Санамсаргүй хэмжигдэхүүний итгэлийн интервал. Давтамж ба пропорцын итгэлцлийн интервалууд

Бусад нь бүгдээрээ түүвэр биш, харин нийт хүн амтай байсан бол олж авч болох онолын аналогийн тооцоо юм. Гэвч харамсалтай нь, нийт хүн ам нь маш үнэтэй бөгөөд ихэвчлэн хүртээмжгүй байдаг.

Интервалын тооцооны тухай ойлголт

Аливаа түүврийн тооцоо нь зарим тархалттай байдаг, учир нь тодорхой түүвэр дэх утгуудаас хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Тиймээс илүү найдвартай статистик дүгнэлт гаргахын тулд та зөвхөн цэгийн тооцоог төдийгүй өндөр магадлалтай интервалыг мэдэх хэрэгтэй. γ (гамма) нь үнэлэгдсэн үзүүлэлтийг хамарна θ (тета).

Албан ёсоор эдгээр нь ийм хоёр утга юм (статистик) T 1 (X)Тэгээд T 2 (X), Юу Т 1< T 2 , өгөгдсөн магадлалын түвшинд γ нөхцөл хангагдсан:

Товчхондоо энэ нь магадгүй юм γ эсвэл түүнээс дээш бодит үзүүлэлт нь цэгүүдийн хооронд байна T 1 (X)Тэгээд T 2 (X), тэдгээрийг доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг итгэлийн интервал.

Итгэлийн интервалыг бий болгох нөхцлүүдийн нэг нь түүний хамгийн их нарийссан байдал юм. аль болох богино байх ёстой. Хүсэл нь үнэхээр байгалийн юм, учир нь ... судлаач хүссэн параметрийн байршлыг илүү нарийвчлалтай тогтоохыг хичээдэг.

Үүнээс үзэхэд итгэлцлийн интервал нь тархалтын хамгийн их магадлалыг хамрах ёстой. мөн үнэлгээ нь өөрөө төвд байх ёстой.

Өөрөөр хэлбэл, дээшээ хазайх магадлал (үнээлсэн бодит үзүүлэлт) нь доошоо хазайх магадлалтай тэнцүү байна. Мөн тэгш бус хуваарилалтын хувьд баруун талын интервал нь зүүн талын интервалтай тэнцүү биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Дээрх зураг нь өөртөө итгэх магадлал их байх тусам интервал илүү өргөн болохыг харуулж байна - шууд харилцаа.

Энэ нь үл мэдэгдэх параметрүүдийн интервалын үнэлгээний онолын товч танилцуулга байв. Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн хязгаарыг олох руу шилжье.

Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал

Хэрэв анхны өгөгдөл нь дээр тархсан бол дундаж нь хэвийн утга байх болно. Энэ нь ердийн утгуудын шугаман хослол нь хэвийн тархалттай байдаг гэсэн дүрмээс харагдаж байна. Тиймээс магадлалыг тооцоолохын тулд ердийн тархалтын хуулийн математик аппаратыг ашиглаж болно.

Гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үл мэдэгдэх хүлээлт ба хэлбэлзэл гэсэн хоёр параметрийг мэдэх шаардлагатай болно. Мэдээжийн хэрэг та параметрийн оронд тооцооллыг ашиглаж болно (арифметик дундаж ба ), гэхдээ дараа нь дундажийн тархалт бүхэлдээ хэвийн биш, доошоо бага зэрэг хавтгайрсан байх болно. Энэ баримтыг Ирландын иргэн Уильям Госсет 1908 оны 3-р сарын "Биометрика" сэтгүүлд өөрийн нээлтээ нийтлэхдээ ухаалгаар тэмдэглэжээ. Нууцлалын үүднээс Госсет өөрийгөө Оюутан гэж гарын үсэг зурсан. Оюутны t хуваарилалт ингэж гарч ирсэн.

Гэсэн хэдий ч К.Гаусын одон орны ажиглалтын алдааг шинжлэхэд ашигласан өгөгдлийн хэвийн тархалт нь дэлхийн амьдралд маш ховор тохиолддог бөгөөд үүнийг тогтооход нэлээд хэцүү байдаг (өндөр нарийвчлалтай байхын тулд 2 мянга орчим ажиглалт шаардлагатай). Тиймээс хэвийн байдлын таамаглалаас татгалзаж, анхны өгөгдлийн тархалтаас үл хамаарах аргуудыг ашиглах нь зүйтэй.

Асуулт гарч ирнэ: хэрэв энэ нь үл мэдэгдэх тархалтын өгөгдлөөс тооцоолсон бол арифметик дундаж нь ямар тархалттай байх вэ? Хариултыг магадлалын онолд сайн мэддэг хүмүүс өгдөг Төвийн хязгаарын теорем(CPT). Математикийн хувьд түүний хэд хэдэн хувилбар байдаг (томьёо нь олон жилийн туршид боловсронгуй болсон) боловч тэдгээр нь бүгдээрээ, барагцаагаар хэлбэл, олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь ердийн тархалтын хуульд захирагддаг гэсэн мэдэгдэлд хүргэдэг.

Арифметик дундажийг тооцоолохдоо санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийг ашиглана. Эндээс харахад арифметик дундаж нь хэвийн тархалттай байх ба үүнд хүлээлт нь анхны өгөгдлийн хүлээлт, дисперс нь .

Ухаалаг хүмүүс CLT-ийг хэрхэн батлахаа мэддэг ч бид Excel дээр хийсэн туршилтын тусламжтайгаар үүнийг шалгах болно. 50 жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний түүврийг загварчилж үзье (Excel-ийн RANDBETWEEN функцийг ашиглан). Дараа нь бид 1000 ийм дээж хийж, тус бүрийн арифметик дундажийг тооцоолно. Тэдний тархалтыг харцгаая.

Дундажын тархалт нь хэвийн хуультай ойролцоо байгаа нь харагдаж байна. Хэрэв түүврийн хэмжээ, тоог илүү том болговол ижил төстэй байдал нь илүү дээр байх болно.

Одоо бид CLT-ийн хүчинтэй байдлыг нүдээрээ харсан тул өгөгдсөн магадлалаар үнэн дундаж буюу математикийн хүлээлтийг хамарсан арифметик дундажийн итгэлцлийн интервалыг ашиглан тооцоолж болно.

Дээд ба доод хязгаарыг тогтоохын тулд та хэвийн тархалтын параметрүүдийг мэдэх хэрэгтэй. Дүрмээр бол ийм зүйл байхгүй тул тооцооллыг ашигладаг. арифметик дундажТэгээд түүврийн зөрүү. Би давтан хэлье, энэ арга нь зөвхөн том дээжээр сайн ойролцооллыг өгдөг. Дээж бага байх үед Оюутны хуваарилалтыг ашиглахыг зөвлөж байна. Битгий итгэ! Дундаж утгын Оюутны тархалт нь анхны өгөгдөл хэвийн тархсан үед л тохиолддог, өөрөөр хэлбэл бараг хэзээ ч байхгүй. Тиймээс шаардлагатай өгөгдлийн хэмжээнд хамгийн бага хязгаарыг нэн даруй тогтоож, асимптотын зөв аргуудыг ашиглах нь дээр. Тэд 30 ажиглалт хангалттай гэж хэлдэг. 50-ыг аваарай - та алдаа гаргахгүй.

T 1.2– итгэлийн интервалын доод ба дээд хязгаар

– арифметик дундаж жишээ

s 0- дээжийн стандарт хазайлт (хязгааргүй)

n - дээжийн хэмжээ

γ - итгэх магадлал (ихэвчлэн 0.9, 0.95 эсвэл 0.99-тэй тэнцүү)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– стандарт хэвийн тархалтын функцийн урвуу утга. Энгийнээр хэлбэл, энэ нь арифметик дунджаас доод буюу дээд хязгаар хүртэлх стандарт алдааны тоо юм (эдгээр гурван магадлал нь 1.64, 1.96, 2.58 гэсэн утгатай).

Томъёоны мөн чанар нь арифметик дунджийг аваад дараа нь тодорхой хэмжээг хасдаг ( γ-тэй) стандарт алдаа ( s 0 /√n). Бүх зүйл мэдэгдэж байгаа, үүнийг авч, бодож үзээрэй.

Хувийн компьютерийг өргөнөөр ашиглахаас өмнө ердийн тархалтын функц ба түүний урвуу утгыг олж авдаг байв. Тэдгээрийг өнөөг хүртэл ашигласаар байгаа ч бэлэн Excel томъёог ашиглах нь илүү үр дүнтэй байдаг. Дээрх ( , ба ) томъёоны бүх элементүүдийг Excel дээр хялбархан тооцоолж болно. Гэхдээ итгэлцлийн интервалыг тооцоолох бэлэн томъёо байдаг - ИТГЭЛ.НОРМ. Түүний синтакс нь дараах байдалтай байна.

ИТГЭЛ.НОРМ(альфа;стандарт_унтраах;хэмжээ)

альфа– дээр дурдсан тэмдэглэгээнд 1- γ-тэй тэнцэх ач холбогдлын түвшин буюу итгэлийн түвшин, өөрөөр хэлбэл. Математикийн магадлалхүлээлт итгэлийн интервалаас гадуур байх болно. Итгэлийн түвшин 0.95, альфа нь 0.05 гэх мэт.

стандарт_унтраах– түүврийн өгөгдлийн стандарт хазайлт. Стандарт алдааг тооцоолох шаардлагагүй, Excel өөрөө n-ийн үндэст хуваагдана.

хэмжээ– түүврийн хэмжээ (n).

ИТГЭЛИЙН NORM функцийн үр дүн нь итгэлцлийн интервалыг тооцоолох томъёоны хоёр дахь гишүүн юм. хагас интервал Үүний дагуу доод ба дээд цэгүүд нь дундаж ± олж авсан утга юм.

Тиймээс арифметик дундажийн итгэлцлийн интервалыг тооцоолох бүх нийтийн алгоритмыг бүтээх боломжтой бөгөөд энэ нь анхны өгөгдлийн тархалтаас хамаардаггүй. Нийтлэг байдлын үнэ нь түүний асимптотик шинж чанар юм, өөрөөр хэлбэл. харьцангуй том дээж ашиглах хэрэгцээ. Гэсэн хэдий ч орчин үеийн технологийн эрин үед шаардлагатай хэмжээний өгөгдлийг цуглуулах нь ихэвчлэн хэцүү биш юм.

Итгэлийн интервал ашиглан статистик таамаглалыг шалгах

(модуль 111)

Статистикийн хувьд шийдэгддэг гол асуудлуудын нэг нь. Үүний мөн чанар нь товчхондоо дараах байдалтай байна. Жишээлбэл, нийт хүн амын хүлээлт нь ямар нэгэн утгатай тэнцүү байна гэсэн таамаглал дэвшүүлдэг. Дараа нь өгөгдсөн хүлээлтэд ажиглагдаж болох түүврийн хэрэгслийн хуваарилалтыг байгуулна. Дараа нь тэд энэ нөхцөлт хуваарилалтын бодит дундаж хаана байрлаж байгааг хардаг. Хэрэв энэ нь зөвшөөрөгдөх хэмжээнээс давсан бол ийм дундаж үзүүлэлт гарах магадлал маш бага бөгөөд туршилтыг нэг удаа давтах нь бараг боломжгүй бөгөөд энэ нь дэвшүүлсэн таамаглалтай зөрчилдөж, амжилттай няцаагдсан байна. Хэрэв дундаж нь эгзэгтэй түвшнээс хэтрээгүй бол таамаглалыг үгүйсгэхгүй (гэхдээ бас нотлогдоогүй!).

Тиймээс итгэлийн интервалын тусламжтайгаар бидний хувьд хүлээлтийн хувьд та зарим таамаглалыг шалгаж болно. Үүнийг хийхэд маш хялбар. Тодорхой түүврийн арифметик дундаж нь 100-тай тэнцүү гэж үзье. Хүлээгдэж буй утга нь 90 байна гэсэн таамаглалыг шалгасан. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид асуултыг анхдагч байдлаар тавивал энэ нь үнэнтэй байж болох уу? дундаж утга 90-тэй тэнцүү бол ажиглагдсан дундаж нь 100 болсон уу?

Энэ асуултад хариулахын тулд танд стандарт хазайлт, түүврийн хэмжээ зэрэг мэдээлэл хэрэгтэй болно. Стандарт хазайлтыг 30, ажиглалтын тоог 64 (үндэсийг хялбархан гаргаж авах) гэж үзье. Дараа нь дундажийн стандарт алдаа нь 30/8 буюу 3.75 байна. 95% -ийн итгэлцлийн интервалыг тооцоолохын тулд та дундаж тал бүрт хоёр стандарт алдаа нэмэх шаардлагатай (илүү нарийвчлалтай, 1.96). Итгэлийн интервал нь ойролцоогоор 100±7.5 буюу 92.5-аас 107.5 хүртэл байх болно.

Цаашдын үндэслэл дараах байдалтай байна. Хэрэв шалгаж буй утга нь итгэлцлийн интервалд багтаж байвал энэ нь таамаглалтай зөрчилдөхгүй, учир нь санамсаргүй хэлбэлзлийн хязгаарт (95% магадлалтай) багтдаг. Хэрэв шалгаж буй цэг нь итгэлцлийн интервалаас гадуур байвал ийм үйл явдлын магадлал маш бага, ямар ч тохиолдолд зөвшөөрөгдөх хэмжээнээс доогуур байна. Энэ нь таамаглал нь ажиглагдсан өгөгдөлтэй зөрчилдөж байна гэсэн үг юм. Манай тохиолдолд хүлээгдэж буй утгын талаархи таамаглал нь итгэлцлийн интервалаас гадуур байгаа (шинжилсэн 90-ийн утга нь 100±7.5 интервалд ороогүй) тул үүнийг үгүйсгэх хэрэгтэй. Дээрх энгийн асуултанд хариулахдаа үүнийг хэлэх хэрэгтэй: үгүй, энэ нь боломжгүй, ямар ч тохиолдолд энэ нь маш ховор тохиолддог. Ихэнхдээ тэд таамаглалыг (p-түвшин) буруугаар няцаах тодорхой магадлалыг заадаг бөгөөд итгэлцлийн интервалыг бий болгосон тодорхой түвшинг бус харин өөр үед илүү ихийг илэрхийлдэг.

Таны харж байгаагаар дундаж (эсвэл математикийн хүлээлт)-ийн итгэлцлийн интервалыг бий болгох нь тийм ч хэцүү биш юм. Гол нь мөн чанарыг нь ойлгох хэрэгтэй, тэгвэл бүх зүйл цаашаа явна. Практикт ихэнх тохиолдолд 95% итгэлийн интервалыг ашигладаг бөгөөд энэ нь дундаж утгын хоёр талд ойролцоогоор хоёр стандарт алдаатай байдаг.

Одоохондоо ийм л байна. Хамгийн сайн сайхныг хүсье!

Итгэлийн интервалын тооцоо

Статистик нь дараахь зүйлийг анхаарч үздэг хоёр үндсэн ажил:

Бид түүврийн өгөгдөл дээр үндэслэсэн зарим тооцоололтой бөгөөд тооцоолсон параметрийн жинхэнэ утга хаана байгаа талаар магадлалын мэдэгдэл хийхийг хүсч байна.

Бид дээжийн өгөгдлийг ашиглан шалгах шаардлагатай тодорхой таамаглалтай.

Энэ сэдвээр бид эхний даалгаврыг авч үзэх болно. Мөн итгэлийн интервалын тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Энэ сэдвээр материалыг судалсны дараа та:

тооцоололд итгэх итгэлийн интервал гэж юу болохыг олж мэдэх;

статистикийн асуудлыг ангилж сурах;

статистикийн томъёо, програм хангамжийн хэрэгслийг ашиглан итгэлцлийн интервалыг бий болгох арга техникийг эзэмших;

статистик тооцооллын нарийвчлалын тодорхой параметрүүдэд хүрэхийн тулд шаардлагатай түүврийн хэмжээг тодорхойлж сурах.

Түүврийн шинж чанарын хуваарилалт

Дээр дурьдсанчлан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь 0 ба 1 параметр бүхий стандартчилагдсан хэвийн тархалттай ойролцоо байна. Бид σ-ийн утгыг мэдэхгүй тул s-ийн зарим тооцоогоор солино. Тоо хэмжээ нь аль хэдийн өөр хуваарилалттай байна, тухайлбал, эсвэл Оюутны хуваарилалт, энэ нь n -1 (чөлөөний зэргийн тоо) параметрээр тодорхойлогддог. Энэ тархалт нь хэвийн тархалттай ойролцоо байна (n их байх тусам тархалт ойртоно).

Зураг дээр. 95
30 градусын эрх чөлөө бүхий оюутны хуваарилалтыг үзүүлэв. Таны харж байгаагаар энэ нь хэвийн тархалтад маш ойрхон байна.

NORMIDIST ба NORMINV хэвийн тархалттай ажиллах функцтэй адил t-тархалттай ажиллах функцүүд байдаг - STUDIST (TDIST) болон STUDRASOBR (TINV). Эдгээр функцийг ашиглах жишээг STUDRASP.XLS файл (загвар ба шийдэл) болон Зураг дээр харж болно. 96
.

Бидний мэдэж байгаагаар математикийн хүлээлтийг тооцоолох үнэн зөвийг тодорхойлохын тулд бидэнд t-тархалт хэрэгтэй. Бусад үзүүлэлтүүдийг, тухайлбал хэлбэлзлийг тооцоолохын тулд өөр өөр тархалт шаардлагатай. Тэдгээрийн хоёр нь F-тархалт ба x 2 - хуваарилалт.

Дундаж утгын итгэлцлийн интервал

Итгэлийн интервал- энэ нь параметрийн тооцоолсон утгын эргэн тойронд баригдсан интервал бөгөөд тооцоолсон параметрийн үнэн утга нь априори тодорхойлсон магадлалаар хаана байрлаж байгааг харуулдаг.

Дундаж утгын итгэлцлийн интервал бий болно дараах байдлаар:

Жишээ

Түргэн хоолны газар шинэ төрлийн сэндвичээр нэр төрлөө өргөжүүлэхээр төлөвлөж байна. Үүний эрэлтийг тооцоолохын тулд менежер үүнийг туршиж үзсэн хүмүүсээс 40 зочдыг санамсаргүй байдлаар сонгож, шинэ бүтээгдэхүүнд хандах хандлагыг 1-ээс 10 хүртэлх оноогоор үнэлэхийг хүсч байна. шинэ бүтээгдэхүүний хүлээн авах онооны тоо, энэ тооцоонд 95%-ийн итгэлийн интервалыг бий болгох. Үүнийг яаж хийх вэ? (SANDWICH1.XLS файлыг үзнэ үү (загвар ба шийдэл).

Шийдэл

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд та ашиглаж болно. Үр дүнг Зураг дээр үзүүлэв. 97
.

Нийт утгын итгэлийн интервал

Заримдаа түүврийн өгөгдлийг ашиглан математикийн хүлээлт биш харин нийт утгын нийлбэрийг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Жишээлбэл, аудитортой холбоотой нөхцөл байдлын хувьд дансны дундаж хэмжээг бус харин бүх дансны нийлбэрийг тооцох сонирхолтой байж болно.

N нь нийт элементийн тоо, n нь түүврийн хэмжээ, T 3 нь түүврийн утгуудын нийлбэр, T" нь нийт олонлогийн нийлбэрийн тооцоо, дараа нь , мөн итгэлцлийн интервалыг томъёогоор тооцоолно, энд s нь түүврийн стандарт хазайлтын тооцоо бөгөөд түүврийн дундаж утгын тооцоолол юм.

Жишээ

Татварын байгууллага 10,000 татвар төлөгчийн нийт татварын буцаан олголтыг тооцоолохыг хүсч байна гэж бодъё. Татвар төлөгч нь буцаан олголт авах эсвэл нэмэлт татвар төлдөг. Түүврийн хэмжээг 500 хүн гэж тооцвол буцаан олголтын дүнгийн 95%-ийн итгэлцлийн интервалыг олоорой (загвар ба шийдэл).

Шийдэл

StatPro-д энэ тохиолдолд тусгай журам байдаггүй, гэхдээ дээрх томъёонд үндэслэн дундаж утгуудын хил хязгаараас хил хязгаарыг авч болно гэдгийг тэмдэглэж болно (Зураг 98).
).

Пропорцын итгэлийн интервал

Үйлчлүүлэгчдийн эзлэх хувийн математик хүлээлтийг p, n хэмжээтэй түүврээс олж авсан энэ хувийг p b гэж үзье. Энэ нь хангалттай том хэмжээтэй гэдгийг харуулж болно үнэлгээний тархалт нь математикийн хүлээлт p ба стандарт хазайлттай хэвийн ойролцоо байх болно . Энэ тохиолдолд тооцооллын стандарт алдааг дараах байдлаар илэрхийлнэ , мөн итгэлийн интервал нь дараах байдалтай байна .

Жишээ

Түргэн хоолны газар шинэ төрлийн сэндвичээр нэр төрлөө өргөжүүлэхээр төлөвлөж байна. Үүний эрэлтийг үнэлэхийн тулд менежер аль хэдийн туршиж үзсэн хүмүүсээс 40 зочдыг санамсаргүй байдлаар сонгож, шинэ бүтээгдэхүүнд хандах хандлагыг 1-ээс 10 хүртэлх оноогоор үнэлэхийг хүсэв. шинэ бүтээгдэхүүнийг дор хаяж 6 оноогоор үнэлдэг үйлчлүүлэгчид (тэр эдгээр үйлчлүүлэгчид шинэ бүтээгдэхүүний хэрэглэгчид байх болно гэж найдаж байна).

Шийдэл

Эхлээд бид үйлчлүүлэгчийн үнэлгээ 6-аас дээш оноо, 0-ээс дээш оноо авсан бол атрибут 1 дээр үндэслэн шинэ багана үүсгэдэг (SANDWICH2.XLS файлыг (загвар ба шийдэл) харна уу).

Арга 1

1-ийн тоог тоолсноор бид эзлэх хувийг тооцоолж, дараа нь томъёог ашиглана.

zcr утгыг тусгай ердийн хуваарилалтын хүснэгтээс авдаг (жишээлбэл, 95% итгэлийн интервалд 1.96).

Энэ арга болон тодорхой өгөгдлийг ашиглан 95% интервал байгуулахад бид дараах үр дүнг олж авна (Зураг 99).
). zcr параметрийн чухал утга нь 1.96 байна. Тооцооллын стандарт алдаа нь 0.077 байна. Итгэлийн интервалын доод хязгаар нь 0.475 байна. Итгэлийн интервалын дээд хязгаар нь 0.775 байна. Тиймээс менежер шинэ бүтээгдэхүүнийг 6 ба түүнээс дээш оноогоор үнэлдэг хэрэглэгчдийн хувь 47.5-77.5 байна гэдэгт 95% итгэлтэй итгэх эрхтэй.

Арга 2

Энэ асуудлыг стандарт StatPro хэрэгслийг ашиглан шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд энэ тохиолдолд эзлэх хувь нь Төрөл баганын дундаж утгатай давхцаж байгааг тэмдэглэхэд хангалттай. Дараа нь бид өргөдөл гаргана StatPro/Статистикийн дүгнэлт/Нэг дээжийн шинжилгээТөрөл баганын дундаж (математикийн хүлээлтийг тооцоолох) итгэлийн интервалыг байгуулах. Энэ тохиолдолд олж авсан үр дүн нь 1-р аргын үр дүнтэй маш ойрхон байх болно (Зураг 99).

Стандарт хазайлтад итгэх итгэлийн интервал

s нь стандарт хазайлтын тооцоололд ашиглагддаг (томьёог 1-р хэсэгт өгсөн). Тооцооллын s-ийн нягтын функц нь хи-квадрат функц бөгөөд t-тархалтын нэгэн адил n-1 эрх чөлөөний зэрэгтэй байна. CHIDIST болон CHIINV түгээлттэй ажиллах тусгай функцууд байдаг.

Энэ тохиолдолд итгэх интервал тэгш хэмтэй байхаа болино. Уламжлалт хилийн диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 100.

Жишээ

Машин нь 10 см-ийн диаметртэй хэсгүүдийг үйлдвэрлэх ёстой боловч янз бүрийн нөхцөл байдлаас шалтгаалан алдаа гардаг. Чанарын хянагч нь хоёр нөхцөл байдалд санаа зовж байна: нэгдүгээрт, дундаж утга нь 10 см байх ёстой; хоёрдугаарт, энэ тохиолдолд ч гэсэн хазайлт их байвал олон хэсгийг үгүйсгэх болно. Тэрээр өдөр бүр 50 хэсгээс бүрдсэн дээж хийдэг (QUALITY CONTROL.XLS файлыг үзнэ үү (загвар ба шийдэл). Ийм дээж нь ямар дүгнэлт өгч чадах вэ?

Шийдэл

Дундаж ба стандарт хазайлтыг ашиглан 95% итгэлийн интервалыг байгуулъя StatPro/Статистикийн дүгнэлт/Нэг дээжийн шинжилгээ(Зураг 101
).

Дараа нь диаметрийн хэвийн тархалтын таамаглалыг ашиглан бид гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний эзлэх хувийг тооцоолж, хамгийн их хазайлтыг 0.065-аар тогтооно. Орлуулах хүснэгтийн боломжуудыг ашиглан (хоёр параметрийн тохиолдол) бид согогийн эзлэх хувь нь дундаж утга ба стандарт хазайлтаас хамаарах хамаарлыг зурах болно (Зураг 102).
).

Хоёр дундаж хоорондын зөрүүний итгэлцлийн интервал

Энэ бол статистикийн аргуудын хамгийн чухал хэрэглээний нэг юм. Нөхцөл байдлын жишээ.

Хувцасны дэлгүүрийн менежер эмэгтэй энгийн үйлчлүүлэгч дэлгүүрт эрэгтэй хүнээс хэдийг их юм уу бага зарцуулдгийг мэдэхийг хүсдэг.

Хоёр агаарын тээврийн компани ижил төстэй нислэг үйлддэг. Хэрэглэгчийн байгууллага нь хоёр агаарын тээврийн компанийн хүлээгдэж буй нислэгийн саатлын дундаж хугацааны зөрүүг харьцуулахыг хүсч байна.

Тус компани нь тодорхой төрлийн барааны купоныг нэг хотод илгээдэг, нөгөө хотод биш. Менежерүүд ирэх хоёр сарын хугацаанд эдгээр бүтээгдэхүүний дундаж худалдан авалтын хэмжээг харьцуулахыг хүсч байна.

Автомашины худалдаачин гэрлэсэн хосуудтай танилцуулга дээр ихэвчлэн харьцдаг. Танилцуулгад үзүүлэх хувийн хариу үйлдлийг ойлгохын тулд хосууд ихэвчлэн тусдаа ярилцлага хийдэг. Менежер эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийн өгсөн үнэлгээний ялгааг үнэлэхийг хүсч байна.

Бие даасан дээжийн тохиолдол

Аргын хоорондох ялгаа нь n 1 + n 2 - 2 зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий t-тархалттай байх болно. μ 1 - μ 2-ийн итгэлцлийн интервалыг дараах харьцаагаар илэрхийлнэ.

Энэ асуудлыг зөвхөн дээрх томьёог ашиглахаас гадна стандарт StatPro хэрэгслийг ашиглан шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг ашиглахад хангалттай

Пропорцын зөрүүний итгэлцлийн интервал

Хувьцааны математик хүлээлт байцгаая. n 1 ба n 2 хэмжээтэй түүврээс бүтээгдсэн тэдгээрийн түүврийн тооцоог авч үзье. Дараа нь зөрүүг тооцоолно. Иймээс энэ ялгааны итгэлийн интервалыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Энд zcr нь тусгай хүснэгтүүдийг ашиглан хэвийн тархалтаас олж авсан утга юм (жишээ нь, 95% итгэлийн интервалын хувьд 1.96).

Энэ тохиолдолд тооцооллын стандарт алдааг дараах харьцаагаар илэрхийлнэ.

.

Жишээ

Томоохон худалдаанд бэлтгэж буй тус дэлгүүр нь дараах маркетингийн судалгааг хийжээ. Шилдэг 300 худалдан авагчийг сонгож, санамсаргүй байдлаар тус бүр 150 гишүүнтэй хоёр бүлэгт хуваасан. Сонгогдсон бүх хэрэглэгчдэд хямдралд оролцох урилга илгээсэн боловч эхний бүлгийн гишүүд л 5%-ийн хөнгөлөлт үзүүлэх эрхийн бичгийг авсан. Худалдааны үеэр сонгогдсон нийт 300 худалдан авагчийн худалдан авалтыг бүртгэсэн. Менежер үр дүнг хэрхэн тайлбарлаж, купоны үр дүнтэй байдлын талаар дүгнэлт хийх вэ? (COUPONS.XLS файлыг үзнэ үү (загвар ба шийдэл)).

Шийдэл

Манай онцгой тохиолдолд хөнгөлөлтийн купон авсан 150 үйлчлүүлэгчээс 55 нь хямдралтай худалдан авалт хийсэн бол купон аваагүй 150 үйлчлүүлэгчээс ердөө 35 нь худалдан авалт хийсэн байна (Зураг 103).
). Дараа нь түүврийн пропорцын утгууд нь 0.3667 ба 0.2333 байна. Мөн тэдгээрийн хоорондох түүврийн зөрүү нь 0.1333-тай тэнцүү байна. 95%-ийн итгэлцлийн интервал гэж үзвэл хэвийн тархалтын хүснэгтээс z cr = 1.96-г олно. Түүврийн зөрүүний стандарт алдааны тооцоо нь 0.0524 байна. Эцэст нь бид 95% итгэлийн интервалын доод хязгаар нь 0.0307, ​​дээд хязгаар нь 0.2359 болохыг олж мэдэв. Хүлээн авсан үр дүнг хямдралын купон авсан 100 үйлчлүүлэгч тутамд 3-аас 23 шинэ хэрэглэгч хүлээж байхаар тайлбарлаж болно. Гэсэн хэдий ч, энэ дүгнэлт нь өөрөө купон ашиглах үр дүнтэй гэсэн үг биш гэдгийг бид санаж байх ёстой (хөнгөлөлт үзүүлснээр бид ашиг алддаг!). Үүнийг тодорхой тоо баримтаар харуулъя. Худалдан авалтын дундаж хэмжээ 400 рубль, үүнээс 50 рубль байна гэж үзье. дэлгүүрт ашиг бий. Дараа нь купон аваагүй 100 үйлчлүүлэгчийн хүлээгдэж буй ашиг нь:

50 0.2333 100 = 1166.50 урэх.

Купон хүлээн авсан 100 үйлчлүүлэгчийн ижил төстэй тооцоолол нь:

30 0.3667 100 = 1100.10 урэх.

Дундаж ашиг 30 болж буурсан нь хөнгөлөлтийг ашигласнаар купон авсан үйлчлүүлэгчид дунджаар 380 рублийн худалдан авалт хийх болно гэж тайлбарлаж байна.

Тиймээс эцсийн дүгнэлт нь тухайн нөхцөл байдалд ийм купон ашиглах нь үр дүнгүй болохыг харуулж байна.

Сэтгэгдэл. Энэ асуудлыг стандарт StatPro хэрэгслийг ашиглан шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд энэ асуудлыг тухайн аргыг ашиглан хоёр дундажийн зөрүүг тооцоолох асуудал болгон бууруулж, дараа нь хэрэглэхэд хангалттай. StatPro/Статистикийн дүгнэлт/Хоёр дээжийн шинжилгээхоёр дундаж утгын зөрүүний итгэлцлийн интервалыг байгуулах.

Итгэлийн интервалын уртыг хянах

Итгэлийн интервалын урт нь үүнээс хамаарна дараах нөхцөлүүд:

өгөгдөл шууд (стандарт хазайлт);

ач холбогдлын түвшин;

дээжийн хэмжээ.

Дундаж тооцооллын түүврийн хэмжээ

Эхлээд асуудлыг ерөнхийд нь авч үзье. Бидэнд өгөгдсөн итгэлийн интервалын хагасын уртын утгыг B гэж тэмдэглэе (Зураг 104).
). Зарим X санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын итгэлцлийн интервалыг дараах байдлаар илэрхийлдэг гэдгийг бид мэднэ , Хаана . Итгэж байна:

n-г илэрхийлбэл бид .

Харамсалтай нь бид X санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн яг тодорхой утгыг мэдэхгүй байна. Нэмж дурдахад tcr-ийн үнэ цэнийг бид мэдэхгүй, учир нь энэ нь n-ээс эрх чөлөөний зэрэглэлийн тооноос хамаардаг. Энэ тохиолдолд бид дараахь зүйлийг хийж болно. Дисперсийн оронд бид судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит хэрэгжилт дээр үндэслэн хэлбэлзлийн зарим тооцоог ашигладаг. Бид хэвийн тархалтын хувьд t cr утгын оронд z cr утгыг ашигладаг. Энэ нь хэвийн ба t-тархалтын нягтын функцууд маш ойрхон (жижиг n-ээс бусад тохиолдолд) тул үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой. Тиймээс шаардлагатай томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Томъёо нь ерөнхийдөө бүхэл бус үр дүнг өгдөг тул үр дүнгийн илүүдэлтэй дугуйрсан дүнг хүссэн түүврийн хэмжээ болгон авна.

Жишээ

Түргэн хоолны газар шинэ төрлийн сэндвичээр нэр төрлөө өргөжүүлэхээр төлөвлөж байна. Үүний эрэлтийг үнэлэхийн тулд менежер үүнийг туршиж үзсэн хүмүүсээс санамсаргүй байдлаар хэд хэдэн зочдыг сонгож, шинэ бүтээгдэхүүнд хандах хандлагыг 1-ээс 10 хүртэлх оноогоор үнэлэхийг хүсэхээр төлөвлөж байна. шинэ бүтээгдэхүүн хүлээн авах онооны хүлээгдэж буй тоо, энэ тооцоонд 95% итгэлийн интервалыг бий болгох. Үүний зэрэгцээ тэрээр итгэлийн интервалын хагас өргөнийг 0.3-аас хэтрэхгүй байхыг хүсч байна. Түүнд хэдэн зочин ярилцлага өгөх шаардлагатай вэ?

иймэрхүү харагдаж байна:

Энд r ots p пропорцын тооцоо, B нь итгэлийн интервалын өгөгдсөн хагасын урт. Утгыг ашиглан n-ийн хэт их үнэлгээг гаргаж болно r ots= 0.5. Энэ тохиолдолд итгэлцлийн интервалын урт нь p-ийн ямар ч үнэн утгын хувьд заасан B утгаас хэтрэхгүй байх болно.

Жишээ

Өмнөх жишээн дээрх менежерт шинэ төрлийн бүтээгдэхүүнийг илүүд үздэг хэрэглэгчдийн эзлэх хувийг тооцоолохыг төлөвлө. Тэрээр хагас урт нь 0.05-аас хэтрэхгүй 90% итгэлийн интервал байгуулахыг хүсч байна. Санамсаргүй түүвэрт хэдэн үйлчлүүлэгч багтах ёстой вэ?

Шийдэл

Манай тохиолдолд z cr-ийн утга 1.645 байна. Тиймээс шаардлагатай тоо хэмжээг дараах байдлаар тооцно .

Хэрэв менежер хүссэн p-утга нь жишээлбэл, ойролцоогоор 0.3 байна гэж үзэх үндэслэлтэй байсан бол энэ утгыг дээрх томьёонд орлуулснаар бид санамсаргүй түүврийн утга болох 228 гэсэн жижиг утгыг авах болно.

Тодорхойлох томъёо хоёр дундаж хоорондын зөрүү тохиолдолд санамсаргүй түүврийн хэмжээгэж бичсэн:

.

Жишээ

Зарим компьютерийн компанид хэрэглэгчийн үйлчилгээний төв байдаг. Сүүлийн үед үйлчлүүлэгчид үйлчилгээний чанар муу байна гэсэн гомдол ихсэх болсон. Үйлчилгээний төвд туршлага багатай ч тусгай бэлтгэл дамжаанд суралцсан, практикийн арвин туршлагатай боловч тусгай дамжаанд хамрагдаагүй хүмүүс гэсэн хоёр төрлийн ажилчин ажилладаг. Тус компани сүүлийн зургаан сарын хугацаанд үйлчлүүлэгчдээс ирсэн гомдолд дүн шинжилгээ хийж, хоёр бүлгийн ажилчдын гомдлын дундаж тоог харьцуулахыг хүсч байна. Хоёр бүлгийн түүврийн тоо ижил байх болно гэж таамаглаж байна. Хагас урт нь 2-оос ихгүй 95% интервалыг авахын тулд түүвэрт хэдэн ажилчдыг оруулах ёстой вэ?

Шийдэл

Энд σ ots нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний аль алиных нь ойролцоо байна гэсэн таамаглалын дагуу стандарт хазайлтын тооцоолол юм. Тиймээс бидний асуудалд бид ямар нэгэн байдлаар энэ тооцоог олж авах шаардлагатай байна. Үүнийг жишээ нь дараах байдлаар хийж болно. Сүүлийн зургаан сарын хугацаанд үйлчлүүлэгчдээс ирсэн гомдлын талаарх мэдээллийг хараад менежер ажилтан бүр 6-36 гомдол хүлээн авч байгааг анзаарч магадгүй юм. Хэвийн тархалтын хувьд бараг бүх утгууд нь дунджаас гурваас илүүгүй стандарт хазайлттай байдаг гэдгийг мэдээд тэрээр дараахь зүйлийг үндэслэлтэй гэж үзэж болно.

, эндээс σ ots = 5 байна.

Энэ утгыг томъёонд орлуулснаар бид олж авна .

Тодорхойлох томъёо харьцаа хоорондын зөрүүг тооцоолох тохиолдолд санамсаргүй түүврийн хэмжээхэлбэртэй байна:

Жишээ

Зарим компани ижил төстэй бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг хоёр үйлдвэртэй байдаг. Компанийн менежер хоёр үйлдвэрийн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний хувийг харьцуулахыг хүсч байна. Боломжтой мэдээллээр хоёр үйлдвэрийн согогийн түвшин 3-5% хооронд хэлбэлздэг. Энэ нь 0.005 (эсвэл 0.5%)-аас ихгүй хагас урттай 99% итгэлийн интервалыг бий болгох зорилготой юм. Үйлдвэр бүрээс хэдэн бүтээгдэхүүн сонгох ёстой вэ?

Шийдэл

Энд p 1ots ба p 2ots нь 1 ба 2-р үйлдвэрт гарсан үл мэдэгдэх 2 доголдлын тооцоо юм. Хэрэв бид p 1ots = p 2ots = 0.5 гэж үзвэл n-ийн хэт их үнэлэгдсэн утгыг авна. Гэхдээ манай тохиолдолд эдгээр хувьцааны талаар урьдчилсан мэдээлэл байгаа тул бид эдгээр хувьцааны дээд үнэлгээг 0.05 гэж авдаг. Бид авдаг

Түүврийн өгөгдлөөс зарим популяцийн параметрүүдийг тооцоолохдоо тухайн параметрийн цэгийн үнэлгээг өгөхөөс гадна үнэлж буй параметрийн яг хаана байж болохыг харуулсан итгэлийн интервалыг өгөх нь зүйтэй.

Энэ бүлэгт бид янз бүрийн параметрийн хувьд ийм интервалыг бий болгох боломжийг олгодог тоон харьцаатай танилцсан; итгэлийн интервалын уртыг хянах арга замыг сурсан.

Түүврийн хэмжээг тооцоолох асуудлыг (туршилтыг төлөвлөх асуудал) стандарт StatPro хэрэгслийг ашиглан шийдэж болохыг анхаарна уу. StatPro/Statistical Inference/Sample Size Selection.

Итгэлийн интервал(CI; англи хэлээр, итгэлийн интервал - CI) түүвэр бүхий судалгаагаар олж авсан эдгээр бүх өвчтөнүүдийн (нийт хүн ам) популяцийн талаар дүгнэлт гаргахын тулд судалгааны үр дүнгийн нарийвчлал (эсвэл тодорхой бус) хэмжигдэхүүнийг өгдөг. 95% CI-ийн зөв тодорхойлолтыг дараах байдлаар томъёолж болно: Ийм интервалын 95% нь популяцийн жинхэнэ утгыг агуулна. Энэ тайлбар нь арай бага нарийвчлалтай: CI нь жинхэнэ утгыг агуулсан гэдэгт 95% итгэлтэй байж болох утгуудын хүрээ юм. CI-г ашиглахдаа статистикийн ач холбогдлыг шалгах замаар олж авсан P утгын эсрэг тоон үр нөлөөг тодорхойлоход онцгой анхаарал хандуулдаг. P утга нь ямар ч хэмжигдэхүүнийг тооцдоггүй, харин "үр нөлөөгүй" гэсэн хоосон таамаглалын эсрэг нотлох баримтын бат бөх байдлын хэмжүүр болдог. P-ийн утга нь ялгааны хэмжээ, тэр ч байтугай түүний чиглэлийн талаар бидэнд юу ч хэлж чадахгүй. Тиймээс бие даасан P утгууд нь нийтлэл эсвэл хураангуйд огт мэдээлэлгүй байдаг. Үүний эсрэгээр, CI нь эмчилгээний ашиг тус зэрэг шууд ашиг сонирхлын нөлөөний хэмжээ, нотлох баримтын хүчийг хоёуланг нь заадаг. Тиймээс ДИ нь ЭБМ-ийн дадлагатай шууд холбоотой.

