Шийдлийн шалгалтын дүн шинжилгээ хийх үндэслэлгүй тэгш бус байдал. Иррациональ тэгш бус байдал

Энэ хичээлээр бид иррационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга замыг авч үзэж, янз бүрийн жишээ өгөх болно.

Сэдэв: Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын системүүд

Хичээл:Иррациональ тэгш бус байдал

Иррациональ тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ тэгш бус байдлын хоёр талыг тодорхой хэмжээгээр нэмэгдүүлэх шаардлагатай байдаг. Онцлогуудыг эргэн санацгаая.

Хэрэв хоёулаа сөрөг биш байвал тэгш бус байдлын хоёр талыг квадрат болгож болно, тэгвэл л бид жинхэнэ тэгш бус байдлаас жинхэнэ тэгш бус байдлыг олж авна.

Тэгш бус байдлын хоёр талыг ямар ч тохиолдолд куб болгож болно, хэрэв анхны тэгш бус байдал үнэн байсан бол бид шоо болгох үед жинхэнэ тэгш бус байдлыг олж авна.

Маягтын тэгш бус байдлыг авч үзье.

Радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш байх ёстой. Функц нь ямар ч утгыг авч болно;

Эхний тохиолдолд тэгш бус байдлын хоёр тал нь сөрөг биш, бид үүнийг квадрат болгох эрхтэй. Хоёр дахь тохиолдолд баруун гар тал нь сөрөг бөгөөд бид үүнийг квадрат болгох эрхгүй. Энэ тохиолдолд тэгш бус байдлын утгыг харах шаардлагатай: энд эерэг илэрхийлэл (квадрат язгуур) нь сөрөг илэрхийллээс их байгаа нь тэгш бус байдал үргэлж хангагдана гэсэн үг юм.

Тиймээс бид дараах шийдлийн схемтэй байна.

Эхний системд бид радикал илэрхийлэлийг тусад нь хамгаалдаггүй, учир нь системийн хоёр дахь тэгш бус байдал хангагдсан үед радикал илэрхийлэл автоматаар эерэг байх ёстой.

Жишээ 1 - тэгш бус байдлыг шийдэх:

Диаграммын дагуу бид хоёр тэгш бус байдлын системийн тэнцүү багц руу шилждэг.

Дүрслэн үзүүлье:

Цагаан будаа. 1 - 1-р жишээний шийдлийн дүрслэл

Бидний харж байгаагаар, бид үндэслэлгүй байдлаас ангижрах үед, жишээлбэл, квадрат болгох үед бид олон тооны системийг олж авдаг. Заримдаа энэ нарийн төвөгтэй дизайныг хялбаршуулж болно. Үүссэн багцад бид эхний системийг хялбарчилж, ижил төстэй багцыг авах эрхтэй.

Бие даасан дасгалын хувьд эдгээр багцуудын тэнцүү байдлыг нотлох шаардлагатай.

Маягтын тэгш бус байдлыг авч үзье.

Өмнөх тэгш бус байдлын нэгэн адил бид хоёр тохиолдлыг авч үздэг.

Эхний тохиолдолд тэгш бус байдлын хоёр тал нь сөрөг биш, бид үүнийг квадрат болгох эрхтэй. Хоёр дахь тохиолдолд баруун гар тал нь сөрөг бөгөөд бид үүнийг квадрат болгох эрхгүй. Энэ тохиолдолд тэгш бус байдлын утгыг харах шаардлагатай: энд эерэг илэрхийлэл (квадрат язгуур) нь сөрөг илэрхийллээс бага байгаа нь тэгш бус байдал нь зөрчилтэй гэсэн үг юм. Хоёрдахь системийг авч үзэх шаардлагагүй.

Бидэнд ижил төстэй систем бий:

Заримдаа иррациональ тэгш бус байдлыг графикаар шийдэж болно. Энэ аргыг харгалзах графикуудыг хялбархан барьж, тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг олох боломжтой үед хэрэглэнэ.

Жишээ 2 - тэгш бус байдлыг графикаар шийд:

A)

б)

Бид эхний тэгш бус байдлыг аль хэдийн шийдсэн бөгөөд хариултыг мэддэг.

Тэгш бус байдлыг графикаар шийдэхийн тулд зүүн талд функцийн график, баруун талд функцийн график байгуулах хэрэгтэй.

Цагаан будаа. 2. Функцийн график ба

Функцийн графикийг зурахын тулд параболыг парабол болгон хувиргах (у тэнхлэгтэй харьцуулахад толин тусгал) болон үүссэн муруйг 7 нэгж баруун тийш шилжүүлэх шаардлагатай. График нь энэ функц нь түүний тодорхойлолтын хүрээнд монотон буурч байгааг баталж байна.

Функцийн график нь шулуун шугам бөгөөд бүтээхэд хялбар байдаг. У тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь (0;-1) байна.

Эхний функц нь монотоноор буурч, хоёр дахь нь монотоноор нэмэгддэг. Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол энэ нь цорын ганц нь бөгөөд үүнийг графикаас таахад хялбар байдаг: .

Аргументийн утга язгуураас бага байвал парабол нь шулуун шугамаас дээш байна. Аргументийн утга гурваас долоон хооронд байвал шулуун шугам параболын дээгүүр өнгөрнө.

