Бие дээр үйлчилж буй бүх хүчний векторын нийлбэр тэгтэй тэнцүү бол бие амарч байна (эсвэл жигд ба шулуун хөдөлдөг). Хүчнүүд бие биенээ тэнцвэржүүлдэг гэж тэд хэлдэг. Бид тодорхой геометрийн хэлбэртэй биетэй харьцах үед үүссэн хүчийг тооцоолохдоо бүх хүчийг биеийн массын төвд хэрэглэж болно.
Биеийн тэнцвэрт байдлын нөхцөл
Эргэдэггүй бие тэнцвэрт байдалд байхын тулд түүнд үйлчлэх бүх хүчний үр дүн тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай.
F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0 .
Дээрх зураг нь хатуу биеийн тэнцвэрийг харуулж байна. Блок нь түүнд нөлөөлж буй гурван хүчний нөлөөн дор тэнцвэрт байдалд байна. F 1 → ба F 2 → хүчний үйлчлэлийн шугамууд О цэг дээр огтлолцоно. Таталцлын нөлөөллийн цэг нь биеийн массын төв C юм. Эдгээр цэгүүд нь нэг шулуун дээр байрлах ба үр дүнгийн хүчийг тооцоолохдоо F 1 →, F 2 → ба m g → C цэгт хүргэнэ.
Хэрэв бие нь тодорхой тэнхлэгийг тойрон эргэх боломжтой бол бүх хүчний үр дүн тэгтэй тэнцүү байх нөхцөл хангалтгүй.
Хүчний гар d нь хүчний үйлчлэлийн шугамаас түүнийг хэрэглэх цэг хүртэл татсан перпендикулярын урт юм. Хүчний момент M нь хүчний гар ба түүний модулийн үржвэр юм.
Хүчний момент нь биеийг тэнхлэгээ тойрон эргүүлэх хандлагатай байдаг. Биеийг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх мөчүүдийг эерэг гэж үздэг. Олон улсын SI систем дэх хүчний моментыг хэмжих нэгж нь 1 Ньютонметр юм.
Тодорхойлолт. Моментуудын дүрэм
Тогтмол эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биед хэрэглэсэн бүх моментуудын алгебрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү бол бие нь тэнцвэрт байдалд байна.
М 1 + М 2 + . . +Mn=0
Чухал!
Ерөнхий тохиолдолд биетүүд тэнцвэрт байдалд байхын тулд хоёр нөхцөл хангагдсан байх ёстой: үр дүнгийн хүч нь тэгтэй тэнцүү байх ба моментуудын дүрмийг дагаж мөрдөх ёстой.
Механикийн хувьд тэнцвэрийн янз бүрийн хэлбэрүүд байдаг. Тиймээс тогтвортой ба тогтворгүй, мөн ялгаагүй тэнцвэрийг хооронд нь ялгадаг.
Үл тоомсорлож буй тэнцвэрийн ердийн жишээ бол өнхөрч буй дугуй (эсвэл бөмбөг) бөгөөд хэрэв ямар нэгэн цэг дээр зогссон бол тэнцвэрт байдалд байх болно.
Тогтвортой тэнцвэр гэдэг нь биеийг тэнцвэрт байдалд буцаах хандлагатай жижиг хазайлт, хүч эсвэл хүчний моментууд үүсэх үед биеийн ийм тэнцвэрт байдал юм.
Тогтворгүй тэнцвэр гэдэг нь бага зэргийн хазайлттай, хүч ба моментууд нь биеийг тэнцвэргүй болгоход хүргэдэг тэнцвэрийн төлөв юм.
Дээрх зурагт бөмбөгний байрлал нь (1) - ялгаагүй тэнцвэр, (2) - тогтворгүй тэнцвэр, (3) - тогтвортой тэнцвэр юм.
Тогтмол эргэлтийн тэнхлэгтэй бие нь тайлбарласан тэнцвэрийн аль ч байрлалд байж болно. Хэрэв эргэлтийн тэнхлэг нь массын төвөөр дамжин өнгөрвөл ялгаагүй тэнцвэр үүснэ. Тогтвортой ба тогтворгүй тэнцвэрт байдалд массын төв нь эргэлтийн тэнхлэгийг дайран өнгөрөх босоо шулуун шугам дээр байрладаг. Массын төв нь эргэлтийн тэнхлэгээс доогуур байвал тэнцвэр тогтвортой байна. Тэгэхгүй бол эсрэгээрээ.
Тэнцвэрийн онцгой тохиолдол бол тулгуур дээрх биеийн тэнцвэр юм. Энэ тохиолдолд уян харимхай хүч нь нэг цэгээр дамжин өнгөрөх биш харин биеийн бүх суурь дээр тархдаг. Массын төвөөр татсан босоо шугам нь тулгуурын талбайг огтлох үед бие нь тэнцвэрт байдалд байна. Үгүй бол массын төвөөс гарах шугам нь тулгуур цэгүүдийг холбосон шугамаас үүссэн контур руу орохгүй бол бие нь хазайна.
Тулгуур дээрх биеийн тэнцвэрт байдлын жишээ бол алдарт "Пизагийн цамхаг" юм. Домогт өгүүлснээр Галилео Галилей биений чөлөөт уналтыг судлах туршилтаа хийхдээ тэндээс бөмбөг хаяжээ.
Цамхагийн массын төвөөс татсан шугам нь суурийн төвөөс ойролцоогоор 2.3 м зайтай огтлолцоно.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
ТОДОРХОЙЛОЛТ
Тогтвортой тэнцвэр- энэ нь тэнцвэрийн байрлалаас салж, өөртөө үлдээсэн бие өмнөх байрлалдаа буцаж ирэх тэнцвэр юм.
Энэ нь биеийг анхны байрлалаас аль ч чиглэлд бага зэрэг нүүлгэн шилжүүлэхэд биед үйлчилж буй хүчний үр дүн тэг биш болж, тэнцвэрийн байрлал руу чиглэсэн тохиолдолд тохиолддог. Жишээлбэл, бөмбөрцөг хэлбэрийн хотгорын ёроолд хэвтэж буй бөмбөг (Зураг 1 а).
ТОДОРХОЙЛОЛТ
Тогтворгүй тэнцвэр- энэ нь тэнцвэрт байдлаас гарч, өөртөө үлдээсэн бие нь тэнцвэрийн байрлалаас бүр илүү хазайх тэнцвэр юм.
Энэ тохиолдолд биеийг тэнцвэрийн байрлалаас бага зэрэг нүүлгэн шилжүүлэхэд түүнд хэрэглэсэн хүчний үр дүн нь тэг биш бөгөөд тэнцвэрийн байрлалаас чиглэгддэг. Жишээ нь гүдгэр бөмбөрцөг гадаргуугийн дээд цэгт байрлах бөмбөг (Зураг 1 b).
ТОДОРХОЙЛОЛТ
хайхрамжгүй тэнцвэр- энэ нь тэнцвэрийн байрлалаас гарч, өөрийн гэсэн төхөөрөмжид үлдсэн бие нь байрлалаа (төлөв) өөрчлөхгүй байх тэнцвэр юм.
Энэ тохиолдолд биеийг анхны байрлалаас бага зэрэг нүүлгэн шилжүүлэх үед биед үзүүлэх хүчний үр дүн тэгтэй тэнцүү хэвээр байна. Жишээлбэл, хавтгай гадаргуу дээр хэвтэж буй бөмбөг (Зураг 1c).
