip ir maksimalus bei minimalus taškai, išvestiniu grafiku siūloma rasti sritis, kuriose pati funkcija didėja arba mažėja. Pirmiausia apibrėžkime, kas yra didėjantis ir mažėjantis:
- Laikoma, kad funkcija f(x) didėja atkarpoje, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Kitaip tariant, kuo didesnė argumento reikšmė, tuo didesnė funkcijos reikšmė.
- Funkcija f(x) vadinama mažėjančia atkarpoje, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas toks teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. Didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
Suformuluokime pakankamas sąlygas didėti ir mažėti:
- Kad atkarpoje ištisinė funkcija f(x) padidėtų, pakanka, kad jos išvestinė atkarpos viduje būtų teigiama, t.y. f’(x) ≥ 0.
- Kad atkarpoje tolydi funkcija f(x) sumažėtų, pakanka, kad jos išvestinė atkarpos viduje būtų neigiama, t.y. f’(x) ≤ 0.
Priimkime šiuos teiginius be įrodymų. Taigi gauname didėjimo ir mažėjimo intervalų nustatymo schemą, kuri daugeliu atžvilgių yra panaši į ekstremalių taškų skaičiavimo algoritmą:
- Pašalinkite visą nereikalingą informaciją. Pradiniame išvestinės grafike mus pirmiausia domina funkcijos nuliai, todėl paliksime tik juos.
- Pažymėkite išvestinės ženklus intervalais tarp nulių. Kur f’(x) ≥ 0, funkcija didėja, o kur f’(x) ≤ 0, ji mažėja. Jei problema nustato apribojimus kintamajam x, juos papildomai pažymime naujame grafike.
- Dabar, kai žinome funkcijos elgseną ir apribojimus, belieka apskaičiuoti užduotyje reikalingą kiekį.
Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7.5]. Raskite funkcijos f(x) mažėjimo intervalus. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.
Kaip įprasta, perbraižykime grafiką ir pažymėkime ribas [−3; 7.5], taip pat išvestinės x = −1,5 ir x = 5,3 nuliai. Tada pažymime išvestinės požymius. Turime:
Kadangi išvestinė yra neigiama intervale (− 1,5), tai yra mažėjančios funkcijos intervalas. Belieka susumuoti visus sveikuosius skaičius, esančius šiame intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas intervale [−10; 4]. Raskite funkcijos f(x) didėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.
Atsikratykime nereikalingos informacijos. Palikime tik ribas [−10; 4] ir išvestinės nuliai, kurių šį kartą buvo keturi: x = −8, x = −6, x = −3 ir x = 2. Pažymėkime išvestinės ženklus ir gausime tokį paveikslėlį:
Mus domina didėjančios funkcijos intervalai, t.y. toks kur f’(x) ≥ 0. Grafike yra du tokie intervalai: (−8; −6) ir (−3; 2). Apskaičiuokime jų ilgį:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Kadangi reikia rasti didžiausio intervalo ilgį, kaip atsakymą užrašome reikšmę l 2 = 5.
Koordinačių plokštumoje xOy apsvarstykite funkcijos grafiką y=f(x). Pataisykime esmę M(x 0 ; f (x 0)). Pridėkime abscisę x 0 prieaugis Δх. Gausime naują abscisę x 0 +Δx. Tai taško abscisė N, ir ordinatė bus lygi f (x 0 + Δx). Pasikeitus abscisei, pasikeitė ir ordinatės. Šis pokytis vadinamas funkcijos padidėjimu ir žymimas Δy.
Δy=f (x 0 + Δx) – f (x 0). Per taškus M Ir N nubrėžkime sekantą MN, kuris sudaro kampą φ su teigiama ašies kryptimi Oi. Nustatykime kampo liestinę φ iš stačiojo trikampio MPN.
Leiskite Δх linkęs į nulį. Tada sekantas MN bus linkę užimti liestinę padėtį MT, ir kampas φ taps kampu α . Taigi, kampo liestinė α yra kampo liestinės ribinė vertė φ :
Funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį, vadinama funkcijos išvestine tam tikrame taške:
Geometrinė išvestinės reikšmė slypi tame, kad funkcijos skaitinė išvestinė tam tikrame taške yra lygi kampo, kurį sudaro liestinė, nubrėžta per šį tašką, į duotąją kreivę ir teigiamą ašies kryptį. Oi:
Pavyzdžiai.
1. Raskite argumento prieaugį ir funkcijos y= prieaugį x 2, jei pradinė argumento reikšmė buvo lygi 4 , ir naujas - 4,01 .
Sprendimas.
Nauja argumento reikšmė x=x 0 +Δx. Pakeiskime duomenis: 4.01=4+Δx, taigi argumento prieaugis Δх=4,01-4=0,01. Funkcijos prieaugis pagal apibrėžimą yra lygus skirtumui tarp naujos ir ankstesnės funkcijos reikšmių, t.y. Δy=f (x 0 + Δx) – f (x 0). Kadangi mes turime funkciją y=x2, Tai Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Atsakymas: argumentų prieaugis Δх=0,01; funkcijos padidėjimas Δу=0,0801.
Funkcijos prieaugį galima rasti skirtingai: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 -4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.
2. Raskite funkcijos grafiko liestinės polinkio kampą y=f(x) taške x 0, Jei f "(x 0) = 1.
Sprendimas.
Išvestinės vertė liesties taške x 0 ir yra liestinės kampo liestinės reikšmė (geometrinė išvestinės reikšmė). Turime: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, nes tg45°=1.
Atsakymas: šios funkcijos grafiko liestinė sudaro kampą, kurio teigiama Ox ašies kryptis lygi 45°.
3. Išveskite funkcijos išvestinės formulę y=xn.
Diferencijavimas yra funkcijos išvestinės radimo veiksmas.
Ieškodami išvestinių, naudokite formules, kurios buvo išvestos remiantis išvestinės apibrėžimu, taip pat, kaip išvedėme išvestinio laipsnio formulę: (x n)" = nx n-1.
Tai yra formulės.
Darinių lentelė Ištarus žodines formuluotes bus lengviau įsiminti:
1. Pastovaus dydžio išvestinė lygi nuliui.
2. X pirminis yra lygus vienetui.
3. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo.
4. Laipsnio išvestinė yra lygi šio laipsnio rodiklio sandaugai laipsniu su ta pačia baze, bet rodiklis yra vienu mažesnis.
5. Šaknies išvestinė yra lygi vienetui, padalintam iš dviejų lygių šaknų.
6. Vieneto, padalyto iš x, išvestinė yra lygi minus vienas, padalytas iš x kvadratu.
7. Sinuso išvestinė lygi kosinusui.
8. Kosinuso išvestinė lygi minus sinusui.
9. Liestinės išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kosinuso kvadrato.
10. Kotangento išvestinė yra lygi minus vienetui, padalytam iš sinuso kvadrato.
Mes mokome diferenciacijos taisyklės.
1.
Algebrinės sumos išvestinė lygi terminų išvestinių algebrinei sumai.
2. Produkto išvestinė yra lygi pirmojo ir antrojo veiksnio išvestinei, pridėjus pirmojo veiksnio ir antrojo išvestinės sandaugai.
3. „Y“ išvestinė, padalyta iš „ve“, yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra „y pirminis, padaugintas iš „ve“ atėmus „y padaugintas iš ve pirminio“, o vardiklis yra „ve kvadratas“.
4. Ypatingas formulės atvejis 3.
Mokykimės kartu!
1 puslapis iš 1 1
Sprendžiant įvairias geometrijos, mechanikos, fizikos ir kitų žinių šakų problemas, atsirado poreikis naudojant tą patį šios funkcijos analitinį procesą. y=f(x) gauti naują funkciją, pavadintą išvestinė funkcija(arba tiesiog duotosios funkcijos f(x) išvestinė ir yra pažymėtas simboliu
Procesas, kurio metu iš tam tikros funkcijos f(x) gauti naują funkciją f“ (x), paskambino diferenciacija ir jis susideda iš šių trijų žingsnių: 1) pateikite argumentą x prieaugis
x ir nustatyti atitinkamą funkcijos prieaugį
y = f(x+
x) -f(x); 
2) užmegzti ryšį x 3) skaičiavimas
x pastovus ir 
0, randame f“ (x), kurį žymime x, tarsi pabrėžiant, kad gaunama funkcija priklauso tik nuo reikšmės , ties kuria einame iki ribos.:
Apibrėžimas
Išvestinė y " =f " (x)
duota funkcija y=f(x) vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, su sąlyga, kad argumento prieaugis linkęs į nulį, jei, žinoma, ši riba egzistuoja, t.y. baigtinis. 
Taigi, 
, arba x Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę , pavyzdžiui, kai x=a 
, požiūris
x adresu f(x)0 nėra linkęs į baigtinę ribą, tada šiuo atveju jie sako, kad funkcija , pavyzdžiui, kai adresu , pavyzdžiui, kai(arba taške , pavyzdžiui, kai.
) neturi išvestinės arba taške nėra diferencijuojamas
2. Geometrinė išvestinės reikšmė.
f(x)
Apsvarstykite funkcijos y = f (x), diferencijuojamos taško x 0 kaimynystėje, grafiką.
Panagrinėkime savavališką tiesę, einančią per funkcijos grafiko tašką – tašką A(x 0, f (x 0)) ir kertančią grafiką tam tikrame taške B(x;f(x)). Tokia linija (AB) vadinama sekantu. Iš ∆ABC: AC = ∆x;
ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Kadangi AC || Ox, tada ALO = BAC = β (kaip atitinka lygiagrečiai). Bet ALO yra sekanto AB polinkio kampas į teigiamą Ox ašies kryptį. Tai reiškia, kad tanβ = k yra tiesės AB nuolydis. 
Dabar sumažinsime ∆х, t.y. ∆х→ 0. Šiuo atveju taškas B pagal grafiką priartės prie taško A, o sekantė AB suksis. Sekanto AB ribinė padėtis taške ∆x→ 0 bus tiesė (a), vadinama funkcijos y = f (x) grafiko liestine taške A. 
Jei lygybėje tgβ =∆y/∆x eisime į ribą kaip ∆x → 0, gausime 
ortg =f "(x 0), kadangi
- Ox ašies teigiamos krypties liestinės polinkio kampas
, pagal išvestinės apibrėžimą. Bet tg = k yra liestinės kampinis koeficientas, o tai reiškia, kad k = tg = f "(x 0). 0 Taigi, geometrinė išvestinės reikšmė yra tokia: 0 .
Funkcijos taške x išvestinė
lygus funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui, nubrėžtam taške su abscise x
3. Fizinė vedinio reikšmė.
Apsvarstykite taško judėjimą tiesia linija. Tegu yra taško koordinatė bet kuriuo momentu x(t). Yra žinoma (iš fizikos kurso), kad vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį yra lygus per šį laikotarpį nuvažiuoto atstumo ir laiko santykiui, t.y.
Vav = ∆x/∆t. Eikime į ribą paskutinėje lygybėje kaip ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - momentinis greitis momentu t 0, ∆t → 0.
ir lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (pagal išvestinės apibrėžimą).Taigi, (t) =x"(t). = Fizinė išvestinės reikšmė yra tokia: funkcijos išvestinė(xyx 0 fFizinė išvestinės reikšmė yra tokia: funkcijos išvestinė) taškex 0
yra funkcijos kitimo greitis
(x) taške
a(f) = "(t) – pagreitis arba
Jei žinomas materialaus taško judėjimo apskritime dėsnis, tada galima rasti kampinį greitį ir kampinį pagreitį sukimosi metu:
φ = φ(t) – kampo pokytis laikui bėgant,
ω = φ"(t) – kampinis greitis,
ε = φ"(t) – kampinis pagreitis arba ε = φ"(t).
Jei žinomas nehomogeninio strypo masės pasiskirstymo dėsnis, tai galima rasti nehomogeninio strypo tiesinį tankį:
m = m(x) – masė,
x , l - strypo ilgis,
p = m"(x) – tiesinis tankis.
Naudojant išvestinę, sprendžiami tamprumo ir harmoninių virpesių teorijos uždaviniai. Taigi, pagal Huko dėsnį
F = -kx, x – kintamoji koordinatė, k – spyruoklės elastingumo koeficientas. Padėję ω 2 =k/m, gauname spyruoklės švytuoklės diferencialinę lygtį x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
čia ω = √k/√m virpesių dažnis (l/c), k – spyruoklės standumas (H/m).
