Параболагийн хамгийн энгийн тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэл ашиглан параболыг хэрхэн бүтээх вэ

Тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя, энд . Тэнхлэгийг фокусаар дамжуулна Ф парабол ба чиглүүрт перпендикуляр байх ба тэнхлэг нь фокус ба чиглүүлэлтийн хооронд дундуур дамждаг. Фокус ба чиглүүлэлтийн хоорондох зайг тэмдэглэе. Дараа нь директорын тэгшитгэл.

Энэ тоог параболын фокусын параметр гэж нэрлэдэг. Параболын одоогийн цэг гэж үзье. Гиперболын цэгийн фокусын радиусыг цэгээс директрикс хүртэлх зай гэж үзье. Дараа нь( зураг 27.)

Зураг 27.

Параболын тодорхойлолтоор. Тиймээс,

Тэгшитгэлийг квадрат болгоод:

(15)

Энд (15) нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй, эхийг дайран өнгөрөх параболын каноник тэгшитгэл юм.

Параболагийн шинж чанарыг судлах

1) Параболын орой:

Тэгшитгэл (15) нь тоогоор хангагдсан тул парабола эх үүсвэрээр дамждаг.

2) Параболын тэгш хэм:

Үүнийг парабол, өөрөөр хэлбэл жинхэнэ тэгш байдал гэж үзье. Цэг нь тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй байдаг тул парабола нь абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

Параболагийн хазайлт:

Тодорхойлолт 4.2.Параболын хазгай нь нэгтэй тэнцүү тоо юм.

Учир нь параболын тодорхойлолтоор.

4) Параболын тангенс:

Параболын шүргэлтийн цэг дээрх шүргэгчийг тэгшитгэлээр тодорхойлно

Хаана ( зураг 28.)

Зураг 28.

Парабола зураг

Зураг 29.

ESO-Mathcad ашиглах:

зураг 30.)

Зураг 30.

a) МХХТ ашиглахгүйгээр бүтээх: Парабол байгуулахын тулд төв нь О цэг ба нэгж сегменттэй тэгш өнцөгт координатын системийг тогтооно. Бид фокусыг OX тэнхлэг дээр тэмдэглэдэг, учир нь бид ийм байдлаар зурж, параболын чиглүүлэгчийг зурдаг. Шулуун шугамаас параболын чиглүүлэлт хүртэлх зайтай тэнцүү радиустай цэг дээр бид тойрог байгуулна. Тойрог шугамыг цэгээр огтолж байна. Бид параболыг гарал үүсэл болон цэгүүдээр дамжин өнгөрөхөөр байгуулдаг.( зураг 31.)

Зураг 31.

b) ESO-Mathcad ашиглах:

Үүссэн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна. Mathcad программ дээр 2-р эрэмбийн мөрийг байгуулахын тулд бид тэгшитгэлийг дараах хэлбэртэй болгож бууруулна: .( зураг 32.)

Зураг 32.

Анхан шатны математикийн хоёр дахь эрэмбийн шугамын онолын ажлыг нэгтгэн дүгнэх, бодлого шийдвэрлэхдээ шугамын талаархи мэдээллийг ашиглахад хялбар болгох үүднээс бид 2-р эрэмбийн шугамын бүх өгөгдлийг 1-р хүснэгтэд оруулна.

Хүснэгт №1.

Анхан шатны математикийн хоёрдугаар эрэмбийн шугамууд

Хоёрдугаар эрэмбийн шугамыг судлахад МХХТ ашиглах боломжууд

Орчин үеийн нийгмийн амьдралын бүхий л талыг хамарсан мэдээлэлжүүлэлтийн үйл явц нь хэд хэдэн тэргүүлэх чиглэлтэй бөгөөд үүнд мэдээж боловсролын мэдээлэлжүүлэлт багтах ёстой. Энэ нь мэдээлэл, харилцаа холбооны технологи (МХТ) ашиглан хүний ​​оюуны үйл ажиллагааг дэлхийн хэмжээнд оновчтой болгох үндсэн суурь юм.

Өнгөрсөн зууны 90-ээд оны дунд үеэс өнөөг хүртэл Орос улсад хувийн компьютер өргөн тархсан, хүртээмжтэй болж, харилцаа холбооны хэрэгсэл өргөн тархсанаар тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь боловсролын мэдээллийн технологийг боловсролын үйл явцад нэвтрүүлэх, түүнийг сайжруулах, шинэчлэх, боловсронгуй болгох боломжийг олгодог. мэдлэгийн чанар, суралцах сэдлийг нэмэгдүүлэх, суралцах хувь хүний ​​зарчмыг дээд зэргээр ашиглах. Боловсролын мэдээллийн технологи нь боловсролыг мэдээлэлжүүлэх энэ үе шатанд зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл юм.

Мэдээллийн технологи нь мэдээллийн хүртээмжийг хөнгөвчлөх, боловсролын үйл ажиллагаанд хувьсах, хувь хүн болгох, ялгах боломжийг нээж өгөөд зогсохгүй сургалтын бүх субъектуудын харилцан үйлчлэлийг шинэ хэлбэрээр зохион байгуулах, боловсролын тогтолцоог бий болгох боломжийг олгодог. оюутан боловсролын үйл ажиллагаанд идэвхтэй, эрх тэгш оролцогч байх болно.

Сэдвийн хичээлийн хүрээнд мэдээллийн шинэ технологи бий болсон нь хичээлийн үр нөлөөг чанарын хувьд нэмэгдүүлэхэд чиглэсэн шинэ программ хангамж, арга зүйн цогцолбор бий болгох хэрэгцээг өдөөж байна. Тиймээс боловсролын үйл явцад мэдээллийн технологийн хэрэгслийг амжилттай, зорилготой ашиглахын тулд багш нар програм хангамжийн хэрэглээний зарчим, дидактик чадамжийн ерөнхий тодорхойлолтыг мэдэж, дараа нь туршлага, зөвлөмжид үндэслэн тэдгээрийг "бүтээх" ёстой. боловсролын үйл явцад.

Математикийн судалгаа нь одоогийн байдлаар манай улсын сургуулийн боловсролын хөгжлийн хэд хэдэн онцлог, бэрхшээлтэй холбоотой байдаг.

Математикийн боловсролын хямрал гэгч зүйл бий болсон. Үүний шалтгаан нь дараах байдалтай байна.

Нийгэм, шинжлэх ухааны тэргүүлэх чиглэлийг өөрчлөхөд, өөрөөр хэлбэл хүмүүнлэгийн ухааны тэргүүлэх чиглэл одоо улам бүр нэмэгдэж байна;

Сургуулийн математикийн хичээлийн тоог багасгахад;

Математикийн боловсролын агуулгыг амьдралаас тусгаарлах;

Сурагчдын мэдрэмж, сэтгэл хөдлөлд бага нөлөө үзүүлдэг.

Өнөөдөр "Сургуулийн хүүхдүүдэд, түүний дотор математикийн хичээл заахдаа орчин үеийн мэдээлэл, харилцаа холбооны технологийн боломжуудыг хэрхэн хамгийн үр дүнтэй ашиглах вэ?" Гэсэн асуулт нээлттэй хэвээр байна.

Компьютер нь "Квадрат функц" гэх мэт сэдвийг судлахад маш сайн туслагч юм, учир нь тусгай програмын тусламжтайгаар та янз бүрийн функцүүдийн графикийг барьж, функцийг судлах, огтлолцох цэгүүдийн координатыг хялбархан тодорхойлох, хаалттай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох гэх мэт боломжтой. Жишээлбэл, 9-р ангийн алгебрийн хичээл дээр график хувиргалт (сунгах, шахах, координатын тэнхлэгийг хөдөлгөх) дээр зөвхөн барилгын царцсан үр дүнг харах боломжтой бол багш, сурагчийн дараалсан үйлдлийн динамикийг бүхэлд нь харж болно. дэлгэцийн дэлгэц дээр.

Компьютер нь өөр ямар ч техникийн хэрэгсэл шиг сурагчдад хамгийн тохиромжтой математик загваруудыг үнэн зөв, нүдээр, сэтгэл хөдөлгөм байдлаар харуулж өгдөг. хүүхэд практик үйлдлээрээ юуг хичээх ёстой вэ.

Шүргэгчийн цэг дээрх квадрат функцийн графын шүргэгч нь функцийн графиктай нийлдэг гэдгийг оюутнуудад ойлгуулахын тулд математикийн багш хичнээн бэрхшээл туулах ёстой вэ? Энэ баримтыг компьютер дээр харуулах нь маш хялбар бөгөөд Үхрийн тэнхлэгийн дагуух интервалыг нарийсгаж, шүргэх цэгийн маш жижиг хэсэгт функцийн график ба шүргэгч шугам давхцаж байгааг олж мэдэхэд хангалттай. Эдгээр бүх үйлдлүүд оюутнуудын өмнө явагддаг. Энэ жишээ нь хичээл дээр идэвхтэй эргэцүүлэн бодоход түлхэц болдог. Компьютер ашиглах нь хичээл дээр шинэ материалыг тайлбарлах болон хяналтын үе шатанд хоёуланд нь боломжтой. "Миний тест" гэх мэт эдгээр програмын тусламжтайгаар оюутан өөрийн мэдлэгийн түвшинг онолын хувьд бие даан шалгаж, онол практикийн даалгавруудыг гүйцэтгэх боломжтой. Хөтөлбөрүүд нь олон талт байдлаас шалтгаалан тохиромжтой байдаг. Тэдгээрийг өөрийгөө хянах болон багшийн хяналтанд ашиглаж болно.

Математик болон компьютерийн технологийн үндэслэлтэй интеграци нь асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц, математикийн хуулиудыг ойлгох үйл явцыг илүү баялаг, гүнзгий харах боломжийг бидэнд олгоно. Нэмж дурдахад компьютер нь сурагчдын график, математик, сэтгэхүйн соёлыг төлөвшүүлэхэд туслах бөгөөд компьютерийн тусламжтайгаар та дидактик материалыг бэлтгэх боломжтой: карт, судалгааны хуудас, тест гэх мэт. Үүний зэрэгцээ хүүхдүүдэд сэдвээр бие даан тест боловсруулах боломж, энэ үед сонирхол, бүтээлч хандлага.

Иймд математикийн хичээлд компьютерийг аль болох өргөн ашиглах шаардлага гарч байна. Мэдээллийн технологийг ашиглах нь мэдлэгийн чанарыг дээшлүүлж, квадрат функцийг судлах цар хүрээг өргөжүүлж, улмаар оюутнуудын хичээл, сэдвийн сонирхлыг хадгалах шинэ хэтийн төлөвийг олоход тусалдаг бөгөөд ингэснээр илүү сайн, илүү анхааралтай хандах болно. тэр. Өнөөдөр орчин үеийн мэдээллийн технологи нь менежментээс боловсрол хүртэлх сургуулийг бүхэлд нь шинэчлэх, боловсролын хүртээмжийг хангах хамгийн чухал хэрэгсэл болж байна.

Парабола гэдэг нь өгөгдсөн F цэг ба өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх d шулуун шугамаас ижил зайд орших хавтгайн цэгүүдийн байрлал юм. Энэхүү геометрийн тодорхойлолтыг илэрхийлдэг параболын захирлын өмч.

Параболагийн чиглүүлэх шинж чанар

F цэгийг параболын фокус гэж нэрлэдэг, d шугам нь параболын чиглүүлэлт, фокусаас чиглүүлэлт рүү доошилсон перпендикулярын О дунд цэг нь параболын орой, фокусаас чиглүүлэлт хүртэлх p зай юм. нь параболын параметр бөгөөд параболын оройноос фокус хүртэлх зай \frac(p)(2) нь фокусын урт юм (Зураг 3.45, а). Директрикстэй перпендикуляр, фокусыг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг параболын тэнхлэг (параболын фокусын тэнхлэг) гэж нэрлэдэг. Параболын дурын М цэгийг фокустай нь холбосон FM сегментийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Параболын хоёр цэгийг холбосон хэрчмийг параболын хөвч гэж нэрлэдэг.

Параболагийн дурын цэгийн хувьд фокусын зай ба чиглүүлэлт хүртэлх зайны харьцаа нэгтэй тэнцүү байна. , ба параболын захирлын шинж чанаруудыг харьцуулж үзвэл бид ийм дүгнэлтэд хүрэв параболын хазгай байдалтодорхойлолтоор нэгтэй тэнцүү (e=1).

Параболагийн геометрийн тодорхойлолт, түүний захирлын шинж чанарыг илэрхийлэх нь түүний аналитик тодорхойлолттой тэнцүү байна - параболын каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам:

Үнэхээр тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя (Зураг 3.45, b). Бид параболын О оройг координатын системийн эхлэл болгон авна; бид шулуун шугамыг абсцисса тэнхлэг болгон директрикс перпендикуляраар дамждаг шулуун шугамыг авна (түүн дээрх эерэг чиглэл нь О цэгээс F цэг хүртэл); Параболын оройгоор дамжин өнгөрч буй абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг ординатын тэнхлэг болгон авч үзье (ординатын тэнхлэг дээрх чиглэлийг тэгш өнцөгт координатын систем Oxy зөв байхаар сонгосон).

Параболын чиглүүлэх шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан параболын тэгшитгэлийг байгуулъя. Сонгосон координатын системд бид фокусын координатыг тодорхойлдог F\!\left(\frac(p)(2);\,0\баруун)ба директрисын тэгшитгэл x=-\frac(p)(2) . Параболд хамаарах дурын M(x,y) цэгийн хувьд бид:

FM=MM_d,

Хаана M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\баруун)- M(x,y) цэгийн директрис дээрх ортогональ проекц. Бид энэ тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр бичнэ.

\sqrt((\зүүн(x-\frac(p)(2)\баруун)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоно: (\зүүн(x-\frac(p)(2)\баруун)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Ижил төстэй нэр томъёог авчрахад бид олж авдаг каноник параболын тэгшитгэл

y^2=2\cdot p\cdot x,тэдгээр. Сонгосон координатын систем нь каноник байна.

Үндэслэлийг урвуу дарааллаар хийснээр (3.51) тэгшитгэлийг хангасан координатууд нь зөвхөн тэдгээр нь парабол гэж нэрлэгддэг цэгүүдийн байршилд багтдаг болохыг харуулж байна. Тиймээс параболын аналитик тодорхойлолт нь түүний геометрийн тодорхойлолттой дүйцэхүйц бөгөөд энэ нь параболын чиглүүлэх шинж чанарыг илэрхийлдэг.

Туйлын координатын систем дэх параболын тэгшитгэл

Fr\varphi туйлын координатын систем дэх параболын тэгшитгэл (Зураг 3.45, в) хэлбэртэй байна.

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),Энд p нь параболын параметр, e=1 нь түүний хазайлт юм.

Үнэн хэрэгтээ туйлын координатын системийн туйлын хувьд бид параболын F фокусыг, туйлын тэнхлэгийн хувьд F цэгээс эхлэлтэй, чиглүүлэлттэй перпендикуляр, түүнтэй огтлолцоогүй туяаг сонгоно (Зураг 3.45, в). . Тэгвэл параболад хамаарах дурын M(r,\varphi) цэгийн хувьд параболын геометрийн тодорхойлолтын (чиглэлийн шинж чанар) дагуу MM_d=r байна. Түүнээс хойш MM_d=p+r\cos\varphi, бид координат хэлбэрээр параболын тэгшитгэлийг олж авна.

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Туйлын координатуудад эллипс, гипербол ба параболын тэгшитгэлүүд давхцаж байгааг анхаарна уу, гэхдээ тэдгээр нь хазайлтаараа ялгаатай (0\leqslant e) тул өөр өөр шугамуудыг дүрсэл.<1 для , e=1 для параболы, e>1 хувьд).

Параболын тэгшитгэл дэх параметрийн геометрийн утга

За тайлбарлая параметрийн геометрийн утгаКаноник параболын тэгшитгэл дэх p. (3.51) тэгшитгэлд x=\frac(p)(2)-г орлуулснаар бид y^2=p^2, i.e. y=\pm p . Иймээс p параметр нь параболын тэнхлэгт перпендикуляр фокусыг дайран өнгөрөх параболын хөвчний хагасын урт юм.

Параболын фокусын параметр, түүнчлэн эллипс ба гиперболын хувьд фокусын тэнхлэгт перпендикуляр фокусыг дамжин өнгөрөх хөвчний хагас урт гэж нэрлэдэг (Зураг 3.45, в-ийг үз). Цагийн туйлын координат дахь параболын тэгшитгэлээс \varphi=\frac(\pi)(2)бид r=p авна, өөрөөр хэлбэл. параболын параметр нь түүний фокусын параметртэй давхцаж байна.

Тайлбар 3.11.

1. Параболын p параметр нь түүний хэлбэрийг тодорхойлдог. P нь том байх тусам параболын мөчрүүд илүү өргөн, p нь тэг рүү ойртох тусам параболын мөчрүүд нарийсдаг (Зураг 3.46).

2. y^2=-2px (p>0 хувьд) тэгшитгэл нь ординатын тэнхлэгийн зүүн талд байрлах параболыг тодорхойлно (Зураг 3.47,а). Энэ тэгшитгэлийг x тэнхлэгийн чиглэлийг өөрчилснөөр каноник болж буурна (3.37). Зураг дээр. 3.47,a-д өгөгдсөн координатын систем Oxy ба каноник Ox"y"-ийг харуулав.

3. Тэгшитгэл (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0О"(x_0,y_0) оройтой параболыг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэг нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель байна (Зураг 3.47,6). Энэ тэгшитгэлийг зэрэгцээ орчуулга (3.36) ашиглан каноник болгон бууруулна.

Тэгшитгэл (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, мөн О"(x_0,y_0) оройтой параболыг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэг нь ординатын тэнхлэгтэй параллель (Зураг 3.47, в). Энэ тэгшитгэлийг зэрэгцээ орчуулгыг (3.36) ашиглан каноник болгон бууруулж, нэрийг нь өөрчилсөн. координатын тэнхлэгүүд (3.38)-д өгөгдсөн координатын систем Oxy ба каноник координатын систем Ox"y"-ийг дүрсэлнэ.

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0нь цэг дээр оройтой парабол юм O"\!\зүүн(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\баруун), тэнхлэг нь ординатын тэнхлэгтэй параболын салбарууд дээш (a>0 хувьд) эсвэл доош (а хувьд) чиглэсэн байна.<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Зүүн баруун сум \дөрөв \!\left(x+\frac(b) (2a)\баруун)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\баруун)\!,

Энэ нь каноник хэлбэрт (y")^2=2px" болж буурсан, энд p=\left|\frac(1)(2a)\right|, орлуулахыг ашиглан y"=x+\frac(b)(2a)Тэгээд x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\баруун).

Тэмдгийг тэргүүлэх коэффициент a-ийн тэмдэгтэй давхцахаар сонгосон. Энэ орлуулалт нь найрлагатай тохирч байна: зэрэгцээ шилжүүлэг (3.36) -тай x_0=-\frac(b)(2a)Тэгээд y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), координатын тэнхлэгүүдийн нэрийг өөрчлөх (3.38), тохиолдолд a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ба а<0 соответственно.

5. Каноник координатын системийн х тэнхлэг нь параболын тэгш хэмийн тэнхлэг, y хувьсагчийг -y-ээр солиход (3.51) тэгшитгэл өөрчлөгдөхгүй. Өөрөөр хэлбэл, параболд хамаарах M(x,y) цэгийн координат, х тэнхлэгтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй M"(x,-y) цэгийн координатууд тэгшитгэлийг хангана. (3.S1) каноник координатын системийн тэнхлэгүүдийг нэрлэнэ параболын үндсэн тэнхлэгүүд.

Жишээ 3.22.

Каноник координатын Oxy системд y^2=2x параболыг зур. Фокусын параметр, фокусын координат, директрисын тэгшитгэлийг ол.Шийдэл. Бид абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмийг харгалзан параболыг бүтээдэг (Зураг 3.49). Шаардлагатай бол параболын зарим цэгийн координатыг тодорхойлно. Жишээлбэл, параболын тэгшитгэлд x=2-г орлуулснаар бид олж авна y^2=4~\Зүүн баруун сум~y=\pm2

. Улмаар (2;2),\,(2;-2) координаттай цэгүүд параболд хамаарна. Өгөгдсөн тэгшитгэлийг канониктай (3.S1) харьцуулж бид фокусын параметрийг тодорхойлно: p=1. Фокусын координатууд x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0 , өөрөөр хэлбэл F\!\left(\frac(1)(2),\,0\баруун)

. Бид x=-\frac(p)(2) директрисын тэгшитгэлийг байгуулна, i.e. x=-\frac(1)(2) .

Зууван, гипербол, параболын ерөнхий шинж чанарууд 1. Захирлын өмчийг эллипс, гипербол, параболын нэг тодорхойлолт болгон ашиглаж болно (3.50-р зургийг үз):

Хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал, тэдгээрийн тус бүрийн хувьд өгөгдсөн цэгийн зайны F (фокус) хүртэлх зайг өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөхгүй шулуун d (шалт) хүртэлх зайд харьцуулсан харьцаа нь тогтмол бөгөөд хазгай e-тэй тэнцүү байна. , гэж нэрлэдэг:<1 ;

a) хэрэв 0\leqslant e

b) хэрэв e>1;

в) e=1 бол парабол. 2. Дугуй конусын хэсгүүдэд эллипс, гипербол, параболыг хавтгай хэлбэрээр олж авдаг тул үүнийг нэрлэдэг.конус хэсгүүд

. Энэ шинж чанар нь эллипс, гипербол, параболын геометрийн тодорхойлолт болж чаддаг. 3. Эллипс, гипербол, параболын нийтлэг шинж чанарууд орнохоёр секторын өмч тэдгээрийн шүргэгч. Доодшүргэгч К цэгийн шугам руу авч үзэж буй шулуун дээр үлдсэн М цэг нь K цэг рүү чиглэх үед KM зүсэгчийн хязгаарлах байрлал гэж ойлгогдоно. Шугамын шүргэгчтэй перпендикуляр ба шүргэх цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг гэнэхэвийн

энэ мөрөнд. Эллипс, гипербол, параболын шүргэгч (болон норм) хоёр талт шинж чанарыг дараах байдлаар томъёолсон болно.Эллипс эсвэл гиперболын шүргэгч (хэвийн) нь шүргэгч цэгийн фокусын радиустай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг. (Зураг 3.51, a, b);(Зураг 3.51, в). Өөрөөр хэлбэл, К цэг дээрх эллипстэй шүргэгч нь F_1KF_2 гурвалжны гадаад өнцгийн биссектрис (мөн норм нь гурвалжны F_1KF_2 дотоод өнцгийн биссектрис юм); гиперболын шүргэгч нь F_1KF_2 гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрис (мөн хэвийн нь гадаад өнцгийн биссектрис); параболын шүргэгч нь FKK_d гурвалжны дотоод өнцгийн биссектриса (мөн хэвийн нь гадаад өнцгийн биссектрис) юм. Параболд шүргэгчийн бисекторын шинж чанарыг эллипс ба гиперболын адилаар томъёолж болно, хэрэв бид параболыг хязгааргүй цэг дээр хоёр дахь фокустай гэж үзвэл.

4. Бисекторын шинж чанараас энэ нь дараах болно эллипс, гипербол, параболын оптик шинж чанарууд, "фокус" гэсэн нэр томъёоны физик утгыг тайлбарлах. Фокусын тэнхлэгийн эргэн тойронд эллипс, гипербол эсвэл параболыг эргүүлэх замаар үүссэн гадаргууг төсөөлөөд үз дээ. Эдгээр гадаргуу дээр цацруулагч бүрээсийг хэрэглэвэл эллипс, гипербол, параболик толь олж авна. Оптикийн хуулийн дагуу толин тусгал дээрх гэрлийн туяа тусах өнцөг нь тусгалын өнцөгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. туссан ба ойсон туяа нь гадаргуугийн нормтой тэнцүү өнцөг үүсгэх ба туяа болон эргэлтийн тэнхлэг хоёулаа нэг хавтгайд байна. Эндээс бид дараах шинж чанаруудыг олж авна.

– хэрэв гэрлийн эх үүсвэр нь зууван толины фокусын аль нэгэнд байрладаг бол толинд туссан гэрлийн цацрагийг өөр фокус дээр цуглуулдаг (Зураг 3.52, а);

– хэрэв гэрлийн эх үүсвэр нь гипербол толины фокусын аль нэгэнд байрладаг бол толинд туссан гэрлийн туяа өөр фокусаас ирсэн мэт хуваагдана (Зураг 3.52, б);

– хэрэв гэрлийн эх үүсвэр параболик толины фокус дээр байвал толинд туссан гэрлийн туяа нь фокусын тэнхлэгт параллель явна (Зураг 3.52, в).

5. Диаметрийн шинж чанарЭллипс, гипербол, параболыг дараах байдлаар томъёолж болно.

– Зууван (гипербол) -ын зэрэгцээ хөвчүүдийн дунд цэгүүд нь эллипсийн төвийг (гипербол) дайран өнгөрөх нэг шулуун шугам дээр байрладаг.;

– параболын зэрэгцээ хөвчүүдийн дунд цэгүүд нь параболын тэгш хэмийн шулуун, зэргэлдээ тэнхлэг дээр байрладаг..

Зууван (гипербол, парабол) бүх параллель хөвчүүдийн дунд цэгүүдийн геометрийн байрлалыг гэнэ. эллипсийн диаметр (гипербол, парабол), эдгээр хөвчтэй холбоно.

Энэ бол нарийн утгаараа диаметрийн тодорхойлолт юм (жишээ 2.8-ыг үзнэ үү). Өмнө нь диаметрийн тодорхойлолтыг өргөн утгаар нь өгсөн бөгөөд эллипс, гипербол, парабол болон бусад хоёрдугаар эрэмбийн шугамын диаметр нь бүх зэрэгцээ хөвчүүдийн дунд цэгүүдийг агуулсан шулуун шугам юм. Нарийн утгаараа эллипсийн голч нь түүний төвөөр дамжин өнгөрөх ямар ч хөвч юм (Зураг 3.53, а); гиперболын голч нь гиперболын төвөөр дамжин өнгөрөх аливаа шулуун шугам (ассимптотуудаас бусад) эсвэл ийм шулуун шугамын нэг хэсэг юм (Зураг 3.53,6); Параболын диаметр нь параболын тодорхой цэгээс ялгарч буй, тэгш хэмийн тэнхлэгтэй зэрэгцсэн аливаа цацраг юм (Зураг 3.53, в).

Бүх хөвчийг нөгөө диаметртэй параллель болгон хуваасан хоёр диаметрийг коньюгат гэж нэрлэдэг. 3.53-р зурагт тод зураас нь эллипс, гипербол, параболын коньюгат диаметрийг харуулж байна.

Х цэг дээрх эллипс (гипербол, парабол) руу шүргэгчийг M_1M_2 параллель секантын хязгаарын байрлал гэж тодорхойлж болно, энэ үед авч үзэж буй шулуун дээр үлдсэн M_1 ба M_2 цэгүүд К цэг рүү чиглэх хандлагатай байна. Энэ тодорхойлолтоос үзэхэд хөвчтэй параллель шүргэгч нь эдгээр хөвчүүдийн диаметртэй коньюгатын төгсгөлийг дайран өнгөрдөг.

6. Эллипс, гипербол, парабола нь дээр дурдсанаас гадна олон тооны геометрийн шинж чанар, физик хэрэглээтэй байдаг. Жишээлбэл, 3.50-р зураг нь таталцлын F төвийн ойролцоо байрладаг сансрын биетүүдийн траекторийн дүрслэл болж чадна.

Парабола гэдэг нь параболын директор гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн шулуунаас ижил зайд орших цэгүүд болон параболын фокус болох өгөгдсөн цэгээс бүрдэх хязгааргүй муруй юм. Парабол бол конус огтлол, өөрөөр хэлбэл хавтгай ба дугуй конусын огтлолцлыг илэрхийлдэг.

Ерөнхийдөө параболын математик тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: y=ax^2+bx+c, а нь тэгтэй тэнцүү биш, b нь эхтэй харьцуулахад функцийн графикийн хэвтээ шилжилтийг тусгадаг, c нь босоо байна. функцийн графикийн эхлэлтэй харьцуулахад шилжилт. Түүнээс гадна хэрэв a>0 бол графикийг зурахдаа дээшээ чиглэсэн байх ба хэрэв a параболын шинж чанарууд

Парабола нь параболын фокусыг дайран өнгөрөх тэгш хэмийн тэнхлэгтэй, параболын чиглүүрт перпендикуляр байрладаг хоёр дахь эрэмбийн муруй юм.

Парабол нь тусгай оптик шинж чанартай бөгөөд энэ нь параболын орой дээрх парабол руу чиглэсэн гэрлийн туяаг тэгш хэмийн тэнхлэгтэйгээ параллель төвлөрүүлж, параболын оройд чиглэсэн гэрлийн туяаг параболын гэрлийн туяатай харьцуулан салгахаас бүрддэг. ижил тэнхлэг.

Хэрэв та параболыг ямар нэгэн шүргэгчтэй харьцуулахад тусгавал параболын дүрс түүний чиглүүлэгч дээр гарч ирнэ. Бүх параболууд хоорондоо төстэй, өөрөөр хэлбэл нэг параболын А ба В хоёр цэг бүрт А1, В1 цэгүүд байдаг бөгөөд үүнд |А1,В1| = |A,B|*k, энд k нь ижил төстэй байдлын коэффициент бөгөөд тоон утгаараа үргэлж тэгээс их байдаг.

Амьдрал дахь параболын илрэл

Сүүлт од эсвэл астероид гэх мэт зарим сансрын биетүүд их хэмжээний сансрын биетүүдийн ойролцоо өндөр хурдтайгаар өнгөрч байгаа нь парабол хэлбэрийн замналтай байдаг. Жижиг сансрын биетүүдийн энэ шинж чанарыг сансрын хөлгүүдийн таталцлын маневр хийхэд ашигладаг.

Ирээдүйн сансрын нисгэгчдийг сургахын тулд тусгай нисэх онгоцны нислэгийг параболик траекторийн дагуу газар дээр хийж, улмаар дэлхийн таталцлын талбарт жингүйдлийн нөлөөг бий болгодог.

Өдөр тутмын амьдралд параболыг янз бүрийн гэрэлтүүлгийн төхөөрөмжөөс олж болно. Энэ нь параболын оптик шинж чанартай холбоотой юм. Гэрлийн туяаг төвлөрүүлэх, задлах шинж чанарт үндэслэн параболыг ашиглах хамгийн сүүлийн үеийн аргуудын нэг бол Оросын өмнөд бүс нутгийн эрчим хүчний хангамжийн салбарт улам бүр нэмэгдэж байгаа нарны хавтан юм.

III түвшин

3.1. Гиперболын шугаманд хүрэх 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Гиперболын тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй давхцаж байвал түүний тэгшитгэлийг бич.

3.2. Гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич

1) цэгээр дамжин өнгөрөх А(4, 1), Б(5, 2) ба C(5, 6);

2) 10-р шулуун шугамтай зэрэгцээ x – 3y + 9 = 0;

3) шулуун шугаманд перпендикуляр 10 x – 3y + 9 = 0.

Параболань координатууд нь тэгшитгэлийг хангадаг хавтгайн цэгүүдийн геометрийн байрлал юм

Параболын параметрүүд:

Цэг Ф(х/2, 0) гэж нэрлэдэг анхаарлаа төвлөрүүл парабол, хэмжээ х – параметр , цэг ТУХАЙ(0, 0) – дээд . Энэ тохиолдолд шулуун шугам OF, парабол нь тэгш хэмтэй байх нь энэ муруйн тэнхлэгийг тодорхойлдог.

Хэмжээ Хаана М(x, y) – параболын дурын цэг, гэж нэрлэдэг фокусын радиус , шулуун Д: x = –х/2 – захирал (энэ нь параболын дотоод мужтай огтлолцохгүй). Хэмжээ параболын эксцентриситет гэж нэрлэдэг.

Параболагийн үндсэн шинж чанар: параболын бүх цэгүүд нь чиглүүлэлт ба фокусаас ижил зайд байна (Зураг 24).

Координатын систем дэх түүний салбаруудын бусад чиглэлийг тодорхойлдог каноник параболын тэгшитгэлийн бусад хэлбэрүүд байдаг (Зураг 25):

Учир нь параболын параметрийн тодорхойлолт параметр болгон тпараболын цэгийн ординатын утгыг дараах байдлаар авч болно.

Хаана тнь дурын бодит тоо юм.

Жишээ 1.Канон тэгшитгэлийг ашиглан параболын параметр ба хэлбэрийг тодорхойлно уу.

Шийдэл. 1. Тэгшитгэл y 2 = –8xцэг дээр оройтой параболыг тодорхойлно ТУХАЙ Өө. Түүний мөчрүүд зүүн тийшээ чиглэсэн байдаг. Энэ тэгшитгэлийг тэгшитгэлтэй харьцуулах y 2 = –2px, бид олдог: 2 х = 8, х = 4, х/2 = 2. Иймд фокус нь цэг дээр байна Ф(–2; 0), директрисын тэгшитгэл Д: x= 2 (Зураг 26).

2. Тэгшитгэл x 2 = –4yцэг дээр оройтой параболыг тодорхойлно О(0; 0), тэнхлэгийн тэгш хэмтэй Өө. Түүний мөчрүүд нь доошоо чиглэсэн байдаг. Энэ тэгшитгэлийг тэгшитгэлтэй харьцуулах x 2 = –2py, бид олдог: 2 х = 4, х = 2, х/2 = 1. Иймд фокус нь цэг дээр байна Ф(0; –1), директрисын тэгшитгэл Д: y= 1 (Зураг 27).

Жишээ 2.Муруйн параметр ба төрлийг тодорхойлох x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Зураг зурах.

Шийдэл.Бүрэн квадрат олборлох аргыг ашиглан тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая.

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Үүний үр дүнд бид авдаг

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Энэ нь (–4, –3) цэг дээрх оройтой параболын каноник тэгшитгэл, параметр юм. х= 8, салбарууд дээш чиглэсэн (), тэнхлэг x= –4. Анхаарал төвлөрч байна Ф(–4; –3 + х/2), i.e. Ф(–4; 1) захирал Дтэгшитгэлээр өгөгдсөн y = –3 – х/2 эсвэл y= –7 (Зураг 28).

Жишээ 4.Орой нь цэг дээр байгаа параболын тэгшитгэлийг бич В(3; –2) цэг дээр анхаарлаа төвлөрүүл Ф(1; –2).

Шийдэл.Өгөгдсөн параболын орой ба фокус нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам дээр байрладаг Үхэр(ижил ординатууд), параболын мөчрүүд зүүн тийш чиглэсэн (фокусны абсцисса нь оройн абсциссагаас бага), фокусаас орой хүртэлх зай х/2 = 3 – 1 = 2, х= 4. Эндээс шаардлагатай тэгшитгэл

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) эсвэл ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Бие даасан шийдлийн даалгавар

би түвшин

1.1. Параболын параметрүүдийг тодорхойлж, түүнийг байгуул:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Хэрэв та дараахийг мэдэж байгаа бол параболын эхэнд оройтой тэгшитгэлийг бич.

1) парабола нь тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй зүүн хагас хавтгайд байрладаг ҮхэрТэгээд х = 4;

2) парабол нь тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг Өөмөн цэгээр дамжин өнгөрдөг М(4; –2).

3) директорыг 3-р тэгшитгэлээр өгөгдсөн y + 4 = 0.

1.3. Бүх цэгүүд нь (2; 0) цэг ба шулуун шугамаас ижил зайд орших муруйны тэгшитгэлийг бич. x = –2.

II түвшин

2.1. Муруйн төрөл ба параметрүүдийг тодорхойлно.

Энэ бүлгийн туршид хавтгайд тодорхой хуваарийг сонгосон гэж үздэг (доор авч үзсэн бүх тоонууд энд байна); Зөвхөн ийм масштабтай тэгш өнцөгт координатын системийг авч үздэг.

§ 1. Парабола

Параболыг уншигчдад сургуулийн математикийн хичээлээс муруй гэж мэддэг бөгөөд энэ нь функцийн график юм.

(Зураг 76). (1)

Аливаа квадрат гурвалжны график

мөн парабола; Энэ нь координатын системийг зүгээр л (зарим вектороор OO) шилжүүлэх, өөрөөр хэлбэл хувиргах замаар боломжтой юм

функцийн график (хоёр дахь координатын системд) график (2)-тай (эхний координатын системд) давхцаж байгаа эсэхийг шалгана.

Үнэн хэрэгтээ (3) -ийг тэгш байдал (2) гэж орлуулъя. Бид авдаг

Бид энэ тэгшитгэлийн баруун талд байрлах олон гишүүнтийн at коэффициент ба чөлөөт гишүүн (-тэй харьцуулахад) тэгтэй тэнцүү байхаар сонгохыг хүсч байна. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлээс тодорхойлно

өгдөг

Одоо бид нөхцөл байдлаас тодорхойлж байна

Үүнд бид аль хэдийн олдсон утгыг орлуулна. Бид авдаг

Тиймээс, ээлжээр (3), аль нь

Бид параболын тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авсан шинэ координатын системд шилжсэн.

(Зураг 77).

(1) тэгшитгэл рүү буцъя. Энэ нь параболын тодорхойлолт болж чадна. Түүний хамгийн энгийн шинж чанаруудыг эргэн санацгаая. Муруй нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй: хэрэв цэг нь тэгшитгэлийг (1) хангаж байвал ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад M цэгтэй тэгш хэмтэй цэг мөн тэгшитгэлийг (1) хангана - муруй нь ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (Зураг 76). .

Хэрэв бол парабол (1) нь абсцисса тэнхлэгтэй нэг нийтлэг О цэгтэй дээд хагас хавтгайд байрладаг.

Абсциссагийн үнэмлэхүй утгыг хязгааргүй өсгөхөд ординат нь мөн хязгааргүй нэмэгддэг. Муруйн ерөнхий дүр төрхийг Зураг дээр үзүүлэв. 76, а.

Хэрэв (Зураг 76, б) бол муруй нь муруйн абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй доод хагас хавтгайд байрлана.

Хэрэв бид ординатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлийг эсрэгээр сольж хуучин координатын шинэ системд шилжвэл хуучин систем дэх у тэгшитгэлтэй парабола шинэ системд y тэгшитгэлийг хүлээн авна. координатын систем. Тиймээс параболыг судлахдаа бид (1) тэгшитгэлээр өөрсдийгөө хязгаарлаж болно.

Эцэст нь тэнхлэгүүдийн нэрийг өөрчилье, өөрөөр хэлбэл ординатын тэнхлэг нь хуучин абсцисса тэнхлэг, абсцисса тэнхлэг нь хуучин ординатын тэнхлэг байх шинэ координатын системд шилжих болно. Энэхүү шинэ системд (1) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

Эсвэл тоогоор тэмдэглэсэн бол хэлбэрээр

(4) тэгшитгэлийг аналитик геометрт параболын каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг; Өгөгдсөн парабол (4) тэгшитгэлтэй тэгш өнцөгт координатын системийг каноник координатын систем (энэ параболын хувьд) гэж нэрлэдэг.

Одоо бид коэффициентийн геометрийн утгыг тогтоох болно. Үүнийг хийхийн тулд бид цэгийг авдаг

тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон параболын фокус (4) ба шулуун d шулуун гэж нэрлэдэг

Энэ шугамыг параболын директрис (4) гэж нэрлэдэг (78-р зургийг үз).

(4) параболын дурын цэг байя. (4) тэгшитгэлээс үзэхэд М цэгийн d чиглүүлэлтийн зай нь тоо юм.

F фокусаас М цэгийн зай нь F байна

Гэхдээ тиймээс

Тиймээс параболын бүх М цэгүүд нь түүний фокус ба чиглүүлэлтээс ижил зайд байна.

Үүний эсрэгээр (8) нөхцөлийг хангасан M цэг бүр парабол (4) дээр байрладаг.

Үнэндээ,

Тиймээс,

мөн хашилтыг нээж ижил нэр томъёог оруулсны дараа

Парабол (4) бүр нь F фокус ба энэ параболын d чиглүүлэлтээс ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал гэдгийг бид нотолсон.

Үүний зэрэгцээ бид (4) тэгшитгэл дэх коэффициентийн геометрийн утгыг тогтоов: тоо нь параболын фокус ба чиглүүлэлтийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Одоо F цэг ба энэ цэгийг дайрахгүй d шулууныг хавтгайд дур мэдэн өгсөн гэж үзье. Фокус F ба d чиглүүлэлттэй парабола байдгийг баталцгаая.

Үүнийг хийхийн тулд d шугамтай перпендикуляр F цэгээр (Зураг 79) g шугамыг зурна; хоёр шулууны огтлолцох цэгийг D гэж тэмдэглэе; зайг (өөрөөр хэлбэл F цэг ба шулуун d шугамын хоорондох зай) -аар тэмдэглэнэ.

Шулуун g шулууныг тэнхлэг болгон эргүүлж түүн дээрх DF чиглэлийг эерэг гэж авцгаая. Энэ тэнхлэгийг тэгш өнцөгт координатын системийн абсцисса тэнхлэг болгоцгооё, түүний гарал үүсэл нь сегментийн дундах O цэг юм.

Дараа нь d шулуун шугам мөн тэгшитгэлийг хүлээн авна.

Одоо бид сонгосон координатын системд параболын каноник тэгшитгэлийг бичиж болно.

Энд F цэг нь фокус байх ба d шулуун шугам нь параболын (4) директрис болно.

Парабола нь F цэг ба d шулуунаас ижил зайд орших М цэгүүдийн байрлал гэдгийг бид дээр тогтоосон. Тиймээс бид параболын ийм геометрийн (өөрөөр хэлбэл координатын системээс хамааралгүй) тодорхойлолтыг өгч болно.

Тодорхойлолт. Парабол гэдэг нь зарим нэг тогтмол цэгээс (параболын "фокус") болон зарим тогтмол шугамаас (параболын "шууд") ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.

Параболын фокус ба директрисын хоорондох зайг -ээр тэмдэглэснээр бид өгөгдсөн параболын хувьд каноник, өөрөөр хэлбэл параболын тэгшитгэл нь канон хэлбэртэй байдаг тэгш өнцөгт координатын системийг үргэлж олж болно.

Эсрэгээр, зарим тэгш өнцөгт координатын системд ийм тэгшитгэлтэй аливаа муруй нь парабол (геометрийн утгаараа сая тогтоогдсон) юм.

Параболын фокус ба директрисын хоорондох зайг фокусын параметр буюу параболын энгийн параметр гэж нэрлэдэг.

Фокусыг параболын чиглүүрт перпендикуляр дайран өнгөрөх шугамыг түүний фокусын тэнхлэг (эсвэл энгийн тэнхлэг) гэж нэрлэдэг; энэ нь параболын тэгш хэмийн тэнхлэг юм - энэ нь параболын тэнхлэг нь координатын систем дэх абсцисса тэнхлэг бөгөөд үүнтэй харьцуулахад параболын тэгшитгэл (4) хэлбэртэй байна.

Хэрэв цэг (4) тэгшитгэлийг хангаж байвал абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй цэг мөн энэ тэгшитгэлийг хангана.

Параболын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг; Энэ нь өгөгдсөн параболын каноник координатын системийн гарал үүсэл юм.

Параболын параметрийн өөр геометрийн тайлбарыг өгье.

Параболын тэнхлэгт перпендикуляр параболын фокусаар шулуун шугам татъя; энэ нь параболыг хоёр цэгээр огтолж (79-р зургийг үз) параболын фокусын хөвч гэж нэрлэгддэг хэсгийг (өөрөөр хэлбэл, параболын директрикстэй параболын фокусаар дамжин өнгөрөх хөвчийг) тодорхойлно. Фокусын хөвчний уртын хагас нь параболын параметр юм.

Үнэн хэрэгтээ фокусын хөвчний уртын хагас нь аль ч цэгийн ординатын үнэмлэхүй утга бөгөөд тус бүрийн абсцисса нь фокусын абсциссатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Тиймээс бид цэг бүрийн ординатын хувьд

Q.E.D.