CI-ийн жишээнд дурьдсан статистикийн шинжилгээний үнэлгээний арга нь сонирхлын нөлөөний хэмжээг (оношлогооны тестийн мэдрэмж, урьдчилан таамагласан тохиолдлын түвшин, эмчилгээтэй харьцуулахад харьцангуй эрсдэлийг бууруулах гэх мэт) хэмжихэд чиглэгддэг. нөлөө. Ихэнх тохиолдолд CI нь бодит үнэ цэнэ худал байж болох тооцооллын хоёр талын утгын муж бөгөөд та үүнд 95% итгэлтэй байж болно. 95% -ийн магадлалыг ашиглах тохиролцоо нь P утгын адил дур зоргоороо байдаг.<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

CI нь өвчтөнүүдийн өөр өөр дээж дээр хийсэн ижил судалгаа нь ижил үр дүнд хүрэхгүй, харин үр дүн нь үнэн боловч үл мэдэгдэх утгын эргэн тойронд тархах болно гэсэн санаан дээр суурилдаг. Өөрөөр хэлбэл, CI үүнийг "түүвэрээс хамааралтай хувьсагч" гэж тодорхойлдог. CI нь бусад шалтгааны улмаас нэмэлт тодорхойгүй байдлыг тусгаагүй; тухайлбал, сонгон шалгаруулалтын алдагдлын нөлөөлөл, дагаж мөрдөх чадвар муу эсвэл үр дүнг буруу хэмжих, сохрохгүй байх гэх мэтийг оруулаагүй болно. Тиймээс CI нь тодорхойгүй байдлын нийт хэмжээг үргэлж дутуу үнэлдэг.

Итгэлийн интервалын тооцоо

Хүснэгт А1.1. Сонгосон эмнэлзүйн хэмжилтийн стандарт алдаа ба итгэлийн интервал

Ихэвчлэн CI-ийг хоёр пропорциональ харьцааны зөрүү (d) болон уг зөрүүг тооцоолох стандарт алдаа (SE) зэрэг хэмжигдэхүүний ажиглагдсан тооцоололд үндэслэн тооцдог. Энэ аргаар олж авсан ойролцоогоор 95% CI нь d ± 1.96 SE байна. Томъёо нь үр дүнгийн хэмжүүрийн шинж чанар болон CI-ийн хамрах хүрээний дагуу өөрчлөгддөг. Жишээ нь, цээжний хөхүүл ханиадны эсрэг вакцины санамсаргүй байдлаар, плацебо хяналттай туршилтаар вакцин хийлгэсэн 1670 нярайн 72 (4.3%) нь хөхүүл ханиад, 1665 хүүхдийн 240 (14.4%) нь хяналтын бүлэгт өвчилсөн байна. Үнэмлэхүй эрсдэлийг бууруулах гэж нэрлэгддэг хувийн зөрүү нь 10.1% байна. Энэ зөрүүний SE нь 0.99% байна. Үүний дагуу 95% CI нь 10.1% + 1.96 x 0.99%, i.e. 8.2-оос 12.0 хүртэл.

Философийн янз бүрийн арга барилтай хэдий ч CI болон статистикийн ач холбогдлын тестүүд нь математикийн хувьд нягт холбоотой байдаг.

Тиймээс P утга нь "чухал", өөрөөр хэлбэл. Р<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

CI-д илэрхийлсэн тооцооллын тодорхой бус байдал (тодорхой бус) нь түүврийн хэмжээсийн квадрат язгууртай ихээхэн хамааралтай байдаг. Жижиг дээж нь том хэмжээтэй харьцуулахад бага мэдээлэл өгдөг бөгөөд CI нь жижиг түүвэрт илүү өргөн байдаг. Жишээлбэл, Хеликобактер пилоригийн халдварыг оношлоход ашигласан гурван шинжилгээний үр дүнг харьцуулсан нийтлэлд мочевин амьсгалын сорил 95.8% (95% CI 75-100) мэдрэмтгий гэж мэдээлсэн. Хэдийгээр 95.8% нь гайхалтай боловч J. pylori-тэй насанд хүрсэн 24 өвчтөний жижиг түүвэр нь энэ тооцоонд ихээхэн эргэлзээтэй байгааг харуулж байна. Үнэхээр доод хязгаар болох 75% нь 95.8% гэсэн тооцооноос хамаагүй доогуур байна. Хэрэв 240 хүний ​​түүвэрт ижил мэдрэмж ажиглагдсан бол 95% CI нь 92.5-98.0 байх бөгөөд энэ нь тест нь өндөр мэдрэмжтэй гэсэн баталгаа өгөх болно.

Санамсаргүй хяналттай туршилтуудад (RCTs) ач холбогдолгүй үр дүн (жишээ нь, P >0.05-тай үр дүн) нь буруу тайлбарлахад онцгой өртөмтгий байдаг. Үр дүн нь эмнэлзүйн хувьд ашигтай бодит үр дүнтэй хэр нийцэж байгааг харуулдаг тул CI нь энд онцгой ач холбогдолтой юм. Жишээлбэл, бүдүүн гэдэсний оёдол ба үндсэн анастомозыг харьцуулсан RCT-д шархны халдвар өвчтөнүүдийн 10.9% ба 13.5% -д тус тус үүссэн (P = 0.30). Энэ ялгааны 95% CI нь 2.6% (−2-аас +8) байна. 652 өвчтөнийг хамруулсан энэхүү судалгаанд ч гэсэн хоёр процедурын үр дүнд халдварын тохиолдол бага зэрэг ялгаатай байх боломжтой хэвээр байна. Судалгаа бага байх тусам тодорхойгүй байдал нэмэгдэнэ. Сунг нар. 100 өвчтөнд цочмог венийн цус алдалтын үед октреотид дусаахыг цочмог склеротерапиятай харьцуулах зорилгоор RCT хийсэн. Октреотидын бүлэгт цус алдалтыг хянах түвшин 84%; sclerotherapy бүлэгт - 90%, P = 0.56 өгдөг. Үргэлжилсэн цус алдалтын түвшин нь дурдсан судалгаанд шархны халдвартай төстэй байгааг анхаарна уу. Гэхдээ энэ тохиолдолд интервенц хоорондын зөрүүний 95% CI нь 6% (−7-аас +19) байна. Энэ хүрээ нь эмнэлзүйн сонирхол татахуйц 5% -ийн зөрүүтэй харьцуулахад нэлээд өргөн юм. Судалгаа нь үр дүнтэй байдлын мэдэгдэхүйц ялгааг үгүйсгэхгүй нь ойлгомжтой. Тиймээс зохиогчдын "октреотид дусаах болон склеротерапевтик эмчилгээ нь венийн судаснуудаас цус алдалтыг эмчлэхэд адилхан үр дүнтэй байдаг" гэсэн дүгнэлт нь хүчингүй юм. Энд байгаа шиг үнэмлэхүй эрсдэлийг бууруулах 95% CI (ARR) нь тэгийг багтаасан тохиолдолд NNT-ийн CI (эмчилгээ хийхэд шаардлагатай тоо)-ийг тайлбарлахад нэлээд хэцүү байдаг. Чанаргүй зээл ба түүний CI-ийг ACP-ийн харилцан тооцооноос гаргаж авдаг (хэрэв эдгээр утгыг хувиар өгсөн бол 100-аар үржүүлнэ). Эндээс бид NPL = 100: 6 = 16.6-г 95% CI -14.3-аас 5.3 хүртэл авна. Хүснэгтийн "d" зүүлт тайлбараас харж болно. A1.1, энэ CI нь чанаргүй зээлийн 5.3-аас хязгааргүй, 14.3-аас хязгааргүй хүртэлх чанаргүй зээлийн утгыг агуулдаг.

CI-г хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг статистик тооцоолол эсвэл харьцуулалтад зориулж байгуулж болно. RCT-ийн хувьд энэ нь дундаж хувь хэмжээ, харьцангуй эрсдэл, магадлалын харьцаа, NLR-ийн ялгааг агуулдаг. Үүний нэгэн адил оношилгооны тестийн нарийвчлалын судалгаанд хийсэн бүх гол тооцоололд CI-г авч болно - мэдрэмж, өвөрмөц байдал, эерэг таамаглах утга (бүгд нь энгийн пропорцууд), магадлалын харьцаанууд - мета-шинжилгээ, хяналттай харьцуулалтаар олж авсан тооцоолол. судалдаг. MDI-ийн эдгээр олон хэрэглээг хамарсан персонал компьютерийн программыг Statistics with Confidence сэтгүүлийн хоёр дахь хэвлэлээр авах боломжтой. Пропорцын CI-ийг тооцоолох макрог Excel болон статистикийн SPSS, Minitab программууд дээр http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/research/statistics/proportions, htm хаягаар үнэ төлбөргүй авах боломжтой.

Эмчилгээний үр дүнгийн олон тооны тооцоолол

Анхан шатны судалгааны үр дүнд CI нь зүйтэй боловч бүх үр дүнд зайлшгүй шаардлагатай биш юм. CI нь эмнэлзүйн хувьд чухал харьцуулалтад хамаатай. Жишээ нь, хоёр бүлгийг харьцуулахдаа дээрх жишээнүүдэд үзүүлсэн шиг бүлгүүдийн хоорондын зөрүүг харгалзан зөв CI-г гаргаж өгөх ба бүлэг тус бүрийн тооцоонд зориулж гаргаж болох CI биш. Бүлэг бүрийн тооцоололд тус тусад нь CI-г өгөх нь тус болохгүйгээс гадна энэхүү танилцуулга нь төөрөгдүүлж болзошгүй юм. Үүний нэгэн адил өөр өөр дэд бүлгүүдийн эмчилгээний үр дүнг харьцуулах зөв арга бол хоёр (эсвэл түүнээс дээш) дэд бүлгийг шууд харьцуулах явдал юм. Хэрэв CI нь ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй байх утгыг хасч, бусад бүлэгт үзүүлэхгүй бол эмчилгээг зөвхөн нэг дэд бүлэгт үр дүнтэй гэж үзэх нь буруу юм. CI нь олон дэд бүлгүүдийн үр дүнг харьцуулах үед бас хэрэгтэй. Зураг дээр. А 1.1 нь магнийн сульфатын плацебо хяналттай RCT-ийн дэд бүлгийн эмэгтэйчүүдийн преэклампси өвчтэй эмэгтэйчүүдэд эклампси үүсэх харьцангуй эрсдлийг харуулж байна.

Цагаан будаа. A1.2. Ойн талбай нь суулгалт өвчнөөс урьдчилан сэргийлэх зорилгоор үхрийн ротавирусын вакцины санамсаргүй 11 эмнэлзүйн туршилтын үр дүнг плацеботой харьцуулахад харуулж байна. Суулгалт өвчний харьцангуй эрсдлийг тооцоолохын тулд 95% итгэлийн интервалыг ашигласан. Хар дөрвөлжингийн хэмжээ нь мэдээллийн хэмжээтэй пропорциональ байна. Нэмж дурдахад эмчилгээний үр дүнгийн хураангуй тооцоолол ба 95% итгэлийн интервалыг (очир алмаазаар тэмдэглэсэн) харуулав. Мета-шинжилгээнд урьдчилан тодорхойлсон зарим загвараас том санамсаргүй эффектийн загварыг ашигласан; жишээлбэл, энэ нь түүврийн хэмжээг тооцоолоход ашигласан хэмжээ байж болно. Илүү хатуу шалгуур нь бүхэл бүтэн CI хүрээ нь урьдчилан тогтоосон доод хэмжээнээс илүү үр ашгийг харуулахыг шаарддаг.

Статистикийн ач холбогдол багатай нь хоёр эмчилгээ адилхан үр дүнтэй байдаг гэсэн буруу ойлголтыг бид аль хэдийн хэлэлцсэн. Статистикийн ач холбогдлыг эмнэлзүйн ач холбогдлоор нь тооцохгүй байх нь адил чухал юм. Үр дүн нь статистикийн хувьд ач холбогдолтой, эмчилгээний үр дүнгийн үнэлгээний цар хүрээтэй үед эмнэлзүйн ач холбогдлыг тооцож болно.

Судалгааны үр дүн нь статистикийн хувьд чухал, аль нь эмнэлзүйн хувьд чухал, аль нь биш гэдгийг харуулж чадна. Зураг дээр. A1.2 нь CI-ийг бүхэлд нь харуулсан дөрвөн туршилтын үр дүнг харуулав<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

Ихэнхдээ үнэлгээчин тухайн үл хөдлөх хөрөнгийн зах зээлийг үнэлж буй сегментийн үл хөдлөх хөрөнгийн зах зээлд дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай болдог. Хэрэв зах зээл хөгжсөн бол танилцуулсан объектуудыг бүхэлд нь шинжлэхэд хүндрэлтэй байж болох тул дүн шинжилгээ хийхэд объектын дээжийг ашигладаг. Энэ дээж нь үргэлж нэг төрлийн байдаггүй; Энэ зорилгоор үүнийг ашигладаг итгэлийн интервал. Энэхүү судалгааны зорилго нь итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хоёр аргын харьцуулсан дүн шинжилгээ хийж, estimatica.pro систем дэх өөр өөр дээжтэй ажиллахдаа оновчтой тооцоолох хувилбарыг сонгох явдал юм.

Итгэлийн интервал гэдэг нь түүврийн үндсэн дээр тооцоолсон шинж чанарын утгуудын интервал бөгөөд энэ нь мэдэгдэж буй магадлалаар ерөнхий популяцийн тооцоолсон параметрийг агуулдаг.

Итгэлийн интервалыг тооцоолох гол зорилго нь түүврийн өгөгдөл дээр үндэслэн ийм интервалыг байгуулах бөгөөд ингэснээр тооцоолсон параметрийн утга энэ интервалд байгаа эсэхийг өгөгдсөн магадлалаар хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл итгэлийн интервал нь тодорхой магадлал бүхий тооцоолсон утгын үл мэдэгдэх утгыг агуулна. Интервал илүү өргөн байх тусам алдаа их байх болно.

Итгэлийн интервалыг тодорхойлох өөр өөр аргууд байдаг. Энэ нийтлэлд бид 2 аргыг авч үзэх болно.

• дундаж ба стандарт хазайлтаар;
• t-статистикийн чухал утгаар (Оюутны коэффициент).

CI-ийг тооцоолох янз бүрийн аргуудын харьцуулсан шинжилгээний үе шатууд:

1. өгөгдлийн дээжийг бүрдүүлэх;

2. бид үүнийг статистикийн аргуудыг ашиглан боловсруулдаг: дундаж утга, медиан, дисперс гэх мэтийг тооцдог;

3. итгэлийн интервалыг хоёр аргаар тооцоолох;

4. цэвэрлэсэн дээж болон үр дүнд нь итгэх интервалд дүн шинжилгээ хийнэ.

Үе шат 1. Өгөгдлийн түүвэрлэлт

Түүврийг estimatica.pro системийг ашиглан үүсгэсэн. Түүвэрт “Хрущев” маягийн зохион байгуулалттай 3-р үнийн бүсэд 1 өрөө байр худалдах 91 саналыг оруулсан.

Хүснэгт 1. Анхны дээж

Зураг 1. Анхны дээж

Үе шат 2. Анхны дээжийг боловсруулах

Статистикийн аргыг ашиглан дээжийг боловсруулахын тулд дараахь утгыг тооцоолох шаардлагатай.

1. Арифметик дундаж

2. Медиан нь түүврийг тодорхойлох тоо юм: түүврийн элементүүдийн яг тал хувь нь медианаас их, нөгөө тал нь медианаас бага байна.

(сондгой тооны утга бүхий дээжийн хувьд)

3. Хүрээ - дээж дэх хамгийн их ба хамгийн бага утгын зөрүү

4. Variance - өгөгдлийн өөрчлөлтийг илүү нарийвчлалтай тооцоолоход ашигладаг

5. Түүврийн стандарт хазайлт (цаашид - SD) нь арифметик дундажийн эргэн тойронд тохируулгын утгуудын тархалтын хамгийн түгээмэл үзүүлэлт юм.

6. Вариацын коэффициент - тохируулгын утгуудын тархалтын зэргийг илэрхийлнэ

7. хэлбэлзлийн коэффициент - түүвэр дэх үнийн хэт утгын дундаж хэлбэлзлийн харьцангуй хэлбэлзлийг тусгадаг.

Хүснэгт 2. Анхны түүврийн статистик үзүүлэлт

Өгөгдлийн нэгэн төрлийн байдлыг тодорхойлдог вариацын коэффициент нь 12.29%, харин хэлбэлзлийн коэффициент нь хэт өндөр байна. Тиймээс бид анхны дээж нь нэгэн төрлийн биш гэж хэлж болох тул итгэлийн интервалыг тооцоолоход шилжье.

Үе шат 3. Итгэлийн интервалын тооцоо

Арга 1. Дундаж ба стандарт хазайлтыг ашиглан тооцоолох.

Итгэлийн интервалыг дараах байдлаар тодорхойлно: хамгийн бага утга - стандарт хазайлтыг дундажаас хасна; хамгийн их утга - стандарт хазайлтыг медиан дээр нэмнэ.

Тиймээс итгэлийн интервал (47179 CU; 60689 CU)

Цагаан будаа. 2. Итгэлийн интервалд багтах утгууд 1.

Арга 2. t-статистикийн критик утгыг ашиглан итгэлцлийн интервал байгуулах (Оюутны коэффициент)

С.В. Грибовский "Хөрөнгийн үнэ цэнийг тооцоолох математикийн аргууд" номондоо Оюутны коэффициентээр дамжуулан итгэлцлийн интервалыг тооцоолох аргыг тодорхойлсон. Энэ аргыг ашиглан тооцоолохдоо үнэлэгч нь итгэлийн интервалыг бий болгох магадлалыг тодорхойлдог ач холбогдлын түвшинг ∝ өөрөө тохируулах ёстой. Ихэвчлэн 0.1-ийн ач холбогдлын түвшинг ашигладаг; 0.05 ба 0.01. Тэд 0.9-ийн итгэлийн магадлалд тохирч байна; 0.95 ба 0.99. Энэ аргын тусламжтайгаар математикийн хүлээлт ба дисперсийн жинхэнэ утгыг бараг үл мэдэгдэх гэж үздэг (энэ нь практик тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд бараг үргэлж үнэн байдаг).

Итгэлийн интервалын томъёо:

n - дээжийн хэмжээ;

t-статистикийн чухал утга (Оюутны тархалт) ач холбогдлын түвшин ∝, эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо n-1, тусгай статистикийн хүснэгтүүд эсвэл MS Excel (→"Статистик"→ STUDIST) ашиглан тодорхойлсон;

∝ - ач холбогдлын түвшин, ∝=0.01 гэж авна.

Цагаан будаа. 2. Итгэлийн интервалд багтах утгууд 2.

Үе шат 4. Итгэлийн интервалыг тооцоолох янз бүрийн аргуудын шинжилгээ

Итгэлийн интервалыг тооцоолох хоёр арга - медиан ба Оюутны коэффициентээр дамжуулан интервалын өөр өөр утгыг бий болгосон. Үүний дагуу бид хоёр өөр цэвэрлэсэн дээж авсан.

Хүснэгт 3. Гурван дээжийн статистик.

Гүйцэтгэсэн тооцоонд үндэслэн бид янз бүрийн аргаар олж авсан итгэлцлийн интервалын утгууд огтлолцдог гэж хэлж болно, тиймээс та үнэлгээчний үзэмжээр тооцооллын аль ч аргыг ашиглаж болно.

Гэсэн хэдий ч estimatica.pro системд ажиллахдаа зах зээлийн хөгжлийн түвшингээс хамааран итгэлцлийн интервалыг тооцоолох аргыг сонгох нь зүйтэй гэж бид үзэж байна.

• хэрэв зах зээл хөгжөөгүй бол энэ тохиолдолд тэтгэвэрт гарсан объектын тоо бага байгаа тул дундаж ба стандарт хазайлтыг ашиглан тооцоолох аргыг ашиглана;
• Хэрэв зах зээл хөгжсөн бол том хэмжээний анхны түүврийг бүрдүүлэх боломжтой тул тооцооллыг t-статистикийн эгзэгтэй утгыг (Оюутны коэффициент) ашиглана.

Нийтлэлийг бэлтгэхдээ дараахь зүйлийг ашигласан болно.

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Эд хөрөнгийн үнэ цэнийг үнэлэх математик аргууд. Москва, 2014 он

2. Системийн өгөгдөл estimatica.pro

Өмнөх дэд хэсгүүдэд бид үл мэдэгдэх параметрийг тооцоолох асуудлыг авч үзсэн Анэг тоо. Үүнийг "цэг" тооцоо гэж нэрлэдэг. Хэд хэдэн даалгаварт та зөвхөн параметрийг хайх шаардлагагүй Атохиромжтой тоон утга, гэхдээ түүний нарийвчлал, найдвартай байдлыг үнэлэх. Параметрийг солиход ямар алдаа гарч болохыг мэдэх хэрэгтэй Атүүний цэгийн тооцоо АЭдгээр алдаа нь мэдэгдэж буй хязгаараас хэтрэхгүй гэдэгт бид ямар итгэлтэй байж болох вэ?

Энэ төрлийн асуудал нь цэгийг тооцоолоход цөөн тооны ажиглалт хийхэд онцгой хамааралтай байдаг болон доторихэвчлэн санамсаргүй бөгөөд a-г ойролцоогоор солих нь ноцтой алдаа гаргахад хүргэдэг.

Тооцооллын үнэн зөв, найдвартай байдлын талаар ойлголт өгөх А,

Математик статистикт итгэлцлийн интервал ба итгэлийн магадлалыг ашигладаг.

Параметрийг авч үзье Атуршлагаас олж авсан шударга бус тооцоо А.Бид энэ тохиолдолд гарч болзошгүй алдааг тооцоолохыг хүсч байна. p магадлал бүхий үйл явдлыг практикт найдвартай гэж үзэж болохуйц хангалттай том p магадлалыг (жишээлбэл, p = 0.9, 0.95 эсвэл 0.99) оноож, s утгыг олъё.

Дараа нь солих явцад үүссэн алдааны практик боломжит утгуудын хүрээ Адээр А, ± s байх болно; Үнэмлэхүй утгын том алдаа нь зөвхөн бага магадлалтай a = 1 - p гарч ирнэ. (14.3.1)-ийг дараах байдлаар дахин бичье.

Тэгш байдал (14.3.2) гэдэг нь p магадлалтайгаар параметрийн үл мэдэгдэх утгыг илэрхийлнэ Аинтервалд багтдаг

Нэг нөхцөл байдлыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Өмнө нь бид өгөгдсөн санамсаргүй бус интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалыг олон удаа авч үзсэн. Энд нөхцөл байдал өөр байна: хэмжээ Асанамсаргүй биш, харин интервал / p нь санамсаргүй юм. Түүний x тэнхлэг дээрх байрлал нь санамсаргүй бөгөөд төвөөр нь тодорхойлогддог А; Ерөнхийдөө s-ийн утгыг туршилтын өгөгдлөөр тооцдог тул 2s интервалын урт нь бас санамсаргүй байдаг. Тиймээс, энэ тохиолдолд p утгыг цэгийг "цохих" магадлал гэж биш харин тайлбарлах нь дээр Аинтервалд / p, мөн санамсаргүй интервал / p цэгийг хамрах магадлалын хувьд А(Зураг 14.3.1).

Цагаан будаа. 14.3.1

p магадлалыг ихэвчлэн гэж нэрлэдэг итгэх магадлал, ба интервал / p - итгэлийн интервал.Интервалын хил хязгаар Хэрэв. a x =a-с ба a 2 = a +болон дуудагддаг итгэлцлийн хил хязгаар.

Итгэлийн интервалын тухай ойлголтын өөр тайлбарыг өгье: үүнийг параметрийн утгын интервал гэж үзэж болно. А,туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байгаа бөгөөд тэдгээртэй зөрчилдөхгүй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид a = 1-p магадлалтай үйл явдлыг бараг боломжгүй гэж үзэхийг зөвшөөрвөл a параметрийн утгууд нь a - a> s нь туршилтын өгөгдөлтэй зөрчилдөж байгааг хүлээн зөвшөөрөх ёстой бөгөөд тэдгээр нь |a - А a t na 2.

Параметрийг авч үзье Анэг талыг барьсан тооцоо байдаг А.Хэрэв бид тоо хэмжээний хуваарилалтын хуулийг мэддэг байсан бол А, итгэлийн интервалыг олох даалгавар нь маш энгийн байх болно: s утгыг олоход хангалттай байх болно.

Хэцүү нь тооцооллын хуваарилалтын хууль юм Ахэмжигдэхүүний тархалтын хуулиас хамаарна Xулмаар түүний үл мэдэгдэх параметрүүд дээр (ялангуяа параметр дээр A).

Энэ бэрхшээлийг даван туулахын тулд та дараах ойролцоо аргыг ашиглаж болно: s-ийн илэрхийлэл дэх үл мэдэгдэх параметрүүдийг цэгийн тооцоогоор солино. Харьцангуй олон тооны туршилтуудтай n(20...30 орчим) энэ техник нь ихэвчлэн нарийвчлалын хувьд хангалттай үр дүнг өгдөг.

Жишээлбэл, математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервалын асуудлыг авч үзье.

Үүнийг үйлдвэрлэе n X,шинж чанарууд нь математикийн хүлээлт юм Тболон хэлбэлзэл Д- үл мэдэгдэх. Эдгээр параметрүүдийн хувьд дараахь тооцоог хийсэн.

Математикийн хүлээлтэд итгэх магадлал p-д харгалзах итгэлийн интервал / p байгуулах шаардлагатай. Ттоо хэмжээ X.

Энэ асуудлыг шийдэхдээ бид тоо хэмжээг ашиглах болно Тнийлбэрийг илэрхийлнэ nбие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xhмөн төв хязгаарын теоремын дагуу хангалттай том nтүүний тархалтын хууль хэвийн хэмжээнд ойрхон байна. Практикт харьцангуй цөөн тооны нэр томьёотой ч (10...20 орчим) нийлбэрийн тархалтын хуулийг ойролцоогоор хэвийн гэж үзэж болно. Бид үнэ цэнийг тооцох болно Тердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Энэ хуулийн шинж чанарууд - математикийн хүлээлт ба дисперс нь тэнцүү байна ТТэгээд

(13-р бүлгийн 13.3-ыг үзнэ үү). үнэ цэнэ гэж үзье ДБид Ep-ийн үнэ цэнийг мэдэж, олох болно

6-р бүлгийн (6.3.5) томъёог ашиглан бид (14.3.5)-ын зүүн талын магадлалыг хэвийн тархалтын функцээр илэрхийлнэ.

тооцооны стандарт хазайлт хаана байна Т.

Eq-аас.

Sp-ийн утгыг ол:

arg Ф* (х) нь Ф*-ийн урвуу функц юм. (X),тэдгээр. хэвийн тархалтын функц нь тэнцүү байх аргументийн ийм утга X.

Тархалт D,үүгээр тоо хэмжээг илэрхийлнэ А 1P, бид яг таг мэдэхгүй байна; түүний ойролцоо утгын хувьд та тооцооллыг ашиглаж болно Д(14.3.4) ба ойролцоогоор:

Ийнхүү итгэлцлийн интервалыг бий болгох асуудлыг ойролцоогоор шийдсэн бөгөөд энэ нь:

Энд gp-ийг (14.3.7) томъёогоор тодорхойлно.

s p-ийг тооцоолохдоо Ф* (l) функцийн хүснэгтэд урвуу интерполяци хийхээс зайлсхийхийн тулд хэмжигдэхүүний утгыг өгдөг тусгай хүснэгтийг (Хүснэгт 14.3.1) эмхэтгэх нь тохиромжтой.

r-ээс хамаарна. Утга (p нь хэвийн хуулийн хувьд тархалтын төвөөс баруун болон зүүн тийш зурсан стандарт хазайлтын тоог тодорхойлдог бөгөөд ингэснээр үүссэн хэсэгт орох магадлал p-тэй тэнцүү байна.

7 p утгыг ашиглан итгэлцлийн интервалыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Хүснэгт 14.3.1

Жишээ 1. Хэмжигдэхүүн дээр 20 туршилт хийсэн X;үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 14.3.2.

Хүснэгт 14.3.2

Хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс тооцооллыг олох шаардлагатай X p = 0.8 итгэх магадлалд тохирох итгэлийн интервалыг байгуулна.

Шийдэл.Бидэнд:

Лавлах цэг болгон l: = 10-ийг сонгосноор гурав дахь томьёог (14.2.14) ашиглан бид шударга бус үнэлгээг олно. Д :

Хүснэгтийн дагуу 14.3.1 бид олдог

Итгэлийн хязгаарлалт:

Итгэлийн интервал:

Параметрийн утгууд Т,Энэ интервалд байгаа үзүүлэлтүүд нь хүснэгтэд өгсөн туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байна. 14.3.2.

Үүнтэй адилаар хэлбэлзлийн итгэлийн интервалыг байгуулж болно.

Үүнийг үйлдвэрлэе nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан туршилтууд XА болон дисперсийн аль алинд нь үл мэдэгдэх параметртэй ДШударга бус үнэлгээг авсан:

Энэ нь хэлбэлзлийн итгэлцлийн интервалыг ойролцоогоор бий болгох шаардлагатай.

Томъёогоор (14.3.11) тодорхой байна Дтөлөөлдөг

хэмжээ nхэлбэрийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Эдгээр үнэ цэнэ нь тийм биш юм

бие даасан, учир нь тэдгээрийн аль нэг нь тоо хэмжээг агуулдаг Т,бусдаас хамааралтай. Гэсэн хэдий ч нэмэгдэх тусам үүнийг харуулж болно nтэдгээрийн нийлбэрийн тархалтын хууль мөн хэвийн хэмжээнд ойртоно. Бараг цагт n= 20...30 аль хэдийн хэвийн гэж үзэж болно.

Ийм байна гэж үзээд энэ хуулийн шинж чанаруудыг олъё: математикийн хүлээлт ба тархалт. Үнэлгээнээс хойш Д- тэгвэл шударга бус M[D] = D.

Зөрчлийн тооцоо Д Дхарьцангуй төвөгтэй тооцоололтой холбоотой тул бид түүний илэрхийлэлийг гаралгүйгээр танилцуулж байна:

Энд q 4 нь магнитудын дөрөв дэх төв момент юм X.

Энэ илэрхийллийг ашиглахын тулд та \u003d 4 ба утгыг орлуулах хэрэгтэй Д(дор хаяж ойр байдаг). Оронд нь ДТа түүний үнэлгээг ашиглаж болно Д.Зарчмын хувьд дөрөв дэх төв мөчийг тооцоолол, жишээлбэл, маягтын утгаар сольж болно.

гэхдээ ийм орлуулалт нь маш бага нарийвчлалыг өгөх болно, учир нь ерөнхийдөө хязгаарлагдмал тооны туршилтаар өндөр эрэмбийн мөчүүдийг том алдаагаар тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч практикт энэ нь ихэвчлэн тоо хэмжээний хуваарилалтын хуулийн төрөл тохиолддог XУрьдчилан мэдэгдэж байгаа: зөвхөн түүний параметрүүд тодорхойгүй байна. Дараа нь та μ 4-ээр дамжуулан илэрхийлэхийг оролдож болно Д.

Хамгийн түгээмэл тохиолдлыг авч үзье, хэзээ үнэ цэнэ Xердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Дараа нь түүний дөрөв дэх төв мөчийг тархалтын хувьд илэрхийлнэ (6-р бүлгийн 6.2-р хэсгийг үзнэ үү);

ба томъёо (14.3.12) өгнө эсвэл

(14.3.14) дэх үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулах Дтүүний үнэлгээ Д, бид авдаг: хаанаас

Момент μ 4-ийг дамжуулан илэрхийлж болно Дмөн бусад зарим тохиолдолд үнэ цэнийг хуваарилах үед Xхэвийн биш боловч гадаад төрх нь мэдэгдэж байна. Жишээлбэл, жигд нягтын хуулийн хувьд (5-р бүлгийг үзнэ үү) бид дараах байдалтай байна.

Энд (a, P) нь хуулийг тодорхойлсон интервал юм.

Тиймээс,

(14.3.12) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна. ойролцоогоор хаанаас олох вэ

26-р хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийн төрөл тодорхойгүй тохиолдолд а/)-ийн утгыг ойролцоогоор тооцоолохдоо энэ хуулийг батлах онцгой шалтгаан байхгүй бол (14.3.16) томъёог ашиглахыг зөвлөж байна. Энэ нь ердийнхөөс эрс ялгаатай (эерэг эсвэл сөрөг куртозтой) .

Хэрэв a/)-ийн ойролцоо утгыг нэг аргаар олж авсан бол бид математикийн хүлээлтэд зориулж бүтээсэнтэй ижил аргаар дисперсийн итгэлцлийн интервалыг байгуулж болно.

өгөгдсөн p магадлалаас хамаарах утгыг хүснэгтийн дагуу олно. 14.3.1.

Жишээ 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн хувьд ойролцоогоор 80%-ийн итгэлийн интервалыг ол. X 1-р жишээний нөхцөлд, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол үнэ цэнэ Xхэвийн хэмжээнд ойрхон хуулийн дагуу хуваарилагдсан.

Шийдэл.Утга нь хүснэгтэд байгаатай ижил хэвээр байна. 14.3.1:

Томъёоны дагуу (14.3.16)

(14.3.18) томъёог ашиглан бид итгэлийн интервалыг олно:

Стандарт хазайлтын утгын харгалзах хүрээ: (0.21; 0.29).

14.4. Ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний параметрүүдийн итгэлийн интервалыг бий болгох нарийн аргууд

Өмнөх дэд хэсэгт бид математикийн хүлээлт ба дисперсийн итгэлцлийн интервалыг бий болгох ойролцоогоор аргуудыг судалж үзсэн. Энд бид ижил асуудлыг шийдэх тодорхой аргуудын талаар санаа өгөх болно. Итгэлийн интервалыг үнэн зөв олохын тулд хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн хэлбэрийг урьдчилан мэдэх зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг бид онцолж байна. X,харин ойролцоо аргыг хэрэглэхэд энэ шаардлагагүй.

Итгэлийн интервалыг бий болгох үнэн зөв аргуудын санаа нь дараахь зүйлээс үүдэлтэй. Аливаа итгэлцлийн интервал нь бидний сонирхож буй тооцоог багтаасан тодорхой тэгш бус байдлыг биелүүлэх магадлалыг илэрхийлсэн нөхцлөөс олддог. А.Үнэлгээний хуваарилалтын хууль Аерөнхий тохиолдолд хэмжигдэхүүний үл мэдэгдэх параметрүүдээс хамаарна X.Гэсэн хэдий ч заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс тэгш бус байдлыг дамжуулах боломжтой байдаг Аажиглагдсан утгуудын бусад функцэд X p X 2, ..., X х.тархалтын хууль нь үл мэдэгдэх параметрээс хамаардаггүй, зөвхөн туршилтын тоо, хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн төрлөөс хамаарна. X.Эдгээр төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь математик статистикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг; хэмжигдэхүүнийг хэвийн хуваарилах тохиолдолд тэдгээрийг хамгийн нарийвчлан судалсан X.

Жишээлбэл, утгын хэвийн тархалттай байх нь батлагдсан Xсанамсаргүй хувьсагч

гэж нэрлэгддэг зүйлд захирагддаг Оюутны хуваарилалтын хууль-тай n- 1 градусын эрх чөлөө; Энэ хуулийн нягтрал нь хэлбэртэй байна

Энд G(x) нь мэдэгдэж буй гамма функц юм:

Мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох нь батлагдсан

-тай "% 2 тархалт" байна n- 1 градусын эрх чөлөө (7-р бүлгийг үз), нягтралыг томъёогоор илэрхийлнэ

Тархалтын (14.4.2) ба (14.4.4) гарал үүслийн талаар ярихгүйгээр бид параметрийн итгэлцлийн интервалыг байгуулахдаа тэдгээрийг хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. ty D.

Үүнийг үйлдвэрлэе nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан туршилтууд X,үл мэдэгдэх параметрүүдээр хэвийн тархсан T&O.Эдгээр үзүүлэлтүүдийн хувьд тооцооллыг авсан

Итгэлийн магадлал p-тэй харгалзах хоёр параметрийн хувьд итгэлцлийн интервалыг байгуулах шаардлагатай.

Эхлээд математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервалыг байгуулъя. Энэ интервалыг тэгш хэмтэй авч үзэх нь зүйн хэрэг юм Т; s p нь интервалын уртын хагасыг тэмдэглэе. Нөхцөлийг хангахын тулд s p утгыг сонгох ёстой

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс тэгш байдлын (14.4.5) зүүн талд шилжихийг оролдъё Тсанамсаргүй хэмжигдэхүүн рүү Т,Оюутны хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Үүнийг хийхийн тулд |m-w?| тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлнэ

эерэг утгаар: эсвэл тэмдэглэгээг ашиглан (14.4.1),

Нөхцөлөөс / p утгыг олох боломжтой / p тоог олъё

(14.4.2) томъёоноос (1) тэгш функц болох нь тодорхой байна, тиймээс (14.4.8)

Тэгш байдал (14.4.9) нь p-ээс хамаарч утгыг / p-ийг тодорхойлно. Хэрэв танд интеграл утгуудын хүснэгт байгаа бол

дараа нь /p-ийн утгыг урвуу интерполяцаар хүснэгтээс олж болно. Гэхдээ /p утгын хүснэгтийг урьдчилан гаргах нь илүү тохиромжтой. Ийм хүснэгтийг Хавсралтад өгсөн болно (Хүснэгт 5). Энэ хүснэгтэд итгэлийн түвшин p болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тооноос хамаарч утгуудыг харуулав n- 1. Хүснэгтээс тодорхойлсны дараа / p. 5 ба таамаглаж байна

бид итгэлцлийн интервал / p ба интервалын өргөний хагасыг олох болно

Жишээ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан 5 туршилт хийсэн X,үл мэдэгдэх параметрүүдээр хэвийн тархсан Тмөн o. Туршилтын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 14.4.1.

Хүснэгт 14.4.1

Үнэлгээ олох ТМатематикийн хүлээлтийн хувьд 90% -ийн итгэлцлийн интервал / p-ийг байгуулна (өөрөөр хэлбэл итгэлийн магадлалд харгалзах интервал p = 0.9).

Шийдэл.Бидэнд:

Өргөдлийн 5-р хүснэгтийн дагуу p - 1 = 4 ба p = 0.9-ийг бид олно хаана

Итгэлийн интервал нь байх болно

Жишээ 2. 14.3-р дэд хэсгийн 1-р жишээний нөхцлийн хувьд утгыг авч үзнэ. Xхэвийн тархалттай, тодорхой итгэлийн интервалыг ол.

Шийдэл.Хавсралтын 5-р хүснэгтийн дагуу бид эндээс олж болно p - 1 = 19ir =

0.8 / p = 1.328; эндээс

14.3-р дэд хэсгийн 1-р жишээний шийдэлтэй харьцуулбал (e p = 0.072) зөрүү нь маш бага гэдэгт бид итгэлтэй байна. Хэрэв бид хоёр дахь аравтын бутархайн нарийвчлалыг хадгалах юм бол яг ба ойролцоо аргаар олсон итгэлийн интервалууд давхцдаг.

Вариацын итгэлцлийн интервалыг байгуулах ажлыг үргэлжлүүлье. Шударга бус дисперсийн үнэлэгчийг авч үзье

санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлнэ Дхэмжээгээр дамжуулан В(14.4.3), тархалт x 2 (14.4.4):

Хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэдэх V,өгөгдсөн p магадлалтайгаар унах /(1) интервалыг олж болно.

Хуваарилалтын хууль kn_x(v) I 7 магнитуд нь зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 14.4.1.

Цагаан будаа. 14.4.1

Асуулт гарч ирнэ: интервал / p-ийг хэрхэн сонгох вэ? Хэмжээний тархалтын хууль бол Втэгш хэмтэй байсан (хэвийн хууль эсвэл Оюутны тархалт гэх мэт), математикийн хүлээлттэй харьцуулахад /p интервалыг тэгш хэмтэй авах нь зүйн хэрэг. Энэ тохиолдолд хууль k p_x (v)тэгш бус. Гаралтын утгын магадлалыг гаргахын тулд /p интервалыг сонгохыг зөвшөөрье Вбаруун ба зүүн талын интервалаас цааш (14.4.1-р зураг дээрх сүүдэртэй хэсгүүд) ижил бөгөөд тэнцүү байв.

Энэ шинж чанартай интервал /p байгуулахын тулд бид хүснэгтийг ашиглана. 4 програм: энэ нь тоо агуулсан у)тиймэрхүү

үнэ цэнийн хувьд V,х 2-тэй - r эрх чөлөөний зэрэгтэй тархалт. Манай тохиолдолд r = n- 1. Засацгаая r = n- 1 ба хүснэгтийн харгалзах мөрөнд олно. 4 хоёр утгатай x 2 -нэг нь магадлалд тохирох нөгөө нь - магадлал Эдгээрийг тэмдэглэе

үнэт зүйлс 2 цагтТэгээд xl?Интервал байна y 2,зүүн талдаа, мөн y~баруун төгсгөл.

Одоо D хил хязгаартай тархалтын хувьд / p интервалаас хүссэн итгэлийн интервалыг /| олъё. D2,цэгийг хамардаг Д p магадлалтай:

Цэгийг хамарсан / (, = (?> ь А) интервал байгуулъя Дхэрэв зөвхөн үнэ цэнэ В/r интервалд ордог. Интервал гэдгийг харуулъя

энэ нөхцлийг хангаж байна. Үнэхээр тэгш бус байдал тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

ба эдгээр тэгш бус байдал нь p магадлалд хангагдана. Ийнхүү дисперсийн итгэлцлийн интервал олдсон ба (14.4.13) томъёогоор илэрхийлэгдэнэ.

Жишээ 3. 14.3-р дэд хэсгийн 2-р жишээний нөхцлийн дагуу хэлбэлзлийн итгэлцлийн интервалыг ол. Xхэвийн тархсан.

Шийдэл.Бидэнд байна . Хавсралтын 4-р хүснэгтийн дагуу

бид олдог r = n - 1 = 19

(14.4.13) томъёог ашиглан бид дисперсийн итгэлцлийн интервалыг олно

Стандарт хазайлтын харгалзах интервал нь (0.21; 0.32) байна. Энэ интервал нь ойролцоогоор аргыг ашиглан 14.3-р дэд хэсгийн 2-р жишээнд авсан интервалаас (0.21; 0.29) бага зэрэг давсан байна.

• Зураг 14.3.1-д итгэлцлийн интервалыг тэгш хэмтэй авч үзсэн. Ерөнхийдөө бид дараа нь харах болно, энэ нь шаардлагагүй юм.