Регрессийн тэгшитгэл нь холболтын ойр байдлын үзүүлэлтээр үргэлж нэмэгддэг. Шугаман регрессийг ашиглах үед ийм үзүүлэлт нь шугаман корреляцийн коэффициент r yt байна. Шугаман корреляцийн коэффициентийн томьёоны янз бүрийн өөрчлөлтүүд байдаг.

Шугаман корреляцийн коэффициентийн утга нь шугаман хэлбэрээр авч үзэж буй шинж чанаруудын хоорондын уялдаа холбоог үнэлдэг гэдгийг санах нь зүйтэй. Иймд шугаман корреляцийн коэффициентийн үнэмлэхүй утга тэгтэй ойр байгаа нь шинж чанаруудын хооронд ямар ч холбоо байхгүй гэсэн үг биш юм.

Шугаман функцийг тохируулах чанарыг үнэлэхийн тулд детерминацийн коэффициент гэж нэрлэгддэг шугаман корреляцийн коэффициент r yt 2-ийн квадратыг тооцоолно. Детерминацийн коэффициент нь үр дүнтэй шинж чанарын нийт дисперсийн регрессээр тайлбарласан t-ийн үр дүнтэй шинж чанарын дисперсийн эзлэх хувийг тодорхойлдог.

Шугаман бус регрессийн тэгшитгэл, түүнчлэн шугаман хамаарал нь корреляцийн үзүүлэлт, тухайлбал R корреляцийн индексээр нэмэгддэг.

Дээд эрэмбийн олон гишүүнт шиг хоёр дахь эрэмбийн параболыг шугаман болгох үед олон регрессийн тэгшитгэлийн хэлбэрийг авдаг. Хэрэв шугаман бол тайлбарласан хувьсагчийн хувьд шугаман бус регрессийн тэгшитгэл нь шугаман хосолсон регрессийн тэгшитгэлийн хэлбэрийг авдаг бол шугаман корреляцийн коэффициентийг энэ тохиолдолд утгыг нь хамаарлын ойр байдлыг үнэлэхэд ашиглаж болно. корреляцийн индекстэй давхцах болно.

Тэгшитгэлийг шугаман хэлбэрт шилжүүлэхэд хамааралтай хувьсагч хамаарах тохиолдолд нөхцөл байдал өөр байна. Энэ тохиолдолд хувиргасан шинж чанарын утгууд дээр суурилсан шугаман корреляцийн коэффициент нь зөвхөн харилцааны ойролцоо байдлын ойролцоо үнэлгээг өгдөг бөгөөд корреляцийн индекстэй тоогоор давхцдаггүй. Тэгэхээр, эрчим хүчний функцийн хувьд

логарифмын шугаман тэгшитгэлд шилжсэний дараа

lny = lna + blnx

Шугаман корреляцийн коэффициентийг x ба y хувьсагчдын бодит утгуудын хувьд биш, харин тэдгээрийн логарифмын хувьд, өөрөөр хэлбэл r lnylnx-ийн хувьд олж болно. Үүний дагуу түүний утгын квадрат нь квадрат хазайлтын хүчин зүйлийн нийлбэрийг нийттэй харьцуулсан харьцааг тодорхойлох болно, гэхдээ y-ийн хувьд биш, харин түүний логарифмын хувьд:

Үүний зэрэгцээ корреляцийн индексийг тооцоолохдоо тэдгээрийн логарифм биш харин y шинж чанарын квадрат хазайлтын нийлбэрийг ашигладаг. Энэ зорилгоор үүссэн шинж чанарын онолын утгыг, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлээр тооцсон утгын антилогарифм ба квадратуудын үлдэгдэл нийлбэрээр тодорхойлно.

Тооцооллын хуваагч R 2 yx нь бодит утгын y-ийн дундаж утгуудын квадрат хазайлтын нийт нийлбэрийг багтаасан бөгөөд r 2 lnxlny хуваагч нь тооцоололд оролцдог. Харгалзан үзэж буй үзүүлэлтүүдийн тоо болон хуваагч нь дараахь байдлаар ялгаатай байна.

• - корреляцийн индекс болон
• - корреляцийн коэффициент дээр.

Үр дүнгийн ижил төстэй байдал, компьютерийн программ ашиглан тооцоолох энгийн байдлаас шалтгаалан шугаман корреляцийн коэффициентийг шугаман бус функцүүдийн холболтын ойролцоо байдлыг тодорхойлоход өргөн ашигладаг.

y шинж чанарын утгыг хувиргах замаар шугаман бус функцүүдийн R ба r эсвэл R ба r утгуудын ойролцоо байгаа хэдий ч шинж чанаруудын шугаман хамаарал нь ижил корреляцийн коэффициентийг тодорхойлдог гэдгийг санах нь зүйтэй. регрессийн хувьд хэрэв шинж чанаруудын шугаман хамааралтай бол нэг ба ижил корреляцийн коэффициент нь регрессийг хоёуланг нь тодорхойлдог бөгөөд y=j(x) функцийн муруй шугаман хамаарал нь x регрессийн хувьд тэнцүү биш гэдгийг санах нь зүйтэй. =f(y).

Корреляцийн индексийг тооцоолохдоо хүчин зүйлийн харьцаа болон квадрат хазайлтын нийт нийлбэрийг ашигладаг тул детерминацийн коэффициенттэй ижил утгатай байна. Тусгай судалгаанд шугаман бус харилцааны утгыг тодорхойлох индекс гэж нэрлэдэг.

Корреляцийн индексийн ач холбогдлын үнэлгээг корреляцийн коэффициентийн найдвартай байдлын үнэлгээтэй ижил аргаар гүйцэтгэдэг.

Корреляцийн индексийг Фишер F тест ашиглан шугаман бус регрессийн ерөнхий тэгшитгэлийн ач холбогдлыг шалгахад ашигладаг.

m утга нь квадратуудын хүчин зүйлийн нийлбэрийн эрх чөлөөний градусын тоог, мөн (n - m - 1) - квадратуудын үлдэгдэл нийлбэрийн эрх чөлөөний градусын тоог тодорхойлдог.

Хүч чадлын функц m = 1 ба F-шалгуурын томъёо нь шугаман хамааралтай ижил хэлбэртэй байна.

Хоёрдугаар зэргийн параболын хувьд

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +em = 2

F-шалгуурыг шугаман функцэд үзүүлсэн шиг регрессийн үр дүнгийн дисперсийн шинжилгээний хүснэгтэд мөн тооцоолж болно.

Шугаман функцийг ашиглах боломжийг зөвтгөхийн тулд детерминацийн индексийг детерминацийн коэффициенттэй харьцуулж болно. Регрессийн шугамын муруйлт их байх тусам детерминацийн коэффициент бага байна. Эдгээр үзүүлэлтүүдийн ижил төстэй байдал нь регрессийн тэгшитгэлийн хэлбэрийг төвөгтэй болгох шаардлагагүй бөгөөд шугаман функцийг ашиглаж болно гэсэн үг юм.

Практикт хэрэв тодорхойлох индекс ба тодорхойлох коэффициентийн зөрүү 0.1-ээс хэтрэхгүй бол харилцааны шугаман хэлбэрийн таамаглалыг үндэслэлтэй гэж үзнэ.

Хэрэв t fakt >t хүснэгт бол авч үзсэн корреляцийн үзүүлэлтүүдийн хоорондын ялгаа нь чухал бөгөөд шугаман бус регрессийг шугаман функцийн тэгшитгэлээр солих боломжгүй юм. Практикт хэрэв утга нь t< 2, то различия между R yx и r yx несущественны, и, следовательно, возможно применение линейной регрессии, даже если есть предположения о некоторой нелинейности рассматриваемых соотношений признаков фактора и результата.

Эдийн засгийн үзэгдлүүд нь дүрмээр бол олон тооны нэгэн зэрэг, хуримтлагдсан хүчин зүйлээр тодорхойлогддог. Үүнтэй холбогдуулан хувьсагчийн хамаарлыг судлах ажил ихэвчлэн гарч ирдэг цагтхэд хэдэн тайлбарлагч хувьсагчаас ( x 1, x 2,…, x k)ашиглан шийдвэрлэх боломжтой олон корреляцийн болон регрессийн шинжилгээ.

Олон тооны регрессийн аргыг ашиглан хамаарлыг судлахдаа хосолсон регрессийг ашиглахтай ижил аргаар асуудал үүсдэг. үүссэн шинж чанарын хоорондох холболтын хэлбэрийн аналитик илэрхийлэлийг тодорхойлох шаардлагатай цагтхүчин зүйлийн шинж чанар x, x 2,..., xk,функцийг олох ба энд k нь хүчин зүйлийн шинж чанарын тоо юм

Олон тооны регресс нь эрэлт, хувьцааны өгөөжийн асуудлыг шийдвэрлэх, үйлдвэрлэлийн өртгийн функцийг судлах, макро эдийн засгийн тооцоолол болон бусад эконометрикийн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн хэрэглэгддэг. Одоогийн байдлаар олон регресс нь эконометрикийн хамгийн түгээмэл аргуудын нэг юм. Олон тооны регрессийн гол зорилго нь олон тооны хүчин зүйл бүхий загварыг бий болгохын зэрэгцээ тэдгээрийн нөлөөллийг тусад нь тодорхойлох, түүнчлэн загварчлагдсан үзүүлэлтэд үзүүлэх нөлөөллийг хослуулах явдал юм.

Хос регрессийн нэгэн адил олон регрессийн хувьд хамгийн бага квадратын аргын онцлогоос шалтгаалан зөвхөн шугаман тэгшитгэл, хувьсагчийг хувиргах замаар шугаман хэлбэрт оруулсан тэгшитгэлийг ашигладаг. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тэгшитгэл бол шугаман тэгшитгэл бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

a 0 , a 1, …, a k – загварын параметрүүд (регрессийн коэффициентүүд);

ε j – санамсаргүй хэмжигдэхүүн (үлдэгдэл утга).

Регрессийн коэффициент А j нь үр дүнтэй шинж чанар дунджаар ямар хэмжээгээр өөрчлөгдөхийг харуулдаг у,хувьсагч бол X j регрессийн тэгшитгэлд багтсан бусад хүчин зүйлсийн тогтмол (тогтмол) утгаар хэмжих нэгжээр нэмэгдэх. Параметрүүд xгэж нэрлэдэг "цэвэр" регрессийн коэффициентүүд .

Жишээ.

Олон тооны гэр бүлийн хоолны зардлын хамаарлыг дараахь тэгшитгэлээр тодорхойлно гэж үзье.

y- гэр бүлийн сарын хоолны зардал, мянган рубль;

x 1 - гэр бүлийн гишүүнд ногдох сарын орлого, мянган рубль;

x 2 - гэр бүлийн хэмжээ, хүмүүс.

Энэхүү тэгшитгэлийн дүн шинжилгээ нь гэр бүлийн гишүүнд ногдох орлого 1 мянган рублиэр нэмэгдсэн гэсэн дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог. хүнсний зардал дунджаар 350 рубль нэмэгдэнэ. ижил дундаж гэр бүлийн хүн амтай. Өөрөөр хэлбэл, гэр бүлийн нэмэлт зардлын 35 хувийг хоол хүнсэндээ зарцуулдаг. Ижил орлоготой гэр бүлийн хэмжээ нэмэгдэх нь хүнсний зардал 730 рубль нэмэгдэнэ гэсэн үг юм. Эхний параметр нь эдийн засгийн тайлбарт хамаарахгүй.

Загварын параметр бүрийн найдвартай байдлыг Оюутны t-тест ашиглан үнэлдэг. Загварын аль нэг a j параметрийн хувьд t-шалгуурын утгыг томъёогоор тооцоолно , Хаана

S ε – регрессийн тэгшитгэлийн стандарт (дундаж квадрат) хазайлт)

томъёогоор тодорхойлно

Хэрэв тооцоолсон утга байвал регрессийн коэффициент a j хангалттай найдвартай гэж үзнэ т-шалгуур нь ( n - k - 1) эрх чөлөөний зэрэг нь хүснэгтийн утгаас давсан, i.e. t calc > t А jn - k -1 . Хэрэв регрессийн коэффициентийн найдвартай байдал батлагдаагүй бол үүнийг хийх ёстой; хүчин зүйлийн загвар дахь ач холбогдолгүй байдлын талаархи дүгнэлт jшинж чанар ба түүнийг загвараас хасах эсвэл өөр хүчин зүйлийн шинж чанараар солих хэрэгцээ.

Хүчин зүйлийн нөлөөллийг үнэлэхэд регрессийн загварын коэффициентүүд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Гэсэн хэдий ч хэмжлийн нэгжийн ялгаа, янз бүрийн түвшний хувьсах зэргээс шалтгаалан тэдгээрийн нөлөөллийн түвшингээс хамаарч хүчин зүйлийн шинж чанарыг шууд тэдний тусламжтайгаар харьцуулах боломжгүй юм. Иймэрхүү ялгааг арилгахын тулд ашиглана уу хэсэгчилсэн уян хатан байдлын коэффициентүүдЭ ж ба бета коэффициент β j.

Уян хатан байдлын коэффициентийг тооцоолох томъёо

Хаана

a j – хүчин зүйлийн регрессийн коэффициент j,

Үр дүнтэй шинж чанарын дундаж утга

Шинж чанарын дундаж утга j

Уян хатан байдлын коэффициент нь хамааралтай хувьсагч хэдэн хувиар өөрчлөгдөхийг харуулдаг цагтхүчин зүйл өөрчлөгдөх үед j 1%-иар.

Бета коэффициентийг тодорхойлох томъёо.

, Хаана

S xj – хүчин зүйлийн стандарт хазайлт j;

S y - хүчин зүйлийн стандарт хазайлт y.

β - коэффициент нь стандарт хазайлтын аль хэсгийг харуулдаг S yхамааралтай хувьсагч өөрчлөгдөнө цагтхаргалзах бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлттэй X j Үлдсэн бие даасан хувьсагчдын тогтмол утга бүхий стандарт хазайлтын утгаар.

Бүх хүчин зүйлийн нийт нөлөөнд тодорхой хүчин зүйлийн нөлөөллийн эзлэх хувийг үнэ цэнээр нь тодорхойлж болно дельта коэффициентууд Δ j.

Эдгээр коэффициентүүд нь хүчин зүйлсийн хамааралтай хувьсагчид үзүүлэх нөлөөллийн зэрэглэлээр хүчин зүйлсийг эрэмблэх боломжийг олгодог.

Дельта коэффициентийг тодорхойлох томъёо.

r yj – j хүчин зүйл болон хамааралтай хувьсагчийн хоорондох хос корреляцийн коэффициент;

R 2 – детерминацын олон коэффициент.

Олон тооны детерминацийн коэффициентийг ашиглана чанарын үнэлгээолон регрессийн загварууд.

Олон тооны детерминацийн коэффициентийг тодорхойлох томъёо.

Тодорхойлолтын коэффициент нь хүчин зүйлийн шинж чанарын нөлөөн дор байгаа үр дүнгийн шинж чанарын өөрчлөлтийн эзлэх хувийг харуулдаг. шинж чанарын өөрчлөлтийн хувь хэмжээг тодорхойлдог цагтзагварт харгалзан үзсэн бөгөөд загварт багтсан хүчин зүйлсийн нөлөөллөөс шалтгаална. Илүү ойр R 2нэг бол загварын чанар өндөр байх болно

Бие даасан хувьсагчийг нэмэх үед утга R 2нэмэгддэг тул коэффициент R 2томъёог ашиглан бие даасан хувьсагчийн тоонд тохируулсан байх ёстой

Учир нь загварын ач холбогдлын туршилтФишерийн F тестийг регрессийн хувьд ашигладаг. Энэ нь томъёогоор тодорхойлогддог

Хэрэв шалгуур үзүүлэлтийн тооцоолсон утга нь γ 1, = кТэгээд γ 2 = (n - k- 1)өгөгдсөн ач холбогдлын түвшинд хүснэгтээс их эрх чөлөөний зэрэгтэй байвал загварыг чухал гэж үзнэ.

Загварын нарийвчлалын хэмжүүрийн хувьд стандарт алдааг ашигладаг бөгөөд энэ нь үлдэгдэл бүрэлдэхүүн хэсгийн түвшний квадратуудын нийлбэрийн утгатай (n - k -1) харьцаа юм.

Шугаман загварын параметрүүдийг тооцоолох сонгодог арга нь дээр суурилдаг хамгийн бага квадратын арга (LSM). Ердийн тэгшитгэлийн систем нь дараах хэлбэртэй байна.

Системийг сайн мэддэг аргуудын аль нэгийг ашиглан шийдэж болно: Гауссын арга, Крамерын арга гэх мэт.

Жишээ 15.

Бүс нутгийн дөрвөн аж ахуйн нэгжийн хувьд (Хүснэгт 41) нэг ажилтанд ногдох бүтээгдэхүүний гарцын хамаарлыг судалсан болно. y(мянган рубль) шинэ үндсэн хөрөнгийг ашиглалтад оруулснаас (жилийн эцсийн хөрөнгийн үнийн дүнгийн%) болон нийт ажилчдын тоонд өндөр мэргэшсэн ажилчдын эзлэх хувь (%). Та олон регрессийн тэгшитгэл бичих хэрэгтэй.

Хүснэгт 41 – Нэг ажилтанд ногдох бүтээгдэхүүний гарцын хамаарал

Та t-статистикийг ашиглан регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн ач холбогдлыг шалгаж болно.

