х дуудсан

1.2.3. Үржүүлэхийн товчилсон тэмдэгтүүдийг ашиглах

Жишээ. Хүчин зүйл x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Олон гишүүнт үндсийг нь ашиглан үржүүлэх

Теорем. P x олон гишүүнт үндэс x 1 байг. Дараа нь энэ олон гишүүнтийг дараах байдлаар үржвэрлэж болно: P x x x 1 S x, энд S x нь зэрэг нь нэгээс бага олон гишүүнт юм.

утгыг P x-ийн илэрхийлэл болгон хувиргах үед бид x 2-ыг олж авна.

илэрхийлэл нь 0, өөрөөр хэлбэл P 2 0 болж хувирах бөгөөд энэ нь x 2 нь олон тооны үндэс гэсэн үг юм.

гишүүн. P x олон гишүүнтийг x 2-т хуваа.

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10 х	x2 x12
	24 10 х

12х 2412х 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Бүрэн квадратыг сонгох

Бүрэн квадратыг сонгох арга нь a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 гэсэн томъёог ашиглахад суурилдаг.

Бүрэн квадратыг тусгаарлах нь өгөгдсөн гурвалсан гишүүнийг хоёр гишүүний квадратын нийлбэр эсвэл зөрүү ба зарим тоон эсвэл цагаан толгойн илэрхийлэлийн b 2 хэлбэрээр илэрхийлсэн таних тэмдгийн хувиргалт юм.

Хувьсагчийн хувьд квадрат гурвалжин нь хэлбэрийн илэрхийлэлийг өгдөг

ax 2 bx c , энд a , b ба c тоонууд өгөгдсөн бөгөөд a 0 .

Квадрат гурвалсан сүх 2 bx c-ийг дараах байдлаар хувиргацгаая.

x2:

коэффициент

Дараа нь бид b x илэрхийлэлийг 2b x (бүтээгдэхүүнийг 2 дахин) илэрхийлнэ

x ):a x

Хаалтанд байгаа илэрхийлэлд бид үүнээс тоог нэмж, хасдаг

Энэ нь тооны квадрат юм

Үүний үр дүнд бид:

Одоо л анзаарч байна

Бид авдаг

4a 2

Жишээ. Бүрэн квадратыг сонгоно уу.

2 х 12

2х 2 4х 5 2х 2 2х 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтүүд

Нэг хувьсагчийн олон гишүүнт гэх мэт хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтүүдийг нэмж, үржүүлж, байгалийн хүчин чадалд өсгөж болно.

Хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтийг таних чухал хувирал бол хүчин зүйлчлэл юм. Энд нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах, бүлэглэх, товчилсон үржүүлгийн таних тэмдэг ашиглах, бүтэн квадратыг тусгаарлах, туслах хувьсагчдыг оруулах зэрэг хүчин зүйлчлэлийг ашигладаг.

1. P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 олон гишүүнтийг үржүүл.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Хүчин зүйл P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Бүлэглэх аргыг хэрэглэцгээе

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Хүчин зүйл P x ,y x 4 4y 4 . Бүрэн квадратыг сонгоцгооё:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Аливаа рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд

Аливаа рационал илтгэгчтэй зэрэг нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	a r 1	ар 1


		br 1

a 0;b 0;r 1;r 2 нь дурын рационал тоонууд.

1. 8-ыг үржүүл

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Хүчин зүйлд хуваах

2х3

1.6. Өөрөө хийх дасгалууд

1. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан үйлдлийг гүйцэтгэнэ. 1) a 52;

2) 3 a 72 ;

3) a nb n2.

4) 1 x 3;

	3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2;

8) а нб ка кб на нб ка кб н.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Товчилсон үржүүлгийн таних тэмдгийг ашиглан тооцоол:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Хэн болохыг нотлох:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Дараах олон гишүүнтүүдийг үржүүлээрэй.

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 м 4н 327 м 3н 445 м 5н 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2;

9) 121 n 2 3n 2t 2;

10) 4 т 2 20тн 25н 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 сүх 3 45 сүх 2 45 сүх 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;

19) 1000 т 3 27т 6 .

5. Хамгийн энгийн аргаар тооцоол:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Олон гишүүнтийн хэсэг ба үлдэгдлийг ол P x олон гишүүнт Q x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Олон гишүүнт гэдгийг батал x 2 2x 2 нь жинхэнэ үндэсгүй.

8. Олон гишүүнтийн язгуурыг ол:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Хүчин зүйл:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Бүрэн квадратыг тусгаарлах замаар тэгшитгэлийг шийд:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Илэрхийллийн утгыг ол:

		4 3 85

		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Тооцоол:

16 0,25

Тодорхойлолт

2 x 2 + 3 x + 5 хэлбэрийн илэрхийлэлийг квадрат гурвалжин гэж нэрлэдэг. Ерөнхийдөө гурвалсан квадрат нь a x 2 + b x + c хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд a, b, c a, b, c нь дурын тоо, a ≠ 0 байна.

x 2 - 4 x + 5 квадрат гурвалсан тоог авч үзье. Үүнийг дараах хэлбэрээр бичье: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Энэ илэрхийлэл дээр 2 2-ыг нэмээд 2 2-ыг хасвал: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 болно. x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, тэгэхээр x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 гэдгийг анхаарна уу. Бидний хийсэн өөрчлөлтийг гэж нэрлэдэг "квадрат гурвалсанаас төгс квадратыг тусгаарлах".

9 x 2 + 3 x + 1 квадрат гурвалжнаас төгс квадратыг тодорхойл.

9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x` гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Үүссэн илэрхийлэлд `(1/2)^2`-г нэмж хасвал бид авна

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Бид дөрвөлжин гурвалсан гишүүнээс төгс квадратыг тусгаарлах аргыг квадрат гурвалжны үржүүлэхэд хэрхэн ашигладаг болохыг харуулах болно.

4 x 2 - 12 x + 5 квадрат гурвалсан тоог үржүүлээрэй.

Бид квадрат гурвалсан хэсгээс төгс квадратыг сонгоно: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Одоо бид томъёог хэрэглэвэл a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , бид дараахийг авна: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1).

Квадрат гурвалсан тоог үржүүлээрэй - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Одоо бид 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2 гэдгийг анзаарч байна.

9 x 2 - 12 x илэрхийлэлд 2 2 гэсэн нэр томъёог нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 х - 2 2 .

Бид квадратуудын зөрүүний томъёог ашигладаг, бидэнд байна:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Квадрат гурвалсан гишүүнийг 3 x 2 - 14 x - 5 гэж тооц.

Бид 3 x 2 илэрхийлэлийг ямар нэг илэрхийллийн квадрат хэлбэрээр илэрхийлж чадахгүй, учир нь бид үүнийг сургуульд хараахан судалж амжаагүй байна. Та үүнийг дараа нь үзэх бөгөөд 4-р даалгаварт бид квадрат язгуурыг судлах болно. Өгөгдсөн квадрат гурвалжийг хэрхэн хүчин зүйлээр тооцохыг үзүүлье:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Квадрат гурвалсан гишүүний хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд төгс квадрат аргыг хэрхэн ашиглахыг бид танд үзүүлэх болно.
x 2 - x + 3 квадрат гурвалсан тоог авч үзье. Бүрэн квадратыг сонгоно уу:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. `x=1/2` үед квадрат гурвалсан гишүүний утга `11/4` байх ба `x!=1/2` үед `11/4`-ийн утга дээр эерэг тоо нэмэгдэхийг анхаарна уу. `11/ 4`-ээс их тоо авах. Иймээс квадрат гурвалсан гишүүний хамгийн бага утга нь `11/4` бөгөөд `x=1/2` үед гарна.

Квадрат гурвалжны хамгийн том утгыг ол - 16 2 + 8 x + 6.

Бид квадрат гурвалсан гишүүнээс төгс квадратыг сонгоно: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

`x=1/4` үед квадрат гурвалсан гишүүний утга 7 байх ба `x!=1/4` үед 7 тооноос эерэг тоог хасвал 7-оос бага тоо гарна. Тиймээс 7 тоо нь квадрат гурвалжны хамгийн том утга бөгөөд `x=1/4`-ээр олно.

`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлж, бутархайг багасга.

Бутархайн хуваагч х 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 гэдгийг анхаарна уу. Гурвалсан дөрвөлжин гишүүнээс бүтэн квадратыг тусгаарлах аргыг ашиглан бутархайн хүртэгчийг үржвэрлэе. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) .

Энэ бутархайг (x - 3)-аар бууруулсны дараа `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` хэлбэрт хүргэсэн бөгөөд бид `(x+5)/(x-3) авна. )`.

Олон гишүүнт x 4 - 13 x 2 + 36-г үржүүлээрэй.

Энэ олон гишүүнт бүрэн квадратыг тусгаарлах аргыг хэрэглэцгээе. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Онлайн тооцоолуур.
Хоёр гишүүний квадратыг салгаж, дөрвөлжин гурвалжны хүчин зүйлийг ялгах.

Энэ математикийн програм дөрвөлжин хоёр гишүүнийг квадрат гурвалсанаас ялгадаг, өөрөөр хэлбэл дараах өөрчлөлтийг хийдэг.
$ax^2+bx+c \баруун сум a(x+p)^2+q $ ба квадрат гурвалжийг үржвэржүүлэх: $ax^2+bx+c \баруун сум a(x+n)(x+m) $

Тэдгээр. $p, q$ ба $n, m$ тоонуудыг олох хүртэл асуудал гардаг.

Програм нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдвэрлэх үйл явцыг харуулдаг.

Энэхүү програм нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад шалгалт, шалгалтанд бэлдэх, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгээ шалгах, эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянахад хэрэг болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Хэрэв та квадрат гурвалжинд орох дүрмийг мэдэхгүй бол тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Квадрат олон гишүүнт оруулах дүрэм

Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.
Жишээ нь: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$ гэх мэт.

Тоонуудыг бүхэл болон бутархай тоогоор оруулж болно.
Түүнээс гадна бутархай тоог зөвхөн аравтын бутархай хэлбэрээр төдийгүй энгийн бутархай хэлбэрээр оруулж болно.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайн хувьд бутархай хэсгийг бүхэл хэсгээс цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээлбэл, та аравтын бутархайг дараах байдлаар оруулж болно: 2.5x - 3.5x^2

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн хүртэгч, хуваагч, бүхэл тоон хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.

Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Бүхэл хэсгийг бутархайгаас амперсанд тэмдгээр тусгаарлана. &
Оролт: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Үр дүн: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$

Илэрхийлэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд шийдвэрлэхдээ танилцуулсан илэрхийллийг эхлээд хялбаршуулсан болно.
Жишээ нь: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Нарийвчилсан шийдлийн жишээ

Хоёр гишүүний квадратыг тусгаарлах.$$ ax^2+bx+c \баруун сум a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \баруун)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\зүүн (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \баруун)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \баруун)^2 \баруун)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\зүүн(x+\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) $$ Хариулт:$$2х^2+2х-4 = 2\зүүн(x+\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) $$ Факторжуулалт.$$ ax^2+bx+c \баруун сум a(x+n)(x+m) $$ $2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\зүүн(x^2+x-2 \баруун) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \баруун) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Хариулт:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Шийдэх

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв та шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар бичиж болно Санал хүсэлтийн маягт.
Бүү март ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Хоёр гишүүний квадратыг дөрвөлжин гурвалсан гишүүнээс тусгаарлах

Хэрвээ дөрвөлжин гурвалсан тэнхлэг 2 +bx+c нь a(x+p) 2 +q хэлбэрээр дүрслэгдсэн бол p ба q нь бодит тоонууд бол бид дараахаас гэж хэлнэ. квадрат гурвалсан, хоёр гишүүний квадратыг тодруулсан.

2х 2 +12х+14 гурвалсан тооноос бид хоёр гишүүний квадратыг гаргаж авдаг.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Үүнийг хийхийн тулд 6x-ийг 2*3*x-ийн үржвэр гэж төсөөлөөд дараа нь 3 2-ыг нэмж хасах хэрэгтэй. Бид авах:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Тэр. Бид дөрвөлжин хоёр гишүүнийг дөрвөлжин гурвалсанаас гаргаж ав, мөн үүнийг харуулсан:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Квадрат гурвалжны коэффициент

Хэрэв квадрат гурвалсан тэнхлэг 2 +bx+c нь a(x+n)(x+m) хэлбэрээр дүрслэгдсэн бол n ба m нь бодит тоо бол үйлдлийг гүйцэтгэсэн гэж үзнэ. квадрат гурвалжны үржүүлэх.

Энэ хувиргалт хэрхэн хийгдсэнийг жишээгээр харуулъя.

2х 2 +4х-6 квадрат гурвалсан тоог үржүүлье.

А коэффициентийг хаалтнаас авч үзье, өөрөөр хэлбэл. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Хаалтанд байгаа илэрхийллийг хувиргацгаая.
Үүнийг хийхийн тулд 2x-ийг 3x-1x-ийн зөрүү, -3-ыг -1*3 гэж төсөөл. Бид авах:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Тэр. Бид квадрат гурвалжийг хүчинтэй болгов, мөн үүнийг харуулсан:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Квадрат гурвалсан гишүүнд харгалзах квадрат тэгшитгэл үндэстэй үед л үржвэрлэх боломжтой гэдгийг анхаарна уу.
Тэдгээр. манай тохиолдолд 2х 2 +4х-6 =0 квадрат тэгшитгэл язгууртай бол 2х 2 +4х-6 гурвалсан тоог үржүүлэх боломжтой. Үржүүлэх үйл явцад бид 2x 2 + 4x-6 = 0 тэгшитгэл нь 1 ба -3 гэсэн хоёр үндэстэй болохыг тогтоосон. эдгээр утгуудаар 2(x-1)(x+3)=0 тэгшитгэл жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирна.