Хэсэгчилсэн интеграци гэж юу вэ? Энэ төрлийн интеграцийг эзэмшихийн тулд эхлээд бүтээгдэхүүний деривативыг санацгаая.

$((\left(f\cdot g \баруун))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Асуулт гарч ирнэ: интегралууд үүнтэй ямар холбоотой вэ? Одоо энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье. Тиймээс үүнийг бичье:

$\int(((\left(f\cdot g \баруун))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Гэхдээ цус харвалтын эсрэг дериватив гэж юу вэ? Энэ нь зөвхөн цус харвалтын дотор байгаа функц өөрөө юм. Тиймээс үүнийг бичье:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Энэ тэгшитгэлд би нэр томъёог илэрхийлэхийг санал болгож байна. Бидэнд:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Энэ л байна хэсгүүдийн томъёогоор нэгтгэх. Тиймээс бид үндсэндээ дериватив болон функцийг сольж байна. Хэрэв бид эхлээд цус харвалтын интегралыг ямар нэг зүйлээр үржүүлсэн бол цус харвалтаар үржүүлсэн шинэ зүйлийн интегралыг авна. Энэ бол бүх дүрэм. Өнгөц харахад энэ томьёо нь төвөгтэй, утгагүй мэт санагдаж болох ч үнэн хэрэгтээ энэ нь тооцооллыг ихээхэн хялбарчилж чадна. Одоо харцгаая.

Интеграл тооцооллын жишээ

Бодлого 1. Тооцоол:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Логарифмын өмнө 1-ийг нэмж илэрхийллийг дахин бичье.

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Тоо нь ч, функц нь ч өөрчлөгдөхгүй учраас бид үүнийг хийх эрхтэй. Одоо энэ илэрхийллийг томъёонд бичсэнтэй харьцуулж үзье. $(f)"$-ийн үүрэг нь 1 тул бид бичнэ:

$\begin(align)& (f)"=1\Баруун сум f=x \\& g=\ln x\Баруун сум (g)"=\frac(1)(x) \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)$

Эдгээр бүх функцийг хүснэгтэд үзүүлэв. Одоо бид илэрхийлэлд орсон бүх элементүүдийг тайлбарласны дараа бид энэ интегралыг хэсгүүдээр нэгтгэх томъёог ашиглан дахин бичих болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d) )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \баруун)+C \\\ төгсгөл(тэгцүүлэх)\]

Ингээд л интеграл олдлоо.

Бодлого 2. Тооцоол:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d) )x))$

Хэрэв бид одоо эсрэг деривативыг олох шаардлагатай $x$-г дериватив болгон авбал $((x)^(2))$ авах ба эцсийн илэрхийлэл нь $((x)^(2)-г агуулна. )( (\text(e))^(-x))$.

Мэдээжийн хэрэг, асуудал хялбарчлаагүй тул бид интеграл тэмдгийн дор хүчин зүйлсийг сольж байна.

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

Одоо тэмдэглэгээг танилцуулъя:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Баруун сум f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

$((\text(e))^(-x))$-г ялгаж үзье:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \баруун))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ зүүн(-x \баруун))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Өөрөөр хэлбэл эхлээд хасахыг нэмж, дараа нь хоёр талыг нэгтгэнэ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\зүүн(((\text(e))^(-x)) \баруун))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Баруун сум ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \баруун))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \баруун))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо $g$ функцийг харцгаая:

$g=x\Баруун сум (g)"=1$

Бид интегралыг тооцоолно:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \баруун)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \баруун)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \баруун)+C \\\end(align)$

Тиймээс бид хоёр дахь интеграцийг хэсэг хэсгээр нь гүйцэтгэсэн.

Бодлого 3. Тооцоол:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Энэ тохиолдолд бид $(f)"$-д юуг, $g$-д юуг авах ёстой вэ? Хэрэв $x$ нь деривативын үүрэг гүйцэтгэдэг бол интеграцийн явцад бид $\frac(((x)^(2)) авах болно. )(2 )$ ба эхний хүчин зүйл хаана ч алга болохгүй - энэ нь $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ байх болно. Тиймээс хүчин зүйлүүдээ дахин сольж үзье:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Баруун сум (g)"=1 \\\ дуусгах(тэгцүүлэх)$

Бид анхны илэрхийлэлээ дахин бичиж, интеграцийн томъёоны дагуу хэсэг хэсгээр нь өргөжүүлнэ.

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Ингээд л гурав дахь асуудал шийдэгдлээ.

Эцэст нь хэлэхэд, дахин нэг харцгаая хэсгүүдийн томъёогоор нэгтгэх. Аль хүчин зүйл нь дериватив, аль нь бодит функц болохыг бид хэрхэн сонгох вэ? Энд зөвхөн нэг шалгуур бий: бидний ялгах элемент нь "сайхан" илэрхийлэл өгөх ёстой бөгөөд дараа нь багасах эсвэл ялгах явцад бүрмөсөн алга болно. Энэ нь хичээлийг дуусгаж байна.

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх. Шийдлийн жишээ

Дахин сайн уу. Өнөөдөр хичээлээр бид хэсэг хэсгээр нь хэрхэн нэгтгэхийг сурах болно. Хэсэгээр нь нэгтгэх арга нь интеграл тооцооллын тулгын чулуунуудын нэг юм. Туршилт эсвэл шалгалтын үеэр оюутнуудаас дараахь төрлийн интегралуудыг шийдэхийг бараг үргэлж хүсдэг: хамгийн энгийн интеграл (нийтлэлийг үзнэ үү)эсвэл хувьсагчийг орлуулах замаар интеграл (нийтлэлийг үзнэ үү)эсвэл интеграл зүгээр л асаалттай байна хэсгүүдийн аргаар нэгтгэх.

Та үргэлж гартаа байх ёстой: Интегралын хүснэгтТэгээд Деривативын хүснэгт. Хэрэв танд байхгүй бол миний вэбсайтын хадгалах өрөөнд зочилно уу: Математикийн томъёо, хүснэгт. Би давтахаас залхахгүй - бүх зүйлийг хэвлэх нь дээр. Би бүх материалыг тууштай, энгийн бөгөөд тодорхой танилцуулахыг хичээх болно;

Хэсэгээр нэгтгэх арга нь ямар асуудлыг шийддэг вэ? Хэсэгээр нь нэгтгэх арга нь маш чухал асуудлыг шийддэг бөгөөд энэ нь хүснэгтэд байхгүй зарим функцийг нэгтгэх боломжийг олгодог; ажилфункцууд, зарим тохиолдолд бүр quotients. Бидний санаж байгаагаар тохиромжтой томъёо байхгүй: . Гэхдээ нэг нь байдаг: – биечлэн хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо. Би мэднэ, би мэднэ, чи цорын ганц хүн - бид түүнтэй хичээлийн турш ажиллах болно (одоо илүү хялбар болсон).

Тэгээд тэр даруй студид жагсаалтыг гарга. Дараах төрлийн интегралуудыг хэсгүүдээр авна.

1) , , – логарифм, логарифмийг зарим олон гишүүнтээр үржүүлсэн.

2) ,нь зарим олон гишүүнтээр үржүүлсэн экспоненциал функц юм. Үүнд олон гишүүнтээр үржүүлсэн экспоненциал функц гэх мэт интегралууд багтдаг боловч бодит байдал дээр энэ нь 97 хувь, интегралын доор "e" гэсэн сайхан үсэг байдаг. ... нийтлэл нь зарим талаараа уянгын шинжтэй болж хувирав, өө тийм ... хавар ирлээ.

3) , , зарим олон гишүүнт үржүүлсэн тригонометрийн функцууд юм.

4) , – урвуу тригонометрийн функцүүд ("нуман хаалга"), "нуман хаалга" -ыг зарим олон гишүүнтээр үржүүлсэн.

Зарим фракцуудыг хэсэг хэсгээр нь авсан болно, бид мөн холбогдох жишээнүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно.

Логарифмын интегралууд

Жишээ 1

Сонгодог. Үе үе энэ интегралыг хүснэгтээс олж болно, гэхдээ багш хаврын витамины дутагдалтай тул маш их харааж зүхэх тул бэлэн хариултыг ашиглахыг зөвлөдөггүй. Учир нь авч үзэж буй интеграл нь ямар ч хүснэгт хэлбэртэй байдаггүй - үүнийг хэсэг хэсгээр нь авдаг. Бид шийднэ:

Бид завсрын тайлбарын шийдлийг тасалдаг.

Бид хэсгүүдийн интеграцийн томъёог ашигладаг:

Томъёог зүүнээс баруун тийш хэрэглэнэ

Бид зүүн тал руугаа харна: . Мэдээжийн хэрэг, бидний жишээн дээр (мөн бидний авч үзэх бусад бүх зүйлд) ямар нэг зүйлийг , мөн ямар нэг зүйлийг гэж тодорхойлох шаардлагатай.

Харж байгаа төрлийн интегралд логарифмыг үргэлж тэмдэглэдэг.

Техникийн хувьд шийдлийн дизайныг бид баганад бичнэ.

Өөрөөр хэлбэл, бид логарифмыг -аар тэмдэглэсэн. үлдсэн хэсэг ньинтеграл илэрхийлэл.

Дараагийн шат: дифференциалыг олох:

Дифференциал нь деривативтай бараг ижил байдаг;

Одоо бид функцийг олно. Функцийг олохын тулд та нэгтгэх хэрэгтэй баруун талтэгш бус байдал:

Одоо бид шийдлээ нээж, томъёоны баруун талыг байгуулна: .
Дашрамд хэлэхэд, зарим тэмдэглэл бүхий эцсийн шийдлийн жишээ энд байна.

Ажлын цорын ганц зүйл бол логарифмын өмнө хүчин зүйлийг бичдэг заншилтай тул би шууд ба -г сольсон явдал юм.

Таны харж байгаагаар интеграцийг хэсэгчилсэн томъёогоор хэрэглэснээр бидний шийдлийг хоёр энгийн интеграл болгон бууруулсан.

Зарим тохиолдолд үүнийг анхаарна уу нэн даруй дарааТомьёог ашиглахын тулд хялбаршуулах ажлыг үлдсэн интегралын дагуу хийх шаардлагатай - авч үзэж буй жишээн дээр бид интегралыг "x" болгон бууруулсан.

Шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд та хариултын деривативыг авах хэрэгтэй.

Анхны интеграл функцийг авсан нь интеграл зөв шийдэгдсэн гэсэн үг.

Туршилтын явцад бид бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашигласан: . Мөн энэ нь санамсаргүй тохиолдол биш юм.

Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо болон томъёо - Эдгээр нь хоорондоо урвуу хоёр дүрэм юм.

Жишээ 2

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Интеграл нь логарифм ба олон гишүүнтийн үржвэр юм.
Шийдье.

Ирээдүйд дүрмийг хэрэгжүүлэх журмыг дахин нэг удаа дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно, жишээг илүү товч танилцуулах болно, хэрэв та үүнийг өөрөө шийдэхэд бэрхшээлтэй байгаа бол та хичээлийн эхний хоёр жишээ рүү буцах хэрэгтэй; .

Өмнө дурьдсанчлан, логарифмыг тэмдэглэх шаардлагатай (энэ нь хүч байх нь хамаагүй). Бид гэж тэмдэглэдэг үлдсэн хэсэг ньинтеграл илэрхийлэл.

Бид баганад бичнэ:

Эхлээд бид дифференциалыг олно:

Энд бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг . Сэдвийн эхний хичээл дээр энэ нь санамсаргүй хэрэг биш юм Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээБи интегралыг эзэмшихийн тулд деривативыг "гараа авах" хэрэгтэй гэдгийг онцолсон. Та деривативтай нэгээс олон удаа харьцах хэрэгтэй болно.

Одоо бид функцийг олж, үүний тулд бид нэгтгэдэг баруун талтэгш бус байдал:

Интеграцийн хувьд бид хамгийн энгийн хүснэгтийн томъёог ашигласан

Одоо бүх зүйл томъёог хэрэглэхэд бэлэн боллоо . Одоор нээж, баруун талын дагуу шийдлийг "барина".

Интегралын дор бид дахин логарифмын олон гишүүнт байна! Тиймээс шийдэл дахин тасалдаж, хэсгүүдээр нэгтгэх дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэнэ. Үүнтэй төстэй тохиолдолд логарифмыг үргэлж тэмдэглэдэг гэдгийг бүү мартаарай.

Одоохондоо та хамгийн энгийн интеграл ба деривативыг хэрхэн амаар олохыг мэддэг бол сайн байх болно.

(1) Шинж тэмдгүүдийн талаар бүү андуур! Маш олон удаа хасах нь энд алдагддаг, мөн хасах нь хамаарна гэдгийг анхаарна уу бүгдэд ньхаалт , мөн эдгээр хаалтуудыг зөв өргөтгөх шаардлагатай.

(2) Хаалтуудыг нээ. Бид сүүлчийн интегралыг хялбаршуулдаг.

(3) Бид сүүлчийн интегралыг авдаг.

(4) Хариултыг "самнах".

Интеграцийн дүрмийг хоёр удаа (эсвэл бүр гурван удаа) ашиглах хэрэгцээ тийм ч ховор тохиолддоггүй.

Одоо таны шийдлийн хэдэн жишээ:

Жишээ 3

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ жишээг хувьсагчийг өөрчлөх (эсвэл дифференциал тэмдгийн дор орлуулах) замаар шийддэг! Яагаад болохгүй гэж - та үүнийг хэсэг хэсгээр нь авч үзэж болно, энэ нь инээдтэй зүйл болж хувирах болно.

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Гэхдээ энэ интеграл нь хэсгүүдээр (амласан бутархай) нэгтгэгддэг.

Эдгээр нь хичээлийн төгсгөлд та өөрөө шийдэх жишээнүүд, шийдэл, хариултууд юм.

3, 4-р жишээн дээр интегралууд ижил төстэй боловч шийдвэрлэх арга нь өөр байна! Энэ бол интегралыг эзэмшихэд тулгардаг гол бэрхшээл бөгөөд хэрэв та интеграл шийдэх аргыг буруу сонговол жинхэнэ оньсого шиг олон цагаар эргэлдэж болно. Тиймээс, та төрөл бүрийн интегралуудыг хэдий чинээ их шийднэ төдий чинээ сайн, шалгалт, шалгалт төдий чинээ хялбар байх болно. Үүнээс гадна, хоёр дахь жилдээ дифференциал тэгшитгэлүүд байх болно, интеграл, деривативыг шийдвэрлэх туршлагагүй бол тэнд хийх зүйл байхгүй.

Логарифмын хувьд энэ нь хангалттай байж магадгүй юм. Хажуугаар нь инженерийн чиглэлээр суралцаж буй оюутнууд эмэгтэй хөхийг логарифм ашиглан дууддгийг би санаж байна =). Дашрамд хэлэхэд, синус, косинус, арктангенс, экспонент, гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн олон гишүүнт гэх мэт үндсэн үндсэн функцүүдийн графикийг цээжээр мэдэх нь ашигтай байдаг. Үгүй ээ, мэдээжийн хэрэг, дэлхий дээрх бэлгэвч
Би үүнийг сунгахгүй, гэхдээ одоо та энэ хэсгээс маш их зүйлийг санах болно График ба функцууд =).

Экспоненциалыг олон гишүүнтээр үржүүлсэн интеграл

Ерөнхий дүрэм:

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Танил алгоритмыг ашиглан бид хэсгүүдээр нэгтгэдэг.

Хэрэв та интегралтай холбоотой асуудалтай тулгарвал нийтлэл рүү буцах хэрэгтэй Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга.

Таны хийж чадах цорын ганц зүйл бол хариултыг өөрчлөх явдал юм:

Гэхдээ таны тооцоолох техник тийм ч сайн биш бол хамгийн ашигтай сонголт бол үүнийг хариулт болгон үлдээх явдал юм эсвэл бүр

Өөрөөр хэлбэл, сүүлчийн интегралыг авах үед жишээ нь шийдэгдсэн гэж тооцогддог. Багш танаас хариултыг хялбарчлахыг хүсэх нь алдаа биш юм.

Жишээ 6

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энэ интеграл нь хэсгүүдээр хоёр удаа интегралдсан. Тэмдгүүдэд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй - тэдгээрийг төөрөлдүүлэх нь амархан, энэ нь нарийн төвөгтэй функц гэдгийг бид бас санаж байна.

Үзэсгэлэнд оролцогчийн талаар өөр хэлэх зүйл алга. Экспоненциал ба натурал логарифм нь харилцан урвуу функцууд гэдгийг би нэмж хэлж чадна, энэ бол би дээд математикийн хөгжилтэй графикуудын сэдвээр юм =) Зогс, зогсоо, бүү санаа зов, багш ухаантай.

Тригонометрийн функцүүдийн интеграл олон гишүүнт үржвэр

Ерөнхий дүрэм: Учир нь үргэлж олон гишүүнтийг илэрхийлдэг

Жишээ 7

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Хмм... бас сэтгэгдэл бичих зүйл алга.

Жишээ 8

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм

Жишээ 9

Тодорхойгүй интегралыг ол

Бутархайтай өөр нэг жишээ. Өмнөх хоёр жишээний нэгэн адил for нь олон гишүүнтийг илэрхийлдэг.

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Хэрэв танд интеграл олоход бэрхшээл, үл ойлголцол байгаа бол би хичээлд суухыг зөвлөж байна Тригонометрийн функцүүдийн интегралууд.

Жишээ 10

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Зөвлөмж: Хэсгийн аргаар интеграцийн аргыг ашиглахаасаа өмнө хоёр тригонометрийн функцийн үржвэрийг нэг функц болгон хувиргах зарим тригонометрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэсэгчилсэн интеграцийн аргыг хэрэглэх үед аль нь илүү тохиромжтой бол томъёог ашиглаж болно.