Formos y" + ω 2 y = 0 lygtis vadinama harmoninių virpesių (mechaninių, elektrinių, elektromagnetinių) lygtimi. Tokių lygčių sprendimas yra funkcija.
y = Asin(ωt + φ 0) arba y = Acos(ωt + φ 0), kur
A - virpesių amplitudė, ω - ciklinis dažnis,
φ 0 – pradinė fazė.
Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausių išteklių
Įsivaizduokime tiesų kelią, einantį per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta horizontaliai išilgai kelio ir vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:
Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis, kurį mes naudojame kaip jūros lygį.
Judėdami į priekį tokiu keliu, taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judėjimas išilgai abscisių ašies), pasikeičia funkcijos reikšmė (judėjimas išilgai ordinačių ašies). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia tai galėtų būti vertė? Tai labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Iš tiesų, skirtingose kelio atkarpose, judėdami į priekį (išilgai x ašies) vienu kilometru, kilsime arba nukrisime skirtingu metrų skaičiumi, palyginti su jūros lygiu (palei y ašį).
Pažymime progresą (skaitykite „delta x“).
Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra, tai yra kiekio pokytis, - pokytis; tada kas tai? Teisingai, masto pokytis.
Svarbu: išraiška yra viena visuma, vienas kintamasis. Niekada neatskirkite „delta“ nuo „x“ ar bet kokios kitos raidės!
Tai, pavyzdžiui,.
Taigi, mes pajudėjome į priekį, horizontaliai, per. Jei lyginsime kelio liniją su funkcijos grafiku, tai kaip žymėsime kilimą? Be abejo,. Tai yra, eidami į priekį, kylame aukščiau.
Reikšmę nesunku suskaičiuoti: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję atsidūrėme aukštyje, tada. Jei pabaigos taškas yra žemesnis nei pradžios taškas, jis bus neigiamas – tai reiškia, kad mes ne kylame, o leidžiamės žemyn.
Grįžkime prie „statumo“: tai reikšmė, rodanti, kiek (stačiai) padidėja aukštis judant į priekį vienu atstumo vienetu:
Tarkime, kad tam tikroje kelio atkarpoje pajudėjus kilometrą į priekį kelias kilometrą pakyla aukštyn. Tada nuolydis šioje vietoje yra lygus. O jei kelias, judant į priekį m, nukrito km? Tada nuolydis yra lygus.
Dabar pažiūrėkime į kalvos viršūnę. Paėmus atkarpos pradžią pusę kilometro iki viršūnės, o pabaigą – puskilometrį po jos, matyti, kad aukštis beveik toks pat.
Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad nuolydis čia yra beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai nėra tiesa. Tik nuvažiavus kilometrus daug kas gali pasikeisti. Norint adekvačiau ir tiksliau įvertinti statumą, būtina atsižvelgti į mažesnius plotus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį judant per metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Bet ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei viduryje kelio yra stulpas, galime jį tiesiog aplenkti. Kokį atstumą tuomet turėtume pasirinkti? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra daugiau! Realiame gyvenime atstumų matavimo milimetro tikslumu yra daugiau nei pakankamai. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo išrasta be galo mažas , tai yra, absoliuti reikšmė yra mažesnė už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. Ir taip toliau. Jei norime parašyti, kad dydis yra be galo mažas, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra nulis!
Sąvoka, priešinga begaliniam mažumui, yra be galo didelė (). Tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai dirbote su nelygybėmis: šis skaičius yra modulio didesnis nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvosite didžiausią įmanomą skaičių, tiesiog padauginkite jį iš dviejų ir gausite dar didesnį skaičių. Ir begalybė yra dar didesnė už tai, kas vyksta. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkštiniai vienas kitam, tai yra, at, ir atvirkščiai: at.
Dabar grįžkime į savo kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra nuolydis, apskaičiuotas be galo mažai kelio atkarpai, ty:
Pastebiu, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Bet leiskite man priminti, kad be galo mažas dar nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalysite vienas iš kito, galite gauti visiškai įprastą skaičių, pavyzdžiui, . Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai kartus didesnė už kitą.
Kam visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į automobilių ralį, bet mokome matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinama.
Išvestinės samprata
Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui.
Palaipsniui matematikoje jie vadina kaita. Tai, kiek argumentas () keičiasi judant išilgai ašies, vadinamas argumentų prieaugis ir nurodoma, kiek pasikeitė funkcija (aukštis), judant į priekį išilgai ašies per atstumą funkcijos padidėjimas ir yra paskirtas.
Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su kada. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkciją, tik su pirminiu pirminiu viršuje dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:
Kaip ir analogijoje su keliu, čia kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama.
Ar išvestinė gali būti lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Ir tai tiesa, ūgis visai nesikeičia. Taip yra ir su išvestine: pastovios funkcijos (konstantos) išvestinė lygi nuliui:
kadangi tokios funkcijos prieaugis lygus nuliui bet kuriai.
Prisiminkime kalvos viršūnės pavyzdį. Paaiškėjo, kad segmento galus galima išdėstyti priešingose viršūnės pusėse taip, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:
Tačiau dideli segmentai yra netikslaus matavimo ženklas. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.
Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, atkarpos ilgis taps be galo mažas. Bet tuo pačiu metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščių skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (jis nelinkęs, bet lygus). Taigi išvestinė
Tai galima suprasti taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę mūsų ūgį keičia nežymiai.
Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: viršūnės kairėje funkcija didėja, o dešinėje - mažėja. Kaip sužinojome anksčiau, kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur smarkiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl turi būti tarp neigiamų ir teigiamų verčių. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.
Tas pats pasakytina apie lovelį (sritis, kurioje funkcija kairėje mažėja, o dešinėje didėja):
Šiek tiek daugiau apie priedus.
Taigi mes keičiame argumentą į dydį. Iš kokios vertės keičiame? Kuo tai (argumentas) tapo dabar? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.
Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė jame lygi. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Koks dabar argumentas? Labai lengva:. Kokia dabar funkcijos vertė? Kur yra argumentas, taip pat ir funkcija: . O kaip dėl funkcijos padidėjimo? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kuria pasikeitė funkcija:
Praktikuokite žingsnių paiešką:
- Raskite funkcijos prieaugį taške, kai argumento prieaugis yra lygus.
- Tas pats pasakytina ir apie funkciją taške.
Sprendimai:
Skirtinguose taškuose su tuo pačiu argumento prieaugiu funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške yra skirtinga (tai aptarėme pačioje pradžioje – skirtinguose taškuose kelio statumas yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:
Maitinimo funkcija.
Galios funkcija yra funkcija, kai argumentas tam tikru laipsniu yra (logiškas, tiesa?).
Be to – bet kokiu mastu: .
Paprasčiausias atvejis, kai eksponentas yra:
Raskime jo išvestinę taške. Prisiminkime darinio apibrėžimą:
Taigi argumentas keičiasi iš į. Koks yra funkcijos padidėjimas?
Prieaugis yra tai. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:
Išvestinė yra lygi:
Išvestinė yra lygi:
b) Dabar apsvarstykite kvadratinę funkciją (): .
Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža ir todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:
Taigi, mes sugalvojome kitą taisyklę:
c) Tęsiame loginę seką: .
Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: atidarykite pirmąjį skliaustą naudodami sutrumpinto sumos kubo daugybos formulę arba koeficientuokite visą išraišką naudodami kubelių skirtumo formulę. Pabandykite tai padaryti patys naudodami bet kurį iš siūlomų metodų.
Taigi, aš gavau šiuos dalykus:
Ir vėl prisiminkime tai. Tai reiškia, kad galime nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:
Mes gauname:.
d) Panašias taisykles galima gauti didelėms galioms:
e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti laipsnio funkcijai su savavališku eksponentu, net ne sveikuoju skaičiumi:
| (2) |
Taisyklę galima suformuluoti taip: „laipsnis pakeliamas į priekį kaip koeficientas, o po to sumažinamas .
Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:
- (dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – apskaičiuojant funkcijos prieaugį);
Trigonometrinės funkcijos.
Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:
Su išraiška.
Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o norėdami ten patekti, turite gerai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:
Matome, kad kai funkcijos nėra – taškas grafike iškerpamas. Tačiau kuo arčiau vertės, tuo arčiau funkcija yra „tikslas“.
Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mes dar ne vieningo valstybinio egzamino.
Taigi, pabandykime: ;
Nepamirškite perjungti skaičiuotuvo į radianų režimą!
ir tt Matome, kad kuo mažesnis, tuo santykio reikšmė artimesnė.
a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, suraskime jo prieaugį:
Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Norėdami tai padaryti, naudojame formulę (prisiminkime temą „“): .
Dabar išvestinė:
Pakeiskime: . Tada be galo mažam jis taip pat yra begalinis: . Išraiška yra tokia:
Ir dabar mes tai prisimename su išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje (ty at) galima nepaisyti be galo mažo dydžio.
Taigi, gauname tokią taisyklę: sinuso išvestinė lygi kosinusui:
Tai yra pagrindiniai („lentelės“) dariniai. Štai jie yra viename sąraše:
Vėliau juos papildysime dar keletu, tačiau šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.
Praktika:
- Raskite funkcijos išvestinę taške;
- Raskite funkcijos išvestinę.
Sprendimai:
Rodiklis ir natūralusis logaritmas.
Matematikoje yra funkcija, kurios išvestinė bet kuriai yra lygi ir pačios funkcijos reikšmei tuo pačiu metu. Ji vadinama „eksponentu“ ir yra eksponentinė funkcija
Šios funkcijos pagrindas – konstanta – yra begalinė dešimtainė trupmena, tai yra neracionalusis skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl jis žymimas raide.
Taigi, taisyklė:
Labai lengva prisiminti.
Na, toli nenueikime, iš karto apsvarstykime atvirkštinę funkciją. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinei funkcijai? Logaritmas:
Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:
Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj to rašome.
Kam jis lygus? Žinoma.
Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:
Pavyzdžiai:
- Raskite funkcijos išvestinę.
- Kas yra funkcijos išvestinė?
Atsakymai: Eksponentinis ir natūralusis logaritmas yra unikaliai paprastos funkcijos iš išvestinės perspektyvos. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.
Diferencijavimo taisyklės
Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...
Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.
Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikai diferencialą vadina tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.
Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:
Iš viso yra 5 taisyklės.
Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.
Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.
Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .
Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.
Pavyzdžiai.
Raskite funkcijų išvestinius:
- taške;
- taške;
- taške;
- taške.
Sprendimai:
Produkto darinys
Čia viskas panašiai: pristatykime naują funkciją ir suraskime jos prieaugį:
Išvestinė:
Pavyzdžiai:
- Raskite funkcijų ir išvestines;
- Raskite funkcijos išvestinę taške.
Sprendimai:
Eksponentinės funkcijos išvestinė
Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).
Taigi, kur yra koks nors skaičius.
Mes jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją perkelti į naują bazę:
Norėdami tai padaryti, naudosime paprastą taisyklę: . Tada:
Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.
Ar pavyko?
Čia patikrinkite save:
Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.
Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:
Atsakymai:
Logaritminės funkcijos išvestinė
Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:
Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:
Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:
Tik dabar vietoj to rašysime:
Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:
Vieningame valstybiniame egzamine eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.
Sudėtingos funkcijos išvestinė.
Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.
Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis šokoladinį plytelę įvynioja į vyniotinį, o antrasis perriša juostele. Rezultatas – sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.
Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums duodamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji, ką gavau (suriši kaspinu). Kas atsitiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.
Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi kompleksinių funkcijų ypatybė: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.
Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .
Pirmuoju pavyzdžiu,.
Antras pavyzdys: (tas pats). .
Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).
Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:
Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje
Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.
Na, o dabar išgausime savo šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie pradinį pavyzdį, jis atrodo taip:
Kitas pavyzdys:
Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:
Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:
Atrodo paprasta, tiesa?
Patikrinkime su pavyzdžiais:
IŠVEDINĖ. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS
Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:
Pagrindiniai dariniai:
Atskyrimo taisyklės:
Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:
Sumos išvestinė:
Produkto darinys:
Dalinio išvestinė:
Sudėtingos funkcijos išvestinė:
Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:
- Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
- Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
- Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.
Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.
Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!
Dabar svarbiausia.
Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Jūs jau esate geresnis už didžiąją daugumą jūsų bendraamžių.
Problema ta, kad to gali nepakakti...
Už ką?
Už sėkmingai išlaikiusį vieningą valstybinį egzaminą, už įstojimą į kolegiją neviršijant biudžeto ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.
Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...
Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.
Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.
Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...
Bet pagalvok pats...
Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?
ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.
Per egzaminą teorijos neprašys.
Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.
Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.
Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.
Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!
Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.
Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio galiojimo laiką.
Kaip? Yra dvi parinktys:
- Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
- Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR
Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.
Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.
Ir pabaigai...
Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.
„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.
Raskite problemas ir jas spręskite!
