Зэрэгцээ шугамууд. Зэрэгцээ төсөөллийн шинж чанарууд нь дараахь зүйлийг агуулна. хоёр зэрэгцээ шугамын проекцууд хоорондоо параллель байна. Хэрэв (Зураг 78) шулуун AB нь CD шулуунтай параллель байвал проекцын хавтгайнууд? Тэгээд? хоорондоо параллель байх ба эдгээр хавтгай нь π 0 проекцийн хавтгайтай огтлолцох үед A 0 B 0 ба C 0 D 0 проекцууд хоорондоо параллель болно.
Гэсэн хэдий ч A 0 B 0 || C 0 D 0 (Зураг 78), A 0 B 0 ба C 0 D 0 проекцууд нь хоорондоо параллель биш байж болно: жишээлбэл, AB шугам нь C 1 D 1 шугамтай параллель биш байна.
Зэрэгцээ проекцын заасан шинж чанаруудаас үзэхэд ийм байна Зэрэгцээ шугамын хэвтээ проекцууд хоорондоо параллель, урд талын проекцууд нь хоорондоо параллель, профиль проекцууд нь хоорондоо параллель байна..
Эсрэг дүгнэлт үнэн үү, өөрөөр хэлбэл, зураг дээр ижил нэртэй проекцууд нь хос хосоороо параллель байвал орон зай дахь хоёр шулуун параллель байх уу?
Тиймээ, хэрэв π 1, π 2 ба π 3 гэсэн гурван проекцын хавтгай тус бүр дээр параллель проекцуудыг өгвөл. Гэхдээ хэрэв бие биентэйгээ параллель шугамын проекцийг зөвхөн хоёр проекцын хавтгайд өгсөн бол огторгуй дахь шугамын параллелизм нь ерөнхий байрлал дахь шулуун шугамын хувьд үргэлж батлагддаг бөгөөд проекцын аль нэгтэй параллель шулуунуудын хувьд батлагдаагүй байж болно.
Жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 79. AB ба CD профилын шугамууд нь хоорондоо параллель A "B", A "B" ба CD, C "D" проекцуудаар өгөгдсөн боловч шулуун шугамууд нь өөрөө параллель биш - үүнийг эндээс харж болно. өгөгдсөн төсөөллийн дагуу баригдсан тэдгээрийн профайлын төсөөллийн харьцангуй байрлал.
Тэгэхээр, Асуултыг проекцын хавтгай дээрх шулуун шугамын проекцуудыг ашиглан өгөгдсөн шулуун шугамууд параллель байхаар шийдсэн..
Зураг дээр. Гурав дахь проекцийг бүтээхгүйгээр AB ба CD профилын шугамууд хоорондоо параллель биш гэдгийг тогтоох боломжтой тохиолдлыг 80-д харуулав: үсгийн тэмдэглэгээг солиход анхаарлаа хандуулах нь хангалттай юм.
Хэрэв өгөгдсөн А цэгээр дамжуулан өгөгдсөн LM шулуун шугамтай параллель шугам татах шаардлагатай бол (Зураг 81, зүүн) A цэгээр дамжуулан L"M"-тэй параллель шулуун шугам татах хүртэл барилгын ажил багасна. А цэгээр дамжин L"M"-тэй параллель шулуун шугам.
Зурагт үзүүлсэн тохиолдолд. Баруун талд 81 параллель шугамууд нь квадраттай перпендикуляр проекцын нийтлэг хавтгайд байрладаг. π 1. Тиймээс эдгээр шугамын хэвтээ төсөөлөл нь нэг шугам дээр байрладаг.
огтлолцсон шугамууд.Хэрэв шулуун шугамууд огтлолцох юм бол тэдгээрийн ижил нэртэй проекцууд нь эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн проекц болох цэг дээр огтлолцоно..
Үнэн хэрэгтээ (Зураг 82), хэрэв К цэг нь AB ба CD хоёр шулуунд хамаарах бол энэ цэгийн проекц нь эдгээр шугамын проекцуудын огтлолцлын цэг байх ёстой.
Зурган дээрх шулуун шугамууд хоорондоо огтлолцдог гэсэн дүгнэлтийг үргэлж холбоотой хийж болно шууд ерөнхий байрлал, проекцууд нь гурван эсвэл хоёр проекцын хавтгайд өгөгдсөн эсэхээс үл хамааран. Шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл бол зөвхөн уулзварын цэгүүд юм нэршил
проекцууд нь проекцын харгалзах тэнхлэгтэй ижил перпендикуляр байсан (Зураг 83) эсвэл төсөөллийн тэнхлэггүй зураг дээр (Зураг 84) эдгээр цэгүүд нь түүнд зориулж тогтоосон чиглэлийн холболтын шугам дээр байх болно.. Гэхдээ эдгээр шугамын аль нэг нь проекцын аль нэг хавтгайтай параллель бөгөөд зураг нь энэ хавтгай дээрх проекцуудыг харуулаагүй бол дээрх нөхцөл хангагдсан байсан ч ийм шугамууд хоорондоо огтлолцдог гэж маргаж болохгүй. Жишээлбэл, Зураг дээр өгөгдсөн тохиолдолд. 85, AB ба CD шулуун, тэдгээрийн CD нь π 3 квадраттай параллель шулуун шугамууд хоорондоо огтлолцохгүй; Үүнийг профайлын төсөөллийг бий болгох эсвэл сегментийг хуваах дүрмийг хэрэгжүүлэх замаар баталгаажуулж болно.
Зурагт үзүүлэв. 84 огтлолцох шугам нь квадраттай перпендикуляр нийтлэг проекцын хавтгайд байрладаг. π 2. Тиймээс эдгээр шугамуудын урд талын проекцууд нь нэг шугам дээр байрладаг.
Хөндлөнгийн шугамууд. Хөндлөн гарах шулуун шугамууд хоорондоо огтлолцохгүй, параллель байдаггүй. Зураг дээр. 86-д ерөнхий байрлалын огтлолцсон хоёр шугамыг харуулав: хэдийгээр ижил нэртэй проекцууд хоорондоо огтлолцож байгаа боловч тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг L"L" ба M"M" холболтын шугамтай параллель холболтын шугамаар холбож болохгүй, өөрөөр хэлбэл эдгээр шугамууд нь хоорондоо холбогддог. бие биенээ огтолж болохгүй. Зурагт үзүүлсэн шулуун шугамууд. 79, 80, 85, мөн гаталсан.
Бид огтлолцсон шугамуудын ижил проекцуудын огтлолцох цэгийг хэрхэн авч үзэх ёстой вэ? Энэ нь хоёр цэгийн төсөөллийг илэрхийлдэг бөгөөд тэдгээрийн нэг
Эхнийх нь, нөгөө нь эдгээр огтлолцсон шугамуудын хоёр дахь хэсэгт хамаарна. Жишээлбэл, Зураг дээр. 87, K” ба K" проекцтэй цэг нь AB шулуунд, L" ба L" проекц бүхий цэг нь CD шулуунд хамаарагдана. Эдгээр цэгүүд нь π 2 талбайгаас адилхан алслагдсан боловч талбайгаас тэдгээрийн зай π 1 нь ялгаатай: L "ба L" проекц бүхий цэг нь K" ба K" төсөөлөлтэй цэгээс π 1-ээс хол байна (Зураг 88).
M", M" ба N", N" проекц бүхий цэгүүд нь π 1 талбайгаас ижил зайтай боловч эдгээр цэгүүдийн π 2 талбайгаас зай нь өөр байна.
CD шулуун шугамд хамаарах L" ба L" проекц бүхий цэг нь квадраттай холбоотой AB шулуун шугамын K" ба K" проекц бүхий цэгийг хамарна. π 1; Харагдах чиглэлийг L" проекц дээр сумаар харуулав. π 2 квадраттай харьцуулахад CD шулуун шугамын N" ба N" проекц бүхий цэг нь "М" ба M" проекц бүхий цэгийг хамарна. AB шулуун шугамыг N проекц дээр доорхи сумаар харуулав.
"Хаалттай" цэгүүдийн төсөөллийн тэмдэглэгээг 1) хаалтанд оруулсан болно.
Зэрэгцээ шугамын тодорхойлолт. Зэрэгцээ гэдэг нь нэг хавтгайд байрлах ба бүхэл бүтэн уртын дагуу огтлолцдоггүй хоёр шулуун шугам юм.
AB ба CD шулуун шугамууд (Зураг 57) зэрэгцээ байна. Тэдгээр нь зэрэгцээ байгааг заримдаа бичгээр илэрхийлдэг: AB || CD.
Теорем 34. Гуравны нэгтэй перпендикуляр хоёр шулуун параллель байна.
AB-д перпендикуляр CD ба EF шулуун шугамууд өгөгдсөн (Зураг 58)
CD ⊥ AB ба EF ⊥ AB.
Тэр CD || гэдгийг батлах хэрэгтэй Э.Ф.
Баталгаа. Хэрэв CD ба EF шулуунууд параллель биш байсан бол M цэг дээр огтлолцох байсан. Энэ тохиолдолд М цэгээс AB шулуун руу хоёр перпендикуляр унах бөгөөд энэ нь боломжгүй юм (Теорем 11), иймээс CD || EF (ChTD).
Теорем 35. Нэг нь перпендикуляр, нөгөө нь гурав дахь нь налуу хоёр шулуун шугам үргэлж огтлолцдог.
EF ба CG хоёр шулуун шугам өгөгдсөн бөгөөд үүнээс EF ⊥ AB, CG нь AB руу налуу байна (Зураг 59).
CG нь EF шугамтай таарах эсвэл CG нь EF-тэй параллель биш гэдгийг батлах шаардлагатай.
Баталгаа. С цэгээс бид AB шугам руу перпендикуляр CD-г байгуулаад дараа нь С цэг дээр DCG өнцөг үүснэ, бид үүнийг маш олон удаа давтаж, CK шугам AB шугамаас доош унах болно. Энэ зорилгоор бид DCG өнцгийг n удаа давтан хийнэ гэж бодъё
Үүнтэй адилаар бид CE шугамыг AB мөрөнд n удаа зурж, CN = nCE болно.
C, E, L, M, N цэгүүдээс бид LL", MM, NN" перпендикуляруудыг байгуулна. CD, NN" хоёр зэрэгцээ сегмент ба CN сегментийн хоорондох зай нь тэдгээрийн хоорондох зайгаас n дахин их байх болно. хоёр перпендикуляр CD, EF ба CE сегмент, тиймээс DCNN" = nDCEF.
DCK өнцөгт агуулагдах зай нь DCNN орон зайг агуулж байгаа тул,
DCK > CDNN" эсвэл
nDCG > nDCEF, хаанаас
DCG > DCEF.
Сүүлчийн тэгш бус байдал нь зөвхөн CG шугам нь DCEF зайнаас гарах үед л тохиолдож болно, өөрөөр хэлбэл CG шугам нь EF шугамтай таарч байгаа тул CG шугам нь CF (CHT) -тай параллель биш юм.
Теорем 36. Нэг параллельтай перпендикуляр шулуун шугам нь нөгөөд нь перпендикуляр байна.
Өгөгдсөн хоёр зэрэгцээ AB ба CD шулуун ба CD-тэй перпендикуляр EF шугам (Зураг 60).
AB || CD, EF ⊥ CD
Бид EF ⊥ AB гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Баталгаа. Хэрэв AB шулуун EF рүү налуу байсан бол CD ба AB хоёр шулуун огтлолцох байсан, учир нь CD ⊥ EF ба AB нь EF (теорем 35), AB ба CD шугамууд параллель биш байх тул энэ нөхцөлтэй зөрчилдөх болно. EF шугам CD (CHT) -д перпендикуляр байна.
Хоёр шулуун шугамыг гурав дахь шулуун шугамаар огтолсноор үүссэн өнцөг. AB ба CD хоёр шулуун EF гурав дахь шулуун шугамтай огтлолцоход (Зураг 61) α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ гэсэн найман өнцөг үүснэ. Эдгээр өнцгүүдийг тусгай нэрээр нэрлэдэг.
α, β, ν, ρ гэсэн дөрвөн өнцгийг нэрлэдэг гадаад.
γ, δ, λ, μ гэсэн дөрвөн өнцгийг нэрлэнэ дотоод.
β, γ, μ, ν дөрвөн өнцөг ба α, δ, λ, ρ дөрвөн өнцгийг гэнэ. нэг талын, учир нь тэдгээр нь EF шулуун шугамын нэг талд оршдог.
Нэмж дурдахад өнцгүүдийг хосоор нь авахдаа дараахь нэрийг авна.
β ба μ өнцгийг дуудна тохиромжтой . Энэ хосоос гадна ижил харгалзах өнцөг нь хос өнцөг байх болно:γ ба ν, α ба λ, δ ба ρ.
δ ба μ өнцгүүдийн хос, түүнчлэн γ ба λ өнцгийг дууддаг дотоод хөндлөн худал .
β ба ρ, түүнчлэн α ба ν өнцгүүдийн хосыг дууддаг гадаад хөндлөн худал .
Хос өнцгүүдийг γ ба μ, түүнчлэн δ ба λ гэж нэрлэдэг дотоод нэг талт .
β ба ν өнцгүүдийн хос, түүнчлэн α ба ρ өнцгийг дууддаг гадаад нэг талт .
Хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл
Теорем 37. Гуравны нэгийг огтлохдоо 1) харгалзах өнцөг, 2) дотоод хөндлөн огтлол, 3) гадаад хөндлөн хэвтээ, эцэст нь 4) дотоод нэг талт шугамын нийлбэр байвал хоёр шулуун параллель байна. хоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү, 5) нэг талт гадна талын нийлбэр нь хоёр шулуун шугамтай тэнцүү.
Теоремын эдгээр хэсэг бүрийг тусад нь баталъя.
1-р тохиолдол. Харгалзах өнцөг нь тэнцүү байна(Зураг 62).
Өгсөн. β ба μ өнцгүүд тэнцүү байна.
Баталгаа. Хэрэв AB ба CD шулуунууд Q цэгт огтлолцсон бол GQH гурвалжин үүснэ, түүний гадаад β өнцөг нь μ дотоод өнцөгтэй тэнцүү байх ба энэ нь теорем 22-той зөрчилдөх тул AB ба CD шулуунууд огтлолцохгүй. эсвэл AB || CD (CHD).
2 дахь тохиолдол. Дотоод хөндлөн хэвтэх өнцөг нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл δ = μ.
Баталгаа. δ = β босоо байдлаар, δ = μ нөхцөлөөр, тиймээс β = μ байна. Өөрөөр хэлбэл, харгалзах өнцөг нь тэнцүү бөгөөд энэ тохиолдолд шугамууд зэрэгцээ байна (1-р тохиолдол).
3 дахь тохиолдол. Гадна хөндлөн хэвтэх өнцөг нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, β = ρ.
Баталгаа. Нөхцөлөөр β = ρ, μ = ρ нь босоо тул харгалзах өнцөг нь тэнцүү тул β = μ байна. Үүнээс үзэхэд AB || CD (1-р тохиолдол).
4-р тохиолдол. Дотоод нэг талтуудын нийлбэр нь хоёр шуудтай тэнцүү байнаэсвэл γ + μ = 2d.
Баталгаа. Зэргэлдээхүүдийн нийлбэрээр β + γ = 2d, нөхцөлөөр γ + μ = 2d. Тиймээс β + γ = γ + μ, үүнээс β = μ. Харгалзах өнцөг нь тэнцүү тул AB || CD.
5 дахь тохиолдол. Гадны нэг талын нийлбэр нь хоёр шуудтай тэнцүү байна, энэ нь β + ν = 2d байна.
Баталгаа. Зэргэлдээхүүдийн нийлбэрээр μ + ν = 2d, нөхцөлөөр β + ν = 2d. Тиймээс μ + ν = β + ν, үүнээс μ = β. Харгалзах өнцөг нь тэнцүү тул AB || CD.
Тиймээс бүх тохиолдолд AB || CD (CHD).
Теорем 38(урвуу 37). Хэрэв хоёр шулуун шугам параллель байвал гурав дахь шулуунтай огтлолцох үед дараахь тэнцүү байх болно: 1) дотоод хөндлөн хэвтэх өнцөг, 2) гадаад хөндлөн хэвтэх өнцөг, 3) харгалзах өнцөг ба хоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү, 4) дотоод нэг талт өнцгийн нийлбэр ба 5) гадаад нэг талт өнцгийн нийлбэр.
Өгөгдсөн хоёр зэрэгцээ шугам AB ба CD, өөрөөр хэлбэл AB || CD (Зураг 63).
Дээрх бүх нөхцөл хангагдсан эсэхийг нотлох шаардлагатай.
1-р тохиолдол. AB ба CD хоёр зэрэгцээ шугамыг EF гурав дахь налуу шугамаар огтолцгооё. EF шугамын AB ба CD шулуунуудын огтлолцох цэгүүдийг G ба H гэж тэмдэглэе. GH шугамын дунд цэгийн О цэгээс бид CD шулуунтай перпендикуляр буулгаж, AB шулууныг P цэгээр огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлнэ. CD-тэй перпендикуляр OQ шугам мөн AB-д перпендикуляр байна (Теорем 36). OPG ба OHQ тэгш өнцөгт гурвалжин тэнцүү байна, учир нь OG = OH бүтэцтэй, ∠ HOQ = ∠ POG нь босоо өнцгөөр, тиймээс OP = OQ.
Үүнээс үзэхэд δ = μ, i.e. дотоод хөндлөн огтлолын өнцөг тэнцүү байна.
2 дахь тохиолдол. Хэрэв AB || CD, дараа нь δ = μ, мөн δ = β, мөн μ = ρ тул β = ρ, өөрөөр хэлбэл. гадна хөндлөн хэвтэх өнцөг тэнцүү байна.
3 дахь тохиолдол. Хэрэв AB || CD, дараа нь δ = μ, δ = β тул β = μ, тиймээс, харгалзах өнцөг нь тэнцүү байна.
4-р тохиолдол. Хэрэв AB || CD, дараа нь δ = μ, δ + γ = 2d тул μ + γ = 2d, i.e. дотоод нэг талын нийлбэр нь хоёр шууд нэгтэй тэнцүү байна.
5 дахь тохиолдол. Хэрэв AB || CD, дараа нь δ = μ.
μ + ν = 2d, μ = δ = β тул ν + β = 2d, i.e. гадаад нэг талын нийлбэр нь хоёр шууд нэгтэй тэнцүү байна.
Эдгээр теоремуудаас дараахь зүйл гарч ирнэ үр дагавар. Нэг цэгээр дамжуулан та зөвхөн нэг шулуун шугамыг нөгөө шулуунтай параллель зурж болно.
Теорем 39. Гурав дахь параллель хоёр шугам нь хоорондоо параллель байна.
Өгөгдсөн гурван мөр (Зураг 64) AB, CD ба EF, үүнээс AB || EF, CD || Э.Ф.
Бид AB || гэдгийг батлах хэрэгтэй CD.
Баталгаа. Эдгээр шугамуудыг GH дөрөв дэх шулуун шугамаар огтолцгооё.
Хэрэв AB || EF, тэгвэл ∠ α = ∠ γ зохих ёсоор. Хэрэв CD || EF, тэгвэл ∠ β = ∠ γ түүнчлэн харгалзах. Тиймээс, ∠ α = ∠ β .
Хэрэв харгалзах өнцгүүд тэнцүү бол шулуунууд параллель байх тул AB || CD (CHD).
Теорем 40. Зэрэгцээ талуудтай ижил нэртэй өнцөг нь тэнцүү байна.
Ижил нэртэй ABC ба DEF өнцгүүд (цочмог эсвэл хоёулаа мохоо) өгөгдсөн, тэдгээрийн талууд нь параллель, өөрөөр хэлбэл AB ||; DE, BC || EF (Зураг 65).
Үүнийг нотлох шаардлагатай ∠ B= ∠ Э.
Баталгаа. DE талыг BC шугамыг G цэгээр огтолтол үргэлжлүүлье
∠ E = ∠ Гурав дахь шулуун шугамын DG-ийн BC ба EF-тэй параллель талуудын огтлолцолд тохирсон G.
∠ B = ∠ G нь ВС шугамын AB ба DG зэрэгцээ талуудын огтлолцолтой тохирч байгаа тул
∠ E = ∠ B (CHD).
Теорем 41. Зэрэгцээ талуудтай эсрэг талын өнцөг нь бие биенээ хоёр тэгш өнцөгт нөхдөг.
Зэрэгцээ талуудтай ABC ба DEF (Зураг 66) хоёр эсрэг талын өнцөг өгөгдсөн тул AB || DE ба BC || Э.Ф.
Бид ABC + DEF = 2d гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Баталгаа. DE шулууныг BC шугамыг G цэгээр огтолтол үргэлжлүүлье.
∠B+ ∠ DGB = 2d BC гурав дахь шулууны параллель AB ба DG огтлолцолоос үүссэн дотоод нэг талт өнцгийн нийлбэр.
∠ DGB = ∠ DEF нь харгалзах тул,
∠B+ ∠ DEF = 2d (CHD).
Теорем 42. Перпендикуляр талуудтай ижил нэртэй өнцөг нь тэнцүү бөгөөд эсрэг талын өнцөг нь хоёр шулуун хүртэл бие биенээ нөхдөг.
Хоёр тохиолдлыг авч үзье: A) өнцгүүд ижил байх үед, B) эсрэг талд байх үед.
1-р тохиолдол. DEF ба ABC гэсэн ижил нэртэй хоёр өнцгийн талууд (Зураг 67) перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.
Бид ∠ DEF = ∠ ABC гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Баталгаа. B цэгээс DE ба EF шулуунтай параллель BM ба BN шулуунуудыг зуръя
BM || DE, BN || Э.Ф.
Эдгээр шугамууд нь мөн өгөгдсөн ABC өнцгийн талуудтай перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл.
BM ⊥ AB ба BN ⊥ BC.
Учир нь ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, тэгвэл
∠ NBC = ∠ MBA (a)
NBA өнцгөөр тэгш байдлын хоёр талаас (a) хасаад бид олно
∠ MBN = ∠ ABC
MBN ба DEF өнцгүүд нь ижил ба зэрэгцээ талуудтай тул тэнцүү байна (Теорем 40).
∠ MBN = ∠ DEF (b)
(a) ба (b) тэгш байдал нь тэгш байдлыг илэрхийлнэ
∠ ABC = ∠ DEF
2 дахь тохиолдол. Перпендикуляр талуудтай GED ба ABC өнцөг нь эсрэг байна.
∠ GED + ∠ ABC = 2d гэдгийг батлах шаардлагатай (Зураг 67).
Баталгаа. GED ба DEF өнцгүүдийн нийлбэр нь хоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна.
GED + DEF = 2d
Тиймээс DEF = ABC
GED + ABC = 2d (CTD).
Теорем 43. Бусад зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зэрэгцээ шугамын хэсгүүд тэнцүү байна.
AB, BD, CD, AC дөрвөн шулуун шугам өгөгдсөн (Зураг 68), үүнээс AB || CD ба BD || АС.
Бид AB = CD, BD = AC гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Баталгаа. С цэгийг В цэгтэй BC сегменттэй холбосноор бид ABC ба BCD хоёр тэнцүү гурвалжинг олж авна.
МЭӨ - нийтлэг тал,
∠ α = ∠ β (BC гурав дахь шугамын AB ба CD параллель шугамуудын огтлолцолоос дотоод хөндлөн огтлолцсон шугамууд шиг),
∠ γ = ∠ δ (ВС шугамын BD ба AC параллель шугамуудын огтлолцолоос дотоод хөндлөн огтлолцсон шугамууд).
Тиймээс гурвалжингууд нь нэг талтай, хоёр тэнцүү өнцөгтэй байдаг.
Эсрэг тэгш өнцөгт α ба β нь AC ба BD тэнцүү талууд, γ ба δ тэгш өнцөгтүүдийн эсрэг талд AB ба CD тэнцүү талууд оршино.
AC = BD, AB = CD (CHD).
Теорем 44. Зэрэгцээ шугамууд нь бүхэл бүтэн уртын дагуу бие биенээсээ ижил зайд байрладаг.
Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг тухайн цэгээс шулуун хүртэл татсан перпендикулярын уртаар тодорхойлно. CD-ээс А ба В параллель AB хоёр цэгийн зайг тодорхойлохын тулд А ба В цэгээс AC ба BD перпендикуляруудыг буулгана.
CD-тэй параллель AB шулуун өгөгдсөн бол AC ба BD хэрчмүүд CD шулуунтай перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (Зураг 69).
Бид AC = BD гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Баталгаа. CD-д перпендикуляр байх AC ба BD шулуунууд нь параллель байх тул параллель хоорондын параллель хэсгүүд болох AC ба BD нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл AC = BD (CHD).
Теорем 45(урвуу 43). Хэрэв огтлолцсон дөрвөн шулууны эсрэг хэсгүүд нь тэнцүү бол эдгээр хэсгүүд нь зэрэгцээ байна.
Эсрэг хэсгүүд нь тэнцүү дөрвөн огтлолцсон шугам өгөгдсөн: AB = CD ба BD = AC (Зураг 68).
Бид AB || гэдгийг батлах хэрэгтэй CD ба BD || АС.
Баталгаа. В, С цэгүүдийг BC шулуунаар холбоно. ABC болон BDC гурвалжин нь хоорондоо тохирч байгаа тул
МЭӨ - нийтлэг тал,
Нөхцөлөөр AB = CD ба BD = AC.
Эндээс
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
Тиймээс,
AC || BD, AB || CD (CHD).
Теорем 46. Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь хоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна.
ABC гурвалжин өгөгдсөн (Зураг 70).
Бид A + B + C = 2d гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Баталгаа. C цэгээс AB тал руу параллель CF шулуун зуръя. С цэг дээр BCA, α, β гэсэн гурван өнцөг үүснэ. Тэдний нийлбэр нь хоёр шулуун шугамтай тэнцүү байна.
BCA+ α + β = 2d
α = B (ВС шугамын AB ба CF параллель шугамуудын огтлолцол дахь дотоод хөндлөн огтлолцсон өнцгөөр);
β = A (AD шугамын AB ба CF шугамын огтлолцол дээрх харгалзах өнцгөөр).
α ба β өнцгийг солих Тэдний үнэт зүйлсээс бид дараахь зүйлийг авна.
BCA + A + B = 2d (CHD).
Энэ теоремоос дараах үр дагавар гарч байна.
Дүгнэлт 1. Гурвалжны гаднах өнцөг нь түүнтэй зэргэлдээгүй дотоод өнцгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Баталгаа. Үнэхээр 70-ыг зурснаас хойш
∠BCD = ∠ α + ∠ β
∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A тул
∠BCD = ∠A + ∠B.
Дүгнэлт 2. Тэгш өнцөгт гурвалжинд хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь зөв өнцөгтэй тэнцүү байна.
Үнэхээр тэгш өнцөгт гурвалжинд (Зураг 40)
A + B + C = 2d, A = d, тиймээс
B + C = d.
Дүгнэлт 3. Гурвалжин нь нэгээс илүү зөв эсвэл нэг мохоо өнцөгтэй байж болохгүй.
Дүгнэлт 4. Тэгш талт гурвалжинд өнцөг бүр нь 2/3 d байна .
Үнэхээр тэгш талт гурвалжинд
A + B + C = 2d.
A = B = C учраас
3A = 2d, A = 2/3 d.
огтлолцсон шугамууд- нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугамууд. Диаграммд ижил нэртэй эдгээр шулуун шугамын проекцууд нь проекцын холболтын ижил шугам дээр байрлах цэгүүдээр огтлолцдог (Зураг 200, A).
Хэрэв ижил нэртэй шугамын проекцууд огтлолцсон боловч огтлолцлын цэгүүд нь проекцын холболтын өөр өөр шугамууд дээр байрладаг (Зураг 200, б) бол шугамууд огтлолцохгүй, харин огтлолцоно. Ижил нэртэй проекцуудын огтлолцлын цэгүүд (Зураг 200, b, цэгүүд 1 "Бас 2) ижил проекцын цацраг дээр байгаа, өөр өөр шулуун шугамд хамаарах өөр өөр цэгүүдийн төсөөллийг төлөөлнө.
Зураг дээр. 201 нь хоёр огтлолцох шугамыг хэрхэн байрлуулахыг харуулж байна ABТэгээд CDонгоцтой харьцуулахад Вингэснээр тэдний урд талын төсөөлөл a"b"Тэгээд в"г"огтлолцох ба огтлолцох цэг нь нэгэн зэрэг хоёр цэгийн урд талын проекц байх болно МТэгээд Н.Эдгээр шугамын хэвтээ проекцуудын огтлолцох цэг нь тухайн цэгийн проекц юм. Э, шулуун шугам дээр хэвтэж байна CD,ба шулуун дээр байрлах цэгүүд AB
Проекцын аль нэг хавтгай дээрх проекц нь давхцаж байгаа хоёр цэгийн харьцангуй байрлалыг тэдгээрийн гурав дахь координатыг харьцуулан тодорхойлж болно. Зураг дээр. 201.6 урд талын төсөөлөл Т"Тэгээд p"оноо МТэгээд Ндавхцсан. Тэдний координатууд XТэгээд Зижил хэмжээтэй байна. Координатыг харьцуулах Юэдгээр цэгүүд ( ЮН> ЮМ), бид энэ гол санааг харж байна Нцэгээс К хавтгайгаас хол байна М.Цэг Нонгоцтой харьцуулахад В- харагдах цэг.
Цэгүүдийн харагдах байдал ЭТэгээд Фпроекцын хэвтээ хавтгайтай харьцуулахад тэдгээрийн Z координатыг харьцуулан тодорхойлно.
Проекцууд нь давхцаж буй цэгүүдийг, өөрөөр хэлбэл цэгүүд нь ижил проекцын туяан дээр байгаа цэгүүдийг өрсөлдөх цэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээр цэгүүдийг ашиглан диаграмм дээрх геометрийн элементүүдийн харагдах байдлыг тодорхойлох аргыг өрсөлдөх цэгүүдийн арга гэж нэрлэдэг.
Зэрэгцээ шугамуудижил нэртэй проекцууд нь хоорондоо параллель байхаар диаграмм дээр дүрслэгдсэн байна. Шугамын хэсгүүдийг проекцын хавтгайд проекцлох үед тусгах туяа нь хоёр проекцын хавтгайг үүсгэдэг РТэгээд R,энэ хавтгайд перпендикуляр ба хоорондоо параллель (P||R).Тэд проекцын хавтгайтай огтлолцдог (Зураг 202a, хавтгай N)зэрэгцээ шугамын дагуу - abТэгээд cd.
Тиймээс хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал тэдгээрийн ижил нэртэй проекцууд нь зэрэгцээ байна. Зураг дээр. 202, бхэвтээ төсөөлөл abТэгээд CDба урд талын төсөөлөл a"b"Тэгээд в"г"харилцан зэрэгцээ, тиймээс шулуун ABТэгээд CDзэрэгцээ.
Диаграм дээрх шугамуудын харьцангуй байрлалыг аль нэг шулуун эсвэл хоёр шулуун нь проекцийн хавтгайтай параллель байхаас бусад тохиолдолд хоёр проекцын хавтгай ашиглан тодорхойлж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Эдгээр тохиолдолд шугамуудын харьцангуй байрлалыг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн аль нэг нь эсвэл хоёулаа параллель байх проекцын хавтгай дээр тэдгээрийн дүрс байх шаардлагатай.
Зураг дээр. 203 төсөөлөл в"г"Тэгээд l"q", cdТэгээд лкшууд CDТэгээд Л.К.огтлолцох. Шулуун CDпрофайлын проекцтой зэрэгцээ. Онгоцонд Втэд шулуун байгаа нь тодорхой байна CDТэгээд Л.К.огтлолцохгүй, учир нь тэдгээрийн профайлын төсөөлөл огтлолцохгүй.
Зураг дээр. 204-т хоёр хэвтээ шулуун шугамын диаграммыг харуулав ABТэгээд CD.Тэдний урд талын төсөөлөл a"b"Тэгээд в"г"болон профайлын төсөөлөл a"b"Тэгээд в"г"зэрэгцээ. Онгоц дээрх төсөөллөөр Ншугамууд огтлолцох нь тодорхой байна.
Зураг дээр. 205 нь хоёр профиль шулуун шугамын диаграммыг харуулж байна. Тэдний урд талын төсөөлөл a"b"Тэгээд в"г"болон хэвтээ төсөөлөл abТэгээд CDзэрэгцээ. Онгоцонд Вшугамууд огтлолцох нь тодорхой байна.