Энэ бүх зүйл энэ догол мөрөнд байгаа байх. Яагаад ч юм би физик, математикийн дууллын "Мөн синус график нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу долгион дараалан гүйдэг" гэсэн мөрийг санав.

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн интеграл.
Урвуу тригонометрийн функцүүдийн интегралыг олон гишүүнтээр үржүүлсэн

Ерөнхий дүрэм: үргэлж урвуу тригонометрийн функцийг илэрхийлдэг.

Урвуу тригонометрийн функцүүдэд арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс багтдаг гэдгийг сануулъя. Бичлэгийг товчлохын тулд би тэднийг "нуман хаалга" гэж нэрлэх болно.

Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ

Дахин сайн уу. Энэ хичээлээр бид тодорхой интеграл гэх мэт гайхалтай зүйлийг нарийвчлан судлах болно. Энэ удаагийн танилцуулга богино байх болно. Бүгд. Учир нь цонхны гадна цасан шуурга шуурч байна.

Тодорхой интегралыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1) Чадах олохтодорхойгүй интегралууд.

2) Чадах тооцоолохтодорхой интеграл.

Таны харж байгаагаар тодорхой интегралыг эзэмшихийн тулд та "энгийн" тодорхойгүй интегралын талаар нэлээд сайн ойлголттой байх хэрэгтэй. Тиймээс, хэрэв та интеграл тооцоонд дөнгөж шумбаж эхэлж байгаа бөгөөд данх нь огт буцалгаагүй бол хичээлээ эхлэх нь дээр. Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ. Нэмж дурдахад зориулсан pdf курсууд байдаг хэт хурдан бэлтгэл- хэрэв танд нэг өдөр байгаа бол хагас өдөр үлдлээ.

Ерөнхий хэлбэрээр тодорхой интегралыг дараах байдлаар бичнэ.

Тодорхой бус интегралтай харьцуулахад юу нэмэгдэх вэ? Илүү интеграцийн хязгаар.

Интеграцийн доод хязгаар
Интеграцийн дээд хязгаарүсгээр стандартаар тэмдэглэдэг.
сегмент гэж нэрлэдэг интеграцийн сегмент.

Практик жишээнүүд рүү шилжихээсээ өмнө тодорхой интегралын тухай товч асуултууд.

Тодорхой интегралыг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?Тодорхой интегралыг шийднэ гэдэг нь тоог олно гэсэн үг.

Тодорхой интегралыг хэрхэн шийдэх вэ?Сургуулиасаа мэддэг Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан:

Томьёог тусдаа цаасан дээр дахин бичих нь илүү дээр юм, энэ нь хичээлийн туршид таны нүдний өмнө байх ёстой.

Тодорхой интегралыг шийдэх алхамууд нь дараах байдалтай байна.

1) Эхлээд бид эсрэг дериватив функцийг (тодорхойгүй интеграл) олно. Тодорхой интеграл дахь тогтмол гэдгийг анхаарна уу нэмээгүй. Тэмдэглэгээ нь зөвхөн техникийн шинж чанартай бөгөөд босоо саваа нь ямар ч математик утга агуулаагүй бөгөөд энэ нь зүгээр л тэмдэглэгээ юм. Яагаад бичлэг өөрөө хэрэгтэй байна вэ? Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэх бэлтгэл.

2) Дээд хязгаарын утгыг эсрэг дериватив функцэд орлуул: .

3) Эсрэг үүсмэл функцэд доод хязгаарын утгыг орлуул: .

4) Бид зөрүүг тооцоолдог (алдаагүй!), өөрөөр хэлбэл бид тоог олдог.

Тодорхой интеграл үргэлж байдаг уу?Үгүй ээ, үргэлж биш.

Жишээлбэл, интегралын сегмент нь интегралын домэйнд ороогүй тул интеграл байхгүй (квадрат язгуурын утга нь сөрөг байж болохгүй). Илүү тодорхой бус жишээ энд байна: . Сегментийн цэгүүдэд шүргэгч байхгүй тул ийм интеграл бас байдаггүй. Дашрамд хэлэхэд, сургалтын материалыг хараахан уншаагүй хүн байна уу? График ба энгийн функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд- Одоо хийх цаг нь болсон. Дээд математикийн хичээлийн туршид туслах нь маш сайн байх болно.

Үүний төлөө Тодорхой интеграл огт оршихын тулд интегралын интервал дээр тасралтгүй байх нь хангалттай..

Дээрхээс харахад эхний чухал зөвлөмж нь: та ямар ч тодорхой интегралыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө интеграл функц байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. интеграцийн интервал дээр тасралтгүй байна. Оюутан байхдаа надад хэцүү эсрэг дериватив олох гэж удаан тэмцэж байсан тохиолдол удаа дараа тохиолдож, эцэст нь үүнийг олж мэдээд "Ямар дэмий зүйл болсон бэ?" ?” Хялбаршуулсан хувилбарт нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

???! Үндэс дор сөрөг тоог орлуулах боломжгүй! Энэ юу вэ?! Анхны анхаарал болгоомжгүй байдал.

Хэрэв шийдлийн хувьд (тест, тест, шалгалтанд) гэх мэт байхгүй интеграл санал болгосон бол та интеграл байхгүй гэсэн хариултыг өгч, яагаад гэдгийг зөвтгөх хэрэгтэй.

Тодорхой интеграл нь сөрөг тоотой тэнцүү байж чадах уу?Магадгүй. Мөн сөрөг тоо. Тэгээд тэг. Энэ нь бүр хязгааргүй болж хувирч магадгүй, гэхдээ энэ нь аль хэдийн байх болно буруу интеграл, тус тусад нь лекц уншдаг.

Интеграцийн доод хязгаар нь интеграцийн дээд хязгаараас их байж чадах уу?Магадгүй энэ нөхцөл байдал бодит байдал дээр гарч ирдэг.

– Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан интегралыг хялбархан тооцоолж болно.

Дээд математикийн зайлшгүй шаардлагатай зүйл юу вэ? Мэдээжийн хэрэг, бүх төрлийн өмч хөрөнгөгүйгээр. Тиймээс тодорхой интегралын зарим шинж чанарыг авч үзье.

Тодорхой интегралд та дээд ба доод хязгаарыг өөрчилж, тэмдгийг өөрчилж болно:

Жишээлбэл, тодорхой интегралд интеграл хийхээс өмнө интеграцийн хязгаарыг "ердийн" дарааллаар өөрчлөхийг зөвлөж байна.

- энэ хэлбэрээр нэгтгэх нь илүү тохиромжтой.

- энэ нь зөвхөн хоёр төдийгүй олон тооны функцэд үнэн юм.

Тодорхой интегралд нэг нь гүйцэтгэж болно интеграцийн хувьсагчийг солих, гэхдээ тодорхойгүй интегралтай харьцуулахад энэ нь өөрийн гэсэн онцлогтой бөгөөд бид дараа нь ярих болно.

Тодорхой интегралын хувьд дараахь зүйл үнэн болно. хэсгүүдийн томъёогоор нэгтгэх:

Жишээ 1

Шийдэл:

(1) Бид интеграл тэмдгээс тогтмолыг авдаг.

(2) Хамгийн алдартай томъёог ашиглан хүснэгтийг нэгтгэ . Гарч буй тогтмолыг салгаж, хаалтны гадна талд байрлуулахыг зөвлөж байна. Үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ энэ нь зүйтэй юм - яагаад нэмэлт тооцоолол хийдэг вэ?

. Эхлээд бид дээд хязгаарыг, дараа нь доод хязгаарыг орлуулна. Бид цаашдын тооцооллыг хийж, эцсийн хариултыг авдаг.

Жишээ 2

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ бөгөөд шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Даалгаврыг бага зэрэг хүндрүүлье:

Жишээ 3

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Шийдэл:

(1) Бид тодорхой интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг.

(2) Бид хүснэгтийн дагуу нэгтгэж, бүх тогтмолуудыг гаргаж авдаг - тэд дээд ба доод хязгаарыг орлуулахад оролцохгүй.

(3) Гурван нэр томъёоны хувьд бид Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ.

Тодорхой интегралын СУЛ ХОЛБООС бол тооцооллын алдаа ба ТЭМБҮҮДИЙН ТӨДӨЛБРҮҮЛЭЛ юм. Болгоомжтой байгаарай! Би гурав дахь нэр томъёонд онцгой анхаарал хандуулж байна: – Анхаарал болгоомжгүйн улмаас алдааны хит парадад нэгдүгээр байр эзэлдэг, ихэнхдээ автоматаар бичдэг (ялангуяа дээд ба доод хязгаарыг орлуулах нь амаар хийгддэг бөгөөд ийм нарийн бичигдээгүй тохиолдолд). Дээрх жишээг дахин сайтар судлаарай.

Тодорхой интегралыг шийдвэрлэх арга нь цорын ганц биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Зарим туршлагатай бол шийдлийг мэдэгдэхүйц бууруулж болно. Жишээлбэл, би өөрөө ийм интегралуудыг шийдэж дассан.

Энд би шугаман байдлын дүрмийг амаар ашиглаж, хүснэгтийг ашиглан үгээр нэгтгэсэн. Би хязгаарыг тэмдэглэсэн ганцхан хаалттай болсон: (эхний аргын гурван хаалтаас ялгаатай). "Бүхэл" эсрэг үүсмэл функцэд би эхлээд 4, дараа нь -2-ыг орлуулж, оюун ухаандаа байгаа бүх үйлдлээ дахин хийлээ.

Богино шийдлийн сул тал юу вэ? Тооцооллын оновчтой байдлын үүднээс энд бүх зүйл тийм ч сайн биш, гэхдээ би хувьдаа хамаагүй - би энгийн бутархайг тооцоолуур дээр тооцдог.
Нэмж дурдахад, тооцоололд алдаа гаргах эрсдэл нэмэгддэг тул цайны оюутан "миний" шийдвэрлэх аргыг ашиглах нь дээр, тэмдэг нь хаа нэгтээ алга болно.

Гэсэн хэдий ч хоёрдахь аргын эргэлзээгүй давуу тал нь шийдлийн хурд, тэмдэглэгээний нягтрал, эсрэг дериватив нь нэг хаалтанд байгаа явдал юм.

Зөвлөмж: Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглахаасаа өмнө шалгах нь зүйтэй: эсрэг дериватив өөрөө зөв олдсон уу?

Тиймээс авч үзэж буй жишээтэй холбогдуулан: дээд ба доод хязгаарыг антидериватив функцэд орлуулахын өмнө тодорхойгүй интеграл зөв олдсон эсэхийг ноорог дээр шалгах нь зүйтэй болов уу? Ялгаж үзье:

Анхны интеграл функцийг авсан нь тодорхойгүй интегралыг зөв олсон гэсэн үг. Одоо бид Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэж болно.

Аливаа тодорхой интегралыг тооцоолоход ийм шалгалт илүүдэхгүй.

Жишээ 4

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Үүнийг товч бөгөөд дэлгэрэнгүй байдлаар шийдэхийг хичээгээрэй.

Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх

Тодорхой интегралын хувьд бүх төрлийн орлуулалт нь тодорхойгүй интегралын адил хүчинтэй байна. Тиймээс хэрэв та орлуулалтад тийм ч сайн биш бол хичээлийг анхааралтай унших хэрэгтэй Тодорхой бус интегралд орлуулах арга.

Энэ догол мөрөнд аймшигтай, хэцүү зүйл байхгүй. Шинэлэг зүйл нь асуултанд оршдог солихдоо интеграцийн хязгаарыг хэрхэн өөрчлөх.

Жишээн дээр би сайт дээр хаана ч олдоогүй байгаа орлуулалтын төрлүүдийг өгөхийг хичээх болно.

Жишээ 5

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Энд гол асуулт бол тодорхой интеграл биш, харин солих ажлыг хэрхэн зөв хийх вэ? Ингээд харцгаая интегралын хүснэгтМанай интеграл функц хамгийн их ямар харагддагийг олж мэдэх үү? Мэдээжийн хэрэг, урт логарифмын хувьд: . Гэхдээ язгуур дор хүснэгтийн интеграл нэг зөрүүтэй байгаа бөгөөд манайд дөрөв дэх зэрэгтэй "x" байна. Орлуулах санаа нь мөн үндэслэлээс үүдэлтэй - бидний дөрөв дэх зэрэглэлийг дөрвөлжин болгох нь сайхан байх болно. Энэ бол бодит.

Эхлээд бид интегралыг орлуулахаар бэлтгэдэг.

Дээр дурдсан зүйлсээс харахад орлуулалт нь байгалийн жамаар гарч ирдэг.
Ийнхүү хуваарьт бүх зүйл сайхан болно: .
Интегралын үлдсэн хэсэг нь юу болж хувирахыг бид олж мэдэх бөгөөд үүний тулд бид дифференциалыг олно.

Тодорхой бус интегралд орлуулахтай харьцуулахад бид нэмэлт алхам нэмнэ.

Интеграцийн шинэ хязгаарыг олох.

Энэ бол маш энгийн. Бидний орлуулалт болон интеграцийн хуучин хязгаарыг харцгаая, .

Эхлээд бид интеграцийн доод хязгаарыг, өөрөөр хэлбэл тэгийг орлуулах илэрхийлэлд орлуулна.

Дараа нь бид орлуулах илэрхийлэлд нэгтгэх дээд хязгаарыг, өөрөөр хэлбэл гурвын үндэсийг орлуулна.

Бэлэн. Тэгээд зүгээр л...

Шийдэлээ үргэлжлүүлье.

(1) Орлуулах дагуу интегралын шинэ хязгаартай шинэ интеграл бич.

(2) Энэ бол хүснэгтийн хамгийн энгийн интеграл бөгөөд бид хүснэгтээр нэгтгэдэг. Цаашдын тооцоололд саад учруулахгүйн тулд тогтмолыг хаалтны гадна талд үлдээх нь дээр (та үүнийг хийх шаардлагагүй). Баруун талд бид интеграцийн шинэ хязгаарыг харуулсан шугам зурдаг - энэ нь Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэх бэлтгэл юм.

(3) Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг .

Бид хариултыг хамгийн авсаархан хэлбэрээр бичихийг хичээж, энд би логарифмын шинж чанарыг ашигласан.

Тодорхой бус интегралаас өөр нэг ялгаа нь орлуулалт хийсний дараа урвуу орлуулалт хийх шаардлагагүй.

Одоо та өөрөө шийдэх хэд хэдэн жишээ байна. Ямар орлуулалт хийх вэ - өөрөө таахыг хичээ.

Жишээ 6

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Жишээ 7

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Эдгээр нь танд бие даан шийдвэрлэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.

Мөн догол мөрний төгсгөлд сайтын зочдын ачаар дүн шинжилгээ хийсэн хэд хэдэн чухал зүйл байна. Эхнийх нь хамаатай солих хууль ёсны байдал. Зарим тохиолдолд үүнийг хийх боломжгүй юм!Тиймээс 6-р жишээг ашиглан шийдэж болно бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт, гэхдээ интеграцийн дээд хязгаар ("пи")-д ороогүй болно тодорхойлолтын домэйнэнэ шүргэгч, тиймээс энэ орлуулалт нь хууль бус юм! Тиймээс, "солих" функц тасралтгүй байх ёстой бүгдээрээинтеграцийн сегментийн цэгүүд.

Өөр нэг имэйлд дараах асуулт ирсэн: "Бид дифференциал тэмдгийн дор функцийг оруулахдаа интеграцийн хязгаарыг өөрчлөх шаардлагатай юу?" Эхлээд би "утгагүй зүйлээ болиулж" автоматаар "мэдээж үгүй" гэж хариулахыг хүсч байсан ч дараа нь ийм асуултын учрыг бодоод гэнэт ямар ч мэдээлэл байхгүй байгааг олж мэдэв. хангалттай биш. Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой боловч маш чухал юм:

Хэрэв бид функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулбал интеграцийн хязгаарыг өөрчлөх шаардлагагүй болно! Яагаад? Учир нь энэ тохиолдолд шинэ хувьсагч руу бодит шилжилт байхгүй. Жишээ нь:

Энд нэгтгэх нь интеграцийн шинэ хязгаарыг дараагийн "зурах" замаар академик орлуулахаас хамаагүй илүү тохиромжтой юм. Тиймээс, хэрэв тодорхой интеграл нь тийм ч төвөгтэй биш бол функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулахыг хичээ.! Энэ нь илүү хурдан, илүү авсаархан, энгийн зүйл юм - үүнийг та олон арван удаа харах болно!

Таны захидалд маш их баярлалаа!

Тодорхой интегралд хэсгүүдээр нэгтгэх арга

Энд шинэлэг зүйл бүр ч бага байна. Өгүүллийн бүх тооцоо Тодорхойгүй интеграл дахь хэсгүүдээр интегралтодорхой интегралд бүрэн хүчинтэй байна.
Хэсэгчилсэн интеграцийн томъёонд зөвхөн нэг нарийн ширийн зүйл байдаг бөгөөд интеграцийн хязгаарыг нэмж оруулсан болно.

Ньютон-Лейбницийн томъёог энд хоёр удаа хэрэглэх ёстой: бүтээгдэхүүний хувьд болон интегралыг авсны дараа.

Жишээлбэл, би сайтын хаанаас ч хараахан олдоогүй байгаа интегралын төрлийг дахин сонгосон. Жишээ нь хамгийн энгийн биш, гэхдээ маш их мэдээлэлтэй.

Жишээ 8

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Шийдье.

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Интегралд хүндрэлтэй байгаа хэн бүхэн хичээлийг үзээрэй Тригонометрийн функцүүдийн интегралууд, үүнийг тэнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн.

(1) Бид шийдлийг хэсгүүдээр нэгтгэх томъёоны дагуу бичдэг.

(2) Бүтээгдэхүүний хувьд бид Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ. Үлдсэн интегралын хувьд бид шугаман байдлын шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд үүнийг хоёр интеграл болгон хуваадаг. Шинж тэмдгүүдэд бүү андуур!

(4) Бид хоёр олсон эсрэг деривативт Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг.

Үнэнийг хэлэхэд би томъёонд дургүй. Боломжтой бол ... Би түүнгүйгээр хийх болно! Миний бодлоор хоёр дахь шийдлийг авч үзье, энэ нь илүү оновчтой юм.

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Эхний шатанд би тодорхойгүй интегралыг олдог:

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Эсрэг дериватив функцийг оллоо. Энэ тохиолдолд тогтмолыг нэмэх нь утгагүй юм.

Ийм явган аялалын давуу тал нь юу вэ? Интеграцийн хязгаарыг "зөөлөн авч явах" шаардлагагүй, интеграцийн хязгаарын жижиг тэмдэгтүүдийг хэдэн арван удаа бичих нь ядрах болно;

Хоёр дахь шатанд би шалгаж байна(ихэвчлэн ноорог хэлбэрээр).

Мөн логик. Хэрэв би эсрэг дериватив функцийг буруу олсон бол тодорхой интегралыг буруу шийднэ. Үүнийг даруй олж мэдсэн нь дээр, хариултыг ялгаж үзье:

Анхны интеграл функцийг авсан нь эсрэг дериватив функцийг зөв олсон гэсэн үг.

Гурав дахь шат бол Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглах явдал юм:

Мөн энд маш их ашиг тус бий! "Миний" шийдлийн аргын хувьд орлуулалт, тооцоололд төөрөлдөх эрсдэл бага байдаг - Ньютон-Лейбницийн томъёог зөвхөн нэг удаа ашигладаг. Хэрэв цайны сав нь ижил төстэй интегралыг томъёогоор шийдвэл (эхний байдлаар), дараа нь тэр хаа нэгтээ алдаа гаргах нь гарцаагүй.

Аливаа тодорхой интегралд авч үзсэн шийдлийн алгоритмыг хэрэглэж болно.

Эрхэм оюутан та:

Хэрэв танд төвөгтэй мэт санагдах тодорхой интеграл өгөгдсөн эсвэл үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх нь шууд тодорхойгүй байвал яах вэ?

1) Эхлээд бид тодорхойгүй интегралыг (эсрэг үүсмэл функц) олно. Хэрэв эхний шатанд уйтгар гунигтай байсан бол Ньютон, Лейбниц нартай завийг цааш сэгсрэх нь утгагүй юм. Зөвхөн нэг арга зам бий - шийдвэрлэх мэдлэг, ур чадвараа нэмэгдүүлэх тодорхойгүй интегралууд.

2) Бид олсон эсрэг дериватив функцийг ялгах замаар шалгана. Хэрэв энэ нь буруу олдвол гурав дахь алхам нь цаг хугацаа алдах болно.

3) Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг. Бид бүх тооцоог маш болгоомжтой хийдэг - энэ бол ажлын хамгийн сул холбоос юм.

Мөн зуушны хувьд бие даасан шийдлийн салшгүй хэсэг юм.

Жишээ 9

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Шийдэл, хариулт нь хаа нэгтээ ойрхон байна.

Энэ сэдвээр санал болгож буй дараагийн хичээл бол Тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ?
Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Та тэдгээрийг шийдэж, ижил хариулт авсан гэдэгтээ итгэлтэй байна уу? ;-) Тэгээд хөгшин эмэгтэйд зориулсан порно байдаг.

Өмнө нь өгөгдсөн функцийг янз бүрийн томъёо, дүрмээр удирдаж, бид түүний деривативыг олсон. Дериватив нь олон тооны хэрэглээтэй: энэ нь хөдөлгөөний хурд (эсвэл ерөнхийдөө аливаа үйл явцын хурд); функцийн графикт шүргэгчийн өнцгийн коэффициент; деривативыг ашиглан функцийг монотон ба хэт туйлшралын хувьд шалгаж болно; Энэ нь оновчтой болгох асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Гэхдээ мэдэгдэж буй хөдөлгөөний хуулийн дагуу хурдыг олох асуудалтай зэрэгцээд урвуу асуудал байдаг - мэдэгдэж буй хурдны дагуу хөдөлгөөний хуулийг сэргээх асуудал. Эдгээр асуудлын нэгийг авч үзье.

Жишээ 1.Материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлдөг бөгөөд t үеийн хурдыг v=gt томъёогоор тодорхойлно. Хөдөлгөөний хуулийг ол.
Шийдэл. Хөдөлгөөний хүссэн хууль s = s(t) байг. s"(t) = v(t) гэдгийг мэддэг. Энэ нь асуудлыг шийдэхийн тулд s = s(t) функцийг сонгох шаардлагатай гэсэн үг бөгөөд үүсмэл нь gt-тэй тэнцүү байна. Үүнийг таахад хэцүү биш юм. тэр \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \баруун)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Хариулт: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Жишээ нь зөв, гэхдээ бүрэн бус шийдэгдсэн гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Бид \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) авсан. Үнэн хэрэгтээ асуудал нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг: C нь дурын тогтмол болох \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\) хэлбэрийн аливаа функц нь ийн хууль болж болно. хөдөлгөөн, учир нь \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Асуудлыг илүү тодорхой болгохын тулд бид анхны нөхцөл байдлыг засах шаардлагатай болсон: хөдөлж буй цэгийн координатыг тодорхой цаг хугацааны үед, жишээ нь t = 0-д зааж өгнө. Хэрэв s(0) = s 0 гэж хэлбэл, дараа нь тэгш байдал s(t) = (gt 2)/2 + C нь: s(0) = 0 + C, өөрөөр хэлбэл C = s 0 болно. Одоо хөдөлгөөний хууль өвөрмөц тодорхойлогдсон: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Математикийн хувьд харилцан урвуу үйлдлүүдийг өөр өөр нэрээр нэрлэж, тусгай тэмдэглэгээг зохион бүтээсэн, жишээлбэл: квадрат (x 2) ба квадрат язгуур (\(\sqrt(x)\)), синус (sin x) ба арксинус (arcsin x) гэх мэт өгөгдсөн функцийн деривативыг олох үйл явцыг гэнэ ялгах, мөн урвуу үйлдэл, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн деривативаас функцийг олох үйл явц нь интеграци.

"Үүсмэл" гэсэн нэр томъёог "өдөр тутмын нөхцөлд" зөвтгөж болно: y = f(x) функц нь y" = f"(x) шинэ функцийг "төрүүлдэг". y = f(x) функц нь "эцэг эх" юм шиг ажилладаг боловч математикчид үүнийг "эцэг эх" эсвэл "үйлдвэрлэгч" гэж нэрлэдэггүй, y" = функцтэй холбоотой f"(x) , үндсэн зураг эсвэл анхдагч.

Тодорхойлолт.\(x \in X\)-д F"(x) = f(x) тэгшитгэл биелвэл y = F(x) функцийг X интервал дээрх y = f(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэнэ.

Практикт X интервал нь ихэвчлэн тодорхойлогддоггүй, гэхдээ далд байдаг (функцийг тодорхойлох байгалийн домэйн гэх мэт).

Жишээ хэлье.
1) Дурын х-ийн хувьд (x 2)" = 2x тэгш байдал үнэн тул y = x 2 функц нь y = 2x функцийн эсрэг дериватив юм.
2) Дурын х-ийн хувьд (x 3)" = 3x 2 тэнцүү байх тул y = x 3 функц нь y = 3x 2 функцийн эсрэг дериватив юм.
3) Дурын х-ийн хувьд (sin(x))" = cos(x) тэнцүү байх тул y = sin(x) функц нь у = cos(x) функцийн эсрэг дериватив юм.

Антидериватив, түүнчлэн деривативыг олохдоо зөвхөн томъёог төдийгүй зарим дүрмийг ашигладаг. Эдгээр нь деривативыг тооцоолох холбогдох дүрэмтэй шууд холбоотой.

Нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Энэ дүрэм нь эсрэг деривативуудыг олоход тохирох дүрмийг үүсгэдэг.

Дүрэм 1.Нийлбэрийн эсрэг дериватив нь эсрэг деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж болно гэдгийг бид мэднэ. Энэ дүрэм нь эсрэг деривативуудыг олоход тохирох дүрмийг үүсгэдэг.

Дүрэм 2.Хэрэв F(x) нь f(x)-ийн эсрэг дериватив бол kF(x) нь kf(x)-ын эсрэг дериватив болно.

Теорем 1.Хэрэв y = F(x) нь y = f(x) функцийн эсрэг дериватив бол y = f(kx + m) функцийн эсрэг дериватив нь \(y=\frac(1)(k)F функц болно. (kx+m) \)

Теорем 2.Хэрэв y = F(x) нь X интервал дээрх y = f(x) функцийн эсрэг дериватив бол y = f(x) функц нь хязгааргүй олон эсрэг деривативтай бөгөөд бүгд у = F(x) хэлбэртэй байна. + C.

Интеграцийн аргууд

Хувьсах орлуулах арга (орлуулах арга)

Орлуулах замаар нэгтгэх арга нь шинэ интеграцийн хувьсагчийг (өөрөөр хэлбэл орлуулах) нэвтрүүлэх явдал юм. Энэ тохиолдолд өгөгдсөн интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй эсвэл буурдаг шинэ интеграл болж буурдаг. Орлуулахыг сонгох ерөнхий аргууд байдаггүй. Орлуулах аргыг зөв тодорхойлох чадварыг дадлага хийх замаар олж авдаг.
\(\textstyle \int F(x)dx \) интегралыг тооцоолох шаардлагатай байг. \(\varphi(t) \) нь тасралтгүй деривативтай функц болох \(x= \varphi(t) \) орлуулалтыг хийцгээе.
Дараа нь \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) бөгөөд тодорхойгүй интегралын интеграцийн томьёоны инвариантын шинж чанарт үндэслэн орлуулах замаар интеграцийн томъёог олж авна.
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) хэлбэрийн илэрхийллүүдийг нэгтгэх

Хэрэв m нь сондгой, m > 0 бол орлуулалтыг sin x = t болгох нь илүү тохиромжтой.
Хэрэв n нь сондгой, n > 0 бол орлуулалтыг cos x = t болгох нь илүү тохиромжтой.
Хэрэв n ба m нь тэгш байвал tg x = t орлуулалтыг хийх нь илүү тохиромжтой.

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх

Хэсэгээр нь нэгтгэх - интеграцид дараахь томъёог ашиглана.
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
эсвэл:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Зарим функцийн тодорхойгүй интегралын (эсрэг дериватив) хүснэгт

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх- нэг интеграл нь амархан интегралдах, нөгөө нь дифференциалагдах үед тодорхой ба тодорхойгүй интегралыг шийдвэрлэхэд ашигладаг арга. Тодорхойгүй ба тодорхой интегралыг олох нэлээд түгээмэл арга. Үүнийг ашиглах шаардлагатай үед гол тэмдэг нь хоосон цэгүүдийг нэгтгэж болохгүй хоёр функцийн үржвэрээс бүрдэх тодорхой функц юм.

Томъёо

Энэ аргыг амжилттай ашиглахын тулд та томъёог ойлгож, сурах хэрэгтэй.

Тодорхой бус интеграл дахь хэсгүүдээр интегралчлах томъёо:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Тодорхой интеграл дахь хэсгүүдээр интеграцийн томъёо:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Шийдлийн жишээ

Туршилтын үеэр багш нарын санал болгодог хэсгүүдээр нэгтгэх шийдлүүдийн жишээг практик дээр авч үзье. Интеграл тэмдгийн дор хоёр функцийн үржвэр байгааг анхаарна уу. Энэ арга нь шийдэлд тохиромжтой гэсэн дохио юм.