Дасгал:
Ижил төрлийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг бүлэг аж ахуйн нэгжүүдийн хувьд зардлын функцийг дараахь байдлаар авч үздэг.
y = α + βx;
y = α x β ;
y = α β x ;
y = α + β / x;
Энд y нь үйлдвэрлэлийн зардал, мянган нэгж.
x – үйлдвэрлэлийн гарц, мянган ширхэг.

Шаардлагатай:
1. x-ээс хос регрессийн y тэгшитгэлийг байгуул:

• шугаман;
• хүч чадал;
• харуулах;
• тэгш талт гипербол.

Шийдэл:

1. Тэгшитгэл нь y = α + βx байна
1. Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүд.
Дундаж утгууд

Тархалт

Стандарт хазайлт

Корреляцийн коэффициент

Y шинж чанар ба X хүчин зүйлийн хоорондын хамаарал хүчтэй бөгөөд шууд байдаг
Регрессийн тэгшитгэл

Тодорхойлох коэффициент
R 2 = 0.94 2 = 0.89, өөрөөр хэлбэл. тохиолдлын 88.9774% -д х-ийн өөрчлөлт нь у-ийн өөрчлөлтөд хүргэдэг. Өөрөөр хэлбэл регрессийн тэгшитгэлийг сонгох нарийвчлал өндөр байна

Тайлбар: y(x)-ийн утгуудыг үр дүнгийн регрессийн тэгшитгэлээс олно.
у(1) = 4.01*1 + 99.18 = 103.19
у(2) = 4.01*2 + 99.18 = 107.2
... ... ...

2. Регрессийн тэгшитгэлийн параметрийн тооцоо
Корреляцийн коэффициентийн ач холбогдол

Оюутны хүснэгтийг ашиглан бид Ttable-ийг олно
T хүснэгт (n-m-1;α/2) = (11;0.05/2) = 1.796
Tob > Ttabl тул корреляцийн коэффициент 0-тэй тэнцүү гэсэн таамаглалыг бид үгүйсгэдэг. Өөрөөр хэлбэл корреляцийн коэффициент нь статистикийн ач холбогдолтой.

Регрессийн коэффициентийн тооцоог тодорхойлох үнэн зөв байдлын шинжилгээ





S a = 0.1712
Хамаарах хувьсагчийн итгэлийн интервалууд

Y-ийн боломжит утгуудын 95% нь хязгааргүй тооны ажиглалтаар төвлөрч, X = 1 байх интервалын хил хязгаарыг тооцоолъё.
(-20.41;56.24)
Шугаман регрессийн тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн талаархи таамаглалыг шалгах
1) t-статистик


a регрессийн коэффициентийн статистик ач холбогдол нь батлагдсан

Регрессийн коэффициент b-ийн статистик ач холбогдол батлагдаагүй байна
Регрессийн тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн итгэлийн интервал
Регрессийн коэффициентүүдийн итгэлцлийн интервалыг 95% найдвартайгаар дараах байдлаар тодорхойлно.
(a - t S a ; a + t S a)
(1.306;1.921)
(b - t b S b ; b + t b S b)
(-9.2733;41.876)
Энд t = 1.796
2) F-статистик


Fkp = 4.84
F > Fkp тул детерминацийн коэффициент нь статистикийн хувьд ач холбогдолтой

Регресс гэж юу вэ?

Хоёр тасралтгүй хувьсагчийг авч үзье x=(x 1 , x 2 , .., x n), y=(y 1 , y 2 , ..., y n).

Хоёр хэмжээст тархалтын график дээр цэгүүдийг байрлуулж, бидэнд байгаа гэж хэлье шугаман хамаарал, хэрэв өгөгдлийг шулуун шугамаар ойролцоолсон бол.

Хэрэв бид үүнд итгэдэг бол y-аас хамаарна x, өөрчлөлтүүд y-ийн өөрчлөлтөөс болж үүсдэг x, бид регрессийн шугамыг тодорхойлж болно (регресс yдээр x), эдгээр хоёр хувьсагчийн хоорондох шугаман хамаарлыг хамгийн сайн тодорхойлдог.

Регресс гэдэг үгийн статистик хэрэглээ нь Сэр Фрэнсис Гальтон (1889)-ийн тайлбарласан дундаж утга руу регресс гэж нэрлэгддэг үзэгдлээс үүдэлтэй.

Хэдийгээр өндөр аавууд өндөр хүүтэй байдаг ч хөвгүүдийн дундаж өндөр нь өндөр аавынхаас намхан байдгийг тэрээр харуулсан. Хөвгүүдийн дундаж өндөр нь хүн амын дундах бүх эцгийн дундаж өндөр рүү "буцаж", "учирсан". Тиймээс дунджаар өндөр аавууд намхан (гэхдээ нэлээд өндөр) хүүтэй, намхан аавууд өндөр (гэхдээ нэлээд намхан) хүүтэй байдаг.

Регрессийн шугам

Энгийн (хосоор) шугаман регрессийн шугамыг тооцоолох математикийн тэгшитгэл:

xбие даасан хувьсагч эсвэл урьдчилан таамаглагч гэж нэрлэдэг.

Ю- хамааралтай хувьсагч эсвэл хариултын хувьсагч. Энэ бол бидний хүлээж буй үнэ цэнэ юм y(дунджаар) хэрэв бид үнэ цэнийг мэддэг бол x, өөрөөр хэлбэл нь "урьдчилан таамагласан үнэ цэнэ" y»

• а- үнэлгээний шугамын чөлөөт гишүүн (уулзвар); энэ бол утга учир юм Ю, Хэзээ x=0(Зураг 1).
• б- тооцоолсон шугамын налуу буюу налуу; энэ нь хэмжээг илэрхийлнэ Юнэмэгдүүлбэл дунджаар нэмэгдэнэ xнэг нэгжийн хувьд.
• аТэгээд бТооцоолсон шугамын регрессийн коэффициент гэж нэрлэдэг боловч энэ нэр томъёог зөвхөн ашигладаг б.

Хос шугаман регресс нь нэгээс олон бие даасан хувьсагчийг багтаах боломжтой; энэ тохиолдолд гэж нэрлэдэг олон регресс.

Зураг 1. a огтлолцол ба налуу b-ийг харуулсан шугаман регрессийн шугам (х нэг нэгжээр нэмэгдэхэд Y хэмжээ нэмэгдэнэ)

Хамгийн бага квадратын арга

Бид ажиглалтын түүврийг ашиглан регрессийн шинжилгээ хийдэг аТэгээд б- популяци дахь шугаман регрессийн шугамыг тодорхойлдог α ба β гэсэн үнэн (ерөнхий) параметрүүдийн түүврийн тооцоо.

Коэффициентийг тодорхойлох хамгийн энгийн арга аТэгээд ббайна хамгийн бага квадратын арга(MNC).

Тохиромжийг үлдэгдэл (шугамаас цэг бүрийн босоо зай, жишээ нь үлдэгдэл = ажиглагдсан) харах замаар үнэлдэг. y- урьдчилан таамагласан y, будаа. 2).

Үлдэгдэл квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байхаар хамгийн сайн тохирох шугамыг сонгосон.

Цагаан будаа. 2. Цэг бүрийн хувьд үлдэгдэл дүрслэгдсэн (босоо тасархай шугам) шугаман регрессийн шугам.

Шугаман регрессийн таамаглал

Тиймээс, ажиглагдсан утга бүрийн хувьд үлдэгдэл нь зөрүүтэй тэнцүү бөгөөд үлдэгдэл бүр нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно.

Та шугаман регрессийн цаана байгаа дараах таамаглалуудыг шалгахын тулд үлдэгдлийг ашиглаж болно.

• Үлдэгдэл нь ихэвчлэн тэг дунджаар тархсан;

Хэрэв шугаман байдал, хэвийн байдал ба/эсвэл тогтмол дисперсийн таамаглал эргэлзээтэй байвал бид эдгээр таамаглалыг хангасан шинэ регрессийн шугамыг хувиргаж эсвэл тооцоолж болно (жишээлбэл, логарифмын хувиргалт ашиглах гэх мэт).

Аномаль утгууд (хачирхалтай) ба нөлөөллийн цэгүүд

"Нөлөөтэй" ажиглалт нь орхигдуулсан тохиолдолд нэг буюу хэд хэдэн загварын параметрийн тооцоог өөрчилдөг (өөрөөр хэлбэл налуу эсвэл огтлолцол).

Хэт хэтийн үзүүлэлт (өгөгдлийн багц дахь ихэнх утгуудтай нийцэхгүй байгаа ажиглалт) нь "нөлөөтэй" ажиглалт байж болох бөгөөд хоёр хувьсах тархалтын график эсвэл үлдэгдэл графикийг шалгах замаар хялбархан илрүүлж болно.

Гадны болон "нөлөөлөх" ажиглалтын (цэг) аль алинд нь загваруудыг оруулаагүй, оруулалгүйгээр ашигладаг бөгөөд тооцооллын өөрчлөлтөд (регрессийн коэффициент) анхаарлаа хандуулдаг.

Шинжилгээ хийхдээ та үл тоомсорлох нь олж авсан үр дүнд нөлөөлж болзошгүй тул хэт давсан үзүүлэлт эсвэл нөлөөллийн цэгүүдийг автоматаар хаяж болохгүй. Эдгээр гажуудлын шалтгааныг үргэлж судалж, дүн шинжилгээ хий.

Шугаман регрессийн таамаглал

Шугаман регрессийг байгуулахдаа регрессийн шугамын ерөнхий налуу β тэгтэй тэнцүү гэсэн тэг таамаглалыг шалгана.

Хэрэв шугамын налуу нь тэг байвал ба хоёрын хооронд шугаман хамаарал байхгүй: өөрчлөлт нь нөлөөлөхгүй

Жинхэнэ налуу нь тэг гэсэн тэг таамаглалыг шалгахын тулд та дараах алгоритмыг ашиглаж болно.

Коэффициентийн стандарт алдаа нь эрх чөлөөний зэрэгтэй тархалтад хамаарах харьцаатай тэнцүү туршилтын статистикийг тооцоол.

,

- үлдэгдлийн тархалтыг тооцоолох.

Ихэвчлэн ач холбогдлын түвшинд хүрсэн тохиолдолд тэг таамаглалыг үгүйсгэдэг.

Хоёр талт туршилтын магадлалыг өгдөг эрх чөлөөний зэрэгтэй хуваарилалтын хувь хаана байна

Энэ нь 95% магадлалтай ерөнхий налууг агуулсан интервал юм.

Том түүврийн хувьд бид ойролцоогоор 1.96 утгатай байж болно (өөрөөр хэлбэл туршилтын статистик нь хэвийн тархсан байх болно)

Шугаман регрессийн чанарыг үнэлэх: тодорхойлох коэффициент R 2

Шугаман харилцаанаас болоод бид энэ нь өөрчлөгдөнө гэж найдаж байна , мөн үүнийг регрессээс үүдэлтэй эсвэл тайлбарласан өөрчлөлт гэж нэрлэнэ. Үлдэгдэл өөрчлөлт нь аль болох бага байх ёстой.

Хэрэв энэ нь үнэн бол ихэнх өөрчлөлтийг регрессээр тайлбарлах бөгөөд цэгүүд нь регрессийн шугамд ойрхон байх болно, өөрөөр хэлбэл. мөр нь өгөгдөлд сайн тохирч байна.

Регрессээр тайлбарлагдах нийт дисперсийн эзлэх хувийг нэрлэнэ тодорхойлох коэффициент, ихэвчлэн хувиар илэрхийлж, тэмдэглэнэ R 2(хосолсон шугаман регрессийн хувьд энэ нь хэмжигдэхүүн юм r 2, корреляцийн коэффициентийн квадрат) нь регрессийн тэгшитгэлийн чанарыг субъектив байдлаар үнэлэх боломжийг олгодог.

Энэ ялгаа нь регрессээр тайлбарлах боломжгүй дисперсийн хувийг илэрхийлнэ.

Регрессийн шугамын тохирох байдлыг тодорхойлохын тулд бид субьектив дүгнэлтэд найдах ёстой.

Урьдчилан таамаглахад регрессийн шугамыг ашиглах

Та регрессийн шугамыг ашиглан ажиглалтын хязгаарын төгсгөлд байгаа утгын утгыг таамаглах боломжтой (эдгээр хязгаараас хэтрүүлэн бүү гарга).

Бид тухайн утгыг регрессийн шугамын тэгшитгэлд залгах замаар тодорхой утгатай ажиглалтын дундажийг таамагладаг.

Тиймээс, хэрэв бид урьдчилан таамаглах юм бол энэ таамагласан утга болон түүний стандарт алдааг ашиглан жинхэнэ популяцийн дундаж утгын итгэлцлийн интервалыг тооцоол.

Өөр өөр утгуудын хувьд энэ процедурыг давтах нь энэ шугамын итгэлийн хязгаарыг бий болгох боломжийг танд олгоно. Энэ нь жишээлбэл 95% итгэлийн түвшинд үнэн шугамыг агуулсан хамтлаг эсвэл хэсэг юм.

Энгийн регрессийн төлөвлөгөө

Энгийн регрессийн загвар нь нэг тасралтгүй таамаглагчийг агуулна. Хэрэв 7, 4, 9 гэх мэт таамаглагч P утгатай 3 ажиглалт байгаа бөгөөд дизайн нь эхний дарааллын P эффектийг агуулж байвал дизайны матриц X болно.

X1-ийн P-г ашиглан регрессийн тэгшитгэл нь байна

Y = b0 + b1 P

Хэрэв энгийн регрессийн загвар нь квадрат эффект гэх мэт P дээр илүү өндөр эрэмбийн нөлөөг агуулж байвал дизайны матриц дахь X1 баганын утгууд хоёр дахь зэрэгт нэмэгдэнэ.

тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Y = b0 + b1 P2

Сигма-хязгаарлагдмал болон хэт параметртэй кодлох аргууд нь энгийн регрессийн загварууд болон зөвхөн тасралтгүй таамаглагчдыг агуулсан бусад загварт хамаарахгүй (учир нь ангилсан таамаглагч байдаггүй). Сонгосон кодчилолын аргаас үл хамааран тасралтгүй хувьсагчдын утгыг зохих ёсоор нэмэгдүүлж, X хувьсагчийн утга болгон ашигладаг. Энэ тохиолдолд дахин кодчилол хийхгүй. Нэмж дурдахад, регрессийн төлөвлөгөөг тайлбарлахдаа дизайны X матрицыг авч үзэхгүй байж, зөвхөн регрессийн тэгшитгэлтэй ажиллах боломжтой.

Жишээ нь: Энгийн регрессийн шинжилгээ

Энэ жишээнд хүснэгтэд үзүүлсэн өгөгдлийг ашигласан болно:

Цагаан будаа. 3. Анхны өгөгдлийн хүснэгт.

Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон 30 мужийн 1960 ба 1970 оны хүн амын тооллогыг харьцуулан цуглуулсан мэдээлэл. Нутгийн нэрсийг ажиглалтын нэрээр танилцуулсан. Хувьсагч бүрийн талаарх мэдээллийг доор харуулав.

Цагаан будаа. 4. Хувьсах үзүүлэлтүүдийн хүснэгт.

Судалгааны асуудал

Энэ жишээний хувьд ядуурлын түвшин болон ядуурлын шугамаас доогуур байгаа гэр бүлийн хувь хэмжээг урьдчилан таамаглах зэрэг хоорондын хамааралд дүн шинжилгээ хийх болно. Тиймээс бид 3 (Pt_Poor) хувьсагчийг хамааралтай хувьсагч гэж үзнэ.

Бид таамаглал дэвшүүлж болно: хүн амын тоо, ядуурлын шугамаас доогуур байгаа гэр бүлийн эзлэх хувь нь хоорондоо холбоотой байдаг. Ядуурал нь гадагш чиглэсэн шилжилт хөдөлгөөнд хүргэдэг гэж үзэх нь үндэслэлтэй юм шиг санагддаг, тиймээс ядуурлын шугамаас доогуур хүмүүсийн хувь болон хүн амын өөрчлөлтийн хооронд сөрөг хамаарал байх болно. Тиймээс бид 1 (Pop_Chng) хувьсагчийг урьдчилан таамаглах хувьсагч гэж үзэх болно.

Үр дүнг харах

Регрессийн коэффициентүүд

Цагаан будаа. 5. Pop_Chng дээрх Pt_Poor-ийн регрессийн коэффициентүүд.

Pop_Chng мөр ба Парам баганын огтлолцол дээр.<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.

Pop_Chng дээрх Pt_Poor-ийн регрессийн стандарт бус коэффициент нь -0.40374. Энэ нь хүн амын нэг нэгж буурах тутамд ядуурлын түвшин .40374 болж нэмэгддэг гэсэн үг. Энэхүү стандарт бус коэффициентийн дээд ба доод (анхдагч) 95%-ийн итгэлийн хязгаарт тэгийг оруулаагүй тул регрессийн коэффициент нь p түвшинд чухал ач холбогдолтой.

Хувьсах тархалт

Өгөгдөлд хэт их хэтийн үзүүлэлтүүд байгаа тохиолдолд корреляцийн коэффициентүүд мэдэгдэхүйц хэт үнэлэгдсэн эсвэл дутуу үнэлэгдэж болно. Pt_Poor хамааралтай хувьсагчийг дүүрэг тус бүрээр нь судалж үзье. Үүний тулд Pt_Poor хувьсагчийн гистограммыг байгуулъя.

Таны харж байгаагаар энэ хувьсагчийн тархалт нь ердийн тархалтаас эрс ялгаатай байна. Гэсэн хэдий ч хоёр мужид (баруун хоёр багана) ядуурлын шугамаас доогуур байгаа гэр бүлүүдийн хувь хэвийн тархалтаас доогуур байгаа хэдий ч тэд "хамгийн хүрээнд" байгаа бололтой.

Цагаан будаа. 7. Pt_Poor хувьсагчийн гистограмм.

Энэ дүгнэлт нь зарим талаараа субъектив юм. Үндсэн дүрэм бол ажиглалт (эсвэл ажиглалт) нь интервалд (стандарт хазайлтаас ± 3 дахин их) багтахгүй бол хэт давсан үзүүлэлтүүдийг харгалзан үзэх ёстой. Энэ тохиолдолд хүн амын гишүүдийн хоорондын хамааралд томоохон нөлөө үзүүлэхгүй байхын тулд хэт давтагдах болон үл хамаарах шинжилгээг давтан хийх нь зүйтэй.

Тархалтын график

Хэрэв таамаглалуудын аль нэг нь өгөгдсөн хувьсагчдын хоорондын хамаарлын талаархи априори бол түүнийг харгалзах тархалтын график дээр турших нь зүйтэй.

Цагаан будаа. 8. Тархалтын диаграм.

Тархалтын график нь хоёр хувьсагчийн хооронд тодорхой сөрөг хамаарлыг (-.65) харуулж байна. Энэ нь мөн регрессийн шугамын 95% итгэх интервалыг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл регрессийн шугам нь хоёр тасархай муруйны хооронд байх магадлал 95% байна.

Ач холбогдолын шалгуур

Цагаан будаа. 9. Ач холбогдолын шалгуурыг агуулсан хүснэгт.

Pop_Chng регрессийн коэффициентийн тест нь Pop_Chng нь Pt_Poor, p -тэй хүчтэй холбоотой болохыг баталж байна.<.001 .

Доод шугам

Энэ жишээ нь энгийн регрессийн загварыг хэрхэн шинжлэхийг харуулсан. Стандарт бус болон стандартчилагдсан регрессийн коэффициентүүдийн тайлбарыг мөн танилцуулав. Хамаарах хувьсагчийн хариуны тархалтыг судлахын ач холбогдлын талаар ярилцаж, урьдчилан таамаглагч болон хамааралтай хувьсагчийн хоорондын хамаарлын чиглэл, хүчийг тодорхойлох аргачлалыг үзүүлэв.

Корреляцийн шинжилгээ.

Хосолсон регрессийн тэгшитгэл.

График аргыг ашиглах.

Энэ аргыг судалж буй эдийн засгийн үзүүлэлтүүдийн хоорондын холболтын хэлбэрийг нүдээр харуулахад ашигладаг. Үүнийг хийхийн тулд графикийг тэгш өнцөгт координатын системд зурж, үр дүнгийн шинж чанарын Y-ийн бие даасан утгыг ординатын тэнхлэгийн дагуу, X хүчин зүйлийн шинж чанарын бие даасан утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу зурна.

Үр дүн ба хүчин зүйлийн шинж чанарын цэгүүдийн багцыг нэрлэдэг корреляцийн талбар.

Корреляцийн талбар дээр үндэслэн бид (хүн амын хувьд) X ба Y-ийн бүх боломжит утгуудын хоорондын хамаарал шугаман байна гэж таамаглаж болно.

Шугаман регрессийн тэгшитгэл нь y = bx + a + ε байна

Энд ε нь санамсаргүй алдаа (хазайлт, эвдрэл).

Санамсаргүй алдаа байгаа шалтгаанууд:

1. Регрессийн загварт чухал ач холбогдолтой тайлбарлагч хувьсагчдыг оруулаагүй;

2. Хувьсагчдыг нэгтгэх. Жишээлбэл, нийт хэрэглээний функц нь хувь хүний ​​зарцуулалтын шийдвэрийн нийлбэрийг ерөнхийд нь илэрхийлэх оролдлого юм. Энэ нь зөвхөн өөр өөр параметртэй хувь хүний ​​харилцааны ойролцоо тооцоолол юм.

3. Загварын бүтцийг буруу тодорхойлсон;

4. Буруу функциональ үзүүлэлт;

5. Хэмжилтийн алдаа.

Тодорхой ажиглалт i бүрийн хувьд ε i хазайлт нь санамсаргүй бөгөөд түүвэр дэх тэдгээрийн утга тодорхойгүй тул:

1) x i ба y i ажиглалтаас зөвхөн α ба β параметрийн тооцоог гаргаж болно.

2) Регрессийн загварын α ба β параметрүүдийн үнэлгээ нь санамсаргүй шинж чанартай тус бүр a ба b утгууд юм. санамсаргүй түүвэрт тохирох;

Дараа нь тооцоолж буй регрессийн тэгшитгэл (түүврийн өгөгдлөөр бүтээгдсэн) y = bx + a + ε хэлбэртэй байх ба энд e i нь алдааны ажиглагдсан утгууд (тооцоолол) ε i ба a ба b нь тус тусын тооцоолол юм. олох ёстой регрессийн загварын α ба β параметрүүд.

α ба β параметрүүдийг тооцоолохын тулд хамгийн бага квадратын аргыг (хамгийн бага квадратын арга) ашигладаг. Хамгийн бага квадратын арга нь регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн хамгийн сайн (тогтвортой, үр ашигтай, шударга бус) үнэлгээг өгдөг.

Гэхдээ санамсаргүй нэр томъёо (ε) болон бие даасан хувьсагч (x) -ын талаар тодорхой байр суурь хангагдсан тохиолдолд л болно.

Албан ёсоор OLS шалгуурыг дараах байдлаар бичиж болно.

S = ∑(y i - y * i) 2 → мин

Ердийн тэгшитгэлийн систем.

a n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x 2 = ∑y x

Бидний өгөгдлийн хувьд тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй байна

15a + 186.4 b = 17.01

186.4 a + 2360.9 b = 208.25

Эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ Аба хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна:

Бид эмпирик регрессийн коэффициентүүдийг олж авдаг: b = -0.07024, a = 2.0069

Регрессийн тэгшитгэл (эмпирик регрессийн тэгшитгэл):

у = -0.07024 x + 2.0069

Эмпирик регрессийн коэффициентүүд аТэгээд бнь зөвхөн онолын β i коэффициентүүдийн тооцоолол бөгөөд тэгшитгэл нь зөвхөн авч үзэж буй хувьсагчдын зан байдлын ерөнхий хандлагыг тусгасан болно.

Регрессийн параметрүүдийг тооцоолохын тулд бид тооцооллын хүснэгтийг байгуулна (Хүснэгт 1)

1. Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүд.

Дээж гэсэн үг.

Жишээ зөрүү:

Стандарт хазайлт

1.1. Корреляцийн коэффициент

Ковариац.

Бид холболтын ойрын үзүүлэлтийг тооцдог. Энэ үзүүлэлт нь түүврийн шугаман корреляцийн коэффициент бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Шугаман корреляцийн коэффициент нь -1-ээс +1 хүртэлх утгыг авна.

Онцлог шинж чанаруудын хоорондын холбоо нь сул, хүчтэй (ойр) байж болно. Тэдний шалгуурыг Чаддокийн масштабаар үнэлдэг.

0.1 < r xy < 0.3: слабая;

0.3 < r xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r xy < 0.7: заметная;

0.7 < r xy < 0.9: высокая;

0.9 < r xy < 1: весьма высокая;

Бидний жишээнд Y шинж чанар ба X хүчин зүйлийн хоорондын хамаарал өндөр бөгөөд урвуу байна.

Үүнээс гадна шугаман хос корреляцийн коэффициентийг b регрессийн коэффициентээр тодорхойлж болно:

1.2. Регрессийн тэгшитгэл(регрессийн тэгшитгэлийн тооцоо).

Шугаман регрессийн тэгшитгэл нь y = -0.0702 x + 2.01 байна

Шугаман регрессийн тэгшитгэлийн коэффициентийг эдийн засгийн утгаар нь өгч болно.

Регрессийн коэффициент b = -0.0702 нь үр дүнтэй үзүүлэлтийн дундаж өөрчлөлтийг (х хэмжилтийн нэгжээр) түүний хэмжилтийн нэгжид х хүчин зүйлийн үнэ цэнийн өсөлт, бууралтыг харуулж байна. Энэ жишээнд 1 нэгжээр өсөхөд y дунджаар -0.0702-оор буурч байна.

a = 2.01 коэффициент нь y-ийн таамагласан түвшинг албан ёсоор харуулдаг, гэхдээ зөвхөн x = 0 нь түүврийн утгуудтай ойролцоо байвал л.

Гэхдээ хэрэв x=0 нь x-ийн түүврийн утгуудаас хол байвал шууд утгаар тайлбарлах нь буруу үр дүнд хүргэж болзошгүй бөгөөд регрессийн шугам нь ажиглагдсан түүврийн утгыг нэлээд үнэн зөв тодорхойлсон ч гэсэн энэ нь бас болно гэсэн баталгаа байхгүй. зүүн эсвэл баруун экстраполяци хийх үед тохиолдох болно.

Регрессийн тэгшитгэлд тохирох x утгыг орлуулснаар бид ажиглалт бүрийн гүйцэтгэлийн үзүүлэлтийн y(x)-ийн зэрэгцүүлсэн (урьдчилан таамагласан) утгыг тодорхойлж чадна.

y ба x хоорондын хамаарал нь регрессийн коэффициент b (хэрэв > 0 бол - шууд хамаарал, эсрэгээр - урвуу) тэмдгийг тодорхойлно. Бидний жишээн дээр холболт нь эсрэгээрээ байна.

1.3. Уян хатан байдлын коэффициент.

Үр дүнгийн үзүүлэлт y ба хүчин зүйлийн шинж чанарын хэмжлийн нэгжийн зөрүүтэй бол үр дүнгийн шинж чанарт үзүүлэх хүчин зүйлсийн нөлөөг шууд үнэлэхийн тулд регрессийн коэффициентийг (жишээ b) ашиглахыг зөвлөдөггүй.

Эдгээр зорилгын үүднээс уян хатан байдлын коэффициент ба бета коэффициентийг тооцоолно.

Дундаж уян хатан байдлын коэффициент E нь үр дүн нь дүүргэгчийн хувьд дунджаар хэдэн хувиар өөрчлөгдөхийг харуулдаг цагтхүчин зүйл өөрчлөгдөхөд түүний дундаж утгаас xдундаж үнийн дүнгийн 1%-иар.

Уян хатан байдлын коэффициентийг дараах томъёогоор олно.

Уян хатан байдлын коэффициент 1-ээс бага.Тиймээс X 1%-иар өөрчлөгдвөл Y 1%-иас бага өөрчлөгдөнө. Өөрөөр хэлбэл, Y-д X-ийн нөлөө тийм ч чухал биш юм.

Бета коэффициент

Бета коэффициентхүчин зүйлийн шинж чанар нь тогтмол түвшинд тогтоогдсон үл хамаарах бие даасан хувьсагчдын утгаас стандарт хазайлтын утгаар өөрчлөгдөхөд түүний стандарт хазайлтын утгын ямар хэсэгээр үр дүнгийн шинж чанарын дундаж утга өөрчлөгдөхийг харуулна.

Тэдгээр. стандарт хазайлтаар x-ийн өсөлт S x нь Y-ийн дундаж утгыг 0.82 стандарт хазайлтаар бууруулахад хүргэнэ S y .

1.4. Ойролцоогоор алдаа.

Үнэмлэхүй ойртсон алдааг ашиглан регрессийн тэгшитгэлийн чанарыг үнэлье. Ойролцоогоор дундаж алдаа - тооцоолсон утгын бодит хэмжээнээс дундаж хазайлт:

Ойролцоогоор 5%-7%-ийн алдаа байгаа нь регрессийн тэгшитгэл нь анхны өгөгдөлтэй сайн тохирч байгааг харуулж байна.

Алдаа нь 7% -иас бага тул энэ тэгшитгэлийг регресс болгон ашиглаж болно.