Эхний хоёр теорем танд сайн мэдэгдэж байгаа, үлдсэн хоёрыг бид батлах болно.
Теорем 1
Гурвалжны гурван биссектрисанэг цэг дээр огтлолцоно бичээстэй тойргийн төв.
Баталгаа
өнцгийн биссектриса нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэдгийг үндэслэсэн.
Теорем 2
Гурвалжны хажуугийн гурван перпендикуляр биссектриса нь тойргийн төв болох нэг цэг дээр огтлолцдог.
Баталгаа
хэрчмийн перпендикуляр биссектриса нь энэ сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байршил гэдгийг үндэслэн.
Теорем 3
Гурван өндөр эсвэл гурван шулуун, дээр нь гурвалжны өндөр нь нэг цэгт огтлолцоно. Энэ цэгийг нэрлэдэг ортоцентргурвалжин.
Баталгаа
"ABC" гурвалжны оройгоор бид эсрэг талуудтай параллель шулуун шугамуудыг татдаг.
Уулзвар дээр `A_1 B_1 C_1` гурвалжин үүснэ.
Барилгын хувьд `ABA_1C` нь параллелограмм тул `BA_1 = AC` болно. Үүний нэгэн адил `C_1B = AC`, тиймээс `C_1B = AC`, `B` цэг нь `C_1A_1` сегментийн дунд хэсэг болохыг тогтоосон.
Яг үүнтэй адилаар `C` нь `B_1A_1`-ийн дунд, `A` нь `B_1 C_1`-ийн дунд байгааг харуулж байна.
`BN`-г `ABC` гурвалжны өндөр гэж үзье, тэгвэл `A_1 C_1` сегментийн хувьд `BN` шулуун нь перпендикуляр биссектриса болно. Эндээс "ABC" гурвалжны өндрүүд орших гурван шулуун шугам нь "A_1B_1C_1" гурвалжны гурван талын перпендикуляр биссектрис болно; ба ийм перпендикулярууд нэг цэг дээр огтлолцдог (теорем 2).
Хэрэв гурвалжин хурц байвал өндөр тус бүр нь орой болон эсрэг талын зарим цэгийг холбосон сегмент юм. Энэ тохиолдолд `B` болон `N` цэгүүд нь `AM` шугамаар үүсгэгдсэн өөр өөр хагас хавтгайд байрлах бөгөөд энэ нь `BN` сегмент нь `AM` шугамыг огтолж, огтлолцох цэг нь `BN` өндөрт байрлана гэсэн үг. , өөрөөр хэлбэл гурвалжин дотор байрладаг.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд өндрийн огтлолцох цэг нь зөв өнцгийн орой юм.
Теорем 4
Гурвалжны гурван медиан нэг цэг дээр огтлолцох ба оройноос нь тоолоход `2:1` харьцаатай огтлолцлын цэгт хуваагдана.. Энэ цэгийг гурвалжны хүндийн төв (эсвэл массын төв) гэж нэрлэдэг.
Энэ теоремийн янз бүрийн нотолгоо байдаг. Талесийн теорем дээр үндэслэсэн нэгийг танилцуулъя.
Баталгаа
`E`, `D` ба `F` нь `ABC` гурвалжны `AB`, `BC`, `AC` талуудын дунд цэгүүд байг.
`E` ба `F` цэгүүдээр дамжуулан `AD` медианыг зуръя зэрэгцээЭнэ нь `EK` ба `FL` шулуун шугамтай. Фалесийн теоремоор `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) ба `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Харин `BD = DC = a//2` тул `BK = KD = DL = LC = a//4` болно. Үүнтэй ижил теоремоор `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), тэгэхээр `BM = 2MF` байна.
Энэ нь голч `AD`-тай огтлолцох `M` цэг дэх `BF` дундаж нь оройгоос тоолоход `2:1` харьцаагаар хуваагдсан гэсэн үг.
'M' цэг дээрх медиан 'AD' нь ижил харьцаагаар хуваагддаг болохыг баталцгаая. Үндэслэл нь төстэй юм.
Хэрэв бид `BF` ба `CE` медиануудыг авч үзвэл тэдгээр нь `BF` медианыг `2:1` харьцаагаар хуваах цэг дээр, өөрөөр хэлбэл ижил `M` цэгт огтлолцож байгааг харуулж чадна. Мөн энэ үед 'CE' медианыг оройноос нь тооцвол '2:1' харьцаанд хуваана.