Бидэнд хариулт байна:

Иррационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үр дүнтэй арга бол интервалын арга юм.

Жишээ 3 - тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийд:

A)

б)

Интервалын аргын дагуу тэгш бус байдлаас түр зуур холдох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн тэгш бус байдлын бүх зүйлийг зүүн тал руу шилжүүлж (баруун талд тэгийг авах) зүүн талтай тэнцүү функцийг оруулаарай.

Одоо бид үүссэн функцийг судлах хэрэгтэй.

ОДЗ:

Бид энэ тэгшитгэлийг графикаар аль хэдийн шийдсэн тул үндсийг тодорхойлоход анхаарлаа хандуулдаггүй.

Одоо тогтмол тэмдгийн интервалуудыг сонгох шаардлагатай бөгөөд интервал бүр дээр функцийн тэмдгийг тодорхойлох шаардлагатай.

Цагаан будаа. 3. Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд жишээ нь 3

Интервал дээрх тэмдгүүдийг тодорхойлохын тулд туршилтын цэгийг авч, түүнийг функцэд орлуулах шаардлагатай гэдгийг санах нь зүйтэй.

Хилийн цэг дээрх утгыг шалгая:

Хариулт нь ойлгомжтой:

Дараах төрлийн тэгш бус байдлыг авч үзье.

Эхлээд ODZ-ийг бичье:

Үндэс нь байдаг, тэдгээр нь сөрөг биш, бид хоёр талыг дөрвөлжин болгож чадна. Бид авах:

Бид ижил төстэй системтэй болсон:

Үүссэн системийг хялбаршуулж болно. Хоёр ба гурав дахь тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд эхнийх нь автоматаар үнэн болно. Бидэнд::

Жишээ 4 - тэгш бус байдлыг шийдэх:

Бид схемийн дагуу ажилладаг - бид ижил төстэй системийг олж авдаг.

Үндэс дор функц агуулсан аливаа тэгш бус байдлыг дуудна үндэслэлгүй. Ийм тэгш бус байдлын хоёр төрөл байдаг:

Эхний тохиолдолд үндэс нь g(x) функцээс бага, хоёр дахь тохиолдолд их байна. Хэрэв g(x) - тогтмол, тэгш бус байдлыг маш хялбаршуулсан. Анхаарна уу: гадна талаасаа эдгээр тэгш бус байдал нь маш төстэй боловч тэдгээрийн шийдлийн схемүүд нь үндсэндээ өөр юм.

Өнөөдөр бид эхний төрлийн зохисгүй тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно - тэдгээр нь хамгийн энгийн бөгөөд ойлгомжтой юм. Тэгш бус байдлын тэмдэг нь хатуу эсвэл хатуу биш байж болно. Дараах мэдэгдэл нь тэдний хувьд үнэн юм.

Теорем. Маягтын аливаа иррационал тэгш бус байдал

Тэгш бус байдлын системтэй тэнцэх:

Сул биш гэж үү? Энэ систем хаанаас ирснийг харцгаая.

1. f (x) ≤ g 2 (x) - энд бүх зүйл тодорхой байна. Энэ бол анхны тэгш бус байдлын квадрат;
2. f (x) ≥ 0 нь язгуурын ODZ юм. Танд сануулъя: арифметик квадрат язгуур нь зөвхөн үүнээс л байдаг сөрөг бустоо;
3. g(x) ≥ 0 нь язгуурын муж юм. Тэгш бус байдлыг квадрат болгосноор бид сөрөг талыг шатаадаг. Үүний үр дүнд нэмэлт үндэс гарч ирж болно. g(x) ≥ 0 тэгш бус байдал нь тэдгээрийг таслана.

Олон оюутнууд системийн эхний тэгш бус байдал: f (x) ≤ g 2 (x) дээр "утгасан" бөгөөд нөгөө хоёрыг бүрэн мартдаг. Үр дүн нь урьдчилан таамаглах боломжтой: буруу шийдвэр, алдсан оноо.

Иррациональ тэгш бус байдал нь нэлээд төвөгтэй сэдэв тул 4 жишээг нэг дор харцгаая. Үндсэнээс үнэхээр төвөгтэй хүртэл. Бүх асуудлыг Москвагийн Улсын Их Сургуулийн элсэлтийн шалгалтаас авдаг. М.В.Ломоносов.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Бидний өмнө сонгодог үндэслэлгүй тэгш бус байдал: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - тогтмол. Бидэнд:

Гурван тэгш бус байдлаас зөвхөн хоёр нь шийдлийн төгсгөлд үлдсэн. Учир нь 2 ≥ 0 тэгш бус байдал үргэлж биелдэг. Үлдсэн тэгш бус байдлыг гаталж үзье:

Тэгэхээр, x ∈ [−1.5; 0.5]. Учир нь бүх цэгүүд сүүдэрлэдэг тэгш бус байдал нь хатуу биш юм.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Бид теоремыг хэрэгжүүлдэг:

Эхний тэгш бус байдлыг шийдье. Үүнийг хийхийн тулд бид ялгааны квадратыг илчлэх болно. Бидэнд:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Одоо хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдье. Тэнд бас квадрат гурвалжин:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)