HTML-версии работы пока нет.
Подобные документы
Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.
презентация , добавлен 18.09.2013
Изучение понятия интегральной суммы. Верхний и нижний пределы интегрирования. Анализ свойств определенного интеграла. Доказательство теоремы о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Производная от интеграла по переменной верхней границе.
презентация , добавлен 11.04.2013
Ознакомление с понятием и основными свойствами определенного интеграла. Представление формулы расчета интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [а, b]. Равенство нулю интеграла при условии равенства нижнего и верхнего пределов интегрирования.
презентация , добавлен 18.09.2013
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
реферат , добавлен 30.10.2010
Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.
презентация , добавлен 11.09.2011
Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
курсовая работа , добавлен 21.10.2011
Понятие и свойства отражающей функции. Первый интеграл дифференциальной системы и условия существования. Условия возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. Определение связи между первым интегралом и эквивалентными системами.
курсовая работа , добавлен 21.08.2009
Понятие и исследование функции четной, нечетной и симметричной относительной оси. Понятие интервалов знакопостоянства. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Наименьшее и наибольшее значения функции и интеграла.
практическая работа , добавлен 25.03.2011
Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.
конспект урока , добавлен 23.10.2013
Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
Пусть функция f
(t
) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a.
Тогда каждому числу x
из этого промежутка можно поставить в соответствие число 
,
определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая принято называть определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Dx :
DI
(x
) = I
(x +
Dx
) – I
(x
) =
.
Как показано на Рис. 4, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения бывают и положительными, и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )Dx . Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx .
Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):
.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x
. Отсюда следует, что функция 
является первообразной для функции f
(x
), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a
значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде
. (1)
Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:
,
которая принято называть формулойНьютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f
(x
) по промежутку [a
;b
], нужно найти какую-либо первообразную F
(x
) функции f
(x
) и подсчитать разность значений первообразной в точках b
и a
. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом , ᴛ.ᴇ. 
.
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Пример 1
. 
.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной:
.
Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j (a ) = a ; j (b ) = b , а функции f , j , j¢ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример 2. .
Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:
.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменных нет крайне важности возвращаться к прежней переменной интегрирования. Достаточно лишь ввести новые пределы интегрирования.
Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число
I (x ) = I (x + x ) – I (x ) =
Как показано на рисунке 23, величина последнего интеграла в формуле для приращения I (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )x . Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина x .
Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):
.
Производная
определенного интеграла по верхнему
пределу в точке
x
равна
значению подынтегральной функции в
точке
x
.
Отсюда следует, что функция
является первообразной для функцииf
(x
),
причем такой первообразной, которая
принимает в точке x = a
значение, равное нулю. Этот факт дает
возможность представить определенный
интеграл в виде
. (9)
Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - некоторое число. При этом правая часть формулы (9) принимает вид
I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (10)
Из формул (9) и (10) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).
Для
того, чтобы вычислить определенный
интеграл от функции f
(x
)
по промежутку [a
;b
],
нужно найти какую-либо первообразную
F
(x
)
функции f
(x
)
и подсчитать разность значений
первообразной в точках b
и a
.
Разность этих значений первообразной
принято обозначать символом 
.
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры.
1.
.
2.
.
Сначала
вычислим неопределенный интеграл от
функции f
(x
) = xe
x
.
Используя метод интегрирования по
частям, получаем:
.
В качестве первообразной функцииf
(x
)
выберем функцию e
x
(x
– 1)
и применим формулу Ньютона-Лейбница:
I = e x (x – 1)= 1.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле :
.
Здесь и определяются, соответственно, из уравнений ( ) = a ; ( ) = b , а функции f , , должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример:
.
Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:
.
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t
, а буквой x
обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x
- переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x
) своего верхнего предела: 
. Легко доказать, что если f
(t
) интегрируема, то Ф(x
) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом
. Если функция f
(t
) непрерывна в окрестности точки t
= x
, то в этой точке функция Ф(x
) дифференцируема, и 
.
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во
. Дадим верхнему пределу x
приращение . Тогда 
, где c
- точка, лежащая между x
и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c
- точка, расположенная между x
и ). Так как f
(t
) непрерывна в точке t
= x
, то 
. Следовательно, существует 
, и 
. Теорема доказана.
Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f
(x
) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой 
36. Формула Ньютона-Лейбница.
Если f
(x
) непрерывна на отрезке [a
, b
], и F
(x
) - некоторая первообразная функции , то 
.
Док-во.
Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f
(x
). Так как F
(x
) - тоже первообразная, то Ф(x
) = F
(x
) + C
. Положим в этом равенстве x
= a
. Так как 
, то . В равенстве 
переобозначим переменные: для переменной интегрирования t
вернёмся к обозначению x
, верхний предел x
обозначим b
. Окончательно, 
.
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: 
(здесь читается как "подстановка от a
до b
"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: 
.
37. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.
Если u (x ) и v (x ) - две функции, заданные на промежутке [a , b ] и имеющие там непрерывные производные, то
Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.
Доказательство очень просто. Именно,
Так как по формуле интегрирования по частям будет
то откуда и следует (24).
Пусть f (z p , q ], а φ (x ) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a , b ], имеющая там непрерывную же производную φ "(x ) и удовлетворяющая неравенству p ≤ φ (x ) ≤ q .
В таком случае
Формула (22) выражает собой правило замены переменной в определенном интеграле. Оно напоминает правило замены переменной в интеграле неопределенном, но отличается от него тем, что здесь отпадает надобность в возвращении к старой переменной, т. к. формула (22) представляет собой равенство двух постоянных чисел. Заметим еще, что эта формула заменяет собой для случая определенных интегралов оба вида правила подстановки в интегралах неопределенных; только, применяя ее на практике, иной раз приходится читать ее слева направо, а иногда - справа налево.
Переходя к доказательству теоремы, обозначим интегралы, входящие в левую и правую части формулы (22), соответственно через I лев и I прав.
Пусть F (z ) - функция первообразная для f (z ). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница/p>
I прав = F [φ (b )] - F [φ (a )]. (23)
Что же касается I лев, то
Но согласно теореме будет
I лев = F [φ (b )] - F [φ (a )].
Отсюда и из (23) следует, что I лев = I прав.
38. Интегралы от чётных, нечётных и периодических функций.
Теореиа 1 . Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция:
Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:
Утверждение доказано.
Теореиа 2 . Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция:
Теорема доказывается аналогичным образом:
не зависит от λ. В частности,
Вычислим производную по λ от выражения в правой части этого равенства:
Несобственные интегралы
Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода . В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .
Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: .
Мы рассмотрим самый популярный случай . Техника работы с другими разновидностями – аналогична, и в конце параграфа будет ссылка на такие примеры.
Всегда ли существует несобственный интеграл ? Нет, не всегда.Подынтегральная функция должна быть непрерывной на промежутке
Справка: строго говоря, утверждение неверно: если есть разрывы функции, то в ряде случаев можно разбить полуинтервал на несколько частей и вычислить несколько несобственных интегралов. Для простоты здесь и далее я буду говорить, что несобственного интеграла не существует.
Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:
Здесь всё хорошо, подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , а, значит, несобственный интеграл существует. Обратите внимание, что криволинейная трапеция у нас – бесконечная
(не ограниченная справа) фигура.
Несобственный интеграл численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:
1) Первое, мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то 
», иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.
2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: 
. Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.
В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.
А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл 
(расходится) либо равен конечному отрицательному числу.
Несобственный интеграл может быть отрицательным.
Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Ваша задача найти ЧИСЛО либо доказать, что несобственный интеграл расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.
Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: 
. На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: 
.
На сегодняшней лекции мы продолжим изучение определенного интеграла и получим формулу для его вычисления. Как мы увидим позже, определенный интеграл равен приращению первообразной, и представляет собой постоянное число, равное площади криволинейной трапеции. Поэтому все методы вычисления неопределенного интеграла справедливы и для определенного интеграла.
Вопрос 1. Основные свойства определенного интеграла
Интеграл
был введен для случая a < b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.
Свойство 1. .
Эта формула получается из (1) при условии, что все Δx i = 0.
Свойство 2.
.
Эта формула получается из (1) при условии, что отрезок пробегается в обратном направлении (от b к а), т.е. все Δx i < 0.
Свойство 3. (свойство аддитивности)
Если функция f(x) интегрируема на отрезке и a < c < b, то
. (2)
Равенство (2) справедливо при любом расположении точек а, b и с (считаем, что функция f(x) интегрируема на большем из получающихся отрезков).
Свойство 4.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.
,
где k = const.
Свойство 5.
Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.
.
Замечание
- Свойство 5 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
- Свойства 4 и 5 в совокупности представляют собой свойство линейности определенного интеграла.
Вопрос 2. Оценки интеграла. Теорема о среднем
1. Если всюду на отрезке функция f(x) ≥ 0, то .
2.
Если всюду на отрезке f(x) ≥ g(x), то 
.
3.
Для функции f(x), определенной на отрезке , имеет место неравенство 
.
В частности, если всюду на отрезке то 
и .
4.
Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке , то 
.
Т.2.1. (теорема о среднем )
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка с, такая, что
. (3)
Равенство (3) называется формулой среднего значения , а величина f(c) - называется средним значением функции f(x) на отрезке .
Вопрос 3. Определенный интеграл как функция верхнего предела
Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, т.е. для "xÎ существует интеграл
Для того чтобы не смешивать обозначения предела и переменной интегрирования, обозначим переменную интегрирования через t. Тогда интеграл (4) запишется в виде Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х и обозначается Ф(х):
. (5)
Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.
Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).
Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке .
Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем справедливо равенство
.
Следствие
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на данном отрезке, причем функция Ф(x) - интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для функции f(x).
Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить
