Үйл явдлын магадлал хэд вэ. Санамсаргүй байдал гэж юу вэ

Эдийн засагт хүний ​​үйл ажиллагааны бусад салбарууд эсвэл байгальд байдаг шиг бид үнэн зөв урьдчилан таамаглах боломжгүй үйл явдлуудтай байнга тулгардаг. Тиймээс, бүтээгдэхүүний борлуулалтын хэмжээ нь ихээхэн ялгаатай байж болох эрэлт хэрэгцээ болон бусад хэд хэдэн хүчин зүйлээс хамаардаг бөгөөд үүнийг анхаарч үзэх нь бараг боломжгүй юм. Тиймээс үйлдвэрлэл, борлуулалтыг зохион байгуулахдаа та өөрийн өмнөх туршлага, бусад хүмүүсийн ижил төстэй туршлага, зөн совингийн үндсэн дээр ийм үйл ажиллагааны үр дүнг урьдчилан таамаглах ёстой бөгөөд энэ нь ихэвчлэн туршилтын өгөгдөлд тулгуурладаг.

Тухайн үйл явдлыг ямар нэгэн байдлаар үнэлэхийн тулд энэ үйл явдлыг бүртгэх нөхцөлийг харгалзан үзэх эсвэл тусгайлан зохион байгуулах шаардлагатай.

Тухайн үйл явдлыг тодорхойлох тодорхой нөхцөл, арга хэмжээг хэрэгжүүлэх гэж нэрлэдэг туршлагаэсвэл туршилт.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг санамсаргүй, хэрэв туршлагын үр дүнд энэ нь тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг найдвартай, хэрэв энэ нь өгөгдсөн туршлагын үр дүнд зайлшгүй гарч ирвэл, мөн боломжгүй, хэрэв энэ туршлагад харагдахгүй бол.

Жишээлбэл, 11-р сарын 30-нд Москвад цас орох нь санамсаргүй үйл явдал юм. Өдөр бүр нар мандахыг найдвартай үйл явдал гэж үзэж болно. Экваторт цас орох нь боломжгүй үйл явдал гэж үзэж болно.

Магадлалын онолын гол ажлуудын нэг бол үйл явдал тохиолдох магадлалын тоон хэмжүүрийг тодорхойлох ажил юм.

Үйл явдлын алгебр

Нэгэн туршлагыг хамтдаа ажиглах боломжгүй бол үйл явдлуудыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Тиймээс нэг дэлгүүрт хоёр, гурван машин нэгэн зэрэг зарагдах нь хоёр үл нийцэх үйл явдал юм.

Дүнүйл явдал нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм

Үйл явдлын нийлбэрийн жишээ бол дэлгүүрт хоёр бүтээгдэхүүний дор хаяж нэг нь байгаа явдал юм.

ажилүйл явдал нь эдгээр бүх үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдохоос бүрдсэн үйл явдал юм

Дэлгүүрт хоёр барааны нэгэн зэрэг харагдахаас бүрдэх үйл явдал нь үйл явдлын бүтээгдэхүүн юм: - нэг бүтээгдэхүүний харагдах байдал, - өөр бүтээгдэхүүний харагдах байдал.

Хэрэв эдгээрийн дор хаяж нэг нь туршлагаар тохиолдох нь гарцаагүй бол үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Жишээ.Боомт нь хөлөг онгоц хүлээн авах хоёр зогсоолтой. Гурван үйл явдлыг авч үзэж болно: - зогсоол дээр хөлөг онгоц байхгүй, - нэг зогсоол дээр нэг хөлөг онгоц байгаа, - хоёр зогсоол дээр хоёр хөлөг онгоц байгаа. Эдгээр гурван үйл явдал нь үйл явдлын бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

ЭсрэгБүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг хоёр өвөрмөц боломжит үйл явдлуудыг нэрлэнэ.

Эсрэг үйл явдлуудын аль нэгийг нь -ээр тэмдэглэвэл эсрэг үйл явдлыг ихэвчлэн -ээр тэмдэглэнэ.

Үйл явдлын магадлалын сонгодог болон статистик тодорхойлолтууд

Туршилтын (туршилтын) адил боломжтой үр дүн бүрийг энгийн үр дүн гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээлбэл, үхэгсдийг шиддэг. Хажуу талын онооны тооноос хамааран нийт зургаан үндсэн үр дүн байж болно.

Анхан шатны үр дүнгээс та илүү төвөгтэй үйл явдлыг үүсгэж болно. Тиймээс тэгш тооны онооны үйл явдлыг 2, 4, 6 гэсэн гурван үр дүнгээр тодорхойлно.

Тухайн үйл явдал тохиолдох боломжийн тоон хэмжүүр нь магадлал юм.

Үйл явдлын магадлалын хамгийн өргөн хэрэглэгддэг тодорхойлолтууд нь: сонгодогТэгээд статистик.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь таатай үр дүн гэсэн ойлголттой холбоотой байдаг.

Үр дүн гэж нэрлэдэг таатайтухайн үйл явдал нь энэ үйл явдал тохиолдоход хүргэсэн бол тухайн үйл явдалд.

Дээрх жишээнд, тухайн үйл явдал буюу өнхрөх тал дээр тэгш тоотой оноо гурван таатай үр дагавартай байна. Энэ тохиолдолд генерал
боломжит үр дүнгийн тоо. Энэ нь үйл явдлын магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг энд ашиглаж болно гэсэн үг юм.

Сонгодог тодорхойлолттаатай үр дүнгийн тоог боломжит үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна

үйл явдлын магадлал хаана байна, тухайн үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо, боломжит үр дүнгийн нийт тоо.

Санасан жишээнд

Магадлалын статистик тодорхойлолт нь туршилт дахь үйл явдлын харьцангуй давтамжийн тухай ойлголттой холбоотой юм.

Үйл явдлын харьцангуй давтамжийг томъёогоор тооцоолно

цуврал туршилт (туршилт) дахь үйл явдлын тохиолдлын тоо хаана байна.

Статистикийн тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлал нь туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх замаар харьцангуй давтамж тогтворжсон (багц) тоо юм.

Практик асуудлуудад үйл явдлын магадлалыг хангалттай олон тооны туршилтын харьцангуй давтамж гэж үздэг.

Үйл явдлын магадлалын эдгээр тодорхойлолтоос тэгш бус байдал үргэлж хангагддаг нь тодорхой байна

Томъёо (1.1) дээр үндэслэн үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохын тулд комбинаторик томъёог ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь таатай үр дүнгийн тоо болон боломжит үр дүнгийн нийт тоог олоход ашиглагддаг.

At Аливаа санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг үнэлэхдээ бидний сонирхож буй үйл явдлын магадлал () бусад үйл явдлууд хэрхэн хөгжиж байгаагаас хамаарах эсэхийг сайн ойлгох нь маш чухал юм.

Сонгодог схемийн хувьд бүх үр дүн нь ижил магадлалтай үед бид бие даан сонирхож буй үйл явдлын магадлалын утгыг аль хэдийн тооцоолж болно. Үйл явдал нь хэд хэдэн үндсэн үр дүнгийн цогц цуглуулга байсан ч бид үүнийг хийж чадна. Хэд хэдэн санамсаргүй үйл явдал нэгэн зэрэг эсвэл дараалан тохиолдвол яах вэ? Энэ нь бидний сонирхож буй үйл явдлын магадлалд хэрхэн нөлөөлөх вэ?

Хэрвээ би хэд хэдэн удаа шидээд зургаа гараасай гэж хүсч, азгүйдсээр байвал магадлалын онолын дагуу би азтай болох гэж байгаа учраас бооцоогоо нэмэгдүүлэх ёстой гэсэн үг үү? Харамсалтай нь магадлалын онолд ийм зүйл байдаггүй. Ямар ч шоо, карт, зоос байхгүй санаж чадахгүй байна Тэд бидэнд хамгийн сүүлд юу үзүүлсэн. Өнөөдөр би анх удаагаа эсвэл арав дахь удаагаа азаа сорьж байгаа нь тэдэнд огт хамаагүй. Би өнхрөлтийг давтах болгондоо нэг л зүйлийг мэддэг: энэ удаад зургаа авах магадлал дахин зургаагийн нэг юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь надад хэрэгтэй дугаар хэзээ ч гарч ирэхгүй гэсэн үг биш юм. Энэ нь зөвхөн эхний шидэлтийн дараа болон бусад шидэлтийн дараа миний хожигдол бие даасан үйл явдал болно гэсэн үг юм.

А ба В үйл явдлуудыг дуудна бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгийг хэрэгжүүлэх нь өөр үйл явдлын магадлалд ямар нэгэн байдлаар нөлөөлөхгүй бол. Тухайлбал, хоёр зэвсгийн эхнийх нь байг онох магадлал нь нөгөө зэвсгийн бай оносон эсэхээс хамаардаггүй тул “эхний зэвсэг бай оносон”, “хоёр дахь зэвсэг байг оносон” үйл явдлууд дараах байдалтай байна. бие даасан.

Хэрэв А ба В хоёр үйл явдал нь бие даасан бөгөөд тус бүрийн магадлал нь мэдэгдэж байвал А үзэгдэл ба В (AB гэж тэмдэглэсэн) хоёулаа нэгэн зэрэг тохиолдох магадлалыг дараах теоремоор тооцоолж болно.

Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем

Жишээ.Эхний болон хоёр дахь буугаар буудах үед бай онох магадлал нь тэнцүү байна: p 1 =0.7;

p 2 =0.8. Хоёр буу нэгэн зэрэг нэг цохилтоор цохих магадлалыг ол.Шийдэл:

Бидний аль хэдийн харсанчлан А (эхний буугаар цохисон) ба В (хоёр дахь буугаар цохисон) үйл явдлууд бие даасан, өөрөөр хэлбэл. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56.

Жишээ.Анхны үйл явдлууд бие даасан биш бол бидний тооцоолол юу болох вэ? Өмнөх жишээг бага зэрэг өөрчилье.

Тэмцээний үеэр хоёр мэргэн буудагч бай руу бууддаг бөгөөд хэрэв тэдний нэг нь оновчтой харвавал өрсөлдөгч нь сандарч, үр дүн нь улам дорддог. Энэ өдөр тутмын нөхцөл байдлыг хэрхэн математикийн бодлого болгон хувиргаж, шийдвэрлэх арга замыг тоймлох вэ? Үйл явдлыг хөгжүүлэх хоёр хувилбарыг ямар нэгэн байдлаар салгаж, үндсэндээ хоёр хувилбар, хоёр өөр ажлыг бий болгох шаардлагатай гэдэг нь ойлгомжтой юм. Эхний тохиолдолд, хэрэв өрсөлдөгч нь алдсан бол нөхцөл байдал нь мэдрэлийн тамирчдад таатай байх бөгөөд түүний нарийвчлал өндөр байх болно. Хоёр дахь тохиолдолд, хэрэв өрсөлдөгч нь боломжоо ашигласан бол хоёр дахь тамирчны бай онох магадлал буурдаг. Үйл явдлын хөгжлийн боломжит хувилбаруудыг (ихэвчлэн таамаглал гэж нэрлэдэг) салгахын тулд бид ихэвчлэн "магадлалын мод" диаграммыг ашигладаг.Энэ диаграм нь таны аль хэдийн харьцаж байсан шийдвэрийн модтой төстэй юм. Салбар бүр нь үйл явдлын хөгжлийн тусдаа хувилбарыг илэрхийлдэг бөгөөд одоо л энэ нь өөрийн гэсэн утгатай болсон.

нөхцөлт

магадлал (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Энэ схем нь дараалсан санамсаргүй үйл явдлыг шинжлэхэд маш тохиромжтой. Магадлалын анхны утгууд хаана байдаг вэ гэсэн өөр нэг чухал асуултыг тодруулах шаардлагатай байна

Жишээ.бодит нөхцөл байдал ? Эцсийн эцэст магадлалын онол зөвхөн зоос, шоо дээр ажилладаггүй гэж үү? Ихэвчлэн эдгээр тооцоог статистик мэдээллээс авдаг бөгөөд статистик мэдээлэл байхгүй үед бид өөрсдөө судалгаа хийдэг. Мөн бид үүнийг ихэвчлэн өгөгдөл цуглуулахаас биш, харин бидэнд ямар мэдээлэл хэрэгтэй вэ гэсэн асуултаас эхлэх хэрэгтэй болдог.

Зуун мянган оршин суугчтай хотод зайлшгүй шаардлагатай бүтээгдэхүүн биш, жишээлбэл, будсан үс арчилгааны гавар гэх мэт шинэ бүтээгдэхүүний зах зээлийн хэмжээг тооцоолох хэрэгтэй гэж бодъё. "Магадлалын мод" диаграмыг авч үзье. Энэ тохиолдолд бид "салбар" бүрийн магадлалын утгыг ойролцоогоор тооцоолох хэрэгтэй.

Тиймээс, бидний зах зээлийн багтаамжийн тооцоо:

3) тэдгээрийн зөвхөн 10% нь будсан үсэнд зориулсан бальзам хэрэглэдэг.

4) тэдний зөвхөн 10% нь шинэ бүтээгдэхүүн туршиж үзэх зоригийг гаргаж чаддаг.

5) Тэдний 70% нь ихэвчлэн бүх зүйлийг биднээс биш, харин өрсөлдөгчдөөсөө худалдаж авдаг.

p 2 =0.8. Хоёр буу нэгэн зэрэг нэг цохилтоор цохих магадлалыг ол.Магадлалыг үржүүлэх хуулийн дагуу бид сонирхож буй үйл явдлын магадлалыг A = (хотын оршин суугч биднээс энэ шинэ бальзамыг худалдаж авдаг) = 0.00045 гэж тодорхойлдог.

Энэ магадлалын утгыг хотын оршин суугчдын тоогоор үржүүлье. Үүний үр дүнд манайд 45 боломжит худалдан авагч байгаа бөгөөд энэ бүтээгдэхүүний нэг шил хэдэн сарын турш хадгалагддагийг бодоход худалдаа тийм ч идэвхтэй биш байна.

Гэсэн хэдий ч бидний үнэлгээний үр ашиг бий.

Нэгдүгээрт, бид янз бүрийн бизнесийн санаануудын таамаглалыг харьцуулж болно, тэдгээр нь диаграммд өөр өөр "салаа" байх бөгөөд мэдээжийн хэрэг, магадлалын утга нь өөр байх болно.

Хоёрдугаарт, бид аль хэдийн хэлсэнчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг санамсаргүй гэж нэрлэдэггүй, учир нь энэ нь юунаас ч хамаардаггүй. Зүгээр л тэр ягутгыг нь урьдчилж мэддэггүй. Худалдан авагчдын дундаж тоог нэмэгдүүлэх боломжтой гэдгийг бид мэднэ (жишээлбэл, шинэ бүтээгдэхүүнийг сурталчлах замаар). Тиймээс магадлалын хуваарилалт нь бидэнд тохирохгүй байгаа "салаа" дээр, бидний нөлөөлж чадах хүчин зүйлүүд дээр хүчин чармайлтаа төвлөрүүлэх нь утга учиртай юм.

Хэрэглэгчийн зан үйлийн судалгааны өөр нэг тоон жишээг авч үзье.

Жишээ.Хүнсний захаар өдөрт дунджаар 10 мянган хүн үйлчлүүлдэг. Сүү, сүүн бүтээгдэхүүний павильонд захын зочин орох магадлал 1/2 байна.

Энэ асарт өдөрт дунджаар 500 кг төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн худалдаалдаг нь мэдэгдэж байна.

Павильон дахь дундаж худалдан авалт ердөө 100 гр жинтэй гэж хэлж болох уу?Хэлэлцүүлэг.

Мэдээж үгүй. Павильонд орсон хүн бүр тэндээс юм худалдаж аваагүй нь ойлгомжтой.

Эдгээр тооцооллыг олж авсны дараа даалгавар хялбар болно. Зах зээлд 10000 хүн ирэхээс 5000 нь сүүн бүтээгдэхүүний павильонд очно; дундаж худалдан авалтын жин 500 грамм байна. Болж буй үйл явдлын тухай бүрэн дүр зургийг гаргахын тулд нөхцөлт "салбарлах" логикийг бид "тодорхой" нөхцөл байдалтай ажиллаж байгаа мэт тодорхой тайлбарлах ёстой бөгөөд энэ нь бидний үндэслэлийн үе шат бүрт тодорхой байх ёстой. магадлал бүхий.

Өөрийгөө шалгах даалгавар

1. Цуваа холбогдсон n элементээс бүрдэх, тус бүр нь бусдаасаа хамааралгүй ажилладаг цахилгаан хэлхээ байг.

Элемент бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал p нь мэдэгдэж байна. Хэлхээний бүх хэсгийн зөв ажиллах магадлалыг тодорхойл (А үйл явдал).

2. Оюутан шалгалтын 25 асуултаас 20 асуултыг мэддэг. Шалгуулагчийн өгсөн гурван асуултыг сурагч мэдэх магадлалыг ол.

3. Үйлдвэрлэл нь дараалсан дөрвөн үе шатаас бүрдэх ба эдгээр үе шат бүрт тоног төхөөрөмж ажилладаг бөгөөд дараагийн сард эвдрэх магадлал нь p 1, p 2, p 3 ба p 4-тэй тэнцүү байна. Сарын дотор тоног төхөөрөмжийн эвдрэлээс болж үйлдвэрлэл зогсохгүй байх магадлалыг ол.

магадлал- санамсаргүй үйл явдал тохиолдох магадлалыг илэрхийлдэг 0-ээс 1-ийн хоорондох тоо, 0 нь үйл явдал болох магадлал бүрэн байхгүй, 1 нь тухайн үйл явдал гарцаагүй тохиолдох болно гэсэн үг юм.

Е үйл явдлын магадлал нь 1-ээс 1 хүртэлх тоо юм.
Бие биенээ үгүйсгэсэн үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

эмпирик магадлал- түүхэн өгөгдлийн шинжилгээнээс гаргаж авсан өнгөрсөн үйл явдлын харьцангуй давтамжаар тооцогдох магадлал.

Маш ховор тохиолдлын магадлалыг эмпирик байдлаар тооцоолох боломжгүй.

субъектив магадлал- түүхэн өгөгдлийг харгалзахгүйгээр үйл явдлын хувийн субъектив үнэлгээнд үндэслэсэн магадлал. Хувьцаа худалдаж авах, худалдах шийдвэр гаргадаг хөрөнгө оруулагчид ихэвчлэн субъектив магадлалыг харгалзан үздэг.

өмнөх магадлал -

Магадлалын үзэл баримтлалаар үйл явдал тохиолдох магадлал 1 ин... (тохиолдол). Үйл явдал болох магадлалыг магадлалаар дараах байдлаар илэрхийлнэ: P/(1-P).

Жишээлбэл, хэрэв үйл явдлын магадлал 0.5 бол үйл явдлын магадлал 2-оос 1 байна. 0.5/(1-0.5).

Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлалыг (1-P)/P томъёогоор тооцоолно

Тохиромжгүй магадлал- жишээлбэл, А компанийн хувьцааны үнэ нь боломжит Е үйл явдлыг 85%, Б компанийн хувьцааны үнэ зөвхөн 50% -ийг харгалзан үздэг. Үүнийг үл нийцэх магадлал гэж нэрлэдэг. Нидерландын бооцооны теоремийн дагуу тогтворгүй магадлал нь ашиг олох боломжийг бий болгодог.

Нөхцөлгүй магадлал"Үйл явдал болох магадлал хэд вэ?" гэсэн асуултын хариулт юм.

Нөхцөлт магадлал- энэ бол "Б үйл явдал тохиолдвол А үйл явдлын магадлал хэд вэ" гэсэн асуултын хариулт юм. Нөхцөлт магадлалыг P(A|B) гэж тэмдэглэнэ.

Хамтарсан магадлал- А ба В үйл явдал зэрэг тохиолдох магадлал. P(AB) гэж тэмдэглэнэ.

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Магадлалыг нэгтгэн дүгнэх дүрэм:

А эсвэл В үйл явдал болох магадлал нь

P (A эсвэл B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Хэрэв А ба В үйл явдлууд бие биенээ үгүйсгэдэг бол

P (A эсвэл B) = P(A) + P(B)

Бие даасан үйл явдлууд- А ба В үйл явдлууд бие даасан байвал

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Өөрөөр хэлбэл, энэ нь магадлалын утга нь нэг үйл явдлаас нөгөө үйл явдал хүртэл тогтмол байх үр дүнгийн дараалал юм.
Зоос шидэх нь ийм үйл явдлын жишээ юм - дараагийн шидэх бүрийн үр дүн нь өмнөх үйл явдлын үр дүнгээс хамаардаггүй.

Хамааралтай үйл явдлууд- эдгээр нь нэг нь тохиолдох магадлал нь нөгөө нь тохиолдох магадлалаас хамаардаг үйл явдлууд юм.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм:
Хэрэв А ба В үйл явдлууд бие даасан байвал

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Нийт магадлалын дүрэм:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S ба S" нь бие биенээ үгүйсгэдэг үйл явдлууд юм

хүлээгдэж буй үнэ цэнэсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит үр дүнгийн дундаж юм. X үйл явдлын хувьд хүлээлтийг E(X) гэж тэмдэглэнэ.

Бидэнд тодорхой магадлал бүхий бие биенээсээ үл хамаарах үйл явдлын 5 утга байна гэж бодъё (жишээлбэл, компанийн орлого ийм магадлалтай байсан). Хүлээгдэж буй утга нь бүх үр дүнгийн нийлбэрийг тэдгээрийн магадлалаар үржүүлсэн байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлтээс квадрат хазайх хүлээлт юм.

s 2 = E( 2 ) (6)

Нөхцөлт хүлээгдэж буй утга нь S үйл явдал аль хэдийн болсон тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн хүлээгдэж буй утга юм.

Ингээд олон хүний ​​сонирхлыг татсан сэдвээр ярилцъя. Энэ нийтлэлд би үйл явдлын магадлалыг хэрхэн тооцоолох вэ гэсэн асуултанд хариулах болно. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг илүү тодорхой болгохын тулд би ийм тооцооллын томъёо, хэд хэдэн жишээг өгөх болно.

Магадлал гэж юу вэ

Энэ эсвэл тэр үйл явдал тохиолдох магадлал нь эцсийн дүндээ ямар нэг үр дүн гарахад тодорхой хэмжээний итгэл үнэмшилтэй байдаг гэдгийг эхэлцгээе. Энэхүү тооцоололд таны сонирхож буй үйл явдал тохиолдох эсэхийг нөхцөлт магадлалаар тодорхойлох боломжийг олгодог нийт магадлалын томьёог боловсруулсан болно. Энэ томъёо нь иймэрхүү харагдаж байна: P = n/m, үсэг нь өөрчлөгдөж болох боловч энэ нь мөн чанарт өөрөө нөлөөлөхгүй.

Магадлалын жишээ

Энгийн жишээ ашиглан энэ томьёог шинжилж, хэрэгжүүлье. Танд тодорхой үйл явдал (P) байна гэж бодъё, энэ нь шоо шидэлт, өөрөөр хэлбэл тэгш талт үхэл байх болтугай. Мөн бид 2 оноо авах магадлал хэд болохыг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд танд эерэг үйл явдлын тоо (n), бидний тохиолдолд - нийт үйл явдлын тоо (m) -д 2 оноо алдах хэрэгтэй. 2 онооны өнхрөлт нь зөвхөн нэг тохиолдолд тохиолдож болно, хэрэв шоо дээр 2 оноо байвал нийлбэр нь илүү их байх тул n = 1 болно. Дараа нь бид шоо дээрх бусад тоонуудын тоог тоолно. шоо, 1 шоо тутамд - эдгээр нь 1, 2, 3, 4, 5 ба 6 тул 6 таатай тохиолдол байдаг, өөрөөр хэлбэл m = 6. Одоо томъёог ашиглан бид P = 1/ энгийн тооцооллыг хийж байна. 6 ба шоо дээрх 2 онооны өнхрөлт нь 1/6, өөрөөр хэлбэл үйл явдлын магадлал маш бага байгааг олж мэдэв.

Хайрцагт байгаа өнгөт бөмбөг ашиглах жишээг харцгаая: 50 цагаан, 40 хар, 30 ногоон. Та ногоон бөмбөг зурах магадлалыг тодорхойлох хэрэгтэй. Иймээс ийм өнгөтэй 30 бөмбөг байдаг, өөрөөр хэлбэл зөвхөн 30 эерэг үйл явдал байж болно (n = 30), бүх үйл явдлын тоо 120, м = 120 (бүх бөмбөгний нийт тоонд үндэслэн), томъёог ашиглан ногоон бөмбөг зурах магадлал нь P = 30/120 = 0.25, өөрөөр хэлбэл 100-ийн 25% байх болно гэдгийг тооцоолно. Үүнтэй адилаар та бөмбөг зурах магадлалыг тооцоолж болно. өөр өнгө (хар 33%, цагаан 42%).

Магадлал дээр ажиллах хэрэгцээ нь зарим үйл явдлын магадлалыг мэдэх үед үүсдэг бөгөөд эдгээр үйл явдлуудтай холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг тооцоолох шаардлагатай байдаг.

Магадлалыг нэмэх нь санамсаргүй үйл явдлын хослол эсвэл логик нийлбэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед ашиглагддаг.

Үйл явдлын нийлбэр АТэгээд Бтэмдэглэнэ А + Бэсвэл А ∪ Б. Хоёр үйл явдлын нийлбэр нь аль нэг үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм. Энэ нь гэсэн үг А + Б- ажиглалтын явцад тухайн үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдох үйл явдал Аэсвэл үйл явдал Б, эсвэл нэгэн зэрэг АТэгээд Б.

Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд Бхарилцан үл нийцэх ба тэдгээрийн магадлалыг өгвөл нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг магадлалыг нэмэх замаар тооцоолно.

Магадлалын нэмэх теорем.Хоёр бие биендээ үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ нь, ан хийж байхдаа хоёр удаа бууддаг. Үйл явдал А– эхний сумаар нугас цохих, үйл явдал IN– хоёр дахь удаагийн цохилт, үйл явдал ( А+ IN) – эхний болон хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос авсан цохилт. Тэгэхээр, хэрэв хоёр үйл явдал бол АТэгээд IN- нийцэхгүй үйл явдлууд, тэгвэл А+ IN– эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг эсвэл хоёр үйл явдал тохиолдсон.

Жишээ 1.Нэг хайрцагт ижил хэмжээтэй 30 бөмбөг байна: 10 улаан, 5 цэнхэр, 15 цагаан. Өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг харахгүйгээр авах магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Үйл явдал болсон гэж үзье А- "улаан бөмбөгийг авлаа", мөн үйл явдал IN- "Цэнхэр бөмбөгийг авсан." Дараа нь үйл явдал нь "өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг авдаг." Үйл явдлын магадлалыг олцгооё А:

болон үйл явдлууд IN:

Үйл явдал АТэгээд IN- бие биедээ үл нийцэх, учир нь нэг бөмбөг авбал өөр өөр өнгийн бөмбөг авах боломжгүй. Тиймээс бид магадлалын нэмэгдлийг ашигладаг:

Хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хэрэв үйл явдлууд үйл явдлын иж бүрдлийг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь мөн 1-тэй тэнцүү байна.

Эсрэг үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бөгөөд үйл явдлын бүрэн багцын магадлал 1 байна.

Эсрэг үйл явдлын магадлалыг ихэвчлэн жижиг үсгээр тэмдэглэдэг хТэгээд q. Ялангуяа,

Үүний эсрэг үйл явдлын магадлалын дараах томьёо гаргана.

Жишээ 2.Буудлагын талбайн бай нь 3 бүсэд хуваагдана. Тодорхой мэргэн бууч эхний бүсэд 0.15, хоёрдугаар бүсэд 0.23, гурав дахь бүсэд 0.17 байна. Буудагч бай онох магадлал, буудагч байг алдах магадлалыг ол.

Шийдэл: Буудагч байг онох магадлалыг ол:

Буудагч байг алдах магадлалыг олцгооё.

Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.

Харилцан нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлын магадлалыг нэмэх

Хэрэв нэг үйл явдал тохиолдсон нь нэг ажиглалтад хоёр дахь үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол санамсаргүй хоёр үйл явдлыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээ нь, үхэл шидэх үед үйл явдал Атоо 4 гарч цувисан гэж үзэж байна, үйл явдал IN- тэгш тоогоор эргэлддэг. 4 нь тэгш тоо тул хоёр үйл явдал таарч байна. Практикт харилцан нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг.

Хамтарсан үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем.Хамтарсан үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс хоёр үйл явдлын нийтлэг тохиолдох магадлалыг, өөрөөр хэлбэл магадлалын үржвэрийг хассан байна. Хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Үйл явдлуудаас хойш АТэгээд INнийцтэй, үйл явдал А+ INГурван боломжит үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол тохиолддог: эсвэл AB. Тохиромжгүй үйл явдлыг нэмэх теоремын дагуу бид дараах байдлаар тооцоолно.

Үйл явдал АХэрэв үл нийцэх хоёр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол гарна: эсвэл AB. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлуудаас нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үүний нэгэн адил:

(6) ба (7) илэрхийллийг (5) илэрхийлэлд орлуулснаар бид хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёог олж авна.

Томъёо (8) ашиглахдаа үйл явдлыг харгалзан үзэх шаардлагатай АТэгээд INбайж болно:

• харилцан бие даасан;
• харилцан хамааралтай.

Харилцан хамааралгүй үйл явдлын магадлалын томъёо:

Харилцан хамааралтай үйл явдлын магадлалын томъёо:

Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд INнийцэхгүй байгаа бол тэдгээрийн давхцал нь боломжгүй тохиолдол бөгөөд иймээс, П(AB) = 0. Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын дөрөв дэх томьёо нь:

Жишээ 3.Автомашины уралдаанд эхний машинаа жолоодоход түрүүлэх магадлал өндөр, хоёр дахь машинаа жолоодоход илүү их байдаг. Олно:

• хоёр машин хоёулаа ялах магадлал;
• дор хаяж нэг машин ялах магадлал;

1) Эхний машин ялах магадлал нь хоёр дахь машины үр дүнгээс хамаарахгүй тул үйл явдлууд А(эхний машин ялна) ба IN(хоёр дахь машин ялах болно) - бие даасан үйл явдал. Хоёр машин хожих магадлалыг олъё:

2) Хоёр машины аль нэг нь ялах магадлалыг ол.

Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.

Магадлалын нэмэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 4.Хоёр зоос шидэж байна. Үйл явдал А- эхний зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдал Б- хоёр дахь зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдлын магадлалыг ол C = А + Б .

Магадлалыг үржүүлэх

Үйл явдлын логик үржвэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед магадлалын үржвэрийг ашигладаг.

Энэ тохиолдолд санамсаргүй үйл явдлууд бие даасан байх ёстой. Нэг үйл явдал тохиолдсон нь хоёр дахь үйл явдлын магадлалд нөлөөлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие биенээсээ хамааралгүй гэж нэрлэдэг.

Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал АТэгээд INнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.

Жишээ 5.Зоосыг гурван удаа дараалан шиддэг. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг ол.

Шийдэл. Зоосыг эхний шидэх, хоёр дахь, гурав дахь удаагаа шидэхэд сүлд харагдах магадлал. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг олъё.

Магадлалыг үржүүлэх бодлогыг бие даан шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 6.Есөн шинэ теннисний бөмбөгний хайрцаг байна. Тоглохын тулд гурван бөмбөг авч, тоглолтын дараа буцааж тавьдаг. Бөмбөгийг сонгохдоо тоглосон бөмбөгийг тоглоогүй бөмбөгөөс ялгадаггүй. Гурван тоглолтын дараа хайрцагт тоглоогүй бөмбөг үлдэх магадлал хэд вэ?

Жишээ 7.Орос цагаан толгойн 32 үсэг нь хайчлагдсан цагаан толгойн карт дээр бичигдсэн байдаг. Таван картыг санамсаргүй байдлаар ар араасаа зурж, харагдах дарааллаар нь ширээн дээр тавьдаг. Үсгүүд нь "төгсгөл" гэдэг үгийг үүсгэх магадлалыг ол.

Жишээ 8.Бүрэн тавцангаас (52 хуудас) дөрвөн картыг нэг дор гаргаж авдаг. Эдгээр дөрвөн карт бүгд өөр өөр костюмтай байх магадлалыг ол.

Жишээ 9. 8-р жишээн дээрхтэй ижил даалгавар боловч хасагдсаны дараа карт бүрийг тавцан руу буцаана.

Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх, мөн хэд хэдэн үйл явдлын үржвэрийг тооцоолох шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас олж болно.

Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг 1-ээс эсрэг үйл явдлын магадлалын үржвэрийг хасч, өөрөөр хэлбэл томъёог ашиглан тооцоолж болно.

Жишээ 10.Ачаа гол, төмөр зам, авто зам гэсэн гурван төрлийн тээврийн хэрэгслээр хүргэдэг. Голын тээврээр ачаа хүргэх магадлал 0,82, төмөр замын тээврээр 0,87, авто тээврээр 0,90 байна. Гурван төрлийн тээврийн хэрэгслийн аль нэгээр нь ачааг хүргэх магадлалыг ол.