Шууд бус хэмжилтийн нийт алдааны хязгаарыг хэрхэн тооцох вэ. Шууд бус хэмжилтийн алдааны тооцоо

Физик хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд гарсан алдаа,

ХЭМЖИЛГЭЭНИЙ ҮР ДҮНГ БОЛОВСРУУЛАХ

Хэмжих замаарТехникийн тусгай хэрэгслийг ашиглан физик хэмжигдэхүүний утгыг туршилтаар олох гэж нэрлэдэг. Хэмжилт нь шууд болон шууд бус байж болно. At шуудХэмжилт хийхдээ физик хэмжигдэхүүний хүссэн утгыг хэмжих хэрэгслийг ашиглан шууд олдог (жишээлбэл, диаметр хэмжигч ашиглан биеийн хэмжээсийг хэмжих). Шууд бусхэмжсэн хэмжигдэхүүн болон шууд хэмжигдэхүүнд хамаарах хэмжигдэхүүний хоорондын мэдэгдэж буй функциональ хамаарлын үндсэн дээр физик хэмжигдэхүүний хүссэн утгыг олох хэмжилт гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, цилиндрийн V эзэлхүүнийг тодорхойлохдоо түүний D диаметр ба H өндрийг хэмжиж, дараа нь томъёоны дагуу хэмжинэ.х D 2 /4 түүний эзлэхүүнийг тооцоол.

Хэмжих хэрэгслийн алдаа, хэмжилтийн явцад гарах бүх гаж нөлөөг харгалзан үзэхэд хүндрэлтэй байдаг тул хэмжилтийн алдаа гарах нь гарцаагүй. Оновчгүй байдалэсвэл алдаахэмжилт нь хэмжсэн физик хэмжигдэхүүний бодит утгаас хэмжилтийн үр дүнгийн хазайлтыг нэрлэдэг.

Хэмжилтийн алдаа нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга нь ихэвчлэн тодорхойгүй байдаг. Тиймээс хэмжилтийн үр дүнг анхан шатны боловсруулалт хийх ажил бол өгөгдсөн магадлалаар хэмжсэн физик хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгыг байрлуулах интервалыг тогтоох явдал юм.

Хэмжилтийн алдааны ангилал

Алдааг гурван төрөлд хуваадаг.

1) бүдүүлэг эсвэл бүдүүлэг алдаа;

2) системчилсэн,.

3) санамсаргүйБүдүүн алдаа

- эдгээр нь төхөөрөмж дээр хайхрамжгүй уншсаны үр дүнд үүсдэг алдаатай хэмжилтүүд, уншилтыг бичих боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, үр дүнг 2.65 биш 26.5 гэж тэмдэглэх; 13-ын оронд 18-аар тоолох гэх мэт.- давтан хэмжилт хийх явцад тогтмол хэвээр байх эсвэл тодорхой хуулийн дагуу өөрчлөгддөг алдаа. Эдгээр алдаа нь хэмжилтийн аргыг буруу сонгосон, багаж хэрэгслийн төгс бус ажиллагаа эсвэл буруу ажиллагаатай холбоотой байж болно (жишээлбэл, тэг нь офсет төхөөрөмж ашиглан хэмжилт хийх). Системчилсэн алдааг аль болох арилгахын тулд хэмжилтийн аргыг сайтар судалж, багаж хэрэгслийг стандарттай харьцуулах хэрэгтэй. Ирээдүйд бид багаж хэрэгсэл үйлдвэрлэх, тоолох алдаанаас үүдэлтэй алдаанаас бусад бүх системчилсэн алдааг арилгасан гэж үзэх болно. Бид энэ алдааг дуудах болно техник хангамж

Санамсаргүй алдаа - Эдгээр нь шалтгааныг урьдчилан тооцох боломжгүй алдаа юм. Санамсаргүй алдаа нь бидний мэдрэхүйн төгс бус байдал, өөрчлөгдөж буй гадаад нөхцөл байдлын тасралтгүй үйл ажиллагаанаас (температур, даралт, чийгшил, агаарын чичиргээ гэх мэт) хамаардаг. Санамсаргүй алдааг арилгах боломжгүй, тэдгээр нь бүх хэмжилтэд зайлшгүй байдаг, гэхдээ тэдгээрийг магадлалын онолын аргуудыг ашиглан үнэлж болно.

Шууд хэмжилтийн үр дүнг боловсруулах

Физик хэмжигдэхүүнийг шууд хэмжсэний үр дүнд түүний хэд хэдэн утгыг олж ав.

x 1, x 2, ... x n.

Энэ цуврал тоонуудыг мэдэхийн тулд та хэмжсэн утгын жинхэнэ утгад хамгийн ойрын утгыг зааж, санамсаргүй алдааны хэмжээг олох хэрэгтэй.

Энэ асуудлыг магадлалын онолын үндсэн дээр шийдсэн бөгөөд түүний дэлгэрэнгүй танилцуулга нь бидний хичээлийн хамрах хүрээнээс гадуур юм.

. (1)

Хэмжсэн физик хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утгыг (жинхэнэ утгад ойр) арифметик дундаж гэж үзнэ.Энд x i нь i-р хэмжилтийн үр дүн; n – хэмжилтийн тоо. Санамсаргүй хэмжилтийн алдааг үнэмлэхүй алдааны хэмжээгээр үнэлж болно Д

, (2)

томьёог ашиглан тооцоолсон x хаана t(а,n) – Оюутны коэффициент, хэмжилтийн тоо n болон итгэлийн түвшингээс хамаарна а,n) – Оюутны коэффициент, хэмжилтийн тоо n болон итгэлийн түвшингээс хамаарна .

Итгэл үнэмшилгэж туршилтчин өөрөө асуув.

Магадлал,n) – Оюутны коэффициент, хэмжилтийн тоо n болон итгэлийн түвшингээс хамаарна Санамсаргүй тохиолдлын тухай гэдэг нь тухайн үйл явдалд таатай тохиолдлын тоог тэнцүү боломжтой тохиолдлын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Тодорхой үйл явдлын магадлал 1, боломжгүй үйл явдлын магадлал 0 байна.

Тоо,n) – Оюутны коэффициент, хэмжилтийн тоо n болон итгэлийн түвшингээс хамаарна хэмжээс n,n) – Оюутны коэффициент, хэмжилтийн тоо n болон итгэлийн түвшингээс хамаарна =0.95.

Гэсэн хэдий ч хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлэх нь нийт алдааг тэг болгож бууруулж чадахгүй, учир нь аливаа хэмжих төхөөрөмж алдаа гаргадаг.Энд x i нь i-р хэмжилтийн үр дүн; n – хэмжилтийн тоо. Санамсаргүй хэмжилтийн алдааг үнэмлэхүй алдааны хэмжээгээр үнэлж болно Үнэмлэхүй алдаа гэсэн нэр томъёоны утгыг тайлбарлая,n) – Оюутны коэффициент, хэмжилтийн тоо n болон итгэлийн түвшингээс хамаарна x ба итгэлийн магадлал тооны тэнхлэгийг ашиглан. Хэмжсэн хэмжигдэхүүний дундаж утгыг ав(Зураг 1), мөн тооцоолсон үнэмлэхүй алдаа Dx. Д хойш тавь x-аас - баруун ба зүүн. Үүссэн тоон интервал ( D x) хүртэл ( +Д x) гэж нэрлэдэгитгэлийн интервал

. Энэ итгэлийн интервал дотор х хэмжсэн утгын жинхэнэ утга байна.

Зураг 1Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнтэй ижил хэмжигдэхүүнийг ижил нөхцөлд ижил багажаар давтан хийвэл хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга x ist ижил итгэлийн интервалд орох боловч цохилт нь найдвартай биш, харин магадлалтай байх болно.

а.Энд x i нь i-р хэмжилтийн үр дүн; n – хэмжилтийн тоо. Санамсаргүй хэмжилтийн алдааг үнэмлэхүй алдааны хэмжээгээр үнэлж болно Үнэмлэхүй алдааны хэмжээг тооцоолсны дараа x томьёоны дагуу (2) хэмжсэн физик хэмжигдэхүүний жинхэнэ x утгыг x= гэж бичиж болно

±D x. Физик хэмжигдэхүүнийг хэмжих нарийвчлалыг үнэлэхийн тулд тооцоолнохарьцангуй алдаа

. (3)

, энэ нь ихэвчлэн хувиар илэрхийлэгддэг,

Тиймээс шууд хэмжилтийн үр дүнг боловсруулахдаа дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1. Хэмжилтийг n удаа хийнэ.

2. Томъёо (1) ашиглан арифметик дундажийг тооцоол. 3. Өөртөө итгэх итгэлийн түвшинг тогтоо

a (ихэвчлэн =0.95 авдаг).,n) – Оюутны коэффициент, хэмжилтийн тоо n болон итгэлийн түвшингээс хамаарна 4. Хүснэгт 1-ийг ашиглан өгөгдсөн итгэлийн магадлалд харгалзах Оюутны коэффициентийг ол

хэмжээсийн тоо n.

5. (2) томъёог ашиглан үнэмлэхүй алдааг тооцоолж, багажийн алдаатай харьцуул.Цаашид тооцоо хийхийн тулд илүү том хэмжээтэйг нь авна уу.

6. Томъёо (3) ашиглан харьцангуй алдааг тооцоол

д. 7. Эцсийн үр дүнг бичнэ үү x=±D x.Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнтэй ижил хэмжигдэхүүнийг ижил нөхцөлд ижил багажаар давтан хийвэл хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга x ist ижил итгэлийн интервалд орох боловч цохилт нь найдвартай биш, харин магадлалтай байх болно.

харьцангуй алдааг харуулж байна

д

болон итгэлийн магадлал

Шууд бус хэмжилтийн үр дүнг боловсруулахЭнд x i нь i-р хэмжилтийн үр дүн; n – хэмжилтийн тоо. Санамсаргүй хэмжилтийн алдааг үнэмлэхүй алдааны хэмжээгээр үнэлж болно Хүссэн физик хэмжигдэхүүн y нь бусад x 1, x 2, ... x k хэмжигдэхүүнтэй зарим функциональ хамаарлаар хамааралтай байг.±D Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

x 1 , x 2 , ... x k утгуудын дунд шууд хэмжилт ба хүснэгтийн өгөгдлөөс олж авсан утгууд байдаг. Энэ нь үнэмлэхүйг тодорхойлох шаардлагатай

. (5)

у ба хамаатан садан y утгын алдаа.Энд x i нь i-р хэмжилтийн үр дүн; n – хэмжилтийн тоо. Санамсаргүй хэмжилтийн алдааг үнэмлэхүй алдааны хэмжээгээр үнэлж болно x i – х i утгын үнэмлэхүй алдаа. Хэрэв x i-ийг шууд хэмжилтийн үр дүнд олж авсан бол түүний дундаж утга мөн үнэмлэхүй алдааЭнд x i нь i-р хэмжилтийн үр дүн; n – хэмжилтийн тоо. Санамсаргүй хэмжилтийн алдааг үнэмлэхүй алдааны хэмжээгээр үнэлж болно x-ийг (1) ба (2) томъёог ашиглан тооцоолно. Бүх хэмжсэн утгуудын хувьд х i ижил итгэлийн магадлалыг зааж өгсөн болно,n) – Оюутны коэффициент, хэмжилтийн тоо n болон итгэлийн түвшингээс хамаарна .х Хэрэв (5) илэрхийлэл дэх квадрат нэр томъёоны аль нэг нь бусад нөхцлөөс бага хэмжээний дараалал (10 дахин) байвал тэдгээрийг үл тоомсорлож болно.

Хүснэгтийн утгыг сонгохдоо үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй (

, g гэх мэт) харьцангуй алдааны томъёонд орсон. Тэдний утгыг харьцангуй алдаа нь хамгийн том харьцангуй алдаанаас бага зэрэгтэй байхаар сонгох ёстой. Эцсийн үр дүнг бичье:

у= ±D ж.Энд .

- (4) томъёоноос xi дундаж утгыг орлуулах замаар олж авсан шууд бус хэмжлийн дундаж утга;

.

D y = e

. (6)

Бодит хэмжилтэнд ихэвчлэн санамсаргүй болон системчилсэн (техник хангамжийн) алдаа гардаг. Хэрэв шууд хэмжилтийн тооцоолсон санамсаргүй алдаа нь багажийн алдаанаас хоёр ба түүнээс дээш дахин тэг буюу бага байвал шууд бус хэмжилтийн алдааг тооцоолохдоо багажийн алдааг харгалзан үзэх шаардлагатай. Хэрэв эдгээр алдаа нь хоёр дахин бага зөрүүтэй байвал үнэмлэхүй алдааг томъёогоор тооцоолно Нэг жишээ авч үзье. Цилиндрийн эзэлхүүнийг тооцоолох шаардлагатай болно. Энд D нь цилиндрийн диаметр, H нь 0.1 мм-ийн хуваагдал бүхий диаметр хэмжигчээр хэмжсэн өндөр юм. Давтан хэмжилтийн үр дүнд бид дундаж утгыг олох болно

, (7)

=10.0 мм ба =40.0 мм. Цилиндрийн эзэлхүүнийг шууд бусаар хэмжих харьцангуй алдааг томъёогоор тодорхойлнохаана D D ба D H - диаметр ба өндрийг шууд хэмжих үнэмлэхүй алдаа. Бид тэдгээрийн утгыг томъёо (2) ашиглан тооцоолно. D D=0.01 мм; Д H=0.13 мм. Тооцоолсон алдааг диаметр хэмжигчийг хуваах утгатай тэнцүү техник хангамжийн алдаатай харьцуулж үзье.<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо Энд x i нь i-р хэмжилтийн үр дүн; n – хэмжилтийн тоо. Санамсаргүй хэмжилтийн алдааг үнэмлэхүй алдааны хэмжээгээр үнэлж болно Д

Д D нь 0.01 мм биш, харин 0.1 мм байна. p утга харьцангуй алдаа байхаар сонгосон байх ёстой Dp/p (7) томьёог үл тоомсорлож болно. Хэмжсэн утга, тооцоолсон үнэмлэхүй алдааны дүн шинжилгээнээс D D ба D Эзлэхүүний хэмжилтийн харьцангуй алдаанд хамгийн их хувь нэмэр оруулсан нь өндрийн хэмжилтийн алдаа байгааг харж болно. Харьцангуй өндрийг тооцоолоход алдаа гардаг eH =0.01.Тиймээс үнэ цэнэ

х

Та 3.14-ийг авах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд

1. Хэмжилтийг нэг удаа хийсэн эсвэл олон хэмжилтийн үр дүн ижил байвал хэмжилтийн үнэмлэхүй алдааны хувьд багажийн алдааг авах шаардлагатай бөгөөд энэ нь ихэнх хэрэглүүрийн хувьд багажийн хэсгийн утгатай тэнцүү байна. багажийн алдаа, "Хэмжих хэрэгсэл" хэсгийг үзнэ үү).

2. Хэрэв хүснэгтийн эсвэл туршилтын өгөгдлийг алдааг заагаагүй бол ийм тооны үнэмлэхүй алдааг сүүлчийн чухал цифрийн дарааллын хагастай тэнцүү авна.

Ойролцоогоор тоо бүхий үйлдлүүд

Тооцооллын нарийвчлалыг хэтрүүлэн үнэлэх нь олон тооны шаардлагагүй ажилд хүргэдэг тул тооцооллын нарийвчлалыг өөрчлөх асуудал маш чухал юм. Оюутнууд ихэвчлэн тав буюу түүнээс дээш чухал тоогоор шаардлагатай тоо хэмжээг тооцдог. Энэ нарийвчлал нь хэт их гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Шууд хэмжсэн хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох нарийвчлалаар хангагдсан нарийвчлалын хязгаараас хэтэрсэн тооцоолол хийх нь утгагүй юм. Хэмжилтийг боловсруулсны дараа тэд бие даасан үр дүнгийн алдааг ихэвчлэн тооцдоггүй бөгөөд энэ тооны зөв чухал цифрүүдийн тоог зааж утгын ойролцоо утгын алдааг шүүдэг.

Чухал тоо баримтуудОйролцоогоор тоо нь тэгээс бусад бүх цифрүүд, мөн хоёр тохиолдолд тэг юм.

1) чухал тоонуудын хооронд байх үед (жишээлбэл, 1071 тоонд дөрвөн чухал тоо байдаг);

2) энэ нь тооны төгсгөлд байгаа бөгөөд энэ тоонд харгалзах цифрийн нэгж байхгүй нь мэдэгдэж байгаа үед. Жишээ. 5.20 тоо нь гурван чухал тоотой бөгөөд энэ нь хэмжихдээ зөвхөн нэгжийг төдийгүй арав, зуутын тоог харгалзан үзсэн бөгөөд 5.2 тоо нь зөвхөн хоёр чухал тоотой бөгөөд энэ нь зөвхөн бүхэл тоо, тоонуудыг харгалзан үзсэн гэсэн үг юм. аравны нэг.

Ойролцоогоор тооцооллыг дараах дүрмийн дагуу хийх ёстой.

1. Нэмэх, хасах үедҮүний үр дүнд тэд хамгийн бага аравтын оронтой тоонд агуулагдах олон аравтын бутархайг хадгалдаг. Жишээ нь: 0.8934+3.24+1.188=5.3214» 5.32.

2. Хэмжээ нь зуутын нэг хүртэл дугуйрсан байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. 5.32-тай тэнцүү авна.Үржүүлэх, хуваах үедҮүний үр дүнд тэд хамгийн цөөн тооны чухал оронтой ойролцоо тоотой адил олон чухал цифрүүдийг хадгалдаг. Жишээлбэл, та 8.632-ыг үржүүлэх хэрэгтэй ' 2.8 '

3.53. Оронд нь энэ илэрхийллийг үнэлэх хэрэгтэй

Завсрын үр дүнг тооцохдоо дүрэмд заасан хэмжээнээс илүү нэг цифрийг (нөөц цифр гэж нэрлэдэг) хадгална. Эцсийн үр дүнд нөөцийн цифрийг хаяна. Үр дүнгийн сүүлийн чухал цифрийн утгыг тодруулахын тулд түүний араас цифрийг тооцоолох хэрэгтэй. Хэрэв таваас бага бол зүгээр л хаях хэрэгтэй, хэрэв таваас дээш бол түүнийг хаясны дараа өмнөх цифрийг нэгээр нэмэх хэрэгтэй. Дүрмээр бол үнэмлэхүй алдааг нэг чухал оронтой тоонд үлдээж, хэмжсэн утгыг үнэмлэхүй алдааны чухал цифр байгаа орон руу дугуйруулна.

3. X n , , log( функцуудын утгыг тооцоолох үр дүн x) зарим ойролцоо тоо xтоонд байгаа олон чухал тоог агуулсан байх ёстой x. Жишээ нь: .

График

Лабораторийн ажлын явцад олж авсан үр дүн нь ихэвчлэн чухал бөгөөд графикаар харуулахад зайлшгүй шаардлагатай байдаг. График байгуулахын тулд хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэгнийх нь утга тус бүр нь нөгөөгийнхөө тодорхой утгатай тохирч байх хүснэгтийг хийх шаардлагатай.

Графикийг график цаасан дээр хийдэг. График зурахдаа бие даасан хувьсагчийн утгыг абсцисса тэнхлэгт, функцийн утгыг ординатын тэнхлэг дээр зурах хэрэгтэй. Тэнхлэг бүрийн ойролцоо та дүрсэлсэн хэмжигдэхүүний тэмдэглэгээг бичиж, ямар нэгжээр хэмжиж байгааг зааж өгөх хэрэгтэй (Зураг 2).

Зураг 2

Графикийг зөв барихын тулд масштабыг сонгох нь чухал: муруй нь хуудсыг бүхэлд нь эзэлдэг бөгөөд графикийн урт ба өндрийн хэмжээ ойролцоогоор ижил байна. Хэмжээ нь энгийн байх ёстой. Хамгийн хялбар арга бол хэмжсэн утгын нэгж (0.1; 10; 100 гэх мэт) нь 1, 2 эсвэл 5 см-тэй тохирч байвал координатын тэнхлэгүүдийн огтлолцол нь заавал давхцах албагүй гэдгийг санах нь зүйтэй. зурсан утгуудын тэг утгууд (Зураг 2).

Олж авсан туршилтын утга бүрийг график дээр нэлээд мэдэгдэхүйц байдлаар зурсан болно: цэг, загалмай гэх мэт.

Туршилтын цэгүүд төв хэсэгт байрлах итгэлцлийн интервалын уртыг сегмент хэлбэрээр хэмжсэн утгуудад алдааг зааж өгсөн болно. Алдааг зааж өгөх нь графикийг эмх замбараагүй болгодог тул үүнийг зөвхөн алдааны талаарх мэдээлэл шаардлагатай үед л хийдэг: туршилтын цэгүүдийг ашиглан муруй байгуулах, график ашиглан алдааг тодорхойлох, туршилтын өгөгдлийг онолын муруйтай харьцуулах (Зураг 2). Ихэнхдээ нэг буюу хэд хэдэн цэгийн алдааг зааж өгөхөд хангалттай.

Туршилтын цэгүүдээр гөлгөр муруй зурах шаардлагатай. Ихэнхдээ туршилтын цэгүүдийг энгийн тасархай шугамаар холбодог. Энэ нь хэмжигдэхүүнүүд бие биенээсээ гэнэтийн байдлаар хамааралтай болохыг илтгэж байх шиг байна. Мөн энэ нь магадлал багатай юм. Муруй нь гөлгөр байх ёстой бөгөөд тэмдэглэгдсэн цэгүүдээр дамжихгүй, гэхдээ тэдгээртэй ойрхон байх ёстой бөгөөд ингэснээр эдгээр цэгүүд нь муруйн хоёр талд ижил зайд байрладаг.

Хэрэв ямар нэгэн цэг графикаас мэдэгдэхүйц унасан бол энэ хэмжилтийг давтан хийх шаардлагатай. Тиймээс туршилтын явцад шууд график байгуулах нь зүйтэй. Дараа нь график нь ажиглалтыг хянах, сайжруулахад туслах болно.

ХЭМЖИЛГЭЭНИЙ ХЭРЭГСЭЛ, ТЭДНИЙ АЛДААНЫ БҮРТГЭЛΔ Физик хэмжигдэхүүнийг шууд хэмжихийн тулд хэмжих хэрэгслийг ашигладаг.Аливаа хэмжих хэрэгсэл нь хэмжсэн утгын жинхэнэ утгыг өгдөггүй.Δ Энэ нь нэгдүгээрт, төхөөрөмжийн масштабаар хэмжсэн утгыг үнэн зөв тоолох боломжгүй, хоёрдугаарт, хэмжих хэрэгслийг үйлдвэрлэхэд алдаатай байгаатай холбоотой юм. Эхний хүчин зүйлийг харгалзан үзэхийн тулд тоолох алдаа Δx o, хоёр дахь нь зөвшөөрөгдөх алдааг оруулсан болно.:

.

х г

.

Эдгээр алдаануудын нийлбэр нь төхөөрөмжийн багажийн эсвэл үнэмлэхүй алдааг бүрдүүлдэг

x ± Зөвшөөрөгдсөн алдааг улсын стандартаар стандартчилж, паспорт эсвэл төхөөрөмжийн тодорхойлолтод заасан болно.Унших алдааг ихэвчлэн багажийн хуваарийн хуваалтын утгын хагастай тэнцүү авдаг боловч зарим хэрэгслийн хувьд (секкунд хэмжигч, анероид барометр) - багажийн хуваагдлын утгатай тэнцүү байна (эдгээр хэрэгслийн сумны байрлал нэг хуваагдлаар үсрэх үед өөрчлөгддөг тул) ) мөн хэд хэдэн хуваалттай, хэрэв туршилтын нөхцөл нь нэг хэсэг хүртэл итгэлтэйгээр тоолохыг зөвшөөрдөггүй бол (жишээлбэл, зузаан заагч эсвэл муу гэрэлтүүлэгтэй). Тиймээс, тоолох алдааг туршилтын оролцогч өөрөө тогтоож, тодорхой туршилтын нөхцөлийг үнэхээр тусгасан болно.

Хэрэв зөвшөөрөгдөх алдаа нь унших алдаанаас хамаагүй бага байвал үүнийг үл тоомсорлож болно. Ихэвчлэн төхөөрөмжийн үнэмлэхүй алдаа нь төхөөрөмжийн масштабын хуваагдалтай тэнцүү байна. ± (3-4) мкм (0-25 мм-ийн хэмжилтийн мужтай микрометрийн хувьд). Тоолох алдааг хуваах утгын тал хувь гэж авна. Тиймээс микрометрийн үнэмлэхүй алдааг хуваах утгатай тэнцүү авч болно, өөрөөр хэлбэл. 0.01 мм.

Жинлэх үед техникийн жингийн зөвшөөрөгдөх алдаа нь ачааллаас хамаардаг бөгөөд 20-200 грамм жинтэй бол 50 мг, 20 граммаас бага жинтэй бол 25 мг байна.

Тоон хэрэгслийн алдааг нарийвчлалын ангиллаар тодорхойлно.

Ихэнх тохиолдолд туршилтын явцад хэд хэдэн хэмжигдэхүүнийг хэд хэдэн хэрэгслээр хэмждэг бөгөөд эцсийн үр дүнд хүрэхийн тулд эдгээр хэмжилтийг математикийн үйлдлүүдийг ашиглан боловсруулах шаардлагатай: нэмэх, үржүүлэх гэх мэт. Иймд туршилтын ахиу ба дундаж квадратын алдааг тооцоолох замаар туршилтын үнэн зөвийг бүхэлд нь үнэлэх шаардлагатай.

Туршилтын хамгийн их харьцангуй алдааг тооцоолох дүрэм:

1. Нийлбэрийн алдаа нь нэр томъёоны харьцангуй алдаануудын хамгийн том ба хамгийн бага хооронд байна. Ихэвчлэн хамгийн том алдаа эсвэл арифметик дундаж утгыг харгалзан үздэг (лабораторийн ажилд бид арифметик дундаж утгыг ашиглах болно).

2. Үржвэр буюу хуваагчийн алдаа нь хүчин зүйлсийн харьцангуй алдааны нийлбэр буюу ногдол ашиг ба хуваагчтай тэнцүү байна.

3. Алдаа n-ийн суурийн зэрэг nсуурийн харьцангуй алдааг дахин үржүүлнэ.

Шууд бус хэмжилтийн үр дүнгийн язгуур дундаж квадрат алдааг тооцоолохын тулд хэмжилтийн үр дүнгийн бие даасан байдлыг хангах шаардлагатай. Энэ тохиолдолд утгыг тооцоолоход язгуур дундаж квадрат алдаа гарна В, энэ нь шууд хэмжсэн параметрүүдийн функц юм x, y, z, ... томъёогоор тодорхойлно.

параметрийн дундаж утгуудаар тооцсон функцийн хэсэгчилсэн деривативууд хаана байна x, y, z, …, - тус тус зассан зөрүү x, y, z, ….

Жишээ. Шууд бус хэмжилтийн алдааг тодорхойлох

Давтан хэмжилтийн үр дүнд бие биенээсээ хамааралгүй 3 параметрийн дундаж утга ба язгуур дундаж квадратын алдааг олж авав.

a) функцийг тодорхойлох хамгийн их харьцангуй хэмжилтийн алдаа ба хамгийн их харьцангуй алдаа

б) функцийг тодорхойлох дундаж утга ба язгуур дундаж квадрат алдаа

a) Харьцангуй хэмжилтийн хамгийн их алдааг ол x, y, z(13) томъёоны дагуу:

Функцийг тодорхойлох хамгийн их харьцангуй алдаа

Туршилтын хамгийн их харьцангуй алдааг тооцоолох дүрмийн дагуу бид олж мэдье.

b) Функцийн дундаж утгыг тооцоол

Томьёо (14) ашиглан функцийг тодорхойлоход язгуур-дундаж квадратын алдааг тооцоолохын тулд бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олно.

тэдгээрийг дундаж утгаараа тооцоолно x, y, z:

Томъёог (14) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

4. Шугаман регрессийн загварын шинж чанарын тооцоо

Хүчин зүйлийн хоорондын хамаарлыг тогтоох үр дүнтэй аргуудын нэг бол корреляци-регрессийн шинжилгээ юм.

Корреляци-регрессийн аргын даалгавар бол үр дүнгийн параметрийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог эмпирик тэгшитгэлийг олох явдал юм. Ютодорхой оролтын хүчин зүйлтэй X.

Харилцааны нэг хэлбэр болгон ЮТэгээд XШугаман хамаарал нь тооцоололд хялбар, түүнчлэн бусад олон төрлийн хамаарлыг бууруулж чаддаг тул өргөн хэрэглэгддэг.

Шугаман регрессийн загварыг тооцоолох нь дараахь алхмуудыг агуулна.

1. Онолын шугаман регрессийн тэгшитгэлийн тооцоо;

2. Холболтын бат бөх чанарыг үнэлэх, корреляцийн коэффициентийг тооцоолох;

3. Корреляцийн коэффициентийн ач холбогдлын үнэлгээ;

4. Регрессийн тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн ач холбогдлыг үнэлэх;

5. Регрессийн тэгшитгэл ба итгэлийн хязгаарын хүрэлцээг тодорхойлох.

Шугаман регресс Юдээр Xхэлбэртэй байна:

Энд α ба β нь регрессийн параметрүүд (β-г регрессийн коэффициент гэж нэрлэдэг).

α ба β регрессийн параметрүүдийн статистик тооцоог томъёогоор тооцоолсон утгууд нь эмпирик утгатай аль болох ойр байхаар сонгосон. Ойролцоох хэмжүүрээр квадрат хазайлтын нийлбэрийг сонгоно. Эмпирик утгуудын ижил цэгүүдэд онолын утгуудын хазайлтын квадратуудын нийлбэрийг багасгах замаар параметрүүдийг олох аргыг хамгийн бага квадратын арга гэж нэрлэдэг.

Энэ аргын дагуу олж авсан параметрийн оновчтой утгыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

хаана ба дундаж утгууд байна XТэгээд Ю, эдгээрийг томъёогоор тооцоолно:

(15)-ыг харгалзан бид эмпирик регрессийн шугамыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Шугаман корреляцийн хамаарлын бат бөх байдал ЮТэгээд Xкорреляцийн коэффициентийг тодорхойлдог r. Коэффицент r-аас 1 хүртэл хэлбэлздэг. -тэй ойртох тусам шугаман хамаарал илүү хүчтэй болно ЮТэгээд X, хязгаарлах тохиолдолд, хэрэв , яг шугаман функциональ хамаарал байна Ю-аас X. Хэрэв бол ЮТэгээд Xхамааралгүй. Корреляцийн коэффициентийг тооцоолох замаар rЭнэ нь түүврийн корреляцийн коэффициент болж үйлчилдэг бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Түүврийн өгөгдлөөр тодорхойлсон корреляцийн коэффициент нь нийт хүн амд харгалзах бодит утгатай давхцахгүй байж болно. Түүврийн корреляцийн коэффициентийн ач холбогдлын талаарх статистик таамаглалыг шалгахын тулд ашиглана т-Оюутны t-тест, ажиглалтын утгыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Чухал үнэ цэнэ т-Эрх чөлөөний зэрэг болон ач холбогдлын түвшний α-ийн шалгуурыг Оюутны тархалтын чухал цэгүүдийн хүснэгтээс олж болно. Хэрэв , тэгвэл корреляцийн коэффициентийн тэг утгын талаарх таамаглал батлагдаагүй бөгөөд түүврийн корреляцийн коэффициент ач холбогдолтой байна. Хэрэв бол утга rтэг дөхөж байна.

Регрессийн тэгшитгэлд (16) орсон параметрүүдийг тооцоолохын тулд практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ бид итгэлцлийн интервалыг бий болгохоор хязгаарлаж болно. Өгөгдсөн γ найдвартай байдлын хувьд параметр ба β-ийн итгэлцлийн интервалыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

чухал утга хаана байна т-Студентийн тархалтын эгзэгтэй цэгүүдийн хүснэгтээс олдсон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо, ач холбогдлын түвшний шалгуур, - дараах томъёогоор олдсон үлдэгдэл дисперсийн квадрат язгуур.

Эмпирик регрессийн тэгшитгэлийг олж авсны дараа ажиглалтын үр дүнтэй хэр нийцэж байгааг шалгана уу. Регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлын талаархи таамаглалыг шалгахын тулд ашиглана уу Ф-Фишерийн шалгуур, ажиглагдсан утгыг дараах томъёогоор тооцоолно.

залруулсан зөрүү хаана байна Ю, үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Чухал үнэ цэнэ Ф-эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо ба ач холбогдлын түвшний α-ийн шалгуурыг Фишер-Снедекорын тархалтын чухал цэгүүдийн хүснэгтээс олж болно. Хэрэв , дараа нь регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдолгүй байдлын талаархи таамаглал батлагдаагүй бөгөөд тэгшитгэл нь ажиглалтын үр дүнтэй тохирч байна. Хэрэв бол үүссэн тэгшитгэл нь ач холбогдолгүй болно.

Эмпирик тэгшитгэл нь өгөгдсөн ажиглалтын системийг хэр сайн дүрсэлж байгааг хэмжих өөр нэг шинж чанар нь детерминацийн коэффициент юм. г, үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Коэффициент ойртох тусам гнэг нь илүү сайн тайлбар.

Загвар бүтээгдсэний дараа түүнийг дүн шинжилгээ хийх, урьдчилан таамаглахад ашигладаг. Урьдчилан таамаглалыг (17) тэгшитгэлд хүчин зүйлийг орлуулах замаар гүйцэтгэнэ. Үүссэн цэгийн тооцоо нь:

Урьдчилан таамагласан утгын итгэлцлийн интервал нь:

чухал утга хаана байна т-Оюутны хуваарилалтын эгзэгтэй цэгүүдийн хүснэгтээс олдсон эрх чөлөөний зэрэг, ач холбогдлын түвшний шалгуур.

Жишээ.Шугаман регрессийн загварыг бий болгох

Ажиглалтын мэдээлэлд үндэслэн шугаман регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг тодорхойлно Юдээр X. Регресс ба корреляцийн коэффициентийг олж, түүврийн корреляцийн коэффициентийн ач холбогдлын талаархи таамаглалыг шалгана уу. Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн итгэлцлийн интервалыг ол. Детерминацийн коэффициентийг тодорхойлно. Үүссэн регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлын талаарх таамаглалыг шалгана уу. Загвараар таамагласан утгыг ол yцагт x=x 0 ба түүнд итгэх итгэлийн интервалыг ол. 0.05-тай тэнцүү ач холбогдлын түвшинг авна.

Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг олж авахын тулд хүснэгт үүсгэцгээе. Хүснэгт 2

Хүснэгтийн сүүлчийн мөрөнд тооцоололд ашигласан баганын нийлбэрийг харуулав.

Дундаж утгыг олъё XТэгээд Ю(16) томъёоны дагуу:

Регрессийн коэффициентийг (15) томъёогоор тооцоолъё:

Мөн бид эмпирик регрессийн тэгшитгэлийг (17)-д орлуулж авна.

Томъёо (28) ашиглан бид онолын утгыг тооцоолж, 2-р хүснэгтийн сүүлийн хоёр баганыг бөглөнө.

Корреляцийн коэффициентийг (18) томъёогоор тооцоолъё:

Үүний ач холбогдлын талаархи таамаглалыг туршиж үзье. Бид (19) томъёог ашиглан шалгуурын ажиглагдсан утгыг олно.

Оюутны тархалтын эгзэгтэй цэгүүдийн хүснэгтийг ашиглан бид Оюутны тархалтын эгзэгтэй цэгийг эрх чөлөөний зэрэг болон ач холбогдлын түвшингээр олж, харьцуулж, : Тиймээс корреляцийн коэффициент нь чухал бөгөөд ЮТэгээд Xшугаман хамаарлаар холбогддог.

Шугаман регрессийн тэгшитгэлийн (28) параметрүүдийн итгэлцлийн интервалыг тодорхойлохын тулд бид (22) томъёог ашиглан үлдэгдэл дисперсийг олно.

Томъёог (20) орлуулснаар бид найдвартай байдлын интервалыг тооцоолсноор олж авна

Бид (21) томъёог ашиглах итгэлийн интервалыг олж авна:

Тиймээс найдвартай байдлын хувьд параметрийн интервалын тооцоо

Үүссэн регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлын талаарх таамаглалыг шалгацгаая. Ажиглагдсан утгыг тооцоолох Ф-шалгуураар бид залруулсан зөрүүг олох болно Ютомъёог (24) ашиглан: Томъёо (23)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна: Фишер-Снедекорын тархалтын чухал цэгүүдийн хүснэгтийг чөлөөт байдлын зэрэг ба ач холбогдлын түвшний хувьд ажиглаж, эгзэгтэй утгыг харьцуулан олно. Ф-шалгуурын хувьд бид тэгшитгэл нь чухал болохыг олж мэдсэн.

Шугаман загвар нь ажиглагдсан утгуудад тохирох эсэхийг үнэлэхийн тулд бид томъёо (25) ашиглан тодорхойлох коэффициентийг олно.

Энэ үр дүнг дараах байдлаар тайлбарлав: 97.1% хэлбэлзэл Юхүчин зүйлийн өөрчлөлтөөр тайлбарлав X, үлдсэн санамсаргүй хүчин зүйлүүд нь хувьсагчийн 2.9% -ийг эзэлдэг. Гэсэн хэдий ч, энэ дүгнэлт нь зөвхөн авч үзсэн утгын мужид хүчинтэй байна X.

Урьдчилан таамаглахад бид (28) тэгшитгэлийг ашигладаг. Онооны тооцоогоор yБид (28) томьёог орлуулах замаар олж авна: Бид (27) томъёоноос олж авсан итгэлийн интервалыг:

Эцэст нь найдвартай байдлын хувьд интервалын тооцоолол

Асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон: хүссэн тоо хэмжээг зөвшөөрнө үү zбусад хэмжигдэхүүнээр тодорхойлно a, b, c, ... шууд хэмжилтээр олж авсан

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Функцийн дундаж утга ба түүний хэмжилтийн алдааг олох шаардлагатай, i.e. итгэлийн интервалыг ол

найдвартай а ба харьцангуй алдаатай .

-ийн хувьд (11)-ийн баруун талд орлуулснаар олно a, b, c,... тэдгээрийн дундаж утгууд

Шууд бус хэмжилтийн үнэмлэхүй алдаа нь шууд хэмжилтийн үнэмлэхүй алдааны функц бөгөөд томъёогоор тооцоологддог

(1.14)

Энд функцийн хэсэгчилсэн деривативууд байна ехувьсагчаар а, б, …

Хэрэв утгууд а, б, в,... функц болгон хувиргана Z = f (a, b, c,...)янз бүрийн хэмжээгээр хүчин зүйлсийн хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл хэрэв

, (1.15)

дараа нь эхлээд харьцангуй алдааг тооцоолоход тохиромжтой

, (1.16)

тэгээд үнэмлэхүй

D-д зориулсан томъёо zболон e z-ийг лавлах ном зохиолд өгсөн болно.

Та 3.14-ийг авах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд

1. Шууд бус хэмжилтийн хувьд тооцооны томъёонд мэдэгдэж буй физик тогтмолуудыг (таталцлын хурдатгал) оруулж болно. g, вакуум дахь гэрлийн хурд -тайгэх мэт), бутархай хүчин зүйл гэх мэт тоонууд... . Тооцооллын явцад эдгээр утгыг дугуйрсан болно. Энэ тохиолдолд мэдээжийн хэрэг тооцоонд алдаа гардаг ‒ тооцоололд бөөрөнхийлөх алдаа, үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Ойролцоогоор тоог бөөрөнхийлөх алдаа нь энэ тоог бөөрөнхийлсөн цифрийн хагас нэгжтэй тэнцүү байна гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Жишээлбэл, х = 3.14159... . Хэрэв бид p = 3.1 гэж авбал Dp = 0.05, хэрэв p = 3.14 бол Dp = 0.005 ... гэх мэт. Ойролцоогоор тоог аль цифрээр дугуйлах вэ гэсэн асуултыг дараах байдлаар шийднэ: дугуйрсан харьцангуй алдаа нь ижил дарааллаар эсвэл бусад төрлийн харьцангуй алдааны дээд хэмжээнээс бага хэмжээний дарааллаар байх ёстой. Хүснэгтийн өгөгдлийн үнэмлэхүй алдааг ижил аргаар үнэлдэг. Жишээлбэл, хүснэгтэд r = 13.6 × 10 3 кг / м 3 байгааг харуулж байгаа тул Dr = 0.05 × 10 3 кг / м 3 байна.

Бүх нийтийн тогтмолуудын утгын алдааг ихэвчлэн дундаж утгуудын хамт заадаг: ( -тай = м/с, энд Д -тай= 0.3×10 3 м/с.

2. Заримдаа шууд бус хэмжилтээр туршилтын нөхцөл нь давтан ажиглалттай давхцдаггүй. Энэ тохиолдолд функцийн утга zхэмжилт тус бүрээр тооцогдох ба итгэлцлийн интервалыг утгуудаар тооцно zшууд хэмжилттэй адил (энд байгаа бүх алдааг санамсаргүй хэмжилтийн нэг алдаанд оруулсан болно z). Хэмжигдээгүй боловч тодорхойлсон утгуудыг (хэрэв байгаа бол) хангалттай өндөр нарийвчлалтайгаар зааж өгөх ёстой.

Хэмжилтийн үр дүнг боловсруулах журам

Шууд хэмжилт

1. Дундаж утгыг тооцоол nхэмжилт

2. Хувь хүний ​​хэмжилтийн алдааг ол .

3. Хувь хүний ​​хэмжилтийн квадрат алдаа ба тэдгээрийн нийлбэрийг тооцоол. .

4. Найдвартай байдлыгa (бидний зорилгын үүднээс бид a = 0.95 гэж авна) тогтоож, хүснэгтийг ашиглан оюутны коэффициентийг тодорхойлно. та, nба t a, ¥ .

5. Системчилсэн алдааг үнэлэх: хэрэгсэл D Xхэмжилтийн дугуйралтын алдаа D X env = D/2 (D нь багажийн хуваагдлын утга) ба хэмжилтийн үр дүнгийн нийт алдааг ол (итгэлийн интервалын хагас өргөн):

.

6. Харьцангуй алдааг тооцоол

.

7. Эцсийн үр дүнг маягт дээр бичнэ үү

a = ... хувьд ε = … %

Шууд бус хэмжилт

1. Хүссэн хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох томъёонд оруулсан шууд хэмжигдэхүүн бүрийн хувьд , дээр дурдсанчлан боловсруулалт хийнэ. Хэрэв тоо хэмжээнүүдийн дунд a, b, c, ... хүснэгтийн тогтмолууд эсвэл p зэрэг тоонууд байдаг, д,..., дараа нь тооцооллын явцад тэдгээрийг (боломжтой бол) оруулсан харьцангуй алдаа нь шууд хэмжсэн хэмжигдэхүүний хамгийн том харьцангуй алдаанаас бага хэмжээний дараалалтай байхаар дугуйрсан байх ёстой.

Хүссэн тоо хэмжээний дундаж утгыг тодорхойлно

z = f ( ,,,...).

3. Шууд бус хэмжилтийн үр дүнд итгэх интервалын хагас өргөнийг тооцоол

,

деривативыг ... тооцдог газар

4. Үр дүнгийн харьцангуй алдааг тодорхойлно

5. Хэрэв z-ийн хамаарал нь a, b, c,... хэлбэртэй байна , Хаана к, л, м‒ ямар ч бодит тоо, дараа нь та эхлээд олох хэрэгтэй хамаатан саданалдаа

тэгээд дараа нь үнэмлэхүй .

6. Эцсийн үр дүнг маягтанд бичнэ үү

z = ± Dz , ε = …% үед a = … .

Жич:

Шууд хэмжилтийн үр дүнг боловсруулахдаа та дараах дүрмийг баримтлах ёстой: бүх тооцоолсон хэмжигдэхүүний тоон утга нь анхны (туршилтаар тодорхойлсон) хэмжигдэхүүнээс нэг оронтой илүү байх ёстой.

Шууд бус хэмжилтийн хувьд тооцооллыг дагуу хийдэг ойролцоогоор тооцоолох дүрэм:

Дүрэм 1. Ойролцоогоор тоог нэмэх, хасахдаа дараахь зүйлийг хийх ёстой.

a) эргэлзээтэй цифр нь хамгийн өндөр цифртэй байх нэр томъёог сонгох;

б) бусад бүх нэр томъёог дараагийн орон руу дугуйлна (нэг орон тоо хадгалагдана);

в) нэмэх (хасах) хийх;

d) үр дүнд нь сүүлийн цифрийг дугуйлж хаяна (үр дүнгийн эргэлзээтэй цифрийн цифр нь нэр томъёоны эргэлзээтэй цифрүүдийн хамгийн өндөр цифртэй давхцаж байна).

Жишээ: 5.4382·10 5 – 2.918·10 3 + 35.8 + 0.064.

Эдгээр тоонуудын хувьд сүүлийн чухал цифрүүд эргэлзээтэй байна (буруу тоонуудыг аль хэдийн хаясан). Тэдгээрийг 543820 – 2918 + 35.8 + 0.064 хэлбэрээр бичье.

Эхний үед эргэлзээтэй тоо 2 нь хамгийн өндөр оронтой (арав) байгааг харж болно. Бусад бүх тоог дараагийн орон руу дугуйлж, нэмбэл бид олж авна

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5.4094 10 5.

Дүрэм 2. Ойролцоогоор тоог үржүүлэх (хуваах) үед та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

a) хамгийн бага тооны чухал тоо бүхий тоог сонгох ( АНХААРУУЛГА – тэгээс бусад тоо ба тэдгээрийн хооронд тэг байна);

б) үлдсэн тоонуудыг бөөрөнхийлж, а алхамд хуваарилагдсан тооноос нэг илүү чухал оронтой (нэг оронтой цифр хадгалагдсан) байх;

в) үр дүнгийн тоог үржүүлэх (хуваах);

d) үр дүнд нь хамгийн бага тооны чухал тоонуудын тоонд байсан шиг олон тооны чухал тоог үлдээнэ.

Жишээ: .

Дүрэм 3. Үндэсийг задлахад үр дүн нь хүчин чадалтай байх үед анхны дугаарт байгаа олон тооны чухал цифрүүдийг хадгална.

Жишээ: .

Дүрэм 4. Тооны логарифмийг олохдоо логарифмын мантис нь анхны дугаарт байгаа олон чухал цифртэй байх ёстой.

Жишээ: .

Эцсийн бичлэг дээр үнэмлэхүйалдааг зөвхөн үлдээх ёстой нэг чухал тоо. (Хэрэв энэ цифр 1 болж хувирвал түүний ард өөр цифр хадгалагдана).

Дундаж утгыг үнэмлэхүй алдаатай ижил оронтой тоонд дугуйруулна.

Жишээ нь: В= (375.21 0.03) см 3 = (3.7521 0.0003) см 3.

I= (5.530 0.013) A, А = Ж.

Аливаа хэмжилтийг хэмжих хэрэгслийн хязгаарлагдмал нарийвчлал, хэмжилтийн аргын буруу сонголт, алдаа, туршилтын физиологи, хэмжиж буй объектын шинж чанар, хэмжилтийн нөхцөлийн өөрчлөлт гэх мэт алдаатай хийдэг. Тиймээс хэмжилтийн даалгавар нь зөвхөн хэмжигдэхүүнийг өөрөө төдийгүй хэмжилтийн алдааг олох, i.e. хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга хамгийн их байж болох интервал. Жишээлбэл, 0.2 секундын хуваах утгатай секундомероор t хугацааг хэмжихэд түүний жинхэнэ утга нь s-ээс s хүртэлх зайд байна гэж хэлж болно.
-тай. Тиймээс хэмжсэн утга нь үргэлж зарим алдаа агуулдаг
, Хаана ба X нь тус тус судалж буй хэмжигдэхүүний үнэн ба хэмжсэн утгууд юм. Хэмжээ
дуудсан үнэмлэхүй алдаахэмжилтийн (алдаа), илэрхийлэл
хэмжилтийн нарийвчлалыг тодорхойлдог , гэж нэрлэдэг харьцангуй алдаа.

Туршилт хийж буй хүн хэмжилт бүрийг хамгийн өндөр нарийвчлалтайгаар хийхийг хичээх нь зүйн хэрэг боловч ийм арга барилыг үргэлж зөвлөдөггүй. Бид энэ эсвэл өөр хэмжигдэхүүнийг илүү нарийвчлалтай хэмжихийг хүсч байгаа бол бидний ашиглах ёстой багаж хэрэгсэл нь илүү төвөгтэй байх тусам эдгээр хэмжилтэд илүү их цаг хугацаа шаардагдана. Тиймээс эцсийн үр дүнгийн нарийвчлал нь туршилтын зорилготой тохирч байх ёстой. Алдааны онол нь хэмжилтийг хэрхэн хийх, үр дүнг хэрхэн боловсруулах талаар зөвлөмж өгдөг бөгөөд ингэснээр алдаа бага байх болно.

Хэмжилтийн явцад гарсан бүх алдааг ихэвчлэн системчилсэн, санамсаргүй, алдаатай эсвэл бүдүүлэг алдаа гэж гурван төрөлд хуваадаг.

- эдгээр нь төхөөрөмж дээр хайхрамжгүй уншсаны үр дүнд үүсдэг алдаатай хэмжилтүүд, уншилтыг бичих боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, үр дүнг 2.65 биш 26.5 гэж тэмдэглэх; 13-ын оронд 18-аар тоолох гэх мэт.төхөөрөмжүүдийн үйлдвэрлэлийн нарийвчлал хязгаарлагдмал (хэрэгслийн алдаа), сонгосон хэмжилтийн аргын дутагдал, тооцооллын томъёоны буруу, төхөөрөмжийг буруу суурилуулсан гэх мэт. Иймд нэг хэмжилтийг олон удаа давтахад ижил үйлчилдэг хүчин зүйлсээс системчилсэн алдаа үүсдэг. Энэ алдааны хэмжээ нь тодорхой хуулийн дагуу системтэйгээр давтагддаг эсвэл өөрчлөгддөг. Хэмжилтийн аргыг өөрчлөх, багаж хэрэгслийн уншилтад залруулга оруулах, гадны хүчин зүйлийн байнгын нөлөөллийг харгалзан үзэх замаар зарим системчилсэн алдааг арилгах боломжтой (практикт үүнийг хийхэд үргэлж хялбар байдаг).

Хэдийгээр давтан хэмжилтийн системчилсэн (хэрэгслийн) алдаа нь хэмжсэн утгын бодит утгаас нэг чиглэлд хазайлтыг өгдөг боловч аль чиглэлийг бид хэзээ ч мэдэхгүй. Тиймээс багажийн алдааг давхар тэмдгээр бичнэ

Санамсаргүй алдааолон тооны санамсаргүй шалтгаанаас (температурын өөрчлөлт, даралт, барилгын чичиргээ гэх мэт) үүсдэг бөгөөд тэдгээрийн нөлөөлөл нь хэмжилт бүрт өөр өөр байдаг тул урьдчилан тооцох боломжгүй юм. Туршилтын хүний ​​мэдрэхүйн төгс бус байдлаас болж санамсаргүй алдаа гардаг. Санамсаргүй алдаа нь хэмжсэн объектын шинж чанараас үүдэлтэй алдааг агуулдаг.

Хувь хүний ​​хэмжилтийн санамсаргүй алдааг хасах боломжгүй боловч олон хэмжилт хийх замаар эдгээр алдааны эцсийн үр дүнд үзүүлэх нөлөөллийг багасгах боломжтой. Хэрэв санамсаргүй алдаа нь багажийн (системийн) алдаанаас хамаагүй бага бол хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлэх замаар санамсаргүй алдааны утгыг цаашид бууруулах нь утгагүй болно. Хэрэв санамсаргүй алдаа нь багажийн алдаанаас их байвал санамсаргүй алдааны утгыг бууруулж, багажийн алдаатай ижил дарааллаар эсвэл бага болгохын тулд хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Алдаа эсвэл алдаа- эдгээр нь төхөөрөмж дээрх буруу уншилт, уншилтыг буруу бүртгэсэн гэх мэт. Дүрмээр бол эдгээр шалтгааны улмаас үүссэн алдаанууд нь тодорхой харагдаж байна, учир нь холбогдох уншилтууд нь бусад уншилтаас эрс ялгаатай байдаг. Алдааг хяналтын хэмжилтээр арилгах ёстой. Тиймээс хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгууд байх интервалын өргөнийг зөвхөн санамсаргүй, системчилсэн алдаагаар тодорхойлно.

2 . Системчилсэн (хэрэгслийн) алдааны тооцоо

Шууд хэмжилт хийх зориулалттайхэмжсэн хэмжигдэхүүний утгыг хэмжих хэрэгслийн хуваарь дээр шууд тоолно. Уншихад гарсан алдаа нь хуваарийн аравны хэдэн хэсэгт хүрч болно. Ихэвчлэн ийм хэмжилтийн үед системчилсэн алдааг хэмжих хэрэгслийн хуваарийн хуваалтын хагастай тэнцүү гэж үздэг. Жишээлбэл, 0.05 мм-ийн хуваагдал бүхий диаметр хэмжигчээр хэмжихэд багажийн хэмжилтийн алдааны утгыг 0.025 мм-тэй тэнцүү авна.

Тоон хэмжих хэрэгсэл нь хэмжих хэмжигдэхүүнийхээ утгыг багажийн хуваарийн сүүлчийн оронтой нэг нэгжийн утгатай тэнцүү алдаатай өгдөг. Хэрэв дижитал вольтметр нь 20.45 мВ утгыг харуулж байвал хэмжилтийн үнэмлэхүй алдаа байна.
мВ.

Хүснэгтээс тодорхойлсон тогтмол утгыг ашиглах үед системчилсэн алдаа гардаг. Ийм тохиолдолд алдаа нь сүүлийн чухал цифрийн хагастай тэнцүү байна гэж үздэг. Жишээлбэл, хүснэгтэд гангийн нягтын утгыг 7.9∙10 3 кг / м 3 гэж өгсөн бол энэ тохиолдолд үнэмлэхүй алдаа нь тэнцүү байна.
кг/м3.

Цахилгаан хэмжих хэрэгслийн алдааг тооцоолох зарим онцлогийг доор авч үзэх болно.

Шууд бус хэмжилтийн системчилсэн (хэрэгслийн) алдааг тодорхойлохдоофункциональ үнэ цэнэ
томъёог ашигладаг

, (1)

Хаана - хэмжигдэхүүнийг шууд хэмжих хэрэгслийн алдаа , - хувьсагчтай холбоотой функцийн хэсэгчилсэн деривативууд.

Жишээлбэл, бид цилиндрийн эзэлхүүнийг хэмжихэд системчилсэн алдааг тооцоолох томъёог олж авдаг. Цилиндрийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо нь

.

Хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативууд г Тэгээд hтэнцүү байх болно

,
.

Тиймээс (2...)-ын дагуу цилиндрийн эзэлхүүнийг хэмжихэд үнэмлэхүй системчилсэн алдааг тодорхойлох томъёо дараах хэлбэртэй байна.

,

Хаана
Тэгээд
цилиндрийн диаметр ба өндрийг хэмжихэд багажийн алдаа

3. Санамсаргүй алдааны тооцоо.

Итгэлийн интервал ба итгэлийн магадлал

Энгийн хэмжилтийн дийлэнх тохиолдолд санамсаргүй алдааны хэвийн хууль гэж нэрлэгддэг хууль нь маш сайн хангагдсан байдаг ( Гауссын хууль), дараах эмпирик заалтуудаас үүсэлтэй.

хэмжилтийн алдаа нь тасралтгүй цуврал утгыг авч болно;

олон тооны хэмжилтийн үед ижил хэмжээтэй, гэхдээ өөр өөр шинж тэмдэгтэй алдаа ижил давтамжтай тохиолддог;

Санамсаргүй алдаа их байх тусам гарах магадлал бага байна.

Гауссын хэвийн тархалтын хуулийн графикийг 1-р зурагт үзүүлэв. Муруйн тэгшитгэл нь

, (2)

Хаана
- санамсаргүй алдааны (алдаа) хуваарилалтын функц, алдаа гарах магадлалыг тодорхойлдог
, σ – дундаж квадрат алдаа.

σ хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн биш бөгөөд хэмжилтийн үйл явцыг тодорхойлдог. Хэрэв хэмжилтийн нөхцөл өөрчлөгдөхгүй бол σ тогтмол утга хэвээр байна. Энэ хэмжигдэхүүнийг квадрат гэж нэрлэдэг хэмжилтийн тархалт.Тархалт бага байх тусам хувь хүний ​​утгын тархалт бага байх ба хэмжилтийн нарийвчлал өндөр байх болно.

Дундаж квадрат алдаа σ-ийн яг тодорхой утга, түүнчлэн хэмжсэн утгын жинхэнэ утга тодорхойгүй байна. Энэ параметрийн статистик тооцоо гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүний дагуу дундаж квадрат алдаа нь арифметик дундажийн дундаж квадрат алдаатай тэнцүү байна. . Үүний утгыг томъёогоор тодорхойлно

, (3)

Хаана - үр дүн би th хэмжээс; - олж авсан утгуудын арифметик дундаж; n - хэмжилтийн тоо.

Хэмжээний тоо их байх тусам бага ба σ-д ойртоно. Хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга нь μ, хэмжилтийн үр дүнд олж авсан арифметик дундаж утга нь , санамсаргүй үнэмлэхүй алдаа нь байвал хэмжилтийн үр дүнг хэлбэрээр бичнэ.
.

-аас утгын хүрээ
руу
μ хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгыг агуулсан μ-г дуудна итгэлийн интервал.Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн тул жинхэнэ утга нь α магадлал бүхий итгэлцлийн интервалд ордог бөгөөд үүнийг итгэх магадлал,эсвэл найдвартай байдалхэмжилт. Энэ утга нь сүүдэрлэсэн муруй трапецын талбайтай тоогоор тэнцүү байна. (зураг харна уу)

Энэ бүхэн нь σ ойрхон байх үед хангалттай олон тооны хэмжилтийн хувьд үнэн юм. Лабораторийн ажлын явцад харьцдаг цөөн тооны хэмжилтийн итгэлийн интервал ба итгэлийн магадлалыг олохын тулд бид ашигладаг. Оюутны магадлалын хуваарилалт.Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм , дуудсан Оюутны коэффициент, итгэлийн интервалын утгыг арифметик дундажийн язгуур квадрат алдааны бутархайгаар өгнө.

. (4)

Энэ хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт нь σ 2-оос хамаарахгүй боловч туршилтын тооноос ихээхэн хамаардаг. n. Туршилтын тоо нэмэгдэх тусам nОюутны тархалт нь Гауссын тархалтад чиглэдэг.

Түгээлтийн функцийг хүснэгтэд үзүүлэв (Хүснэгт 1). Оюутны коэффициентийн утга нь хэмжилтийн тоотой харгалзах шугамын огтлолцол дээр байна n, мөн α итгэх магадлалд харгалзах багана

Хүснэгт 1.

Хүснэгтийн өгөгдлийг ашиглан та:

тодорхой магадлалыг харгалзан итгэлийн интервалыг тодорхойлох;

итгэлийн интервалыг сонгож, итгэх магадлалыг тодорхойлно.

Шууд бус хэмжилтийн хувьд функцийн арифметик дундаж утгын язгуур дундаж квадрат алдааг томъёогоор тооцоолно.

. (5)

Итгэлийн интервал ба итгэлийн магадлалыг шууд хэмжилтийн нэгэн адил тодорхойлно.

Хэмжилтийн нийт алдааны тооцоо. Эцсийн үр дүнг тэмдэглэ.

X утгын хэмжилтийн үр дүнгийн нийт алдаа Бид үүнийг системчилсэн болон санамсаргүй алдааны дундаж квадрат утга гэж тодорхойлох болно

, (6)

Хаана δх -хэрэгслийн алдаа, Δ X- санамсаргүй алдаа.

X нь шууд болон шууд бус хэмжигдэхүүн байж болно.

, α=…, E=… (7)

Алдааны онолын томъёолол нь өөрөө олон тооны хэмжилтэд хүчинтэй байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс санамсаргүй байдлын утга, улмаар нийт алдаа бага хэмжээгээр тодорхойлогддог nтом алдаатай. Δ-г тооцоолохдоо Xхэмжилтийн тоогоор
Хэрэв 3-аас их бол нэг чухал тоогоор хязгаарлахыг зөвлөж байна, эхний чухал үзүүлэлт 3-аас бага бол хоёр. Жишээ нь, хэрэв Δ бол X= 0.042, дараа нь бид 2-ыг хасаад Δ гэж бичнэ X=0.04, хэрэв Δ бол X=0.123, дараа нь бид Δ гэж бичнэ X=0,12.

Үр дүнгийн цифрүүдийн тоо болон нийт алдаа нь ижил байх ёстой. Тиймээс алдааны арифметик дундаж нь ижил байх ёстой. Тиймээс арифметик дундажийг эхлээд хэмжилтээс нэг оронтой тоогоор тооцож, үр дүнг бүртгэхдээ түүний утгыг нийт алдааны цифрүүдийн тоогоор боловсронгуй болгодог.

4. Хэмжилтийн алдааг тооцох аргачлал.

Шууд хэмжилтийн алдаа

Шууд хэмжилтийн үр дүнг боловсруулахдаа дараах үйлдлийн дарааллыг баримтлахыг зөвлөж байна.

. (8)

.

.

Нийт алдааг тодорхойлно

Хэмжилтийн үр дүнгийн харьцангуй алдааг тооцоолно

.

Эцсийн үр дүнг маягт дээр бичнэ

, α=… E=…% байна.

5. Шууд бус хэмжилтийн алдаа

Бусад бие даасан хэмжигдэхүүний функц болох шууд бус хэмжигдэхүүний бодит утгыг тооцоолохдоо
, та хоёр аргыг ашиглаж болно.

Эхний аргаутга байвал хэрэглэнэ yянз бүрийн туршилтын нөхцөлд тодорхойлсон. Энэ тохиолдолд утга тус бүрийн хувьд үүнийг тооцоолно
, дараа нь бүх утгын арифметик дундажийг тодорхойлно y би

. (9)

Томьёог ашиглан бүх хэмжилтийн мэдэгдэж буй багажийн алдаан дээр үндэслэн системчилсэн (хэрэгслийн) алдааг олно. Энэ тохиолдолд санамсаргүй алдаа нь шууд хэмжилтийн алдаа гэж тодорхойлогддог.

Хоёрдахь аргаХэрэв энэ функц хамаарна y ижил хэмжилтээр хэд хэдэн удаа тодорхойлсон. Энэ тохиолдолд дундаж утгыг ашиглан утгыг тооцоолно. Манай лабораторийн практикт шууд бус хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох хоёр дахь аргыг илүү их ашигладаг y. Эхний аргын нэгэн адил системчилсэн (хэрэгслийн) алдааг томъёог ашиглан бүх хэмжилтийн мэдэгдэж буй багажийн алдаан дээр үндэслэн олно.

Шууд бус хэмжилтийн санамсаргүй алдааг олохын тулд эхлээд бие даасан хэмжилтийн арифметик дундажийн язгуур дундаж квадрат алдааг тооцоолно. Дараа нь утгын дундаж квадрат алдааг олно y. Итгэлийн магадлал α-г тогтоох, Оюутны коэффициентийг олох, санамсаргүй болон нийт алдааг тодорхойлох нь шууд хэмжилтийн нэгэн адил хийгддэг. Үүний нэгэн адил бүх тооцооллын үр дүнг маягтаар үзүүлэв

, α=… E=…% байна.

6. Лабораторийн ажлын дизайны жишээ

Лабораторийн ажил No1

ЦИЛИНДРИЙН ЭЗЭЛХИЙГ ТОДОРХОЙЛОХ

Дагалдах хэрэгсэл: 0.05 мм-ийн хуваагдлын утгатай диаметр хэмжигч, 0.01 мм-ийн хуваагдлын утгатай микрометр, цилиндр хэлбэртэй биетэй.

Ажлын зорилго:хамгийн энгийн физик хэмжилттэй танилцах, цилиндрийн эзэлхүүнийг тодорхойлох, шууд ба шууд бус хэмжилтийн алдааг тооцоолох.

Ажлын дараалал

Цилиндрийн диаметрийг диаметр хэмжигчээр 5-аас доошгүй удаа, өндрийг микрометрээр хэмжинэ.

Цилиндрийн эзэлхүүнийг тооцоолох тооцооны томъёо

энд d - цилиндрийн диаметр; h - өндөр.

Хэмжилтийн үр дүн

Хүснэгт 2.

;

Үнэмлэхүй алдаа

;
.

5. Харьцангуй алдаа буюу хэмжилтийн нарийвчлал

; E = 0.5%.

6. Эцсийн үр дүнг тэмдэглэ

Судалж буй утгын эцсийн үр дүнг маягт дээр бичнэ

, E = 0.5%.

Анхаарна уу. Эцсийн бичлэгт үр дүнгийн цифрүүдийн тоо болон үнэмлэхүй алдаа нь ижил байх ёстой.

6. Хэмжилтийн үр дүнгийн график дүрслэл

Физик хэмжилтийн үр дүнг ихэвчлэн график хэлбэрээр үзүүлдэг. График нь хэд хэдэн чухал давуу тал, үнэ цэнэтэй шинж чанартай байдаг.

а) функциональ хамаарлын төрөл, түүний хүчинтэй байх хязгаарыг тодорхойлох боломжийг бүрдүүлэх;

б) туршилтын өгөгдлийг онолын муруйтай тодорхой харьцуулах боломжийг олгох;

в) график байгуулахдаа санамсаргүй алдааны улмаас үүссэн функцийн явцад үсрэлтийг жигд болгодог;

г) тодорхой хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох, график ялгах, интеграл, тэгшитгэлийн шийдэл гэх мэтийг хийх боломжтой болгох.

Рафикийг дүрмээр бол тусгай цаасан дээр (миллиметр, логарифм, хагас логарифм) хийдэг. Бие даасан хувьсагчийг хэвтээ тэнхлэгийн дагуу зурах нь заншилтай, i.e. Туршилт хийгч өөрөө утгыг нь тогтоосон утга, босоо тэнхлэгийн дагуу - түүний нэгэн зэрэг тодорхойлсон утга. Координатын тэнхлэгүүдийн огтлолцол нь x ба y-ийн тэг утгатай давхцах албагүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Координатын гарал үүслийг сонгохдоо зургийн талбайг бүхэлд нь бүрэн ашигласан байх ёстой (Зураг 2.).

Графикийн координатын тэнхлэгүүд дээр зөвхөн хэмжигдэхүүний нэр эсвэл тэмдэглэгээг төдийгүй тэдгээрийн хэмжих нэгжийг зааж өгсөн болно. Координатын тэнхлэгийн дагуух масштабыг хэмжсэн цэгүүд нь хуудасны бүх талбайд байрлахаар сонгох ёстой. Энэ тохиолдолд масштаб нь энгийн байх ёстой бөгөөд ингэснээр график дээр цэгүүдийг зурахдаа толгойдоо арифметик тооцоолол хийх шаардлагагүй болно.

График дээрх туршилтын цэгүүдийг үнэн зөв, тодорхой дүрсэлсэн байх ёстой. Туршилтын янз бүрийн нөхцөлд (жишээлбэл, халаах, хөргөх) олж авсан цэгүүдийг өөр өөр өнгөөр ​​эсвэл өөр өөр тэмдэгтээр зурах нь ашигтай байдаг. Хэрэв туршилтын алдаа мэдэгдэж байгаа бол цэгийн оронд тэнхлэгийн дагуух хэмжээ нь энэ алдаатай тохирч байгаа загалмай эсвэл тэгш өнцөгтийг дүрслэх нь дээр. Туршилтын цэгүүдийг хоорондоо эвдэрсэн шугамаар холбохыг зөвлөдөггүй. График дээрх муруйг гөлгөр зурж, туршилтын цэгүүдийг 3-р зурагт үзүүлсэн шиг муруйн дээр болон доор хоёуланд нь байрлуулсан байх ёстой.

График байгуулахдаа нэг төрлийн масштабтай координатын системээс гадна функциональ хэмжүүрийг ашигладаг. Тохиромжтой x ба y функцуудыг сонгосноор та график дээр ердийн бүтэцтэй харьцуулахад илүү энгийн шугамыг авах боломжтой. Өгөгдсөн графикийн параметрүүдийг тодорхойлох томъёог сонгохдоо энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг. График дээрх муруйн аль нэг хэсгийг сунгах эсвэл богиносгох шаардлагатай тохиолдолд функциональ масштабыг ашигладаг. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг функциональ масштаб бол логарифмын масштаб юм (Зураг 4).

Баримт бичиг

Тодорхой нөхцөл, шаардлага, боломжоос тооцоололалдааүр дүнхэмжилт. Мэдээллийн онолын ерөнхий заалтын дагуу...

Хэмжилтийн алдаа

Баримт бичиг

В.И.Иверонова. М., Наука, 1967. 4. П.В.Новицки, И.А. Зэрэгалдааүр дүнхэмжилт. Л., Energoatomizdat, 1991. 5. Лабораторийн ажил...

Физикийн лабораторийн семинарт хэмжилтийн алдааг тодорхойлох заавар

Удирдамж

... хэмжилтшаардлагатай тоо хэмжээг заавал оруулсан болно зэрэгалдаахүлээн авсан үр дүн. Ийм зүйлгүйгээр тооцоололүр дүн... үнэмлэхүй үнэ цэнэ алдаамөн би үр дүнхэмжилт. Дүрмээр бол нарийвчлал тооцоололалдаамаш их болж хувирав ...

Хэмжилтийн дугаар.

Шууд бус хэмжилтийн алдааг тооцоолох томьёо нь дифференциал тооцооллын тухай ойлголт дээр суурилдаг.

Хэмжигдэхүүний хамаарлыг үзье Юхэмжсэн утгаас Зэнгийн хэлбэртэй байна: .

Энд утга нь мэдэгдэж байгаа тогтмолууд юм. Хэрэв z тодорхой тоогоор ихэссэн эсвэл буурсан бол дараах байдлаар өөрчлөгдөнө.

Хэрэв - хэмжсэн утгын алдаа З, дараа нь тооцоолсон утгад алдаа гарна Ю.

Нэг хувьсагчийн функцийн ерөнхий тохиолдолд үнэмлэхүй алдааны томъёог олж авцгаая. Энэ функцийн графикийг 1-р зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй болгоё. z 0 аргументын яг утга нь y 0 = f(z 0) функцийн яг утгатай тохирч байна.

Аргументийн хэмжсэн утга нь хэмжилтийн алдааны улмаас аргументийн яг тодорхой утгаас Δz-ээр ялгаатай байна. Функцийн утга нь яг тодорхой утгаас Δy-ээр ялгаатай байна.

Өгөгдсөн цэг дэх муруй руу шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс гэсэн деривативын геометрийн утгаас (Зураг 1) дараах байдалтай байна.

. (10)

Нэг хувьсагчийн функцийн хувьд шууд бус хэмжилтийн харьцангуй алдааны томъёо нь:
. (11)

Функцийн дифференциал нь -тэй тэнцүү байна гэж үзвэл бид олж авна

(12)

Хэрэв шууд бус хэмжилт нь функц юм мхувьсагч , дараа нь шууд бус хэмжилтийн алдаа нь шууд хэмжилтийн алдаанаас хамаарна. Аргументийн хэмжилтийн алдаатай холбоотой хэсэгчилсэн алдааг бид тэмдэглэж байна. Энэ нь бусад бүх аргументууд өөрчлөгдөхгүй тохиолдолд функцийг нэмэгдүүлэх замаар нэмэгдүүлэхтэй адил юм. Тиймээс бид (10)-ын дагуу хэсэгчилсэн үнэмлэхүй алдааг дараах хэлбэрээр бичнэ.

(13)

Иймээс шууд бус хэмжилтийн хэсэгчилсэн алдааг олохын тулд (13)-ын дагуу хэсэгчилсэн деривативыг шууд хэмжилтийн алдаагаар үржүүлэх шаардлагатай. Функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохдоо үлдсэн аргументуудыг тогтмол гэж үзнэ.

Шууд бус хэмжилтийн үр дүнд үүссэн үнэмлэхүй алдааг хэсэгчилсэн алдааны квадратуудыг багтаасан томъёогоор тодорхойлно

шууд бус хэмжилт:

эсвэл харгалзан үзэх (13)

(14)

Шууд бус хэмжилтийн харьцангуй алдааг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Эсвэл (11) ба (12)-г харгалзан үзнэ.

. (15)

(14) ба (15) -ийг ашигласнаар тооцооллын тав тухтай байдлаас хамааран үнэмлэхүй эсвэл харьцангуй алдаануудын аль нэгийг олно. Жишээлбэл, хэрэв ажлын томьёо нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний харьцаатай бүтээгдэхүүний хэлбэртэй байвал шууд бус хэмжилтийн харьцангуй алдааг тодорхойлохын тулд логарифмыг авч (15) томъёог ашиглахад хялбар байдаг. Дараа нь (16) томъёог ашиглан үнэмлэхүй алдааг тооцоол.

Шууд бус хэмжилтийн алдааг тодорхойлох дээрх процедурыг харуулахын тулд "Математик дүүжин ашиглан чөлөөт уналтын хурдатгалыг тодорхойлох" виртуал лабораторийн ажил руу буцъя.

Ажлын томъёо (1) нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний харьцаа хэлбэртэй байна.

Тиймээс харьцангуй алдааны тодорхойлолтоос эхэлье. Үүнийг хийхийн тулд энэ илэрхийллийн логарифмыг аваад хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоол.

; ; .

Томъёо (15)-д орлуулснаар шууд бус хэмжилтийн харьцангуй алдааны томъёо гарч ирнэ.

(17)

Шууд хэмжилтийн үр дүнг орлуулсны дараа

{ ; ) (17)-д бид дараахыг авна:

(18)

Үнэмлэхүй алдааг тооцоолохын тулд бид (16) илэрхийлэл ба чөлөөт уналтын хурдатгалын өмнө тооцоолсон утгыг (9) ашиглана. g:

Үнэмлэхүй алдааг тооцоолох үр дүнг нэг чухал тоо болгон дугуйруулна. Үнэмлэхүй алдааны тооцоолсон утга нь эцсийн үр дүнг бүртгэх үнэн зөвийг тодорхойлдог.

, α ≈ 1. (19)

Энэ тохиолдолд итгэлцлийн магадлалыг шууд бус хэмжилтийн алдаа гаргахад шийдвэрлэх хувь нэмэр оруулсан шууд хэмжилтүүдийн итгэлийн магадлалаар тодорхойлно. Энэ тохиолдолд эдгээр нь хугацааны хэмжилт юм.

Тиймээс 1-тэй ойролцоо магадлалтайгаар утга g 8-аас 12-ын хооронд байна.

Таталцлын улмаас хурдатгалын илүү нарийвчлалтай утгыг олж авах gхэмжилтийн арга зүйг боловсронгуй болгох шаардлагатай байна. Үүний тулд харьцангуй алдааг багасгах шаардлагатай бөгөөд энэ нь үндсэндээ томъёо (18) -аас дараах байдлаар цаг хугацааны хэмжилтийн алдаагаар тодорхойлогддог.

Үүнийг хийхийн тулд нэг бүрэн хэлбэлзэл биш, жишээлбэл, 10 бүрэн хэлбэлзлийн хугацааг хэмжих шаардлагатай. Дараа нь (2)-ын дагуу харьцангуй алдааны томъёо дараах хэлбэртэй болно.

. (20)

Цагийн хэмжилтийн үр дүнг Хүснэгт 4-т үзүүлэв Н = 10

Үнийн хувьд Л 2-р хүснэгтээс хэмжилтийн үр дүнг авч үзье. Шууд хэмжилтийн үр дүнг томьёо (20)-д орлуулснаар шууд бус хэмжилтийн харьцангуй алдааг олно.

Томъёо (2) ашиглан бид шууд бус хэмжсэн хэмжигдэхүүний утгыг тооцоолно.

.

.

Эцсийн үр дүнг дараах байдлаар бичнэ.

; ; .

Энэ жишээ нь хэмжилтийн техникийг сайжруулах боломжит чиглэлийг шинжлэхэд харьцангуй алдааны томъёоны үүргийг харуулж байна.