2-р эрэмбийн тодорхойлогч гэж юу вэ? Тодорхойлогч хүчин зүйлүүд ба тэдгээрийн шинж чанарууд

Тодорхойлогч квадрат матриц нь дараах байдлаар тооцогдох тоо юм.

a) Хэрэв квадрат матрицын дараалал 1 бол, өөрөөр хэлбэл. энэ нь 1 тооноос бүрдэх бөгөөд тодорхойлогч нь энэ тоотой тэнцүү байна;

б) Хэрэв квадрат матрицын дараалал 2 бол, өөрөөр хэлбэл. энэ нь 4 тооноос бүрдэнэ, дараа нь тодорхойлогч нь үндсэн диагональ ба хоёрдогч диагональ элементүүдийн үржвэрийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна;

в) Хэрэв квадрат матрицын дараалал 3 бол, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь 9 тооноос бүрдэх ба тодорхойлогч нь үндсэн диагональ ба энэ диагональтай параллель хоёр гурвалжны элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс хоёрдогч диагональ ба хоёр гурвалжны параллель элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр болно. энэ диагональ руу хасагдсан.

Жишээ

Тодорхойлогчдын шинж чанарууд

1. Мөрүүдийг баганаар, баганыг мөрөөр сольсон тохиолдолд тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

1. 2 ижил цуваатай тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна
2. Тодорхойлогчийн аль ч мөрийн (мөр эсвэл багана) нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлогчийн тэмдгээс хасаж болно.

4. Зэрэгцээ хоёр цувааг дахин зохион байгуулахад тодорхойлогч тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө

5. Тодорхойлогчийн аль нэг цувааны элементүүд нь хоёр гишүүний нийлбэр бол тодорхойлогчийг харгалзах хоёр тодорхойлогчийн нийлбэр болгон өргөжүүлж болно.

6. Зэрэгцээ цувааны харгалзах элементүүдийг нэг цувааны элементүүдэд нэмж дурын тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Тодорхойлогчийн бага элемент ба түүний алгебрийн нэмэлт

Бага элемент a IJ n-р эрэмбийн тодорхойлогч нь i-р мөр, j-р баганыг таслах замаар анхныхаас гаргаж авсан n-1 эрэмбийн тодорхойлогч юм.

a IJ элементийн алгебрийн нэмэлттодорхойлогч нь түүний минорыг (-1) i+ j-ээр үржүүлсэн

Жишээ

Урвуу матриц

Матриц гэж нэрлэдэг доройтдоггүй, хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол матрицыг ганц гэж нэрлэдэг

Матриц гэж нэрлэдэг нэгдэл, хэрэв энэ нь харгалзах алгебрийн нэмэлтүүдээс бүрдэж, шилжүүлэгдвэл

Матриц гэж нэрлэдэг урвууХэрэв тэдгээрийн үржвэр нь өгөгдсөн матрицтай ижил эрэмбийн таних матрицтай тэнцүү бол тухайн матриц руу

Урвуу матрицын оршихуйн тухай теорем

Аливаа ганц бус матриц нь нэгдмэл матрицыг энэ матрицын тодорхойлогчд хуваасантай тэнцүү урвуутай байна.

Урвуу матрицыг олох алгоритм А

1. Тодорхойлогчийг тооцоолох

1. Матрицыг шилжүүлэх

1. Нэгдсэн матрицыг байгуулж, шилжүүлсэн матрицын бүх алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоол

1. Томъёог ашиглана уу:

Бага матриц mxn хэмжээтэй өгөгдсөн матрицын сонгосон k мөр ба k баганын огтлолцол дээр байрлах элементүүдээс бүрдэх тодорхойлогч юм.

Матрицын зэрэглэлматрицын минорын хамгийн дээд эрэмбэ нь тэг биш юм

Тэмдэглэгээ r(A), rangA

Зэрэглэлнь шат матрицын тэг биш мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна.

Жишээ

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.

m тэгшитгэл ба n үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг хэлбэрийн систем гэнэ

тоонууд хаана байна а IJ - системийн коэффициент, тоо b i - чөлөөт нэр томъёо

Матрицын бичлэгийн хэлбэршугаман тэгшитгэлийн системүүд

Системийн шийдэлҮл мэдэгдэх c 1, c 2,…, c n утгыг системд орлуулахад системийн бүх тэгшитгэлүүд жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирдаг. Системийн шийдлийг баганын вектор хэлбэрээр бичиж болно.

Тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг хамтарсан, хэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол, ба хамтарсан бус, хэрэв шийдэл байхгүй бол.

Кронекер-Капелли теорем

Үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л LU систем тогтвортой байна.

LU системийг шийдвэрлэх аргууд

1. Гауссын арга(энгийн хувиргалтуудыг ашиглан өргөтгөсөн матрицыг шаталсан матриц, дараа нь каноник болгон бууруул)

Анхан шатны өөрчлөлтөд дараахь зүйлс орно.

Мөрүүдийг (багана) дахин зохион байгуулах

Нэг мөрөнд (багана) нөгөөг нэмж, 0-ээс өөр тоогоор үржүүлнэ.

Өргөтгөсөн матриц үүсгэцгээе:

Эхний багана ба эхний эгнээний 1-р элементийн тэргүүлэх элементийг сонгоод тэргүүлэгч гэж нэрлэе. Тэргүүлэх элементийг агуулсан мөр өөрчлөгдөхгүй. Үндсэн диагональ доорх элементүүдийг дахин тохируулцгаая. Үүнийг хийхийн тулд эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж (-2) үржүүлнэ. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмээд (-1) үржүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёр, гурав дахь мөрийг сольж үзье. Эхний багана болон эхний мөрийг оюун ухаанаар зурж, үлдсэн матрицын алгоритмыг үргэлжлүүлнэ үү. Гурав дахь мөрөнд бид 5-аар үржүүлсэн 2-ыг нэмнэ.

Бид өргөтгөсөн матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулав. Системийн тэгшитгэл рүү буцаж, сүүлчийн мөрөөс эхлэн дээшээ шилжихэд бид үл мэдэгдэх зүйлсийг нэг нэгээр нь тодорхойлно.

2. Матрицын арга(AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; матрицын урвуу үндсэн матрицыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар үржүүлсэн)

3. Крамерын арга.

Системийн шийдлийг дараах томъёогоор олно.

Өөрчлөгдсөн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь хаана байна, i-р багана нь чөлөөт нөхцлийн багана болж өөрчлөгддөг ба үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх үндсэн тодорхойлогч байна.

Векторууд.

Векторчиглэсэн сегмент юм

Аливаа векторыг урт (модуль) ба чиглэлд өгнө.

Тэмдэглэл: эсвэл

Энд А нь векторын эхлэл, В нь векторын төгсгөл, векторын урт.

Вектор ангилал

Тэг векторнь урт нь тэгтэй тэнцүү вектор юм

Нэгж векторурт нь нэгтэй тэнцүү вектор юм

Тэнцүү векторууд– Эдгээр нь ижил урт, чиглэлтэй хоёр вектор юм

Эсрэг векторууд– эдгээр нь урт нь тэнцүү, чиглэл нь эсрэг хоёр вектор юм

Коллинеар векторууд– эдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл параллель шулуун дээр орших хоёр вектор юм

Хамтарсанвекторууд нь ижил чиглэлтэй хоёр коллинеар вектор юм

Эсрэг чиглэлтэйвекторууд нь эсрэг чиглэлтэй хоёр коллинеар вектор юм

Хавсарсанвекторууд нь нэг хавтгайд эсвэл зэрэгцээ хавтгайд орших гурван вектор юм

Тэгш өнцөгт системХавтгай дээрх координатууд нь сонгосон чиглэл ба гарал үүсэлтэй харилцан перпендикуляр хоёр шулуун бөгөөд хэвтээ шугамыг абсцисса тэнхлэг, босоо шугамыг ординат тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Тэгш өнцөгт координатын системийн цэг бүрт бид хоёр тоо онооно: абсцисса ба ординат.

Тэгш өнцөгт системорон зай дахь координатууд нь сонгосон чиглэл, гарал үүсэлтэй харилцан перпендикуляр гурван шулуун байдаг бол бидэн рүү чиглэсэн хэвтээ шулуун шугамыг абсцисса тэнхлэг, бидний баруун тийш чиглэсэн хэвтээ шулууныг ординатын тэнхлэг, босоо шулуун шугам гэж нэрлэдэг. дээш чиглэсэн тэнхлэгийг хэрэглээний тэнхлэг гэж нэрлэдэг

Тэгш өнцөгт координатын системийн цэг бүрт абсцисса, ординат, хэрэглүүр гэсэн гурван тоог өгдөг.

2. ТОДОРХОЙЛОГЧИД БА КРАМЕРИЙН ДҮРЭМ

2.1. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч

Тодорхойлогч Хоёрдахь эрэмбийн матрицыг дараах байдлаар олно:

(2.1)
Энэ нь матрицын үндсэн диагоналын элементүүдийн үржвэрээс хоёр дахь диагональын элементүүдийн үржвэрийг хассантай тэнцүү байна..

Жишээлбэл,


Матриц нь тоон хүснэгт, харин тодорхойлогч нь квадрат матрицын элементүүдээр тодорхойлогддог тоо гэдгийг дахин онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

Одоо хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

2-р эрэмбийн тодорхойлогчийн тухай ойлголтыг ашиглан энэ системийн шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

(2.2)

Тэнд байна Крамерын дүрэм 0 байвал хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Жишээ 2.1.Крамерын дүрмийг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.

Шийдэл . Тодорхойлогчдыг олцгооё:



Түүхэн мэдээлэл. Үзэл баримтлалын санаа "тодорхойлогч"харьяалагдаж болно Г.Лейбниц(1646-1716), хэрэв тэрээр 1693 онд олж авсан тодорхойлогчдын талаархи санаагаа боловсруулж, нийтэлсэн бол шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тодорхойлогчдын аргыг боловсруулахад тэргүүлэх ач холбогдол өгдөг. Г.Крамер(1704-1752), 1750 онд энэ сэдвээр судалгаагаа хэвлүүлсэн боловч Крамер тодорхойлогчдын бүрэн онолыг бүтээгээгүй бөгөөд түүнд тохиромжтой тэмдэглэгээ дутмаг байв. Тодорхойлогчдод зориулсан анхны өргөн хүрээтэй судалгаа А.Вандермонде(1735-1796) 1772 онд тодорхойлогчийн онолыг логикоор тайлбарлаж, тодорхойлогчийг багачууд ашиглан задлах дүрмийг нэвтрүүлсэн. Тодорхойлогчдын онолын бүрэн тайлбарыг зөвхөн 1812 онд өгсөн.
Ж.Бинет(1786-1856) ба О.Коши(1789-1858). Хугацаа "тодорхойлогч" ("тодорхойлогч") орчин үеийн утгаар нь Коши нэвтрүүлсэн (өмнө нь энэ нэр томъёог К. Гаусс квадрат хэлбэрийн ялгаварлагчийг илэрхийлэхэд ашигладаг байсан).

2.2. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч

(2.3)

Мэдээжийн хэрэг, энэ томъёог санах нь нэлээд хэцүү байдаг. Гэхдээ 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн илэрхийлэл бичихэд хялбар дүрмүүд байдаг.

Гурвалжингийн дүрэм : Нэмэх тэмдэг бүхий анхны илэрхийлэлд орсон гурван нэр томъёо нь үндсэн диагональ буюу гурвалжны элементүүдийн үржвэр бөгөөд суурь нь энэ диагональтай параллель байна. Хасах тэмдгээр орсон үлдсэн гурван нэр томъёог ижил аргаар олдог боловч хоёр дахь диагональтай харьцуулахад.

Саррусын засаглал : баруун талд байгаа матрицад эхний ба дараа нь хоёр дахь баганыг нэмнэ. Дараа нь "эерэг" нөхцлүүд нь үндсэн диагональтай параллель шугамууд дээр, "сөрөг" нь хоёр дахь диагональтай параллель шугамууд дээр байх болно..

2.3. Крамерын дүрэм

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг ашиглан ийм системийн шийдлийг хоёр тэгшитгэлийн системтэй ижил хэлбэрээр бичиж болно, жишээлбэл.

(2.4)

хэрэв 0. Энд

Тэнд байна Крамерын дүрэм Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Жишээ 2.3.Крамерын дүрмийг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.

Шийдэл . Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогчийг олох

0 тул системийн шийдлийг олохын тулд бид Крамерын дүрмийг хэрэглэж болох боловч эхлээд гурван тодорхойлогчийг тооцоолно.

Шалгалт:

Тиймээс шийдлийг зөв олсон. 

2 ба 3-р дарааллын шугаман системд зориулж олж авсан Крамерын дүрмүүд нь ямар ч дарааллын шугаман системд ижил дүрмийг томъёолж болохыг харуулж байна. Үнэхээр болдог

Крамерын теорем. Системийн үндсэн матрицын тэгээс өөр тодорхойлогчтой шугаман тэгшитгэлийн квадрат систем (0) нь нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй бөгөөд энэ шийдлийг томъёогоор тооцоолно

(2.5)

Хаана  – үндсэн матрицын тодорхойлогч,  би – матриц тодорхойлогч, үндсэн нэгээс авсан, орлуулахбичөлөөт нэр томъёоны багана.

Хэрэв =0 бол Крамерын дүрэм үйлчлэхгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь системд ямар ч шийдэл байхгүй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Крамерын теоремыг томъёолсны дараа дээд эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолох асуулт гарч ирнэ.

2.4. n-р эрэмбийн тодорхойлогч

Жишээлбэл, элементүүдийн бага ба алгебрийн нэмэлтүүдийг олъё а 23 ба а 31 шалгуур

Бид авдаг



Алгебрийн нэмэлт ойлголтыг ашиглан бид томъёолж болно тодорхойлогч тэлэлтийн теоремn-мөр, баганаар эрэмбэлнэ.

Теорем 2.1.Матрицын тодорхойлогчАнь тодорхой эгнээний (эсвэл баганын) бүх элементүүдийн үржвэрийн нийлбэрийг тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдтэй тэнцүү байна.

(2.6)

Энэ теорем нь тодорхойлогчийг тооцоолох үндсэн аргуудын нэгийг үндэслэдэг. захиалга бууруулах арга. Тодорхойлогчийн тэлэлтийн үр дүнд nАливаа мөр эсвэл баганын дарааллаар бид n тодорхойлогчийг авна ( n-1)-р захиалга. Ийм тодорхойлогч цөөн байхын тулд хамгийн их тэгтэй мөр эсвэл баганыг сонгох нь зүйтэй. Практикт тодорхойлогчийн өргөтгөлийн томъёог ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

тэдгээр. алгебрийн нэмэгдлүүд нь насанд хүрээгүй хүмүүсийн хувьд тодорхой бичигдсэн байдаг.

Жишээ 2.4.Тодорхойлогчдыг эхлээд зарим мөр эсвэл баганад ангилж тооцоол. Ихэвчлэн ийм тохиолдолд хамгийн их тэгтэй багана эсвэл мөрийг сонгоно. Сонгосон мөр эсвэл баганыг сумаар зааж өгнө.



2.5. Тодорхойлогчдын үндсэн шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Хэрэв доторх мөр, баганыг солих юм бол тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл. матрицыг шилжүүлэх үед:

.

Энэ шинж чанар нь тодорхойлогчийн мөр, баганын тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл тодорхойлогчийн баганын талаарх аливаа мэдэгдэл нь түүний мөрүүдийн хувьд мөн үнэн бөгөөд эсрэгээр.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хоёр мөр (багана) солигдох үед тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгддөг.

Үр дагавар. Хэрэв тодорхойлогч нь хоёр ижил мөр (багана) байвал энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.

Эд хөрөнгө 3. Аливаа эгнээний (багана) бүх элементүүдийн нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлогч тэмдэгээс гаргаж болно.

Жишээлбэл,

Үр дагавар. Тодорхойлогчийн тодорхой эгнээний (баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол тодорхойлогч өөрөө тэгтэй тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4. Нэг мөр (баганын) элементүүдийг өөр эгнээний (баганын) элементүүдэд нэмж, тодорхой тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Жишээлбэл,

Эд хөрөнгө 5. Матрицын үржвэрийн тодорхойлогч нь матрицын тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна.

2.6.

Анхан шатны өөрчлөлтүүд Дараах хувиргалтыг матриц гэж нэрлэдэг: 1) мөрийг (багана) тэгтэй тэнцүү биш тоогоор үржүүлэх; 2) нэг мөр (багана) нөгөө рүү нэмэх; 3) хоёр эгнээ (багана) дахин зохион байгуулах.

Анхан шатны хувиргах арга матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулахын тулд тодорхойлогчдын шинж чанарыг харгалзан энгийн хувиргалтыг ашиглах явдал юм.

Жишээ 2.5.Анхан шатны хувиргалтыг ашиглан тодорхойлогчийг тооцоолж, гурвалжин хэлбэрт оруулна.



Жишээ 2.6.Тодорхойлогчийг тооцоолох:

.

Шийдэл . Энэ тодорхойлогчийг хялбарчилж, дараа нь тооцоолъё:

. 
Жишээ 2.7.Тодорхойлогчийг тооцоолох
.

Шийдэл . Арга 1 .Тодорхойлогчдын шинж чанарыг харгалзан матрицын анхан шатны хувиргалтыг ашигласнаар бид дурын мөр, баганад тэгийг олж авах ба дараа нь гарсан тодорхойлогчийг энэ мөр эсвэл баганын дагуу өргөжүүлнэ.

–6

2

-2


.
Арга 2 .Тодорхойлогчдын шинж чанарыг харгалзан матрицын элементар хувиргалтыг ашиглан бид матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулна.

. 

Анхан шатны хувиргалтыг ашиглан тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах замаар тооцоолох нь хамгийн түгээмэл аргуудын нэг юм. Энэ нь компьютер дээр тодорхойлогчийг тооцоолох үндсэн арга байдагтай холбоотой юм. Илүү нарийн, энэ нь өөрчлөлтүүдийн нэг юм Гауссын арга шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Жишээ 2.8.Гауссын аргыг ашиглан тодорхойлогчийг тооцоол.

Шийдэл. Эхний баганыг авч үзээд 1-ийг агуулсан мөрийг сонгоно уу. Хэрэв нэгж байхгүй бол та энэ нэгжийг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүсгэх хэрэгтэй: мөр, баганыг дахин цэгцлэх, тэдгээрийг хооронд нь нэмэх, хасах, тэдгээрийг үржүүлэх эсвэл хуваах. тоо (мэдээж тодорхойлогчдын шинж чанарыг харгалзан үзэх). Хоёрдахь мөрийг үндэс болгон авч эхний баганад тэгийг авахын тулд ашиглацгаая.

Үүний дараа бид эхний мөрөнд анхаарлаа хандуулахаа больсон. 2-р баганыг харцгаая.

Үр дүн нь гурвалжин матриц юм. Тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд үндсэн диагональ дээр байрлах матрицын элементүүдийг үржүүлэхэд л үлддэг. Тиймээс бид хариултыг авна: –2(–1)(–1)1334 = –264. 

Практик хичээл

Сэдэв: Тодорхойлогчдын тооцоо.

Зорилтууд: h тодорхойлогч хүчин зүйлс, тэдгээрийн шинж чанаруудын тухай ойлголтыг бэхжүүлэх;ур чадвар, чадварыг бүрдүүлэх, нэгтгэх 2, 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох; олж авсан мэдлэгээ нэгтгэх, дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах чадварыг хөгжүүлэх, логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх; оюутнуудад сургалтын үйл явцад ухамсартай хандлагыг төлөвшүүлэх.

I. Онолын ерөнхий зарчим

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч нь тоо юм

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч нь тоо юм

Тодорхойлогчдын шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.
Хэрэв бүх мөрийг харгалзах баганаар сольсон бол тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.
Аливаа хоёр мөр, баганыг солиход тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Эд хөрөнгө 3.
Тодорхойлогч нь хоёр тэнцүү мөр (багана) байвал 0-тэй тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4.
Мөр, баганын бүх элементүүдэд нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлогч тэмдгийн гадна авч болно.

Эд хөрөнгө 5.
Хэрэв мөр, баганын элементүүдэд өөр мөр, баганын харгалзах элементүүдийг нэмбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

4 ба 5-р шинж чанаруудын үр дүн: Хэрэв та мөр, баганын элементүүдэд өөр мөр, баганын харгалзах элементүүдийг тодорхой тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Аюулгүй байдлын асуултууд:

1.Матрицын тодорхойлолтыг өг.
2. Тэмдэглэгээ нь юу гэсэн үг вэ? ?
3. Ямар матрицыг А матрицад шилжүүлсэн гэж нэрлэдэг вэ?
4. Ямар матрицыг n дарааллын квадрат гэж нэрлэдэг вэ?
5. 2-р эрэмбийн тодорхойлогчийг тодорхойлно уу.

6. 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн тодорхойлолтыг өг.

7. Шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогч нь юу вэ?

8. Матрицад 2 мөр (багана) солигдвол тодорхойлогчийн утга хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?

9. Тодорхойлогч тэмдэгээс мөр, баганын нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж авах боломжтой юу?

10.Тодорхой мөр (баганын) бүх элементүүд 0-тэй тэнцүү бол тодорхойлогч нь юу вэ?

11.Ижил хоёр мөр (багана) байвал тодорхойлогч хэдтэй тэнцүү вэ?

12. 2-р эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох дүрмийг томъёол.

13. 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох дүрмийг томъёол.

II . Ур чадвар, чадварыг бий болгох.

Жишээ 1.Та тодорхойлогчийг дугаарлана : а) гурвалжингийн дүрмээр б) Саррусын дүрмийн дагуу;

в) эхний эгнээний элементүүдээр тэлэх аргаар

Шийдэл:

б) эхний хоёр баганыг нэмж, үндсэн диагональ ба түүнтэй параллель (+) тэмдгээр гурван элементийн үржвэрийг тооцоолж, дараа нь хоёрдогч диагональ дагуу ба параллель (-) тэмдгээр тооцоолно:

бид авах:

Жишээ 2.Тодорхойлогчийг тооцоолох хоёр аргаар: эхний эгнээний өргөтгөл ба гурвалжингийн дүрмийг ашиглана.

Шийдэл:

Жишээ 3.Тодорхойлогчийг шинж чанаруудыг ашиглан тооцоолно уу:

III .Судалсан материалыг бататгах.

№1. Тодорхойлогчдыг тооцоолох:

№ 2. Тэгшитгэлийг шийд:

No 4. Тодорхойлогчдыг шинж чанаруудыг ашиглан тооцоол.

1 .
. 2.
. 3.
. 4 .
.

Уран зохиол

1. Писменный, Д.Т. Дээд математикийн лекцийн тэмдэглэл: Д.Т. Писменныйгийн бүрэн хэмжээний курс. - 9-р хэвлэл. – М.: Iris-press, 2009. 608 х.: өвчтэй. – (Дээд боловсрол).

2. Лунгу, К.Н. Дээд математикийн асуудлын цуглуулга. 1-р жил / К.Н.Лунгу, Д.Т.Писменный, С.Н.Федин, А.Шевченко. - 7 дахь хэвлэл. – М.: Iris-press, 2008. 576 х.: – (Дээд боловсрол).

Сэдэв 1. Матриц ба систем

Матрицын тухай ойлголт

Тодорхойлолт 1.Матриц

.

Энд, a i j (би=1,2,...,м; j=1,2,...n) - матрицын элементүүд, би- мөрийн дугаар, j m=nматриц гэж нэрлэдэг дөрвөлжинзахиалгын матриц n.

i¹jтэгтэй тэнцүү гэж нэрлэдэг диагональ:

ганц бие

nullба θ-ээр тэмдэглэнэ.

- матрицын мөр; - матрицын багана.

тодорхойлогч(эсвэл тодорхойлогч).

2-р эрэмбийн тодорхойлогч

Тодорхойлолт 2. ТУХАЙ хоёр дахь эрэмбийн хязгаарлагчматрицууд , тэр нь

. (3)

Бусад тэмдэглэгээ: , .

Тиймээс тодорхойлогчийн тухай ойлголт нь түүнийг тооцоолох аргыг нэгэн зэрэг таамаглаж байна. Тоонуудыг тодорхойлогчийн элементүүд гэж нэрлэдэг. Элементүүдийн үүсгэсэн диагональ гэж нэрлэдэг голба элементүүд - тал

Жишээ 1.Матрицын тодорхойлогч нь тэнцүү байна

.

3-р эрэмбийн тодорхойлогч

Тодорхойлолт 2. ТУХАЙ гурав дахь эрэмбийн хязгаарлагчтэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн тоо юм

,

тэгш эрхээр тодорхойлогддог

Тоонууд - элементүүдтодорхойлогч. Элементүүдийн хэлбэр гэрдиагональ, элементүүд - тал.

Тодорхойлогчийг тооцоолохдоо тэгш байдлын баруун талд (4) аль нэр томъёог "+", аль нь "-" тэмдгээр авсан болохыг санахын тулд гурвалжны бэлгэдлийн дүрмийг (Саррусын дүрэм) ашиглана уу.

"+" тэмдгээр үндсэн диагональтай параллель суурьтай гурвалжны оройн хэсэгт байрлах үндсэн диагональ ба элементүүдийн үржвэрийг авна; дараа нь "-" тэмдэг - хоёрдогч диагональтай параллель суурьтай гурвалжны оройн хэсэгт байрлах хоёрдогч диагональ ба элементүүдийн үржвэр.

Баганын хуваарилалтын дүрмийг ашиглан тодорхойлогчийг тооцоолох.

1. Бид тодорхойлогчийн баруун талд эхний болон хоёр дахь баганыг дараалан хуваарилдаг.

2. Бид гурван элементийн үржвэрийг зүүнээс баруун тийш, дээрээс доошоо диагональ байдлаар тооцоолно А 11 хүртэл А 13 ба "+" тэмдгээр ав. Дараа нь бид гурван элементийн бүтээгдэхүүнийг зүүнээс баруун тийш, доороос дээш диагональаар тооцоолно А 31 хүртэл А 13 ба тэдгээрийг "-" тэмдгээр ав.

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

Жишээ 2. Баганын хуваарилалтын дүрмийг ашиглан тодорхойлогчийг тооцоол.

3. Тодорхойлогч хүчин зүйлүүд n--р захиалга. Бага ба алгебрийн нэмэлтүүд. Тодорхойлогчдыг эгнээ (багана) тэлэх замаар тооцоолох.

Тодорхойлогчийн тухай ойлголтыг авч үзье n-захиалга байхгүй. Тодорхойлогч n-өндөр дараалал нь матрицтай холбоотой тоо юм n-тодорхой дарааллын дагуу, тодорхой хуулийн дагуу тооцсон.

,

Энд тодорхойлогчийн элементүүд байна. Тодорхойлогчийг илчлэх дүрмийг харуулах nЭхний дарааллаар зарим ойлголтыг авч үзье.

Тодорхойлолт 4. Багатодорхойлох элемент n-р дарааллыг тодорхойлогч гэж нэрлэдэг ( n- 1) энэ элемент байрлаж буй огтлолцол дээр тодорхойлогчийн мөр ба баганыг хайчилж авсан дараалал.

Тодорхойлолт 5. Алгебрийн нэмэлттодорхойлогчийн зарим элемент n th дарааллыг энэ элементийн минор гэж нэрлэдэг үржүүлсэн, өөрөөр хэлбэл .

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн хувьд жишээ нь:

, .

, .

Тодорхойлолт 6. Тодорхойлогч n-Дээд эрэмбийн тоо гэдэг нь тодорхойлогчийн эхний эгнээний элементүүдийн үржвэрийн нийлбэрийг тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдээр үржүүлсэнтэй тэнцүү тоо юм.

Тодорхойлогчийг тооцоолох энэ дүрмийг гэж нэрлэдэг эхний эгнээний дагуу тэлэлт.

Теорем (тодорхойлогчийн тэлэлтийн тухай).Тодорхойлогчийг аль ч мөр, багана дээр өргөтгөх замаар тооцоолж болно.

– 2-р баганын алгебрийн нэмэлтүүдээр 1-р баганын элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр.

Жишээ 3. Дөрөв дэх эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол .

Шийдэл.Бид гурав дахь мөрийг (-1)-ээр үржүүлж, дөрөв дэх мөрөнд нэмээд дөрөв дэх мөрийн дагуу тодорхойлогчийг өргөжүүлнэ.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг эхний эгнээний дагуу өргөтгөсөн.

Гауссын арга.

Гауссын аргаЭнэ нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгаснаар анхны систем нь өөрчлөгддөг алхам алхмаароюун ухаан. Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх зүйлийг хассан хувиргалт нь матрицын эгнээний элементар хувиргалттай тэнцэх тул хувиргалтыг өргөтгөсөн матрицын мөрүүд дээр гүйцэтгэдэг.

Гауссын арга нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ урагш цус харвалтТэгээд урвуу хөдөлгөөн.Гауссын аргын шууд арга нь (1) системийн өргөтгөсөн матрицыг эгнээнүүдийн үндсэн хувиргалтаар алхам алхмаар хэлбэрт оруулах явдал юм. Үүний дараа системийг тогтвортой, найдвартай эсэхийг шалгана. Дараа нь алхамын матрицыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг сэргээнэ. Энэхүү шаталсан тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь Гауссын аргын урвуу хувилбар бөгөөд сүүлийн тэгшитгэлээс эхлэн том серийн дугаартай үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан тооцоолж, тэдгээрийн утгыг системийн өмнөх тэгшитгэлд орлуулдаг.

Урагшлах хөдөлгөөний төгсгөлд системийн судалгааг Кронекер-Капелли теоремын дагуу системийн А матриц ба өргөтгөсөн A´ матрицын зэрэглэлийг харьцуулан судална. Дараах тохиолдлууд боломжтой.

1) Хэрэв , тэгвэл систем нь нийцэхгүй байна (Кронекер-Капелли теоремын дагуу).

2) Хэрэв бол (1) систем нь тодорхой ба эсрэгээр (баталгаагүй) байна.

3) Хэрэв бол (1) систем тодорхойгүй, харин эсрэгээр (баталгаагүй) байна.

Тэгш бус байдал А матриц нь А´ матрицын нэг хэсэг тул А матрицын баганын тоо тэнцүү тул тэгш бус байдал нь биелэхгүй. n. Түүнээс гадна квадрат матрицтай системийн хувьд, өөрөөр хэлбэл, хэрэв n = Т, тэгш байдал нь .

Хэрэв систем тодорхойгүй бол, өөрөөр хэлбэл, энэ нь хэрэгжсэн бол түүний зарим үл мэдэгдэх зүйлийг чөлөөтэй гэж зарлаж, үлдсэнийг нь тэднээр дамжуулан илэрхийлдэг. Үнэгүй үл мэдэгдэх тоо . Гауссын аргын урвуу үйлдлийг хийхдээ хэрэв дараагийн тэгшитгэлд өмнө нь олдсон хувьсагчдыг орлуулсны дараа нэгээс олон үл мэдэгдэх үлдэгдэл үлдвэл нэгээс бусад үл мэдэгдэх үлдэгдлийг чөлөөт үл мэдэгдэх гэж зарлана.

Гауссын аргын хэрэгжилтийг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 4. Тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл.Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдье. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн эгнээний хувиргалтыг (шууд хөдөлгөөн) ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

~ ~ ~

~ ~ .

Тиймээс систем нь тууштай бөгөөд өвөрмөц шийдэлтэй, i.e. тодорхой байна.

Үе шаттай систем үүсгэж, үүнийг шийдье (урвуу).

Шалгалтыг орлуулах замаар хялбархан хийж болно.

Хариулах: .

Сэдэв 2. Вектор алгебр.

Векторын тэнхлэг дээрх проекц.

Тодорхойлолт 2. Вектор проекцтэнхлэг бүрт лсегментийн урттай тэнцүү тоо юм ABХэрэв сегмент бол "+" тэмдгээр авсан векторын эхлэл ба төгсгөлийн проекцуудын хооронд хаагдсан энэ тэнхлэг ABчиглэсэн (-аас тоолох Аруу IN) тэнхлэгийн эерэг тал руу лмөн тэмдэг "-" - өөрөөр (зураг 2-ыг үз).

Тэмдэглэл: .

Теорем 1.Векторын тэнхлэг дээрх проекц нь түүний модулийн үржвэр ба вектор ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийн косинустай тэнцүү байна (Зураг 3).

. (1)

Зураг 3. Зураг 4.

Баталгаа. (Зураг 3) -аас бид . Сегментийн чиглэл нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцаж байгаа тул тэгш байдал нь үнэн юм. Эсрэг чиг баримжаатай тохиолдолд (Зураг 4) бид . Теорем нь батлагдсан.

Проекцийн шинж чанарыг авч үзье.

Өмч 1. Хоёр векторын нийлбэр ба тэнхлэг дээрх проекц нь тэдгээрийн ижил тэнхлэг дээрх проекцуудын нийлбэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Зураг 5.

Векторуудын боломжит зохицуулалтын аль нэгийг нотлох баримтыг Зураг 5-аас харж болно. Үнэн хэрэгтээ тодорхойлолтоор 2

1-р шинж чанар нь дурын хязгаарлагдмал тооны вектор гишүүний хувьд үнэн юм.

Өмч 2. Векторыг l тоогоор үржүүлэхэд түүний проекцийг энэ тоогоор үржүүлнэ.

. (2)

Тэгш байдлыг баталцгаая (2). Хэзээ векторууд ба тэнхлэгтэй ижил өнцөг үүсгэнэ. Теорем 1-ээр

Хэзээ векторууд болон үүсгэх өнцөг болон тэнхлэгтэй тус тус. Теорем 1

Учир нь бид илэрхий тэгш байдлыг олж авдаг

Үл хөдлөх хөрөнгийн үр дүн 1 ба 2. Векторуудын шугаман хослолын проекц нь эдгээр векторуудын төсөөллийн ижил шугаман хослолтой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Сэдэв 1. Матриц ба систем

Матрицын тухай ойлголт

Тодорхойлолт 1.Матрицхэмжээ нь тоонуудын тэгш өнцөгт хүснэгт эсвэл хэлбэрээр бичигдсэн цагаан толгойн үсгийн илэрхийлэл юм

.

Энд, a i j (би=1,2,...,м; j=1,2,...n) - матрицын элементүүд, би- мөрийн дугаар, j- баганын дугаар. Матрицыг ихэвчлэн латин цагаан толгойн A, B, C гэх мэт том үсгээр, түүнчлэн эсвэл . At m=nматриц гэж нэрлэдэг дөрвөлжинзахиалгын матриц n.

Бүх элементүүд нь тэгш бус индекстэй квадрат матриц i¹jтэгтэй тэнцүү гэж нэрлэдэг диагональ:

Хэрэв диагональ матрицын тэгээс бусад бүх элементүүд нэгтэй тэнцүү бол матрицыг гэнэ. ганц бие. Баримт бичгийн матрицыг ихэвчлэн E үсгээр тэмдэглэдэг.

Элементүүд нь бүгд тэгтэй матрицыг нэрлэдэг nullба θ-ээр тэмдэглэнэ.

Мөн нэг мөр эсвэл нэг баганаас бүрдэх матрицууд байдаг.

- матрицын мөр; - матрицын багана.

Квадрат матрицын тоон шинж чанар нь тодорхойлогч(эсвэл тодорхойлогч).

2-р ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогч, тэдгээрийн шинж чанар.

2-р эрэмбийн тодорхойлогч

Тодорхойлолт 2. ТУХАЙ хоёр дахь эрэмбийн хязгаарлагчматрицууд (эсвэл зүгээр л хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч) нь тэмдэгтээр тэмдэглэгдэж, тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тоо юм. , тэр нь

. (3)

Бусад тэмдэглэгээ: , .

Матрицын тодорхойлогчийг олохын тулд 2 ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогчдод хүчинтэй томьёог ашиглах хэрэгтэй.

Томъёо

Хоёрдахь эрэмбийн матриц $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $ өгье. Дараа нь түүний тодорхойлогчийг томъёогоор тооцоолно.

$$ \Дельта = \эхлэх(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \төгсгөл(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$

$ a_(11)\cdot a_(22) $ үндсэн диагональ дээр байрлах элементүүдийн үржвэрээс $ a_(12)\cdot a_(21) $ хоёрдогч диагональ дээр байрлах элементүүдийн үржвэрийг хасна. Энэ дүрэм нь зөвхөн 2-р эрэмбийн тодорхойлогчийн хувьд үнэн (!).

Гурав дахь эрэмбийн матриц өгсөн бол $ A = \эхлэх(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $ байвал түүний тодорхойлогчийг дараах томъёогоор тооцоолно.

$$ \Дельта = \эхлэх(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \төгсгөл(vmatrix) = $$

$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$

Шийдлийн жишээ