Зөрчлийг хэрхэн тооцдог вэ? Үлдэгдэл зөрүү

Статистикт ашигладаг олон үзүүлэлтүүдийн дотроос вариацын тооцоог онцлон тэмдэглэх шаардлагатай. Энэ тооцоог гараар хийх нь нэлээд уйтгартай ажил гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Аз болоход, Excel нь тооцооллын процедурыг автоматжуулах боломжийг олгодог функцуудтай. Эдгээр хэрэгслүүдтэй ажиллах алгоритмыг олж мэдье.

Тархалт нь хэлбэлзлийн үзүүлэлт бөгөөд энэ нь математикийн хүлээлтээс хазайсан дундаж квадрат юм. Тиймээс энэ нь дундаж утгын ойролцоо тоонуудын тархалтыг илэрхийлдэг. Вариацын тооцоог нийт хүн амын дунд болон түүврийн аль алинд нь хийж болно.

Арга 1: хүн амын тоонд тулгуурлан тооцоолох

Энэ үзүүлэлтийг Excel-д нийт хүн амын хувьд тооцоолохын тулд функцийг ашиглана уу DISP.G. Энэ илэрхийллийн синтакс нь дараах байдалтай байна.

DISP.G(Дугаар1;Дугаар2;…)

Нийт 1-ээс 255 аргумент ашиглаж болно. Аргументууд нь тоон утга эсвэл тэдгээрийн байгаа нүднүүдийн лавлагаа байж болно.

Тоон өгөгдөл бүхий мужид энэ утгыг хэрхэн тооцоолохыг харцгаая.

Арга 2: дээжээр тооцоолох

Хүн амын тоонд тулгуурлан утгыг тооцоолохоос ялгаатай нь түүврийг тооцоолохдоо хуваагч нь нийт тооны тоог заадаггүй, харин нэгээр бага байна. Энэ нь алдаа засах зорилгоор хийгддэг. Excel нь энэхүү нюансыг энэ төрлийн тооцоололд зориулагдсан тусгай функцэд харгалзан үздэг - DISP.V. Түүний синтаксийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

DISP.B(Дугаар1;Дугаар2;…)

Аргументуудын тоо өмнөх функцийн адил 1-ээс 255 хүртэл байж болно.

Таны харж байгаагаар Excel програм нь хэлбэлзлийн тооцоог ихээхэн хөнгөвчлөх боломжтой. Энэ статистикийг хүн амын тоо эсвэл түүврийн дагуу програмаар тооцоолж болно. Энэ тохиолдолд хэрэглэгчийн бүх үйлдэл нь боловсруулагдах тоонуудын хүрээг тодорхойлоход хүргэдэг бөгөөд Excel үндсэн ажлыг өөрөө хийдэг. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь хэрэглэгчийн цагийг ихээхэн хэмнэх болно.

Түүвэр судалгаанаас үзэхэд хадгаламж эзэмшигчдийг хотын Сбербанк дахь хадгаламжийн хэмжээгээр нь ангилсан.

Тодорхойлох:

1) өөрчлөлтийн хамрах хүрээ;

2) хадгаламжийн дундаж хэмжээ;

3) дундаж шугаман хазайлт;

4) тархалт;

5) стандарт хазайлт;

6) шимтгэлийн өөрчлөлтийн коэффициент.

Шийдэл:

Энэхүү түгээлтийн цуврал нь нээлттэй интервалуудыг агуулдаг. Ийм цувралд эхний бүлгийн интервалын утгыг дараагийн бүлгийн интервалын утгатай тэнцүү гэж үздэг бөгөөд сүүлийн бүлгийн интервалын утгыг дараах бүлгийн интервалын утгатай тэнцүү гэж үздэг. өмнөх нэг.

Хоёр дахь бүлгийн интервалын утга нь 200-тай тэнцүү тул эхний бүлгийн утга нь 200-тай тэнцүү байна. Эцсийн бүлгийн интервалын утга 200-тай тэнцүү байна, энэ нь сүүлийн интервал нь мөн адил байх болно гэсэн үг юм. 200 утгатай байна.

1) Хувьсах хүрээг атрибутын хамгийн том ба хамгийн бага утгын зөрүү гэж тодорхойлъё.

Хадгаламжийн хэмжээг өөрчлөх хүрээ нь 1000 рубль юм.

2) Шимтгэлийн дундаж хэмжээг жигнэсэн арифметик дундажийн томъёогоор тодорхойлно.

Эхлээд интервал бүр дэх атрибутын дискрет утгыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд энгийн арифметик дундаж томъёог ашиглан интервалуудын дунд цэгүүдийг олно.

Эхний интервалын дундаж утга нь:

хоёр дахь нь - 500 гэх мэт.

Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд оруулъя.

Хотын Сбербанк дахь хадгаламжийн дундаж хэмжээ 780 рубль болно.

3) Дундаж шугаман хазайлт нь шинж чанарын бие даасан утгын үнэмлэхүй хазайлтын арифметик дундаж юм.

Интервалын тархалтын цувааны дундаж шугаман хазайлтыг тооцоолох журам дараах байдалтай байна.

1. Жигнэсэн арифметик дундажийг 2)-д үзүүлсний дагуу тооцоолно.

2. Дунджаас үнэмлэхүй хазайлтыг тодорхойлно:

3. Үүссэн хазайлтыг давтамжаар үржүүлнэ.

4. Тэмдгийг харгалзахгүйгээр жинлэсэн хазайлтын нийлбэрийг ол.

5. Жинлэсэн хазайлтын нийлбэрийг давтамжийн нийлбэрт хуваана.

Тооцооллын өгөгдлийн хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой:

Сбербанкны үйлчлүүлэгчдийн хадгаламжийн дундаж шугаман хазайлт нь 203.2 рубль байна.

4) Тархалт гэдэг нь атрибутын утга бүрийн арифметик дунджаас квадрат хазайлтуудын арифметик дундаж юм.

Интервалын тархалтын цувралын дисперсийн тооцоог дараахь томъёогоор гүйцэтгэнэ.

Энэ тохиолдолд зөрүүг тооцоолох журам дараах байдалтай байна.

1. 2-р зүйлд үзүүлсэн шиг жигнэсэн арифметик дундажийг тодорхойлно уу).

2. Дунджаас хазайлтыг ол:

3. Сонголт бүрийн дундажаас хазайлтыг квадрат болгоно.

4. Хазайлын квадратуудыг жингээр (давтамжаар) үржүүлнэ:

5. Үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэгтгэн дүгнэ:

6. Үүссэн дүнг жингийн (давтамж) нийлбэрт хуваана:

Тооцооллыг хүснэгтэд оруулъя:

Магадлалын онол бол зөвхөн дээд боловсролын сургуулийн оюутнууд судалдаг математикийн тусгай салбар юм. Та тооцоолол, томъёонд дуртай юу? Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалт, ансамблийн энтропи, математикийн хүлээлт, дисперстэй танилцах хэтийн төлөв таныг айхгүй байна уу? Тэгвэл энэ сэдэв танд маш сонирхолтой байх болно. Энэхүү шинжлэх ухааны салбарын хамгийн чухал хэд хэдэн үндсэн ойлголттой танилцацгаая.

Үндсэн зүйлийг санацгаая

Хэдийгээр та магадлалын онолын хамгийн энгийн ойлголтуудыг санаж байсан ч өгүүллийн эхний догол мөрийг үл тоомсорлож болохгүй. Гол нь та үндсэн ойлголтуудыг тодорхой ойлгохгүй бол доор авч үзсэн томьёотой ажиллах боломжгүй болно.

Тиймээс зарим нэг санамсаргүй үйл явдал, зарим туршилтууд тохиолддог. Бидний хийсэн үйлдлүүдийн үр дүнд бид хэд хэдэн үр дүнд хүрч чадна - тэдгээрийн зарим нь илүү олон удаа тохиолддог, зарим нь бага тохиолддог. Үйл явдлын магадлал нь нэг төрлийн бодит үр дүнгийн тоог боломжит үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Зөвхөн энэ ойлголтын сонгодог тодорхойлолтыг мэдсэнээр та тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба тархалтыг судалж эхлэх боломжтой.

Арифметик дундаж

Сургуульд байхдаа математикийн хичээл дээр та арифметик дундажтай ажиллаж эхэлсэн. Энэ ойлголт магадлалын онолд өргөн хэрэглэгддэг тул үүнийг үл тоомсорлож болохгүй. Одоогийн байдлаар бидний хувьд хамгийн гол зүйл бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба тархалтын томъёонд бид үүнийг тааралдах явдал юм.

Бидэнд тоонуудын дараалал байгаа бөгөөд арифметик дундажийг олохыг хүсч байна. Биднээс шаардагдах бүх зүйл бол боломжтой бүх зүйлийг нэгтгэн дүгнэж, дарааллын элементүүдийн тоогоор хуваах явдал юм. 1-ээс 9 хүртэлх тоонууд байцгаая. Элементүүдийн нийлбэр нь 45-тай тэнцүү байх ба бид энэ утгыг 9-д хуваана. Хариулт: - 5.

Тархалт

Шинжлэх ухааны үүднээс авч үзвэл тархалт гэдэг нь арифметик дунджаас авсан шинж чанарын утгын хазайлтын дундаж квадрат юм. Үүнийг нэг том латин үсгээр тэмдэглэсэн D. Үүнийг тооцоолоход юу хэрэгтэй вэ? Дарааллын элемент бүрийн хувьд бид одоо байгаа тоо болон арифметик дундаж хоёрын зөрүүг тооцоод квадрат болгоно. Бидний авч үзэж буй үйл явдлын үр дүн байж болохуйц олон үнэт зүйлс байх болно. Дараа нь бид хүлээн авсан бүх зүйлийг нэгтгэж, дарааллын элементүүдийн тоогоор хуваана. Хэрэв бидэнд таван боломжит үр дүн байгаа бол таваар хуваа.

Тархалт нь асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахын тулд санаж байх ёстой шинж чанаруудтай. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X дахин нэмэгдүүлэхэд дисперс нь X квадрат дахин нэмэгддэг (өөрөөр хэлбэл X*X). Энэ нь хэзээ ч тэгээс багагүй бөгөөд утгыг тэнцүү хэмжээгээр дээш эсвэл доош шилжүүлэхээс хамаардаггүй. Нэмж дурдахад, бие даасан туршилтуудын хувьд нийлбэрийн хэлбэлзэл нь хэлбэлзлийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Одоо бид салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс болон математикийн хүлээлтийн жишээг авч үзэх нь гарцаагүй.

Бид 21 туршилт хийж, 7 өөр үр дүнд хүрсэн гэж бодъё. Бид тус бүрийг 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5 удаа ажигласан. Зөрчил нь ямар тэнцүү байх вэ?

Эхлээд арифметик дундажийг тооцоод үзье: элементүүдийн нийлбэр нь мэдээж 21. Үүнийг 7-д хувааж 3-ыг авна. Одоо анхны дарааллын тоо бүрээс 3-ыг хасч, утга тус бүрийг квадрат болгож, үр дүнг нэгтгэнэ. Үр дүн нь 12. Одоо бидний хийх ёстой зүйл бол тоог элементийн тоонд хуваах явдал юм, тэгээд л болоо. Гэхдээ барих зүйл байна! Үүнийг хэлэлцье.

Туршилтын тооноос хамаарна

Эндээс харахад дисперсийг тооцоолохдоо хуваагч нь N эсвэл N-1 гэсэн хоёр тооны аль нэгийг агуулж болно. Энд N нь гүйцэтгэсэн туршилтын тоо эсвэл дарааллын элементийн тоо (энэ нь үндсэндээ ижил зүйл юм). Энэ юунаас хамаардаг вэ?

Хэрэв тестийн тоог хэдэн зуугаар хэмжсэн бол хуваагчдаа N-г оруулах ёстой. Эрдэмтэд хил хязгаарыг нэлээд бэлгэдлээр зурахаар шийдсэн: өнөөдөр энэ нь 30-ын тоогоор дамждаг. Хэрэв бид 30-аас бага туршилт хийсэн бол N-1, түүнээс дээш бол N-ээр хуваана.

Даалгавар

Дисперс ба математикийн хүлээлтийн асуудлыг шийдэх жишээндээ эргэн оръё. Бид завсрын дугаар 12-ыг авсан бөгөөд үүнийг N эсвэл N-1-д хуваах шаардлагатай байв. Бид 21 туршилт хийсэн бөгөөд энэ нь 30 хүрэхгүй байгаа тул бид хоёр дахь хувилбарыг сонгох болно. Тиймээс хариулт нь: дисперс нь 12/2 = 2 байна.

Хүлээлт

Энэ нийтлэлд авч үзэх ёстой хоёр дахь үзэл баримтлал руу шилжье. Математикийн хүлээлт нь боломжит бүх үр дүнг харгалзах магадлалаар үржүүлсний үр дүн юм. Хүлээн авсан утга, түүнчлэн хэлбэлзлийг тооцоолох үр дүн нь хэчнээн үр дүнг авч үзсэнээс үл хамааран бүх асуудлын хувьд зөвхөн нэг удаа л гардаг гэдгийг ойлгох нь чухал юм.

Математикийн хүлээлтийн томъёо нь маш энгийн: бид үр дүнг авч, магадлалаар нь үржүүлж, хоёр дахь, гурав дахь үр дүнгийн хувьд адилхан нэмдэг гэх мэт. Энэ үзэл баримтлалтай холбоотой бүх зүйлийг тооцоолоход хэцүү биш юм. Жишээлбэл, хүлээгдэж буй утгуудын нийлбэр нь нийлбэрийн хүлээгдэж буй утгатай тэнцүү байна. Ажлын хувьд ч мөн адил. Магадлалын онолын хэмжигдэхүүн бүр ийм энгийн үйлдлүүдийг хийх боломжийг олгодоггүй. Асуудлыг авч үзээд нэгэн зэрэг судалсан хоёр ойлголтын утгыг тооцоод үзье. Нэмж дурдахад бид онолд сатаарсан - дадлага хийх цаг болжээ.

Өөр нэг жишээ

Бид 50 туршилт явуулж, 0-ээс 9 хүртэлх 10 төрлийн үр дүнг өөр өөр хувиар авсан. Үүнд: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Магадлалыг олж авахын тулд та хувийн утгыг 100-д ​​хуваах хэрэгтэй гэдгийг санаарай. Тиймээс бид 0.02-ыг авна; 0.1 гэх мэт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба математикийн хүлээлтийн дисперсийн асуудлыг шийдэх жишээг үзүүлье.

Бид бага сургуулиас санаж байсан томъёогоор арифметик дундажийг тооцдог: 50/10 = 5.

Одоо тоолоход хялбар болгохын тулд магадлалыг үр дүнгийн тоо болгон "хэсэг болгон" хөрвүүлцгээе. Бид 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5, 9-ийг авдаг. Олж авсан утга бүрээс бид арифметик дундажийг хасч, дараа нь олж авсан үр дүнгийн квадратыг авна. Жишээ болгон эхний элементийг ашиглан үүнийг хэрхэн хийхийг харна уу: 1 - 5 = (-4). Дараа нь: (-4) * (-4) = 16. Бусад утгуудын хувьд эдгээр үйлдлийг өөрөө хий. Хэрэв та бүгдийг зөв хийсэн бол бүгдийг нь нэмсний дараа та 90 авах болно.

90-ийг N-д хувааж дисперс болон хүлээгдэж буй утгыг үргэлжлүүлэн тооцоолъё. Яагаад бид N-1-ээс илүү N-г сонгосон бэ? Зөв, учир нь хийсэн туршилтын тоо 30-аас хэтэрсэн. Тэгэхээр: 90/10 = 9. Бид дисперсийг авсан. Хэрэв та өөр дугаар авсан бол цөхрөл бүү зов. Та тооцоололд энгийн алдаа гаргасан байх магадлалтай. Бичсэн зүйлээ дахин шалгаарай, магадгүй бүх зүйл байрандаа орох болно.

Эцэст нь, математикийн хүлээлтийн томъёог санаарай. Бид бүх тооцоог өгөхгүй, зөвхөн шаардлагатай бүх процедурыг дуусгасны дараа шалгах боломжтой хариултыг бичих болно. Хүлээгдэж буй утга нь 5.48 байх болно. Эхний элементүүдийг жишээ болгон ашиглан үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэхийг л эргэн санацгаая: 0*0.02 + 1*0.1... гэх мэт. Таны харж байгаагаар бид үр дүнгийн утгыг магадлалаар нь үржүүлдэг.

Хазайлт

Тархалт ба математикийн хүлээлттэй нягт холбоотой өөр нэг ойлголт бол стандарт хазайлт юм. Үүнийг Латин үсгээр sd эсвэл Грекийн жижиг үсгээр "сигма" гэж тэмдэглэдэг. Энэхүү үзэл баримтлал нь утгууд нь төв шинж чанараас дунджаар хэр их хазайж байгааг харуулж байна. Үүний утгыг олохын тулд та дисперсийн квадрат язгуурыг тооцоолох хэрэгтэй.

Хэрэв та ердийн тархалтын графикийг зурж, түүн дээр квадрат хазайлтыг шууд харахыг хүсвэл үүнийг хэд хэдэн үе шаттайгаар хийж болно. Зургийн хагасыг горимын зүүн эсвэл баруун талд (төв утга) авч, хэвтээ тэнхлэгт перпендикуляр зурж, үүссэн зургуудын талбайнууд тэнцүү байна. Тархалтын дунд хэсэг ба хэвтээ тэнхлэгт гарах проекцын хоорондох сегментийн хэмжээ нь стандарт хазайлтыг илэрхийлнэ.

Програм хангамж

Томьёоны тайлбар болон танилцуулсан жишээнүүдээс харахад дисперс болон математикийн хүлээлтийг тооцоолох нь арифметикийн үүднээс авч үзвэл хамгийн энгийн журам биш юм. Цагийг дэмий үрэхгүйн тулд дээд боловсролын байгууллагуудад ашигладаг программыг "R" гэж нэрлэдэг. Энэ нь статистик болон магадлалын онолоос олон ойлголтын утгыг тооцоолох боломжийг олгодог функцуудтай.

Жишээлбэл, та утгын векторыг зааж өгнө. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Дүгнэж хэлэхэд

Тархалт ба математикийн хүлээлт нь үүнгүйгээр ирээдүйд ямар нэгэн зүйлийг тооцоолоход хэцүү байдаг. Их дээд сургуулиудын лекцийн үндсэн хичээл дээр энэ сэдвийг судалж эхэлсэн эхний саруудад аль хэдийн хэлэлцдэг. Чухамдаа эдгээр энгийн ойлголтуудын талаар ойлголт дутмаг, тэдгээрийг тооцоолох чадваргүйгээс болж олон оюутнууд хөтөлбөрөөс шууд хоцорч, дараа нь хичээлийн төгсгөлд муу дүн авдаг бөгөөд энэ нь тэднийг тэтгэлэггүй болгодог.

Доод тал нь нэг долоо хоног, өдөрт хагас цаг дасгал хийж, энэ өгүүлэлд дурдсантай ижил төстэй асуудлуудыг шийдээрэй. Дараа нь магадлалын онолын аливаа тест дээр та гадны зөвлөмж, хуурамч хуудасгүйгээр жишээнүүдийг даван туулах боломжтой болно.

Хувилбарын хүрээ (эсвэл хэлбэлзлийн хүрээ) -Энэ нь шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын ялгаа юм:

Бидний жишээн дээр ажилчдын ээлжийн бүтээгдэхүүний өөрчлөлтийн хүрээ нь: нэгдүгээр бригад R = 105-95 = 10 хүүхэд, хоёрдугаар бригад R = 125-75 = 50 хүүхэд байна. (5 дахин их). Энэ нь 1-р бригадын гарц илүү "тогтвортой" байгааг харуулж байна, харин хоёрдугаар бригадын үйлдвэрлэлийг нэмэгдүүлэх нөөц илүү их байна. Хэрэв бүх ажилчид энэ бригадын хувьд хамгийн их бүтээмжид хүрвэл 3 * 125 = 375 эд анги, 1-р бригад зөвхөн 105 * 3 = 315 эд анги үйлдвэрлэх боломжтой.
Хэрэв шинж чанарын хэт утгууд нь популяцийн хувьд ердийн зүйл биш бол квартиль эсвэл децилийн мужийг ашиглана. RQ= Q3-Q1 квартилийн муж нь популяцийн эзлэхүүний 50%-ийг, эхний аравтын муж RD1 = D9-D1 өгөгдлийн 80%-ийг, хоёр дахь аравтын муж RD2= D8-D2 – 60%-ийг эзэлдэг.
Хувьсах хүрээний үзүүлэлтийн сул тал нь түүний утга нь шинж чанарын бүх хэлбэлзлийг тусгадаггүй явдал юм.
Тухайн шинж чанарын бүх хэлбэлзлийг тусгасан хамгийн энгийн ерөнхий үзүүлэлт дундаж шугаман хазайлт, энэ нь хувь хүний ​​сонголтуудын дундаж утгаас үнэмлэхүй хазайлтын арифметик дундаж юм.

,
бүлэглэсэн өгөгдлийн хувьд
,
Энд xi нь салангид цуваа дахь шинж чанарын утга эсвэл интервалын тархалтын интервалын дунд хэсэг юм.
Дээрх томъёонд тоологчийн зөрүүг модулаар авдаг, эс тэгвээс арифметик дундажийн шинж чанарын дагуу тоологч нь үргэлж тэгтэй тэнцүү байх болно. Тиймээс дундаж шугаман хазайлтыг статистикийн практикт ховор ашигладаг бөгөөд зөвхөн тэмдгийг харгалзахгүйгээр үзүүлэлтүүдийг нэгтгэх нь эдийн засгийн ач холбогдолтой байдаг. Үүний тусламжтайгаар жишээлбэл, ажиллах хүчний бүтэц, үйлдвэрлэлийн ашигт ажиллагаа, гадаад худалдааны эргэлтэд дүн шинжилгээ хийдэг.
Аливаа шинж чанарын ялгаатай байдалдундаж утгаас хазайсан дундаж квадрат нь:
энгийн хэлбэлзэл
,
жигнэсэн хэлбэлзэл
.
Вариацийг тооцоолох томъёог хялбаршуулж болно:

Тиймээс дисперс нь опционы квадратуудын дундаж ба хүн амын сонголтын дундажийн квадратын хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.
.
Гэсэн хэдий ч квадрат хазайлтын нийлбэрээс шалтгаалан хэлбэлзэл нь хазайлтын талаар гажуудсан санааг өгдөг тул үүн дээр үндэслэн дундажийг тооцдог. стандарт хазайлт, энэ нь шинж чанарын тодорхой хувилбарууд дундаж утгаасаа дунджаар хэр их хазайж байгааг харуулдаг. Дисперсийн квадрат язгуураар тооцоолно:
бүлэггүй өгөгдлийн хувьд
,
вариацын цувралын хувьд

Вариаци ба стандарт хазайлтын утга бага байх тусам хүн амын нэгдмэл байх тусам дундаж утга нь найдвартай (ердийн) байх болно.
Дундаж шугаман ба стандарт хазайлтыг тоо гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь шинж чанарын хэмжилтийн нэгжээр илэрхийлэгддэг, агуулгын хувьд ижил, утгаараа ойролцоо байдаг.
Хүснэгтийг ашиглан үнэмлэхүй хэлбэлзлийг тооцоолохыг зөвлөж байна.
Хүснэгт 3 - Өөрчлөлтийн шинж чанарыг тооцоолох (багийн ажилчдын ээлжийн үйлдвэрлэлийн талаархи өгөгдлийн хугацааны жишээг ашиглан)

Ажилчдын ээлжийн дундаж бүтээмж:

Дундаж шугаман хазайлт:

Үйлдвэрлэлийн зөрүү:

Тусдаа ажилчдын үйлдвэрлэлийн дундаж хэмжээнээс стандарт хазайлт:
.

1 Моментийн аргыг ашиглан дисперсийн тооцоо

Зөрчлийг тооцоолоход төвөгтэй тооцоолол орно (ялангуяа дундажийг аравтын бутархайгаар том тоогоор илэрхийлсэн тохиолдолд). Тооцооллыг хялбаршуулсан томъёо, тархалтын шинж чанарыг ашиглан хялбаршуулж болно.
Тархалт нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1. Хэрэв шинж чанарын бүх утгыг ижил А утгаар бууруулж эсвэл өсгөвөл тархалт буурахгүй.

,

, дараа нь эсвэл
Тархалтын шинж чанарыг ашиглан эхлээд популяцийн бүх хувилбаруудыг А утгаар бууруулж, дараа нь h интервалын утгад хувааснаар бид тэнцүү интервалтай вариацын цуваа дахь дисперсийг тооцоолох томъёог олж авна. нэг талаараа:
,
моментийн аргаар тооцоолсон дисперс хаана байна;
h – вариацын цувааны интервалын утга;
- шинэ (өөрчлөгдсөн) утгын сонголт;
А нь тогтмол утга бөгөөд үүнийг хамгийн их давтамжтай интервалын дунд хэсэг болгон ашигладаг; эсвэл хамгийн өндөр давтамжтай сонголт;
– эхний эрэмбийн моментийн квадрат;
- хоёр дахь захиалгын мөч.
Багийн ажилчдын ээлжийн гаралтын өгөгдөл дээр үндэслэн моментийн аргыг ашиглан тархалтыг тооцоолъё.
Хүснэгт 4 - Моментийн аргыг ашиглан дисперсийн тооцоо

Тооцооллын журам:

1. Бид зөрүүг тооцоолно:

2 Альтернатив шинж чанарын дисперсийн тооцоо

Статистикийн судалж буй шинж чанаруудын дунд зөвхөн хоёр бие биенээ үгүйсгэдэг шинж чанарууд байдаг. Эдгээр нь өөр шинж тэмдэг юм. Тэдгээрийг тус тусад нь хоёр тоон утгыг өгсөн: сонголт 1 ба 0. p-ээр тэмдэглэгдсэн 1-р хувилбарын давтамж нь энэ шинж чанарыг агуулсан нэгжийн эзлэх хувь юм. 1-р=q ялгаа нь 0 хувилбарын давтамж юм.Иймээс

Альтернатив тэмдгийн арифметик дундаж
, учир нь p+q=1.

Альтернатив шинж чанарын хэлбэлзэл
, учир нь 1-р=q
Тиймээс альтернатив шинж чанарын дисперс нь энэ шинж чанарыг эзэмшсэн нэгжийн эзлэх хувь ба энэ шинж чанарыг эзэмшээгүй нэгжийн эзлэх хувьтай тэнцүү байна.
Хэрэв 1 ба 0 утгууд ижил давтамжтайгаар тохиолдвол, өөрөөр хэлбэл p=q бол дисперс хамгийн ихдээ pq=0.25 хүрнэ.
Альтернатив шинж чанарын зөрүүг түүвэр судалгаанд, жишээлбэл, бүтээгдэхүүний чанарт ашигладаг.

3 Бүлэг хоорондын зөрүү. Зөрчлийг нэмэх дүрэм

Тархалт нь өөрчлөлтийн бусад шинж чанараас ялгаатай нь нэмэлт хэмжигдэхүүн юм. Энэ нь хүчин зүйлийн шинж чанарын дагуу бүлэгт хуваагддаг нийлбэрт X , үр дүнгийн шинж чанарын хэлбэлзэл yбүлэг тус бүрийн доторх (бүлэг доторх) дисперс болон бүлгүүдийн хоорондын дисперс (бүлэг хоорондын) гэж задалж болно. Дараа нь тухайн шинж чанарын өөрчлөлтийг нийт популяцийн хэмжээнд судлахын зэрэгцээ бүлэг тус бүрийн болон эдгээр бүлгүүдийн хоорондын өөрчлөлтийг судлах боломжтой болно.

Нийт зөрүүшинж чанарын өөрчлөлтийг хэмждэг цагтЭнэ өөрчлөлтийг (хазайлт) үүсгэсэн бүх хүчин зүйлийн нөлөөн дор бүхэлд нь. Энэ нь атрибутын бие даасан утгуудын дундаж квадрат хазайлттай тэнцүү байна цагтерөнхий дунджаас авах ба энгийн эсвэл жигнэсэн дисперс хэлбэрээр тооцоолж болно.
Бүлэг хоорондын зөрүүүүссэн шинж чанарын өөрчлөлтийг тодорхойлдог цагтхүчин зүйлийн тэмдгийн нөлөөгөөр үүссэн Xбүлэглэх үндэс болсон . Энэ нь бүлгийн дундаж үзүүлэлтүүдийн хэлбэлзлийг тодорхойлдог бөгөөд бүлгийн дундаж үзүүлэлтүүдийн нийт дунджаас хазайсан дундаж квадраттай тэнцүү байна.
,
i-р бүлгийн арифметик дундаж хаана байна;
– i-р бүлгийн нэгжийн тоо (i-р бүлгийн давтамж);
- хүн амын нийт дундаж.
Бүлэг доторх ялгаасанамсаргүй хэлбэлзлийг тусгадаг, өөрөөр хэлбэл тооцоолоогүй хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүдэлтэй өөрчлөлтийн хэсэг бөгөөд бүлэглэлийн үндэс болсон хүчин зүйлийн шинж чанараас хамаардаггүй. Энэ нь бүлгийн дундажтай харьцуулахад хувь хүний ​​утгын хэлбэлзлийг тодорхойлдог бөгөөд шинж чанарын хувь хүний ​​утгын дундаж квадрат хазайлттай тэнцүү байна. цагтЭнэ бүлгийн арифметик дунджаас (бүлгийн дундаж) бүлгийн доторх бөгөөд бүлэг тус бүрийн хувьд энгийн буюу жигнэсэн дисперс хэлбэрээр тооцно.
эсвэл ,
бүлгийн нэгжийн тоо хаана байна.
Бүлэг бүрийн хувьд бүлэг доторх хэлбэлзэл дээр үндэслэн нэг нь тодорхойлж болно бүлэг доторх хэлбэлзлийн нийт дундаж:
.
Гурван дисперсийн хоорондын хамаарлыг нэрлэнэ хэлбэлзлийг нэмэх дүрэм, үүний дагуу нийт дисперс нь бүлэг хоорондын дисперсийн нийлбэр ба бүлэг доторх дисперсийн дундажтай тэнцүү байна:

Жишээ. Ажилчдын хөдөлмөрийн бүтээмжийн түвшинд тарифын ангилал (мэргэшлийн) нөлөөллийг судлахдаа дараахь мэдээллийг олж авав.
Хүснэгт 5 – Ажилчдын цагийн дундаж үйлдвэрлэлийн хувиарлалт.

Энэ жишээнд ажилчдыг хүчин зүйлийн шинж чанараар нь хоёр бүлэгт хуваадаг X- зэрэглэлээр тодорхойлогддог мэргэшил. Үүний үр дүнд бий болсон шинж чанар-үйлдвэрлэл нь түүний нөлөөн дор (бүлэг хоорондын өөрчлөлт) болон бусад санамсаргүй хүчин зүйлээс (бүлэг доторх хэлбэлзэл) харилцан адилгүй байдаг. Зорилго нь нийт, бүлэг хоорондын болон бүлэг доторх гэсэн гурван хэлбэлзлийг ашиглан эдгээр өөрчлөлтийг хэмжих явдал юм. цагтЭмпирик детерминацийн коэффициент нь үр дүнд бий болсон шинж чанарын өөрчлөлтийн хувийг харуулдаг Xхүчин зүйлийн тэмдгийн нөлөөн дор цагт. Нийт өөрчлөлтийн үлдсэн хэсэг
бусад хүчин зүйлийн өөрчлөлтөөс үүдэлтэй.
Жишээн дээр эмпирик детерминацийн коэффициент нь:
буюу 66.7%,
Энэ нь ажилчдын хөдөлмөрийн бүтээмжийн өөрчлөлтийн 66.7% нь мэргэшлийн зөрүү, 33.3% нь бусад хүчин зүйлийн нөлөөлөлтэй байна гэсэн үг.Эмпирик корреляцийн хамаарал

бүлэглэл болон гүйцэтгэлийн шинж чанаруудын хоорондын нягт холбоог харуулж байна. Эмпирик детерминацийн коэффициентийн квадрат язгуураар тооцоолно:
Эмпирик корреляцийн харьцаа нь 0-ээс 1 хүртэлх утгыг авч болно.
Хэрэв холболт байхгүй бол =0 байна. Энэ тохиолдолд =0, өөрөөр хэлбэл бүлгийн дундаж нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд бүлэг хоорондын хэлбэлзэл байхгүй болно. Энэ нь бүлэглэх шинж чанар - хүчин зүйл нь ерөнхий хэлбэлзэл үүсэхэд нөлөөлдөггүй гэсэн үг юм.
Хэрэв холболт ажиллаж байгаа бол =1. Энэ тохиолдолд бүлгийн дундаж хэлбэлзэл нь нийт дисперстэй () тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл бүлэг доторх хэлбэлзэл байхгүй болно. Энэ нь бүлэглэх шинж чанар нь судалж буй үр дүнгийн шинж чанарын өөрчлөлтийг бүрэн тодорхойлдог гэсэн үг юм.
Корреляцийн харьцааны утга нь нэгдмэл байдалд ойртох тусам функциональ хамааралд ойртох тусам шинж чанаруудын хоорондын холбоо болно.

Шинж чанаруудын хоорондын уялдаа холбоог чанарын хувьд үнэлэхийн тулд Чаддокийн харилцааг ашигладаг. Жишээн дээр

, энэ нь ажилчдын бүтээмж болон тэдний мэргэшлийн хоорондын нягт уялдаа холбоог харуулж байна. Гэхдээ энэ шинж чанар нь дангаараа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахад хангалтгүй юм. Хоёр буудагч бай руу буудаж байна гэж төсөөлье. Нэг нь оновчтой харваж, гол руу ойртсон байхад нөгөө нь... зүгээр л хөгжилдөж байгаад онилдоггүй. Гэхдээ инээдтэй нь тэрдундаж

үр дүн нь эхний мэргэн буучтай яг адилхан байх болно! Энэ нөхцөл байдлыг дараах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээр уламжлалт байдлаар дүрсэлдэг.

"Мэргэн буудагч" математикийн хүлээлт нь "сонирхолтой хүн" -тэй тэнцүү байна: - энэ нь бас тэг юм! Тэгэхээр хэр хол байгааг тоон үзүүлэлтээр гаргах шаардлага гарч байнасум (санамсаргүй хувьсагчийн утгууд) зорилтот төвтэй харьцуулахад (математикийн хүлээлт). За тараахЛатин хэлнээс орчуулсан нь өөр арга биш юм тархалт .

Хичээлийн 1-р хэсгийн жишээнүүдийн аль нэгийг ашиглан энэ тоон шинж чанарыг хэрхэн тодорхойлохыг харцгаая.

Тэнд бид энэ тоглоомын урам хугарсан математик хүлээлтийг олж мэдсэн бөгөөд одоо бид түүний дисперсийг тооцоолох хэрэгтэй. гэж тэмдэглэсэндамжуулан.

Дундаж утгатай харьцуулахад ялалт/хожигдол хэр хол "тарсан" болохыг олж мэдье. Мэдээжийн хэрэг, үүний тулд бид тооцоолох хэрэгтэй ялгаахооронд санамсаргүй хувьсагчийн утгуудмөн тэр математикийн хүлээлт:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Одоо та үр дүнг нэгтгэн дүгнэх хэрэгтэй юм шиг санагдаж байна, гэхдээ энэ зам нь тохиромжгүй - зүүн тийш хэлбэлзэл нь баруун тийш хэлбэлзэлтэй байх тул бие биенээ цуцлах болно. Жишээлбэл, "сонирхогчийн" мэргэн бууч (дээрх жишээ)ялгаанууд байх болно , мөн нэмэх үед тэд тэг өгөх болно, тиймээс бид түүний буудлагын тархалтын талаар ямар ч тооцоо олж авахгүй.

Энэ асуудлыг даван туулахын тулд та бодож болно модулиудялгаа, гэхдээ техникийн шалтгааны улмаас тэдгээрийг квадрат болгоход хандлага нь үндэс болсон. Шийдлийг хүснэгтэд томъёолох нь илүү тохиромжтой.

Тэгээд энд тооцохыг гуйж байна жигнэсэн дундажквадрат хазайлтын утга. Тэгээд энэ ЮУ вэ? Тэднийх математикийн хүлээлт, энэ нь тархалтын хэмжүүр юм:

– тодорхойлолтзөрүү. Тодорхойлолтоос шууд тодорхой харагдаж байна ялгаа сөрөг байж болохгүй- дасгал хийхдээ анхаараарай!

Хүлээгдэж буй утгыг хэрхэн олохыг санацгаая. Квадрат зөрүүг харгалзах магадлалаар үржүүлнэ (хүснэгт үргэлжлэл):
– дүрслэлээр хэлбэл, энэ нь “татах хүч”,
мөн үр дүнг нэгтгэн дүгнэх:

Хожилтой харьцуулахад үр дүн нь хэтэрхий том болсон гэж та бодохгүй байна уу? Энэ нь зөв - бид үүнийг квадрат болгож, тоглоомын хэмжээс рүү буцахын тулд квадрат язгуурыг задлах хэрэгтэй. Энэ хэмжээг гэж нэрлэдэг стандарт хазайлт ба Грекийн "сигма" үсгээр тэмдэглэсэн:

Энэ утгыг заримдаа нэрлэдэг стандарт хазайлт .

Энэ нь ямар утгатай вэ? Хэрэв бид математикийн хүлээлтээс зүүн ба баруун тийш стандарт хазайлтаар хазайвал:

- тэгвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утгууд энэ интервал дээр "баяжсан" болно. Үнэндээ бидний ажиглаж буй зүйл:

Гэсэн хэдий ч тархалтыг шинжлэхдээ бараг үргэлж дисперсийн тухай ойлголттой ажилладаг. Тоглоомтой холбоотой энэ нь юу гэсэн үг болохыг олж мэдье. Хэрэв сумны хувьд бид байны төвтэй харьцуулахад цохилтын "нарийвчлал" -ын тухай ярьж байгаа бол энд тархалт нь хоёр зүйлийг тодорхойлдог.

Нэгдүгээрт, бооцоо нэмэгдэхийн хэрээр тархалт нь нэмэгддэг нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, хэрэв бид 10 дахин нэмэгдвэл математикийн хүлээлт 10 дахин, дисперс нь 100 дахин нэмэгдэх болно. (энэ нь квадрат хэмжигдэхүүн учраас). Гэхдээ тоглоомын дүрэм өөрчлөгдөөгүй гэдгийг анхаарна уу! Бид 10 рубль, одоо 100 бооцоо тавихаас өмнө зөвхөн ханш өөрчлөгдсөн.

Хоёр дахь, илүү сонирхолтой зүйл бол ялгаатай байдал нь тоглоомын хэв маягийг тодорхойлдог. Тоглоомын бооцоог оюун санааны хувьд засаарай тодорхой түвшинд, тэгээд юу болохыг харцгаая:

Бага зөрүүтэй тоглоом бол болгоомжтой тоглоом юм. Тоглогч хамгийн найдвартай схемийг сонгох хандлагатай байдаг бөгөөд тэр нэг удаад хэт их хожигддоггүй. Жишээлбэл, рулет дахь улаан / хар систем (нийтлэлийн 4-р жишээг үзнэ үү Санамсаргүй хувьсагч) .

Өндөр зөрүүтэй тоглоом. Түүнийг ихэвчлэн дууддаг тараагчтоглоом. Энэ бол тоглогч "адреналин" схемийг сонгодог адал явдалт эсвэл түрэмгий тоглоомын хэв маяг юм. Ядаж санацгаая "Мартингейл", үүнд эрсдэлд байгаа дүн нь өмнөх цэгийн "чимээгүй" тоглоомоос илүү их хэмжээний захиалга юм.

Покерын нөхцөл байдлыг илтгэж байна: гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг чангаТоглоомын сандаа болгоомжтой, "ганхаж" байдаг тоглогчид (банк). Тэдний мөнгөн тэмдэгт нь мэдэгдэхүйц хэлбэлздэггүй (бага хэлбэлзэлтэй) нь гайхах зүйл биш юм. Эсрэгээр, хэрэв тоглогч өндөр зөрүүтэй бол тэр түрэмгийлэгч юм. Тэр ихэвчлэн эрсдэлд ордог, их хэмжээний бооцоо тавьдаг бөгөөд асар том банкийг эвдэж, эсвэл алдаж болно.

Үүнтэй ижил зүйл Forex-д тохиолддог, гэх мэт - олон жишээ бий.

Түүнээс гадна, бүх тохиолдолд тоглоомыг пенни эсвэл хэдэн мянган доллараар тоглох нь хамаагүй. Түвшин болгонд бага болон өндөр тархалттай тоглогчид байдаг. Бидний санаж байгаагаар дундаж ялалт нь "хариуцлагатай" математикийн хүлээлт.

Зөрчлийг олох нь урт бөгөөд хэцүү үйл явц гэдгийг та анзаарсан байх. Гэхдээ математик бол өгөөмөр юм:

Вариацийг олох томъёо

Энэ томьёо нь дисперсийн тодорхойлолтоос шууд үүсэлтэй бөгөөд бид үүнийг шууд хэрэглээнд оруулдаг. Би дээрх бидний тоглоомын тэмдгийг хуулах болно:

болон математикийн хүлээлтийг олсон.

Хоёр дахь аргаар дисперсийг тооцоолъё. Эхлээд математикийн хүлээлт буюу санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратыг олъё. By математикийн хүлээлтийг тодорхойлох:

Энэ тохиолдолд:

Тиймээс, томъёоны дагуу:

Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр. Мөн практик дээр мэдээжийн хэрэг томъёог ашиглах нь илүү дээр юм (хэрэв нөхцөл байдал өөрөөр заагаагүй бол).

Бид шийдвэрлэх, дизайн хийх техникийг эзэмшдэг:

Жишээ 6

Түүний математик хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.

Энэ даалгавар нь хаа сайгүй олддог бөгөөд дүрмээр бол утга учиргүй байдаг.
Тодорхой магадлал бүхий галзуугийн байшинд асдаг хэд хэдэн чийдэнг та төсөөлж болно :)

Шийдэл: Үндсэн тооцооллыг хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэхэд тохиромжтой. Эхлээд бид эхний өгөгдлийг дээд хоёр мөрөнд бичнэ. Дараа нь бид бүтээгдэхүүнийг тооцоолж, дараа нь баруун баганад байгаа нийлбэрүүдийг тооцоолно.

Үнэндээ бараг бүх зүйл бэлэн болсон. Гурав дахь мөрөнд бэлэн математикийн хүлээлтийг харуулав. .

Бид зөрүүг томъёогоор тооцоолно:

Эцэст нь стандарт хазайлт:
– Би хувьдаа ихэвчлэн аравтын бутархай 2 хүртэл дугуйрдаг.

Бүх тооцооллыг тооцоолуур дээр эсвэл бүр илүү сайн - Excel дээр хийж болно.

Энд алдаа гаргахад хэцүү байна :)

Хариулах:

Хүссэн хүмүүс амьдралаа илүү хялбарчилж, миний давуу талыг ашиглах боломжтой тооцоолуур (демо), энэ нь зөвхөн энэ асуудлыг даруй шийдвэрлэх төдийгүй бас бүтээн байгуулах болно сэдэвчилсэн график (бид удахгүй очно). Хөтөлбөр байж болно номын сангаас татаж авах- Хэрэв та дор хаяж нэг сургалтын материалыг татаж авсан эсвэл хүлээн авсан бол өөр арга зам. Төслийг дэмжсэнд баярлалаа!

Өөрөө шийдэх хэд хэдэн даалгавар:

Жишээ 7

Өмнөх жишээн дэх санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тодорхойлолтоор нь тооцоол.

Мөн ижил төстэй жишээ:

Жишээ 8

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулиар тодорхойлно.

Тийм ээ, санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга нь нэлээд том байж болно (бодит ажлын жишээ), энд боломжтой бол Excel-ийг ашиглана уу. Дашрамд хэлэхэд, 7-р жишээнд - энэ нь илүү хурдан, найдвартай, илүү тааламжтай байдаг.

Шийдэл ба хариултууд хуудасны доод талд байна.

Хичээлийн 2-р хэсгийг дуусгахын тулд бид өөр нэг ердийн асуудлыг авч үзэх болно, тэр ч байтугай жижиг оньсого гэж хэлж болно.

Жишээ 9

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хоёр утгыг авч болно: ба , болон. Магадлал, математикийн хүлээлт, дисперс нь мэдэгдэж байна.

Шийдэл: Үл мэдэгдэх магадлалаас эхэлье. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хоёр утгыг авах боломжтой тул харгалзах үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь:

ба түүнээс хойш .

Одоо л олох л үлдлээ..., хэлэхэд амархан :) Гэхдээ яахав, ингээд явлаа. Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоор:
- мэдэгдэж буй хэмжээг орлуулах:

– мөн энэ тэгшитгэлээс өөр юу ч хасагдах боломжгүй, зөвхөн та үүнийг ердийн чиглэлд дахин бичиж болно.

эсвэл:

Та дараагийн алхмуудыг тааж чадна гэж бодож байна. Системийг зохиож, шийдье:

Аравтын тоо нь мэдээжийн хэрэг бүрэн гутамшиг юм; Хоёр тэгшитгэлийг 10-аар үржүүлнэ:

ба 2-т хуваана:

Энэ нь дээр. 1-р тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.
(энэ бол илүү хялбар арга)- 2-р тэгшитгэлд орлуулах:

Бид барьж байна дөрвөлжинболон хялбаршуулах:

Үржүүлэх:

Үр дүн нь гарсан квадрат тэгшитгэл, бид түүний ялгаварлагчийг олдог:
- Гайхалтай!

мөн бид хоёр шийдлийг олж авдаг:

1) хэрэв , Тэр ;

2) хэрэв , Тэр .

Нөхцөл нь эхний хос утгуудаар хангагдана. Бүх зүйл зөв байх магадлал өндөр, гэхдээ хуваарилалтын хуулийг бичье.

болон шалгалт хийж, тухайлбал, хүлээлтийг ол: