Тэнцүү үндэсийг хасах боломжтой юу? Квадрат үндэс нэмэх дүрэм

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Математикийн хувьд үндэс нь дөрвөлжин, куб эсвэл өөр ямар нэгэн илтгэгчтэй (хүчтэй) байж болно, энэ нь язгуур тэмдгийн дээр зүүн талд бичигдсэн байдаг. Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг радикал илэрхийлэл гэнэ. Үндэс нэмэх нь алгебр илэрхийллийн нэр томьёо нэмэхтэй төстэй, өөрөөр хэлбэл ижил төстэй язгуурыг тодорхойлох шаардлагатай.

Алхам

Үндэсний тэмдэглэгээ.Үндэс тэмдгийн () доорх илэрхийлэл нь энэ илэрхийллээс тодорхой хэмжээний үндсийг гаргаж авах шаардлагатай гэсэн үг юм.

• Үндэс нь тэмдгээр илэрхийлэгдэнэ.
• Үндэс тэмдгээс дээш зүүн талд язгуурын илтгэгч (зэрэг) бичигдэнэ. Жишээлбэл, 27-ийн шоо язгуурыг дараах байдлаар бичнэ: (27)
• Хэрэв язгуурын экспонент (зэрэг) байхгүй бол илтгэгчийг 2-той тэнцүү гэж үзнэ, өөрөөр хэлбэл энэ нь квадрат язгуур (эсвэл хоёрдугаар зэргийн үндэс) юм.
• Үндэс тэмдгийн өмнө бичигдсэн тоог үржүүлэгч гэж нэрлэдэг (өөрөөр хэлбэл энэ тоог язгуураар үржүүлнэ), жишээлбэл 5 (2)
• Хэрэв язгуурын өмнө хүчин зүйл байхгүй бол 1-тэй тэнцүү байна (1-ээр үржүүлсэн аливаа тоо нь өөртэйгөө тэнцүү гэдгийг санаарай).
• Хэрэв та анх удаа үндэстэй ажиллаж байгаа бол төөрөгдөлд орохгүйн тулд үржүүлэгч болон язгуур үзүүлэлтийн талаар зохих тэмдэглэл хийж, тэдгээрийн зорилгыг илүү сайн ойлгох хэрэгтэй.

Аль үндэс нь нугалж, аль нь болохгүй гэдгийг санаарай.Та илэрхийллийн өөр өөр нэр томъёог, жишээ нь 2a + 2b 4ab нэмж болохгүйн адил өөр үндэс нэмж болохгүй.

Ижил төстэй язгууруудыг олж бүлэглээрэй.Ижил язгуурууд нь ижил үзүүлэлттэй, ижил радикал илэрхийлэлтэй үндэс юм. Жишээлбэл, илэрхийллийг авч үзье:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Эхлээд ижил индекстэй үндэсүүдийг дараалан байрлуулахын тулд илэрхийллийг дахин бичнэ үү.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Дараа нь ижил илтгэгчтэй, ижил радикал илэрхийлэлтэй язгууруудыг дараалан байрлуулахаар илэрхийллийг дахин бич.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Үндэсийг хялбарчлах.Үүнийг хийхийн тулд (боломжтой бол) радикал илэрхийллийг хоёр хүчин зүйл болгон задлах ба тэдгээрийн нэгийг нь үндэснээс нь гаргаж авна. Энэ тохиолдолд хасагдсан тоо болон үндсэн хүчин зүйлийг үржүүлнэ.

Ижил төстэй язгуурын хүчин зүйлсийг нэмнэ үү.Бидний жишээнд 2-ын ижил төстэй квадрат язгуурууд (тэдгээрийг нэмж болно), 3-ын ижил төстэй квадрат язгуурууд (тэдгээрийг нэмж болно). 3-ын шоо үндэст ийм үндэс байхгүй.

• Илэрхийлэлд үндэс бичих дарааллын талаар нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн дүрэм байдаггүй. Тиймээс та үндсийг индикаторынх нь өсөх дарааллаар, радикал илэрхийллийн өсөх дарааллаар бичиж болно.

Бүх зүйл сонирхолтой

Үндэс тэмдгийн доор байгаа тоо нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд саад болж, ажиллахад тохиромжгүй байдаг. Энэ нь нэг зэрэглэл, бутархай, эсвэл бүхэл тоогоор тодорхой зэрэглэлд дүрслэгдэх боломжгүй байсан ч та үүнийг ...-аас гаргаж авахыг оролдож болно.

Х тооны язгуур нь язгуурын зэрэглэлд хүрэхэд х-тэй тэнцүү тоо юм. Үржүүлэгч нь үржүүлж буй тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, x*ª-&radic-y хэлбэрийн илэрхийлэлд та язгуурын доор x гэж оруулах хэрэгтэй. Заавар 1 Зэрэг тодорхойлох...

Хэрэв радикал илэрхийлэл нь хувьсагчтай математикийн үйлдлүүдийн багцыг агуулдаг бол заримдаа үүнийг хялбаршуулсаны үр дүнд харьцангуй энгийн утгыг олж авах боломжтой бөгөөд үүний нэг хэсгийг үндэснээс нь гаргаж авах боломжтой байдаг. Энэхүү хялбарчлах нь ашигтай байж болох юм ...

Янз бүрийн түвшний үндэс бүхий арифметик үйлдлүүд нь физик, технологийн тооцооллыг ихээхэн хялбарчилж, илүү нарийвчлалтай болгодог. Үржүүлэх, хуваахдаа хүчин зүйл, ногдол ашиг, хуваагч бүрийн үндсийг гаргаж авахгүй, харин эхлээд...

Х тооны квадрат язгуур нь a тоо бөгөөд энэ нь өөрөө үржүүлбэл х тоо гарна: a * a = a^2 = x, x = a. Ямар ч тооны адилаар та квадрат язгуураар нэмэх, хасах арифметик үйлдлүүдийг хийж болно. Зааварчилгаа...

Математикийн үндэс нь хоёр утгатай байж болно: энэ нь арифметик үйлдэл бөгөөд тэгшитгэлийн шийдэл, алгебрийн, параметрийн, дифференциал эсвэл бусад аливаа шийдэл юм. Заавар 1 a-ийн n-р үндэс нь ийм тоо юм...

Үндэстэй янз бүрийн арифметик үйлдлүүдийг хийхдээ радикал илэрхийллийг хувиргах чадвар ихэвчлэн шаардлагатай байдаг. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд үржүүлэгчийг радикал тэмдгийн гадна талд шилжүүлэх эсвэл доор нэмэх шаардлагатай байж магадгүй юм. Энэ үйлдэл нь...

Үндэс гэдэг нь тоог олох математик үйлдлийг илэрхийлдэг дүрс бөгөөд язгуур тэмдгийн өмнө заасан зэрэглэлд хүргэх нь яг энэ тэмдгийн доор заасан тоог өгөх ёстой. Ихэнхдээ асуудлыг шийдэхийн тулд ...

Математикийн шинжлэх ухаанд язгуур тэмдэг нь язгуурын тэмдэг юм. Үндэс тэмдгийн доорх тоог радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Экспонент байхгүй бол язгуур нь квадрат язгуур, үгүй ​​бол цифр нь...

