Шингэний муруй гадаргуу доорх даралт. Лапласын томъёо

Мойвр-Лапласын орон нутгийн теорем. 0 Тэгээд 1, тэгвэл магадлал P t n, А үйл явдал хангалттай олон тооны бие даасан n туршилтанд m удаа тохиолдох n нь ойролцоогоор тэнцүү байна

- Гауссын функцТэгээд

Илүү том, илүү нарийвчлалтай ойролцоо томъёо (2.7) гэж нэрлэдэг Орон нутгийн Мойвр-Лаплас томъёо.Ойролцоо магадлалын утгууд R tpuОрон нутгийн томъёогоор (2.7) өгөгдсөн бөгөөд практикт тэдгээрийг яг тодорхой томъёогоор ашигладаг шаргалойролцоогоор хоёр ба түүнээс дээш арав, i.e. үүнийг өгсөн шаргал > 20.

(2.7) томъёог ашиглахтай холбоотой тооцооллыг хялбарчлахын тулд /(x) функцийн утгуудын хүснэгтийг эмхэтгэсэн (Хүснэгт I, хавсралтад өгсөн). Энэ хүснэгтийг ашиглахдаа /(x) (2.8) функцийн тодорхой шинж чанарыг санах хэрэгтэй.

• 1. Чиг үүрэг/(X) тэгш байна, өөрөөр хэлбэл /(-x) = /(x).
• 2. Чиг үүрэг/(X) - эерэг утгуудын хувьд монотон буурч байна X, болон цагт x -> co /(x) -» 0.
• (Практикт бид аль хэдийн x > 4 /(x) « 0 байна гэж үзэж болно.)

[> Жишээ 2.5. Зарим газарт 100 айл тутмын 80 нь хөргөгчтэй байдаг. 400 айлын 300 нь хөргөгчтэй байх магадлалыг ол.

Шийдэл.Айл хөргөгчтэй байх магадлал p = 80/100 = 0.8. Учир нь n= 100 хангалттай том (нөхцөл шаргал= = 100 0.8(1-0.8) = 64 > 20 сэтгэл ханамжтай), дараа нь бид орон нутгийн Мойвр-Лаплас томъёог хэрэглэнэ.

Эхлээд бид (2.9) томъёогоор тодорхойлно.

Дараа нь (2.7) томъёоны дагуу.

(хавсралтуудын I Хүснэгтээс /(2.50) утгыг олсон). Маш бага магадлалын утга /300,400 нь үйл явдалаас гадна эргэлзээ төрүүлэх ёсгүй.

“400 айлын яг 300 нь хөргөгчтэй”, өөр 400 гаруй арга хэмжээ “400-аас 0”, “400-аас 1”,..., “400-аас 400” гэсэн өөрийн магадлалаар боломжтой. Эдгээр үйл явдлууд нийлээд бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ нь тэдний магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэсэн үг юм. ?

Жишээ 2.5-ын нөхцөлд 300-360 айл (хамааруулсан) хөргөгчтэй байх магадлалыг олох шаардлагатай гэж бодъё. Энэ тохиолдолд нэмэх теоремын дагуу хүссэн үйл явдлын магадлал

Зарчмын хувьд нэр томьёо бүрийг орон нутгийн Мойвр-Лаплас томъёогоор тооцоолж болох боловч олон тооны нэр томъёо нь тооцооллыг маш төвөгтэй болгодог. Ийм тохиолдолд дараах теоремыг ашиглана.

Мойврын интеграл теорем - Лаплас. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол ба түүнээс ялгаатай 0 Тэгээд 1, тэгвэл магадлал, n бие даасан туршилтын үед А үйл явдал тохиолдох m тоо нь a-аас b хүртэлх мужид байна (багтаасан), хангалттай их тооны хувьд n нь ойролцоогоор тэнцүү байна

- функц(эсвэл магадлалын интеграл) Лаплас",

(Теоремын баталгааг 6.5-р хэсэгт өгсөн болно.)

Формула (2.10) гэж нэрлэдэг Мойвр-Лапласын салшгүй томьёо.Илүү их p,Энэ томъёо нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Нөхцөл хангагдсан үед prue > > 20 интеграл томъёо (2.10) нь орон нутгийн нэгэн адил практикт хангалттай магадлалыг тооцоолоход алдаа гаргадаг.

Ф(дг) функцийг хүснэгтэд үзүүлэв (хавсралтуудын II Хүснэгтийг үзнэ үү). Энэ хүснэгтийг ашиглахын тулд та Ф(х) функцийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй.

1. Чиг үүрэг f(x) хачин,тэдгээр. Ф(-х) = -Ф(х).

? Бид хувьсагчийн өөрчлөлт хийх үү? = -Г.Дараа нь (k =

= -(12. 2-р хувьсагчийн интеграцийн хязгаар нь 0 ба байна X.Бид авдаг

тодорхой интегралын утга нь интеграцийн хувьсагчийн тэмдэглэгээнээс хамаарахгүй тул. ?

2. Ф(х) функц монотон нэмэгдэж байна, мөн x -> дээр+ тэгэхээр f(.g) -> 1 (барагтаа бид үүнийг аль хэдийн гэж үзэж болно x > 4 Ф(х)~ 1).

Хувьсагчийн дээд хязгаарт хамаарах интегралын дериватив нь дээд хязгаарын утга дээрх интегралтай тэнцүү тул g.s.

, ба үргэлж эерэг байвал Ф(х) нэг хэвийн өснө

бүх тооны мөрөнд.

Хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийцгээе, тэгвэл интеграцийн хязгаар өөрчлөгдөхгүй ба

(тэгш функцийн интеграл учраас

Үүнийг харгалзан үзвэл (Эйлерийн интеграл - Пуассон),бид авдаг

?

O Жишээ 2.6. Жишээ 2.5-ын өгөгдөлд үндэслэн 400 айлын 300-360 (хамааруулсан) нь хөргөгчтэй байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл.Бид Мойвр-Лапласын интеграл теоремыг ашигладаг (пр= 64 > 20). Эхлээд бид томъёог ашиглан тодорхойлно (2.12)

Одоо Ф(.т)-ийн шинж чанарыг харгалзан (2.10) томъёог ашиглан бид олж авна

(хавсралтуудын II хүснэгтийн дагуу?

Мойвр-Лаплас интеграл теоремын үр дагаварыг авч үзье. Үр дагавар. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол ба түүнээс ялгаатай 0 Би, хангалттай олон тооны бие даасан туршилтууд n байвал магадлал нь:

A) А үйл явдлын тохиолдлын m тоо нь pr бүтээгдэхүүнээс илүүгүй ялгаатай байна e > 0 (үнэмлэхүй утгаар),тэдгээр.

б) t/p үйл явдлын давтамж А хязгаарт байнаа-аас p хүртэл ( Би үүнийг асаана- онцлон тэмдэглэв, өөрөөр хэлбэл

V) А үйл явдлын давтамж нь түүний магадлалаас p -ээс ихгүй ялгаатай байна A > 0 (үнэмлэхүй утгаар), i.e.

A) Тэгш бус байдал |/?7-7?/?| давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна pr-e Тиймээс интеграл томьёоны дагуу (2.10)

• б) Тэгш бус байдал тэгш бус байдалтай тэнцүү байна мөн хэзээ a = паТэгээд б= /?r. Томъёо (2.10), (2.12) дахь хэмжигдэхүүнүүдийг орлуулах АТэгээд бХүлээн авсан илэрхийллүүдийг ашиглан бид нотлох (2.14) ба (2.15) томъёог олж авна.
• в) Тэгш бус байдал mjn-р нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна t-pr Томъёонд орлуулах (2.13) g = Ap,бид нотлох (2.16) томъёог олж авна. ?

[> Жишээ 2.7. Жишээ 2.5-ын өгөгдөлд үндэслэн 400 айлын 280-360 өрх хөргөгчтэй байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. P 400 (280 t pr = 320. Дараа нь (2.13) томъёоны дагуу) магадлалыг тооцоол.

[> Жишээ 2.8. Статистикийн мэдээгээр нярайн дунджаар 87% нь 50 насалдаг байна.

• 1. 1000 шинэ төрсөн нярайд 50 нас хүртэл амьд үлдсэн хүмүүсийн эзлэх хувь (давтамж) байх магадлалыг ол: a) 0.9-0.95 хооронд байх; б) энэ үйл явдлын магадлалаас 0.04-ээс ихгүй зөрүүтэй байна (гэхдээ үнэмлэхүй утгаараа).
• 2. Найдвартай 0,95 нярайн хэдэн хүүхдэд 50 нас хүртэл амьд үлдсэн хүмүүсийн эзлэх хувь 0,86-0,88 хооронд байх вэ?

Шийдэл. 1, a) Магадлал rШинээр төрсөн хүүхэд 50 наслах нь 0.87 байна. Учир нь n= 1000 нь том (нөхцөл prd=1000 0.87 0.13 = = 113.1 > 20 хангагдсан), дараа нь бид Мойвр-Лапласын интеграл теоремын үр дүнг ашиглана. Эхлээд бид томъёогоор тодорхойлно (2.15)

Одоо томъёоны дагуу (2.14)

1, b) Томъёоны дагуу (2.16)

Тэгш бус байдлаас хойш тэгш бус байдалтай адил

олж авсан үр дүн нь 1000 шинэ төрсөн хүүхдийн 0.83-0.91 нь 50 наслах нь бараг тодорхой гэсэн үг юм. ?

2. Нөхцөлөөр эсвэл

Томъёоны дагуу (2.16) үед A = 0.01

Хүснэгтийн дагуу II хавсралтууд F(G) = 0.95 үед G = 1.96, тиймээс,

хаана

тэдгээр. Нярайн тоог мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлэх замаар нөхцөл байдлыг (*) баталгаажуулж болно n = 4345. ?

• Теоремын баталгааг 6.5-р хэсэгт өгөв. pr, prs( хэмжигдэхүүний магадлалын утгыг 4.1-д заасан болно (130-р хуудасны тайлбарыг үзнэ үү).
• RF/n утгын магадлалын утгыг 4.1-д заасан болно.

Өөр орчинтой харьцахдаа энэ нь бусад шингэн масстай харьцуулахад онцгой нөхцөлд байдаг. Ууртай хиллэдэг шингэний гадаргуугийн давхаргын молекул бүрт үйлчлэх хүч нь шингэний эзэлхүүн рүү, өөрөөр хэлбэл шингэн рүү чиглэнэ. Үүний үр дүнд молекулыг шингэний гүнээс гадаргуу руу шилжүүлэх ажил шаардагдана. Хэрэв тогтмол температурт гадаргуугийн талбай нь хязгааргүй бага хэмжээгээр нэмэгддэг dS бол үүнд шаардагдах ажил тэнцүү байх болно. Гадаргууг нэмэгдүүлэх ажил нь гадаргууг багасгах хандлагатай гадаргуугийн хурцадмал хүчний эсрэг хийгддэг. Тиймээс шингэний гадаргуугийн талбайг нэмэгдүүлэхийн тулд гадаргуугийн хурцадмал байдлын ажил нь дараахь байдалтай тэнцүү байх болно.

Энд пропорциональ коэффициент σ гэж нэрлэдэг гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициент ба нэгжид ногдох гадаргуугийн талбайн өөрчлөлтийг үндэслэн гадаргуугийн хурцадмал хүчний гүйцэтгэсэн ажлын хэмжээгээр тодорхойлно. SI-д гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициентийг Ж/м 2-ээр хэмждэг.

Шингэний гадаргуугийн давхаргын молекулууд нь гүний молекулуудтай харьцуулахад илүүдэл потенциал энергитэй байдаг бөгөөд энэ нь шингэний гадаргуугийн талбайтай шууд пропорциональ байна.

Гадаргуугийн давхаргын потенциал энерги нэмэгдэх нь зөвхөн гадаргуугийн талбайн өсөлттэй холбоотой: . Гадаргуугийн хурцадмал хүч нь консерватив хүч тул тэгш байдал нь: . Гадаргуугийн хурцадмал хүч нь шингэний гадаргуугийн боломжит энергийг багасгах хандлагатай байдаг. Ерөнхийдөө ажил болгон хувиргах энергийг чөлөөт энерги гэж нэрлэдэг U S . Тиймээс бид үүнийг бичиж болно. Чөлөөт энергийн тухай ойлголтыг ашиглан бид (6.36) томъёог дараах байдлаар бичиж болно: . Сүүлийн тэгш байдлыг ашиглан бид тодорхойлж болно гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициент Шингэний гадаргуугийн нэгж талбайн чөлөөт энергитэй тоогоор тэнцүү физик хэмжигдэхүүн.

Гадаргуугийн хурцадмал хүчний нөлөөг нэг тал нь холих боломжтой тэгш өнцөгт утсан хүрээг бүрхсэн шингэний нимгэн хальс (жишээлбэл, савангийн уусмал) дээр энгийн туршилтыг ашиглан ажиглаж болно (Зураг 6.11). Хөдөлгөөнт тал болох l урт нь гадна талын хүч F B үйлчилж, хүрээний хөдлөх талыг dh маш бага зайд жигд хөдөлгөж байна гэж үзье. Хүч ба шилжилтийг хамтран удирддаг тул энэ хүчний үндсэн ажил нь -тэй тэнцүү байх болно. Кино нь хоёр гадаргуутай тул гадаргуугийн хурцадмал хүч F нь тэдгээрийн дагуу чиглэгддэг бөгөөд тэдгээрийн вектор нийлбэр нь гадаад хүчтэй тэнцүү байна. Гадны хүчний модуль нь гадаргуугийн хурцадмал хүчний аль нэгнийх нь модуль 2 дахин их байна: . Гадны хүчний хийсэн хамгийн бага ажил нь гадаргуугийн хурцадмал хүчний гүйцэтгэсэн ажлын нийлбэртэй тэнцүү байна: . Гадаргуугийн хурцадмал хүчний гүйцэтгэсэн ажлын хэмжээг дараах байдлаар тодорхойлно.

, Хаана. Эндээс. Тэр нь гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициент хуваах шугамын нэгж уртад шингэний гадаргууд шүргэгчээр үйлчлэх гадаргуугийн хурцадмал байдлын хүчтэй тэнцүү утга гэж тодорхойлж болно. Гадаргуугийн хурцадмал байдал нь шингэний гадаргуугийн талбайг багасгах хандлагатай байдаг. Энэ нь дусал бөмбөлөг хэлбэртэй байх үед бага хэмжээний шингэнд мэдэгдэхүйц юм. Мэдэгдэж байгаагаар энэ нь өгөгдсөн эзэлхүүний хамгийн бага талбайтай бөмбөрцөг гадаргуу юм. Таталцлын нөлөөн дор их хэмжээгээр авсан шингэн нь түүний байрлах гадаргуу дээр тархдаг. Мэдэгдэж байгаагаар таталцлын хүч нь биеийн массаас хамаардаг тул жин багасах тусам түүний үнэ цэнэ буурч, тодорхой масстай харьцуулахад гадаргуугийн хурцадмал хүчний үнэ цэнэтэй харьцуулах боломжтой эсвэл бүр бага байдаг. Энэ тохиолдолд таталцлын хүчийг үл тоомсорлож болно. Хэрэв шингэн нь жингүйдлийн байдалд байгаа бол том хэмжээтэй байсан ч гадаргуу нь бөмбөрцөг хэлбэртэй байдаг. Үүнийг алдарт Plateau туршлага баталж байна. Хэрэв та ижил нягттай хоёр шингэнийг сонговол тэдгээрийн аль нэгэнд нь хүндийн хүчний нөлөөлөл (бага хэмжээгээр авсан) Архимедийн хүчээр нөхөгдөж, бөмбөг хэлбэртэй болно. Энэ нөхцөлд энэ нь өөр шингэн дотор хөвөх болно.

Нэг талдаа уур 3, нөгөө талдаа шингэн 2-той хиллэдэг 1-р шингэний дусал юу болохыг авч үзье (Зураг 6.12). Бүх гурван бодисын dl хоорондын интерфейсийн маш жижиг элементийг сонгоцгооё. Дараа нь зөөвөрлөгч хоорондын интерфэйс дэх гадаргуугийн хурцадмал хүч нь интерфэйсийн контур руу тангенциал чиглэгдэх ба дараахтай тэнцүү байна.

Бид таталцлын нөлөөг үл тоомсорлодог. Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд шингэний уналт 1 тэнцвэрт байдалд байна.

(6.38)

(6.37)-г (6.38)-д орлуулж, тэгш байдлын хоёр талыг (6.38) dl-ээр бууруулж, тэгш байдлын хоёр талыг (6.38) квадрат болгож, нэмбэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

хэвлэл мэдээллийн тусгаарлах шугамын шүргэгч хоорондын өнцөг хаана гэж нэрлэдэг ирмэгийн өнцөг.

(6.39) тэгшитгэлийн шинжилгээ нь бид олж авах үед харуулж байна 1-р шингэн нь шингэний 2-ын гадаргууг бүрэн норгож, дээр нь нимгэн давхаргаар тараана ( бүрэн чийглэх үзэгдэл ).

Хатуу биетийн гадаргуу дээр шингэн 1 нимгэн давхарга тархах үед ижил төстэй үзэгдэл ажиглагдаж болно 2. Заримдаа эсрэгээр шингэн нь хатуу биетийн гадаргуу дээгүүр тархдаггүй. Хэрэв , Тэр мөн шингэн 1 нь хатуу биетийг бүрэн нордоггүй 2 ( бүрэн чийгшүүлэхгүй байх үзэгдэл ). Энэ тохиолдолд 1-р шингэн ба хатуу 2-ын хооронд зөвхөн нэг цэг байдаг. Бүрэн чийглэх эсвэл чийгшүүлэхгүй байх нь хязгаарлагдмал тохиолдол юм. Та үнэхээр үзэж болно хэсэгчлэн чийглэх , контактын өнцөг хурц үед () ба хэсэгчлэн чийгшүүлэхгүй , контактын өнцөг нь мохоо үед ( ).

Зураг 6.13-д Ахэсэгчилсэн норгох тохиолдлыг харуулсан ба Зураг 6.13 бхэсэгчлэн чийгшүүлэхгүй байх жишээг өгөв. Хатуу биетийн гадаргуу дээр зэргэлдээх шингэн эсвэл шингэний гадаргуугийн хурцадмал хүч байгаа нь шингэний гадаргуугийн муруйлтад хүргэдэг болохыг авч үзсэн тохиолдлууд харуулж байна.

Муруй гадаргуу дээр үйлчлэх хүчийг авч үзье. Шингэний гадаргуугийн муруйлт нь түүний гадаргуугийн доорх шингэнд үйлчилдэг хүчийг үүсгэдэг. Хэрэв гадаргуу нь бөмбөрцөг хэлбэртэй бол гадаргуугийн хурцадмал хүчийг тойргийн аль ч элементэд хэрэглэнэ (6.14-р зургийг үз), гадаргуу руу шүргэгчээр чиглүүлж, түүнийг богиносгох хандлагатай байдаг. Эдгээр хүчний үр дүн нь бөмбөрцгийн төв рүү чиглэнэ.

Нэгж гадаргуугийн талбайн хувьд энэхүү үр дүнд үүссэн хүч нь муруй гадаргуугийн доорх шингэнд мэдрэгддэг нэмэлт даралтыг бий болгодог. Энэ нэмэлт даралтыг гэж нэрлэдэг Лаплас даралт . Энэ нь үргэлж гадаргуугийн муруйлтын төв рүү чиглэсэн байдаг. Зураг 6.15-д хотгор ба гүдгэр бөмбөрцөг гадаргуугийн жишээг харуулсан ба Лапласын даралтыг тус тус үзүүлэв.

Бөмбөрцөг, цилиндр болон аливаа гадаргуугийн хувьд Лапласын даралтын утгыг тодорхойлно уу.

Бөмбөрцөг гадаргуу. Шингэний дусал. Бөмбөрцгийн радиус багасах тусам (Зураг 6.16) гадаргуугийн энерги багасч, дуслаар ажиллаж буй хүчээр ажил хийгдэнэ. Иймээс бөмбөрцөг гадаргуу доорх шингэний эзэлхүүн нь үргэлж бага зэрэг шахагдсан байдаг, өөрөөр хэлбэл муруйлтын төв рүү радиаль чиглэсэн Лаплас даралтыг мэдэрдэг. Хэрэв энэ даралтын нөлөөн дор бөмбөг нь эзэлхүүнийг бууруулдаг dV, дараа нь шахалтын ажлын хэмжээг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Гадаргуугийн энергийн бууралт нь дараах томъёогоор тодорхойлогддог (6.41)

Гадаргуугийн энергийн бууралт нь шахалтын ажлын улмаас үүссэн тул dA=dU С. (6.40) ба (6.41) тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлж, мөн үүнийг харгалзан үзвэл Лаплас даралтыг олж авна: (6.42)

Цилиндр гадаргуу, түүнчлэн бөмбөрцөг доорх шингэний эзэлхүүн нь үргэлж бага зэрэг шахагдсан байдаг, өөрөөр хэлбэл муруйлтын төв рүү радиаль чиглэсэн Лаплас даралтыг мэдэрдэг. Хэрэв энэ даралтын нөлөөн дор цилиндр нь эзэлхүүнийг бууруулдаг dV, дараа нь шахалтын ажлын хэмжээг (6.40) томъёогоор тодорхойлно, зөвхөн Лапласын даралтын хэмжээ болон эзлэхүүний өсөлт өөр байна. Гадаргуугийн энергийн бууралт нь (6.41) томъёогоор тодорхойлогдсон хэмжээгээр үүссэн. Гадаргуугийн энергийн бууралт нь шахалтын ажлын улмаас үүссэн тул dA=dU С. (6.40) ба (6.41) тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлэх, мөн цилиндр гадаргуугийн хувьд бид Лаплас даралтыг олж авна.

Томъёо (6.45) ашиглан бид (6.42) ба (6.44) томъёо руу орж болно. Тиймээс бөмбөрцөг гадаргуугийн хувьд (6.45) томъёог (6.42) томъёогоор хялбарчлах болно; цилиндр гадаргуугийн хувьд r 1 = r, a , дараа нь (6.45) томъёог (6.44) томъёо болгон хялбаршуулна. Гүдгэр гадаргууг хотгор гадаргуугаас ялгахын тулд гүдгэр гадаргуугийн хувьд Лапласын даралт эерэг байх ба үүний дагуу гүдгэр гадаргуугийн муруйлтын радиус нь эерэг байх болно гэж үздэг заншилтай байдаг. Хонхор гадаргуугийн хувьд муруйлтын радиус ба Лаплас даралтыг сөрөг гэж үзнэ.

Шингэний шинж чанар.

Бодисын шингэн төлөвийн онцлог.Шингэн төлөвт байгаа бодисын молекулууд нь хатуу төлөвтэй адил бие биедээ ойрхон байрладаг. Тиймээс шингэний эзэлхүүн нь даралтаас бага зэрэг хамаардаг. Эзлэгдсэн эзэлхүүний тогтмол байдал нь шингэн ба хатуу биетүүдэд нийтлэг шинж чанар бөгөөд тэдгээрийг ямар ч эзэлхүүнийг эзлэх чадвартай хийнээс ялгадаг.

Бие биетэйгээ харьцуулахад молекулуудын чөлөөтэй хөдөлгөөн хийх боломж нь шингэний шингэний шинж чанарыг тодорхойлдог. Шингэн болон хийн төлөвт байгаа бие нь тогтмол хэлбэртэй байдаггүй. Шингэний биеийн хэлбэр нь шингэн байрлаж буй савны хэлбэр, гадны хүч, гадаргуугийн хурцадмал хүчний үйлчлэлээр тодорхойлогддог. Шингэн дэх молекулуудын хөдөлгөөний илүү их эрх чөлөө нь хатуу бодистой харьцуулахад шингэн дэх диффузын хурдыг нэмэгдүүлж, шингэн дэх хатуу бодисыг уусгах боломжийг олгодог.

Гадаргуугийн хурцадмал байдал.Хүчний илрэл нь молекулуудын хоорондох таталцлын хүч ба шингэн дэх молекулуудын хөдөлгөөнтэй холбоотой байдаг. гадаргуугийн хурцадмал байдал.

Шингэний дотор хөрш зэргэлдээх молекулуудын нэг молекулд үйлчлэх татах хүч нь харилцан нөхөгддөг. Шингэний гадаргуугийн ойролцоо байрлах аливаа молекулыг шингэний дотор байрлах молекулууд татдаг. Эдгээр хүчний нөлөөн дор шингэний гадаргуугаас молекулууд шингэн рүү шилжиж, өгөгдсөн нөхцөлд шингэний чөлөөт гадаргуу хамгийн бага хэмжээнд хүрэх хүртэл гадаргуу дээрх молекулуудын тоо буурдаг. Бөмбөрцөг нь өгөгдсөн эзэлхүүнтэй биетүүдийн дунд хамгийн бага гадаргуугийн талбайтай байдаг тул бусад хүч байхгүй эсвэл үл тоомсорлодог тохиолдолд гадаргуугийн хурцадмал хүчний нөлөөн дор шингэн нь бөмбөрцөг хэлбэртэй болдог.

Олон үзэгдлийн үед шингэний чөлөөт гадаргуугийн агшилтын шинж чанар нь шингэн нь агших хандлагатай нимгэн сунгасан уян хальсаар бүрхэгдсэн мэт харагдана.

Гадаргуугийн хурцадмал байдлын хүч нь шингэний гадаргуугийн дагуу энэ гадаргууг хязгаарлах шугамд перпендикуляр үйлчилж, түүнийг хамгийн бага хэмжээнд хүртэл бууруулах хандлагатай хүч юм.

Пүршний динамометрийн дэгээ дээр U хэлбэрийн утсыг өлгө. Хажуугийн урт ABтэнцүү байна л. Утасны таталцлын нөлөөн дор динамометрийн пүршний анхны суналтыг гүйцэтгэх хүчний индикаторын эсрэг тэг хуваах хуваах замаар авч үзэхээс татгалзаж болно.

Утсыг ус руу буулгаж, дараа нь устай савыг аажмаар доошлуул (Зураг 92). Туршлагаас харахад энэ тохиолдолд утасны дагуу шингэний хальс үүсч, динамометрийн булаг сунадаг. Динамометрийн заалтыг ашиглан гадаргуугийн хурцадмал хүчийг тодорхойлж болно. Шингэн хальс нь хоёр гадаргуутай (93-р зураг) бөгөөд уян хатан хүч нь модулийн хувьд гадаргуугийн хурцадмал хүчнээс хоёр дахин их байна гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв та хажуу талтай утсыг авбал AB,уртаас хоёр дахин их бол гадаргуугийн хурцадмал хүчний утга хоёр дахин их болно. Янз бүрийн урттай утаснуудтай хийсэн туршилтууд нь гадаргуугийн уртын давхаргын хил дээр ажиллах гадаргуугийн хурцадмал хүчний модулийн харьцааг харуулж байна. л, энэ уртад уртаас хамаарахгүй тогтмол утга байна л. Энэ хэмжээг гэж нэрлэдэг гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициентба Грекийн "сигма" үсгээр тэмдэглэсэн:

. (27.1)

Гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициентийг дараах байдлаар илэрхийлнэ метр тутамд Ньютон(Н/м). Гадаргуугийн хурцадмал байдал нь шингэний хооронд харилцан адилгүй байдаг.

Хэрэв шингэний молекулуудын таталцлын хүч нь шингэн молекулыг хатуу биетийн гадаргуу руу татах хүчнээс бага байвал шингэн нь хатуу биеийн гадаргууг норгодог. Хэрэв шингэний молекул ба хатуу молекулуудын харилцан үйлчлэлийн хүч нь шингэний молекулуудын харилцан үйлчлэлийн хүчнээс бага байвал шингэн нь хатуу биетийн гадаргууг норгохгүй.

Капиллярын үзэгдлүүд.Шингэний хатуу биетүүдийн норсон ба чийгшдэггүй гадаргуутай харилцан үйлчлэх онцлог нь хялгасан судасны үзэгдлийн шалтгаан болдог.

Капилляржижиг дотоод диаметртэй хоолой гэж нэрлэдэг. Капилляр шилэн хоолойг аваад нэг үзүүрийг нь усанд дүрнэ. Туршлагаас харахад капилляр хоолойн доторх усны түвшин нь ил задгай усны гадаргуугаас өндөр байна.

Хатуу биетийн гадаргууг шингэнээр бүрэн норгосон үед гадаргуугийн хурцадмал хүчийг хатуу биет болон шингэний хоорондох контактын хил дээр перпендикуляр хатуу биеийн гадаргуугийн дагуу чиглүүлсэн гэж үзэж болно. Энэ тохиолдолд чийгшүүлсэн гадаргуугийн дагуу шингэний өсөлт нь капилляр дахь шингэний баганад үйлчилж, доош чиглэсэн таталцлын хүч нь шингэний хүрэлцэх хилийн дагуух гадаргуугийн хурцадмал байдлын хүчтэй тэнцүү болтол үргэлжилнэ. хялгасан судасны гадаргуутай (Зураг 94):

,

.

Эндээс бид капилляр дахь шингэний баганын өсөлтийн өндөр нь хялгасан судасны радиустай урвуу хамааралтай болохыг олж мэдэв.

(27.2)

Лапласын томъёо.

Резинэн бөмбөлөг эсвэл савангийн хөөс нь түүний доторх агаарын даралт нь гаднах агаарын даралтаас тодорхой хэмжээгээр их байвал л тэнцвэрт байдалд үлдэнэ. Гадаад даралтаас илүү дотоод даралтыг тооцож үзье.

Савангийн хөөсийг радиустай болгож, түүний доторх гаднах даралтын илүүдэл даралтыг тэнцүү болго. Бөмбөлгийн эзэлхүүнийг бага хэмжээгээр нэмэгдүүлэхийн тулд та гадаргуугийн чөлөөт энергийг нэмэгдүүлэх ажилд зарцуулах хэрэгтэй. бөмбөлөг ба тэнцүү байна а нь савангийн хальсны гадаргуугийн хурцадмал байдал, бөмбөлгийн гадаргуугийн аль нэгний хэмжээ (Хялбар байхын тулд бид дотоод болон гадна гадаргуугийн радиусуудын ялгааг үл тоомсорлодог). Тэгэхээр бидэнд тэгшитгэл байна

нөгөө талд,

Дээрх тэгшитгэлд илэрхийлэлийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Урвалын хуулийн дагуу бөмбөлөг доторх агаарт үүссэн даралт нь ижил утгатай байна.

Хэрэв бид хоёр гадаргуугийн хальстай бөмбөлгийн оронд зөвхөн нэг гадаргуутай дуслыг авч үзвэл гадаргуугийн хальс нь дуслын дотор талд даралттай тэнцүү байна гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.

уналтын радиус хаана байна.

Ерөнхийдөө шингэний гадаргуугийн давхаргын муруйлтаас болж илүүдэл даралт үүсдэг: гүдгэр гадаргуугийн доор эерэг, энэх гадаргуугийн доор сөрөг. Ийнхүү муруйлт байгаа үед шингэний гадаргуугийн давхарга нь давхаргын гүдгэр талаас хонхор тал руу чиглэсэн хүчний эх үүсвэр болдог.

Цагаан будаа. 226. Лапласын томьёоны тайлбарт.

Лаплас шингэний гадаргуу нь шингэний төлөв байдлын физик шинж чанараар зөвшөөрөгдсөн ямар ч хэлбэртэй байх тохиолдолд тохиромжтой илүүдэл даралтын томъёог өгсөн. Энэхүү Лаплас томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

хаана дараах утгатай байна. Шингэний гадаргуугийн аль нэг цэг дээр (Зураг 226) та хэвийн төсөөлөл хийх хэрэгтэй бөгөөд энэ нормоор дамжуулан шингэний гадаргууг муруйн дагуу огтолж буй харилцан перпендикуляр хоёр хавтгайг зурах ба эдгээр муруйн муруйлтын радиусыг . цэгийг тэмдэглэнэ

Шингэний тэгш гадаргуугийн Лапласын томъёоноос бид өмнө нь олж авсан шиг бөмбөрцөг гадаргууг олж авдаг болохыг харахад хялбар байдаг.

Хэрэв гадаргуу нь "эмээл хэлбэртэй" байсан бол муруйнууд нь шүргэгч хавтгайн эсрэг талд байх болно.

цэг байвал радиусууд өөр өөр тэмдэгтэй байх болно. Геометрийн хувьд хамгийн бага гадаргуу гэж нэрлэгддэг, тухайлбал өгөгдсөн контурын хамгийн бага талбайтай гадаргуугийн нийлбэр нь хаа сайгүй тэгтэй тэнцүү байдаг нь батлагдсан. Утасны хэлхээг чангалах савангийн хальс нь яг ийм шинж чанартай байдаг.

Хөөс нь нийтлэг ханатай бөмбөлгүүдийн цуглуулга юм. Ийм хананы муруйлт (+ илэрхийллээр тодорхойлогддог) нь хананы хоёр талын даралтын зөрүүтэй пропорциональ байна.

Хэрэв цэвэр шилэн савааны үзүүрийг цэвэр усанд дүрж, савааг нь авбал төгсгөлд нь унжсан усны дусал харагдах болно. Усны молекулууд бие биенээсээ илүү шилэн молекулуудад татагддаг нь ойлгомжтой.

Үүний нэгэн адил мөнгөн усны дусал зэс саваагаар өргөж болно. Ийм тохиолдолд хатуу бодисыг шингэнээр норгосон гэж хэлдэг.

Хэрэв бид цэвэр шилэн савааг цэвэр мөнгөн ус руу дүрэх эсвэл өөх тосоор бүрхэгдсэн шилэн саваа усанд буулгах нь өөр байх болно: энд шингэнээс гаргаж авсан саваа нь түүний дуслыг ч авч явахгүй. Эдгээр тохиолдолд шингэн нь хатуу бодисыг норгохгүй гэж хэлдэг.

Цагаан будаа. 227. Сумнууд нь түүний доорх шингэний баганад гадаргуугийн давхарга үйлчлэх хүчний чиглэлийг харуулав.

Хэрэв та нарийхан, цэвэр шилэн хоолойг усанд дүрвэл таталцлын хүчийг үл харгалзан хоолой дахь ус тодорхой өндөрт хүрнэ (Зураг 227, а). Нарийн хоолойг хялгасан судас буюу хялгасан судас гэж нэрлэдэг тул үзэгдлийг өөрөө капилляр гэж нэрлэдэг. Капилляр хоолойн ханыг норгож буй шингэн нь хялгасан судас дээшилдэг. Капиллярын ханыг чийгшүүлдэггүй шингэн (жишээлбэл, шилэн хоолой дахь мөнгөн ус) нь зурагт үзүүлсэн шиг дамждаг. 227, b, бууруулах. Капиллярын өсөлт, уналт их байх тусам хялгасан судас нарийсдаг.

Капиллярын өсөлт, уналт нь шингэний гадаргуугийн муруйлтаас болж үүсдэг илүүдэл даралтын улмаас үүсдэг. Үнэн хэрэгтээ шингэнээр норгосон хоолойд шингэн нь хотгор мениск үүсгэдэг. Хэлсэн үгийн дагуу

Өмнөх догол мөрөнд ийм менискийн гадаргуу нь доороос дээш чиглэсэн хүчийг бий болгох бөгөөд энэ хүч нь таталцлын нөлөөг үл харгалзан хоолой дахь шингэний баганыг дэмжих болно. Эсрэгээр, шингэнээр нороогүй хоолойд гүдгэр мениск үүсэх болно; Энэ нь доош чиглэсэн хүчийг өгч, улмаар шингэний түвшинг бууруулна.

Шингэний гадаргуугийн хурцадмал байдал, түүний нягт, хоолойн радиус, хоолойд өсөн нэмэгдэж буй баганын өндрийн хоорондын хамаарлыг гаргая. Шингэн нь хоолойн ханыг "бүрэн норгож" (шилэн хоолой шиг ус шиг) байлгана, ингэснээр хоолойд хүрэх цэг дээр шингэний гадаргуу нь хоолойн гадаргуутай шүргэнэ. Энэ контакт нь контурын дагуу явагддаг бөгөөд түүний урт нь гадаргуугийн хурцадмал байдлаас шалтгаалан контур нь хүч үүсгэх бөгөөд баганад хэрэглэсэн хүч нь таталцлын хурдатгалтай тэнцүү байх болно.

Тиймээс,

өөрөөр хэлбэл хялгасан судасны өсөлтийн өндөр нь гадаргуугийн хурцадмал байдалтай пропорциональ ба хоолойн радиус ба шингэний нягттай урвуу хамааралтай байна.

Капиллярын өсөлтийн ижил томьёог (11) Лапласын томъёо (10) эсвэл (харгалзаж буй тэгш хэмтэй гадаргуугийн хувьд) (9) томъёоны үр дүнд авч болно. Үүнийг ингэж хэлж болно: хонхор гадаргуу доорх шингэнд даралт тодорхой хэмжээгээр буурдаг тул тэнцвэрт байдалд, саванд цутгаж буй шингэний чөлөөт гадаргуугийн түвшин дэх даралт нь түүний даралттай тэнцүү байх үед; хялгасан судсан дахь шингэн нь ижил түвшинд, хялгасан судсан дахь шингэний багана нь менискийн гадаргуугийн хонхорхойноос үүссэн даралтын алдагдлыг даралт нь тэнцвэржүүлдэг тийм өндөртэй байх ёстой. Тиймээс (11) томъёо эндээс гаралтай.

Үүнтэй адил үндэслэлээр, шингэн нь хялгасан судасны ханыг "огт чийгшүүлэхгүй" үед тэнцвэрт байдалд байгаа нь ижил томъёогоор (11) тодорхойлсон өндрөөр доошилсон түвшинд хялгасан судсанд байх болно гэдэгт бид итгэлтэй байна.

Капиллярын өсөлтийг хэмжих нь a-ийн утгыг тодорхойлох энгийн аргуудын нэг юм.

Зураг дээр. 228 нь хоёр талт өнцөг үүсгэдэг хоёр хавтангийн хоорондох шингэний хялгасан судасны өсөлтийг харуулж байна. Өсөн нэмэгдэж буй шингэн нь дээд хэсэгт хязгаарлагдах болно гэж төсөөлөхөд хэцүү биш юм

гипербол; энэ гиперболын асимптотууд нь хоёр талт өнцгийн ирмэг ба савны шингэний түвшинд байрлах шугам байх болно.

Хатуу ханатай харьцах шингэний тэнцвэрийн нөхцөлийг авч үзье (Зураг 229). Вакуум эсвэл хийтэй хиллэдэг хатуу биетийн гадаргуугийн квадрат сантиметр бүрийн илүүдэл чөлөөт энергийг 2-оор тэмдэглэе. Хатуу биеийн гадаргууг норгож буй аливаа шингэний давхарга түүний дээгүүр тархах үед хатуу хийн интерфейс нь хатуу-шингэний интерфейсээр солигдох бөгөөд энэ шинэ гадаргуугийн чөлөөт энерги өөр байх нь тодорхой бөгөөд хатуу биетийн гадаргуугийн квадрат см бүрийн чөлөөт энергийн бууралт нь нөлөөллийн хүчний ажилтай тэнцүү байна. үүнээс шингэн хальсны периметрийн 1 см нь хальсны периметрт перпендикуляр чиглэлд 1 см-ийн зайд шилжинэ. Иймд энэ ялгаа нь шингэний хальсны периметрийн 1 см-т үйлчилж, хатуу биетийн гадаргууд шүргэгчээр үйлчилж, шингэнийг хатуу биетийн гадаргуугийн дагуу хөдөлгөх хүч гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч хатуу биетийн гадаргуу дээр шингэн тархах нь шингэн 1 ба вакуум эсвэл хий 2-ын хоорондох гадаргуугийн өсөлт дагалддаг бөгөөд энэ нь шингэний гадаргуугийн хурцадмал байдлаас сэргийлдэг бие нь шингэнээр бүрэн нордоггүй, хүч нь (зураг 229, а-д үзүүлсэн шиг) хатуу биетийн гадаргуу руу тодорхой өнцгийн дор чиглэгддэг; энэ өнцгийг контактын өнцөг гэж нэрлэдэг. Тиймээс хатуу биетэй хиллэдэг шингэн нь тэнцвэрт байдалд байх болно гэдгийг бид харж байна

Эндээс бид тэнцвэрт байдалд байгаа шингэний чөлөөт гадаргуу гадаргуутай нийлэх контактын өнцгийг олж мэднэ.

Цагаан будаа. 228. Хоёр талт өнцөг үүсгэсэн ялтсуудын хоорондох шингэний хялгасан судасны өсөлт.

Цагаан будаа. 229. Шингэн нь хатуу ханыг норгодог (a); хатуу ханыг норгохгүй

хатуу биеийг томъёогоор тодорхойлно

Томъёоны (12) гарал үүслийн утгын дагуу шингэн нь хатуу бодисыг норгохгүй тохиолдолд энэ томъёо нь хүчинтэй хэвээр байх нь тодорхой байна (Зураг 229, б); дараа нь контактын өнцөг нь мохоо байх болно; чийглэхгүй байх нь (жишээ нь, хатуу биетийн вакуум эсвэл хийтэй уулзвар дахь чөлөөт энерги нь шингэнтэй ижил биетэй уулзварт байх үеийнхээс бага; өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд шингэн хөдөлж байх үед) гэсэн үг юм. хатуу биеийн гадаргуугийн дагуу ямар ч ажил хийхгүй, харин эсрэгээр шингэний ийм хөдөлгөөнийг хийхийн тулд ажил хийх шаардлагатай болно).

Бүрэн чийгшүүлэх, контактын өнцөг, чийгшүүлэхгүй байх үед контактын өнцөг нь холбоо барих бодисын шинж чанар, температураас хамаарна. Хэрэв та хөлөг онгоцны ханыг хазайлгах юм бол контактын өнцөг өөрчлөгдөхгүй.

Формула (12) нь хэвтээ хавтгай дээр хэвтэж буй дуслын хэлбэрийг тайлбарлав. Шингэнээр норгосон хатуу тулгуур дээр дусал нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэрийг авдаг. 230; хэрэв тулгуурыг нороогүй бол зурагт үзүүлсэн дусал хэлбэрийг авна. 231, контактын өнцөг нь мохоо байна.

Цагаан будаа. 230. Нойтон шингэний дусал.

Цагаан будаа. 231. Нойтон шингэний дусал.

Үнэмлэхүй цэвэр шил нь ус, этилийн спирт, метилийн спирт, хлороформ, бензолоор бүрэн нордог. Цэвэр шилэн дээрх мөнгөн усны хувьд контактын өнцөг нь 52 ° (шинээр үүссэн дуслын хувьд 41 °), turpentine нь 17 °, эфирийн хувьд 16 ° байна.

Шингэн нь тавиурыг бүрэн норгоход ямар ч дусал гарахгүй, харин шингэн нь бүх гадаргуу дээр тархдаг. Энэ нь жишээлбэл, туйлын цэвэр шилэн хавтан дээр дусал ус дусаахад тохиолддог. Гэхдээ ихэвчлэн шилэн хавтан нь бага зэрэг бохир байдаг бөгөөд энэ нь дусал тархахаас сэргийлж, хэмжигдэхүйц контактын өнцөг үүсгэдэг.

Цагаан будаа. 232. Усан дээрх тосны дусал

Томьёог гаргаж авсан үндэслэлийг бид хатуу биетийн оронд хоёр дахь шингэн, жишээлбэл, газрын тосны дусал усны гадаргуу дээр хөвж байх үед хэрэглэж болно (Зураг 232). Гэхдээ энэ тохиолдолд хүчний чиглэлүүд эсрэгээрээ байхаа больсон; Шингэн нь хатуу биетэй харьцах үед гадаргуугийн хэвийн бүрэлдэхүүн хэсэг

хурцадмал байдал нь хатуу хананы эсэргүүцэлээр тэнцвэрждэг боловч шингэнтэй холбоо барих үед энэ нь тохиолддоггүй; тиймээс энэ тохиолдолд тэнцвэрийн нөхцөлийг өөрөөр бичих ёстой, тухайлбал нийт хүч ба геометрийн нийлбэр (эсрэг тэмдгээр авсан) тэнцүү байх ёстой.

Жишээлбэл, чидун жимсний тос усан дээр хөвж байвал дин/см, дин/см, дан/см. Тиймээс, энд агаар ба усны интерфэйс дэх гадаргуугийн хурцадмал байдал нь газрын тосны агаар, устай холбоотой гадаргуугийн хурцадмал байдлын нийлбэрээс их байна; Тиймээс бид уналтын хэмжээ хязгааргүй тархах болно. Газрын тосны давхаргын зузаан нь нэг молекулын хэмжээтэй (ойролцоогоор см) хүрч, дараа нь давхарга задарч эхэлнэ. Гэхдээ хэрэв ус бохирдсон бол түүний гадаргуугийн хурцадмал байдал буурч, дараа нь маш нимгэн давхаргатай тос түрхсэний дараа гадаргуу дээр их хэмжээний тос үлдэж болно.

Молекулын хүчний үйлчлэлээр хатуу биетийн хоёр гадаргуугийн хоорондох нимгэн завсар руу нэвтэрч буй шингэн нь эдгээр гадаргуу дээр шаантаг нөлөө үзүүлдэг. Шингэний нимгэн давхаргын шаантаг нөлөөг профессорын чадварлаг туршилтаар туршилтаар баталсан. Б.В.Дерягин мөн энэ үзэгдлийн онолыг боловсруулж, шингэний шаантаглах үйл ажиллагааны үндсэн дээр Ребиндерийн эффектийг тайлбарласан (§ 46).

Энэ бүлэгт бид хоёр тасралтгүй мэдээллийн хэрэгслийн хоорондох интерфейсийн ойролцоо тохиолддог үзэгдлүүдийг судлах болно (бодит байдал дээр, мэдээжийн хэрэг, холбоо барих биетүүд нь маш бага зузаантай тул гадаргуу гэж үзэж болох нарийн шилжилтийн давхаргаар тусгаарлагдсан байдаг. ).

Хэрэв хоёр зөөвөрлөгчийн хоорондох интерфэйс муруй байвал түүний ойролцоо хоёр зөөвөрлөгчийн даралт өөр байна. Энэ даралтын зөрүүг (гадаргуугийн даралт гэж нэрлэдэг) тодорхойлохын тулд бид тэдгээрийн интерфейсийн шинж чанарыг харгалзан хоёр биений термодинамик тэнцвэрийн нөхцлийг бичнэ.

Интерфейс нь хязгааргүй бага шилжилтэнд өртөх болно. Шилжилтгүй гадаргуугийн цэг бүрт бид түүн рүү нормаль зурдаг. Шилжилтгүй болон шилжсэн гадаргуутай огтлолцсон хэсгүүдийн хоорондох хэвийн сегментийг тэмдэглэнэ Дараа нь гадаргуугийн хоорондох зайны элемент бүрийн эзэлхүүнийг гадаргуугийн элемент хаана байна. Эхний болон хоёр дахь зөөвөрлөгч дээрх даралтыг байг, хэрэв интерфэйс нь хоёр дахь зөөвөрлөгч рүү шилжих юм бол бид үүнийг эерэг гэж үзэх болно. Дараа нь эзэлхүүний тодорхойлсон өөрчлөлтийн хувьд хийх ёстой ажил нь тэнцүү байна

Энэ гадаргуугийн талбайн өөрчлөлттэй холбоотой нэмэлт ажлыг энд нэмж оруулснаар гадаргууг бүрэн нүүлгэн шилжүүлэх ажлыг хийх болно. Ажлын энэ хэсэг нь мэдэгдэж байгаагаар гадаргуугийн талбайн өөрчлөлттэй пропорциональ бөгөөд -тэй тэнцүү байна, a нь гадаргуугийн хурцадмал байдал юм. Тиймээс нийт ажил нь тэнцүү байна

Термодинамикийн тэнцвэрийн нөхцөл нь мэдэгдэж байгаагаар алга болох замаар тодорхойлогддог.

Дараа нь түүний үндсэн хэсгүүдийн хавтгайд зурсан гадаргуу дээрх уртын элементүүд нь радиустай тойргийн нумын элемент гэж тооцогдох гадаргуугийн хязгааргүй бага шилжилттэй өсөлтийг хүлээн авдаг. Тиймээс гадаргуугийн элемент нь шилжилтийн дараа тэнцүү байх болно

өөрөөр хэлбэл дүнгээр нь өөрчлөгдөнө

Эндээс харахад интерфэйсийн талбайн нийт өөрчлөлт нь байна

Үүссэн илэрхийллүүдийг (61.1)-д орлуулж, тэгтэй тэнцүүлснээр бид тэнцвэрийн нөхцөлийг хэлбэрээр олж авна.

Гадаргуугийн дурын хязгааргүй жижиг шилжилтийн хувьд энэ нөхцөл хангагдсан байх ёстой, өөрөөр хэлбэл дурын хувьд, хаалтанд байгаа интегралын доорх илэрхийлэл ижилхэн алга болох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл.

Энэ бол гадаргуугийн даралтыг тодорхойлдог томъёо (Лаппласын томъёо) юм. Хэрэв тэд эерэг байвал бид үүнийг харж байна. Энэ нь хоёр биетийн гадаргуу нь гүдгэр биетийн даралт их байна гэсэн үг юм. Хэрэв интерфэйс нь тэгш байвал хоёр бие дэх даралт нь ижил байх ёстой.

Холбоо барих биетүүдийн механик тэнцвэрийг судлахын тулд (61.3) томъёог ашиглая. Интерфейс болон биетүүд нь гадны ямар нэгэн хүчин зүйлийн нөлөөнд автдаггүй гэж үзье. Дараа нь бие тус бүрийн дагуу даралт тогтмол байна. Тиймээс (61.3) томъёог харгалзан бид тэнцвэрийн нөхцөлийг хэлбэрээр бичиж болно

(61,4)

Тиймээс муруйлтын урвуу радиусын нийлбэр нь бүх чөлөөт интерфэйсийн дагуу тогтмол байх ёстой. Хэрэв бүх гадаргуу чөлөөтэй байвал нөхцөл (60.4) нь гадаргуу нь бөмбөрцөг хэлбэртэй байх ёстой гэсэн үг юм (жишээлбэл, жижиг дуслын гадаргуу, таталцлын нөлөөг үл тоомсорлож болно). Хэрэв гадаргуу нь ямар нэгэн шугамын дагуу бэхлэгдсэн бол (жишээлбэл, хатуу хүрээ дээрх шингэн хальс), түүний хэлбэр нь илүү төвөгтэй байдаг.

Хатуу хүрээнд наалдсан шингэний нимгэн хальсны тэнцвэрт байдалд хэрэглэх үед нөхцөл (61.4) баруун талд тэг байх ёстой. Үнэн хэрэгтээ, нийлбэр нь хальсны бүх чөлөөт гадаргуугийн дагуу ижил байх ёстой бөгөөд хоёр талдаа эсрэг тэмдэгтэй байх ёстой, учир нь нэг тал нь гүдгэр бол нөгөө тал нь ижил муруйлттай радиустай хотгор болно. , гэхдээ үүнийг одоо сөрөг гэж үзэх ёстой. Нимгэн хальсны тэнцвэрийн нөхцөл нь дараах байдалтай байна

Одоо таталцлын талбайд байрлах биеийн гадаргуу дээрх тэнцвэрт байдлын нөхцөлийг авч үзье. Хоёрдахь орчин нь агаар мандал бөгөөд түүний даралтыг биеийн хэмжээгээр тогтмол гэж үзэж болно гэж энгийнээр бодъё. Бие өөрөө шахагдахгүй шингэнийг авч үзье. Дараа нь бид , шингэн дэх даралт нь тэнцүү байна (z координатыг босоогоор дээш хэмждэг). Тиймээс тэнцвэрийн нөхцөл хэлбэрийг авдаг

(61,6)

Гэхдээ тодорхой тохиолдлуудад шингэний гадаргуугийн тэнцвэрийн хэлбэрийг тодорхойлохын тулд тэнцвэрийн нөхцлийг (61.6) хэлбэрээр биш, харин хамгийн бага хэмжээтэй вариацын асуудлыг шууд шийдвэрлэх замаар ашиглах нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. чөлөөт эрчим хүч. Шингэний дотоод чөлөөт энерги нь зөвхөн эзэлхүүнээс хамаардаг боловч гадаргуугийн хэлбэрээс хамаардаггүй. Нэгдүгээрт, гадаргуугийн чөлөөт энерги нь хэлбэрээс хамаарна

хоёрдугаарт, гадаад талбар дахь энерги (таталцлын талбар), тэнцүү байна

Тиймээс тэнцвэрийн нөхцөлийг хэлбэрээр бичиж болно

Хамгийн бага хэмжээг тогтоохдоо нэмэлт нөхцлөөр хийх ёстой

(61,8)

шингэний нийт эзэлхүүний тогтмол байдлыг илэрхийлдэг.

Тогтмолууд тэнцвэрийн нөхцөлд (61.6-7) зөвхөн харьцаа хэлбэрээр ордог. Энэ харьцаа нь уртын квадратын хэмжээтэй байна. Урт

капилляр тогтмол гэж нэрлэдэг. Шингэний гадаргуугийн хэлбэрийг зөвхөн энэ хэмжээгээр тодорхойлно. Хэрэв хялгасан судасны тогтмол хэмжээ их байвал (биеийн хэмжээтэй харьцуулахад) гадаргуугийн хэлбэрийг тодорхойлохдоо таталцлын талбарыг үл тоомсорлож болно.

(61.4) эсвэл (61.6) нөхцлөөс гадаргуугийн хэлбэрийг тодорхойлохын тулд гадаргуугийн хэлбэрт тулгуурлан муруйлтын радиусыг тодорхойлдог томьёотой байх шаардлагатай. Эдгээр томъёог дифференциал геометрээс мэддэг боловч ерөнхий тохиолдолд тэдгээр нь нэлээд төвөгтэй хэлбэртэй байдаг. Гадаргуугийн хэлбэр нь хавтгайгаас бага зэрэг хазайсан тохиолдолд тэдгээрийг маш хялбаршуулдаг. Бид дифференциал геометрийн ерөнхий томьёог ашиглахгүйгээр шууд харгалзах ойролцоо томьёог эндээс гаргана.

Гадаргуугийн тэгшитгэл гэж үзье; Бид хаа сайгүй жижиг, өөрөөр хэлбэл гадаргуу нь хавтгайгаас бага зэрэг хазайдаг гэж үздэг тул гадаргуугийн талбай f интегралаар тодорхойлогддог

эсвэл ойролцоогоор бага байна

Өөрчлөлтийг тодорхойлъё

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олно.

Энэ илэрхийллийг (61.2)-тай харьцуулж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ нь сул муруй гадаргуугийн муруйлтын урвуу радиусын нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай томъёо юм.

Бие биетэйгээ харьцах гурван фаз тэнцвэртэй байх үед тэдгээрийн интерфэйсүүд нь гурван зөөвөрлөгчийн контактын нийтлэг шугамд үйлчилдэг гадаргуугийн гурван хүчний үр дүн тэгтэй тэнцүү байхаар тохируулагдана. Энэ нөхцөл байдал нь интерфэйсүүд нь гадаргуугийн хурцадмал байдлын утгуудаар тодорхойлогддог өнцгөөр (холбоо барих өнцөг гэж нэрлэгддэг) хоорондоо огтлолцох ёстой гэдэгт хүргэдэг.

Эцэст нь, гадаргуугийн хурцадмал хүчийг харгалзан үзэхэд хоёр хөдөлж буй шингэний заагт ажиглагдах ёстой хилийн нөхцлийн талаар ярилцъя. Хэрэв гадаргуугийн хурцадмал байдлыг тооцохгүй бол хоёр шингэний зааг дээр бид дараах байдалтай байна.

Энэ нь хоёр шингэний гадаргуу дээр үйлчлэх үрэлтийн хүчний тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Гадаргуугийн хурцадмал байдлыг харгалзан үзэхдээ энэ нөхцлийн баруун талд Лапласын томьёогоор тодорхойлогдсон, гадаргууд хэвийн чиглэсэн нэмэлт хүчийг бичих шаардлагатай.

Үгүй бол та энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно

Гэсэн хэдий ч (61.13) нөхцөл нь хамгийн ерөнхий биш байна. Баримт нь гадаргуугийн хурцадмал байдлын коэффициент a нь гадаргуугийн дагуу тогтмол биш байж болно (жишээлбэл, температурын хэлбэлзлийн үр дүнд). Дараа нь ердийн хүчний хамт (хавтгай гадаргуутай үед алга болдог) гадаргуу руу тангенциал чиглэсэн нэмэлт хүч гарч ирдэг. Тэгш бус даралтын үед эзэлхүүний хүч (нэг эзэлхүүн тутамд) тэнцүү гарч ирдэгтэй адил - энд интерфэйсийн нэгж талбайд үйлчлэх тангенциал хүч байна.

Бид энд градиентийг урд талд нь нэмэх тэмдэгтэй, харин өмнөх шигээ хасах тэмдгээр бичдэг - учир нь гадаргуугийн хурцадмал байдал нь гадаргуугийн талбайг багасгаж, даралтын хүч нь гадаргуугийн эзлэхүүнийг нэмэгдүүлэх хандлагатай байдаг. бие. Энэ хүчийг тэгш байдлын баруун талд (61.13) нэмснээр бид хилийн нөхцөлийг олж авна

(нэгж хэвийн вектор эхний шингэн рүү чиглэнэ). Энэ нөхцлийг зөвхөн наалдамхай шингэний хувьд л хангаж чадна гэдгийг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ, хамгийн тохиромжтой шингэний хувьд тэгш байдлын зүүн тал (61.14) нь хэвийн дагуу чиглэсэн вектор, баруун тал нь гадаргуу руу тангенциал чиглэсэн вектор байх болно. Гэхдээ ийм тэгш байдал боломжгүй юм (мэдээжийн хэрэг, эдгээр хэмжигдэхүүнүүд тус бүр нь тэгтэй тэнцүү байх өчүүхэн тохиолдлыг эс тооцвол).