Зураг 1. Тулгуур дээрх биеийн тэнцвэрийн янз бүрийн хэлбэрүүд: a) тогтвортой тэнцвэр; б) тогтворгүй тэнцвэр; в) ялгаагүй тэнцвэр.
Биеийн статик ба динамик тэнцвэр
Хэрэв хүчний үйл ажиллагааны үр дүнд бие нь хурдатгал авахгүй бол тайван байх эсвэл шулуун шугамд жигд хөдөлж болно. Тиймээс бид статик болон динамик тэнцвэрийн тухай ярьж болно.
ТОДОРХОЙЛОЛТ
Статик тэнцвэр- энэ нь хэрэглэсэн хүчний нөлөөн дор бие амарч байх үеийн тэнцвэр юм.
Динамик тэнцвэр- энэ нь хүчний үйл ажиллагааны улмаас бие нь хөдөлгөөнөө өөрчлөхгүй байх үеийн тэнцвэр юм.
Кабель эсвэл ямар нэгэн барилгын байгууламж дээр өлгөөтэй дэнлүү нь статик тэнцвэрт байдалд байна. Динамик тэнцвэрийн жишээ болгон үрэлтийн хүч байхгүй үед тэгш гадаргуу дээр эргэлддэг дугуйг авч үзье.
« Физик - 10-р анги"
Хүчний агшин гэж юу байдгийг санаарай.
Бие ямар нөхцөлд амарч байна вэ?
Хэрэв бие нь сонгосон жишиг хүрээтэй харьцуулахад тайван байдалд байгаа бол энэ биеийг тэнцвэрт байдалд байна гэж хэлдэг. Барилга байгууламж, гүүр, тулгуур бүхий дам нуруу, машины эд анги, ширээн дээрх ном болон бусад олон биетүүд бусад биеэс хүч хэрэглэж байгаа хэдий ч амарч байна. Биеийн тэнцвэрт байдлын нөхцлийг судлах ажил нь механик инженерчлэл, барилга байгууламж, багаж хэрэгсэл болон бусад технологийн салбарт практик ач холбогдолтой юм. Бүх бодит биетүүд тэдэнд үйлчлэх хүчний нөлөөн дор хэлбэр, хэмжээгээ өөрчилдөг, эсвэл тэдний хэлснээр гажигтай байдаг.
Практикт тулгардаг олон тохиолдлуудад биеийн тэнцвэрт байдалд байх үеийн хэв гажилт нь ач холбогдолгүй байдаг. Эдгээр тохиолдолд хэв гажилтыг үл тоомсорлож, биеийг харгалзан тооцооллыг хийж болно туйлын хэцүү.
Товчхондоо бид туйлын хатуу биеийг нэрлэх болно хатуу биеэсвэл зүгээр л бие. Хатуу биеийн тэнцвэрийн нөхцлийг судалсны дараа бид тэдгээрийн хэв гажилтыг үл тоомсорлож болох тохиолдолд бодит биетүүдийн тэнцвэрийн нөхцлийг олох болно.
Үнэмлэхүй хатуу биений тодорхойлолтыг санаарай.
Үнэмлэхүй хатуу биетүүдийн тэнцвэрийн нөхцөлийг судалдаг механикийн салбарыг гэнэ. статик.
Статикийн хувьд биеийн хэмжээ, хэлбэрийг харгалзан үздэг бөгөөд энэ тохиолдолд зөвхөн хүчний үнэ цэнэ төдийгүй тэдгээрийн хэрэглээний цэгүүдийн байрлал чухал байдаг.
Эхлээд Ньютоны хуулиудыг ашиглан аливаа бие ямар нөхцөлд тэнцвэрт байдалд байхыг олж мэдье. Үүний тулд бүх биеийг олон тооны жижиг элементүүдэд хувааж, тус бүрийг материаллаг цэг гэж үзэж болно. Ердийнх шигээ бид бусад биеэс бие махбодид үйлчилж буй хүчийг гаднаас, мөн биеийн элементүүд өөрөө харилцан үйлчлэх хүчийг дотоод гэж нэрлэх болно (Зураг 7.1). Тэгэхээр 1.2-ын хүч нь 2-р элементээс 1-р элементэд үйлчлэх хүч юм. 2.1-ийн хүч нь 1-р элементийн 2-р элементэд үйлчилдэг. Эдгээр нь дотоод хүч юм; Эдгээрт мөн хүч 1.3 ба 3.1, 2.3 ба 3.2 орно. Ньютоны гурав дахь хуулийн дагуу дотоод хүчний геометрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой.
12 = - 21, 23 = - 32, 31 = - 13 гэх мэт.
Статик бол динамикийн онцгой тохиолдол, учир нь бусад биетүүд дээр хүч үйлчлэх үед хөдөлгөөний онцгой тохиолдол байдаг ( = 0).
Ерөнхийдөө элемент бүрт хэд хэдэн гадны хүчин үйлчилж болно. 1, 2, 3, гэх мэтээр бид 1, 2, 3, ... элементүүдэд тус тус нөлөөлж буй бүх гадны хүчийг ойлгох болно. Үүнтэй адилаар "1, "2, "3 гэх мэтээр дамжуулан бид 2, 2, 3, ... элементүүдэд тус тус хэрэглэсэн дотоод хүчний геометрийн нийлбэрийг (эдгээр хүчийг зурагт үзүүлээгүй), i.e.
" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... гэх мэт.
Хэрэв бие амарч байвал элемент бүрийн хурдатгал тэг болно. Тиймээс Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу аливаа элементэд үйлчлэх бүх хүчний геометрийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Тиймээс бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)
Эдгээр гурван тэгшитгэл бүр нь хатуу биеийн элементийн тэнцвэрт байдлыг илэрхийлдэг.
Хатуу биеийн тэнцвэрт байдлын эхний нөхцөл.
Хатуу биет тэнцвэрт байдалд байхын тулд түүнд үзүүлэх гадны хүч ямар нөхцлийг хангах ёстойг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг (7.1) нэмнэ.
(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.
Энэ тэгш байдлын эхний хаалтанд биед хэрэглэсэн бүх гадаад хүчний вектор нийлбэр, хоёр дахь нь - энэ биеийн элементүүдэд үйлчлэх бүх дотоод хүчний вектор нийлбэрийг бичнэ. Гэхдээ мэдэгдэж байгаагаар системийн бүх дотоод хүчний векторын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байдаг, учир нь Ньютоны гуравдахь хуулийн дагуу аливаа дотоод хүч нь үүнтэй тэнцүү хэмжээтэй, эсрэг чиглэлтэй хүчтэй тохирдог. Тиймээс сүүлчийн тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн биед хэрэглэсэн гадны хүчний геометрийн нийлбэр үлдэх болно.
1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)
Үнэмлэхүй хатуу биетийн хувьд (7.2) нөхцөлийг нэрлэнэ түүний тэнцвэрт байдлын эхний нөхцөл.
Энэ нь шаардлагатай, гэхдээ хангалттай биш юм.
Тиймээс хэрэв хатуу бие тэнцвэрт байдалд байгаа бол түүнд үйлчлэх гадны хүчний геометрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна.
Хэрэв гадны хүчний нийлбэр тэг байвал координатын тэнхлэг дээрх эдгээр хүчний проекцуудын нийлбэр мөн тэг болно. Ялангуяа OX тэнхлэг дээрх гадны хүчний төсөөллийн хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)
OY ба OZ тэнхлэг дээрх хүчний проекцын хувьд ижил тэгшитгэлийг бичиж болно.
Хатуу биеийн тэнцвэрт байдлын хоёр дахь нөхцөл.
(7.2) нөхцөл шаардлагатай боловч хатуу биетийн тэнцвэрт байдалд хангалтгүй гэдгийг баталцгаая. 7.2-р зурагт үзүүлсний дагуу ширээн дээр өөр өөр цэг дээр хэвтэж буй самбарт ижил хэмжээтэй, эсрэг чиглэлд чиглэсэн хоёр хүчийг хэрэглэцгээе. Эдгээр хүчний нийлбэр нь тэг байна:
+ (-) = 0. Гэхдээ самбар эргэлдэх болно. Үүнтэй адил тэнцүү хэмжээтэй, эсрэг чиглэлтэй хоёр хүч нь унадаг дугуй эсвэл машины жолооны хүрдийг эргүүлдэг (Зураг 7.3).
Хатуу биет тэнцвэрт байдалд байхын тулд гадны хүчний нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байхаас гадна өөр ямар нөхцөл хангагдсан байх ёстой вэ? Кинетик энергийн өөрчлөлтийн тухай теоремыг ашиглая.
Жишээлбэл, О цэг дээр хэвтээ тэнхлэгт нугастай савааны тэнцвэрийн нөхцөлийг олъё (Зураг 7.4). Энэхүү энгийн төхөөрөмж нь сургуулийн физикийн анхан шатны хичээлээс мэдэж байгаачлан анхны төрлийн хөшүүрэг юм.
Бариултай перпендикуляр хөшүүрэгт 1 ба 2-р хүчийг үзүүлье.
1 ба 2-р хүчнээс гадна хөшүүргийн тэнхлэгийн хажуугаас босоо дээш чиглэсэн хэвийн урвалын хүч 3-аар хөшүүрэг үйлчилдэг. Хөшүүрэг тэнцвэртэй байх үед бүх гурван хүчний нийлбэр тэг болно: 1 + 2 + 3 = 0.
Хөшүүргийг маш жижиг α өнцгөөр эргүүлэхэд гадны хүчний гүйцэтгэсэн ажлыг тооцоолъё. 1 ба 2-р хүчний хэрэглээний цэгүүд нь s 1 = BB 1 ба s 2 = CC 1 замуудын дагуу явагдана (α жижиг өнцгөөр BB 1 ба CC 1 нумануудыг шулуун сегмент гэж үзэж болно). 1-р хүчний А 1 = F 1 s 1 ажил эерэг, учир нь В цэг нь хүчний чиглэлд, харин 2-ын хүчний A 2 = -F 2 s 2 ажил сөрөг, учир нь С цэг чиглэлд хөдөлдөг. хүчний чиглэлийн эсрэг 2. Хүч 3 нь ямар ч ажил хийдэггүй, учир нь хэрэглэх цэг нь хөдөлдөггүй.
Явсан s 1 ба s 2 замыг радианаар хэмжсэн a хөшүүргийн эргэлтийн өнцгөөр илэрхийлж болно: s 1 = α|BO| ба s 2 = α|СО|. Үүнийг харгалзан ажлын илэрхийллүүдийг дараах байдлаар дахин бичье.
A 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
A 2 = -F 2 α|CO|.
1 ба 2-р хүчний хэрэглээний цэгүүдээр дүрслэгдсэн дугуй нумын BO ба СО радиусууд нь эдгээр хүчний үйлчлэлийн шугам дээрх эргэлтийн тэнхлэгээс доошилсон перпендикулярууд юм.
Та аль хэдийн мэдэж байгаагаар хүчний гар нь эргэлтийн тэнхлэгээс хүчний үйл ажиллагааны шугам хүртэлх хамгийн богино зай юм. Бид хүчний гарыг d үсгээр тэмдэглэнэ. Дараа нь |VO| = d 1 - хүчний гар 1 ба |СО| = d 2 - хүчний гар 2. Энэ тохиолдолд илэрхийлэл (7.4) хэлбэрийг авна
A 1 = F 1 αd 1, A 2 = -F 2 αd 2. (7.5)
Томъёо (7.5)-аас харахад хүч тус бүрийн ажил нь хүчний момент ба хөшүүргийн эргэлтийн өнцгийн үржвэртэй тэнцүү байна. Тиймээс ажлын илэрхийлэл (7.5) хэлбэрийг дахин бичиж болно
A 1 = M 1 α, A 2 = M 2 α, (7.6)
гадаад хүчний нийт ажлыг томъёогоор илэрхийлж болно
A = A 1 + A 2 = (M 1 + M 2)α. α, (7.7)
1-р хүчний момент нь эерэг ба M 1 = F 1 d 1-тэй тэнцүү (7.4-р зургийг үз), 2-р хүчний момент нь сөрөг бөгөөд M 2 = -F 2 d 2-тэй тэнцүү тул А ажлын хувьд бид. илэрхийлэл бичиж болно
A = (M 1 - |M 2 |)α.
Бие хөдөлж эхлэхэд түүний кинетик энерги нэмэгддэг. Кинетик энергийг нэмэгдүүлэхийн тулд гадны хүч ажил хийх ёстой, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд A ≠ 0 ба үүний дагуу M 1 + M 2 ≠ 0 байна.
Хэрэв гадны хүчний ажил тэг байвал биеийн кинетик энерги өөрчлөгдөөгүй (тэгтэй тэнцүү) бөгөөд бие нь хөдөлгөөнгүй хэвээр байна. Дараа нь
M 1 + M 2 = 0. (7.8)
Тэгшитгэл (7 8) байна хатуу биетийн тэнцвэрт байдлын хоёр дахь нөхцөл.
Хатуу бие тэнцвэрт байдалд байх үед түүнд үйлчлэх бүх гадны хүчний аль ч тэнхлэгтэй харьцуулахад моментуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна.
Тиймээс, дурын тооны гадаад хүчний хувьд туйлын хатуу биетийн тэнцвэрийн нөхцөл дараах байдалтай байна.
1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0.
Хоёрдахь тэнцвэрийн нөхцөлийг хатуу биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэлээс гаргаж болно. Энэ тэгшитгэлийн дагуу M нь биед үйлчлэх хүчний нийт момент, M = M 1 + M 2 + M 3 + ..., ε нь өнцгийн хурдатгал юм. Хэрэв хатуу бие хөдөлгөөнгүй бол ε = 0, тиймээс M = 0. Иймээс хоёр дахь тэнцвэрийн нөхцөл нь M = M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0 хэлбэртэй байна.
Хэрэв бие нь туйлын хатуу биш бол түүнд хэрэглэсэн гадны хүчний нөлөөн дор энэ нь тэнцвэрт байдалд үлдэхгүй байж болно, гэхдээ гадны хүчний нийлбэр ба тэдгээрийн аль ч тэнхлэгтэй харьцуулахад моментуудын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл, резинэн утаснуудын төгсгөлд ижил хэмжээтэй, утсан дээр эсрэг чиглэлд чиглэсэн хоёр хүчийг үзүүлье. Эдгээр хүчний нөлөөн дор хүйн тэнцвэрт байдалд орохгүй (утас сунасан), гэхдээ гадаад хүчний нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү ба хүйн аль ч цэгийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад тэдгээрийн моментуудын нийлбэр тэнцүү байна. тэг хүртэл.
Энэхүү лекц нь дараах асуудлуудыг хамарна.
1. Механик системийн тэнцвэрт байдлын нөхцөл.
2. Тэнцвэрийн тогтвортой байдал.
3. Тэнцвэрийн байрлалыг тодорхойлох, тэдгээрийн тогтвортой байдлыг судлах жишээ.
Эдгээр асуудлыг судлах нь "Машины эд анги" хичээлийн механик системийн тэнцвэрийн байрлалтай харьцуулахад хэлбэлзлийн хөдөлгөөнийг судлах, "Машин ба механизмын онол", "Материалын бат бэх" хичээлүүдийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай.
Механик системийн хөдөлгөөний чухал тохиолдол бол тэдгээрийн хэлбэлзлийн хөдөлгөөн юм. Хэлбэлзэл гэдэг нь механик системийн зарим байрлалтай холбоотой давтагдах хөдөлгөөн бөгөөд тодорхой хугацааны дараа тогтмол явагддаг. Курсын ажил нь механик системийн тэнцвэрт байрлалтай (харьцангуй эсвэл үнэмлэхүй) хэлбэлзлийн хөдөлгөөнийг судалдаг.
Механик систем нь зөвхөн тогтвортой тэнцвэрийн байрлалын ойролцоо хангалттай урт хугацаанд хэлбэлзэж чадна. Иймд хэлбэлзлийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг зохиохын өмнө тэнцвэрийн байрлалыг олж, тэдгээрийн тогтвортой байдлыг судлах шаардлагатай.
Механик системийн тэнцвэрт байдлын нөхцөл.
Боломжит шилжилтийн зарчмын дагуу (статикийн үндсэн тэгшитгэл) хамгийн тохиромжтой, хөдөлгөөнгүй, хязгаарлагдмал, голономик хязгаарлалтууд тавигдсан механик систем тэнцвэрт байдалд байхын тулд энэ систем дэх бүх ерөнхий хүчнүүд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. тэгтэй тэнцүү байна:
Хаана - харгалзах ерөнхий хүч j-өө ерөнхий координат;
с- механик систем дэх ерөнхий координатын тоо.
Хэрэв судалж буй системийн хувьд хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийг хоёр дахь төрлийн Лагранжийн тэгшитгэлийн хэлбэрээр эмхэтгэсэн бол боломжит тэнцвэрийн байрлалыг тодорхойлохын тулд ерөнхий хүчийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг ерөнхийлсөн хүчинтэй харьцуулан шийдвэрлэхэд хангалттай. координатууд.
Хэрэв механик систем боломжит хүчний талбарт тэнцвэрт байдалд байгаа бол (1) тэгшитгэлээс бид дараахь тэнцвэрийн нөхцлийг олж авна.
Тиймээс тэнцвэрийн байрлалд потенциал энерги нь туйлын утгатай байна. Дээрх томъёогоор тодорхойлсон тэнцвэр бүрийг практикт хэрэгжүүлэх боломжгүй юм. Тэнцвэрийн байрлалаас хазайх үед системийн зан төлөвөөс хамааран энэ байрлалын тогтвортой байдал эсвэл тогтворгүй байдлын тухай ярьдаг.
Тэнцвэрийн тогтвортой байдал
Тэнцвэрийн байрлалын тогтвортой байдлын тухай ойлголтын тодорхойлолтыг 19-р зууны төгсгөлд Оросын эрдэмтэн А.М.Ляпуновын бүтээлүүдэд өгсөн. Энэ тодорхойлолтыг авч үзье.
Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид ерөнхий координатуудыг цаашид тохиролцох болно q 1 , q 2 ,...,q с системийн тэнцвэрийн байрлалаас тоолно:
Хаана
Тэнцвэрийн байрлалыг дурын цөөн тооны хувьд тогтвортой гэж нэрлэдэгөөр дугаар олж чадах уу? , ерөнхий координат ба хурдны анхны утга нь хэтрэхгүй байх тохиолдолд:
системийн цаашдын хөдөлгөөний үед ерөнхий координат ба хурдны утга нь хэтрэхгүй байх болно .
Өөрөөр хэлбэл, системийн тэнцвэрт байдал q 1 = q 2 = ...= q s = 0 гэж нэрлэдэг тогтвортой, хэрэв үргэлж ийм хангалттай бага анхны утгыг олох боломжтой бол, энэ үед системийн хөдөлгөөнТэнцвэрийн байрлалын аль ч өгөгдсөн, дур зоргоороо жижиг хөршийг орхихгүй. Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий системийн хувьд системийн тогтвортой хөдөлгөөнийг фазын хавтгайд тодорхой дүрсэлж болно (Зураг 1).Тогтвортой тэнцвэрийн байрлалын хувьд бүс нутгаас эхлэн төлөөлөх цэгийн хөдөлгөөн [ ] , цаашид бүс нутгаас цааш явахгүй.
Зураг 1
Тэнцвэрийн байрлал гэж нэрлэдэг асимптотын хувьд тогтвортой , хэрэв цаг хугацааны явцад систем тэнцвэрийн байрлалд ойртвол, өөрөөр хэлбэл
Тэнцвэрийн байрлалын тогтвортой байдлын нөхцлийг тодорхойлох нь нэлээд төвөгтэй ажил тул бид өөрсдийгөө хамгийн энгийн тохиолдолд хязгаарлах болно: консерватив системийн тэнцвэрийн тогтвортой байдлыг судлах.
Ийм системийн тэнцвэрт байдлын тогтвортой байдлын хангалттай нөхцөлийг тодорхойлсон Лагранж-Дирихлетийн теорем : Хэрэв тэнцвэрт байрлалд системийн боломжит энерги нь тусгаарлагдсан минимумтай байвал консерватив механик системийн тэнцвэрт байдал тогтвортой байна. .
Механик системийн боломжит энерги тогтмол дотор тодорхойлогддог. Тэнцвэрийн байрлалд потенциал энерги тэгтэй тэнцүү байхаар энэ тогтмолыг сонгоцгооё.
P (0)=0.
Дараа нь нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий системийн хувьд шаардлагатай нөхцөл (2)-ын хамт тусгаарлагдсан минимум байх хангалттай нөхцөл нь нөхцөл болно.
Тэнцвэрийн байрлалд потенциал энерги нь тусгаарлагдсан минимумтай байдаг P (0)=0 , дараа нь энэ байрлалын зарим хязгаарлагдмал хөрш
P(q)=0.
Тогтмол тэмдэгтэй, бүх аргумент нь тэг байхад л тэгтэй тэнцүү функцуудыг дуудна. тодорхой. Иймээс механик системийн тэнцвэрийн байрлал тогтвортой байхын тулд энэ байрлалын ойролцоо потенциал энерги нь ерөнхий координатын эерэг тодорхой функц байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.
Шугаман систем ба тэнцвэрийн байрлалаас бага зэргийн хазайлт (шугаманжсан) байвал шугаман болгож бууруулж болох системүүдийн хувьд боломжит энергийг ерөнхий координатын квадрат хэлбэрээр дүрсэлж болно.
Хаана - ерөнхий хөшүүн байдлын коэффициентүүд.
Ерөнхий коэффициентүүдЭнэ нь боломжит энергийн цуваа тэлэлтээс эсвэл тэнцвэрийн байрлал дахь ерөнхий координатын хувьд потенциал энергийн хоёр дахь деривативын утгуудаас шууд тодорхойлж болох тогтмол тоонууд юм.
Томъёо (4)-ээс харахад хөшүүн байдлын ерөнхий коэффициентүүд нь индекстэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.
Үүний төлөө Тэнцвэрийн байрлалын тогтвортой байдлыг хангах хангалттай нөхцөлийг хангахын тулд потенциал энерги нь түүний ерөнхий координатын эерэг тодорхой квадрат хэлбэр байх ёстой.
Математикт байдаг Сильвестерийн шалгуур , энэ нь квадрат хэлбэрийн эерэг тодорхойлогдоход шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг бүрдүүлдэг. Хэрэв түүний коэффициентүүд болон түүний бүх үндсэн диагональ миноруудаас бүрдэх тодорхойлогч эерэг байвал квадрат хэлбэр (3) эерэг тодорхойлогдох болно, өөрөөр хэлбэл. хэрэв магадлал байгаа бол нөхцөлийг хангана
.....
Ялангуяа хоёр зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий шугаман системийн хувьд боломжит энерги ба Сильвестерийн шалгуурын нөхцөл нь дараах хэлбэртэй байна.
Үүнтэй адилаар, хэрэв потенциал энергийн оронд бууруулсан системийн боломжит энергийг харгалзан үзвэл харьцангуй тэнцвэрийн байрлалыг судлах боломжтой.
П Тэнцвэрийн байрлалыг тодорхойлох, тэдгээрийн тогтвортой байдлыг судлах жишээ
Зураг 2
Хоолойноос бүрдэх механик системийг авч үзье AB, энэ нь саваа юм ОО 1эргэлтийн хэвтээ тэнхлэгт холбогдсон ба хоолойн дагуу үрэлтгүй хөдөлж, цэгтэй холбогдсон бөмбөг Ахавартай хоолой (Зураг 2). Системийн тэнцвэрийн байрлалыг тодорхойлж, тэдгээрийн тогтвортой байдлыг дараах параметрүүдээр үнэлье: хоолойн урт. l 2 = 1 м , бариулын урт l 1 = 0,5 м . хэв гажилтгүй пүршний урт л 0 = 0.6 м пүршний хөшүүн чанар в= 100 Н/м. Хоолойн жин м 2 = 2 кг, саваа - м 1 = 1 кг ба бөмбөг - м 3 = 0.5 кг. Зай О.А.тэнцүү байна л 3 = 0.4 м.
Харж байгаа системийн потенциал энергийн илэрхийлэлийг бичье. Энэ нь таталцлын жигд талбарт байрлах гурван биеийн потенциал энерги болон гажигтай пүршний потенциал энергиэс бүрдэнэ.
Таталцлын талбар дахь биеийн потенциал энерги нь биеийн жин ба түүний хүндийн төвийн өндөр нь потенциал энерги тэгтэй тэнцүү гэж тооцогддог хавтгай дээрх үржвэртэй тэнцүү байна. Савааны эргэлтийн тэнхлэгийг дайран өнгөрөх хавтгайд потенциал энерги тэг байх ёстой О.О. 1, дараа нь таталцлын хувьд
Уян хатан хүчний хувьд потенциал энерги нь деформацийн хэмжээгээр тодорхойлогддог
Системийн боломжит тэнцвэрийн байрлалыг олцгооё. Тэнцвэрийн байрлал дахь координатын утгууд нь дараах тэгшитгэлийн системийн үндэс юм.
Хоёр зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий аливаа механик системд ижил төстэй тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэж болно. Зарим тохиолдолд системийн нарийн шийдлийг олж авах боломжтой. (5) системийн хувьд ийм шийдэл байхгүй тул тоон аргыг ашиглан үндсийг нь хайх хэрэгтэй.
Трансцендентал тэгшитгэлийн системийг (5) шийдэж, бид хоёр боломжит тэнцвэрийн байрлалыг олж авна.
Олж авсан тэнцвэрийн байрлалын тогтвортой байдлыг үнэлэхийн тулд бид ерөнхий координатын хувьд боломжит энергийн бүх хоёр дахь деривативуудыг олж, тэдгээрээс ерөнхий хатуу байдлын коэффициентийг тодорхойлно.
Биеийн тэнцвэрт байдлын нөхцөлийг судалдаг механикийн салбарыг статик гэж нэрлэдэг. Хамгийн хялбар арга бол туйлын хатуу бие, өөрөөр хэлбэл хэмжээс, хэлбэр нь өөрчлөгдөөгүй гэж үзэж болох биеийн тэнцвэрт байдлыг авч үзэх явдал юм. Үнэмлэхүй хатуу биетийн тухай ойлголт нь хийсвэрлэл юм, учир нь бүх бодит биетүүд нь тэдэнд үйлчлэх хүчний нөлөөн дор нэг хэмжээгээр гажигтай байдаг, өөрөөр хэлбэл хэлбэр, хэмжээ нь өөрчлөгддөг. Деформацийн хэмжээ нь биед үзүүлэх хүч болон биеийн өөрийн шинж чанар - түүний хэлбэр, хийсэн материалын шинж чанараас хамаарна. Практикт чухал ач холбогдолтой олон тохиолдлуудад деформаци бага байдаг бөгөөд туйлын хатуу биетийн тухай ойлголтыг ашиглах нь үндэслэлтэй байдаг.
Үнэмлэхүй хатуу биеийн загвар.Гэсэн хэдий ч деформацийн жижиг байдал нь биеийг туйлын хатуу гэж үзэх хангалттай нөхцөл биш юм. Үүнийг харуулахын тулд дараах жишээг авч үзье. Хоёр тулгуур дээр хэвтэж буй хавтанг (Зураг 140а) таталцлын нөлөөгөөр бага зэрэг нугалж байгаа хэдий ч туйлын хатуу биет гэж үзэж болно. Үнэн хэрэгтээ энэ тохиолдолд механик тэнцвэрийн нөхцөл нь хавтангийн хэв гажилтыг харгалзахгүйгээр тулгууруудын урвалын хүчийг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Гэхдээ хэрэв ижил самбар нь ижил тулгуур дээр байрладаг бол (Зураг 1406) туйлын хатуу биетэй байх санааг ашиглах боломжгүй болно. Үнэндээ гадна талын тулгуурууд нь ижил хэвтээ шугам дээр, дунд хэсэг нь арай доогуур байна. Хэрэв хавтан нь туйлын хатуу, өөрөөр хэлбэл, энэ нь огт бөхийхгүй бол дунд тулгуур дээр огт дарамт учруулахгүй. энэ нь илүү хүчтэй. Нөхцөл
Энэ тохиолдолд туйлын хатуу биетийн тэнцвэрт байдал нь тулгууруудын урвалын хүчийг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодоггүй, учир нь тэдгээр нь үл мэдэгдэх гурван хэмжигдэхүүнд хоёр тэгшитгэлд хүргэдэг.
Цагаан будаа. 140. Хоёр (а) ба гурван (б) тулгуур дээр хэвтэж буй самбарт үйлчлэх урвалын хүч.
Ийм системийг статик тодорхойгүй гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тооцоолохын тулд биеийн уян хатан шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай.
Дээр дурдсан жишээнээс харахад туйлын хатуу биетийн загварыг статикт хэрэглэх боломж нь тухайн биеийн шинж чанараар бус харин түүний байрлах нөхцлөөр тодорхойлогддог. Тиймээс авч үзсэн жишээн дээр нимгэн сүрэл ч гэсэн хоёр тулгуур дээр байрладаг бол туйлын хатуу биет гэж үзэж болно. Гэхдээ маш хатуу цацраг ч гэсэн гурван тулгуур дээр тулгуурласан бол туйлын хатуу биет гэж үзэх боломжгүй юм.
Тэнцвэрийн нөхцөл.Үнэмлэхүй хатуу биетийн тэнцвэрийн нөхцөл нь хурдатгал байхгүй үед динамик тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол юм, гэхдээ түүхэн статик нь динамикаас бараг хоёр мянган жилийн өмнө барилгын технологийн хэрэгцээнээс үүссэн. Инерцийн жишиг системд биенд үйлчлэх бүх гадны хүчний вектор нийлбэр ба эдгээр хүчний моментуудын вектор нийлбэр тэгтэй тэнцүү байвал хатуу бие тэнцвэрт байдалд байна. Эхний нөхцөл хангагдсан үед биеийн массын төвийн хурдатгал тэг болно. Хоёр дахь нөхцөл хангагдсан тохиолдолд эргэлтийн өнцгийн хурдатгал байхгүй болно. Тиймээс, хэрэв эхний үед бие нь амарч байсан бол цаашдаа тайван байх болно.
Ирээдүйд бид бүх үйлчлэгч хүчнүүд нэг хавтгайд оршдог харьцангуй энгийн системийг судлахаар хязгаарлагдах болно. Энэ тохиолдолд вектор нөхцөл
хоёр скаляр болгон бууруулна:
хэрэв бид хүчний үйл ажиллагааны хавтгайн тэнхлэгүүдийг байрлуулбал. Тэнцвэрийн нөхцөл (1) -д багтсан биед үйлчилж буй зарим гадны хүчийг тодорхойлж болно, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн модуль ба чиглэлийг мэддэг. Биеийн боломжит хөдөлгөөнийг хязгаарлаж буй холболт, тулгууруудын урвалын хүчний хувьд тэдгээр нь дүрмээр бол урьдчилан тодорхойлогдоогүй бөгөөд өөрсдөө тодорхойлогддог. Үрэлт байхгүй үед урвалын хүч нь биетүүдийн контакт гадаргуутай перпендикуляр байна.
Цагаан будаа. 141. Урвалын хүчний чиглэлийг тодорхойлох
Урвалын хүч.Заримдаа бондын урвалын хүчний чиглэлийг тодорхойлоход эргэлзээ төрдөг, жишээлбэл, Зураг. 141, аяганы гөлгөр хонхор гадаргуу дээр А цэгт, аяганы хурц ирмэг дээр В цэгт байрлах савааг харуулсан.
Энэ тохиолдолд урвалын хүчний чиглэлийг тодорхойлохын тулд та саваа аягатай холбоо барихад саад учруулахгүйгээр бага зэрэг хөдөлгөж болно. Урвалын хүч нь контактын цэг гулсаж буй гадаргууд перпендикуляр чиглэнэ. Тиймээс, А цэг дээр саваа дээр үйлчлэх урвалын хүч нь аяганы гадаргуутай перпендикуляр, В цэгт саваатай перпендикуляр байна.
Хүч чадлын мөч.Ямар нэг цэгтэй харьцуулахад хүчний момент M
O нь хүчний вектороор хүч хэрэглэх цэг хүртэл О-оос татсан радиус векторын вектор үржвэр юм
Хүчний моментийн M вектор нь векторууд байрлах хавтгайд перпендикуляр байна
Моментуудын тэгшитгэл.Хэрэв биед хэд хэдэн хүч үйлчилдэг бол хүчний моментуудтай холбоотой хоёр дахь тэнцвэрийн нөхцөлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
Энэ тохиолдолд радиус векторуудыг татах О цэгийг бүх үйлчлэгч хүчинд нийтлэг байхаар сонгох ёстой.
Хавтгай хүчний системийн хувьд моментуудыг нэг хавтгайд байрлах цэгтэй харьцангуй гэж үзвэл бүх хүчний момент векторууд нь хүч байрлах хавтгайд перпендикуляр чиглэнэ. Тиймээс моментуудын вектор нөхцөлийг (4) нэг скаляр болгон бууруулна: тэнцвэрт байрлалд бүх гадаад үйлчлэгч хүчний моментуудын алгебрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна. О цэгтэй харьцуулахад хүчний моментийн модуль нь модулийн үржвэртэй тэнцүү байна
О цэгээс хүч үйлчлэх шугам хүртэлх зайд байгаа хүч Энэ тохиолдолд биеийг цагийн зүүний дагуу эргүүлэх хандлагатай байгаа моментуудыг ижил тэмдгээр, цагийн зүүний эсрэг - эсрэг тэмдгээр авна. Хүчний моментийг харгалзан үзэх цэгийн сонголтыг зөвхөн тохиромжтой байдлын үүднээс хийдэг: моментуудын тэгшитгэл нь илүү хялбар байх тусам илүү олон хүч нь тэгтэй тэнцүү байх болно.
Тэнцвэрийн жишээ.Туйлын хатуу биетийн тэнцвэрийн нөхцлийн хэрэглээг харуулахын тулд дараах жишээг авч үзье. Хөнгөн шат нь дээд талдаа нугастай, сууринд олсоор бэхлэгдсэн хоёр ижил хэсгээс бүрдэнэ (Зураг 142). Хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь дунд R жинтэй хүн зогсож байвал олсны суналтын хүч гэж юу болохыг, шатны хагас нь нугас дээр ямар хүчээр харилцан үйлчилж, шалан дээр ямар хүчээр дарж байгааг тодорхойлъё.
Харгалзан үзэж буй систем нь хоёр хатуу биетээс бүрддэг - шатны хагас, тэнцвэрийн нөхцлийг системд бүхэлд нь болон түүний хэсгүүдэд хэрэглэж болно. Тэнцвэрийн нөхцлийг бүхэлд нь системд хэрэглэснээр шалны урвалын хүчийг олж болно (Зураг 142). Үрэлт байхгүй үед эдгээр хүч нь босоо дээшээ чиглэсэн бөгөөд гадаад хүчний векторын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байх нөхцөл (1) хэлбэрийг авна.
А цэгтэй харьцуулахад гадны хүчний моментуудын тэнцвэрийн нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ.
Шатны урт, шалтай шатаар үүссэн өнцөг хаана байна. (5) ба (6) тэгшитгэлийн системийг шийдэж бид олдог
Цагаан будаа. 142. Тэнцвэрт байгаа гадаад хүчний векторын нийлбэр ба гадаад хүчний моментуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна.
Мэдээжийн хэрэг, (6) А цэгийн моментуудын тэгшитгэлийн оронд В цэгийн (эсвэл өөр ямар ч цэг) моментуудын тэгшитгэлийг бичиж болно. Үүний үр дүнд ашигласан систем (5) ба (6)-тай тэнцэх тэгшитгэлийн систем бий болно.
Олсны суналтын хүч ба нугас дахь харилцан үйлчлэлийн хүч нь авч үзэж буй физик системийн дотоод шинж чанартай тул бүхэл системийн тэнцвэрийн нөхцлөөс тодорхойлох боломжгүй юм. Эдгээр хүчийг тодорхойлохын тулд системийн бие даасан хэсгүүдийн тэнцвэрт байдлыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Үүний зэрэгцээ
Хүчний моментуудын тэгшитгэлийг бүрдүүлэх цэгийг амжилттай сонгосноор тэгшитгэлийн алгебрийн системийг хялбарчлах боломжтой болно. Жишээлбэл, энэ системд нугас байрладаг С цэгтэй харьцуулахад шатны зүүн хагаст үйлчилж буй хүчний моментуудын тэнцвэрийн нөхцөлийг авч үзэж болно.
С цэгийг сонгохдоо нугас дээр ажиллаж буй хүчийг энэ нөхцөлд оруулахгүй бөгөөд бид олсны T хүчийг нэн даруй олно.
Хаанаас, бид авсан тохиолдолд
Нөхцөл (7) нь үр дүнгийн хүч T нь C цэгээр дамждаг, өөрөөр хэлбэл, шатаар чиглүүлдэг гэсэн үг юм. Иймээс шатны энэ хагасын тэнцвэрт байдал нь нугас дээр түүн дээр үйлчлэх хүч нь мөн шатны дагуу чиглүүлсэн тохиолдолд л боломжтой болно (Зураг 143), түүний модуль нь T ба үр дүнгийн хүчний модультай тэнцүү байна.
Цагаан будаа. 143. Шатны зүүн хагаст үйлчлэх бүх гурван хүчний үйлчлэлийн шугамууд нэг цэгээр дамждаг.
Ньютоны 3-р хуульд үндэслэсэн шатны нөгөө хагасын нугас дээр үйлчилж буй хүчний үнэмлэхүй утга нь векторын чиглэлийн эсрэг чиглэлтэй байна . 143, гурван хүчний үйлчлэл дор бие тэнцвэрт байдалд байх үед эдгээр хүчний үйлчлэлийн шугамууд нэг цэгт огтлолцдогийг харгалзан үзнэ. Үнэн хэрэгтээ эдгээр гурван хүчний хоёрын үйлчлэлийн шугамын огтлолцох цэгийг авч үзээд энэ цэгийн моментуудын тэгшитгэлийг байгуулъя. Энэ цэгийн ойролцоох эхний хоёр хүчний моментууд тэгтэй тэнцүү байна; Энэ нь гуравдагч хүчний момент нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой гэсэн үг бөгөөд (3)-ын дагуу түүний үйл ажиллагааны шугам нь энэ цэгийг дайран өнгөрвөл л боломжтой болно.
Механикийн алтан дүрэм.Заримдаа статикийн асуудлыг тэнцвэрийн нөхцөлийг огт харгалзахгүйгээр шийдэж болно, гэхдээ үрэлтгүй механизмтай холбоотой энергийг хадгалах хуулийг ашиглан ямар ч механизм ажилд ашиг өгдөггүй. Энэ хууль
механикийн алтан дүрэм гэж нэрлэдэг. Энэ хандлагыг харуулахын тулд дараах жишээг авч үзье: хүнд жинтэй P жинтэй ачааг гурван холбоос бүхий жингүй нугас дээр түдгэлзүүлсэн байна (Зураг 144). А ба В цэгүүдийг холбосон утас ямар хурцадмал хүчийг тэсвэрлэх ёстой вэ?
Цагаан будаа. 144. Р жинтэй ачааг дааж байгаа гурван холбоос нугасны утас татах хүчийг тодорхойлох.
P ачааг өргөхийн тулд энэ механизмыг ашиглаад үзэцгээе. А цэг дээрх утсыг тайлж, B цэгийг аажмаар дээшлүүлснээр энэ зай нь T утасны суналтын хүч өөрчлөгдөхгүй байх ёстой хөдөлгөөний үеэр. Энэ тохиолдолд хариултаас тодорхой байх болно, T хүч нь нугас хэр их шахагдсан эсвэл сунахаас огт хамаардаггүй. Хийсэн ажил. Үүний үр дүнд P ачаалал нь геометрийн үндэслэлээс тодорхой харагдаж байгаа өндөрт хүрдэг бөгөөд энэ нь үрэлт байхгүй үед энергийн алдагдал гарахгүй тул ачааллын боломжит энергийн өөрчлөлт тодорхойлогддог гэж үзэж болно. өргөх явцад хийсэн ажлаар . Тийм ч учраас
Мэдээжийн хэрэг, дурын тооны ижил холбоос агуулсан нугасны хувьд,
Утасны суналтын хүчийг олох нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд нугасны жинг харгалзан үзэх шаардлагатай тохиолдолд өргөх явцад хийсэн ажлыг боломжит энергийн өөрчлөлтийн нийлбэртэй тэнцүүлэх ёстой. ачаалал ба нугас. Ижил холбоосуудын нугасны хувьд түүний массын төв нь Тиймийн дагуу өсдөг
Хөдөлгөөний явцад боломжит энерги өөрчлөгдөөгүй, хүчийг хувиргах механизмыг ашиглах үед боловсруулсан зарчим ("механикийн алтан дүрэм") мөн хамаарна. Хурдны хайрцаг, дамжуулалт, хаалга, хөшүүрэг, блокуудын систем - ийм бүх системд хөрвүүлсэн хүчийг хөрвүүлсэн болон хэрэглэсэн хүчний ажлыг тэнцүүлэх замаар тодорхойлж болно. Өөрөөр хэлбэл, үрэлт байхгүй тохиолдолд эдгээр хүчний харьцаа нь зөвхөн төхөөрөмжийн геометрээр тодорхойлогддог.
Дээр дурдсан шаттай жишээг энэ үүднээс авч үзье. Мэдээжийн хэрэг, шатыг өргөх механизм болгон ашиглах, өөрөөр хэлбэл шатны хагасыг ойртуулж хүнийг өргөх нь бараг тохиромжгүй юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь олсны суналтын хүчийг олохын тулд тайлбарласан аргыг хэрэглэхэд саад болохгүй. Шатны хэсгүүд нь шатан дээрх хүний боломжит энергийн өөрчлөлттэй нийлэх үед гүйцэтгэсэн ажлыг тэнцүүлэх, геометрийн үүднээс авч үзвэл, шатны доод талын хөдөлгөөнийг ачааллын өндрийн өөрчлөлттэй холбох. (Зураг 145), бид өмнө нь өгөгдсөн үр дүнг олж авна.
Өмнө дурьдсанчлан хөдөлгөөнийг сонгох хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр үйл ажиллагааны явцад ажиллах хүчийг тогтмол гэж үзэж болно. Нугастай жишээн дээр утаснуудын хурцадмал байдал нь өнцгөөс хамаардаггүй тул энэ нөхцөл нь хөдөлгөөнд хязгаарлалт тавьдаггүй гэдгийг харахад хялбар байдаг (Зураг 144). Эсрэгээр, гишгүүрийн асуудалд олсны суналтын хүч нь a өнцгөөс хамаардаг тул шилжилтийг бага байхаар сонгох хэрэгтэй.
Тэнцвэрийн тогтвортой байдал.Тэнцвэр нь тогтвортой, тогтворгүй, хайхрамжгүй байж болно. Тэнцвэрийн байрлалаас биеийг бага зэрэг хөдөлгөхөд үйлчилж буй хүчнүүд түүнийг буцаах хандлагатай бол тэнцвэр тогтвортой (Зураг 146а), хэрэв хүч тэнцвэрийн байрлалаас цааш авбал тогтворгүй (Зураг 1466).
Цагаан будаа. 145. Шатны доод үзүүрүүдийн хөдөлгөөн ба шатны хагас нийлэх үеийн ачааны хөдөлгөөн.
Цагаан будаа. 146. Тогтвортой (а), тогтворгүй (б) ба ялгаагүй (в) тэнцвэрт байдал
Хэрэв жижиг шилжилтийн үед биед үйлчилж буй хүч ба тэдгээрийн моментууд тэнцвэртэй хэвээр байвал тэнцвэр нь хайхрамжгүй байна (Зураг 146c). Үл хамаарах тэнцвэрт байдалд биеийн зэргэлдээ байрлалууд нь мөн тэнцвэртэй байдаг.
Тэнцвэрийн тогтвортой байдлыг судлах жишээг авч үзье.
1. Тогтвортой тэнцвэрт байдал нь биеийн зэргэлдээ байрлал дахь утгуудтай харьцуулахад биеийн хамгийн бага боломжит энергитэй тохирч байна. Энэ шинж чанарыг ихэвчлэн тэнцвэрийн байрлалыг олох, тэнцвэрийн мөн чанарыг судлахад ашиглахад тохиромжтой байдаг.
Цагаан будаа. 147. Биеийн тэнцвэрийн тогтвортой байдал, массын төвийн байрлал
Босоо босоо багана нь тогтвортой тэнцвэрт байдалд байна, учир нь жижиг налуу үед түүний массын төв нь дээшилдэг. Энэ нь массын төвийн босоо проекц нь тулгуур хэсгээс хэтрэх хүртэл тохиолддог, өөрөөр хэлбэл босоо тэнхлэгээс хазайх өнцөг нь тодорхой дээд хэмжээнээс хэтрэхгүй байна. Өөрөөр хэлбэл, тогтвортой байдлын бүс нь боломжит хамгийн бага энергиэс (босоо байрлалд) түүнд хамгийн ойр байх хамгийн дээд цэг хүртэл үргэлжилдэг (Зураг 147). Массын төв нь тулгуур хэсгийн хилээс яг дээгүүр байрлах үед багана нь мөн тэнцвэрт байдалд байгаа боловч тогтворгүй байна. Хэвтээ хэвтэх багана нь тогтвортой байдлын илүү өргөн хүрээтэй нийцдэг.
2. Радиустай хоёр дугуй харандаа байдаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь хэвтээ байрлалтай, нөгөө нь харандааны тэнхлэгүүд харилцан перпендикуляр байхаар хэвтээ байрлалд тэнцвэржүүлсэн байна (Зураг 148a). Тэнцвэрт радиусуудын хооронд ямар харьцаа тогтвортой байх вэ? Дээд талын харандааг хэвтээгээс хамгийн ихдээ ямар өнцгөөр хазайж болох вэ? Харандааны үрэлтийн коэффициент нь хоорондоо тэнцүү байна
Өнгөц харахад дээд харандааны массын төв нь эргэн тойрондоо эргэлдэх тэнхлэгээс дээгүүр байрладаг тул дээд харандааны тэнцвэр нь ерөнхийдөө тогтворгүй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ энд эргэлтийн тэнхлэгийн байрлал өөрчлөгдөхгүй хэвээр байгаа тул энэ тохиолдолд тусгай судалгаа шаардлагатай. Дээд талын харандаа нь хэвтээ байрлалд тэнцвэртэй байдаг тул харандааны массын төвүүд энэ босоо дээр байрладаг (Зураг).
Дээд талын харандааг хэвтээ тэнхлэгээс тодорхой өнцгөөр хазайлгъя. Статик үрэлт байхгүй тохиолдолд тэр даруй доошоо гулсдаг. Одоогийн байдлаар гулсалтын талаар бодохгүй байхын тулд үрэлт нь нэлээд том байна гэж таамаглах болно. Энэ тохиолдолд дээд харандаа нь гулсахгүйгээр доод харандаа дээр "эргэдэг". А байрлалаас тулгуур цэг нь шинэ С байрлал руу шилжиж, хазайлтаас өмнө дээд харандаа доод хэсэгт байрлах цэг.
B байрлалд очно. Халтиргаагүй тул нумын урт нь сегментийн урттай тэнцүү байна.
Цагаан будаа. 148. Дээд талын харандаа нь доод харандаа дээр хэвтээ байдлаар тэнцвэрждэг (a); тэнцвэрийн тогтвортой байдлын судалгаанд (b)
Дээд харандааны массын төв байрлал руу шилждэг. Хэрэв дундуур татсан босоо шугам нь шинэ тулгуур цэгийн C-ийн зүүн талд өнгөрвөл таталцлын хүч нь дээд харандааг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хандлагатай байдаг.
Энэ нөхцлийг математикийн аргаар илэрхийлье. В цэгээр босоо шугам татахад бид нөхцөл хангагдсан байх ёстойг харж байна
(8) нөхцөлөөс бид олж авдаг
Таталцлын хүч нь зөвхөн дээд харандааг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хандлагатай байдаг тул доод харандаа дээрх дээд харандаа тогтвортой тэнцвэрт байдал нь түүний радиус нь доод харандааны радиусаас бага үед л боломжтой юм.
Үрэлтийн үүрэг.Хоёрдахь асуултанд хариулахын тулд хазайлтын зөвшөөрөгдөх өнцгийг ямар шалтгаанаар хязгаарлаж байгааг олж мэдэх хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, хазайлтын том өнцгөөр дээд харандааны массын төвөөр татсан босоо нь тулгуур цэгийн C-ийн баруун тийш дамжиж болно. (9) нөхцөлөөс харахад харандааны радиусуудын өгөгдсөн харьцаанд хазайлтын хамгийн их өнцөг
Хатуу биеийн тэнцвэрийн нөхцөл нь урвалын хүчийг тодорхойлоход үргэлж хангалттай байдаг уу?
Үрэлт байхгүй үед урвалын хүчний чиглэлийг хэрхэн яаж тодорхойлох вэ?
Тэнцвэрийн нөхцөлийг шинжлэхдээ механикийн алтан дүрмийг хэрхэн ашиглах вэ?
Зурагт үзүүлсэн нугасанд байгаа бол. 144, А ба В цэгүүдийг утсаар биш харин А ба С цэгүүдийг холбовол түүний хурцадмал хүч хэд байх вэ?
Системийн тэнцвэрийн тогтвортой байдал нь түүний потенциал энергитэй хэрхэн холбоотой вэ?
Хавтгай дээр тогтсон биеийн тогтвортой байдлыг алдагдуулахгүйн тулд гурван цэгт байрлах биеийн хазайлтын хамгийн их өнцгийг ямар нөхцөлөөр тодорхойлдог вэ?
