Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга. "Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 10 арга" судалгааны бүтээл

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Сургуулийн математикийн хичээл дээр квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог судалдаг бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар та ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Гэсэн хэдий ч олон тэгшитгэлийг маш хурдан бөгөөд үр дүнтэй шийдвэрлэх боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр аргууд байдаг. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх арван арга байдаг. Би ажилдаа тус бүрийг нь нарийвчлан шинжилсэн.

1. АРГА : Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл.

Тэгшитгэлээ шийдье

x 2 + 10x - 24 = 0.

Зүүн талыг хүчин зүйлээр ангилъя:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

(x + 12)(x - 2) = 0

Бүтээгдэхүүн нь тэг учраас түүний хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэг байна. Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн тал нь тэг болно x = 2, мөн хэзээ x = - 12. Энэ нь тоо гэсэн үг 2 Тэгээд - 12 тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 + 10x - 24 = 0.

2. АРГА : Бүрэн квадратыг сонгох арга.

Тэгшитгэлээ шийдье x 2 + 6x - 7 = 0.

Зүүн талд бүрэн дөрвөлжин сонгоно уу.

Үүнийг хийхийн тулд бид x 2 + 6x илэрхийллийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Үүссэн илэрхийлэлд эхний гишүүн нь x тооны квадрат, хоёр дахь нь x-ийн 3-ын давхар үржвэр юм. Тиймээс бүрэн квадратыг авахын тулд та 3 2-ыг нэмэх хэрэгтэй.

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Одоо тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая

x 2 + 6x - 7 = 0,

үүн дээр нэмэх ба хасах 3 2. Бидэнд байгаа:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Тиймээс энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Тиймээс, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, эсвэл x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. АРГА :Томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлье

аа 2 +бx + c = 0, a ≠ 0

4a дээр ба дараалан бидэнд байна:

4a 2 x 2 + 4aбx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2axб + б 2 ) - б 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Жишээ.

A)Тэгшитгэлийг шийдье: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

a = 4,б= 7, s = 3,Д = б 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

Д > 0, хоёр өөр үндэс;

Тиймээс эерэг ялгаварлагчийн хувьд, i.e. цагт

б 2 - 4 ac >0 , тэгшитгэл аа 2 +бx + c = 0хоёр өөр үндэстэй.

б)Тэгшитгэлийг шийдье: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

a = 4,б= - 4, s = 1,Д = б 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

Д = 0, нэг үндэс;

Тэгэхээр, хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол, i.e. б 2 - 4 ac = 0 , дараа нь тэгшитгэл

аа 2 +бx + c = 0нэг үндэстэй

V)Тэгшитгэлийг шийдье: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

a = 2,б= 3, c = 4,Д = б 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , Д < 0.

Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Тэгэхээр, хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал, i.e. б 2 - 4 ac < 0 ,

тэгшитгэл аа 2 +бx + c = 0үндэсгүй.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо (1). аа 2 +бx + c = 0үндсийг нь олох боломжийг танд олгоно ямар ч квадрат тэгшитгэл (хэрэв байгаа бол), түүний дотор багасгасан ба бүрэн бус. Формула (1)-ийг амаар дараах байдлаар илэрхийлнэ. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь хуваагч нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бутархайтай тэнцүү бөгөөд энэ коэффициентийн квадратын квадрат язгуурыг хасч, эхний коэффициентийн үржвэрийг чөлөөт гишүүнээр дөрөв дахин нэмэгдүүлээгүй ба хуваагч нь эхний коэффициентээс хоёр дахин их байна.

4. АРГА: Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Мэдэгдэж байгаагаар бууруулсан квадрат тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

x 2 +px + в = 0. (1)

Үүний үндэс нь Вьетагийн теоремыг хангадаг бөгөөд энэ нь хэзээ a =1шиг харагдаж байна

x 1 + x 2 = - х

Эндээс бид дараах дүгнэлтийг гаргаж болно (p ба q коэффициентүүдээс бид язгуурын шинж тэмдгийг урьдчилан таамаглаж болно).

a) Хэрэв хагас гишүүн бол qөгөгдсөн тэгшитгэл (1) эерэг ( q > 0 ), тэгшитгэл нь тэнцүү тэмдэгтэй хоёр үндэстэй бөгөөд энэ нь хоёр дахь коэффициентээс хамаарна х. Хэрэв Р< 0 , тэгвэл хоёр үндэс нь сөрөг байвал Р< 0 , тэгвэл хоёр үндэс нь эерэг байна.

Жишээлбэл,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 Тэгээд x 2 = 1, учир нь q = 2 > 0 Тэгээд х = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 Тэгээд x 2 = - 1, учир нь q = 7 > 0 Тэгээд х= 8 > 0.

б) Чөлөөт гишүүн бол qөгөгдсөн тэгшитгэл (1) нь сөрөг ( q < 0 ), тэгвэл тэгшитгэл нь өөр өөр тэмдэгтэй хоёр үндэстэй байх ба том үндэс нь эерэг байх болно х < 0 , эсвэл сөрөг бол х > 0 .

Жишээлбэл,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 Тэгээд x 2 = 1, учир нь q= - 5 < 0 Тэгээд х = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 Тэгээд x 2 = - 1, учир нь q = - 9 < 0 Тэгээд х = - 8 < 0.

5. АРГА: "Шидэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье

аа 2 +бx + c = 0,Хаана a ≠ 0.

Хоёр талыг а-аар үржүүлснээр бид тэгшитгэлийг олж авна

a 2 x 2 + aбx + ac = 0.

Болъё аа = у, хаана x = y/a; Дараа нь бид тэгшитгэлд хүрнэ

y 2 +by+ ac = 0,

үүнтэй тэнцэнэ. Түүний үндэс 1 цагтТэгээд цагт 2-ыг Виетийн теоремыг ашиглан олж болно.

Эцэст нь бид авдаг

x 1 = y 1 /aТэгээд x 1 = y 2 /a.

Энэ аргын тусламжтайгаар коэффициент Атүүн рүү “шидэгдсэн” мэт чөлөөт нэр томьёогоор үржүүлсэн тул үүнийг нэрлэсэн шилжүүлэх арга. Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг хялбархан олох боломжтой, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Шийдэл.Коэффицент 2-ыг чөлөөт гишүүн рүү "шидээд" үр дүнд нь тэгшитгэлийг олж авцгаая

y 2 – 11y + 30 = 0.

Вьетагийн теоремын дагуу

y 2 = 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Хариулт: 2.5; 3.

6. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд.

А. Квадрат тэгшитгэл өгье

аа 2 +бx + c = 0,Хаана a ≠ 0.

1) Хэрэв, a+б+ c = 0 (өөрөөр хэлбэл коэффициентүүдийн нийлбэр тэг), тэгвэл x 1 = 1,

x 2 = s/a.

Баталгаа.Тэгшитгэлийн хоёр талыг ≠ 0-д хувааснаар бид багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

x 2 + б/ а x + в/ а = 0.

x 1 + x 2 = - б/ а,

x 1 x 2 = 1 в/ а.

Нөхцөлөөр А -б+ c = 0,хаана б= a + c.Тиймээс,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

тэдгээр. x 1 = -1Тэгээд x 2 =в/ а, бид үүнийг батлах хэрэгтэй байсан.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийг шийдье 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Шийдэл.Учир нь a +б+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0),Тэр

x 1 = 1, x 2 =в/ а = -208/345.

Хариулт: 1; -208/345.

2) Тэгшитгэлийг шийд 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Шийдэл.Учир нь a +б+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0),Тэр

x 1 = 1, x 2 =в/ а = 115/132.

Хариулт: 1; 115/132.

Б. Хэрэв хоёр дахь коэффициент б = 2 ктэгш тоо, дараа нь язгуур томъёо

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье 3х2 - 14х + 16 = 0.

Шийдэл. Бидэнд байгаа: a = 3,б= - 14, s = 16,к = - 7 ;

Д = к 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, Д > 0, хоёр өөр үндэс;

Копьевская хөдөөгийн дунд сургууль

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга

Дарга: Патрикеева Галина Анатольевна,

математикийн багш

Копево тосгон, 2007 он

1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх

1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл

1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдвэрлэсэн

1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл

1.4 Аль-Хорезмигийн квадрат тэгшитгэл

1.5 XIII - XVII зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл

1.6 Вьетагийн теоремын тухай

2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Дүгнэлт

Уран зохиол

1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх

1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл

Зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгцээ нь эрт дээр үед ч гэсэн газар нутгийн талбайг олох, цэргийн шинж чанартай газар шорооны ажилтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон, математикийн хөгжлийн нэгэн адил. Квадрат тэгшитгэлийг МЭӨ 2000 онд шийдэж болно. д. Вавилончууд.

Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийн дөрвөлжин бичвэрт бүрэн бус бичвэрүүдээс гадна, жишээлбэл, бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг гэж хэлж болно.

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлийн асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалт байхгүй.

Вавилонд алгебрийн хөгжил өндөр байсан ч дөрвөлжин тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий арга, сөрөг тооны тухай ойлголт дутмаг дөрвөлжин бичвэрт байдаг.

1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдвэрлэсэн.

Диофантусын Арифметик нь алгебрийн системчилсэн танилцуулгыг агуулаагүй боловч янз бүрийн зэрэглэлийн тэгшитгэл байгуулах замаар шийдэгдсэн, тайлбарын хамт системчилсэн цуврал асуудлуудыг агуулдаг.

Диофант тэгшитгэл зохиохдоо шийдлийг хялбарчлахын тулд үл мэдэгдэх зүйлийг чадварлаг сонгодог.

Жишээлбэл, энд түүний даалгаваруудын нэг юм.

Асуудал 11."Нийлбэр нь 20, үржвэр нь 96 гэдгийг мэдэж байгаа хоёр тоог ол"

Диофант дараах байдлаар тайлбарлав: асуудлын нөхцлөөс харахад шаардлагатай тоонууд нь тэнцүү биш, учир нь тэд тэнцүү байсан бол тэдгээрийн үржвэр нь 96 биш, харин 100-тай тэнцүү байх болно. Тиймээс тэдгээрийн нэг нь түүнээс их байх болно. тэдгээрийн нийлбэрийн тал хувь, өөрөөр хэлбэл. 10 + x, нөгөө нь бага, өөрөөр хэлбэл. 10-аад. Тэдний хоорондын ялгаа 2x.

Тиймээс тэгшитгэл:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-аад 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Эндээс x = 2. Шаардлагатай тоонуудын нэг нь тэнцүү байна 12 , бусад 8 . Шийдэл x = -2Учир нь Грекийн математик зөвхөн эерэг тоог мэддэг байсан тул Диофант байхгүй.

Хэрэв бид шаардлагатай тоонуудын аль нэгийг үл мэдэгдэх тоогоор сонгох замаар энэ асуудлыг шийдвэл тэгшитгэлийн шийдэлд хүрнэ.

y(20 - y) = 96,

цагт2 - 20у + 96 = 0. (2)

Шаардлагатай тоонуудын хагас зөрүүг үл мэдэгдэх байдлаар сонгосноор Диофант шийдлийг хялбарчлах нь тодорхой байна; тэрээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд асуудлыг багасгаж чадсан (1).

1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олдсон байдаг. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон.

Өө2 + бx = c, a > 0. (1)

(1) тэгшитгэлд коэффициентүүд, бусад А, мөн сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй адил юм.

Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байв. Энэтхэгийн хуучин номнуудын нэгэнд ийм уралдааны талаар: "Нар оддыг гялалзуулж, гялалзуулж байгаагийн хэрээр эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэх үед бусдын алдрыг гүйцэлдүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.

Энэ бол 12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикчийн асуудлын нэг юм. Бхаскарууд.

Асуудал 13.

“Сүрлэг сармагчингууд, усан үзмийн мод дагуух арван хоёр...

Эрх баригчид хоол идээд хөгжилдөв. Тэд үсэрч, унжиж эхлэв ...

Тэд талбай дээр байгаа, наймдугаар хэсэг.Тэнд хэдэн сармагчин байсан бэ?

Би цэвэрлэгээнд хөгжилдөж байсан. Надад хэлээч, энэ хайрцагт уу?

Бхаскарын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна (Зураг 3).

13-р асуудалд тохирох тэгшитгэл нь:

(x/8) 2 + 12 = x

Бхаскара нэрийн дор бичжээ.

X2 - 64x = -768

мөн энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг дөрвөлжин болгож дуусгахын тулд хоёр талд нэмнэ 32 2 , дараа нь авах:

X2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X1 = 16, x2 = 48.

1.4 Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл

Аль-Хорезмигийн алгебрийн зохиолд шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн болно. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү" гэх мэт. Өө2 + c =бX.

2) "Квадрат нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. Өө2 = s.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү байна," i.e. аа = с.

4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", i.e. Өө2 + c =бX.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. Өө2 + bx= s.

6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү" гэх мэт.bx+ c = аа2 .

Сөрөг тоог ашиглахаас зайлсхийсэн аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн нөхцөл нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч аль-жабр ба аль-мукабалагийн техникийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэрүүд бидний шийдвэртэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, эхний хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ

Аль-Хорезми 17-р зууны өмнөх бүх математикчдын нэгэн адил тэг шийдлийг харгалздаггүй бөгөөд энэ нь тодорхой практик асуудлуудад энэ нь хамаагүй учраас магадгүй юм. Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ аль-Хорезми тодорхой тоон жишээнүүд, дараа нь геометрийн нотолгоог ашиглан тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмийг тодорхойлсон.

Асуудал 14."Дөрвөлжин ба 21 тоо нь 10 язгууртай тэнцүү. Үндэс олох" (х тэгшитгэлийн язгуур гэж үзвэл2 + 21 = 10x).

Зохиогчийн шийдэл ийм байна: язгуурын тоог хоёр хуваавал 5-ыг авна, 5-ыг өөрөө үржүүл, үржвэрээс 21-ийг хасвал 4 үлдэнэ. 4-өөс үндсийг авбал 2-ыг авна. 5-аас 2-ыг хасна. , та 3-ыг авна, энэ нь хүссэн үндэс болно. Эсвэл 2-ыг 5-д нэмбэл 7 гарна, энэ нь бас үндэс юм.

Квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр гаргаж, тэдгээрийн шийдлийн томъёог өгсөн аль-Хорезмигийн товхимол бол бидэнд ирсэн анхны ном юм.

1.5 Европ дахь квадрат тэгшитгэлXIII- XVIIbb

Европ дахь аль-Хорезмийн шугамын дагуу квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн Абакус номонд анх гаргажээ. Исламын болон эртний Грекийн математикийн нөлөөг тусгасан энэхүү том бүтээл нь бүрэн дүүрэн, ойлгомжтой байдлаараа ялгагдана. Зохиогч нь асуудлыг шийдвэрлэх зарим шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт анх удаа сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд ойртжээ. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт Абакус номноос олон асуудлыг ашигласан. болон хэсэгчлэн XVIII.

PAGE_BREAK--

Нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрэм:

X2 + bx= c,

коэффициент тэмдгийн бүх боломжит хослолын хувьд б, -тайЕвропт зөвхөн 1544 онд М.Штифель томъёолсон.

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Виетээс авах боломжтой боловч Виет зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн ажлын ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрийг олж авдаг.

1.6 Вьетагийн теоремын тухай

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициент ба түүний язгуур хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн теоремыг Вьетагийн нэрээр нэрлэсэн бөгөөд тэрээр 1591 онд анх удаа дараах байдлаар томъёолжээ. Б+ Д, үржүүлсэн А- А2 , тэнцүү байна Б.Д, Тэр Атэнцүү байна INба тэнцүү Д».

Виетаг ойлгохын тулд бид үүнийг санах хэрэгтэй А, ямар ч эгшиг үсгийн нэгэн адил үл мэдэгдэх гэсэн утгатай (манай X), эгшиг IN,Д- үл мэдэгдэх коэффициентүүд. Орчин үеийн алгебрийн хэлээр дээрх Вьета томъёолол нь: хэрэв байгаа бол гэсэн утгатай

(а +б)x - x2 = ab,

X2 - (а +б)x + aб= 0,

X1 = a, x2 = б.

Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тэмдэгт ашиглан бичсэн ерөнхий томьёогоор илэрхийлэхдээ Виет тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэгдмэл байдлыг тогтоожээ. Гэсэн хэдий ч Вьетнамын бэлгэдэл орчин үеийн хэлбэрээс хол хэвээр байна. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс эерэг байсан тохиолдлуудыг л авч үзсэн.

2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Квадрат тэгшитгэлүүд нь алгебрийн гайхамшигт байгууламжийн үндэс суурь болдог. Квадрат тэгшитгэлийг тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал, трансцендентал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Бид бүгд сургуулиас (8-р анги) төгсөх хүртлээ квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг.

Сургуулийн математикийн хичээл дээр квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог судалдаг бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар та ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Гэсэн хэдий ч олон тэгшитгэлийг маш хурдан бөгөөд үр дүнтэй шийдвэрлэх боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр аргууд байдаг. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх арван арга байдаг. Би ажилдаа тус бүрийг нь нарийвчлан шинжилсэн.

1. АРГА : Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл.

Тэгшитгэлээ шийдье

X2 + 10x - 24 = 0.

Зүүн талыг хүчин зүйлээр ангилъя:

X2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

(x + 12)(x - 2) = 0

Бүтээгдэхүүн нь тэг учраас түүний хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэг байна. Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн тал нь тэг болно x = 2, мөн хэзээ x = - 12. Энэ нь тоо гэсэн үг 2 Тэгээд - 12 тэгшитгэлийн үндэс юм X2 + 10x - 24 = 0.

2. АРГА : Бүрэн квадратыг сонгох арга.

Тэгшитгэлээ шийдье X2 + 6x - 7 = 0.

Зүүн талд бүрэн дөрвөлжин сонгоно уу.

Үүнийг хийхийн тулд бид x2 + 6x илэрхийллийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

X2 + 6x = x2 + 2 х 3.

Үүссэн илэрхийлэлд эхний гишүүн нь х тооны квадрат, хоёр дахь нь x-ийн 3-ын давхар үржвэр юм. Тиймээс бүрэн квадратыг авахын тулд та 32-ыг нэмэх хэрэгтэй.

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2 .

Одоо тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая

X2 + 6x - 7 = 0,

үүн дээр нэмэх ба хасах 32. Бидэнд:

X2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

Тиймээс энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

(x + 3)2 - 16 =0, (x + 3)2 = 16.

Тиймээс, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, эсвэл x + 3 = -4, x2 = -7.

3. АРГА :Томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлье

Өө2 + бx + c = 0, a ≠ 0

4a дээр ба дараалан бидэнд байна:

4а2 X2 + 4aбx + 4ac = 0,

((2ах)2 + 2 цагб+ б2 ) - б2 + 4 ac= 0,

(2ax + b)2 = б2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Жишээ.

A)Тэгшитгэлийг шийдье: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,б= 7, s = 3,Д= б2 - 4 ac= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

Д> 0, хоёр өөр үндэс;

Тиймээс эерэг ялгаварлагчийн хувьд, i.e. цагт

б2 - 4 ac>0 , тэгшитгэл Өө2 + бx + c = 0хоёр өөр үндэстэй.

б)Тэгшитгэлийг шийдье: 4x2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,б= - 4, s = 1,Д= б2 - 4 ac= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

Д= 0, нэг үндэс;

Тэгэхээр, хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол, i.e. б2 - 4 ac= 0 , дараа нь тэгшитгэл

Өө2 + бx + c = 0нэг үндэстэй

V)Тэгшитгэлийг шийдье: 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,б= 3, c = 4,Д= б2 - 4 ac= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, Д< 0.

Үргэлжлэл
--PAGE_BREAK--

Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Тэгэхээр, хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал, i.e. б2 - 4 ac< 0 ,

тэгшитгэл Өө2 + бx + c = 0үндэсгүй.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо (1). Өө2 + бx + c = 0үндсийг нь олох боломжийг танд олгоно ямар ч квадрат тэгшитгэл (хэрэв байгаа бол), түүний дотор багасгасан ба бүрэн бус. Формула (1)-ийг амаар дараах байдлаар илэрхийлнэ. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь хуваагч нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бутархайтай тэнцүү бөгөөд энэ коэффициентийн квадратын квадрат язгуурыг хасч, эхний коэффициентийн үржвэрийг чөлөөт гишүүнээр дөрөв дахин нэмэгдүүлээгүй ба хуваагч нь эхний коэффициентээс хоёр дахин их байна.

4. АРГА: Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Мэдэгдэж байгаагаар бууруулсан квадрат тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

X2 + px+ в= 0. (1)

Үүний үндэс нь Вьетагийн теоремыг хангадаг бөгөөд энэ нь хэзээ a =1шиг харагдаж байна

/>x1 x2 = q,

x1 + x2 = - х

Эндээс бид дараах дүгнэлтийг гаргаж болно (p ба q коэффициентүүдээс бид язгуурын шинж тэмдгийг урьдчилан таамаглаж болно).

a) Хэрэв хагас гишүүн бол qөгөгдсөн тэгшитгэл (1) эерэг ( q> 0 ), тэгшитгэл нь тэнцүү тэмдэгтэй хоёр үндэстэй бөгөөд энэ нь хоёр дахь коэффициентээс хамаарна х. Хэрэв Р< 0 , тэгвэл хоёр үндэс нь сөрөг байвал Р< 0 , тэгвэл хоёр үндэс нь эерэг байна.

Жишээлбэл,

x2 – 3 x+ 2 = 0; x1 = 2 Тэгээд x2 = 1, учир нь q= 2 > 0 Тэгээд х= - 3 < 0;

x2 + 8 x+ 7 = 0; x1 = - 7 Тэгээд x2 = - 1, учир нь q= 7 > 0 Тэгээд х= 8 > 0.

б) Чөлөөт гишүүн бол qөгөгдсөн тэгшитгэл (1) нь сөрөг ( q< 0 ), тэгвэл тэгшитгэл нь өөр өөр тэмдэгтэй хоёр үндэстэй байх ба том үндэс нь эерэг байх болно х< 0 , эсвэл сөрөг бол х> 0 .

Жишээлбэл,

x2 + 4 x– 5 = 0; x1 = - 5 Тэгээд x2 = 1, учир нь q= - 5 < 0 Тэгээд х= 4 > 0;

x2 – 8 x– 9 = 0; x1 = 9 Тэгээд x2 = - 1, учир нь q= - 9 < 0 Тэгээд х= - 8 < 0.

5. АРГА: "Шидэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье

Өө2 + бx + c = 0,Хаана a ≠ 0.

Хоёр талыг а-аар үржүүлснээр бид тэгшитгэлийг олж авна

А2 X2 + aбx + ac = 0.

Болъё аа = у, хаана x = y/a; Дараа нь бид тэгшитгэлд хүрнэ

цагт2 + by+ ac = 0,

үүнтэй тэнцэнэ. Түүний үндэс цагт1 Тэгээд цагт 2-ыг Виетийн теоремыг ашиглан олж болно.

Эцэст нь бид авдаг

X1 = y1 /АТэгээд X1 = y2 /А.

Энэ аргын тусламжтайгаар коэффициент Атүүн рүү “шидэгдсэн” мэт чөлөөт нэр томьёогоор үржүүлсэн тул үүнийг нэрлэсэн шилжүүлэх арга. Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг хялбархан олох боломжтой, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье 2x2 – 11x + 15 = 0.

Шийдэл.Коэффицент 2-ыг чөлөөт гишүүн рүү "шидээд" үр дүнд нь тэгшитгэлийг олж авцгаая

цагт2 – 11у + 30 = 0.

Вьетагийн теоремын дагуу

/>/>/>/>/>цагт1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

цагт2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Хариулт: 2.5; 3.

6. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд.

А. Квадрат тэгшитгэл өгье

Өө2 + бx + c = 0,Хаана a ≠ 0.

1) Хэрэв, a+б+ c = 0 (өөрөөр хэлбэл коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэг), дараа нь x1 = 1,

X2 = s/a.

Баталгаа.Тэгшитгэлийн хоёр талыг ≠ 0-д хувааснаар бид багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

x2 + б/ а x+ в/ а= 0.

/>Вьетагийн теоремын дагуу

x1 + x2 = - б/ а,

x1 x2 = 1 в/ а.

Нөхцөлөөр А -б+ c = 0,хаана б= a + c.Тиймээс,

/>x1 + x2 = - А+ b/a= -1 – c/a,

x1 x2 = - 1 (- c/a),

тэдгээр. X1 = -1 Тэгээд X2 = в/ а, бид үүнийг батлах хэрэгтэй байсан.

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье 345x2 – 137x – 208 = 0.

Шийдэл.Учир нь a +б+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0),Тэр

X1 = 1, x2 = в/ а= -208/345.

Хариулт: 1; -208/345.

2) Тэгшитгэлийг шийд 132x2 – 247x + 115 = 0.

Шийдэл.Учир нь a +б+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0),Тэр

X1 = 1, x2 = в/ а= 115/132.

Хариулт: 1; 115/132.

Б. Хэрэв хоёр дахь коэффициент б= 2 ктэгш тоо, дараа нь язгуур томъёо

Үргэлжлэл
--PAGE_BREAK--

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье 3х2 - 14х + 16 = 0.

Шийдэл. Бидэнд байгаа: a = 3,б= - 14, s = 16,к= - 7 ;

Д= к2 – ac= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, Д> 0, хоёр өөр үндэс;

Хариулт: 2; 8/3

IN. Багасгасан тэгшитгэл

X2 + px +q= 0

ерөнхий тэгшитгэлтэй давхцаж байна a = 1, б= хТэгээд c =q. Тиймээс бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгуур томъёо нь байна

хэлбэрийг авдаг:

Формула (3) нь ялангуяа хэрэглэхэд тохиромжтой Р- тэгш тоо.

Жишээ.Тэгшитгэлээ шийдье X2 – 14x – 15 = 0.

Шийдэл.Бидэнд байгаа: X1,2 =7±

Хариулт: x1 = 15; X2 = -1.

7. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл.

Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол.

X2 + px+ q= 0

Хоёр ба гурав дахь нөхцлүүдийг баруун тийш шилжүүлбэл бид авна

X2 = - px- q.

y = x2 ба y = - px- q хамаарлын графикуудыг байгуулъя.

Эхний хамаарлын график нь эхийг дайран өнгөрөх парабол юм. Хоёр дахь хамаарлын график -

шулуун (Зураг 1). Дараах тохиолдлууд боломжтой.

Шулуун шугам ба парабол хоёр цэг дээр огтлолцож болно, огтлолцох цэгүүдийн абсцисса нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс;

Шулуун шугам ба парабол нь хүрч болно (зөвхөн нэг нийтлэг цэг), i.e. тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй;

Шулуун шугам ба параболд нийтлэг цэг байдаггүй, өөрөөр хэлбэл. квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийг графикаар шийдье X2 - 3x - 4 = 0(Зураг 2).

Шийдэл.Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье X2 = 3x + 4.

Парабол бүтээцгээе у = x2 ба шууд y = 3x + 4. Шууд

y = 3x + 4хоёр цэгээс барьж болно М (0; 4)Тэгээд

Н(3; 13) . Шулуун шугам ба парабол хоёр цэг дээр огтлолцоно

АТэгээд INабсциссатай X1 = - 1 Тэгээд X2 = 4 . Хариулт : X1 = - 1;

X2 = 4.

2) Тэгшитгэлийг графикаар шийдье (Зураг 3) X2 - 2x + 1 = 0.

Шийдэл.Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье X2 = 2х - 1.

Парабол бүтээцгээе у = x2 ба шууд y = 2x - 1.

Шууд y = 2x - 1хоёр цэгээс барих М (0; - 1)

Тэгээд Н(1/2; 0) . Шулуун шугам ба парабол хоёр нэг цэг дээр огтлолцоно А-тай

абсцисса x = 1. Хариулт: x = 1.

3) Тэгшитгэлийг графикаар шийдье X2 - 2x + 5 = 0(Зураг 4).

Шийдэл.Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье X2 = 5x - 5. Парабол бүтээцгээе у = x2 ба шууд y = 2x - 5. Шууд y = 2x - 5 M(0; - 5) ба N(2.5; 0) гэсэн хоёр цэгээс байгуулъя. Шулуун шугам ба парабол нь огтлолцох цэггүй, өөрөөр хэлбэл. Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Хариулт.Тэгшитгэл X2 - 2x + 5 = 0үндэсгүй.

8. АРГА: Луужин ба захирагч ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Парабол ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график арга нь тохиромжгүй юм. Хэрэв та параболын цэгийг цэгээр барьвал маш их цаг хугацаа шаардагдах бөгөөд олж авсан үр дүнгийн нарийвчлалын зэрэг бага байна.

Би квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох дараах аргыг санал болгож байна Өө2 + бx + c = 0луужин ба захирагч ашиглан (Зураг 5).

Хүссэн тойрог нь тэнхлэгийг огтолж байна гэж үзье

цэг дэх абсцисса Б(х1 ; 0) Тэгээд Д(X2 ; 0), Хаана X1 Тэгээд X2 - тэгшитгэлийн үндэс Өө2 + бx + c = 0, мөн цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг

A(0; 1)Тэгээд C(0;в/ а) ординатын тэнхлэг дээр. Дараа нь секантын теоремоор бид байна О.Б. О.Д.= О.А. О.Ч., хаана О.Ч.= О.Б. О.Д./ О.А.= x1 X2 / 1 = в/ а.

Тойргийн төв нь перпендикуляруудын огтлолцлын цэг дээр байна SFТэгээд С.К., хөвчний дунд хэсэгт сэргээгдсэн А.С.Тэгээд Б.Д, Тийм учраас

1) цэгүүдийг барих (тойргийн төв) ба А(0; 1) ;

2) радиустай тойрог зур С.А.;

3) энэ тойргийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсцисс Өөнь анхны квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Энэ тохиолдолд гурван тохиолдол байж болно.

1) Тойргийн радиус нь төвийн ординатаас их байна (AS> С.К., эсвэлР> а+ в/2 а) , тойрог нь Үхрийн тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байна (Зураг 6, а) Б(х1 ; 0) Тэгээд Д(X2 ; 0) , Хаана X1 Тэгээд X2 - квадрат тэгшитгэлийн үндэс Өө2 + бx + c = 0.

2) Тойргийн радиус нь төвийн ординаттай тэнцүү байна (AS= С.Б., эсвэлР= а+ в/2 а) , тойрог нь Үхрийн тэнхлэгт хүрнэ (Зураг 6, b) цэг дээр Б(х1 ; 0) , энд x1 нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Үргэлжлэл
--PAGE_BREAK--

3) Тойргийн радиус нь төвийн ординатаас бага, тойрог нь абсцисса тэнхлэгтэй нийтлэг цэггүй (Зураг 6, в), энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй болно.

Жишээ.

Тэгшитгэлээ шийдье X2 - 2х - 3 = 0(Зураг 7).

Шийдэл.Тойргийн төв цэгийн координатыг томъёогоор тодорхойлъё.

SA радиустай тойрог зуръя, энд A (0; 1).

Хариулт:X1 = - 1; X2 = 3.

9. АРГА: Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Энэ бол 83-р хуудсанд байрлуулсан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хуучин бөгөөд мартагдашгүй арга юм (Брадис В.М. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүдийг үзнэ үү. - М., Просвещение, 1990).

Хүснэгт XXII. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх номограмм z2 + pz+ q= 0 . Энэхүү номограмм нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр түүний коэффициентийг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Номограммын муруйн хуваарийг томъёоны дагуу бүтээв (Зураг 11):

Итгэж байна OS = p,ED= q, OE = a(бүгд см-ээр), гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас САНТэгээд CDFБид пропорцийг авдаг

Энэ нь орлуулалт болон хялбаршуулсаны дараа тэгшитгэлийг гаргана

z2 + pz+ q= 0,

болон захидал zмуруй хуваарийн аль ч цэгийн тэмдгийг хэлнэ.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийн хувьд z2 - 9 z+ 8 = 0 номограмм үндэс өгдөг

z1 = 8,0 Тэгээд z2 = 1,0 (Зураг 12).

2) Номограмм ашиглан бид тэгшитгэлийг шийддэг

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентийг 2-т хувааснаар бид тэгшитгэлийг олж авна

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

Номограмм нь үндэс өгдөг z1 = 4 Тэгээд z2 = 0,5.

3) Тэгшитгэлийн хувьд

z2 - 25 z+ 66 = 0

p ба q коэффициентүүд хуваарийн гадна байгаа тул орлуулалтыг хийцгээе z= 5 т, бид тэгшитгэлийг авна

т2 - 5 т+ 2,64 = 0,

Үүнийг бид номограмм ашиглан шийдэж, олж авдаг т1 = 0,6 Тэгээд т2 = 4,4, хаана z1 = 5 т1 = 3,0 Тэгээд z2 = 5 т2 = 22,0.

10. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн арга.

Эрт дээр үед геометр нь алгебраас илүү хөгжсөн үед квадрат тэгшитгэлийг алгебрийн аргаар бус геометрийн аргаар шийддэг байсан. Би аль-Хорезмигийн "Алгебр"-аас алдартай жишээ хэлье.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийг шийдье X2 + 10x = 39.

Анхны хувилбарт энэ бодлогыг дараах байдлаар томъёолсон: "Квадрат ба арван үндэс нь 39-тэй тэнцүү" (Зураг 15).

Шийдэл.Хажуу тал нь х талтай квадратыг авч үзье, тэгш өнцөгтүүд нь түүний тал тус бүрийн нөгөө тал нь 2.5 байхаар баригдсан тул тус бүрийн талбай нь 2.5x байна. Үр дүнгийн зургийг дараа нь ABCD шинэ дөрвөлжин болгон нэмж, булангуудад дөрвөн тэнцүү квадратыг барьж, тус бүрийн тал нь 2.5, талбай нь 6.25 байна.

Дөрвөлжин Сдөрвөлжин A B C Dталбайн нийлбэрээр илэрхийлж болно: анхны квадрат X2 , дөрвөн тэгш өнцөгт (4 2.5x = 10x)дөрвөн хавсаргасан квадрат (6,25 4 = 25) , өөрөөр хэлбэл С= X2 + 10x + 25.Солих

X2 + 10xтоо 39 , бид үүнийг ойлгодог С= 39 + 25 = 64 , энэ нь талбайн тал гэсэн үг юм A B C D, өөрөөр хэлбэл шугамын сегмент AB = 8. Шаардлагатай талын хувьд XБид анхны квадратыг авдаг

2) Гэхдээ жишээлбэл, эртний Грекчүүд тэгшитгэлийг хэрхэн шийдсэн цагт2 + 6у - 16 = 0.

ШийдэлЗурагт үзүүлэв. 16, хаана

цагт2 + 6y = 16, эсвэл y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Шийдэл.Илэрхийлэл цагт2 + 6у + 9Тэгээд 16 + 9 геометрийн хувьд ижил квадрат, анхны тэгшитгэлийг илэрхийлнэ цагт2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- ижил тэгшитгэл. Бид үүнийг хаанаас авдаг y + 3 = ± 5,эсвэл цагт1 = 2, y2 = - 8 (Зураг 16).

3) Геометрийн тэгшитгэлийг шийд цагт2 - 6у - 16 = 0.

Тэгшитгэлийг хувиргаснаар бид олж авна

цагт2 - 6y = 16.

Зураг дээр. 17 илэрхийллийн "зураг"-ыг олоорой цагт2 - 6у,тэдгээр. y талтай квадратын талбайгаас тэнцүү талтай квадратын талбайг хас 3 . Энэ нь хэрэв илэрхийлэлд гэсэн үг юм цагт2 - 6унэмэх 9 , дараа нь бид талтай дөрвөлжингийн талбайг авна у - 3. Илэрхийлэлийг солих цагт2 - 6утэнцүү тоо 16,

бид авах: (y - 3)2 = 16 + 9, тэдгээр. y - 3 = ± √25, эсвэл y - 3 = ± 5, энд цагт1 = 8 Тэгээд цагт2 = - 2.

Дүгнэлт

Квадрат тэгшитгэлийг тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал, трансцендентал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг.

Гэсэн хэдий ч квадрат тэгшитгэлийн ач холбогдол нь зөвхөн асуудлыг шийдэх дэгжин, товчхон байдалд оршдоггүй, гэхдээ энэ нь маш чухал юм. Бодлого шийдвэрлэхэд квадрат тэгшитгэлийг ашигласны үр дүнд шинэ нарийн ширийн зүйлийг ихэвчлэн олж илрүүлж, сонирхолтой ерөнхий дүгнэлт хийж, тодруулга хийх боломжтой байдаг нь ижил төстэй чухал ач холбогдолтой бөгөөд энэ нь үр дүнд бий болсон томьёо, хамааралд дүн шинжилгээ хийх замаар санал болгодог.

Энэ ажилд танилцуулсан сэдвийг хараахан огт судлаагүй, зүгээр л судлаагүй байгаа тул далд, үл мэдэгдэх олон зүйлээр дүүрэн байгаа нь цаашдын ажилд маш сайн боломж олгож байгааг тэмдэглэхийг хүсч байна. үүндээр.

Энд би квадрат тэгшитгэлийг шийдэх асуудалд анхаарлаа хандуулсан бөгөөд юу вэ?

Хэрэв тэдгээрийг шийдэх өөр арга зам байгаа бол?! Дахин хэлэхэд сайхан хэв маяг, зарим баримт, тодруулга олж, ерөнхий дүгнэлт хийж, илүү олон шинэ зүйлийг олж мэдээрэй. Гэхдээ эдгээр нь ирээдүйн ажилд зориулсан асуултууд юм.

Дүгнэж хэлэхэд, бид дүгнэж болно: квадрат тэгшитгэл нь математикийн хөгжилд асар их үүрэг гүйцэтгэдэг. Бид бүгд сургуулиас (8-р анги) төгсөх хүртлээ квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг. Энэхүү мэдлэг нь бидний амьдралын туршид бидэнд хэрэгтэй байж болно.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх эдгээр аргууд нь хэрэглэхэд хялбар тул математик сонирхдог оюутнуудад сонирхолтой байх нь гарцаагүй. Миний ажил математикийн бидэнд тавьж буй даалгавруудыг өөрөөр харах боломжийг олгодог.

Уран зохиол:

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. болон бусад Алгебр, 6-8. Ахлах сургуулийн 6-8 дугаар ангийн туршилтын сурах бичиг. - М., Боловсрол, 1981 он.

2. Брэдис В.М. Ахлах сургуулийн дөрвөн оронтой математикийн хүснэгт. Ed. 57 дахь. - М., Боловсрол, 1990. P. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Алгебр ба анхан шатны функцийн асуудлын ном. Дунд мэргэжлийн боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг. - М., дээд сургууль, 1969 он.

4. Окунев А.К. Квадрат функц, тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Багшийн гарын авлага. - М., Боловсрол, 1972.

5. Пресман А.А. Луужин ба захирагч ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. - М., Квант, No 4/72. P. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Математикийн асуулт, асуудлын цуглуулга. Эд. - 4, нэмэлт - М., Дээд сургууль, 1973 он.

7. Худобин А.И. Алгебр ба энгийн функцүүдийн талаархи бодлогуудын цуглуулга. Багшийн гарын авлага. Эд. 2 дахь. - М., Боловсрол, 1970.

тайлбар

1. АРГА: Тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйлээр ялгах

2. АРГА: Бүрэн квадрат олборлох арга.

4. АРГА: Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

5. АРГА: “Шидэх” аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

6. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентийн шинж чанарууд

7. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл

8. АРГА: Квадрат тэгшитгэлийг луужин ба захирагч ашиглан шийдвэрлэх.

9. АРГА: Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Дүгнэлт

Точилкина Юлия

"Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 10 арга" сэдэвт судалгааны ажил

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага

"59-р дунд сургууль"

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга

(хийсвэр ажил)

Гүйцэтгэсэн: 8А ангийн сурагч

MBOU "Барнаул хотын 59-р дунд сургууль

Точилкина Юлия

Удирдагч:

Захарова Людмила Владимировна,

математикийн багш, МБОУ "59-р дунд сургууль"

Барнаул

Оршил ……………………………………………………………...2

I. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх ……………………………...3

1. Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл……………………………4

2. Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдсэн бэ …………………5

3. Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл……………………………………………………6

4. Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл………………………………….7

5. Европ дахь квадрат тэгшитгэлүүд XIII - XVII зууны …………………......9

6. Виетийн теоремын тухай………………………………………………………………….10

……………………….........11

1. Тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин төгөлдөр болгох .................... ............. 12
2. Бүрэн квадратыг тусгаарлах арга.……………………………………13
3. Томъёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ……………………………………14
4. Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх…………………16

5. Дамжуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх”……………………………….18

1. Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентийн шинж чанарууд…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….19

7. Квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл……………………..……….. 21

8. Квадрат тэгшитгэлийг луужин ба захирагч ашиглан шийдвэрлэх……….. 24

9. Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ………………. 26

10. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн арга……………….28

III. Дүгнэлт …………………………………………………..........................30

Уран зохиол……………………………………………………………………………….32

Алгебр судалж байгаа хүн нэг асуудлыг гурав, дөрвөн өөр бодлого бодвол гурван өөр аргаар шийдэх нь ихэвчлэн ашигтай байдаг. Нэг асуудлыг янз бүрийн аргаар шийдсэнээр аль нь богино, илүү үр дүнтэй болохыг харьцуулах замаар олж мэдэх боломжтой. Ингэж л туршлагыг хөгжүүлдэг."

В.Сойер

1. Танилцуулга

Сургуулийн алгебрийн хичээлд тэгшитгэлийн онол тэргүүлэх байр суурийг эзэлдэг. Сургуулийн математикийн хичээлийн бусад сэдвээс илүү тэдний судалгаанд илүү их цаг зарцуулдаг. Энэ нь амьдралын ихэнх асуудлууд янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ирдэгтэй холбоотой юм.

8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт квадрат тэгшитгэлийн хэд хэдэн төрлүүдтэй танилцаж, томъёогоор шийдвэрлэх дадлага хийдэг. Надад асуулт байсан: "Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх өөр аргууд байдаг уу? Эдгээр аргууд нь хэр төвөгтэй бөгөөд тэдгээрийг практикт ашиглаж болох уу? Тиймээс энэ хичээлийн жилд би квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой судалгааны сэдвийг сонгосон бөгөөд ажлынхаа явцад “Квадрат тэгшитгэл шийдвэрлэх 10 арга” гэж нэрлэсэн.Энэ сэдвийн хамааралЭнэ нь алгебр, геометр, физикийн хичээлүүдэд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн тулгардаг. Тиймээс оюутан бүр квадрат тэгшитгэлийг зөв, оновчтой шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой; энэ нь илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд, тэр дундаа 9-р ангид шалгалт өгөхөд надад тустай байх болно.

Ажлын зорилго: квадрат тэгшитгэлийг шийдэж сурах, тэдгээрийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргыг судлах.

Энэ зорилгодоо үндэслэн би дараах зүйлийг тавьсандаалгавар:

Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүхийг судлах;

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх стандарт ба стандарт бус аргуудыг авч үзэх;

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн тохиромжтой аргуудыг тодорхойлох;

Квадрат тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдэж сур.

Судалгааны объект: квадрат тэгшитгэл.

Судалгааны сэдэв: гарын авлагаас квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Судалгааны аргууд:

Онолын: судалгааны сэдвээр уран зохиол судлах;

Интернет мэдээлэл.

Шинжилгээ: уран зохиолын судалгаанаас олж авсан мэдээлэл;

Квадрат тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэхэд гарсан үр дүн.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглах оновчтой байдлын аргуудын харьцуулалт.

Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх.

1. Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл.

Эрт дээр үед зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ нь газар нутгийг олох, цэргийн шинж чанартай малтлага хийхтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон, математикийн хөгжил өөрөө. Квадрат тэгшитгэлийг МЭӨ 2000 онд шийдэж болно. д. Вавилончууд.

Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийн дөрвөлжин бичвэрт бүрэн бус бичвэрүүдээс гадна, жишээлбэл, бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг гэж хэлж болно.

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14.5

Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлийн асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалт байхгүй.

Вавилонд алгебрийн хөгжил өндөр байсан ч дөрвөлжин тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий арга, сөрөг тооны тухай ойлголт дутмаг дөрвөлжин бичвэрт байдаг.

2. Грек дэх квадрат тэгшитгэлүүд эсвэл Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдсэн тухай.

Диофантусын Арифметик нь алгебрийн системчилсэн танилцуулгыг агуулаагүй боловч янз бүрийн зэрэглэлийн тэгшитгэл байгуулах замаар шийдэгдсэн, тайлбарын хамт системчилсэн цуврал асуудлуудыг агуулдаг.

Диофант тэгшитгэл зохиохдоо шийдлийг хялбарчлахын тулд үл мэдэгдэх зүйлийг чадварлаг сонгодог.

Жишээлбэл, энд түүний даалгаваруудын нэг юм.

Асуудал 11. "Нийлбэр нь 20, үржвэр нь 96 гэдгийг мэдэж байгаа хоёр тоог ол"

Диофант дараах байдлаар тайлбарлав: асуудлын нөхцлөөс харахад шаардлагатай тоонууд нь тэнцүү биш, учир нь тэд тэнцүү байсан бол тэдгээрийн үржвэр нь 96 биш, харин 100-тай тэнцүү байх болно. Тиймээс тэдгээрийн нэг нь түүнээс их байх болно. тэдгээрийн нийлбэрийн тал хувь, өөрөөр хэлбэл. 10 + x , нөгөө нь бага, өөрөөр хэлбэл. 10-аад . Тэдний хоорондын ялгаа 2x.

Тиймээс тэгшитгэл:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Тиймээс x = 2 . Шаардлагатай тоонуудын нэг нь тэнцүү байна 12, бусад 8. Шийдэл x = -2 Учир нь Грекийн математик зөвхөн эерэг тоог мэддэг байсан тул Диофант байхгүй.

Хэрэв бид шаардлагатай тоонуудын аль нэгийг үл мэдэгдэх тоогоор сонгох замаар энэ асуудлыг шийдвэл тэгшитгэлийн шийдэлд хүрнэ.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Шаардлагатай тоонуудын хагас зөрүүг үл мэдэгдэх байдлаар сонгосноор Диофант шийдлийг хялбарчлах нь тодорхой байна; тэрээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд асуудлыг багасгаж чадсан (1).

3. Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэлийн бодлогуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолоос олж болно. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон. ax 2 + bx = c, a > 0. (1)

(1) тэгшитгэлд коэффициентүүд, бусадА , мөн сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй адил юм. Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байв. Энэтхэгийн хуучин номнуудын нэгэнд ийм уралдааны талаар: "Нар оддыг гялалзуулж, гялалзуулж байгаагийн хэрээр эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэх үед бусдын алдрыг гүйцэлдүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.

Энэ бол 12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикчийн асуудлын нэг юм. Бхаскарууд.

Даалгавар.

“Сүрлэг сармагчингууд, усан үзмийн мод дагуух арван хоёр...

Эрх баригчид хоол идээд хөгжилдөв. Тэд үсэрч, унжиж эхлэв ...

Тэд талбай дээр байгаа, наймдугаар хэсэг.Тэнд хэдэн сармагчин байсан бэ?

Би цэвэрлэгээнд хөгжилдөж байсан. Надад хэлээч, энэ хайрцагт уу?

Бхаскарын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна (Зураг 1).

Асуудалд тохирох тэгшитгэл нь:

(x/8) 2 + 12 = x

Бхаскара нэрийн дор бичжээ. x 2 - 64x = -768

мөн үүний зүүн талыг дуусгах

тэгшитгэлийг квадрат болгож, хоёр талд нэмнэ 32 2, дараа нь авна: x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024, Зураг 1

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

4. Аль-Хорезмигийн квадрат тэгшитгэл.

Аль-Хорезмигийн алгебрийн зохиолд шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн болно. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү" гэх мэт. Өө 2 + c = bx.

2) "Квадрат нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. Өө 2 = с.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү байна," i.e. аа = с.

4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", i.e. Өө 2 + c = bx.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. Өө 2 + bx = c.

6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү" гэх мэт. bx + c = аа 2 .

Сөрөг тоог ашиглахаас зайлсхийсэн аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн нөхцөл нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч аль-жабр ба аль-мукабалагийн техникийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Түүний шийдэл нь орчин үеийн шийдэлтэй бүрэн давхцахгүй нь мэдээж. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, нэгдүгээр төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ аль-Хорезми 17-р зууныг хүртэл бүх математикчдын нэгэн адил тэг шийдийг харгалздаггүй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Магадгүй тодорхой практикт энэ нь даалгаварт хамаагүй. Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ аль-Хорезми тодорхой тоон жишээнүүд, дараа нь геометрийн нотолгоог ашиглан тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмийг тодорхойлсон.

Даалгавар. "Дөрвөлжин ба 21 тоо нь 10 язгууртай тэнцүү. Үндэс олох"

(х тэгшитгэлийн язгуур гэж үзвэл 2 + 21 = 10x).

Зохиогчийн шийдэл ийм байна: язгуурын тоог хоёр хуваавал 5-ыг авна, 5-ыг өөрөө үржүүл, үржвэрээс 21-ийг хасвал 4 үлдэнэ. 4-өөс үндсийг авбал 2-ыг авна. 5-аас 2-ыг хасна. , та 3-ыг авна, энэ нь хүссэн үндэс болно. Эсвэл 2-ыг 5-д нэмбэл 7 гарна, энэ нь бас үндэс юм.

Квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр гаргаж, тэдгээрийн шийдлийн томъёог өгсөн аль-Хорезмигийн товхимол бол бидэнд ирсэн анхны ном юм.

5. XIII - XVII зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл.

Европ дахь аль-Хорезмигийн шугамын дагуу квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д анх гаргажээ. Исламын болон эртний Грекийн математикийн нөлөөг тусгасан энэхүү том бүтээл нь бүрэн дүүрэн, ойлгомжтой байдлаараа ялгагдана. Зохиогч нь асуудлыг шийдвэрлэх зарим шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт анх удаа сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд ойртжээ. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт Абакус номноос олон асуудлыг ашигласан. болон хэсэгчлэн XVIII.

Нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрэм: x 2 + bx = c,

коэффициент тэмдгийн бүх боломжит хослолын хувьдб, в Европт зөвхөн 1544 онд М.Штифель томъёолсон.

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Виетээс авах боломжтой боловч Виет зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн ажлын ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрийг олж авдаг.

6. Вьетагийн теоремын тухай.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициент ба түүний язгуур хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн теоремыг Вьетагийн нэрээр нэрлэсэн бөгөөд тэрээр 1591 онд анх удаа дараах байдлаар томъёолжээ. B + D үржвэр А - А 2 нь BD, дараа нь A нь B, D-тэй тэнцүү."

Виетаг ойлгохын тулд бид үүнийг санах хэрэгтэйА , ямар ч эгшиг үсгийн нэгэн адил үл мэдэгдэх гэсэн утгатай (манай x), эгшиг B, D - үл мэдэгдэх коэффициентүүд. Орчин үеийн алгебрийн хэлээр дээрх Вьета томъёолол нь: хэрэв байгаа бол гэсэн утгатай

(a + b)x - x 2 = ab, i.e.

x 2 - (a + b)x + ab = 0, тэгвэл

x 1 = a, x 2 = b.

Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тэмдэгт ашиглан бичсэн ерөнхий томьёогоор илэрхийлэхдээ Виет тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэгдмэл байдлыг тогтоожээ. Гэсэн хэдий ч Вьетнамын бэлгэдэл орчин үеийн хэлбэрээс хол хэвээр байна. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс эерэг байсан тохиолдлуудыг л авч үзсэн.

II. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Квадрат тэгшитгэлүүд нь алгебрийн гайхамшигт байгууламжийн үндэс суурь болдог. Квадрат тэгшитгэлийг тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал, трансцендентал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг.Тэдний тусламжтайгаар олон практик асуудлыг шийддэг. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэл нь автомашины зогсох зай, сансрын хөлгийг тойрог замд оруулах пуужингийн хүч, энгийн бөөмсөөс од хүртэлх янз бүрийн физик объектуудын траекторийг тооцоолох боломжийг олгодог.

Сургуульд квадрат тэгшитгэлийн үндэсийн томъёог судалдаг бөгөөд үүний тусламжтайгаар та ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Гэсэн хэдий ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр аргууд байдаг бөгөөд энэ нь квадрат тэгшитгэлийг маш хурдан бөгөөд үр дүнтэй шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Математикийн уран зохиолоос би квадрат тэгшитгэлийг шийдэх арван аргыг олж, ажилдаа тус бүрийг нь шинжилсэн.

Тодорхойлолт 1. Квадрат тэгшитгэл нь сүх хэлбэрийн тэгшитгэл юм 2 + bx + c = 0, энд a, b, c коэффициентүүд нь бодит тоо, a ≠ 0 байна.

Тодорхойлолт 2. Бүрэн квадрат тэгшитгэл нь бүх гурван гишүүн байгаа квадрат тэгшитгэл юм, i.e. in болон с коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь эсвэл, c дахь коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт 3. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь ah 2 + in + c = 0 нь квадрат гурвалсан тэнхлэгтэй х хувьсагчийн дурын утга юм 2 + in + c нь тэг болно.

Тодорхойлолт 4. Квадрат тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь бүгдийг нь олно гэсэн үг

үндэс эсвэл үндэс байхгүй гэдгийг тогтооно.

1. Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл.

x 2 + 10x - 24 = 0 тэгшитгэлийг шийдье.

Зүүн талыг хүчин зүйлээр ангилъя:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

(x + 12)(x - 2) = 0

Хүчин зүйлийн үржвэр нь ядаж нэг хүчин зүйл нь тэг байвал тэг болно.

x + 12= 0 эсвэл x – 2=0

x=-12 x=2

Хариулт: -12; 2.

1. Бүрэн квадратыг сонгох арга.

x 2 + 6x - 7 = 0 тэгшитгэлийг шийдье.

Зүүн талд бүрэн дөрвөлжин сонгоно уу:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Дараа нь энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

(x + 3) 2 - 16 =0,

(x + 3) 2 = 16.

x + 3=4 эсвэл x + 3 = -4

X 1 = 1 x 2 = -7

Хариулт: 1; -7.

1. Томъёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлье ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 by 4a, тэгвэл

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

1. Тиймээс эерэг ялгаварлагчийн хувьд, i.e. цагт b 2 - 4ac >0, тэгшитгэл ax 2 + bx + c = 0 хоёр өөр үндэстэй.

2. Хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол, i.e. b 2 - 4ac = 0 , тэгвэл тэгшитгэл нэг үндэстэй байна.

3. Хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал, i.e.б 2 - 4ac, тэгшитгэл ax 2 + bx + c = 0 үндэсгүй.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо (1).сүх 2 + bx + c = 0 үндсийг нь олох боломжийг танд олгоноямар ч квадрат тэгшитгэл (хэрэв байгаа бол), түүний дотор багасгасан ба бүрэн бус. Формула (1)-ийг амаар дараах байдлаар илэрхийлнэ.Квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь хуваагч нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бутархайтай тэнцүү бөгөөд энэ коэффициентийн квадратын квадрат язгуурыг хасч, эхний коэффициентийн үржвэрийг чөлөөт гишүүнээр дөрөв дахин нэмэгдүүлээгүй ба хуваагч нь эхний коэффициентээс хоёр дахин их байна.

Жишээ.

A) Тэгшитгэлийг шийдье:

4х 2 + 7х + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3.

D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,D > 0,

Хариулт: 1; .

б) Тэгшитгэлийг шийдье:

4х 2 - 4х + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1,

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0, D = 0, тэгшитгэл нь нэг үндэстэй;

Хариулт:

V) Тэгшитгэлийг шийдье: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D

Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Хариулт: үндэс байхгүй.

1. Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Яруу найрагт дуулагдах нь зүй ёсны хэрэг

Үндэсний шинж чанарын тухай Виетийн теорем.

Квадрат тэгшитгэл өгөгдсөнхэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг(1) тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна.

Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг дараах томъёогоор олно.

Та дараах шүлгийг цээжилснээр энэ томъёог санаж болно.

P тэмдэг эсрэгээр авсан

Бид үүнийг 2-т хуваах болно,

Мөн үндэснээс нь би анхааралтай гарын үсэг зурдагсалцгаая

Мөн үндэс дор энэ нь маш ашигтай байдаг

Хагас квадрат

Хасах - жижиг тэгшитгэлийн шийдэл энд байна.

Квадрат тэгшитгэл хийхбагасгасан хэлбэрт хүргэж байгаа бол та түүний бүх нэр томъёог хуваах хэрэгтэйа, , Дараа нь

Яруу найрагт дуулагдах нь зүй ёсны хэрэг
Үндэсний шинж чанарын тухай Виетийн теорем.
Юу нь дээр вэ, надад хэлээч, тууштай байдал нь иймэрхүү:
Та үндсийг үржүүлснээр фракц бэлэн болно:
Тоологч нь c, хуваагч нь а,
Мөн язгуурын нийлбэр нь мөн бутархайтай тэнцүү байна.
Энэ бутархай нь хасах байсан ч ямар асуудал вэ?
Тоолуур нь b, хуваагч нь а.

Хэрэв бид зааж өгвөл , дараа нь бид хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна. Мөн томъёонууд () хэлбэрийг авна

Тиймээс: бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

p ба q коэффициентүүдээс үндэсийн шинж тэмдгийг урьдчилан таамаглах боломжтой.

A) Дээрх тэгшитгэлийн (1) хураангуй гишүүн q эерэг (q > 0) байвал тэгшитгэл нь ижил тэмдэгтэй хоёр үндэстэй байх ба энэ нь хоёр дахь коэффициентээс хамаарна.

Хэрэв Р , дараа нь хоёр үндэс нь эерэг;

Хэрэв p > 0 бол , тэгвэл хоёр үндэс нь сөрөг байна.

Жишээлбэл,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 ба x 2 = 1, учир нь q = 2 > 0 ба p = - 3

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 ба x 2 = - 1, учир нь q = 7 > 0 ба p = 8 > 0.

B) Хэрэв өгөгдсөн тэгшитгэлийн (1) чөлөөт гишүүн q сөрөг (q 0 .

Жишээлбэл,

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 ба x 2 = - 1, учир нь q = - 9 ба p = - 8

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 ба x 2 = 1, учир нь q= - 5 ба p = 4 > 0.

1. "Шидэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье

Хоёр талыг а-аар үржүүлснээр бид тэгшитгэлийг олж авна a 2 x 2 + abx + ac = 0.

ax = y, үүнээс x = y/a гэж үзье ; Дараа нь бид тэгшитгэлд хүрнэ y 2 + by + ac = 0,

үүнтэй тэнцэнэ.

Үүний үндэс нь 1 ба 2 юм Бид Виетийн теоремыг ашиглан олж, эцэст нь:

x 1 = y 1 /a ба x 1 = y 2 /a.

Энэ аргын тусламжтайгаар коэффициентА түүн рүү “шидэгдсэн” мэт чөлөөт нэр томьёогоор үржүүлсэн тул үүнийг нэрлэсэншилжүүлэх арга. Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг хялбархан олох боломжтой, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

Жишээ.

2x 2 – 11x + 15 = 0 тэгшитгэлийг шийдье.

Шийдэл. Коэффицент 2-ыг чөлөөт гишүүн рүү "шидээд" үр дүнд нь тэгшитгэлийг олж авцгаая

y 2 – 11y + 30 = 0.

Вьетагийн теоремын дагуу

Y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5

Y 2 = 6; x 2 = 6/2; x 2 = 3.

Хариулт: 2.5; 3.

1. Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд.

1. Квадрат тэгшитгэл өгье ax 2 + bx + c = 0, энд a ≠ 0 байна.

1. Хэрэв a + b + c = 0 (өөрөөр хэлбэл коэффициентүүдийн нийлбэр тэг бол)

дараа нь x 1 = 1, x 2 = s/a.

1. Хэрэв a – b + c=0 бол х 2 = -1, x 2 = -s/a

Жишээ.

1. A. Тэгшитгэлээ шийдье 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Шийдэл. Учир нь a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0),Тэр

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Хариулт: 1; -208/345.

B. Тэгшитгэлийг шийд 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Шийдэл. Учир нь a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0),Тэр

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Хариулт: 1; 115/132.

2) 2x тэгшитгэлийг шийдье 2 + 3x +1= 0. 2 - 3+1=0 тул x болно 1 = - 1, x 2 = -c/a= -1/2

Хариулт: x 1 = -1, x 2 = -1/2.

Энэ аргыг том коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлд хэрэглэхэд тохиромжтой.

2. Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициент b = 2к тэгш тоо, дараа нь язгуур томъёохэлбэрээр бичиж болно

Жишээ.

3x 2 - 14x + 16 = 0 тэгшитгэлийг шийдье.

Шийдэл. Бидэнд байгаа: a = 3, b = - 14 (k = -7), c = 16,

D 1 = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 1 > 0, тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй;

Хариулт: 2; 8/3

Багасгасан тэгшитгэл x 2 + px + q= 0 ерөнхий тэгшитгэлтэй давхцаж байна a = 1, b = p ба c = q . Тиймээс өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгуур томьёо хэлбэрийг авна

Формула () нь хэрэглэхэд тохиромжтой p нь тэгш тоо юм.

Жишээ. Тэгшитгэлээ шийдье x 2 – 14x – 15 = 0.

Шийдэл. Бидэнд a = 1, b = -14, (k = -7), c = -15 байна.

x 1.2 =7± =7 ± ,

x 1.2 = 15; x 2 = -1.

Хариулт: x 1 = 15; x 2 = -1.

7.Квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл.

БА Квадрат ба шугаман функцууд, тэдгээрийн графикуудын талаархи мэдлэгийг ашиглан та квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна.функциональ-график арга.Түүнчлэн, зарим квадрат тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдэж болох бөгөөд нэг квадрат тэгшитгэлийн жишээн дээр эдгээр аргуудыг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд=0

1 арга зам . Функцийн графикийг зурцгааяалгоритмыг ашиглан.

1) Бидэнд байна:

Энэ нь параболын орой нь (1;-4) цэг, параболын тэнхлэг нь x=1 шулуун байна гэсэн үг.

2) х тэнхлэг дээр параболын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй хоёр цэгийг, жишээ нь 2-р зураг дээрх цэгүүдийг ав.

X= -1 ба x=3, дараа нь f(-1)=f(3)=0.

3) (-1;0), (1;-4), (3;0) цэгүүдээр бид параболыг зурна (Зураг 2).

Тэгшитгэлийн үндэспараболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд; Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм

Арга 2

Тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлье.

Тэгээд (Зураг 3).

Тэд A(-1;1) ба B(3;9) хоёр цэг дээр огтлолцоно. Тэгшитгэлийн үндэс нь А ба В цэгүүдийн абсциссууд бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм.

Зураг 3

3 арга зам

Тэгшитгэлүүдийг хэлбэрт шилжүүлье.

Нэг координатын систем дэх функцүүдийн графикийг байгуулъяТэгээд (Зураг 4) Тэд A(-1;-2) ба B (3;6) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцоно. Тэгшитгэлийн үндэс нь А ба В цэгүүдийн абсцисса юм.

Зураг 4

4 зам

Тэгвэл тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүльетэдгээр.

Нэг координатын системд параболыг байгуулъяба шууд . Тэд A(-1;4) ба B(3;4) цэгүүдээр огтлолцоно. Тэгшитгэлийн үндэс нь А ба В цэгүүдийн абсцисса юм(Зураг 5).

Зураг 5

5 зам

Тэгшитгэлийн хоёр талыг х гишүүнээр хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

;

.

Зураг 6

Нэг координатын системд гипербол байгуулъяба шууд (Зураг 6). Тэд A(-1;-3) ба B(3;1) хоёр цэг дээр огтлолцоно. Тэгшитгэлийн язгуурууд нь А ба В цэгүүдийн абсциссууд тул.

Эхний дөрвөн арга нь маягтын аливаа тэгшитгэлд хамаарна

аа 2 + bх + c = 0, тав дахь нь - зөвхөн c нь тэгтэй тэнцүү биш байгаа хүмүүст.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх график аргууд нь үзэсгэлэнтэй боловч ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 100% баталгаа өгдөггүй.

8. Квадрат тэгшитгэлийг луужин ашиглан шийдвэрлэх

Эрх баригчид.

Би квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох дараах аргыг санал болгож байнасүх 2 + bx + c = 0 луужин ба захирагч ашиглан (Зураг 7).

Хүссэн тойрог нь тэнхлэгийг огтолж байна гэж үзье

цэг дэх абсцисса B(x 1; 0) ба D (x 2; 0), энд x 1 ба x 2 - тэгшитгэлийн үндэссүх 2 + bx + c = 0 , мөн цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг

A(0; 1) ба C(0; c/a) ординатын тэнхлэг дээр. Дараа нь секантын теоремоор бид байна OB OD = OA OC, эндээс OC = OB OD / OA = x 1 x 2 / 1 = c/a.

Тойргийн төв нь перпендикуляруудын огтлолцлын цэг дээр байна SF ба SK , хөвчний дунд хэсэгт сэргээгдсэнАС ба BD гэх мэт

Тэгэхээр:

1) цэгүүдийг барих (тойргийн төв) ба A(0; 1);

2) радиустай тойрог зур S.A.;

3) энэ тойргийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссӨө нь анхны квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Энэ тохиолдолд гурван тохиолдол байж болно.

1) Тойргийн радиус нь төвийн ординатаас их байна(AS > SK, эсвэл R > a + c/2a), тойрог нь Үхрийн тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байна (Зураг 8a) B(x 1; 0) ба D(x 2; 0), энд x 1 ба x 2 - квадрат тэгшитгэлийн үндэссүх 2 + bx + c = 0.

2) Тойргийн радиус нь төвийн ординаттай тэнцүү байна(AS = SB, эсвэл R = a + c/2a), тойрог нь Үхрийн тэнхлэгт (Зураг 8б) цэг дээр хүрч байна B(x 1; 0), энд x 1 - квадрат тэгшитгэлийн үндэс.

3) Тойргийн радиус нь төвийн ординатаас бага байна

тойрог нь абсцисса тэнхлэгтэй нийтлэг цэггүй (Зураг 8в), энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй болно.

Зураг 8

a B C)

Жишээ.

x 2 - 2x - 3 = 0 тэгшитгэлийг шийдье (Зураг 9).

Шийдэл. Тойргийн төв цэгийн координатыг томъёогоор тодорхойлъё.

SA радиустай тойрог зуръя, энд A (0; 1).

Хариулт: x 1 = - 1; x 2 = 3.

9. Квадрат тэгшитгэлийг ашиглан шийдвэрлэх

Номограммууд.

Энэ бол хуучин бөгөөд одоо мартагдсан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга бөгөөд цуглуулгын 83-р хуудсанд байрлуулсан: Bradis V.M. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд. - М., Боловсрол, 1990.

Хүснэгт XXII. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх номограмм z 2 + pz + q = 0. Энэхүү номограмм нь квадрат тэгшитгэлийг түүний коэффициентээр шийдвэрлэх боломжийг олгодог

тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлохын тулд тэнд.

Номограммын муруйн хуваарийг байгуулав

томъёоны дагуу (Зураг 10):

Итгэж байнаOS = p, ED = q, OE = a(бүгд см-ээр), -аас

гурвалжны ижил төстэй байдалСАНТэгээдCDFбид авдаг

хувь хэмжээ

Энэ нь орлуулалт болон хялбаршуулсаны дараа тэгшитгэлийг гаргана

z2 + pz + q = 0,

болон захидалzмуруй хуваарийн аль ч цэгийн тэмдгийг хэлнэ.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийн хувьдz2 - 9z + 8 = 0номограмм үндэс өгдөгz1 = 8,0 Тэгээдz2 = 1,0 (Зураг 11).

Хариулт:8,0 ; 1,0.

2) Тусламжийн тусламжтайгаар үүнийг шийдьеномограммуудтэгшитгэл

2z2 - 9z + 2 = 0.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентийг 2-т хуваая.

бид тэгшитгэлийг авнаz2 - 4.5z + 1 = 0.

Номограмм нь үндэс өгдөгz1 = 4 Тэгээдz2 = 0,5.

Хариулт: 4; 0.5.

3) Тэгшитгэлийн хувьдz2 - 25z + 66 = 0p ба q коэффициентүүд хуваарийн гадна байгаа тул орлуулалтыг хийцгээеz = 5т, бид тэгшитгэлийг авнат2 - 5т + 2.64 = 0,

Үүнийг бид номограмм ашиглан шийдэж, олж авдагт1 = 0,6 Тэгээдт2 = 4,4, хаанаz1 = 5т1 = 3,0 Тэгээдz2 = 5т2 = 22,0.

Хариулт: 3; 22.

10. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн арга.

Эрт дээр үед геометр нь алгебраас илүү хөгжсөн үед квадрат тэгшитгэлийг алгебрийн аргаар бус геометрийн аргаар шийддэг байсан. Би аль-Хорезмигийн "Алгебр"-аас алдартай жишээ хэлье.

Жишээ.

1) Тэгшитгэлийг шийдьеX2 + 10x = 39.

Анхны хувилбарт энэ бодлогыг дараах байдлаар томъёолсон: "Квадрат ба арван үндэс нь 39-тэй тэнцүү" (Зураг 12).

Шийдэл.Хажуу тал нь х талтай квадратыг авч үзье, тэгш өнцөгтүүд нь түүний тал тус бүрийн нөгөө тал нь 2.5 байхаар баригдсан тул тус бүрийн талбай нь 2.5x байна. Үр дүнгийн зургийг дараа нь ABCD шинэ дөрвөлжин болгон нэмж, булангуудад дөрвөн тэнцүү квадратыг барьж, тус бүрийн тал нь 2.5, талбай нь 6.25 байна.

ДөрвөлжинСдөрвөлжинA B C Dталбайн нийлбэрээр илэрхийлж болно: анхны квадратX2 , дөрвөн тэгш өнцөгт(4 2.5x = 10x)дөрвөн хавсаргасан квадрат(6,25 4 = 25) , өөрөөр хэлбэлS=X2 + 10x + 25.Солих

X2 + 10xтоо39 , бид үүнийг ойлгодогS = 39 + 25 = 64, энэ нь талбайн тал гэсэн үг юмA B C D, өөрөөр хэлбэл шугамын сегментAB = 8. Шаардлагатай талын хувьдXБид анхны квадратыг авдаг

2) Гэхдээ жишээлбэл, эртний Грекчүүд тэгшитгэлийг хэрхэн шийдсэнцагт2 + 6у - 16 = 0.

Шийдэл13-т үзүүлэв. хаана

цагт2 + 6y = 16, эсвэл y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Шийдэл.Илэрхийлэлцагт2 + 6у + 9Тэгээд16 + 9 геометрээр илэрхийлнэ

ижил квадрат ба анхны тэгшитгэлцагт2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- ижил тэгшитгэл. Бид үүнийг хаанаас авдагy + 3 = ± 5,эсвэлцагт1 = 2, y2 = - 8 (будаа..

Зураг.13

3) Геометрийн тэгшитгэлийг шийдцагт2 - 6у - 16 = 0.

Тэгшитгэлийг хувиргаснаар бид олж авна

цагт2 - 6y = 16.

14-р зурагт бид илэрхийллийн "зураг"-ыг олдогцагт2 - 6у,тэдгээр. y талтай квадратын талбайгаас тэнцүү талтай квадратын талбайг хас3 . Энэ нь хэрэв илэрхийлэлд гэсэн үг юмцагт2 - 6унэмэх9 , дараа нь бид талтай дөрвөлжингийн талбайг авнау - 3. Илэрхийлэлийг солихцагт2 - 6утэнцүү тоо 16,

бид авах:(y - 3)2 = 16 + 9, тэдгээр.y - 3 = ± √25, эсвэл y - 3 = ± 5, эндцагт1 = 8 Тэгээдцагт2 = - 2.

Зураг.14

Дүгнэлт

Судалгааны ажлаа хийх явцад би зорилго, зорилтоо биелүүлж, дээрх сэдвийн хүрээнд судалсан материалыг нэгтгэн системчилж чадсан гэж үзэж байна.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх олон арга байдаг. Би квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 аргыг олсон. Тэдгээрийг бүгдийг нь шийдвэрлэхэд тохиромжтой биш боловч тус бүр өөрийн гэсэн өвөрмөц онцлогтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Зарим шийдэл нь цаг хугацаа хэмнэхэд тусалдаг бөгөөд энэ нь шалгалт, шалгалтын даалгавруудыг шийдвэрлэхэд чухал юм. Сэдэв дээр ажиллахдаа аль арга нь стандарт, аль нь стандарт бус болохыг олж мэдэх даалгавар өгсөн.

Тэгэхээр,стандарт аргууд(квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд илүү их ашиглагддаг):

• Томъёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
• Вьетагийн теорем
• Тэгшитгэлийн график шийдэл
• Зүүн гар талын хүчин зүйл
• Бүрэн квадратыг сонгох

Стандарт бус аргууд:

• Коэффициентийг шилжүүлэх замаар шийдвэрлэх
• Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанарууд
• Луужин ба захирагч ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
• Номограмм ашиглан уусмал
• Геометрийн арга

Квадрат тэгшитгэлийг өөрөө шийдэхдээ би дараах дүгнэлтийг хийсэн: Аливаа квадрат тэгшитгэлийг сайн шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг мэдэж байх хэрэгтэй.

ялгаварлагчийг олох томъёо;

квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо;

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмууд.

боломжтой байх:

бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх;

бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх;

өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх;

шийдэгдсэн тэгшитгэлийн алдааг олж засварлах;

шалгалт хийх.

Миний ажил 8-р ангийн сурагчид төдийгүй рационал квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурах, төгсөлтийн шалгалтанд сайн бэлдэх хүсэлтэй хүмүүст сонирхолтой байх болно гэж бодож байна. Математикийн хичээлийн үеэр би ангийнхандаа 5, 6-р квадрат тэгшитгэлийг шийдэх аргуудыг хэлж өгсөн, залууст таалагдсан. Энэ нь математикийн багш нарт бас сонирхолтой байх болно, учир нь би өөрийн ажилдаа квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг судалж үзээд зогсохгүй тэдгээрийн хөгжлийн түүхийг судалж үзсэн.

Луран зохиол

1. Мордкович, A. G. Алгебр.8-р анги. Боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг / A.G. Мордкович.-М. : Mnemosyne 2011.-260 х.
2. Мордкович, А.Г. алгебр.8-р анги. Боловсролын байгууллагуудад зориулсан асуудлын ном / A.G. Мордкович.-М. : Mnemosyne 2011.-270 х.
3. Глэйзер, Г.И. Сургуулийн математикийн түүх / G.I. Глэйзер.-М.: Гэгээрэл, 1982- 340 х.
4. Гусев, В.А. Математик. Лавлах материал/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Боловсрол, 1988, 372 х.
5. Брэдис, В.М. Дунд сургуулийн дөрвөн оронтой математикийн хүснэгт / V.M., Bradis-M.: Боловсрол, 1990-
6. Виетийн теорем – Хандалтын горим:.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta /Вьетагийн теорем(алсын зайнаас хандах нөөц (Интернет)). 2013.12.10.
7. Квадрат тэгшитгэл - Хандалтын горим:http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (алсын хандалтын нөөц (Интернет)). 10.01.2014.