Улсын нэгдсэн шалгалтын салшгүй хэсэг нь тригонометрийн тэгшитгэл юм.

Харамсалтай нь тригонометрийн функцтэй холбоотой аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий нэгдсэн арга байхгүй. Энд амжилтанд хүрэх нь зөвхөн томъёоны талаархи сайн мэдлэг, тодорхой ашигтай хослолуудыг олж харах чадвараар л баталгааждаг бөгөөд үүнийг зөвхөн дадлага хийснээр л хөгжүүлж болно.

Гол зорилго нь тэгшитгэлд хамаарах тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргах бөгөөд ингэснээр хамгийн энгийн гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлээс үндсийг олох боломжтой болно.

Үүнийг хийхийн тулд та тригонометрийн томъёог ашиглах чадвартай байх хэрэгтэй. Тэднийг "нэр"-ээр нь мэдэж, дуудах нь ашигтай.

1. Давхар аргумент, гурвалсан аргументийн томъёо:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

тг 2х = 2 тг х/1 – тг х;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

нүгэл 3х = 3 нүгэл х – 4 нүгэл 3 х;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

тг 3х = (2 тг х – тг 3 х)/(1 – 3 тг 2 х);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

2. Хагас аргумент эсвэл зэрэг бууруулах томъёо:

нүгэл 2 x/2 = (1 – cos x)/2; cos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

ор 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Туслах аргументийн танилцуулга:

a sin x + b cos x = c тэгшитгэлийн жишээг авч үзье, тухайлбал, sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a) нөхцлөөс х өнцгийг тодорхойлох замаар авч үзье. 2 + b 2), бид авч үзэж буй тэгшитгэлийг хамгийн энгийн нүгэл (x + y) = c/v (a 2 + b 2) болгон бууруулж, шийдлийг нь ямар ч хүндрэлгүйгээр бичиж болно; Ингэснээр анхны тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тодорхойлно.

4. Нэмэх, хасах томъёо:

нүгэл (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

нүгэл (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

тг (а + б) = (тг а + тг б)/(1 – тг а тг б);

тг (а – б) = (тг а – тг б)/(1 + тг а тг б);

5. Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт:

sin a = 2 tan (a/2)/(1 + ( tg 2 (a/2));

cos a = (1 – tan 2 (a/2))/(1 + ( tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Зарим чухал харьцаа:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (нүгэл (2м+ 1)х/2 – нүгэл (х/2))/(2 нүгэл (х/2));

7. Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томъёо:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tan a + tan b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tan a – tan b = sin (a – b)/(cos a cos b).

Мөн багасгах томъёо.

Шийдвэрлэх явцад үндэс алдагдах (жишээлбэл, тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нийтлэг хүчин зүйлээр багасгах) эсвэл нэмэлт үндэс олж авахаас урьдчилан сэргийлэхийн тулд тэгшитгэлийн тэнцүү байдлыг сайтар хянаж байх хэрэгтэй. жишээ нь тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох үед). Үүнээс гадна хүлээн авагч үндэс нь авч үзэж буй тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах эсэхийг хянах шаардлагатай.

Шаардлагатай бүх тохиолдолд (жишээ нь тэгш бус өөрчлөлтийг зөвшөөрсөн тохиолдолд) шалгах шаардлагатай. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ оюутнуудад тэдгээрийг тодорхой төрөл болгон багасгахыг заах шаардлагатай бөгөөд ихэвчлэн хялбар тэгшитгэлээс эхэлдэг.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудтай танилцацгаая.

1. ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрт буулгах

2. Тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн байдал.

3. Factorization.

4. a 2 + b 2 + c 2 = 0 хэлбэрт оруулах

5. Хувьсагчдыг солих.

6. Тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай тэгшитгэл болгон багасгах.

7. Зүүн ба баруун хэсгүүдийн үнэлгээ.

8. Харцаар харах арга.

9. Туслах өнцгийн танилцуулга.

10. “Хувааж, ялах” арга.

Жишээнүүдийг харцгаая:

1. Тэгшитгэлийг шийд: sin x + cos 2 x = 1/4.

Шийдэл: Квадрат тэгшитгэл болгон бууруулж шийд. cos 2 x-ийг sin 2 x-ээр илэрхийлье

нүгэл х + 1 – нүгэл 2 х = 1/4

4 нүгэл 2 х – 4 нүгэл х – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2 (х€[-1;1] нөхцөлийг хангахгүй),

тэдгээр. x = (-1) k+1 нуман 1/2 + k, k€z,

Хариулт: (-1) k+1 /6 + k, k€z.

2. Тэгшитгэлийг шийд: 2 тг x cos x +1 = 2 cos x + tan x,

факторингоор шийднэ

2 тг x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0, энд x /2 + k, k€z,

2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 эсвэл tg x – 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

өөрөөр хэлбэл x = ± /3 + 2к, k€z, x = /4 + m, m€z.

Хариулт: ± /3 + 2к, k€z, /4 + m, m€z.

3. Тэгшитгэлийг шийд: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.

Шийдэл: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 2-р зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл. cos x = 0 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш тул бид зүүн ба баруун талыг cos 2 x-т хуваана. Үүний үр дүнд бид tan x-ийн квадрат тэгшитгэлд хүрнэ

tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,

tg x = 1 ба tg x = 2,

эндээс x = /4 + m, m€z,

x = арктан 2 + k, k€z.

Хариулт: /4 + m, m€z, arctan 2 + k, k€z.

4. Тэгшитгэлийг шийд: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

Шийдэл: Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга

5x + 6 = y, тэгвэл cos 2y + 4 болно 2 нүгэл у = 4

1 – 2 гэм 2 жил + 4 2 син y – 4 = 0

sin y = t, энд t€[-1;1]

2т 2-4 2т + 3 = 0

t = 2/2 ба t = 3 2/2 (t€[-1;1] нөхцөлийг хангахгүй)

нүгэл (5х + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) k /4 + k, k€z,

x = (-1) k /20 – 6/5 + k/5, k€z.

Хариулт: (-1) k?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Тэгшитгэлийг шийд: (sin x – cos y) 2 + 40x 2 = 0

Шийдэл: Бид a 2 + b 2 + c 2 = 0, хэрэв a = 0, b = 0, c = 0 бол үнэнийг ашигладаг. Эндээс sin x – cos y = 0, 40x = 0 байвал тэгш байдал боломжтой болно.

x = 0, мөн sin 0 – cos y = 0, тиймээс, x = 0, мөн cos y = 0, иймээс: x = 0, мөн y = /2 + k, k€z гэж бас бичих боломжтой ( 0; / 2 + k) k€z.

Хариулт: (0; /2 + k) k€z.

6. Тэгшитгэлийг шийд: sin 2 x + cos 4 x – 2 sin x + 1 = 0

Шийдэл: Тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулж, хуваагаад ялах аргыг хэрэглэнэ

(нүгэл 2 x – 2 sin x +1) + cos 4 x = 0;

(sin x – 1) 2 + cos 4 x = 0; энэ нь боломжтой бол

(sin x – 1) 2 = 0, мөн cos 4 x = 0, иймээс:

sin x – 1 = 0, мөн cos x = 0,

sin x = 1, мөн cos x = 0, тиймээс

x = /2 + k, k€z

Хариулт: /2 + k, k€z.

7. Тэгшитгэлийг шийд: sin 5x + sin x = 2 + cos 2 x.

Шийдэл: Бид cos болон sin функцүүдийн зүүн ба баруун талууд болон хязгаарлагдмал байдлыг тооцоолох аргыг ашигладаг.

– 1 гэм 5х 1, -1 гэм 1 х 1

0 + 2 2 + cos 2 x 1 + 2

2 2 + cos 2 x 3

нүгэл 5х + нүгэл x 2, 2 + cos 2 х 2

2 нүгэл 5х + нүгэл x 2, өөрөөр хэлбэл.

нүгэл 5x + нүгэл x 2,

Бидэнд зүүн тал нь 2, баруун тал нь 2,

Хэрэв хоёулаа 2-той тэнцүү бол тэгш байдал боломжтой.

cos 2 x = 0, мөн sin 5x + sin x = 2, тиймээс

x = /2 + k, k€z (шалгахаа мартуузай).

Хариулт: /2 + k, k€z.

8. Тэгшитгэлийг шийд: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Шийдэл: Үржүүлгийн аргыг ашиглан шийднэ. Бид зүүн талд байгаа нэр томъёог хосоор нь бүлэглэдэг.

(Энэ тохиолдолд бүлэглэх ямар ч арга зорилгод хүргэдэг.) Бид cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2 томъёог ашигладаг.

2 cos 3/2х cos x/2 + 2 cos 7/2х cos x/2 = 0,

cos x/2 (cos 3/2x + cos 7/2x) = 0,

2 cos 5/2x cos x/2 cos x = 0,

Гурван тохиолдол гардаг:

Хариулт: + 2к, /5 + 2/5к, /2 + k, k€z.

Хоёр дахь тохиолдол нь эхнийх нь багтаж байгааг анхаарна уу. (Хэрэв хоёр дахь тохиолдолд бид k = 4 + 5-ыг авбал + 2n авна). Тиймээс аль нь илүү зөв болохыг хэлэх боломжгүй, гэхдээ ямар ч тохиолдолд хариулт нь "илүү соёлтой, үзэсгэлэнтэй" харагдах болно: x 1 = /5 + 2/5k, x 2 = /2 + k, k€z. (Дахин хэлэхэд хариултыг бүртгэх янз бүрийн хэлбэрт хүргэдэг ердийн нөхцөл байдал). Эхний хариулт нь бас зөв.

Харгалзан үзсэн тэгшитгэл нь маш энгийн шийдлийн схемийг харуулж байна - хосоор бүлэглэх, томьёо ашиглах замаар тэгшитгэлийг хүчин зүйл болгох.

нүгэл а + нүгэл б = 2 нүгэл (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үндэс сонгох, шаардлагагүй үндсийг ялгах асуудал нь маш өвөрмөц бөгөөд ихэвчлэн алгебрийн тэгшитгэлээс илүү төвөгтэй байдаг. Нэмэлт (гадны) үндэс гарч ирэх ердийн тохиолдлуудыг харуулсан тэгшитгэлийн шийдлүүд, тэдэнтэй "тэмцэх" аргуудыг танилцуулъя.

Шийдвэрлэх явцад тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээ өргөссөн тул нэмэлт үндэс гарч ирж магадгүй юм. Жишээ хэлье.

9. Тэгшитгэлийг шийд: (sin 4x – sin 2x – cos 3x + 2sin x -1)/(2sin 2x – 3) = 0.

Шийдэл: Тоолуурыг тэгтэй тэнцүүлж үзье (энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээ өргөжсөн - x утгууд нэмэгдэж, хуваагчийг тэг болгон хувиргаж) үүнийг хүчин зүйлээр ангилж үзээрэй. Бидэнд:

2 cos 3x sin x – cos 3x + 2sin x – 1 = 0,

(cos 3x + 1) (2 sin x – 1) = 0.

Бид хоёр тэгшитгэл авдаг:

cos 3x + 1 = 0, x = /3 + 2/3k.

Аль к нь бидэнд тохирохыг харцгаая. Юуны өмнө тэгшитгэлийн зүүн тал нь 2 үетэй үечилсэн функц гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Иймд 0 х нөхцөлийг хангасан тэгшитгэлийн шийдийг олоход хангалттай.< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.

Тэгш бус байдал 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.

Эхнийх нь тохиромжгүй, нүгэл 2/3 = 3/2 тул хуваагч тэг болно.

Эхний тохиолдлын хариулт: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (та x 2 = – /3 + 2к болно), k€z.

Энэ тэгшитгэлийн 0 х нөхцөлийг хангах шийдийг олъё< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.

Хариулт: + 2к, 5/3 + 2к, 5/6 + 2к, k€z.

10. Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: v(cos 2x + sin 3x) = v2 cos x.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь хоёр үе шатанд хуваагдана.

1) өгөгдсөн тэгшитгэлээс олж авсан тэгшитгэлийг түүний хоёр хэсгийг квадрат болгох замаар шийдвэрлэх;

2) cos x 0 нөхцөлийг хангасан язгууруудыг сонгох. Энэ тохиолдолд (алгебрийн тэгшитгэлийн хувьд) cos 2x + sin 3x 0 нөхцөлийн талаар санаа зовох шаардлагагүй болно. Квадрат тэгшитгэлийг хангасан бүх k утгууд энэ нөхцлийг хангаж байна.

Эхний алхам нь биднийг sin 3x = 1 тэгшитгэл рүү хөтөлж, үүнээс x 1 = /6 + 2/3k.

Одоо бид k cos (/6 + 2/3k) 0 гарч ирэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд k-ийн 0, 1, 2 утгыг авч үзэх нь хангалттай юм. ердийнх шигээ "тойрогийг нэг удаа тойрох" тул косинусын утгууд нь аль хэдийн тооцсон 2-ын үржвэрээс ялгаатай байх болно.

Хариулт: /6 + 2к, 3/2/3 + 2к, 5/6 + 2к, k€z.

11. Тэгшитгэлийг шийд: sin 8 x – cos 5 x = 1.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах энгийн бодол дээр үндэслэсэн болно: хэрэв 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.

Энэ нь sin 8 x sin 2 x, – cos 5 x cos 2 x;

Эдгээр тэгш бус байдлыг нэр томъёогоор нь нэмбэл бид:

sin 8 x – cos 5 x sin 2 x + cos 2 x = 1.

Иймээс хоёр тэгшитгэл хангагдсан тохиолдолд энэ тэгшитгэлийн зүүн тал нь нэгтэй тэнцүү байна.

sin 8 x = sin 2 x, cos 5 x = cos 2 x,

тэдгээр. sin x нь -1, 0 утгыг авч болно

Хариулт: /2 + k, + 2k, k€z.

Зургийг дуусгахын тулд өөр жишээг авч үзье.

12. Тэгшитгэлийг шийд: 4 cos 2 x – 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x = 0.

Шийдэл: Бид энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг cos x-тэй харьцуулахад квадрат гурвалжин гэж үзнэ.

D нь энэ гурвалсан гишүүний ялгаварлагч болно.

1/4 D = 4 (cos 4 3x – cos 2 3x).

D 0 тэгш бус байдлаас cos 2 3x 0 эсвэл cos 2 3x 1-ийг дагадаг.

Энэ нь cos 3x = 0, cos 3x = ± 1 гэсэн хоёр боломж гарч ирнэ гэсэн үг юм.

Хэрэв cos 3x = 0 бол тэгшитгэлээс cos x = 0, эндээс x = /2 + k байна.

Эдгээр x утгууд нь тэгшитгэлийг хангана.

Хэрэв cos 3x = 1 бол cos x = 1/2 тэгшитгэлээс бид x = ± /3 + 2k-ийг олно. Эдгээр утгууд нь тэгшитгэлийг хангадаг.

Хариулт: /2 + k, /3 + 2к, k€z.

13. Тэгшитгэлийг шийд: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Шийдэл: sin 4 x + cos 4 x илэрхийллийг хувиргаж, төгс квадратыг тодруулна уу: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x – 2 sin 2 x cos 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x) 2 – 2 sin 2 x cos 2 x, үүнээс sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2x. Үүссэн томъёог ашиглан бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

1-1/2 нүгэл 2 2х = 7/4 нүгэл 2х.

нүгэл 2х = t, -1 t 1,

2t 2 + 7t – 4 = 0 квадрат тэгшитгэлийг авна.

үүнийг шийдэхэд t 1 = 1/2, t 2 = – 4 болохыг олно

тэгшитгэл sin 2x = 1/2

2x = (- 1) k /6 + k, k€z, x = (- 1) k //12 + k /2, k€z.

Оюутнуудын хамгийн их тулгардаг математикийн нэг салбар бол тригонометр юм. Энэ нь гайхмаар зүйл биш юм: энэ мэдлэгийг чөлөөтэй эзэмшихийн тулд танд орон зайн сэтгэлгээ, томъёо ашиглан синус, косинус, тангенс, котангенс олох, илэрхийллийг хялбарчлах, pi тоог ашиглах чадвартай байх хэрэгтэй. тооцоолол. Нэмж дурдахад та теоремуудыг батлахдаа тригонометрийг ашиглах чадвартай байх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хөгжсөн математик санах ой эсвэл нарийн төвөгтэй логик гинжийг гаргаж авах чадварыг шаарддаг.

Тригонометрийн гарал үүсэл

Энэ шинжлэх ухаантай танилцах нь өнцгийн синус, косинус, тангенсийн тодорхойлолтоос эхлэх ёстой боловч эхлээд тригонометр юу хийдэгийг ойлгох хэрэгтэй.

Түүхийн хувьд математикийн шинжлэх ухааны энэ салбарын судалгааны гол объект нь тэгш өнцөгт гурвалжин байв. 90 градусын өнцөг байгаа нь янз бүрийн үйлдлүүдийг хийх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь тухайн зургийн бүх параметрийн утгыг хоёр тал, нэг өнцөг эсвэл хоёр өнцөг, нэг талыг ашиглан тодорхойлох боломжийг олгодог. Эрт дээр үед хүмүүс энэ хэв маягийг анзаарч, барилга байгууламж барих, навигаци, одон орон судлал, тэр ч байтугай урлагт идэвхтэй ашиглаж эхэлсэн.

Эхний үе шат

Эхэндээ хүмүүс зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжны жишээг ашиглан өнцөг ба талуудын хоорондын хамаарлын талаар ярьдаг байсан. Дараа нь математикийн энэ салбарын өдөр тутмын амьдралд хэрэглээний хил хязгаарыг өргөжүүлэх боломжийг олгосон тусгай томъёог олж илрүүлэв.

Өнөөдөр сургуульд тригонометрийн судалгаа нь тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас эхэлдэг бөгөөд үүний дараа сурагчид дунд сургуулиас эхлэн физик, хийсвэр тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд олж авсан мэдлэгээ ашигладаг.

Бөмбөрцөг тригонометр

Хожим нь шинжлэх ухаан хөгжлийн дараагийн түвшинд хүрэх үед бөмбөрцөг геометрт синус, косинус, тангенс, котангенс бүхий томьёог ашиглаж эхэлсэн бөгөөд үүнд өөр өөр дүрэм үйлчилдэг, гурвалжин дахь өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градусаас их байдаг. Энэ хэсгийг сургуульд судлаагүй ч дэлхийн гадаргуу болон бусад гаригийн гадаргуу нь гүдгэр тул түүний оршин тогтнох талаар мэдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь гадаргуугийн тэмдэглэгээ нь гурван удаа "нуман хэлбэртэй" болно гэсэн үг юм. - хэмжээст орон зай.

Бөмбөрцөг болон утсыг ав. Утсыг бөмбөрцөг дээрх дурын хоёр цэгт холбоно уу. Анхаарна уу - энэ нь нуман хэлбэртэй болсон. Бөмбөрцөг геометр нь геодези, одон орон судлал болон бусад онолын болон хэрэглээний салбарт ашиглагддаг ийм хэлбэрийг авч үздэг.

Зөв гурвалжин

Тригонометрийг ашиглах аргуудын талаар бага зэрэг сурч мэдсэнийхээ дараа синус, косинус, тангенс гэж юу болох, тэдгээрийн тусламжтайгаар ямар тооцоолол хийж болох, ямар томьёо ашиглахыг илүү сайн ойлгохын тулд үндсэн тригонометр рүү буцъя.

Эхний алхам бол тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой ойлголтуудыг ойлгох явдал юм. Нэгдүгээрт, гипотенуз нь 90 градусын өнцгийн эсрэг тал юм. Энэ нь хамгийн урт нь юм. Пифагорын теоремын дагуу түүний тоон утга нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэрийн язгууртай тэнцүү гэдгийг бид санаж байна.

Жишээлбэл, хэрэв хоёр тал нь тус тус 3 ба 4 сантиметр бол гипотенузын урт нь 5 сантиметр болно. Дашрамд дурдахад, эртний египетчүүд энэ тухай дөрөв хагас мянган жилийн өмнө мэддэг байсан.

Зөв өнцгийг үүсгэдэг үлдсэн хоёр талыг хөл гэж нэрлэдэг. Нэмж дурдахад, тэгш өнцөгт координатын систем дэх гурвалжин дахь өнцгийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү гэдгийг санах хэрэгтэй.

Тодорхойлолт

Эцэст нь геометрийн үндэслэлийг сайтар ойлгосноор өнцгийн синус, косинус, тангенсийн тодорхойлолт руу хандаж болно.

Өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийн (жишээ нь, хүссэн өнцгийн эсрэг тал) гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Өнцгийн косинус нь зэргэлдээ талыг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Синус болон косинус аль аль нь нэгээс их байж болохгүй гэдгийг санаарай! Яагаад? Гипотенуз нь анхдагчаар хамгийн урт байдаг тул хөл нь хичнээн урт байсан ч энэ нь гипотенузаас богино байх бөгөөд энэ нь тэдний харьцаа үргэлж нэгээс бага байх болно. Тиймээс, хэрэв та асуудлын хариултанд 1-ээс их утгатай синус эсвэл косинусыг олж авбал тооцоолол эсвэл үндэслэлийн алдааг хайж олох хэрэгтэй. Энэ хариулт илт буруу байна.

Эцэст нь, өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм. Синусын косинусыг хуваахад ижил үр дүн гарна. Харна уу: томъёоны дагуу бид хажуугийн уртыг гипотенузаар хувааж, дараа нь хоёр дахь талын уртаар хувааж, гипотенузаар үржүүлнэ. Тиймээс бид шүргэгчийн тодорхойлолттой ижил харилцааг олж авдаг.

Үүний дагуу котангенс нь булангийн зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм. Нэгийг шүргэгчээр хуваахад бид ижил үр дүнд хүрнэ.

Тиймээс бид синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болох тухай тодорхойлолтыг авч үзээд томъёо руу шилжиж болно.

Хамгийн энгийн томъёонууд

Тригонометрийн хувьд та томьёогүйгээр хийж чадахгүй - тэдгээргүйгээр синус, косинус, тангенс, котангенсыг хэрхэн олох вэ? Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдвэрлэхэд яг шаардлагатай зүйл юм.

Тригонометрийг судалж эхлэхдээ мэдэх ёстой хамгийн эхний томьёо нь өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна гэж хэлдэг. Энэ томьёо нь Пифагорын теоремын шууд үр дагавар боловч хажуу талаас биш өнцгийн хэмжээг мэдэх шаардлагатай бол цаг хэмнэнэ.

Олон оюутнууд сургуулийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш их алдартай байдаг хоёр дахь томьёог санаж чадахгүй байна: нэгийн нийлбэр ба өнцгийн тангенсийн квадрат нь өнцгийн косинусын квадратад хуваагдсантай тэнцүү байна. Нарийвчилж хараарай: энэ нь эхний томьёотой ижил мэдэгдэл бөгөөд зөвхөн таних тэмдгийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваасан. Математикийн энгийн үйлдэл нь тригонометрийн томьёог бүрэн таних боломжгүй болгодог. Санаж байна уу: синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болохыг, хувиргах дүрэм, хэд хэдэн үндсэн томъёог мэдэж авснаар та хүссэн үедээ цаасан дээр шаардлагатай нарийн төвөгтэй томъёог гаргаж авах боломжтой.

Давхар өнцгийн томъёо, аргумент нэмэх

Та сурах хэрэгтэй өөр хоёр томьёо нь өнцгийн нийлбэр ба зөрүүний синус ба косинусын утгуудтай холбоотой юм. Тэдгээрийг доорх зурагт үзүүлэв. Эхний тохиолдолд синус ба косинусыг хоёр удаа үржүүлж, хоёр дахь тохиолдолд синус ба косинусын хос үржвэрийг нэмнэ гэдгийг анхаарна уу.

Мөн давхар өнцгийн аргументуудтай холбоотой томъёонууд байдаг. Тэдгээр нь өмнөх хувилбаруудаас бүрэн үүсэлтэй - практикийн хувьд альфа өнцгийг бета өнцөгтэй тэнцүү авч, өөрөө авахыг хичээ.

Эцэст нь, синус, косинус, тангенс альфагийн хүчийг багасгахын тулд давхар өнцгийн томъёог дахин зохион байгуулж болохыг анхаарна уу.

Теоремууд

Үндсэн тригонометрийн хоёр гол теорем нь синусын теорем ба косинусын теорем юм. Эдгээр теоремуудын тусламжтайгаар та синус, косинус, тангенс, иймээс зургийн талбай, тал бүрийн хэмжээ гэх мэтийг хэрхэн олохыг хялбархан ойлгож чадна.

Гурвалжны тал бүрийн уртыг эсрэг өнцөгт хуваахад ижил тоо гарна гэж синусын теорем заасан. Цаашилбал, энэ тоо нь хүрээлэгдсэн тойргийн хоёр радиустай тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн гурвалжны бүх цэгүүдийг агуулсан тойрог.

Косинусын теорем нь Пифагорын теоремыг ерөнхийлж, түүнийг дурын гурвалжинд тусгадаг. Хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс тэдгээрийн үржвэрийг зэргэлдээх өнцгийн давхар косинусаар үржүүлж хасвал үр дүнгийн утга нь гурав дахь талын квадраттай тэнцүү байх болно. Тиймээс Пифагорын теорем нь косинусын теоремын онцгой тохиолдол болж хувирав.

Болгоомжгүй алдаа

Синус, косинус, тангенс гэж юу байдгийг мэддэг байсан ч ухаангүй байдлаас эсвэл хамгийн энгийн тооцооллын алдаанаас болж алдаа гаргах нь амархан байдаг. Иймэрхүү алдаанаас зайлсхийхийн тулд хамгийн алдартайг нь авч үзье.

Нэгдүгээрт, та эцсийн үр дүнг авах хүртлээ бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэх ёсгүй - хэрэв нөхцөл байдалд өөрөөр заагаагүй бол хариултыг бутархай хэлбэрээр үлдээж болно. Ийм өөрчлөлтийг алдаа гэж нэрлэж болохгүй, гэхдээ асуудлын үе шат бүрт шинэ үндэс гарч ирж магадгүй бөгөөд үүнийг зохиогчийн санаа бодлын дагуу багасгах хэрэгтэй гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд та шаардлагагүй математик үйлдлүүдэд цагаа үрэх болно. Энэ нь ялангуяа гурвын үндэс эсвэл хоёрын үндэс гэх мэт утгуудын хувьд үнэн юм, учир нь тэдгээр нь алхам тутамд асуудалд байдаг. "Муухай" тоонуудыг дугуйлахад мөн адил хамаарна.

Цаашилбал, косинусын теорем нь ямар ч гурвалжинд хамаарах боловч Пифагорын теорем биш гэдгийг анхаарна уу! Хэрэв та талуудын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсэн үржвэрийг хоёр дахин хасахаа андуурч мартсан бол та огт буруу үр дүнд хүрэхээс гадна тухайн сэдвийг бүрэн ойлгоогүйг харуулах болно. Энэ бол болгоомжгүй алдаанаас ч дор юм.

Гуравдугаарт, синус, косинус, тангенс, котангентын хувьд 30 ба 60 градусын өнцгийн утгыг андуурч болохгүй. Эдгээр утгыг санаарай, учир нь 30 градусын синус нь 60-ын косинустай тэнцүү ба эсрэгээр. Тэднийг төөрөлдүүлэх нь амархан бөгөөд үүний үр дүнд та алдаатай үр дүнд хүрэх нь гарцаагүй.

Өргөдөл

Олон оюутнууд тригонометрийн практик утгыг ойлгодоггүй тул судалж эхлэх гэж яардаггүй. Инженер, одон орон судлаачийн хувьд синус, косинус, тангенс гэж юу вэ? Эдгээр нь алс холын одод хүртэлх зайг тооцоолох, солир унахыг урьдчилан таамаглах эсвэл өөр гариг ​​руу судалгааны датчик илгээх боломжийг олгодог ойлголтууд юм. Тэдгээргүйгээр барилга байгууламж барих, машин зохион бүтээх, гадаргуу дээрх ачааллыг тооцоолох, объектын траекторийг тооцоолох боломжгүй юм. Мөн эдгээр нь зөвхөн хамгийн тод жишээ юм! Эцсийн эцэст, тригонометрийг нэг хэлбэрээр эсвэл өөр хэлбэрээр хөгжимөөс анагаах ухаан хүртэл хаа сайгүй ашигладаг.

Дүгнэж хэлэхэд

Тэгэхээр та синус, косинус, тангенс гэсэн үг. Та тэдгээрийг тооцоололд ашиглаж, сургуулийн асуудлыг амжилттай шийдэж чадна.

Тригонометрийн бүх зүйл бол гурвалжны мэдэгдэж буй параметрүүдийг ашиглан үл мэдэгдэхийг тооцоолох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Гурван талын урт, гурван өнцгийн хэмжээ гэсэн нийт зургаан параметр байна. Даалгавруудын цорын ганц ялгаа нь өөр өөр оролтын өгөгдөл өгөгдсөн явдал юм.

Та одоо хөл эсвэл гипотенузын мэдэгдэж буй урт дээр үндэслэн синус, косинус, тангенсыг хэрхэн олохыг мэддэг болсон. Эдгээр нэр томьёо нь харьцаанаас өөр утгагүй бөгөөд харьцаа нь бутархай байдаг тул тригонометрийн бодлогын гол зорилго нь энгийн тэгшитгэл буюу тэгшитгэлийн системийн үндсийг олох явдал юм. Энд ердийн сургуулийн математик танд туслах болно.

Бид тригонометрийн судалгаагаа зөв гурвалжингаар эхлүүлнэ. Синус ба косинус гэж юу болохыг, мөн хурц өнцгийн тангенс ба котангенсыг тодорхойлъё. Энэ бол тригонометрийн үндэс суурь юм.

Үүнийг сануулъя зөв өнцөгнь 90 градустай тэнцүү өнцөг юм. Өөрөөр хэлбэл хагас эргэх өнцөг.

Хурц өнцөг- 90 градусаас бага.

Мохоо өнцөг- 90 хэмээс дээш. Ийм өнцгөөс харахад "мохоо" гэдэг нь доромжлол биш, математикийн хэллэг болно :-)

Тэгш өнцөгт гурвалжин зуръя. Зөв өнцгийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг. Булангийн эсрэг талын талыг ижил үсгээр, зөвхөн жижиг гэж тэмдэглэсэн болохыг анхаарна уу. Тиймээс эсрэг талын А өнцгийг тэмдэглэв.

Өнцгийг харгалзах Грек үсгээр тэмдэглэв.

ГипотенузТэгш өнцөгтийн эсрэг тал нь тэгш өнцөгт гурвалжны тал юм.

Хөл- хурц өнцгүүдийн эсрэг талд байрлах талууд.

Өнцгийн эсрэг талд хэвтэж буй хөлийг нэрлэдэг эсрэг(өнцөгтэй харьцуулахад). Өнцгийн аль нэг талд байрлах нөгөө хөлийг дуудна зэргэлдээ.

СинусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Косинустэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа:

Тангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа:

Өөр нэг (тэнцүү) тодорхойлолт: хурц өнцгийн тангенс нь өнцгийн синусыг косинустай харьцуулсан харьцаа юм.

Котангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа (эсвэл косинус ба синустай ижил харьцаа):

Доорх синус, косинус, тангенс, котангенсийн үндсэн хамаарлыг тэмдэглэ. Асуудлыг шийдвэрлэхэд тэд бидэнд ашигтай байх болно.

Тэдний заримыг нь нотолж үзье.

За, бид тодорхойлолт өгч, томьёо бичсэн. Гэхдээ яагаад бидэнд синус, косинус, тангенс, котангенс хэрэгтэй хэвээр байна вэ?

Үүнийг бид мэднэ аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна.

хоорондын харилцааг бид мэднэ намуудзөв гурвалжин. Энэ бол Пифагорын теорем юм: .

Гурвалжин дахь хоёр өнцгийг мэдсэнээр та гурав дахь өнцгийг олж чадна. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр талыг мэдсэнээр та гурав дахь хэсгийг нь олох боломжтой. Энэ нь өнцөг нь өөрийн гэсэн харьцаатай, талууд нь өөрийн гэсэн утгатай гэсэн үг юм. Тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг өнцөг (зөв өнцгөөс бусад) ба нэг талыг мэддэг ч нөгөө талыг нь олох шаардлагатай бол та яах ёстой вэ?

Эрт дээр үед хүмүүс энэ газар нутаг, одтой тэнгэрийн газрын зургийг гаргахдаа ийм зүйлтэй тулгардаг байв. Эцсийн эцэст гурвалжны бүх талыг шууд хэмжих нь үргэлж боломжгүй байдаг.

Синус, косинус ба тангенс - тэдгээрийг бас нэрлэдэг тригонометрийн өнцгийн функцууд- хоорондын харилцааг өгөх намуудТэгээд булангуудгурвалжин. Өнцгийг мэдэхийн тулд та тусгай хүснэгт ашиглан түүний бүх тригонометрийн функцийг олох боломжтой. Гурвалжин ба түүний аль нэг талын өнцгүүдийн синус, косинус, тангенсыг мэдсэнээр та үлдсэн хэсгийг нь олох боломжтой.

Бид мөн "сайн" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгуудын хүснэгтийг зурах болно.

Хүснэгт дээрх хоёр улаан зураасыг анхаарна уу. Тохиромжтой өнцгийн утгуудад тангенс ба котангенс байхгүй.

FIPI Task Bank-аас хэд хэдэн тригонометрийн асуудлыг авч үзье.

1. Гурвалжинд өнцөг нь ,. олох.

Асуудлыг дөрвөн секундын дотор шийддэг.

оноос хойш,.

2. Гурвалжинд өнцөг нь , , . олох.

Үүнийг Пифагорын теорем ашиглан олъё.

Асуудал шийдэгдсэн.

Ихэнхдээ асуудалд өнцөгтэй гурвалжин эсвэл өнцөгтэй гурвалжин байдаг. Тэдний үндсэн харьцааг цээжээр санаарай!

Өнцөгтэй гурвалжин ба өнцгийн эсрэг талын хөл нь тэнцүү байна гипотенузын хагас.

Өнцөгтэй гурвалжин ба тэгш өнцөгт. Үүний дотор гипотенуз нь хөлөөс хэд дахин том байдаг.

Бид тэгш өнцөгт гурвалжныг шийдвэрлэх, өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх талууд эсвэл өнцгийг олох асуудлыг авч үзсэн. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтад гурвалжны гаднах өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс зэрэг олон асуудал байдаг. Энэ талаар дараагийн өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.

Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт

Анхаарна уу. Энэхүү тригонометрийн функцийн утгуудын хүснэгт нь квадрат язгуурыг илэрхийлэхийн тулд √ тэмдгийг ашигладаг. Бутархай хэсгийг заахдаа "/" тэмдгийг ашиглана.

Мөн үзнэ үүашигтай материал:

Учир нь тригонометрийн функцийн утгыг тодорхойлох, тригонометрийн функцийг заасан шугамын огтлолцол дээр ол. Жишээлбэл, синус 30 градус - бид нүгэл (синус) гэсэн гарчигтай баганыг хайж, энэ хүснэгтийн баганын огтлолцлыг "30 градус" гэсэн мөртэй олдог бөгөөд тэдгээрийн огтлолцол дээр бид үр дүнг уншина - нэг хагас. Үүнтэй адилаар бид олдог косинус 60градус, синус 60градус (дахин нүглийн багана ба 60 градусын шугамын огтлолцол дээр бид sin 60 = √3/2 утгыг олно) гэх мэт. Бусад "алдартай" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенсийн утгыг ижил аргаар олдог.

Радиан дахь синус пи, косинус пи, тангенс пи болон бусад өнцөг

Косинус, синус, тангенсийн доорх хүснэгт нь аргумент нь тригонометрийн функцүүдийн утгыг олоход тохиромжтой. радианаар өгөгдсөн. Үүнийг хийхийн тулд өнцгийн утгуудын хоёр дахь баганыг ашиглана уу. Үүний ачаар та алдартай өнцгүүдийн утгыг градусаас радиан болгон хувиргаж болно. Жишээлбэл, эхний мөрөнд 60 градусын өнцгийг олж, түүний утгыг радианаар уншъя. 60 градус нь π/3 радиантай тэнцүү.

Пи тоо нь тойргийн өнцгийн хэмжүүрээс хамаарах хамаарлыг хоёрдмол утгагүй илэрхийлдэг. Тиймээс пи радианууд 180 градустай тэнцүү байна.

Пи (радиан)-аар илэрхийлсэн дурын тоог pi (π)-ийг 180-аар сольж градус руу хялбархан хөрвүүлж болно..

Жишээ:
1. Sine pi.
sin π = нүгэл 180 = 0
Тиймээс pi-ийн синус нь 180 градусын синустай ижил бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
Тиймээс pi-ийн косинус нь 180 градусын косинустай ижил бөгөөд хасах нэгтэй тэнцүү байна.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
Иймээс, тангенс pi нь шүргэгч 180 градустай ижил бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна.

0 - 360 градусын синус, косинус, тангенсийн утгын хүснэгт (нийтлэг утгууд)

Хэрэв тригонометрийн функцуудын утгын хүснэгтэд функцийн утгын оронд зураас (шүргээ (tg) 90 градус, котангенс (ctg) 180 градус) заасан бол өнцгийн градусын хэмжүүрийн өгөгдсөн утгын хувьд функц байна. тодорхой үнэ цэнэгүй. Хэрэв зураас байхгүй бол нүд хоосон байна, энэ нь бид шаардлагатай утгыг хараахан оруулаагүй байна гэсэн үг юм. Хамгийн түгээмэл өнцгийн утгуудын косинус, синус, тангенсийн утгуудын талаарх одоогийн өгөгдөл нь ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байгаа хэдий ч хэрэглэгчид бидэнд ямар асуулт тавьж, хүснэгтийг шинэ утгуудаар нөхөж байгааг бид сонирхож байна. асуудлууд.

Хамгийн алдартай өнцгүүдийн sin, cos, tg гэсэн тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градус
(тоон утгууд "Брадисын хүснэгтийн дагуу")

Синустэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг α нь харьцаа юм эсрэгхөл нь гипотенуз хүртэл.
Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: sin α.

КосинусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг α нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: cos α.

Тангенсхурц өнцөг α нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм.
Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: tg α.

Котангенсхурц өнцөг α нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм.
Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: ctg α.

Өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Дүрэм:

Тэгш өнцөгт гурвалжны үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг:

(α - хөлний эсрэг талын хурц өнцөг б ба хөлний хажууд а . Хажуу тал -тай - гипотенуз. β - хоёр дахь хурц өнцөг).

Хурц өнцөг нэмэгдэх тусамнүгэл α баtan α нэмэгдэх, баcos α буурдаг.

Аливаа α хурц өнцөгт:

нүгэл (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Жишээ-тайлбар:

ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг оруул
AB = 6,
BC = 3,
өнцөг A = 30º.

А өнцгийн синус, В өнцгийн косинусыг олъё.

Шийдэл.

1) Эхлээд бид B өнцгийн утгыг олно. Энд бүх зүйл энгийн: тэгш өнцөгт гурвалжинд хурц өнцгүүдийн нийлбэр 90º бол B өнцөг = 60º байна:

B = 90º - 30º = 60º.

2) Нүгэл А-г тооцоолъё. Синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаатай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. А өнцгийн хувьд эсрэг тал нь ВС тал байна. Тэгэхээр:

МЭӨ 3 1
нүгэл А = -- = - = -
AB 6 2

3) Одоо cos B-г тооцоолъё. Косинус нь зэргэлдээх хөлийн гипотенузын харьцаатай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. B өнцгийн хувьд зэргэлдээх хөл нь BC-тэй ижил тал юм. Энэ нь бид дахин BC-ийг AB-д хуваах хэрэгтэй гэсэн үг юм, өөрөөр хэлбэл А өнцгийн синусыг тооцоолохтой ижил үйлдлийг хийх хэрэгтэй.

МЭӨ 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Үр дүн нь:
нүгэл А = cos B = 1/2.

нүгэл 30º = cos 60º = 1/2.

Эндээс харахад тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг хурц өнцгийн синус нь нөгөө хурц өнцгийн косинустай тэнцүү ба эсрэгээр байна. Энэ бол бидний хоёр томьёоны утга учир юм:
нүгэл (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Үүнийг дахин шалгацгаая:

1) α = 60º гэж үзье. α-ийн утгыг синусын томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
нүгэл (90º – 60º) = cos 60º.
нүгэл 30º = cos 60º.

2) α = 30º гэж үзье. Косинусын томъёонд α-ийн утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
cos (90° – 30º) = нүгэл 30º.
cos 60° = гэм 30º.

(Тригонометрийн талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг Алгебр хэсгээс үзнэ үү)