Тойргийн радиус хэдтэй тэнцүү вэ? Томьёонд үндэслэн тойргийн радиусыг ол

Энэ хичээл нь тойрог ба тойргийг судлахад зориулагдсан болно. Мөн багш танд хаалттай, нээлттэй шугамыг ялгахыг заах болно. Та тойргийн үндсэн шинж чанаруудтай танилцах болно: төв, радиус, диаметр. Тэдний тодорхойлолтыг сур. Диаметр нь мэдэгдэж байгаа бол радиусыг тодорхойлж сур, мөн эсрэгээр.

Хэрэв та тойрог доторх зайг дүүргэж, жишээ нь цаасан дээр эсвэл картон дээр луужин ашиглан тойрог зурж, хайчилж авбал та тойрог авах болно (Зураг 10).

Цагаан будаа. 10. Тойрог

Тойрог- энэ бол дугуйгаар хязгаарлагдсан онгоцны хэсэг юм.

Нөхцөл:Витя Верхоглядкин тойрогтоо 11 диаметр зурсан (Зураг 11). Тэгээд тэр радиусыг дахин тооцоолоход тэр 21 авсан. Тэр зөв тоолсон уу?

Цагаан будаа. 11. Асуудлын зураглал

Шийдэл:Диаметрээс хоёр дахин их радиус байх ёстой, тиймээс:

Витя буруу тоолжээ.

Лавлагаа

Математик. 3-р анги. Сурах бичиг ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд нь adj. электрон тутамд тээвэрлэгч. 2 цагт 1-р хэсэг / [M.I. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Белтюкова болон бусад] - 2-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2012. - 112 х.: өвчтэй. - (Оросын сургууль).
Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В. Математик, 3-р анги. - М.: VENTANA-COUNT.
Петерсон Л.Г. Математик, 3-р анги. - М .: Ювента.

Mypresentation.ru ().
Sernam.ru ().
School-assistant.ru ().

Гэрийн даалгавар

1. Математик. 3-р анги. Сурах бичиг ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд нь adj. электрон тутамд тээвэрлэгч. 2 цагт 1-р хэсэг / [M.I. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Белтюкова болон бусад] - 2-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2012., Урлаг. 94 №1, Урлаг. 95 дугаар 3.

2. Оньсого таавар.

Ах бид хоёр хамт амьдардаг

Бид хамтдаа маш их хөгжилтэй байдаг

Бид хуудсан дээр аяга тавина (Зураг 12),

Үүнийг харандаагаар зуръя.

Бид хэрэгтэй зүйлээ авсан -

Үүнийг ... гэж нэрлэдэг.

3. Хэрэв радиус нь 5 м гэдгийг мэддэг бол тойргийн диаметрийг тодорхойлох шаардлагатай.

4. * Луужин ашиглан радиустай хоёр тойрог зур: a) 2 см ба 5 см; b) 10 мм ба 15 мм.

Радиус нь тойрог дээрх дурын цэгийг төвтэй нь холбосон шугамын хэсэг юм. Энэ нь энэ зургийн хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг юм, учир нь түүний үндсэн дээр бусад бүх параметрүүдийг тооцоолж болно. Хэрэв та тойргийн радиусыг хэрхэн олохыг мэддэг бол түүний диаметр, урт, талбайг тооцоолж болно. Өгөгдсөн дүрсийг өөр дүрс дээр бичсэн эсвэл дүрсэлсэн тохиолдолд бусад олон асуудлыг шийдэж болно. Өнөөдөр бид үндсэн томъёо, тэдгээрийн хэрэглээний онцлогуудыг авч үзэх болно.

Мэдэгдэж буй тоо хэмжээ

Хэрэв та ихэвчлэн R үсгээр тэмдэглэгдсэн тойргийн радиусыг хэрхэн олохыг мэддэг бол үүнийг нэг шинж чанарыг ашиглан тооцоолж болно. Эдгээр утгуудад:

тойрог (C);
диаметр (D) - төв цэгээр дамждаг сегмент (эсвэл хөвч);
талбай (S) - өгөгдсөн зургаар хязгаарлагдсан орон зай.

Тойрог

Хэрэв асуудалд C-ийн утга мэдэгдэж байгаа бол R = C / (2 * P). Энэ томъёо нь дериватив юм. Хэрэв бид тойрог гэж юу болохыг мэддэг бол үүнийг санах шаардлагагүй болно. Бодлогод C = 20 м гэж бодъё. Энэ тохиолдолд тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ? Бид зүгээр л мэдэгдэж буй утгыг дээрх томъёонд орлуулна. Ийм асуудалд P тооны талаархи мэдлэг үргэлж байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тооцоолоход хялбар байх үүднээс бид түүний утгыг 3.14 гэж авдаг. Энэ тохиолдолд шийдэл нь иймэрхүү харагдаж байна: бид ямар хэмжигдэхүүнийг өгөгдсөнийг бичиж, томъёог гаргаж, тооцооллыг хийдэг. Хариултанд бид радиус нь 20 / (2 * 3.14) = 3.19 м байна гэж бичээд бид юу тооцоолсоноо мартаж, хэмжилтийн нэгжийн нэрийг дурдах нь чухал юм.

Диаметрээр

Энэ бол тойргийн радиусыг хэрхэн олох талаар асуудаг хамгийн энгийн төрлийн бодлого гэдгийг нэн даруй онцолж хэлье. Хэрэв та тест дээр ийм жишээтэй тааралдсан бол та итгэлтэй байж болно. Энд тооны машин ч хэрэггүй! Өмнө дурьдсанчлан диаметр нь сегмент эсвэл илүү зөв бол төвөөр дамжин өнгөрдөг хөвч юм. Энэ тохиолдолд тойргийн бүх цэгүүд ижил зайд байна. Тиймээс энэ хөвч нь хоёр хагасаас бүрдэнэ. Тэд тус бүр нь радиус бөгөөд энэ нь тойрог дээрх цэг ба түүний төвийг холбосон сегмент гэсэн тодорхойлолтоос үүдэлтэй. Хэрэв асуудалд диаметр нь мэдэгдэж байгаа бол радиусыг олохын тулд та энэ утгыг хоёр хуваах хэрэгтэй. Томъёо нь дараах байдалтай байна: R = D / 2. Жишээлбэл, асуудлын голч нь 10 м бол радиус нь 5 метр байна.

Тойргийн талбайгаар

Энэ төрлийн асуудлыг ихэвчлэн хамгийн хэцүү гэж нэрлэдэг. Энэ нь юуны түрүүнд томъёог мэдэхгүйгээс үүдэлтэй юм. Хэрэв та энэ тохиолдолд тойргийн радиусыг хэрхэн олохыг мэддэг бол бусад нь техникийн асуудал юм. Тооцоологч дээр та квадрат язгуур тооцоолох дүрсийг урьдчилан олох хэрэгтэй. Тойргийн талбай нь P тоо ба радиусыг өөрөө үржүүлсэн үржвэр юм. Томъёо нь дараах байдалтай байна: S = P * R 2. Тэгшитгэлийн нэг талын радиусыг тусгаарласнаар та асуудлыг хялбархан шийдэж чадна. Энэ нь P тоонд хуваагдсан талбайн язгуурын квадрат язгууртай тэнцүү байх болно. Хэрэв S = 10 м бол R = 1.78 метр болно. Өмнөх асуудлуудын нэгэн адил ашигласан хэмжилтийн нэгжийг санах нь чухал юм.

Тойргийн тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ

a, b, c гурвалжны талууд гэж үзье. Хэрэв та тэдгээрийн утгыг мэддэг бол түүний эргэн тойронд дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд гурвалжны хагас периметрийг олох хэрэгтэй. Үүнийг ойлгоход хялбар болгохын тулд жижиг p үсгээр тэмдэглэе. Энэ нь талуудын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байх болно. Түүний томьёо: p = (a + b + c) / 2.

Бид мөн талуудын уртын үржвэрийг тооцоолно. Тохиромжтой болгох үүднээс үүнийг S үсгээр тэмдэглэе. Хязгаарлагдсан тойргийн радиусын томъёо дараах байдлаар харагдах болно: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p) - в)).

Даалгаврын жишээг авч үзье. Бид гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог байна. Түүний хажуугийн урт нь 5, 6, 7 см байна. Эхлээд бид хагас периметрийг тооцоолно. Бидний асуудалд энэ нь 9 сантиметртэй тэнцүү байх болно. Одоо талуудын уртын үржвэрийг тооцоолъё - 210. Завсрын тооцооллын үр дүнг томъёонд орлуулж, үр дүнг олно. Хязгаарлагдсан тойргийн радиус нь 3.57 сантиметр юм. Бид хариултаа бичиж, хэмжилтийн нэгжийн талаар мартаж болохгүй.

Бичсэн тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ

a, b, c гурвалжны талуудын урт гэж үзье. Хэрэв та тэдгээрийн утгыг мэддэг бол дотор нь бичсэн тойргийн радиусыг олох боломжтой. Эхлээд та түүний хагас периметрийг олох хэрэгтэй. Үүнийг ойлгоход хялбар болгохын тулд жижиг p үсгээр тэмдэглэе. Үүнийг тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна: p = (a + b + c) / 2. Энэ төрлийн бодлого нь өмнөхөөсөө арай хялбар тул завсрын тооцоо хийх шаардлагагүй.

Бичсэн тойргийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолно: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Үүнийг тодорхой жишээгээр харцгаая. Асуудал нь 5, 7, 10 см талуудтай гурвалжинг дүрсэлсэн гэж бодъё. Эхлээд бид хагас периметрийг олно. Бидний асуудалд энэ нь 11 см-тэй тэнцүү байх болно. Радиус нь 1.65 сантиметртэй тэнцүү байх болно. Бид хариултаа бичиж, зөв хэмжих нэгжийн талаар бүү мартаарай.

Тойрог ба түүний шинж чанарууд

Геометрийн дүрс бүр өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг. Асуудлыг зөв шийдвэрлэх нь тэдний ойлголтоос хамаарна. Тойрог нь бас тэдгээртэй. Ийм нөхцөл байдлын талаар тодорхой дүр зургийг өгдөг тул тэдгээрийг дүрсэлсэн эсвэл бичээстэй жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг. Тэдний дунд:

Шулуун шугам нь тойрогтой тэг, нэг эсвэл хоёр огтлолцох цэгтэй байж болно. Эхний тохиолдолд энэ нь түүнтэй огтлолцдоггүй, хоёр дахь нь шүргэгч, гурав дахь нь секант юм.
Хэрэв та нэг шулуун дээр ороогүй гурван цэгийг авбал тэдгээрийн дундуур зөвхөн нэг тойрог зурж болно.
Шулуун шугам нь нэгэн зэрэг хоёр дүрст шүргэгч байж болно. Энэ тохиолдолд тойргийн төвүүдийг холбосон сегмент дээр байрлах цэгээр дамжин өнгөрөх болно. Түүний урт нь эдгээр тоонуудын радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Нэг эсвэл хоёр цэгээр хязгааргүй тооны тойрог зурж болно.

Тойрог- өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн зайд байрлах хавтгайн бүх цэгүүдээс бүрдэх геометрийн дүрс.

Энэ цэгийг (O) гэж нэрлэдэг тойргийн төв.
Тойргийн радиус- энэ бол төвийг тойргийн аль ч цэгтэй холбосон сегмент юм. Бүх радиусууд ижил урттай (тодорхойлолтоор).
Аккорд- тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент. Тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх хөвчийг нэрлэдэг диаметр. Тойргийн төв нь ямар ч диаметрийн дунд цэг юм.
Тойрог дээрх дурын хоёр цэгийг хоёр хэсэгт хуваа. Эдгээр хэсэг бүрийг нэрлэдэг тойргийн нум. нум гэж нэрлэдэг хагас тойрог, хэрэв түүний төгсгөлүүдийг холбосон сегмент нь диаметртэй бол.
Нэгж хагас тойргийн уртыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ π .
Нийтлэг төгсгөлтэй тойргийн хоёр нумын градусын хэмжүүрүүдийн нийлбэр нь тэнцүү байна 360º.
Тойргоор хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсгийг гэнэ эргэн тойронд.
Тойрог салбар- нумын үзүүрийг тойргийн төвтэй холбосон хоёр радиусаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг. Салбарыг хязгаарлаж буй нумыг нэрлэдэг салбарын нум.
Нийтлэг төвтэй хоёр тойргийг нэрлэдэг төвлөрсөн.
Зөв өнцгөөр огтлолцсон хоёр тойргийг нэрлэнэ ортогональ.

Шулуун шугам ба тойргийн харьцангуй байрлал

Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь тойргийн радиусаас бага бол ( d), шулуун ба тойрог хоёр нийтлэг цэгтэй байна. Энэ тохиолдолд шугамыг дуудна секанттойрогтой холбоотой.
Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь тойргийн радиустай тэнцүү бол шулуун ба тойрог нь зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байна. Энэ мөрийг нэрлэдэг тойрогтой шүргэгч, тэдгээрийн нийтлэг цэг гэж нэрлэдэг шугам ба тойргийн хоорондох шүргэлтийн цэг.
Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь тойргийн радиусаас их байвал шулуун ба тойрог. нийтлэг зүйл байхгүй

Төв ба бичээстэй өнцөг

Төв өнцөгнь тойргийн төвд байрлах оройтой өнцөг юм.
Бичсэн өнцөг- орой нь тойрог дээр байрлах, талууд нь тойрогтой огтлолцох өнцөг.

Бичсэн өнцгийн теорем

Бичсэн өнцгийг түүний орших нумын хагасаар хэмждэг.

Дүгнэлт 1.
Ижил нуманд оршдог бичээстэй өнцөг нь тэнцүү байна.

Дүгнэлт 2.
Хагас тойргоор хүрээлэгдсэн бичээстэй өнцөг нь зөв өнцөг юм.

Осолдох хөвчүүдийн сегментүүдийн үржвэрийн тухай теорем.

Хэрэв тойргийн хоёр хөвч огтлолцсон бол нэг хөвчний сегментүүдийн үржвэр нь нөгөө хөвчний сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Үндсэн томъёо

Тойрог:

C = 2∙π∙R

Дугуй нумын урт:

R = С/(2∙π) = D/2

Диаметр:

D = C/π = 2∙R

Дугуй нумын урт:

l = (π∙R) / 180∙α,
Хаана α - дугуй нумын уртын хэмжүүр)

Тойргийн талбай:

S = π∙R 2

Дугуй хэлбэрийн салбар:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Тойргийн тэгшитгэл

Тэгш өнцөгт координатын системд радиустай тойргийн тэгшитгэл нь байна rцэг дээр төвлөрсөн C(x o;y o) нь дараах хэлбэртэй байна.

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

r радиустай тойргийн тэгшитгэл нь төв нь гарал үүсэл нь дараах хэлбэртэй байна.

x 2 + y 2 = r 2

Эхлээд радиусыг тодорхойлъё. Латин хэлнээс орчуулбал радиус нь "цацраг, дугуйны тухай өгүүлсэн" гэсэн утгатай. Тойргийн радиус нь тойргийн төвийг түүн дээр байрлах цэгтэй холбосон шулуун шугамын сегмент юм. Энэ сегментийн урт нь радиусын утга юм. Математикийн тооцоололд R нь энэ хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэхэд ашиглагддаг.

Радиусыг олох зөвлөмжүүд:

Энэ нь түүний төвийг дайран өнгөрч, бие биенээсээ хамгийн их зайтай тойрог дээр байрлах цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын сегмент юм. Тойргийн радиус нь түүний диаметрийн хагастай тэнцүү тул хэрэв та тойргийн диаметрийг мэддэг бол түүний радиусыг олохын тулд R = D/2 томъёог ашиглана уу, D нь диаметр юм.
Хавтгай дээр үүссэн битүү муруйны урт нь тойрог юм. Хэрэв та түүний уртыг мэддэг бол тойргийн радиусыг олохын тулд бүх нийтийн томъёог ашиглаж болно: R = L/(2*π), L нь тойрог, π нь 3.14-тэй тэнцүү тогтмол юм. Тогтмол π нь тойргийн уртыг түүний диаметрийн урттай харьцуулсан харьцаа бөгөөд бүх тойрогт ижил байна.
Тойрог нь муруйгаар хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсэг болох геометрийн дүрс юм. Хэрэв та тойргийн талбайг мэддэг бол тойргийн радиусыг R = √ (S / π) тусгай томьёо ашиглан олж болно, S нь тойргийн талбай юм.
Бичсэн тойргийн радиусыг (дөрвөлжин хэлбэрээр) дараах байдлаар олно: r = a/2, энд a нь квадратын тал юм.
Тойргийн радиусыг (тэгш өнцөгтийн эргэн тойронд) томъёогоор тооцоолно: R = √ (a2 + b 2)/2, энд a ба b нь тэгш өнцөгтийн талууд юм.
Хэрэв та тойргийн тойргийг мэдэхгүй ч түүний аль нэг сегментийн өндөр, уртыг мэддэг бол томъёоны хэлбэр дараах байдалтай байна.

R = (4*h2 + L2)/8*h, h нь сегментийн өндөр, L нь урт юм.

Гурвалжинд (тэгш өнцөгт) сийлсэн тойргийн радиусыг ол. Ямар ч хэлбэртэй гурвалжинд зөвхөн нэг тойргийг зурж болох бөгөөд түүний төв нь түүний өнцгийн биссектрисс огтлолцох цэг байх болно. бичээстэй тойргийн радиусыг тооцоолохдоо анхаарах ёстой олон шинж чанаруудтай. Асуудал нь янз бүрийн өгөгдлийг агуулж болох тул үүнийг шийдвэрлэхэд шаардлагатай нэмэлт тооцоолол хийх шаардлагатай байна.

Бичсэн тойргийн радиусыг олох зөвлөмжүүд:

Эхлээд та өөрийн асуудалд заасан хэмжээсүүдтэй гурвалжин бүтээх хэрэгтэй. Үүнийг бүх гурван тал эсвэл хоёр талын хэмжээс, тэдгээрийн хоорондох өнцгийг мэдэж байх ёстой. Нэг өнцгийн хэмжээг аль хэдийн мэддэг тул нөхцөл нь хоёр хөлтэй байх ёстой. Өнцөгний эсрэг байрлах хөлийг a ба b, гипотенузыг c гэж тэмдэглэнэ. Бичсэн тойргийн радиусын хувьд r гэж тэмдэглэнэ.
Бичсэн тойргийн радиусыг тодорхойлох стандарт томъёог хэрэглэхийн тулд та тэгш өнцөгт гурвалжны бүх гурван талыг олох хэрэгтэй. Бүх талуудын хэмжээсийг мэдсэнээр гурвалжны хагас периметрийг дараах томъёоноос олж болно: p = (a + b+ c)/2.
Хэрэв та нэг өнцөг, хөлийг мэддэг бол энэ нь зэргэлдээ эсвэл эсрэг талд байгаа эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Хэрэв энэ нь зэргэлдээ байвал гипотенузыг косинусын теоремыг ашиглан тооцоолж болно: c = a/cosCBA. Хэрэв энэ нь эсрэг байвал та c=a/sinCAB-г ашиглах хэрэгтэй.
Хэрэв та хагас периметртэй бол бичээстэй тойргийн радиусыг тодорхойлж болно. Радиусын томъёо дараах байдлаар харагдах болно: r=√(p-b)(p-a)(p-c)/p.
Радиусыг дараах томъёогоор олж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: r = S / p. Тиймээс хэрэв та хоёр талыг мэддэг бол тооцоолох журам илүү хялбар болно. Хагас периметрт шаардагдах гипотенузыг түүний хөлний квадратуудын нийлбэрээс олж болно. Та боломжтой бүх хөлийг үржүүлж, хүлээн авсан тоог хагасаар хуваах замаар талбайг тооцоолж болно.

Тойргийн радиус нь тойргийн төвөөс тойргийн гаднах тойрог дээр байрлах дурын цэг хүртэлх зай юм. Радиусыг олох хамгийн хялбар арга бол диаметрийг хагасаар хуваах явдал юм. Хэрэв диаметр нь тодорхойгүй байгаа боловч тойрог (C = 2 π (r)) гэх мэт бусад хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг өгсөн болно.

1 тойрог

1 Тойргийн тойргийг тооцоолох томъёог бич.Томъёо: C = 2π(r)
- π 2 тоо Үүнийг хийхийн тулд томъёоны хоёр талыг 2 π 3-т хуваана Тойргийн утгыг томъёонд орлуулна.Үүнийг асуудалд өгөх ёстой. Тойргийн утгыг C 4 хувьсагчаар орлуулна Үр дүнг дугуйруулна уу.π түлхүүр хариултыг ашиглан радиусын утгыг тооцоол. Хэрэв танд тооны машин байхгүй эсвэл ийм түлхүүр байхгүй бол π-г аваад гараар тооцоол.
  2 Тойргийн талбайгаар
  1. 1 Тойргийн талбайг тооцоолох томъёог бичнэ үү.Томъёо: A = π (r 2)
  2. 2 Томъёонд радиусыг тусгаарлана.
    - Эхлээд томьёоны хоёр талыг π 3-т хуваа Томъёонд талбайн утгыг орлуулна уу.Үүнийг асуудалд өгөх ёстой. Талбайн утгыг S 4 хувьсагчаар орлуулна Талбайг π 5-д хуваа Квадрат язгуурыг ав.Үр дүн нь аравтын бутархай тул танд тооцоолуур хэрэгтэй болно. Энэ нь тойргийн радиусыг тооцоолох болно.
      Жишээлбэл, r = 6.69 = 2.59
      3 Диаметрээр
      
      1 Тойргийн диаметрийг ол.Ихэвчлэн диаметрийг асуудалд өгсөн болно; Үгүй бол зүгээр л хэмжинэ. Диаметр гэдэг нь тойрог дээр байрлах хоёр цэгийг холбож, тойргийн (тойрог) төвөөр дамжин өнгөрөх сегмент юм. Диаметр нь тойргийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.
      Жишээлбэл, 4 см диаметртэй тойрог өгсөн.
      
      2 Диаметрийг 2-т хуваа.Тойргийн радиус нь түүний хагас диаметртэй тэнцүү байна.
      Жишээлбэл, диаметр нь 4 см бол: r = 4 2 = 2
      4 Салбарын талбай ба төвийн өнцгөөр
      
      1 Салбарын талбайг тооцоолох томъёог бичнэ үү.Томъёо: A = θ 360 (π) (r 2)
      
      2 Салбарын талбай ба төв өнцгийг томъёонд орлуулна.Эдгээр утгыг асуудалд өгөх ёстой. Тойргийн талбайг биш харин тухайн салбарын талбайг мэдэж байгаа эсэхээ шалгаарай. Салбарын талбайн утгыг A 3 хувьсагчаар орлуулна Төвийн өнцгийг 360-аар хуваа.Ингэснээр та тухайн салбар тойргийн аль хэсгийг эзэлж байгааг тодорхойлох болно.
      Жишээлбэл, 120 360 = 0.3333 4 Тусгаарлах (π) (r 2) 5 Томъёоны хоёр талыг π 6-д хуваа Томъёоны хоёр талын квадрат язгуурыг авна.Энэ нь тойргийн радиусыг олоход тусална.
      Жишээ нь:
      47 , 7465 = r 2 (дэлгэцийн хэв маяг 47,7465=r^(2))
      47 , 7465 = r 2 (дэлгэцийн хэв маяг (sqrt (47,7465))=(sqrt (r^(2))))
      6 , 91 = r (дэлгэцийн хэв маяг 6,91=r)
      Тиймээс тойргийн радиус нь ойролцоогоор 6.91 см байна.