Бодит а тооны n-р зэрэглэлийн арифметик язгуур нь сөрөг бус х тоо бөгөөд n-р зэрэг нь a тоотой тэнцүү байна. Тэдгээр. (n) a = x, x^n = a. Арифметик язгуур болон рационал тоог нэмэх янз бүрийн арга байдаг...

Бодит а тооны n-р язгуур нь b^n = a тэнцүү байх b тоо юм. Сөрөг ба эерэг тоонуудад сондгой язгуур байдаг, харин тэгш үндэс нь зөвхөн эерэг тоонуудад бий.…

Сайн байцгаана уу, муурнууд! Хамгийн сүүлд бид үндэс гэж юу болохыг нарийвчлан авч үзсэн (хэрэв та санахгүй байгаа бол уншихыг зөвлөж байна). Энэ сургамжаас авсан гол зүйл: үндэс гэсэн бүх нийтийн нэг л тодорхойлолт байдаг бөгөөд энэ нь таны мэдэх ёстой зүйл юм. Үлдсэн нь дэмий хоосон, дэмий цаг үрсэн хэрэг.

Өнөөдөр бид цаашаа явж байна. Бид үндсийг үржүүлж сурах болно, үржүүлэхтэй холбоотой зарим асуудлыг судлах болно (хэрэв эдгээр асуудлууд шийдэгдээгүй бол шалгалтанд үхэлд хүргэж болзошгүй), бид зөв дадлага хийх болно. Тиймээс попкорноо нөөцөлж аваад тухтай байгаарай, тэгээд эхэлцгээе. :)

Та ч бас тамхи татаагүй байгаа биз дээ?

Хичээл нэлээд урт болсон тул би үүнийг хоёр хэсэгт хуваасан.

1. Эхлээд бид үржүүлэх дүрмийг авч үзэх болно. Cap зааж байгаа юм шиг байна: энэ нь хоёр үндэс байх үед, тэдгээрийн хооронд "үржүүлэх" тэмдэг байдаг - бид үүнтэй ямар нэгэн зүйл хийхийг хүсч байна.
2. Дараа нь эсрэг нөхцөл байдлыг харцгаая: нэг том язгуур байдаг, гэхдээ бид үүнийг хоёр энгийн язгуурын үржвэр болгон төлөөлөхийг хүсч байсан. Энэ яагаад хэрэгтэй вэ, энэ бол тусдаа асуулт юм. Бид зөвхөн алгоритмд дүн шинжилгээ хийх болно.

Хоёрдахь хэсэгт нэн даруй шилжихийг тэсэн ядан хүлээж буй хүмүүст тавтай морилно уу. Үлдсэнийг нь дарааллаар нь эхэлцгээе.

Үржүүлэх үндсэн дүрэм

Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе - сонгодог квадрат үндэс. $\sqrt(a)$ ба $\sqrt(b)$ гэж тэмдэглэгдсэн ижил хүмүүс. Тэдэнд бүх зүйл тодорхой байна:

Үржүүлэх дүрэм. Нэг квадрат язгуурыг нөгөө язгуураар үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлээд үр дүнг нийтлэг радикалын доор бичнэ.

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Баруун эсвэл зүүн талд байгаа тоонуудад нэмэлт хязгаарлалт тавьдаггүй: хэрэв үндсэн хүчин зүйлүүд байгаа бол бүтээгдэхүүн нь бас байдаг.

Жишээ. Тоотой дөрвөн жишээг нэг дор харцгаая.

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар энэ дүрмийн гол утга нь үндэслэлгүй илэрхийллийг хялбарчлах явдал юм. Хэрэв эхний жишээн дээр бид 25 ба 4-ийн үндсийг ямар ч шинэ дүрэмгүйгээр өөрсдөө гаргаж авсан бол бүх зүйл хэцүү болно: $\sqrt(32)$ болон $\sqrt(2)$-г тусад нь тооцохгүй, гэхдээ Тэдний үржвэр нь төгс дөрвөлжин болж хувирдаг тул түүний үндэс нь оновчтой тоотой тэнцүү байна.

Ялангуяа сүүлийн мөрийг онцлохыг хүсч байна. Тэнд радикал илэрхийлэл хоёулаа бутархай байна. Бүтээгдэхүүний ачаар олон хүчин зүйл хүчингүй болж, бүх илэрхийлэл нь хангалттай тоо болж хувирдаг.

Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл үргэлж ийм сайхан байдаггүй. Заримдаа үндэс дор бүрэн дэмий хоосон байх болно - үүнийг юу хийх, үржүүлсний дараа хэрхэн өөрчлөх нь тодорхойгүй байна. Хэсэг хугацааны дараа иррационал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг судалж эхлэхэд бүх төрлийн хувьсагч, функцүүд гарч ирнэ. Ихэнх тохиолдолд асуудал зохиогчид таныг цуцлах нөхцөл, хүчин зүйлийг олж мэдэх болно гэдэгт найдаж байгаа бөгөөд үүний дараа асуудал олон дахин хялбарчлах болно.

Үүнээс гадна, яг хоёр үндсийг үржүүлэх нь огт шаардлагагүй юм. Та нэг дор гурав, дөрөв, бүр арав үржүүлж болно! Энэ нь дүрмийг өөрчлөхгүй. Хараад үзээрэй:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь жишээн дээр дахин жижиг тэмдэглэл. Таны харж байгаагаар гурав дахь хүчин зүйлд үндэс дор аравтын бутархай байдаг - тооцооллын явцад бид үүнийг ердийн нэгээр сольж, дараа нь бүх зүйл амархан буурдаг. Тиймээс: Би ямар ч иррационал илэрхийлэл дэх аравтын бутархайг арилгахыг зөвлөж байна (жишээ нь дор хаяж нэг радикал тэмдэг агуулсан). Энэ нь ирээдүйд маш их цаг хугацаа, мэдрэлийг хэмнэх болно.

Гэхдээ энэ бол уянгын ухралт байсан. Одоо илүү ерөнхий тохиолдлыг авч үзье - язгуур экспонент нь зөвхөн "сонгодог" хоёр биш, дурын тооны $n$ агуулсан байх үед.

Дурын индикаторын тохиолдол

Тиймээс бид квадрат язгуурыг ангилсан. Кубыг юу хийх вэ? Эсвэл бүр дурын зэрэгтэй язгуур $n$ байна уу? Тийм ээ, бүх зүйл адилхан. Дүрэм ижил хэвээр байна:

$n$ зэрэгтэй хоёр язгуурыг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлээд үр дүнг нэг радикал дор бичихэд хангалттай.

Ерөнхийдөө ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Үүнээс бусад тохиолдолд тооцооллын хэмжээ илүү их байж болно. Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Жишээ. Бүтээгдэхүүнийг тооцоолох:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)(((25)^(3 )) ))=\sqrt((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин хэлэхэд хоёр дахь илэрхийлэлд анхаарлаа хандуулаарай. Бид шоо үндсийг үржүүлж, аравтын бутархайн бутархайгаас салж, хуваагч нь 625 ба 25 тоонуудын үржвэр болно. Энэ бол нэлээд том тоо - би хувьдаа энэ нь дээд талаас хэдтэй тэнцэж байгааг олж мэдэхгүй байна. миний толгойноос.

Тиймээс бид яг кубыг тоологч ба хуваарьт тусгаарлаж, дараа нь $n$th язгуурын үндсэн шинж чанаруудын аль нэгийг (эсвэл та хүсвэл тодорхойлолтыг) ашигласан:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Ийм "зохион байгуулалт" нь шалгалт эсвэл шалгалтанд маш их цаг хэмнэх боломжтой тул дараахь зүйлийг санаарай.

Радикал илэрхийлэл ашиглан тоог үржүүлэх гэж бүү яар. Нэгдүгээрт, шалгана уу: хэрэв ямар нэгэн илэрхийллийн яг зэрэг нь "шифрлэгдсэн" байвал яах вэ?

Энэ тайлбар тодорхой байгаа хэдий ч ихэнх бэлтгэлгүй оюутнууд тодорхой зэрэглэлийг хоосон зайд олж хардаггүй гэдгийг би хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Үүний оронд тэд бүх зүйлийг шууд үржүүлж, дараа нь гайхдаг: яагаад ийм харгис хэрцгий тоо авсан бэ? :)

Гэсэн хэдий ч энэ бүхэн бидний одоо судлах зүйлтэй харьцуулахад хүүхдийн яриа юм.

Янз бүрийн илтгэгчээр үндсийг үржүүлэх

За, одоо бид ижил үзүүлэлтээр үндсийг үржүүлж болно. Үзүүлэлтүүд өөр байвал яах вэ? Энгийн $\sqrt(2)$-г $\sqrt(23)$ гэх мэт тэнэглэлээр хэрхэн үржүүлэх вэ гэж бодъё? Бүр үүнийг хийх боломжтой юу?

Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг та чадна. Бүх зүйл энэ томъёоны дагуу хийгддэг:

Үндэс үржүүлэх дүрэм. $\sqrt[n](a)$-г $\sqrt[p](b)$-оор үржүүлэхийн тулд дараах хувиргалтыг хийхэд хангалттай.

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэсэн хэдий ч, энэ томъёо нь зөвхөн тохиолдолд л ажиллана радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш юм. Энэ бол бид хэсэг хугацааны дараа эргэж очих маш чухал цэг юм.

Одоохондоо хэд хэдэн жишээг харцгаая:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Одоо сөрөг бус шаардлага хаанаас ирсэн бэ, хэрэв бид үүнийг зөрчвөл юу болохыг олж мэдье.

Радикал илэрхийллүүд яагаад сөрөг биш байх ёстой вэ?

Мэдээжийн хэрэг, та сургуулийн багш нар шиг байж, сурах бичгийг ухаалаг харцаар иш татаж болно.

Сөрөг бус байдлын шаардлага нь тэгш ба сондгой зэрэглэлийн язгуурын янз бүрийн тодорхойлолттой холбоотой байдаг (үүний дагуу тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээ өөр өөр байдаг).

За, илүү тодорхой болсон уу? Би хувьдаа 8-р ангид байхдаа энэ утгагүй зүйлийг уншаад "Сөрөг биш байх шаардлага нь *#&^@(*#@^#)~% -тай холбоотой" - товчхондоо би ийм зүйлийг ойлгосон. тэр үед хараал идсэн юм ойлгосонгүй :)

Тиймээс одоо би бүх зүйлийг энгийн байдлаар тайлбарлах болно.

Эхлээд дээрх үржүүлэх томъёо хаанаас гарсныг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд язгуурын нэг чухал шинж чанарыг танд сануулъя.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Өөрөөр хэлбэл, бид радикал илэрхийлэлийг байгалийн ямар ч хүчин чадалтай $k$-д найдвартай өсгөж чадна - энэ тохиолдолд язгуурын экспонентийг ижил хүчээр үржүүлэх шаардлагатай болно. Тиймээс бид аливаа үндэсийг энгийн илтгэгч болгон хялбархан багасгаж, дараа нь үржүүлж чадна. Үржүүлэх томъёо эндээс гардаг:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n))))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэхдээ эдгээр бүх томъёоны хэрэглээг эрс хязгаарласан нэг асуудал бий. Энэ тоог анхаарч үзээрэй:

Сая өгсөн томъёоны дагуу бид ямар ч зэрэг нэмж болно. $k=2$-г нэмж үзье:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\зүүн(-5 \баруун))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Квадрат нь хасахыг (бусад тэгш хэмтэй адил) шатаадаг тул бид хасахыг нарийн арилгасан. Одоо урвуу хувиргалтыг хийцгээе: экспонент ба хүч хоёрыг "багасгах". Эцсийн эцэст аливаа тэгш байдлыг зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш уншиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Баруун сум \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Баруун сум \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ дараа нь энэ нь ямар нэгэн тэнэг зүйл болж хувирав:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Энэ нь болохгүй, учир нь $\sqrt(-5) \lt 0$, болон $\sqrt(5) \gt 0$. Энэ нь тэгш ба сөрөг тоонуудын хувьд бидний томъёо ажиллахаа больсон гэсэн үг юм. Үүний дараа бидэнд хоёр сонголт байна:

1. Математик бол "зарим дүрмүүд байдаг, гэхдээ тэдгээр нь буруу" гэсэн тэнэг шинжлэх ухаан гэж хана мөргөх;
2. Томъёо 100% ажиллах боломжтой нэмэлт хязгаарлалтуудыг нэвтрүүлэх.

Эхний хувилбарт бид "ажиллахгүй" тохиолдлуудыг байнга барьж байх ёстой - энэ нь хэцүү, цаг хугацаа их шаарддаг бөгөөд ерөнхийдөө хэцүү юм. Тиймээс математикчид хоёр дахь сонголтыг илүүд үздэг.

Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй! Практикт энэ хязгаарлалт нь тооцоололд ямар ч байдлаар нөлөөлдөггүй, учир нь тайлбарласан бүх асуудал нь зөвхөн сондгой зэрэглэлийн үндэстэй холбоотой бөгөөд тэдгээрээс хасах зүйлийг авч болно.

Тиймээс, үндэстэй бүх үйлдэлд ерөнхийдөө хамаарах өөр нэг дүрмийг томъёолъё.

Үндэсийг үржүүлэхийн өмнө радикал илэрхийллүүд нь сөрөг биш эсэхийг шалгаарай.

Жишээ. $\sqrt(-5)$ тоон дээр та үндсэн тэмдгийн доор байгаа хасахыг хасаж болно - тэгвэл бүх зүйл хэвийн болно:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Баруун сум \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2))))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(зохицуулах)\]

Та ялгааг мэдэрч байна уу? Хэрэв та язгуурын доор хасах тэмдэг үлдээвэл радикал илэрхийлэл нь дөрвөлжин хэлбэртэй байвал энэ нь алга болж, новш эхэлнэ. Хэрэв та эхлээд хасахыг гаргавал нүүрээ хөхрөх хүртэл дөрвөлжингөө барьж/ арилгаж болно - тоо сөрөг хэвээр байх болно.

Тиймээс үндэс үржүүлэх хамгийн зөв бөгөөд найдвартай арга бол дараах байдалтай байна.

1. Радикалуудаас бүх сөрөг талыг арилгана. Хасах зүйл нь зөвхөн сондгой үржвэрийн үндэст байдаг - тэдгээрийг үндэсний урд байрлуулж, шаардлагатай бол багасгаж болно (жишээлбэл, эдгээр хасах хоёр нь байвал).
2. Өнөөдрийн хичээл дээр дээр дурдсан дүрмийн дагуу үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэнэ. Хэрэв үндэсийн үзүүлэлтүүд ижил байвал бид радикал илэрхийллийг үржүүлнэ. Хэрэв тэдгээр нь өөр бол бид \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)) муу томьёог ашигладаг. ^(n) ))\].
3. 3. Үр дүн, сайн үнэлгээг сайхан өнгөрүүлээрэй. :)

За? Бид бэлтгэл хийх үү?

Жишээ 1: Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \баруун)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол хамгийн энгийн сонголт юм: үндэс нь ижил, сондгой, цорын ганц асуудал бол хоёр дахь хүчин зүйл нь сөрөг байдаг. Бид энэ хасахыг зургаас гаргаж аваад дараа нь бүх зүйлийг хялбархан тооцоолно.

Жишээ 2: Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))) \sqrt(((\left(((2)^(5)) \баруун))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \баруун))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( тэгшлэх)\]

Энд гаралт нь иррационал тоо болж хувирсан тул олон хүн төөрөлдөх болно. Тийм ээ, ийм зүйл тохиолддог: бид үндсийг нь бүрмөсөн арилгаж чадаагүй ч ядаж илэрхийлэлийг ихээхэн хялбаршуулсан.

Жишээ 3: Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \баруун))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Би энэ даалгаварт анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна. Энд хоёр цэг байна:

1. Үндэс нь тодорхой тоо эсвэл хүч биш, харин $a$ хувьсагч юм. Эхлээд харахад энэ нь бага зэрэг ер бусын боловч бодит байдал дээр математикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ хувьсагчтай ажиллах шаардлагатай болдог.
2. Эцэст нь бид радикал үзүүлэлт болон радикал илэрхийллийн зэрэглэлийг "бууруулж" чадсан. Энэ нь нэлээд олон удаа тохиолддог. Хэрэв та үндсэн томъёог ашиглаагүй бол тооцооллыг ихээхэн хялбарчлах боломжтой байсан гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, та үүнийг хийж болно:

\[\begin(a) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \баруун))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\төгсгөл(зохицуулах)\]

Үнэн хэрэгтээ бүх өөрчлөлтийг зөвхөн хоёр дахь радикалаар хийсэн. Хэрэв та бүх завсрын алхамуудыг нарийвчлан тайлбарлаагүй бол эцэст нь тооцооллын хэмжээ мэдэгдэхүйц буурах болно.

Үнэн хэрэгтээ бид $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ жишээг шийдэхдээ дээрхтэй ижил төстэй даалгавартай тулгарсан. Одоо үүнийг илүү хялбар бичиж болно:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \баруун))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \баруун))^(2))) =\sqrt(75). \төгсгөл(зохицуулах)\]

За, бид язгуурын үржүүлгийг цэгцлэв. Одоо урвуу үйлдлийг авч үзье: үндэс дор бүтээгдэхүүн байгаа тохиолдолд юу хийх вэ?

Тооны квадрат язгуур Xдуудсан дугаар А, энэ нь өөрөө үржих явцад ( А*А) тоо өгч болно X.
Тэдгээр. A * A = A 2 = X, Мөн √X = A.

дөрвөлжин язгуураас дээш ( √x), бусад тоонуудын нэгэн адил та хасах, нэмэх зэрэг арифметик үйлдлүүдийг хийж болно. Үндэсийг хасах, нэмэхийн тулд тэдгээрийг эдгээр үйлдэлд тохирох тэмдгүүдийг ашиглан холбох шаардлагатай (жишээлбэл √x - √y ).
Дараа нь үндсийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулаарай - хэрэв тэдгээрийн хооронд ижил төстэй зүйл байгаа бол үүнийг багасгах шаардлагатай. Энэ нь ижил төстэй нөхцлүүдийн коэффициентийг харгалзах нөхцлийн тэмдгүүдийн хамт авч, дараа нь хаалтанд хийж, хүчин зүйлийн хаалтны гаднах нийтлэг язгуурыг хасахаас бүрдэнэ. Бидний олж авсан коэффициентийг ердийн дүрмийн дагуу хялбаршуулсан болно.

Алхам 1: Квадрат үндсийг задлах

Нэгдүгээрт, дөрвөлжин үндэс нэмэхийн тулд эхлээд эдгээр үндсийг задлах хэрэгтэй. Хэрэв язгуур тэмдгийн доорх тоонууд төгс квадрат байвал үүнийг хийж болно. Жишээлбэл, өгөгдсөн илэрхийллийг ав √4 + √9 . Эхний тоо 4 тооны квадрат юм 2 . Хоёр дахь тоо 9 тооны квадрат юм 3 . Тиймээс бид дараахь тэгш байдлыг олж авах боломжтой. √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Ингээд л жишээ нь шийдэгдлээ. Гэхдээ энэ нь үргэлж тийм амархан болдоггүй.

Алхам 2. Үндэс доороос тооны үржүүлэгчийг гаргаж авах

Хэрэв язгуур тэмдгийн доор төгс квадрат байхгүй бол та язгуур тэмдгийн доор байгаа тооны үржүүлэгчийг арилгахыг оролдож болно. Жишээлбэл, илэрхийлэлийг авч үзье √24 + √54 .

Тоонуудыг хүчин зүйлээр тооцно уу:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

дунд 24 бидэнд үржүүлэгч байна 4 , язгуур тэмдгийн доороос гаргаж авч болно. дунд 54 бидэнд үржүүлэгч байна 9 .

Бид тэгш байдлыг олж авдаг:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Энэ жишээг авч үзвэл бид язгуур тэмдгийн доороос үржүүлэгчийг хасч, өгөгдсөн илэрхийллийг хялбарчлах болно.

Алхам 3: Хугацагчийг багасгах

Дараах нөхцөл байдлыг авч үзье: хоёр квадрат язгуурын нийлбэр нь бутархайн хуваагч болно, жишээлбэл, A/(√a + √b).
Одоо бидний өмнө “хүлээгч дэх ухаангүй байдлаас ангижрах” даалгавар байна.
Дараах аргыг ашиглацгаая: бутархайн хуваагч ба хуваагчийг илэрхийллээр үржүүлнэ √a - √b.

Одоо бид хуваагч дахь товчилсон үржүүлэх томъёог авна.
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

Үүний нэгэн адил, хуваагч нь язгуур зөрүүтэй бол: √a - √b, бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг илэрхийллээр үржүүлнэ √a + √b.

Жишээ болгон бутархайг авч үзье:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Комплекс хуваарийн бууралтын жишээ

Одоо бид хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах нэлээд төвөгтэй жишээг авч үзэх болно.

Жишээлбэл, бутархайг авч үзье: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Та түүний тоо, хуваагчийг авч, илэрхийллээр үржүүлэх хэрэгтэй √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Алхам 4. Тооцоологч дээрх ойролцоо утгыг тооцоол

Хэрэв танд зөвхөн ойролцоо утга хэрэгтэй бол үүнийг квадрат язгуурын утгыг тооцоолох замаар тооцоолуур дээр хийж болно. Утгыг тоо тус бүрээр тусад нь тооцож, аравтын бутархайн тоогоор тодорхойлогддог шаардлагатай нарийвчлалтайгаар бичнэ. Дараа нь энгийн тоонуудтай адил шаардлагатай бүх үйлдлүүд хийгддэг.

Ойролцоо утгыг тооцоолох жишээ

Энэ илэрхийллийн ойролцоо утгыг тооцоолох шаардлагатай √7 + √5 .

Үүний үр дүнд бид:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Анхаарна уу: ямар ч тохиолдолд квадрат язгуурыг анхны тоогоор нэмж болохгүй; Өөрөөр хэлбэл, тавын квадрат язгуур, гурвын язгуурыг нэмбэл наймын квадрат язгуурыг гаргаж чадахгүй.

Ашигтай зөвлөгөө: Хэрэв та тоог хүчин зүйлээр тооцохоор шийдсэн бол язгуур тэмдгийн доор квадратыг гаргахын тулд та урвуу шалгалт хийх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл тооцооллын үр дүнд бий болсон бүх хүчин зүйл болон түүний эцсийн үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй. Математик тооцоолол нь бидэнд анх өгсөн тоо байх ёстой.

Үндэсийг хасах дүрэм

1. Сөрөг бус тооны үржвэрээс градусын язгуур нь хүчин зүйлээс ижил зэрэгтэй язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна: энд (бүтээгдэхүүнээс үндсийг гаргаж авах дүрэм).

2. Хэрэв бол y (бутархайн үндсийг задлах дүрэм).

3. Хэрэв тийм бол (үндэсээс үндэс гаргаж авах дүрэм).

4. Хэрэв дараа нь язгуурыг хүчирхэг болгох дүрэм).

5. Хэрэв тэгвэл хаана, өөрөөр хэлбэл язгуурын илтгэгч ба радикал илэрхийллийн илтгэгчийг ижил тоогоор үржүүлж болно.

6. Хэрэв 0 бол өөрөөр хэлбэл, илүү том эерэг радикал илэрхийлэл нь язгуурын том утгатай тохирч байна.

7. Дээрх бүх томьёог урвуу дарааллаар (жишээ нь баруунаас зүүн тийш) ашигладаг. Жишээ нь,

(үндсийг үржүүлэх дүрэм);

(үндэс хуваах дүрэм);

8. Үндэс тэмдгийн доороос үржүүлэгчийг хасах дүрэм. At

9. Урвуу бодлого нь язгуурын тэмдгийн дор үржүүлэгчийг оруулах явдал юм. Жишээ нь,

10. Бутархайн хуваарьт иррационалийг арилгах.

Зарим ердийн тохиолдлыг авч үзье.

• Үгийн утга Хууль, хүү, боол-өртэй гэсэн үгсийн утгыг тайлбарла. Хууль, хүү, боол-өртэй гэсэн үгсийн утгыг тайлбарла. Амтат гүзээлзгэнэ (зочин) Сургуулиуд Сэдвийн асуултууд 1. Ямар 3 төрөлд хуваагдах вэ […]
• Машинд радио ашиглах зөвшөөрөл хэрэгтэй юу? би хаанаас уншиж болох вэ? Та ямар ч тохиолдолд радио станцаа бүртгүүлэх шаардлагатай. Хэрэв та Дотоод хэргийн яамны төлөөлөгч биш бол 462 МГц-ийн давтамжтайгаар ажилладаг Walkie-talkie нь [...]
• Нэг татварын хувь хэмжээ - 2018 Нэг ба хоёрдугаар бүлгийн бизнес эрхлэгч хувь хүмүүсийн хувьд 2018 оны нэг татварын хувь хэмжээг 1-р сарын 1-ний байдлаар тогтоосон амьжиргааны өртөг, хөдөлмөрийн хөлсний доод хэмжээний хувиар тооцно [...]
• Avto даатгалын БАТАЛГАА ХУУЛИЙН . Та өөрөө OSAGO имэйл хаяг үүсгэхээр шийдсэн ч юу ч бүтсэнгүй юу? !!Би таны даатгалын цахим өргөдөлд шаардлагатай бүх мэдээллийг оруулах болно [...]
• Онцгой албан татварыг тооцох, төлөх журам Онцгой албан татвар нь бараа, үйлчилгээнд ногдуулах шууд бус татварын нэг бөгөөд түүний өртөгт багтдаг. Онцгой албан татвар нь НӨАТ-аас ялгаатай нь […]
• Өргөдөл. Ростов-на-Дону хотын газар ашиглалт, хөгжлийн дүрэм Хотын Думын 2008 оны 6-р сарын 17-ны өдрийн N 405-р шийдвэрийн хавсралт Ростов-на-Дону хотын газар ашиглалт, хөгжлийн дүрмийн нэмэлт өөрчлөлт, [… ]

Жишээ нь,

11. Арифметик язгууртай үйлдлүүдэд үржүүлэхийн товчилсон тэмдэгтүүдийг хэрэглэх:

12. Үндэсний өмнөх хүчин зүйлийг түүний коэффициент гэнэ. Жишээлбэл, Энд 3 нь коэффициент юм.

13. Үндэс (радикалууд) ижил язгуур индекстэй, ижил радикал илэрхийлэлтэй, зөвхөн коэффициентээр ялгаатай байвал ижил төстэй гэж нэрлэдэг. Эдгээр үндэсүүд (радикалууд) ижил төстэй эсэхийг дүгнэхийн тулд тэдгээрийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй.

Жишээ нь, мөн адил байна, оноос хойш

ШИЙДЭЛТЭЙ ДАСГАЛ

1. Илэрхийллийг хялбарчлах:

Шийдэл. 1) Хүчин зүйл бүр нь бүхэл тооны квадратыг илэрхийлдэг тул радикал илэрхийллийг үржүүлэх нь утгагүй юм. Бүтээгдэхүүний үндсийг задлах дүрмийг ашиглая:

Цаашид ийм үйлдлүүдийг амаар хийх болно.

2) Боломжтой бол радикал илэрхийллийг хүчин зүйлүүдийн үржвэр болгон илэрхийлэхийг хичээж, тус бүр нь бүхэл тооны шоо байдаг ба үржвэрийн язгуурын дүрмийг хэрэгжүүлье.

2. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шийдэл. 1) Бутархайн үндсийг задлах дүрмийн дагуу бид дараах байдалтай байна.

3) Радикал илэрхийлэлүүдийг хувиргаж, үндсийг нь задлах:

3. Хэзээ болохыг хялбарчлах

Шийдэл. Үндэсээс үндсийг гаргаж авахдаа үндэсийн үзүүлэлтүүд үрждэг боловч радикал илэрхийлэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Хэрэв үндэс дор байрлах үндэсийн урд хэсэгт коэффициент байгаа бол үндсийг задлах үйлдлийг гүйцэтгэхийн өмнө түүний урд гарч буй радикалын тэмдгийн доор энэ коэффициентийг оруулна.

Дээрх дүрмүүд дээр үндэслэн сүүлийн хоёр үндсийг гаргаж авъя:

4. Хүч чадалд хүргэх:

Шийдэл. Үндэсийг хүчирхэг болгон өсгөхөд язгуурын илтгэгч өөрчлөгдөхгүй, радикал илэрхийллийн илтгэгчийг илтгэгчээр үржүүлнэ.

(тодорхойлсноос хойш, дараа нь);

Хэрэв өгөгдсөн үндэс нь коэффициенттэй бол энэ коэффициентийг тус тусад нь өсгөж, үр дүнг язгуурын коэффициент гэж бичнэ.

Энд бид язгуурын үзүүлэлт ба радикал илэрхийллийн индикаторыг ижил тоогоор үржүүлж болно гэсэн дүрмийг ашигласан (бид үржүүлсэн, өөрөөр хэлбэл 2-оор хуваагдана).

Жишээлбэл, эсвэл

4) Хоёр өөр радикалын нийлбэрийг илэрхийлсэн хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг куб болгож, хялбаршуулсан:

Бидэнд байгаа тул:

5. Хугацааны үндэслэлгүй байдлыг арилгах:

Шийдэл. Бутархайн хуваагч дахь иррационал байдлыг арилгах (устгах) тулд та хуваагчтай үржвэрт оновчтой илэрхийлэл өгдөг хамгийн энгийн илэрхийлэлийг олж, энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг олсон хүчин зүйлээр үржүүлэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, бутархайн хуваагч нь хоёр гишүүнтэй байвал бутархайн хуваагч ба хуваагчийг хуваагчтай нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлэх, өөрөөр хэлбэл нийлбэрийг харгалзах зөрүүгээр үржүүлэх ба эсрэгээр нь үржүүлэх шаардлагатай.

Илүү нарийн төвөгтэй тохиолдолд irrationality нь нэн даруй устдаггүй, харин хэд хэдэн үе шаттайгаар явагддаг.

1) Илэрхийлэл нь заавал байх ёстой

Бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

2) Бутархайн хэсэг ба хуваагчийг нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратаар үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

3) Бутархайг нийтлэг хуваагч руу авъя:

Энэ жишээг шийдэхдээ бид бутархай бүр нь утгатай, өөрөөр хэлбэл бутархай бүрийн хуваагч нь тэг биш гэдгийг санах хэрэгтэй. Үүнээс гадна,

Радикал агуулсан хэллэгийг хөрвүүлэхдээ ихэвчлэн алдаа гаргадаг. Эдгээр нь арифметик язгуур болон үнэмлэхүй утгын тухай ойлголтыг (тодорхойлолт) зөв хэрэглэх боломжгүйгээс үүсдэг.

Үндэсийг хасах дүрэм

Илэрхийллийн утгыг тооцоол

Шийдэл.

Тайлбар.
Радикал илэрхийллийг задлахын тулд түүний радикал илэрхийлэл дэх хоёр дахь хүчин зүйлийн 31 тоог 15+16-ийн нийлбэр гэж төсөөл. (мөр 2)

Өөрчлөлтийн дараа хоёр дахь радикал илэрхийлэл дэх нийлбэрийг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан нийлбэрийн квадрат хэлбэрээр илэрхийлж болох нь тодорхой байна. (мөр 3)

Одоо энэ бүтээгдэхүүний үндэс бүрийг хүч гэж төсөөлцгөөе. (мөр 4)

Илэрхийлэлийг хялбаршуулъя (мөр 5)

Бүтээгдэхүүний зэрэг нь хүчин зүйл бүрийн градусын үржвэртэй тэнцүү тул бид үүнийг зохих ёсоор илэрхийлнэ (мөр 6)

Таны харж байгаагаар үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан бид хоёр тооны квадратуудын хоорондох зөрүүг олж авна. Эндээс бид илэрхийллийн утгыг тооцоолно (мөр 7)

Илэрхийллийн утгыг тооцоол.

Шийдэл.

Тайлбар.

Тоонуудын язгуурын язгуур нь эдгээр тоонуудын язгуурын коэффициенттэй тэнцүү байна гэсэн язгуурын шинж чанарыг ашигладаг (мөр 2)

Ижил түвшний тооны дурын чадлын үндэс нь энэ тоотой тэнцүү байна (мөр 3)

Эхний хүчин зүйлийн хаалтнаас хасахыг авч үзье. Энэ тохиолдолд хаалт доторх бүх тэмдгүүд эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө (мөр 4)

Бутархай багасгах ажлыг хийцгээе (мөр 5)

729 тоог 27-ын квадрат, 27-г 3-ын шоо гэж төсөөлье.Тэндээс радикал илэрхийллийн утгыг гаргана.

Квадрат үндэс. Элсэлтийн түвшин.

Та хүч чадлаа сорьж, Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтанд хэр бэлэн байгаагаа мэдмээр байна уу?

1. Арифметик квадрат язгуурын тухай ойлголтын танилцуулга

Сөрөг бус тооны квадрат язгуур (арифметик квадрат язгуур) нь квадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм.
.

Үндэс тэмдгийн доорх тоо эсвэл илэрхийлэл нь сөрөг биш байх ёстой

2. Квадратуудын хүснэгт

3. Арифметик квадрат язгуурын шинж чанарууд

Арифметик квадрат язгуурын тухай ойлголтын танилцуулга

Энэ "үндэс" гэсэн ойлголт юу болох, "түүнийг юугаар иддэгийг" олж мэдэхийг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд хичээл дээр аль хэдийн тааралдсан жишээнүүдийг харцгаая (эсвэл та ийм зүйлтэй тулгарах гэж байна).

Жишээлбэл, бидэнд тэгшитгэл бий. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл юу вэ? Ямар тоог квадрат болгож авах вэ? Үржүүлэх хүснэгтийг санаж байхдаа та хариултыг хялбархан өгч чадна: ба (эцсийн эцэст хоёр сөрөг тоог үржүүлэхэд эерэг тоо гарна)! Хялбаршуулахын тулд математикчид квадрат язгуурын тусгай ойлголтыг нэвтрүүлж, түүнд тусгай тэмдэг өгсөн.

Арифметик квадрат язгуурыг тодорхойлъё.

Энэ тоо яагаад сөрөг биш байх ёстой гэж? Жишээлбэл, энэ нь юутай тэнцүү вэ? За, нэгийг нь сонгох гээд үзье. Магадгүй гурав уу? Шалгаж үзье: , үгүй. Магадгүй,? Дахин хэлэхэд бид шалгаж байна: . За, тохирохгүй байна уу? Энэ нь хүлээгдэж буй зүйл юм - учир нь квадрат нь хасах тоо өгдөг тоо байхгүй!

Гэсэн хэдий ч, тодорхойлолтод "тооны квадрат язгуурын шийдэл нь квадрат нь -тэй тэнцүү сөрөг бус тоо" гэж хэлснийг та аль хэдийн анзаарсан байх. Бид хамгийн эхэнд квадрат болон олж авах боломжтой тоонуудыг сонгосон жишээн дээр дүн шинжилгээ хийсэн бөгөөд хариулт нь мөн байсан, гэхдээ энд бид ямар нэгэн "сөрөг бус тоо" -ын тухай ярьж байна! Энэ тайлбар нэлээд тохиромжтой. Энд та квадрат тэгшитгэл ба тооны арифметик квадрат язгуурын ойлголтыг ялгах хэрэгтэй. Жишээ нь, илэрхийлэлтэй тэнцэхгүй.

Тэгээд үүнийг дагадаг.

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь маш будлиантай боловч тэмдгүүд нь тэгшитгэлийг шийдсэний үр дүн гэдгийг санах нь зүйтэй, учир нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид бүх X-г бичих ёстой бөгөөд үүнийг анхны тэгшитгэлд орлуулахад дараахийг өгөх болно. зөв үр дүн. Аль аль нь манай квадрат тэгшитгэлд тохирно.

Гэсэн хэдий ч, Хэрэв та ямар нэг зүйлийн квадрат язгуурыг авбал үргэлж нэг сөрөг үр дүн гардаг.

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэж үзээрэй. Бүх зүйл тийм ч энгийн, жигд биш болсон, тийм үү? Тоонуудыг давж үзээрэй, магадгүй ямар нэг зүйл гарах болов уу?

Эхнээс нь эхэлье - эхнээс нь: - тохирохгүй байна, цаашаа яваарай; – гурваас бага, бид үүнийг бас үгүйсгэдэг, гэхдээ яах вэ? Шалгаж үзье: - бас тохирохгүй байна, учир нь энэ нь гурваас илүү юм. Энэ нь сөрөг тоотой ижил түүх юм. Тэгэхээр бид одоо яах ёстой вэ? Хайлт үнэхээр бидэнд юу ч өгсөнгүй гэж үү? Огт үгүй ​​ээ, одоо бид хариулт нь ба хооронд, мөн хоёрын хооронд ямар нэгэн тоо байх болно гэдгийг баттай мэдэж байна. Мөн шийдлүүд нь бүхэл тоо биш нь ойлгомжтой. Түүнээс гадна тэд оновчтой биш юм. Дараа нь яах вэ? Функцийн графикийг зурж, түүн дээр шийдүүдийг тэмдэглэе.

Системийг хуурч, тооцоолуур ашиглан хариултыг авахыг хичээцгээе! Үүний үндсийг гаргацгаая! Өө-өө-өө, энэ тоо хэзээ ч дуусахгүй нь харагдаж байна. Шалгалт дээр тооны машин байхгүй болохоор та үүнийг яаж санаж чадаж байна аа!? Бүх зүйл маш энгийн, та үүнийг санах шаардлагагүй, зөвхөн ойролцоо утгыг санах хэрэгтэй (эсвэл хурдан тооцоолох боломжтой). мөн хариултууд нь өөрсдөө. Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг; ийм тооны бичвэрийг хялбарчлахын тулд квадрат язгуурын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.
Үүнийг бататгахын тулд өөр нэг жишээг харцгаая. Дараах бодлогыг авч үзье: тал нь км диагональтай дөрвөлжин талбайг гатлах хэрэгтэй, та хэдэн км явах ёстой вэ?

Энд хамгийн ойлгомжтой зүйл бол гурвалжинг тусад нь авч үзэх ба Пифагорын теоремыг ашиглах явдал юм: . Ийнхүү, . Тэгэхээр энд ямар зай шаардлагатай вэ? Мэдээжийн хэрэг, зай нь сөрөг байж болохгүй, бид үүнийг ойлгодог. Хоёрын үндэс нь ойролцоогоор тэнцүү, гэхдээ бид өмнө нь тэмдэглэснээр - аль хэдийн бүрэн хариулт юм.

Үндэс олборлолт

Асуудал үүсгэхгүйгээр үндэстэй жишээг шийдэхийн тулд та тэдгээрийг харж, таних хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та хамгийн багадаа тоонуудын квадратыг мэдэж байх ёстой, мөн тэдгээрийг таних чадвартай байх хэрэгтэй.

Өөрөөр хэлбэл, та квадраттай юу тэнцүү болохыг, мөн эсрэгээр нь квадраттай юу тэнцүү болохыг мэдэх хэрэгтэй. Эхлээд энэ хүснэгт нь үндсийг задлахад тусална.

Та хангалттай тооны жишээг шийдмэгц түүний хэрэгцээ автоматаар алга болно.
Дараах илэрхийллүүдийн квадрат язгуурыг өөрөө олохыг хичээ.

За, яаж бүтсэн бэ? Одоо эдгээр жишээнүүдийг харцгаая:

Арифметик квадрат язгуурын шинж чанарууд

Одоо та үндсийг хэрхэн яаж задлахаа мэддэг болсон тул арифметик квадрат язгуурын шинж чанаруудын талаар суралцах цаг болжээ. Тэдгээрийн зөвхөн 3 нь байна:

• үржүүлэх;
• хуваагдал;
• экспонентаци.

Энэ хүснэгт, мэдээжийн хэрэг, сургалтын тусламжтайгаар тэдгээрийг санахад маш хялбар байдаг.

Хэрхэн шийдэх вэ
квадрат тэгшитгэл

Өмнөх хичээлүүд дээр бид “Шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ” буюу нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг авч үзсэн. Энэ хичээл дээр бид үзэх болно үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэгмөн үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?

Тэгшитгэлийн зэрэг нь үл мэдэгдэх зүйл байх хамгийн дээд зэргээр тодорхойлогддог.

Хэрэв үл мэдэгдэх хамгийн их хүч нь "2" бол квадрат тэгшитгэлтэй болно.

Квадрат тэгшитгэлийн жишээ

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

"a", "b", "c"-ийг олохын тулд та тэгшитгэлээ "ax 2 + bx + c = 0" квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэртэй харьцуулах хэрэгтэй.

Квадрат тэгшитгэлийн "a", "b", "c" коэффициентүүдийг тодорхойлох дадлага хийцгээе.

• a = 5
• b = -14
• c = 17

• a = −7
• b = -13
• c = 8

• a = −1
• b = 1

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Шугаман тэгшитгэлээс ялгаатай нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргыг ашигладаг. үндсийг олох томъёо.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

• квадрат тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт буулгана. Өөрөөр хэлбэл баруун талд зөвхөн "0" үлдэх ёстой;
• үндэс нь томъёог ашиглах:

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд томъёог хэрхэн ашиглах жишээг авч үзье. Квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

“x 2 − 3x − 4 = 0” тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт аль хэдийн багасгасан бөгөөд нэмэлт хялбарчлах шаардлагагүй. Үүнийг шийдэхийн тулд бид өргөдөл гаргахад л хангалттай квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёо.

Энэ тэгшитгэлийн "a", "b", "c" коэффициентүүдийг тодорхойлъё.

• a = 1
• b = -3
• c = -4

Тэдгээрийг томъёонд орлуулж, үндсийг нь олъё.

Үндэс олох томьёо цээжлэхээ мартуузай.

Үүнийг ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Квадрат тэгшитгэлийн өөр нэг жишээг авч үзье.

Энэ хэлбэрээр "a", "b" ба "c" коэффициентийг тодорхойлоход нэлээд хэцүү байдаг. Эхлээд тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт оруулъя.

Одоо та үндэст зориулсан томъёог ашиглаж болно.

Квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй байх тохиолдол байдаг. Томъёоны үндэс дор сөрөг тоо байгаа тохиолдолд ийм нөхцөл байдал үүсдэг.

Сөрөг тооны язгуурыг авах боломжгүй гэдгийг бид квадрат язгуурын тодорхойлолтоос санаж байна.

Үндэсгүй квадрат тэгшитгэлийн жишээг авч үзье.

Тэгэхээр язгуур нь сөрөг тоотой байх нөхцөл байдал манайд бий. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй гэсэн үг юм. Тиймээс бид хариуд нь "Жинхэнэ үндэс байхгүй" гэж бичсэн.

"Жинхэнэ үндэс байхгүй" гэдэг үг ямар утгатай вэ? Та яагаад "үндэсгүй" гэж бичиж болохгүй гэж?

Уг нь ийм тохиолдлуудад үндэс байдаг ч сургуулийн хөтөлбөрт заагаагүй учраас бодит тоонуудын дунд язгуур байхгүй гэж хариуд нь бичдэг. Өөрөөр хэлбэл, "Жинхэнэ үндэс байхгүй" гэсэн үг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Заримдаа "b" ба/эсвэл "c" коэффициентүүд илт байхгүй квадрат тэгшитгэлүүд байдаг. Жишээлбэл, энэ тэгшитгэлд:

Ийм тэгшитгэлийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл" хичээл дээр авч үзнэ.

Агуулга:

Та квадрат язгуурыг ижил радикал илэрхийлэлтэй тохиолдолд л нэмж хасах боломжтой, өөрөөр хэлбэл 2√3 ба 4√3-ийг нэмж хасах боломжтой, харин 2√3 ба 2√5-ыг нэмэхгүй. Та ижил радикал илэрхийлэлтэй үндэс болгон багасгахын тулд радикал илэрхийллүүдийг хялбарчилж болно (дараа нь нэмэх эсвэл хасах).

Алхам

1-р хэсэг Үндсэн ойлголт

1. 1 (язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл).Үүнийг хийхийн тулд радикал тоог хоёр хүчин зүйлд хуваана, тэдгээрийн нэг нь дөрвөлжин тоо (түүнээс бүхэл үндэс авч болох тоо, жишээ нь 25 эсвэл 9). Үүний дараа дөрвөлжин тооны үндсийг задалж, олсон утгыг язгуур тэмдгийн өмнө бичнэ (хоёр дахь хүчин зүйл нь үндсэн тэмдгийн доор үлдэх болно). Жишээлбэл, 6√50 - 2√8 + 5√12. Үндэс тэмдгийн өмнөх тоонууд нь харгалзах язгууруудын хүчин зүйлүүд, язгуур тэмдгийн доорх тоонууд нь радикал тоо (илэрхийлэл) юм. Энэ асуудлыг хэрхэн шийдэхийг энд харуулав.
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Энд та 50-ыг 25 ба 2-ын хүчин зүйл болгон хуваана; дараа нь 25-аас 5-тай тэнцэх үндсийг гаргаж аваад, үндэснээс нь 5-ыг гаргана. Дараа нь 5-ыг 6-аар (үндэс дэх үржүүлэгч) үржүүлээд 30√2 гарна.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Энд та 8-ыг 4 ба 2-ын хүчин зүйл болгон хуваана; дараа нь 4-өөс та 2-той тэнцүү үндсийг авч, үндэс доороос 2-ыг гаргана. Дараа нь 2-ыг 2-оор (үндэс дэх үржүүлэгч) үржүүлж, 4√2 гарна.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Энд та 12-ыг 4 ба 3-ын хүчин зүйл болгон хуваана; дараа нь 4-өөс та 2-той тэнцүү үндсийг авч, үндэс доороос 2-ыг гаргана. Дараа нь та 2-ыг 5-аар (үндэс дэх үржүүлэгч) үржүүлбэл 10√3 болно.
2. 2 Радикал илэрхийлэл нь ижил язгуурын доогуур зур.Бидний жишээн дээр хялбаршуулсан илэрхийлэл нь 30√2 - 4√2 + 10√3 хэлбэртэй байна. Үүнд та эхний болон хоёр дахь нөхцлийн доогуур зурах ёстой ( 30√2 Тэгээд 4√2 ), ижил радикал тоотой тул 2. Зөвхөн ийм язгууруудыг нэмж хасах боломжтой.
3. 3 Хэрэв танд олон тооны нэр томьёо бүхий илэрхийлэл өгөгдсөн бол тэдгээрийн ихэнх нь ижил радикал илэрхийлэлтэй байвал уг хэллэгийг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд дан, давхар, гурвалсан доогуур зураасыг ашиглана уу.
4. 4 Радикал илэрхийлэл нь ижил язгууруудын хувьд язгуур тэмдгийн урд байгаа үржвэрүүдийг нэмж хасах ба радикал илэрхийллийг хэвээр үлдээнэ (радикал тоог нэмж, хасаж болохгүй!). Санаа нь өгөгдсөн илэрхийлэлд тодорхой радикал илэрхийлэлтэй хэдэн үндэс агуулагдаж байгааг харуулах явдал юм.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

2-р хэсэг Жишээн дээр дадлага хийцгээе

1. 1 Жишээ 1: √(45) + 4√5.
   • √(45)-г хялбарчлах. 45-р хүчин зүйл: √(45) = √(9 x 5).
   • Үндэс доороос 3-ыг гарга (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Одоо хүчин зүйлүүдийг үндэс дээр нэмнэ үү: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Жишээ 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • 6√(40)-г хялбарчил. 40-р хүчин зүйл: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Үндэс доороос 2-ыг гарга (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Үндэсийн өмнөх хүчин зүйлсийг үржүүлээд 12√10 гарна.
   • Одоо илэрхийллийг 12√10 - 3√(10) + √5 гэж бичиж болно. Эхний хоёр гишүүн нь ижил радикалуудтай тул эхнийхээс хоёр дахь гишүүнийг хасч, эхнийх нь өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэж болно.
   • Та дараахийг авах болно: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Жишээ 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Энд радикал илэрхийллүүдийн аль нь ч хүчин зүйлээр ангилагдах боломжгүй тул энэ илэрхийллийг хялбарчлах боломжгүй. Гурав дахь гишүүнийг эхнийхээс хасч (ижил радикалуудтай тул) хоёр дахь гишүүнийг өөрчлөхгүй үлдээж болно. Та авах болно: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Жишээ 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Одоо та 5-ыг авахын тулд 3 + 2-ыг нэмж болно.
   • Эцсийн хариулт: 5 - 3√2.
5. 5 Жишээ 5.Үндэс ба бутархайг агуулсан илэрхийллийг шийд. Та зөвхөн нийтлэг (ижил) хуваагчтай бутархайг нэмж, тооцоолж болно. (√2)/4 + (√2)/2 илэрхийлэл өгөгдсөн.
   • Эдгээр бутархайн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг ол. Энэ нь хуваагч бүрт жигд хуваагдах тоо юм. Бидний жишээнд 4-ийн тоо 4 ба 2-т хуваагддаг.
   • Одоо хоёр дахь бутархайг 2/2-оор үржүүлээрэй (нийтийн хуваарьт хүргэхийн тулд эхний бутархай нь аль хэдийн буурсан байна): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Бутархайн тоог нэмээд хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Үндэс нийлбэр эсвэл хасахын өмнө радикал илэрхийллийг хялбарчлахаа мартуузай (боломжтой бол).

Анхааруулга

• Өөр өөр радикал илэрхийлэлтэй үндсийг хэзээ ч нэмж, хасаж болохгүй.
• Бүхэл тоо болон язгуурыг хэзээ ч нэмж, хасаж болохгүй, жишээлбэл. 3 + (2х) 1/2 .
  • Тайлбар: "x" хоёр дахь зэрэглэл ба "x"-ийн квадрат язгуур нь ижил зүйл юм (өөрөөр хэлбэл x 1/2 = √x).