Sąlyginiai skirstymo dėsniai. Regresija.

Apibrėžimas. Vieno iš dvimačio atsitiktinio dydžio (X, Y) vienmačio komponento sąlyginis pasiskirstymo dėsnis yra jo pasiskirstymo dėsnis, apskaičiuojamas su sąlyga, kad kitas komponentas įgavo tam tikrą reikšmę (arba pateko į kokį nors intervalą). Ankstesnėje paskaitoje nagrinėjome diskrečiųjų atsitiktinių dydžių sąlyginių skirstinių radimą. Ten taip pat pateiktos sąlyginių tikimybių formulės:

Ištisinių atsitiktinių dydžių atveju būtina nustatyti sąlyginių skirstinių j y (x) ir j X (y) tikimybių tankius. Tuo tikslu pateiktose formulėse įvykių tikimybes pakeičiame jų „tikimybės elementais“!

sumažinus dx ir dy gauname:

tie. dvimačio atsitiktinio dydžio vienos iš vienmačių dedamųjų sąlyginis tikimybės tankis yra lygus jo jungtinio tankio ir kitos dedamosios tikimybės tankio santykiui. Šie santykiai parašyti formoje

vadinami pasiskirstymo tankių dauginimo teorema (taisykle).

Sąlyginiai tankiai j y (x) ir j X (y). turi visas „besąlyginio“ tankio savybes.

Tiriant dvimačius atsitiktinius dydžius, atsižvelgiama į vienmačių komponentų X ir Y skaitines charakteristikas – matematinius lūkesčius ir dispersijas. Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui (X, Y) jie nustatomi pagal formules:

Kartu su jais nagrinėjamos ir skaitinės sąlyginių skirstinių charakteristikos: sąlyginiai matematiniai lūkesčiai M x (Y) ir M y (X) bei sąlyginės dispersijos D x (Y) ir D Y (X). Šios charakteristikos randamos naudojant įprastas matematinių lūkesčių ir dispersijos formules, kuriose vietoj įvykių tikimybių ar tikimybių tankių naudojamos sąlyginės tikimybės arba sąlyginių tikimybių tankiai.

Sąlyginis matematinis atsitiktinio dydžio Y lūkestis, kai X = x, t.y. M x (Y) yra x funkcija, vadinama regresijos funkcija arba tiesiog Y regresija X. Panašiai M Y (X) vadinama regresijos funkcija arba tiesiog X regresija nuo Y. Šių funkcijų grafikai yra vadinamos regresijos linijomis (arba regresijos kreivėmis) Y atitinkamai X arba X pagal Y.

Priklausomi ir nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nepriklausomais, jei jų jungtinė skirstymo funkcija F(x,y) vaizduojama kaip šių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijų F 1 (x) ir F 2 (y) sandauga, t.y.

Kitu atveju atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami priklausomais.

Du kartus diferencijuodami lygybę argumentų x ir y atžvilgiu, gauname

tie. nepriklausomiems nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams X ir Y jų bendras tankis j(x,y) yra lygus šių atsitiktinių dydžių tikimybių tankių j 1 (x) ir j 2 (y) sandaugai.

Iki šiol susidurdavome su funkcinio ryšio tarp kintamųjų X ir Y samprata, kai kiekviena vieno kintamojo reikšmė x atitiko griežtai apibrėžtą kito reikšmę. Pavyzdžiui, ryšys tarp dviejų atsitiktinių dydžių – sugedusių įrenginių skaičiaus per tam tikrą laikotarpį ir jų kainos – yra funkcinis.

Apskritai jie susiduria su kitokio tipo priklausomybe, ne tokia stipria nei funkcinė.

Apibrėžimas. Ryšys tarp dviejų atsitiktinių dydžių vadinamas tikimybiniu (stochastiniu arba statistiniu), jei kiekviena vieno iš jų reikšmė atitinka tam tikrą (sąlyginį) kito pasiskirstymą.

Tikimybinės (stochastinės) priklausomybės atveju, žinant vieno iš jų reikšmę, tiksliai nustatyti kito reikšmę neįmanoma, tačiau galima tik nurodyti kito dydžio pasiskirstymą. Pavyzdžiui, įrangos gedimų skaičiaus ir jos prevencinio remonto išlaidų, žmogaus svorio ir ūgio, moksleivio laiko, praleisto žiūrint televizorių ir skaitant knygas, santykis ir kt. yra tikimybiniai (stochastiniai).

Fig. 5.10 paveiksle pateikti priklausomų ir nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y pavyzdžiai.

iš kurių darome išvadą, kad m1, m2 yra dvimačio normalaus atsitiktinio dydžio (X, Y) komponentų X, Y matematiniai lūkesčiai, σ1, σ2 yra jų komponentų standartiniai nuokrypiai.

Dvimačio normaliojo tankio erdvėje grafikas yra kalvos pavidalo paviršius, esantis virš visos xOy plokštumos, asimptotiškai artėjantis prie jos, nukėlus iki begalybės, simetriškas vertikalios ašies, einančios per centrą (m1, m2), ir su viršūne. šiuo metu. Bet kuri normalaus tankio grafiko paviršiaus pjūvis plokštuma, statmena xOy, yra Gauso kreivė.

6.5 Dviejų atsitiktinių dydžių priklausomybė ir nepriklausomybė

Apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X, Y vadinami nepriklausomais, jei įvykiai X yra nepriklausomi< x и Y < y для любых вещественных x, y. В противном случае случайные величины (X, Y) называются зависимыми.

Teorema. Bendroji būtina ir pakankama dviejų atsitiktinių dydžių nepriklausomumo sąlyga:

FXY (x, y) = FX (x) FY (y)

bet kuriam realiam x ir y.

Ši sąlyga yra kitaip parašyta būtina ir pakankama sąlyga dviejų įvykių nepriklausomumui: P (AB) = P (A)P (B) įvykių atveju A = (X< x), B = (Y < y).

Teorema. Būtina ir pakankama sąlyga dviejų nuolatinių atsitiktinių dydžių nepriklausomumui:

fXY (x, y) = fX (x) fY (y), x, y.

Teorema. Būtina ir pakankama sąlyga dviejų diskrečiųjų atsitiktinių dydžių nepriklausomumui:

p ik= p i · p k

bet kuriam i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n.

komentuoti. Koreliacijos koeficiento ρ lygybė nuliui yra būtina ir pakankama sąlyga dvimačio normalaus atsitiktinio dydžio (X, Y) komponentų X, Y nepriklausomumui.

6.6 Sąlyginiai skirstymo dėsniai. Dvimačio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Atsitiktinių dydžių ryšys

6.6.1 Sąlyginiai skirstymo dėsniai

Apibrėžimas. Sąlyginio platinimo dėsnis vienas iš dvimačio atsitiktinio dydžio (X, Y) vienmačio komponento vadinamas jo pasiskirstymo dėsniu, apskaičiuotu su sąlyga, kad kitas komponentas įgavo tam tikrą reikšmę (arba pateko į tam tikras intervalas).

Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių atveju sąlyginių tikimybių nustatymo formulės yra tokios formos:

Ištisinių atsitiktinių dydžių atveju šios formulės įgauna formą

tie. dvimačio atsitiktinio dydžio vienos iš vienmačių dedamųjų sąlyginis tikimybės tankis yra lygus jo jungtinio tankio ir kitos jo dedamosios tikimybės tankio santykiui.

Šie santykiai, parašyti formoje

fXY (x, y) = fX (x) fX (y) = fX (y) fY (x),

vadinami pasiskirstymo tankių dauginimo teorema (taisykle).

Naudodamiesi formulėmis, skirtomis tolydžio atsitiktinio dydžio vienmačiams komponentams gauti, parašome sąlyginių komponentų formules:

6.6.2 Skaitmeninės charakteristikos

Apsvarstykite atsitiktinį dydį ϕ(X, Y), kuris yra dvimačio atsitiktinio dydžio (X, Y) komponentų X, Y funkcija. Galioja bendrosios formulės:

atskiram atvejui.

Čia fXY (x, y) yra atsitiktinio dydžio (X, Y) tikimybės tankis, o pik = P (X = xi, Y = yk) (i = 1, . . . , m; k = 1, ). , n) - diskretinio dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

Naudodami šias formules galite parašyti formules, pagal kurias matematiniai lūkesčiai ir atskiro atsitiktinio dydžio vienmačių komponentų sklaida.

Formulės matematiniams lūkesčiams rasti yra šios:

M(Y) = yfXY (x, y)dxdy

nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams;

M(X) = xi pik ;

M(Y) = yk pik

atskiram atvejui.

Formulės, skirtos dvimačio atsitiktinio dydžio vienmačių komponentų dispersijai apskaičiuoti, yra tokios formos:

D(Y) = M[(Y − M(Y))2 ] = (yk − M(Y))pik

atskiram atvejui.

6.6.3 Koreliacijos momentas ir koreliacijos koeficientas

Dviejų atsitiktinių dydžių priklausomybės funkcinės charakteristikos buvo suformuluotos aukščiau. Dabar panagrinėkime atsitiktinių dydžių ryšio skaitines charakteristikas.

Apibrėžimas. Koreliacijos momentas K XY, kitu atveju – kovariacija , du atsitiktiniai dydžiai X, Y vadinami šių atsitiktinių dydžių nukrypimų nuo jų matematinių lūkesčių sandaugos matematiniais lūkesčiais:

KXY = M[(X − mX )(Y − mY )].

Akivaizdu, kad KXY = KY X.

KXY skaičiavimo formulės yra šios:

Atsitiktiniai dydžiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo kito atsitiktinio dydžio reikšmės. Tikimybių teorijoje labai svarbi atsitiktinių dydžių priklausomybės samprata. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sąlyginiai skirstiniai yra lygūs jų besąlyginiams skirstiniams. Nustatykime būtinas ir pakankamas atsitiktinių dydžių nepriklausomumo sąlygas.

Teorema. Tam, kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y būtų nepriklausomi, būtina ir pakanka, kad sistemos skirstymo funkcija (X, Y) būtų lygi komponentų pasiskirstymo funkcijų sandaugai.

Panašią teoremą galima suformuluoti ir pasiskirstymo tankiui:

Teorema. Kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y būtų nepriklausomi, būtina ir pakanka, kad sistemos jungtinio skirstinio tankis (X, Y) būtų lygus dedamųjų pasiskirstymo tankių sandaugai.

Atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos momentas mxy yra šių reikšmių nuokrypių sandaugos matematinis lūkestis.

Praktiškai naudojamos šios formulės:

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams:

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams:

Koreliacijos momentas naudojamas apibūdinti ryšį tarp atsitiktinių dydžių. Jeigu atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, tai jų koreliacijos momentas lygus nuliui.

Koreliacinis momentas turi matmenį, lygų atsitiktinių dydžių X ir Y matmenų sandaugai. Šis faktas yra šios skaitinės charakteristikos trūkumas, nes Naudojant skirtingus matavimo vienetus, gaunami skirtingi koreliacijos momentai, todėl sunku palyginti skirtingų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentus.

Siekiant pašalinti šį trūkumą, naudojama kita charakteristika - koreliacijos koeficientas.

Atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos koeficientas rxy yra koreliacijos momento santykis su šių reikšmių standartinių nuokrypių sandauga.

Koreliacijos koeficientas yra bematis dydis. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių koreliacijos koeficientas lygus nuliui.

Savybė: Dviejų atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos momento absoliuti reikšmė neviršija jų dispersijų geometrinio vidurkio.

Savybė: absoliuti koreliacijos koeficiento reikšmė neviršija vieneto.

Atsitiktiniai dydžiai vadinami koreliuotais, jei jų koreliacijos momentas skiriasi nuo nulio, ir nekoreliuojančiais, jei jų koreliacijos momentas lygus nuliui.

Jeigu atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, tai jie nekoreliuoja, bet iš nekoreliacijos negalima daryti išvados, kad jie nepriklausomi.

Jei du dydžiai yra priklausomi, jie gali būti koreliuojami arba nekoreluojami.

Dažnai pagal duotą atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo tankį galima nustatyti šių kintamųjų priklausomybę arba nepriklausomumą.

Kartu su koreliacijos koeficientu atsitiktinių dydžių priklausomybės laipsnį galima apibūdinti kitu dydžiu, kuris vadinamas kovariacijos koeficientu. Kovariacijos koeficientas nustatomas pagal formulę:

Pavyzdys. Pateiktas atsitiktinių dydžių X ir Y sistemos pasiskirstymo tankis.

Išsiaiškinkite, ar atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi.

Norėdami išspręsti šią problemą, transformuojame pasiskirstymo tankį:

Taigi pasiskirstymo tankis gali būti pavaizduotas kaip dviejų funkcijų sandauga, iš kurių viena priklauso tik nuo x, o kita tik nuo y. Tie. atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi. Žinoma, jie taip pat nebus koreliuojami.

Du atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami nepriklausomais, jei vieno atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis nesikeičia priklausomai nuo to, kokias galimas reikšmes įgyja kitas atsitiktinis kintamasis. Tai yra, bet kurių $x$ ir $y$ įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi. Kadangi įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių sandaugos teoremą $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ dešinė)\right)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

1 pavyzdys . Atsitiktinis dydis $X$ išreiškia grynuosius laimėjimus iš vienos loterijos „Russian Lotto“ bilietų, o atsitiktinis dydis $Y$ – grynuosius laimėjimus iš kitos loterijos „Auksinis raktas“ bilietų. Akivaizdu, kad atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ bus nepriklausomi, nes vienos loterijos bilietų laimėjimai nepriklauso nuo laimėjimų paskirstymo iš kitos loterijos bilietų dėsnio. Tuo atveju, kai atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ išreikštų tos pačios loterijos laimėjimus, akivaizdu, kad šie atsitiktiniai dydžiai būtų priklausomi.

2 pavyzdys . Du darbuotojai dirba skirtinguose cechuose ir gamina įvairius gaminius, nesusijusius vienas su kitu gamybos technologijomis ir naudojamomis žaliavomis. Sugedusių gaminių, pagamintų pirmojo darbuotojo per pamainą, paskirstymo įstatymas yra tokia forma:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ x & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,8 ir 0,2 \\
\hline
\end(masyvas)$

Sugedusių gaminių skaičius, kurį per pamainą pagamina antrasis darbuotojas, atitinka šį paskirstymo dėsnį.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ y & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,7 ir 0,3 \\
\hline
\end(masyvas)$

Raskime paskirstymo dėsnį sugedusių gaminių skaičiui, pagaminamų dviejų darbuotojų per pamainą.

Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra sugedusių gaminių, pagamintų pirmojo darbuotojo per pamainą, skaičius, o $Y$ – gaminių su trūkumais, pagamintų antrojo darbuotojo per pamainą, skaičius. Pagal sąlygą atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi.

Dviejų darbuotojų per pamainą pagamintų gaminių su defektais skaičius yra atsitiktinis dydis $X+Y$. Galimos jo vertės yra $0,\1$ ir $2$. Raskime tikimybes, su kuriomis atsitiktinis kintamasis $X+Y$ įgauna savo reikšmes.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\Y=1\ or\X=1,\Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\kairė(Y=1\dešinė)+P\kairė(X=1\dešinė)P\kairė(Y=0\dešinė)=0,8\ctaškas 0,3+0,2\ctaškas 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Tada sugedusių gaminių, pagamintų dviejų darbuotojų per pamainą, skaičiaus pasiskirstymo dėsnis:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ produktų skaičius & 0 & 1 ir 2 \\
\hline
Tikimybė ir 0,56 ir 0,38 ir 0,06\\
\hline
\end(masyvas)$

Ankstesniame pavyzdyje atlikome operaciją su atsitiktiniais dydžiais $X,\Y$, būtent, radome jų sumą $X+Y$. Dabar pateikime griežtesnį atsitiktinių dydžių operacijų (sudėties, skirtumo, daugybos) apibrėžimą ir pateiksime sprendimų pavyzdžius.

1 apibrėžimas. Atsitiktinio kintamojo $X$ sandauga $kX$ iš pastovaus kintamojo $k$ yra atsitiktinis kintamasis, kuris įgyja reikšmes $kx_i$ su tokiomis pačiomis tikimybėmis $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \taškai ,\ n\ dešinė)$.

2 apibrėžimas. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma (skirtumas arba sandauga) yra atsitiktinis dydis, kurio visos galimos formos $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ arba $x_i\cdot y_i$) , kur $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ – $y_j$:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dešinėje)= p_i\cdot p_j$.

3 pavyzdys . Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai $X,\ Y$ nurodomi jų tikimybių skirstymo dėsniais.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -8 ir 2 ir 3 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$

Suformuluokime atsitiktinio dydžio $Z=2X+Y$ pasiskirstymo dėsnį. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma, ty $X+Y$, yra atsitiktinis kintamasis, kurio visos galimos reikšmės yra $x_i+y_j$, kur $i=1,\ 2 ,\taškai ,\ n$ , su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ - $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dešinėje)= p_i\cdot p_j$.

Taigi, jis turi atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ pasiskirstymo dėsnius.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -16 ir 4 ir 6 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$

Kad būtų patogiau rasti visas sumos $Z=2X+Y$ reikšmes ir jų tikimybes, sudarysime pagalbinę lentelę, kurios kiekviename langelyje kairiajame kampe patalpinsime sumos $ reikšmes. Z=2X+Y$, o dešiniajame kampe – šių reikšmių tikimybės, gautos kaip rezultatas, padauginus atitinkamų atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ reikšmių tikimybes.

Dėl to gauname paskirstymą $Z=2X+Y$:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
z_i ir -14 ir -8 ir 6 ir 12 ir 10 ir 16 \\
\hline
p_i ir 0,12 ir 0,28 ir 0,03 ir 0,07 ir 0,15 ir 0,35 \\
\hline
\end(masyvas)$

Atsitiktinių įvykių priklausomybės ir nepriklausomybės sampratos. Sąlyginė tikimybė. Priklausomų ir nepriklausomų atsitiktinių įvykių tikimybių pridėjimo ir dauginimo formulės. Bendrosios tikimybės formulė ir Bayes formulė.

Tikimybių sudėjimo teoremos

Raskime įvykių A ir B sumos tikimybę (darant prielaidą, kad jų suderinamumas arba nesuderinamumas).

2.1 teorema.

Baigtinio skaičiaus nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai:

P\(A+B+\ltaškai+N\)=P\(A\)+P\(B\)+\ltaškai+P\(N\). 1 pavyzdys.

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. Sprendimas.

Reikalingas įvykis D įvyks, jei bus parduota 44 (renginys A) arba 45 (B renginys) arba bent 46 dydžio (C renginys) batų pora, t. y. įvykis D yra įvykių A, B, C suma. . Įvykiai A, B ir C yra nesuderinami. Todėl pagal tikimybių sumos teoremą gauname =0,\!17.

P\(D\)=P\(A+B+C\)=P\(A\)+P\(B\)+P\(C\)=0,\!12+0,\!04 +0,\!01 2 pavyzdys.

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. Renginiai „bus parduodama kita pora mažesnių nei 44 dydžio batų“ ir „bus parduodama ne mažesnė nei 44 dydžio batų pora“. Todėl pagal (1.2) formulę norimo įvykio atsiradimo tikimybė

P\(\overline(D)\)=1-P\(D\)=1-0,\!17=0,\!83.

nes P\(D\)=0,\!17, kaip buvo nustatyta 1 pavyzdyje.

Tikimybių sudėjimo teorema 2.1 galioja tik nesuderinamiems įvykiams. Naudojant jį bendrų įvykių tikimybei nustatyti, galima padaryti neteisingas ir kartais absurdiškas išvadas, kaip aiškiai matyti toliau pateiktame pavyzdyje. Tegu Electra Ltd pavedimo įvykdymas laiku įvertinamas 0,7 tikimybe. Kokia tikimybė, kad iš trijų užsakymų įmonė bent vieną įvykdys laiku? Įvykius, kad įmonė pirmą, antrą ir trečią užsakymus atliks laiku, žymime atitinkamai A, B, C. Jei norimai tikimybei rasti taikome 2.1 tikimybių sudėjimo teoremą, gauname P\(A+B+C\)=0,\!7+0,\!7+0,\!7=2,\!1. Įvykio tikimybė pasirodė didesnė nei viena, o tai neįmanoma. Tai paaiškinama tuo, kad įvykiai A, B, C yra jungtiniai. Iš tiesų, pirmojo užsakymo įvykdymas laiku neatmeta galimybės įvykdyti kitus du laiku.

Suformuluokime tikimybių sudėjimo teoremą dviejų bendrų įvykių atveju (bus atsižvelgta į jų bendro atsiradimo tikimybę).

2.2 teorema.

Dviejų bendrų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių dviejų įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykimo tikimybės:

P\(A+B\)=P\(A\)+P\(B\)-P\(AB\).

Priklausomi ir nepriklausomi renginiai. Sąlyginė tikimybė

Yra priklausomi ir nepriklausomi įvykiai. Du įvykiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų įvykimas nekeičia kito įvykio tikimybės. Pavyzdžiui, jei ceche veikia dvi automatinės linijos, kurios nėra tarpusavyje sujungtos dėl gamybos sąlygų, tai šių linijų sustojimai yra savarankiški įvykiai. 3 pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Tikimybė, kad „herbas“ atsiras pirmajame procese (įvykis A), nepriklauso nuo „herbo“ atsiradimo ar nepasirodymo antrajame procese (įvykis B). Savo ruožtu „herbo“ atsiradimo tikimybė antrajame bandyme nepriklauso nuo pirmojo bandymo rezultato. Taigi įvykiai A ir B yra nepriklausomi. Keli renginiai vadinami kolektyviai nepriklausomi

, jei kuris nors iš jų nepriklauso nuo jokio kito įvykio ir bet kokio kitų derinio. Renginiai vadinami, jei vienas iš jų turi įtakos kito tikimybei. Pavyzdžiui, dvi gamyklos yra sujungtos vienu technologiniu ciklu. Tuomet vieno iš jų gedimo tikimybė priklauso nuo kito būsenos. Vieno įvykio B tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvyks kitas įvykis A, vadinama sąlyginė tikimybėįvykis B ir žymimas P\(B|A\) .

Įvykio B nepriklausomumo nuo įvykio A sąlyga rašoma forma P\(B|A\)=P\(B\) , o jo priklausomybės sąlyga - forma P\(B|A\)\ne(P\(B\)). Panagrinėkime sąlyginės įvykio tikimybės apskaičiavimo pavyzdį.

4 pavyzdys. Dėžutėje yra 5 pjaustyklės: dvi dėvėtos ir trys naujos. Atliekami du iš eilės smilkinių ištraukimai. Nustatykite sąlyginę susidėvėjusio pjaustytuvo atsiradimo tikimybę antrojo ištraukimo metu, jei pirmą kartą išimtas pjaustytuvas nebus grąžintas į dėžę.

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. Pirmuoju atveju pažymėkime A susidėvėjusio pjaustytuvo ištraukimą, o \overline(A) – naujos ištraukimą. Tada P\(A\)=\frac(2)(5),~P\(\overline(A)\)=1-\frac(2)(5)=\frac(3)(5). Kadangi išimta freza į dėžę negrąžinama, pasikeičia susidėvėjusių ir naujų pjaustytuvų kiekių santykis. Vadinasi, tikimybė pašalinti susidėvėjusį pjaustytuvą antruoju atveju priklauso nuo to, koks įvykis įvyko anksčiau.

B pažymėkime įvykį, reiškiantį susidėvėjusio pjaustytuvo pašalinimą antruoju atveju. Šio įvykio tikimybė gali būti tokia:

P\(B|A\)=\frac(1)(4),~~~P\(B|\overline(A)\)=\frac(2)(4)=\frac(1)(2 ).

Todėl įvykio B tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis A įvyksta, ar ne.

Tikimybių daugybos formulės

Tegul įvykiai A ir B yra nepriklausomi ir žinomos šių įvykių tikimybės. Raskime įvykių A ir B sujungimo tikimybę.

2.3 teorema.

Dviejų nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B\).

Išvada 2.1.

Tikimybė, kad kartu įvyks keli įvykiai, kurie yra nepriklausomi visumoje, yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai: P\(A_1A_2\ldots(A_n)\)=P\(A_1\)P\(A_2\)\ltaškai(P\(A_n\)).

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. 5 pavyzdys. Trijose dėžutėse yra 10 dalių. Pirmoje dėžutėje yra 8 standartinės dalys, antroje – 7, trečioje – 9. Iš kiekvienos dėžės atsitiktine tvarka išimama po vieną dalį. Raskite tikimybę, kad visos trys išimtos dalys bus standartinės.. Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš antrojo langelio (įvykis B), P\(B\)=\frac(7)(10). Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš trečiojo langelio (įvykis C), P\(C\)=\frac(9)(10). Kadangi įvykiai A, B ir C yra nepriklausomi visumoje, norima tikimybė (pagal daugybos teoremą)

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B\)P\(C\)=\frac(4)(5)\frac(7)(10)\frac(9)(10) =0,\!504.

Tegu įvykiai A ir B yra priklausomi, o tikimybės P\(A\) ir P\(B|A\) yra žinomos. Raskime šių įvykių sandaugos tikimybę, ty tikimybę, kad atsiras ir įvykis A, ir įvykis B.

2.4 teorema.

Dviejų priklausomų įvykių bendro įvykimo tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe, apskaičiuota darant prielaidą, kad pirmasis įvykis jau įvyko:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B|A\);\qquad P\(AB\)=P\(B\)\cdot P\(A|B\)

Išvada 2.2. Kelių priklausomų įvykių bendro įvykimo tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės ir visų kitų sąlyginių tikimybių sandaugai, o kiekvieno paskesnio įvykio tikimybė apskaičiuojama darant prielaidą, kad visi ankstesni įvykiai jau įvyko .

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. 6 pavyzdys. Urnoje yra 5 balti rutuliukai, 4 juodi ir 3 mėlyni. Kiekvienas bandymas susideda iš vieno kamuoliuko ištraukimo atsitiktinai, negrąžinant jo į urną. Raskite tikimybę, kad pirmame bandyme (įvykis A) pasirodys baltas rutulys, antrajame – juodas (B įvykis) ir mėlynas – trečiajame (C įvykis). Tikimybė, kad per pirmąjį bandymą pasirodys baltas rutulys P\(A\)=\frac(5)(12). Tikimybė, kad antrojo bandymo metu pasirodys juodas rutulys, apskaičiuota darant prielaidą, kad baltas rutulys pasirodė per pirmąjį bandymą, t. y. sąlyginė tikimybė P\(B|A\)=\frac(4)(11). Tikimybė, kad trečiojo bandymo metu pasirodys mėlynas rutulys, apskaičiuota darant prielaidą, kad pirmame bandyme pasirodė baltas rutulys, o antrajame – juodas rutulys,

P\(C|AB\)=\frac(3)(10)

. Reikalinga tikimybė

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B|A\)P\(C|AB\)=\frac(5)(12)\frac(4)(11)\frac(3) )(10). Bendrosios tikimybės formulė 2.5 teorema. Bendrosios tikimybės formulė:

Jei įvykis A įvyksta tik tada, kai įvyksta vienas iš įvykių, sudarančių visą nesuderinamų įvykių grupę, tada įvykio A tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugų sumai.

B_1,B_2,\ltaškai (B_n)

į atitinkamą sąlyginę įvykio tikimybę Surinkimo linija gauna dalis iš trijų mašinų. Mašinų našumas nevienodas. Pirmoji mašina pagamina 50 % visų detalių, antroji – 30 %, o trečioji – 20 %. Aukštos kokybės mazgo tikimybė, kai naudojama dalis, pagaminta pirmoje, antroje ir trečioje mašinoje, yra atitinkamai 0,98, 0,95 ir 0,8. Nustatykite tikimybę, kad agregatas nulips nuo surinkimo linijos.

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. A pažymėkime įvykį, rodantį surinkto mazgo galiojimą;

B_1, B_2 ir B_3 - įvykiai, reiškiantys, kad dalys buvo pagamintos atitinkamai pirmoje, antroje ir trečioje mašinoje. Tada
P\(B_1\)=0,\!5;~~~~~P\(B_2\)=0,\!3;~~~~~P\(B_3\)=0,\!2;

P\(A|B_1\)=0,\!98;~~~P\(A|B_2\)=0,\!95;~~~P\(A|B_3\)=0,\!8 .

Reikalinga tikimybė

Bayes formulė Bendrosios tikimybės formulėŠi formulė naudojama sprendžiant praktines problemas, kai įvykis A atsiranda kartu su bet kuriuo iš įvykių Bendrosios tikimybės formulė, sudarantis ištisą įvykių grupę, įvyko ir būtina atlikti kiekybinį hipotezių tikimybių pakartotinį įvertinimą. . Priori (prieš patirtį) tikimybės P\(B_1\),P\(B_2\),\ltaškai (P\(B_n\)) žinomas. Reikia apskaičiuoti užpakalines (po eksperimento) tikimybes, t. y. iš esmės reikia rasti sąlygines tikimybes P\(B_1|A\),P\(B_2|A\),\ltaškai (P\(B_n|A\))

. Hipotezei B_j Bayes formulė atrodo taip:

P\(B_j|A\)=\frac(P\(B_j\) P\(A|B_j\))(P\(A\)).

Išplėsdami P\(A\) šioje lygybėje, naudodami bendrosios tikimybės formulę (2.1), gauname

P\(B_j|A\)=\dfrac(P\(B_j\)P\(A|B_j\))(\sum\limits_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\( A|B_i\)). 8 pavyzdys.