Баранова Елена
Энэхүү ажил нь гурвалжны гайхалтай цэгүүд, тэдгээрийн шинж чанар, хэв маягийг, тухайлбал есөн цэгийн тойрог, Эйлерийн шулуун шугамыг судалдаг. Эйлерийн шулуун ба есөн цэгийн тойргийг нээсэн түүхэн сурвалжийг өгөв. Миний төслийг хэрэгжүүлэх практик чиглэлийг санал болгож байна.
Татаж авах:
Урьдчилан үзэх:
Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com
Слайдын тайлбар:
"ГУРВАЛЖИНГИЙН ГАЙХАМШИГТАЙ ЦЭГҮҮД." (Математикийн хэрэглээний болон үндсэн асуултууд) Елена Баранова 8-р анги, MKOU "20-р дунд сургууль" Пос. Новоизобильный, Духанина Татьяна Васильевна, "20-р дунд сургууль" Хотын боловсролын байгууллагын математикийн багш Новоизобилный тосгон 2013. Хотын захиргааны боловсролын байгууллага "20-р дунд сургууль"
Зорилго: гурвалжны гайхалтай цэгүүдийг судалж, тэдгээрийн ангилал, шинж чанарыг судлах. Зорилтууд: 1. Шаардлагатай ном зохиолыг судлах 2. Гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн ангилалыг судлах 3.. Гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн шинж чанаруудтай танилцах 4. Гурвалжны гайхалтай цэгүүдийг байгуулах чадвартай байх. 5. Гайхалтай цэгүүдийн хамрах хүрээг судал. Судалгааны объект - математикийн хэсэг - геометр Судалгааны сэдэв - гурвалжин Хамаарах зүйл: гурвалжин, түүний гайхалтай цэгүүдийн шинж чанаруудын талаархи мэдлэгээ өргөжүүлэх. Таамаглал: гурвалжин ба байгаль хоёрын холбоо
Перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг нь гурвалжны оройн цэгүүдээс ижил зайд байрладаг бөгөөд хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм. Гурвалжны хажуугийн дунд цэгүүд ба оройнууд нь перпендикуляр биссектрисын огтлолцох цэгтэй давхцаж байгаа нэг цэгт огтлолцдог гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог.
Биссектрисийн огтлолцлын цэг Гурвалжны биссектрисауудын огтлолцлын цэг нь гурвалжны талуудаас ижил зайд байна. OM=OA=OB
Өндөрүүдийн огтлолцох цэг Оройнууд нь өндрийн суурь болох гурвалжны биссектрисын огтлолцох цэг нь гурвалжны өндрийн огтлолцох цэгтэй давхцдаг.
Медиануудын огтлолцох цэг Гурвалжны медианууд нь оройноос нь тоолоход медиан бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваадаг нэг цэг дээр огтлолцдог. Хэрэв медиануудын огтлолцлын цэгийг оройнуудтай холбосон бол гурвалжин нь тэнцүү талбайтай гурван гурвалжинд хуваагдана. Медиануудын огтлолцлын цэгийн чухал шинж чанар нь эхлэл нь медиануудын огтлолцлын цэг, төгсгөлүүд нь гурвалжны оройнууд болох векторуудын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү M1 N C B A m2 m3 M1 байна. Н С В А м2 м3 М1 Н С В А м2 м3 М1 Н С В А м2 м3
Торричелли цэг Тайлбар: Гурвалжны бүх өнцөг нь 120-аас бага бол Торричелли цэг бий болно.
B1, A1, C1 есөн цэгийн тойрог – өндрийн суурь; A2, B2, C2 - харгалзах талуудын дунд цэгүүд; A3, B3, C3 нь AN, VN, CH сегментүүдийн дунд цэгүүд юм.
Эйлерийн шулуун шугам Медиануудын огтлолцлын цэг, өндрүүдийн огтлолцлын цэг, есөн цэгээс бүрдсэн тойргийн төв нь нэг шулуун дээр орших бөгөөд үүнийг энэ хэв маягийг тодорхойлсон математикчийг хүндэтгэн Эйлерийн шулуун гэж нэрлэдэг.
Гайхамшигтай цэгүүдийг нээсэн түүхээс бага зэрэг 1765 онд Эйлер гурвалжны талуудын дунд цэгүүд ба өндрийн суурь нь нэг тойрог дээр байрладаг болохыг олж мэдэв. Гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн хамгийн гайхалтай шинж чанар нь тэдгээрийн зарим нь хоорондоо тодорхой харьцаатай холбоотой байдаг. М медиануудын огтлолцлын цэг, H өндрийн огтлолцлын цэг ба хүрээлэгдсэн О тойргийн төв нь нэг шулуун дээр байх ба М цэг нь OH хэрчмийг хувааснаар OM хамаарал: OH = 1 байна. : 2 энэ теоремыг 1765 онд Леонхард Эйлер баталсан.
Геометр ба байгалийн хоорондын холбоо. Энэ байрлалд потенциал энерги хамгийн бага утгатай байх ба MA+MB+MC сегментүүдийн нийлбэр хамгийн бага байх ба Торричелли цэгээс эхлэлтэй эдгээр сегментүүд дээр байрлах векторуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна.
Дүгнэлт Миний мэдэх өндөр, медиан, биссектриса, перпендикуляр биссектрисын огтлолцох гайхалтай цэгүүдээс гадна гурвалжны гайхалтай цэгүүд, шулуунууд байдгийг би мэдсэн. Би энэ сэдвээр олж авсан мэдлэгээ боловсролын үйл ажиллагаандаа ашиглах, теоремуудыг тодорхой бодлогод бие даан хэрэглэх, сурсан теоремуудыг бодит нөхцөл байдалд ашиглах чадвартай болно. Математик сурахдаа гурвалжны гайхалтай цэг, шулууныг ашиглах нь үр дүнтэй гэдэгт би итгэдэг. Тэдгээрийг мэдэх нь олон асуудлын шийдлийг ихээхэн хурдасгадаг. Санал болгож буй материалыг математикийн хичээл болон 5-9-р ангийн сурагчдад зориулсан хичээлээс гадуурх үйл ажиллагаанд ашиглаж болно.
Урьдчилан үзэх:
Урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд нэвтэрнэ үү:
Эхлээд өнцгийн биссектрисын тухай теоремыг баталъя.
Теорем
Баталгаа
1) BAC өнцгийн биссектриса дээр дурын M цэгийг авч, АВ ба АС шулуунууд руу MK ба ML перпендикуляруудыг зурж, MK = ML гэдгийг батална (Зураг 224). AM K ба AML тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг авч үзье. Тэд гипотенуз ба хурц өнцгийн хувьд тэнцүү байна (AM нь нийтлэг гипотенуз, ∠1 = ∠2 дүрэм). Тиймээс MK = ML.
2) M цэг BAC өнцгийн дотор байх ба түүний AB ба АС талуудаас ижил зайд байг. AM туяа нь BAC өнцгийн биссектриса гэдгийг баталъя (224-р зургийг үз). AB ба AC шулуунууд руу MK ба ML перпендикуляруудыг татъя. Зөв гурвалжин AMK ба AML нь гипотенуз ба хөлөөрөө тэнцүү байна (AM нь нийтлэг гипотенуз, MK = ML дүрэм). Тиймээс ∠1 = ∠2. Гэхдээ энэ нь AM туяа нь BAC өнцгийн биссектриса гэсэн үг юм. Теорем нь батлагдсан.
Цагаан будаа. 224
Дүгнэлт 1
Дүгнэлт 2
Үнэн хэрэгтээ ABC гурвалжны AA 1 ба BB 1 биссектриссуудын огтлолцлын цэгийг О үсгээр тэмдэглээд, энэ цэгээс AB, BC, CA шулуунууд руу OK, OL, OM перпендикуляруудыг тус тус татъя. (Зураг 225). Батлагдсан теоремын дагуу OK = OM, OK = OL. Тиймээс OM = OL, өөрөөр хэлбэл О цэг нь ACB өнцгийн талуудаас ижил зайд байх тул энэ өнцгийн CC 1 биссектрист байрладаг. Иймээс ABC гурвалжны гурван биссектриса нь О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.
Цагаан будаа. 225
Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын шинж чанарууд
Хэсэгт перпендикуляр биссектриса нь өгөгдсөн сегментийн дундуур дайран өнгөрөх ба түүнд перпендикуляр шугам юм.
Цагаан будаа. 226
Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын тухай теоремыг баталцгаая.
Теорем
Баталгаа
Шулуун шугам m нь AB сегментийн перпендикуляр биссектриса, О цэг нь энэ сегментийн дунд цэг (Зураг 227, a).
Цагаан будаа. 227
1) m шулуун дээрх дурын M цэгийг авч үзээд AM = BM гэдгийг батал. Хэрэв М цэг нь О цэгтэй давхцаж байвал О нь AB сегментийн дунд цэг тул энэ тэгшитгэл үнэн болно. M ба O хоёр өөр цэг байг. OAM ба OBM тэгш өнцөгт гурвалжин хоёр хөл дээр тэнцүү байна (OA = OB, OM нь нийтлэг хөл), тиймээс AM = BM.
2) АВ хэрчмийн төгсгөлөөс ижил зайд орших дурын N цэгийг авч үзээд N цэг m шулуун дээр байгааг батал. Хэрэв N нь AB шулуун дээрх цэг бол энэ нь AB сегментийн О дунд цэгтэй давхцах тул m шулуун дээр байрладаг. Хэрэв N цэг AB шулуун дээр оршдоггүй бол AN = BN тул ANB гурвалжин нь ижил өнцөгт байна (Зураг 227, b). NO сегмент нь энэ гурвалжны медиан тул өндөр юм. Тиймээс NO ⊥ AB, тиймээс ON ба m шугамууд давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл N нь m шулууны цэг юм. Теорем нь батлагдсан.
Дүгнэлт 1
Дүгнэлт 2
Энэ мэдэгдлийг батлахын тулд ABC гурвалжны AB ба ВС талуудын m ба n хоёр талт перпендикуляруудыг авч үзье (Зураг 228). Эдгээр шугамууд нь ямар нэгэн цэг дээр огтлолцдог O. Үнэхээр, хэрэв бид эсрэгээр нь, өөрөөр хэлбэл, m || n, тэгвэл m шулуунд перпендикуляр байх BA шулуун мөн n шулуунтай параллель байх ба дараа нь BA ба BC хоёр шулуун n шулуунтай перпендикуляр В цэгийг дайран өнгөрөх бөгөөд энэ нь боломжгүй юм.
Цагаан будаа. 228
Батлагдсан теоремын дагуу OB = OA ба OB = OS. Тиймээс OA = OC, өөрөөр хэлбэл O цэг нь АС сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байрладаг тул энэ сегментийн перпендикуляр p дээр байрладаг. Үүний үр дүнд ABC гурвалжны талуудын m, n, p гурван биссектриса О цэг дээр огтлолцоно.
Гурвалжингийн өндрийн огтлолцлын теорем
Гурвалжны биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог, гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрис нь нэг цэгт огтлолцдог гэдгийг бид нотолсон. Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдог нь өмнө нь батлагдсан (64-р хэсэг). Гурвалжны өндөр нь ижил төстэй шинж чанартай байдаг.
Теорем
Баталгаа
Дурын ABC гурвалжинг авч үзээд түүний өндрийг агуулсан AA 1 BB 1 ба CC 1 шулуунууд нэг цэгт огтлолцдогийг баталъя (Зураг 229).
Цагаан будаа. 229
ABC гурвалжны орой бүрийг эсрэг талтай параллель шулуун шугам татъя. Бид A 2 B 2 C 2 гурвалжинг авна. A, B, C цэгүүд нь энэ гурвалжны талуудын дунд цэгүүд юм. Үнэн хэрэгтээ, AB = A 2 C ба AB = CB 2 нь ABA 2 C ба ABCB 2 параллелограммын эсрэг талуудтай тул A 2 C = CB 2 болно. Үүний нэгэн адил C 2 A = AB 2 ба C 2 B = BA 2 байна. Үүнээс гадна барилга байгууламжаас дараах байдлаар CC 1 ⊥ A 2 B 2, AA 1 ⊥ B 2 C 2 ба BB 1 ⊥ A 2 C 2 байна. Тиймээс AA 1, BB 1 ба CC 1 шулуунууд нь A 2 B 2 C 2 гурвалжны талуудын перпендикуляр биссектрис юм. Үүний үр дүнд тэд нэг цэг дээр огтлолцдог. Теорем нь батлагдсан.
Тиймээс гурвалжин тус бүртэй дөрвөн цэг холбогдсон байна: медиануудын огтлолцлын цэг, биссектрисын огтлолцлын цэг, перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг, өндрийн огтлолцлын цэг (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөл). Эдгээр дөрвөн цэгийг нэрлэдэг гурвалжны гайхалтай цэгүүд.
Даалгаврууд
674. Хөгжөөгүй О өнцгийн биссектрисаны М цэгээс энэ өнцгийн талууд руу MA ба MB перпендикуляр татагдана. AB ⊥ OM гэдгийг батал.
675. О өнцгийн талууд нь А цэгт нийтлэг шүргэгчтэй хоёр тойрог тус бүрд хүрнэ.Эдгээр тойргийн төвүүд О А шулуун дээр оршдогийг батал.
676. А өнцгийн талууд нь r радиустай О төвтэй тойрогт хүрнэ. Олно: a) OA, хэрэв r = 5 см, ∠A = 60°; b) d, хэрэв OA = 14 дм, ∠A = 90 °.
677. ABC гурвалжны В ба С оройнуудын гадаад өнцгүүдийн биссектриса О цэгт огтлолцоно.О цэг нь AB, BC, AC шулуунуудтай шүргэгч тойргийн төв гэдгийг батал.
678. ABC гурвалжны AA 1 ба BB 1 биссектриса М цэгт огтлолцоно. ACM ба ВСМ өнцгийг ол: a) ∠AMB = 136°; б) ∠AMB = 111°.
679. ABC гурвалжны ВС талтай перпендикуляр биссектриса АС талыг D цэгээр огтолно.Олох: a) AD ба CD, хэрэв BD = 5 см бол Ac = 8.5 см; b) АС, хэрэв BD = 11.4 см, AD = 3.2 см.
680. АВС гурвалжны AB ба АС талуудын перпендикуляр биссектрисууд ВС талын D цэгт огтлолцоно. Үүнд: a) D цэг нь ВС талын дунд цэг; б) ∠A - ∠B + ∠C.
681. ABC гурвалжны AB талтай перпендикуляр биссектриса В цэгийг Е цэгээр огтолно.АЕС гурвалжны периметр 27см, АВ=18см бол АС суурийг ол.
682. ABC ба ABD хоёр тэгш өнцөгт гурвалжнууд нийтлэг AB суурьтай. CD шугам нь AB сегментийн дундуур өнгөрч байгааг батал.
683. ABC гурвалжинд AB ба АС талууд тэнцүү биш бол гурвалжны AM медиан нь өндөр биш гэдгийг батал.
684. ABC тэгш өнцөгт гурвалжны AB суурийн өнцгүүдийн биссектрисууд М цэгт огтлолцоно.CM шулуун АВ шулуунтай перпендикуляр болохыг батал.
685. Хажуу талууд руу татсан ABC ижил өнцөгт гурвалжны AA 1 ба BB 1 өндрүүд М цэгт огтлолцоно.МС шулуун шугам нь АВ хэрчимтэй перпендикуляр биссектриса болохыг батал.
686. Энэ хэрчимд перпендикуляр биссектриса байгуул.
Шийдэл
Өгөгдсөн сегментийг AB гэж үзье. АВ радиустай А ба В цэгт төвүүдтэй хоёр тойрог байгуулъя (Зураг 230). Эдгээр тойрог нь M 1 ба M 2 гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог. AM 1, AM 2, VM 1, VM 2 сегментүүд нь эдгээр тойргийн радиустай тэнцүү байна.
Цагаан будаа. 230
M 1 M 2 шулуун шугамыг зуръя. Энэ нь AB сегментийн хүссэн перпендикуляр биссектрис юм. Үнэн хэрэгтээ M 1 ба M 2 цэгүүд нь AB сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байрладаг тул энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг. Энэ нь M 1 M 2 шулуун шугам нь AB сегментийн перпендикуляр биссектрис гэсэн үг юм.
687. А шулуун ба энэ шулууны нэг талд байрлах А ба В хоёр цэг өгөгдсөн. Шулуун а дээр А цэгээс В цэг хүртэл ижил зайд M цэгийг байгуулна.
688. Өнцөг ба хэрчмийг өгөв. Өгөгдсөн өнцгийн дотор байрлах, хажуу талаас нь ижил зайтай, өгөгдсөн сегментийн төгсгөлөөс ижил зайтай цэгийг байгуул.
Асуудлын хариултууд
674. Заавар. Эхлээд AOB гурвалжин нь хоёр өнцөгт гэдгийг батал.
676. a) 10 см; б) 7√2 дм.
678. a) 46° ба 46°; б) 21° ба 21°.
679. a) AB = 3.5 см, CD = 5 см; b) АС = 14.6 см.
683. Заавар. Зөрчилдөөнөөр нотлох аргыг ашигла.
687. Заавар. 75-р теоремыг ашигла.
688. Заавар. Хүссэн цэг нь өгөгдсөн өнцгийн биссектриса дээр байрлаж байгааг анхаарна уу.
1 Энэ нь өнцгийн талуудыг агуулсан шугамуудаас ижил зайд байрладаг.
© Кугушева Наталья Львовна, 2009 Геометр, 8-р анги ГУРВАЛЖИНГИЙН ГАЙХАЛТАЙ ДӨРВӨН ЦЭГ
Гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэг Гурвалжны биссектриссүүдийн огтлолцлын цэг Гурвалжны өндөрүүдийн огтлолцлын цэг Гурвалжны перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг.
Гурвалжны голч (BD) нь гурвалжны оройг эсрэг талын дунд цэгтэй холбосон хэрчмийг хэлнэ. A B C D Дундаж
Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр (гурвалжны хүндийн төв) огтлолцдог бөгөөд оройноос нь тооцвол 2: 1 харьцаатай энэ цэгт хуваагдана. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1
Гурвалжны биссектрис (A D) нь гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрисын сегмент юм.
Хөгжөөгүй өнцгийн биссектрисын цэг бүр талуудаас ижил зайд байна. Үүний эсрэгээр: өнцгийн хажуу талуудаас ижил зайд орших өнцөг дотор байрлах цэг бүр түүний биссектрис дээр байрладаг. A M B C
Гурвалжны бүх биссектрис нь нэг цэг дээр огтлолцдог - гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв. C B 1 M A V A 1 C 1 O Тойргийн радиус (OM) нь гурвалжны төвөөс (TO) тал руу унасан перпендикуляр юм.
ӨНДӨР Гурвалжны өндөр (C D) нь гурвалжны оройгоос эсрэг талыг агуулсан шулуун шугам хүртэл татсан перпендикуляр хэрчмийг хэлнэ. A B C D
Гурвалжны өндөр (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүд) нэг цэг дээр огтлолцдог. A A 1 B B 1 C C 1
ДУНД перпендикуляр Перпендикуляр биссектрис (DF) нь гурвалжны хажуугийн перпендикуляр ба түүнийг хагасаар хуваадаг шугам юм. A D F B C
A M B m O Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын (m) цэг бүр нь энэ сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна. Эсрэгээр: сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа цэг бүр нь перпендикуляр биссектрист байрладаг.
Гурвалжны хажуугийн бүх перпендикуляр биссектрицууд нэг цэг дээр огтлолцдог - гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв. A B C O Хязгаарлагдсан тойргийн радиус нь тойргийн төвөөс гурвалжны аль нэг орой (OA) хүртэлх зай юм. m n p
Суралцагчдад зориулсан даалгавар Луужин ба захирагч ашиглан мохоо гурвалжинд сийлсэн тойрог байгуул. Үүнийг хийхийн тулд: Луужин ба захирагч ашиглан мохоо гурвалжинд биссектрис байгуул. Биссектрисын огтлолцох цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиусыг байгуул: тойргийн төвөөс гурвалжны хажуу руу перпендикуляр. Гурвалжинд бичээстэй тойрог байгуул.
2. Луужин ба захирагч ашиглан мохоо гурвалжинг тойруулан тойрог байгуул. Үүнийг хийхийн тулд: Мохоо гурвалжны хажуу талуудтай перпендикуляр биссектрисуудыг байгуул. Эдгээр перпендикуляруудын огтлолцох цэг нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм. Тойргийн радиус нь гурвалжны төвөөс аль ч орой хүртэлх зай юм. Гурвалжны эргэн тойронд тойрог байгуул.
Энэ хичээлээр бид гурвалжны дөрвөн гайхалтай цэгийг авч үзэх болно. Тэдгээрийн хоёрыг нарийвчлан авч үзээд чухал теоремуудын нотолгоог эргэн санаж, асуудлыг шийдье. Үлдсэн хоёрыг нь санаж, тодорхойлъё.
Сэдэв:8-р ангийн геометрийн хичээлийн давтлага
Хичээл: Гурвалжны дөрвөн гайхалтай цэг
Гурвалжин нь юуны түрүүнд гурван сегмент ба гурван өнцөг тул сегмент ба өнцгийн шинж чанарууд нь үндсэн юм.
AB сегментийг өгөв. Аливаа сегмент дунд цэгтэй бөгөөд түүгээр перпендикуляр зурж болно - үүнийг p гэж тэмдэглэе. Тиймээс p нь перпендикуляр биссектриса юм.
Теорем (перпендикуляр биссектрисын үндсэн шинж чанар)
Перпендикуляр биссектрис дээр байрлах аливаа цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна.
Үүнийг нотол
Нотолгоо:
Гурвалжин болон (1-р зургийг үз) авч үзье. Тэд тэгш өнцөгт, тэнцүү, учир нь. нийтлэг OM хөлтэй ба AO ба OB хөлүүд нь нөхцлөөр тэнцүү тул бид хоёр хөлтэй тэнцүү хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинтай болно. Үүнээс үзэхэд гурвалжны гипотенузууд нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай байсан.
Цагаан будаа. 1
Эсрэг теорем үнэн.
Теорем
Сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд орших цэг бүр энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг.
Өгөгдсөн AB сегмент, түүнд перпендикуляр биссектриса p, сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд M цэг (2-р зургийг үз).
М цэг сегментийн перпендикуляр биссектриса дээр байгааг батал.
Цагаан будаа. 2
Нотолгоо:
Гурвалжинг авч үзье. Нөхцөл байдлын дагуу энэ нь тэгш өнцөгт юм. Гурвалжны медианыг авч үзье: О цэг нь AB суурийн дунд, OM нь медиан юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны өмчийн дагуу түүний суурь руу татсан медиан нь өндөр ба биссектриса юм. Үүнийг дагадаг. Гэхдээ p шулуун мөн AB-д перпендикуляр байна. О цэг дээр AB хэрчимд ганц перпендикуляр зурах боломжтой гэдгийг бид мэднэ, энэ нь OM ба p шулуунууд давхцаж байгаа тул М цэг нь p шулуун шугамд хамаарах болно гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Хэрэв нэг сегментийг тойрсон тойргийг дүрслэх шаардлагатай бол үүнийг хийж болох бөгөөд ийм тойрог хязгааргүй олон байдаг, гэхдээ тэдгээрийн төв нь сегментийн перпендикуляр биссектрист дээр байрладаг.
Перпендикуляр биссектриса нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж тэд хэлдэг.
Гурвалжин нь гурван сегментээс бүрдэнэ. Тэдгээрийн хоёрт хоёр талт перпендикуляр зурж, тэдгээрийн огтлолцлын O цэгийг авцгаая (3-р зургийг үз).
О цэг нь гурвалжны BC хажуугийн перпендикуляр биссектрист хамаарах бөгөөд энэ нь В ба С оройнуудаас ижил зайд байгаа тул энэ зайг R гэж тэмдэглэе: .
Үүнээс гадна О цэг нь AB сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг, i.e. , нэгэн зэрэг, эндээс.
Ийнхүү хоёр дундын цэгийн огтлолцлын О цэг
Цагаан будаа. 3
гурвалжны перпендикулярууд нь оройнуудаас нь ижил зайд байрладаг бөгөөд энэ нь мөн гурав дахь биссектрисын перпендикуляр дээр байрладаг гэсэн үг юм.
Бид нэгэн чухал теоремийн нотолгоог давтан хийлээ.
Гурвалжны гурван перпендикуляр биссектрис нэг цэг дээр огтлолцдог - тойргийн төв.
Тиймээс бид гурвалжны анхны гайхалтай цэг болох түүний биссектораль перпендикуляруудын огтлолцлын цэгийг харав.
Дурын өнцгийн өмч рүү шилжье (4-р зургийг үз).
Өнцөг өгөгдсөн, түүний биссектриса AL, M цэг нь биссектрис дээр байрладаг.
Цагаан будаа. 4
Хэрэв M цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг бол өнцгийн талуудаас ижил зайтай, өөрөөр хэлбэл, өнцгийн талуудын М цэгээс АС ба ВС хүртэлх зай тэнцүү байна.
Нотолгоо:
Гурвалжин ба . Эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү, учир нь... нийтлэг гипотенуз AM байх ба AL нь өнцгийн биссектриса тул өнцөг нь тэнцүү байна. Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь гипотенуз ба хурц өнцгийн хувьд тэнцүү тул үүнийг батлах шаардлагатай байна. Тиймээс өнцгийн биссектрисын цэг нь тухайн өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.
Эсрэг теорем үнэн.
Теорем
Хэрэв цэг нь хөгжөөгүй өнцгийн талуудаас ижил зайд байвал түүний биссектрис дээр байрладаг (5-р зургийг үз).
М цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай ижил байхаар хөгжөөгүй өнцгийг өгөв.
М цэг өнцгийн биссектриса дээр байгааг батал.
Цагаан будаа. 5
Нотолгоо:
Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикулярын урт юм. М цэгээс АВ тал руу MK, АС тал руу MR перпендикуляр зурна.
Гурвалжин ба . Эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү, учир нь... нийтлэг гипотенузтай AM, хөл MK ба MR нь нөхцлөөр тэнцүү байна. Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжин нь гипотенуз ба хөлөөрөө тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас харгалзах элементүүдийн тэгш өнцөг нь тэнцүү талуудын эсрэг байрладаг; 
Тиймээс М цэг нь өгөгдсөн өнцгийн биссектриса дээр байрладаг.
Хэрэв та өнцөгт тойрог бичих шаардлагатай бол үүнийг хийж болно, ийм тойрог хязгааргүй олон боловч тэдгээрийн төвүүд нь өгөгдсөн өнцгийн биссектрист байрладаг.
Тэдний хэлснээр биссектриса нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.
Гурвалжин нь гурван өнцөгөөс бүрдэнэ. Тэдгээрийн хоёрын биссектриссийг байгуулж, тэдгээрийн огтлолцлын О цэгийг авцгаая (6-р зургийг үз).
О цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг бөгөөд энэ нь AB ба ВС талуудаас ижил зайд байрладаг тул зайг r гэж тэмдэглэе: . Мөн О цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг бөгөөд энэ нь АС ба ВС талуудаас: , , эндээс ижил зайд байна гэсэн үг юм.
Биссектрисын огтлолцлын цэг нь гурав дахь өнцгийн хажуу талуудаас ижил зайд байгааг анзаарахад хялбар байдаг.
Цагаан будаа. 6
өнцгийн биссектрис. Ийнхүү гурвалжны гурван биссектрис бүгд нэг цэгт огтлолцоно.
Тиймээс бид өөр нэг чухал теоремын нотолгоог санав.
Гурвалжны өнцгүүдийн биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог - бичээстэй тойргийн төв.
Тиймээс бид гурвалжны хоёр дахь гайхалтай цэг болох биссектрисын огтлолцлын цэгийг харав.
Бид өнцгийн биссектрисийг судалж, түүний чухал шинж чанарыг тэмдэглэв: биссектрисын цэгүүд нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрладаг, үүнээс гадна нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч сегментүүд тэнцүү байна.
Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя (7-р зургийг үз).
Тэгш шүргэгч хэрчмүүдийг x, y, z гэж тэмдэглэе. А оройн эсрэг талд байрлах ВС талыг a гэж, AC-ыг b, AB-ийг c гэж тэмдэглэнэ.
Цагаан будаа. 7
Бодлого 1: Гурвалжинд хагас периметр ба а талын уртыг мэддэг. A - AK оройноос татсан шүргэгчийн уртыг х-ээр тэмдэглэнэ.
Мэдээжийн хэрэг, гурвалжин нь бүрэн тодорхойлогдоогүй бөгөөд ийм олон гурвалжин байдаг, гэхдээ тэдгээр нь нийтлэг элементүүдтэй байдаг.
Бичсэн тойрогтой холбоотой асуудлын хувьд дараахь шийдлийн аргыг санал болгож болно.
1. Бисектрисийг зурж, бичээстэй тойргийн төвийг ав.
2. О төвөөс талууд руу перпендикуляр зурж, шүргэлтийн цэгүүдийг олно.
3. Тэнцүү шүргэгчийг тэмдэглэ.
4. Гурвалжны талууд ба шүргэгч хоорондын хамаарлыг бич.
