Функц гэдэг нь нэг багцын элемент бүр өөр олонлогийн зарим элементтэй холбоотой байх дүрмийн дагуу тогтоосон хоёр олонлогийн элементүүдийн хоорондын захидал харилцаа юм.
Функцийн график нь абсцисса (х) ба ординат (y) нь заасан функцээр хамааралтай хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлал юм.
цэг нь функцийн график дээр байршдаг (эсвэл байрлана), хэрэв зөвхөн .
Тиймээс функцийг графикаар нь хангалттай дүрсэлж болно.
Хүснэгтийн арга. Нэлээд нийтлэг зүйл бол бие даасан аргументуудын утгууд болон тэдгээрийн харгалзах функцийн утгуудын хүснэгтийг зааж өгөх явдал юм. Функцийн тодорхойлолтын муж нь салангид хязгаарлагдмал олонлог байх үед функцийг тодорхойлох энэ аргыг ашигладаг.
Функцийг тодорхойлох хүснэгтийн аргын тусламжтайгаар аргументийн завсрын утгатай тохирох хүснэгтэд агуулаагүй функцын утгыг ойролцоогоор тооцоолох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд интерполяцийн аргыг ашиглана.
Функцийг тодорхойлох хүснэгтийн аргын давуу тал нь нэмэлт хэмжилт, тооцоололгүйгээр тодорхой тодорхой утгыг нэн даруй тодорхойлох боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд хүснэгт нь функцийг бүрэн тодорхойлдоггүй, гэхдээ зөвхөн аргументийн зарим утгуудад зориулагдсан бөгөөд аргумент дахь өөрчлөлтөөс хамааран функцийн өөрчлөлтийн мөн чанарын тодорхой дүр төрхийг өгдөггүй.
График арга. y = f(x) функцийн график нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангаж буй хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн олонлогийг хэлнэ.
Функцийг тодорхойлох график арга нь аргументийн тоон утгыг үнэн зөв тодорхойлох боломжийг үргэлж олгодоггүй. Гэсэн хэдий ч энэ нь бусад аргуудаас том давуу талтай - харагдах байдал. Инженер, физикийн хувьд функцийг тодорхойлох график аргыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд график нь үүнийг хийх цорын ганц арга зам юм.
Функцийн график хуваарилалтыг математикийн үүднээс бүрэн зөв болгохын тулд ихэвчлэн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог графикийн яг геометрийн загварыг зааж өгөх шаардлагатай. Энэ нь функцийг дараах байдлаар тодорхойлоход хүргэдэг.
Аналитик арга. Ихэнх тохиолдолд аргумент ба функцийн хоорондын холбоог тогтоодог хуулийг томъёогоор тодорхойлдог. Функцийг тодорхойлох энэ аргыг аналитик гэж нэрлэдэг.
Энэ арга нь х аргументийн тоон утга бүрт y функцийн харгалзах тоон утгыг яг эсвэл тодорхой нарийвчлалтайгаар олох боломжийг олгодог.
Хэрэв x ба у-ийн хоорондын хамаарлыг у-д хамааруулан шийдсэн томъёогоор өгвөл, өөрөөр хэлбэл. y = f(x) хэлбэртэй байна, тэгвэл бид х-ийн функцийг тодорхой өгөгдсөн гэж хэлнэ.
Хэрэв x ба y утгууд нь F(x,y) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр холбогдсон бол өөрөөр хэлбэл. томьёо y-ийн хувьд шийдэгдээгүй бөгөөд энэ нь y = f(x) функцийг далд хэлбэрээр өгсөн гэсэн үг юм.
Функцийг өөрийн домэйны янз бүрийн хэсэгт янз бүрийн томъёогоор тодорхойлж болно.
Аналитик арга нь функцийг тодорхойлох хамгийн түгээмэл арга юм. Авсаархан, товч, тодорхойлогдох хүрээнээс аргументийн дурын утгын функцийн утгыг тооцоолох чадвар, математик шинжилгээний төхөөрөмжийг өгөгдсөн функцэд ашиглах чадвар нь аналитик аргын гол давуу тал юм. функц. Сул талууд нь харагдах байдал дутагдалтай байдаг бөгөөд энэ нь график бүтээх чадвар, заримдаа маш төвөгтэй тооцоолол хийх хэрэгцээ зэргээр нөхөгддөг.
Аман арга. Энэ арга нь функциональ хамаарлыг үгээр илэрхийлэхээс бүрддэг.
Жишээ 1: функц E(x) нь x-ийн бүхэл хэсэг юм. Ерөнхийдөө E(x) = [x] нь x-ээс хэтрэхгүй хамгийн том бүхэл тоог илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл x = r + q бол r нь бүхэл тоо (сөрөг байж болно), q нь = r интервалд хамаарна. E(x) = [x] функц нь = r интервал дээр тогтмол байна.
Жишээ 2: y = (x) функц нь тооны бутархай хэсэг юм. Илүү нарийвчлалтайгаар y =(x) = x - [x], энд [x] нь х тооны бүхэл хэсэг юм. Энэ функц нь бүх x-ийн хувьд тодорхойлогддог. Хэрэв x нь дурын тоо бол түүнийг x = r + q (r = [x]) хэлбэрээр илэрхийлнэ, r нь бүхэл тоо бөгөөд q нь интервалд оршдог.
Аргумент x-д n-ийг нэмснээр функцийн утга өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид харж байна.
n дэх тэгээс бусад хамгийн бага тоо нь , тэгэхээр үе нь sin 2x байна.
Функц 0-тэй тэнцүү байх аргументын утгыг дуудна тэг (үндэс) функцууд.
Функц олон тэгтэй байж болно.
Жишээлбэл, функц у = x (x + 1)(x-3)гурван тэг байна: x = 0, x = - 1, x =3.
Геометрийн хувьд функцийн тэг нь функцийн графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса юм. X .
Зураг 7-д тэгтэй функцийн графикийг үзүүлэв: x = a, x = b ба x = c.
Хэрэв функцийн график эхээс холдохдоо тодорхой шугамд тодорхойгүй хугацаагаар ойртвол энэ шугамыг гэнэ. асимптот.
Урвуу функц
y=ƒ(x) функцийг D тодорхойлолтын муж ба E утгуудын олонлогоор өгье. Хэрэв yєE утга бүр xєD утгатай тохирч байвал x=φ(y) функц нь тодорхойлогдоно. E тодорхойлолтын домэйн ба D утгын багц (102-р зургийг үз).
Ийм φ(y) функцийг ƒ(x) функцийн урвуу гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах хэлбэрээр бичигдэнэ: x=j(y)=f -1 (y) y=ƒ(x) ба x функцууд =φ(y) нь харилцан урвуу байна гэж хэлнэ. y=ƒ (x) функцтэй урвуу x=φ(y) функцийг олохын тулд x (боломжтой бол) ƒ(x)=y тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай.
1. y=2x функцийн хувьд урвуу функц нь x=y/2;
2. y=x2 xє функцийн хувьд урвуу функц нь x=√y; сегмент дээр тодорхойлсон y=x 2 функцийн хувьд [-1; 1], урвуу утга байхгүй, учир нь y-ийн нэг утга нь x-ийн хоёр утгатай тохирч байна (хэрэв у = 1/4 бол x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үзэхэд ƒ(x) функц нь D ба E олонлогуудын хооронд нэгийг харьцах харьцааг зааж өгсөн тохиолдолд л y=ƒ(x) функц нь урвуу утгатай байна. хатуу монотон функц нь урвуу утгатай. Түүнээс гадна, хэрэв функц өсөх (буурах) байвал урвуу функц нь бас нэмэгддэг (буурдаг).
y=ƒ(x) функц ба түүний урвуу x=φ(y) функцийг ижил муруйгаар дүрсэлсэн, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн графикууд давхцаж байгааг анхаарна уу. Хэрэв бид ердийнх шиг бие даасан хувьсагчийг (жишээ нь аргумент) х, хамааралтай хувьсагчийг у гэж тэмдэглэдэг гэдгийг хүлээн зөвшөөрвөл y=ƒ(x) функцийн урвуу функцийг y=φ( хэлбэрээр бичнэ. x).
Энэ нь y=ƒ(x) муруйн M 1 (x o;y o) цэг нь y=φ(x) муруйн M 2 (y o;x o) цэг болно гэсэн үг юм. Харин M 1 ба M 2 цэгүүд y=x шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (103-р зургийг үз). Иймд y=ƒ(x) ба y=φ(x) харилцан урвуу функцуудын графикууд нь координатын нэг ба гурав дахь өнцгийн биссектрисатай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.
Нарийн төвөгтэй функц
D олонлог дээр у=ƒ(u) функцийг, D олонлог дээр u= φ(х) функцийг 1, x D 1-ийн хувьд харгалзах утгыг u=φ(х) є D гэж үзье. Дараа нь D олонлог дээр 1 функц u=ƒ(φ(x)), үүнийг x-ийн нийлмэл функц (эсвэл өгөгдсөн функцүүдийн суперпозиция, эсвэл функцийн функц) гэж нэрлэдэг.
u=φ(x) хувьсагчийг нийлмэл функцийн завсрын аргумент гэнэ.
Жишээлбэл, y=sin2x функц нь y=sinu ба u=2x гэсэн хоёр функцийн суперпозиция юм. Нарийн төвөгтэй функц нь хэд хэдэн завсрын аргументтай байж болно.
4. Үндсэн энгийн функцууд, тэдгээрийн графикууд.
Дараах функцуудыг үндсэн үндсэн функцууд гэж нэрлэдэг.
1) Экспоненциал функц y=a x,a>0, a ≠ 1. Зураг дээр. 104-т янз бүрийн чадлын суурьтай харгалзах экспоненциал функцүүдийн графикийг харуулав.
2) Чадлын функц y=x α, αєR. Төрөл бүрийн илтгэгчтэй харгалзах чадлын функцүүдийн графикуудын жишээг зурагт үзүүлэв
3) Логарифм функц y=log a x, a>0,a≠1 Янз бүрийн суурьтай харгалзах логарифм функцүүдийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 106.
4) Тригонометрийн функцууд y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Тригонометрийн функцүүдийн графикууд нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 107.
5) Урвуу тригонометрийн функцууд y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. Зураг дээр. 108-д урвуу тригонометрийн функцуудын графикийг харуулав.
Хязгаарлагдмал тооны арифметик үйлдлүүд (нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах) болон функцээс функц авах үйлдлүүдийг ашиглан үндсэн энгийн функц, тогтмолуудаас бүрдсэн нэг томьёогоор тодорхойлогдсон функцийг элементар функц гэнэ.
Энгийн функцүүдийн жишээ бол функцууд юм
Элемент бус функцүүдийн жишээ бол функцууд юм
5. Дараалал ба функцийн хязгаарын тухай ойлголт. Хязгаарлалтын шинж чанарууд.
Функцийн хязгаар (функцийн хязгаарын утга) өгөгдсөн цэг дээр функцийн тодорхойлолтын мужийг хязгаарлах нь тухайн цэг рүү аргумент нь чиглэж байх үед авч үзэж буй функцийн утга нь чиглэдэг утга юм.
Математикийн хувьд дарааллын хязгаарметрийн орон зай эсвэл топологийн орон зайн элементүүд нь тухайн дарааллын элементүүдийг "татах" шинж чанартай ижил орон зайн элемент юм. Топологийн орон зайн элементүүдийн дарааллын хязгаар нь түүний хөрш бүрд тодорхой тооноос эхлэн дарааллын бүх элементүүдийг агуулсан цэг юм. Метрийн орон зайд хөршүүд нь зайны функцээр тодорхойлогддог тул хязгаарын тухай ойлголтыг зайны хэлээр томъёолдог. Түүхийн хувьд эхнийх нь математик шинжилгээнд бий болсон тоон дарааллын хязгаарын тухай ойлголт байсан бөгөөд энэ нь ойролцоогоор тооцооллын системийн үндэс болж, дифференциал ба интеграл тооцоог бүтээхэд өргөн хэрэглэгддэг.
Зориулалт:
(уншсан: en хязгааргүйд ханддаг x-n-р дарааллын хязгаар нь a-тай тэнцүү байна)
Хязгаарлалттай дарааллын шинж чанарыг нэрлэнэ нэгдэл: хэрвээ дараалал нь хязгаартай бол өгөгдсөн дарааллыг гэж хэлнэ нийлдэг; өөрөөр хэлбэл (хэрэв дараалалд хязгаарлалт байхгүй бол) дарааллыг гэж хэлнэ ялгаатай. Хаусдорфын орон зайд, ялангуяа метрийн орон зайд нийлэх дарааллын дараагийн дараалал бүр нийлж, түүний хязгаар нь анхны дарааллын хязгаартай давхцдаг. Өөрөөр хэлбэл, Хаусдорфын орон зайн элементүүдийн дараалал нь хоёр өөр хязгаартай байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч дараалалд хязгаарлалт байхгүй байж болох ч хязгаартай дэд дараалал (өгөгдсөн дарааллын) байдаг. Хэрэв огторгуйн цэгүүдийн дурын дарааллаас нийлсэн дэд дарааллыг тодорхойлох боломжтой бол тухайн орон зайг дараалсан нягтралын шинж чанартай (эсвэл энгийнээр хэлбэл нягтралыг зөвхөн дарааллаар нь тодорхойлсон бол нягтрал) гэж нэрлэдэг.
Дарааллын хязгаарын тухай ойлголт нь хязгаарын цэг (багц) гэсэн ойлголттой шууд холбоотой: хэрэв олонлог хязгаарын цэгтэй бол энэ цэгт нийлдэг энэ олонлогийн элементүүдийн дараалал байдаг.
Тодорхойлолт
Хэрэв тийм элемент байвал топологийн орон зай ба дараалал өгье
-ийг агуулсан нээлттэй олонлогийг дарааллын хязгаар гэнэ. Хэрэв орон зай нь хэмжигдэхүүн бол хязгаарыг хэмжүүрээр тодорхойлж болно: хэрэв ийм элемент байвал
хэмжигдэхүүн хаана байна, үүнийг хязгаар гэж нэрлэдэг.
· Хэрэв орон зай нь антидискрет топологитой бол ямар ч дарааллын хязгаар нь орон зайн аль ч элемент байх болно.
6. Цэг дэх функцийн хязгаар. Нэг талын хязгаарлалт.
Нэг хувьсагчийн функц. Кошигийн дагуу цэг дээрх функцийн хязгаарыг тодорхойлох.Тоо бфункцийн хязгаар гэж нэрлэдэг цагт = е(x) цагт X, тэмүүлж байна А(эсвэл цэг дээр А), хэрэв ямар нэгэн эерэг тооны хувьд эерэг тоо байгаа бол бүх x ≠ a-ийн хувьд эерэг тоо байвал | x – а | < , выполняется неравенство
| е(x) – а | < .
Гейний дагуу цэг дээрх функцийн хязгаарыг тодорхойлох.Тоо бфункцийн хязгаар гэж нэрлэдэг цагт = е(x) цагт X, тэмүүлж байна А(эсвэл цэг дээр А), хэрэв ямар нэгэн дарааллын хувьд ( x n ), нэгдэх А(зориулж байна А, хязгаарын дугаартай А), ямар ч үнэ цэнээр n x n ≠ А, дэд дараалал ( y n= е(x n)) -д нийлдэг б.
Эдгээр тодорхойлолтууд нь функц гэж үздэг цагт = е(x) нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог А, эс тооцвол, магадгүй, цэг нь өөрөө А.
Цэг дэх функцийн хязгаарын Коши ба Хейн тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна: хэрэв тоо бЭнэ нь тэдгээрийн аль нэгнийх нь хувьд хязгаар болж үйлчилдэг бол энэ нь хоёр дахь нь ч мөн адил юм.
Заасан хязгаарыг дараах байдлаар зааж өгсөн болно.
Геометрийн хувьд Кошигийн дагуу цэг дээр функцийн хязгаар байгаа нь ямар ч > 0 тоонуудын хувьд координатын хавтгайд суурь нь 2 > 0, өндөр 2, цэгийн төвтэй тэгш өнцөгтийг зааж өгөх боломжтой гэсэн үг юм. ( A; б) интервал дээрх өгөгдсөн функцийн графикийн бүх цэгүүд ( А– ; А+ ), боломжит цэгийг эс тооцвол М(А; е(А)), энэ тэгш өнцөгт дотор хэвтэж байна
Нэг талын хязгаарлалтМатематик анализын хувьд тоон функцийн хязгаар нь нэг талын хязгаарын цэгт "ойрч буй" гэсэн үг юм. Ийм хязгаарыг зохих ёсоор нь дууддаг зүүн гар талын хязгаар(эсвэл зүүн тийш хязгаарлах) Мөн баруун гар талын хязгаар (баруун тийш хязгаарлах). Тодорхой тоон олонлог дээр тоон функц өгөгдсөн байх ба тоо нь тодорхойлолтын хүрээний хязгаарын цэг байх болно. Нэг цэг дэх функцийн нэг талт хязгаарын хувьд өөр өөр тодорхойлолтууд байдаг боловч тэдгээр нь бүгд тэнцүү байна.
Функцын тухай ойлголт Функцийг тодорхойлох аргууд Функцийн жишээ Функцийн аналитик тодорхойлолт Функцийг тодорхойлох график арга Функцийн цэг дэх хязгаар Функцын хязгаарын хязгаарын тухай функцийн теоремыг тодорхойлох хүснэгтийн арга Хязгаарлалттай функцийн хязгаарын хязгаарлагдмал байдал тэгш бус байдлын хязгаарт шилжих функцийн хязгаар хязгааргүй хязгаарт хязгааргүй жижиг функцууд Төгсгөлгүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд
Функцийн тухай ойлголт нь олонлогийн тухай ойлголттой адил үндсэн ба анхдагч юм. X нь хэд хэдэн бодит тооны олонлог x байг. Хэрэв x € X бүр нь зарим хуулийн дагуу тодорхой y тоотой холбоотой бол тэд X олонлогт функц өгөгдсөн гэж хэлж, ийм байдлаар оруулсан функцийг тоон гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд X олонлогийг функцийн тодорхойлолтын муж, x бие даасан хувьсагчийг аргумент гэж нэрлэдэг. Функцийг зааж өгөхийн тулд заримдаа тэд зөвхөн захидал харилцааны хуулийг илэрхийлдэг тэмдэглэгээг ашигладаг, жишээлбэл, f(x) n, jester энгийн /-ийн оронд. Тиймээс, 1) тодорхойлолтын домэйн 2) дүрэм /-г зааж өгсөн бол функц тодорхойлогдоно, энэ нь утга бүрт a: € X тодорхой тоо y = /(x) - энэ утгад харгалзах функцийн утга. аргумент x. Функцууд / ба g нь тэдгээрийн домэйнууд давхцаж, f(x) = g(x) тэгш байдал нь тэдгээрийн нийтлэг тодорхойлолтын домэйноос х аргументийн аль ч утгын хувьд үнэн байвал тэнцүү гэж нэрлэнэ. Тиймээс y, функцууд тэнцүү биш байна; тэдгээр нь зөвхөн [O, I] интервал дээр тэнцүү байна. Функцийн жишээ. 1. Дараалал (o„) нь /(n) = an (n = 1,2,...) байхаар натурал тоонуудын олонлог дээр тодорхойлогдсон бүхэл аргументын функц юм. 2. y = n функц? ("en-factorial" гэж уншина уу). Натурал тоонуудын олонлог дээр өгөгдсөн: n натурал тоо бүр нь 1-ээс n хүртэлх бүх натурал тоонуудын үржвэртэй холбоотой байдаг бөгөөд бид 0 гэж үздэг. = 1. Тэмдэглэгээ нь латин хэлний signum - тэмдэг гэсэн үгнээс гаралтай. Энэ функц нь бүх тооны шугам дээр тодорхойлогддог; түүний утгуудын багц нь -1,0, I гэсэн гурван тооноос бүрдэнэ (Зураг 1). Функцийн хувьд тодорхойлолтын муж нь y - sin x функцийн хувьд бүхэл тоон тэнхлэг юм. Томьёо болгон функцийг тодорхойлдоггүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, дээр бичсэн хоёр үндэс нь бодит утгатай байх x-ийн ганц бодит утга байхгүй тул томьёо нь ямар ч функцийг тодорхойлдоггүй. Функцийн аналитик даалгавар нь нэлээд төвөгтэй харагдаж болно. Ялангуяа функцийг түүний тодорхойлолтын домэйны янз бүрийн хэсэгт янз бүрийн томъёогоор тодорхойлж болно. Жишээлбэл, функцийг дараах байдлаар тодорхойлж болно: 1.2. Функцийг тодорхойлох график арга y = f(x) функцийн график нь өгөгдсөн бол графикаар тодорхойлогддог гэнэ, өөрөөр хэлбэл. xOy хавтгай дээрх абсциссууд нь функцийг тодорхойлох мужид хамаарах цэгүүдийн багц (xy/(x)) ба ординатууд нь функцийн харгалзах утгатай тэнцүү байна (Зураг 4). Функц бүрийн графикийг зургаар дүрсэлж болохгүй. Жишээлбэл, Дирихле функц нь хэрэв x нь рациональ, хэрэв x нь иррациональ бол ZX \o нь ийм дүрсийг зөвшөөрөхгүй. R(x) функцийг бүхэл тооны мөрөнд зааж өгсөн бөгөөд түүний утгуудын багц нь 0 ба 1 гэсэн хоёр тооноос бүрдэнэ. 1.3. Функцийг тодорхойлох хүснэгтийн арга. Хэрэв функцийн тоон утгыг зарим аргументын утгыг зааж өгсөн хүснэгт байгаа бол функцийг хүснэгт гэж нэрлэдэг. Хүснэгтэнд функцийг зааж өгөхдөө түүний тодорхойлолтын муж нь зөвхөн хүснэгтэд жагсаасан x\t x2i..., xn утгуудаас бүрдэнэ. §2. Цэг дэх функцийн хязгаар Функцийн хязгаарын тухай ойлголт нь математик шинжилгээний гол зүйл юм. f(x) функцийг дахин тодорхойлох цэгээс (Коши) бусад тохиолдолд xq цэгийн Q орчимд тодорхойлъё. Дурын жижиг байж болох e > 0 тооны хувьд тоо байгаа бол A тоог xo цэг дээрх f(x) функцийн хязгаар гэнэ.<5 > 0, бүх iGH.i^ x0 нөхцөлийг хангасан тохиолдолд тэгш бус байдал нь үнэн Функцийн тухай ойлголт Функцийг тодорхойлох аргууд Функцийн жишээ Функцийн аналитик тохиргоо Функцийг тодорхойлох график арга Функцийн цэг дэх хязгаар Хүснэгтийн арга Хязгаарын тухай функцийн теоремыг зааж өгөхийн тухай Хязгаарын давтагдашгүй байдал тэгш бус байдлын хязгаарт шилжих хязгаартай функцийн хязгаар Хязгааргүй жижиг функцийн хязгаар Хязгааргүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд Тэмдэглэл: Логик тэмдэг ашиглан энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар илэрхийлнэ Жишээ . 1. Цэг дэх функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан функц нь хаа сайгүй тодорхойлогддог болохыг харуул, үүнд zo = 1: /(1) = 5. Аль нэгийг нь авна. Тэгш бус байдлын хувьд |(2x + 3) - 5| явагдсан бол дараахь тэгш бус байдлыг хангах ёстой. Энэ нь 5-ын тоо нь функцийн хязгаар гэсэн үг юм: 2-р цэгт. Функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан xo = 2 цэг дээр Функц тодорхойлогдоогүй байгааг харуул. цэг Xq = 2, жишээ нь, ( 1, 5) интервал дээр, x = 0 цэгийг агуулаагүй, /(x) функц нь мөн тодорхойгүй байна. > 0-тэй дурын тоог аваад |/(x) - 2| илэрхийллийг хувиргая. x φ 2-ын хувьд дараах байдалтай байна x b (1, 5)-ын хувьд бид 6 = c-г авбал бүх x € (1.5)-ын хувьд тэгш бус байдал үнэн байх нь тодорхой байна А - 2 тоо нь тухайн цэг дэх өгөгдсөн функцийн хязгаар юм. Тухайн цэг дээрх функцийн хязгаарын тухай ойлголтын геометрийн тайлбарыг графикаас нь авч үзье (Зураг 5). x-ийн хувьд /(x) функцийн утгыг M\M муруйн цэгүүдийн ординатаар, x > xo-ийн хувьд MM2 муруйн цэгүүдийн ординатаар тодорхойлно. /(x0) утгыг N цэгийн ординатаар тодорхойлно. Хэрэв “сайн” M\MMg муруй авч, муруй дээрх M(x0, A) цэгийг jV цэгээр соливол энэ функцийн график гарна. xo цэг дээр f(x) функц нь А тоотой (М цэгийн ординат) тэнцүү хязгаартай болохыг харуулъя. Дурын (хүссэн хэмжээгээрээ бага) e > 0 тоог ав. Oy тэнхлэг дээр A, A - e, A + e ординаттай цэгүүдийг тэмдэглэе = /(x) шулуун шугамтай y = A- epy = A + e Эдгээр цэгүүдийн абсциссууд тус тус x0 - Al x0 + hi (ht > 0, /12 > 0) байна. (x0 - h\, x0 + hi) интервалаас ямар ч х Ф x0-ийн хувьд /(x) функцын утга хооронд агуулагдаж байгаа нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна. нөхцөлийг хангаж байгаа бүх x ^ xo-ийн хувьд тэгш бус байдал нь үнэн юм. Дараа нь интервал нь интервалд агуулагдах болно, тиймээс ижил тэгш бус байдал нь нөхцөлийг хангасан бүх x хувьд хангагдана y = /(x) функц нь x0 цэгт А хязгаартай байна, хэрэв y = A - eny = A + e шулуунуудын хоорондох е зурвас хичнээн нарийн байсан ч ийм "5 > 0" байна. x0 цэгийн цоорсон орчмын бүх x-ийн хувьд y = /(x) функцийн графикийн цэгүүд заасан цахим зурвас дотор байрлана. Тайлбар 1. b-ийн утга нь e-ээс хамаарна: 6 = 6(e). Тайлбар 2. Xq цэг дээрх функцийн хязгаарыг тодорхойлохдоо xo цэгийг өөрөө авч үзэхгүй. Ийнхүү Hons цэг дээрх функцийн утга нь энэ цэг дэх функцийн хязгаарт нөлөөлнө. Түүнээс гадна функц Xq цэг дээр тодорхойлогдоогүй байж болно. Тиймээс Xq цэгийн ойролцоо тэнцүү хоёр функц нь хо цэгийг эс тооцвол (үүнд өөр өөр утгатай байж болно, тэдгээрийн аль нэгийг нь эсвэл хоёуланг нь тодорхойлж болохгүй) x-ийн хувьд ижил хязгаартай байна. - Xq эсвэл хоёуланд нь хязгаарлалт байхгүй. Эндээс, ялангуяа хо цэг дээрх бутархайн хязгаарыг олохын тулд энэ бутархайг x = Xq үед алга болох тэнцүү илэрхийлэл болгон багасгах нь хууль ёсны юм. Жишээ 1. Олоорой /(x) = j функц нь бүх х Ф 0 нь нэгтэй тэнцүү боловч x = 0 цэгт тодорхойлогдоогүй байна. /(x)-г x 0-д тэнцүү байх d(x) = 1 функцээр орлуулснаар функцийн тухай ойлголтыг олж авна Функцийг тодорхойлох аргууд Функцийн жишээ Функцийн аналитик тохиргоо Функцийг тодорхойлох график арга -ийн хязгаар цэг дэх функц Хязгаарын цорын ганц функцийн теоремыг тодорхойлох хүснэгтийн арга Хязгаарын өвөрмөц байдал, хязгаартай байх, тэгш бус байдалд хязгаарт шилжих функц Хязгааргүй дэх хязгаар Хязгааргүй жижиг функцууд Төгсгөлгүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд Жишээ 2. lim /(x)-ийг олоорой, энд Функц нь x = 0 цэгийг эс тооцвол хаа сайгүй /(x) функцтэй давхцаж, x = 0 цэгт тэгтэй тэнцүү байна: lim d(x) = 0 (үүнийг харуул! ). Иймд lim /(x) = 0. Бодлого. Тэгш бус байдлыг (e -6 хэлээр) ашиглан томьёо. Энэ нь x0 цэгээс бусад тохиолдолд /(i) функцийг x0 цэгийн Π хэсэгт тодорхойлъё гэсэн үг юм. Тодорхойлолт (Гейне). X 6 P, z„ / x0) аргументын утгуудын аль нэг дараалал (xn) нь x0 цэг рүү нийлж байгаа бол харгалзах дараалал нь x0 цэг дэх /(x) функцийн хязгаарыг А тоог гэнэ. (f(x„)) функцын утгууд нь А тоонд нийлдэг. Дээрх тодорхойлолтыг /(x) функц нь x0 цэгт хязгааргүй гэдгийг тогтоох шаардлагатай үед хэрэглэхэд тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд ямар нэгэн хязгааргүй (f(xn)) дарааллыг олох эсвэл өөр хязгаартай (f(xn)) болон (f(xn)) хоёр дарааллыг зааж өгөхөд хангалттай , ii /(x) = sin j (Зураг 7) функц нь Х = О цэгээс бусад ХААНА тодорхойлогдсон, 7-р зурагт x = 0 цэгт хязгаарлалт байхгүй. Хоёр дарааллыг (цэг рүү нийлэх) авч үзье. x = 0. /(x) функцийн харгалзах дэс дарааллын утгууд өөр өөр хязгаарт нийлдэг: дараалал (sinnTr) тэг болж, дараалал (sin(5 + - нэг). Энэ нь x = 0 цэг дэх /(x) = sin j функцэд хязгаар байхгүй гэсэн үг юм. Сэтгэгдэл. Цэг дэх функцийн хязгаарын тодорхойлолт (Кошигийн тодорхойлолт ба Гейний тодорхойлолт) хоёулаа тэнцүү байна. §3. Хязгаарын тухай теоремууд Теорем 1 (хязгаарын өвөрмөц байдал). Хэрэв f(x) функц нь xo цэг дээр хязгаартай бол энэ хязгаар нь өвөрмөц байна. A lim /(x) = A. Ямар ч B φ A тоо нь x0 цэг дээрх /(x) функцийн x-x0 хязгаар байж болохгүйг харуулъя. lim /(x) φ XO логик тэмдгийг ашиглан дараах байдлаар томъёолсон: Бидний олж авсан тэгш бус байдлыг ашиглан e = > 0-г авна. lim /(x) = A тул сонгосон e > 0-д 6 > байна. 0 гэсэн харьцаанаас (1) заасан x-ийн утгуудын хувьд хэчнээн бага байсан ч гэсэн ийм x Φ xQ байгаа нь тогтоогдсон бөгөөд нэгэн зэрэг ^ Тиймээс B Тодорхойлолт. Теорем 2 (хязгаарлалттай функцийн хязгаарлагдмал байдал) M > 0 ба 6 > 0 тоонууд байвал /(x) функцийг x0> цэгийн ойролцоо хязгаарлагдмал гэнэ. Хэрэв f(x) функц нь x0 цэгийн хөршид тодорхойлогддог ба х0 цэгт хязгаарлагдмал хязгаартай бол энэ цэгийн тодорхой орчимд хязгаарлагдана. m Let Дараа нь дурын хувьд, жишээлбэл, e = 1-ийн хувьд, бүх x Ф x0-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн байхаар 6 > O байна. Дараа нь x интервалын цэг бүрт бид байх болно Энэ нь тодорхойлолтын дагуу /(x) функц нь эсрэгээр, /(x) функцийн хязгаарлагдмал байдлаас хөрш зэргэлдээ байна гэсэн үг юм x0 цэг, /(x) функцийн хязгаар x0 цэгт байгаа нь дагаж мөрддөггүй. Жишээлбэл, /(x) = sin функц нь цэгийн ойролцоо хязгаарлагдмал боловч x = 0 цэгт хязгааргүй. Геометрийн утга нь нэлээд тодорхой байгаа хоёр теоремыг нэмж томъёолъё. Теорем 3 (тэгш бус байдлын хязгаарт хүрэх). Хэрэв /(x) ^ ip(x) нь x0 цэгийн зарим хөршөөс бүх x-ийн хувьд, магадгүй x0 цэг өөрөө болон x0 цэгийн /(x) ба ip(x) функц тус бүр нь дараах байдалтай байна. хязгаар, дараа нь функцүүдийн хатуу тэгш бус байдал нь тэдгээрийн хязгаарын хатуу тэгш бус байдлыг илэрхийлэх албагүй гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв эдгээр хязгаарууд байгаа бол жишээлбэл, 4-р теорем (завсрын функцийн хязгаар) -ын тэгш бус байдал хангагдана гэж бид баталж чадна. Хэрвээ Xq цэгийн зарим орчмын бүх x-ийн хувьд x0 цэг өөрөө (Зураг 9) болон xo цэг дээрх f(x) ба ip(x) функцүүд ижил А хязгаартай байвал x0 цэг дээрх f (x) функц нь ижил утгатай A-тай тэнцүү хязгаартай байна. § 4 Функцийн хязгааргүйд байрлах хязгаар f(x) функцийг бүхэл тооны шулуун дээр эсвэл ядаж тодорхойлъё. бүх x jx| нөхцөлийг хангаж байна > K зарим K > 0. Тодорхойлолт. x нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг тул А тоог f(x) функцийн хязгаар гэж нэрлэх бөгөөд хэрэв ямар нэгэн e > 0-ийн хувьд jV > 0 тоо байвал бүх x-ийн хувьд |x| нөхцөлийг хангасан байвал бичнэ. > lg, тэгш бус байдал нь үнэн бөгөөд энэ тодорхойлолтонд байгаа нөхцөлийг орлуулснаар бид эдгээр тодорхойлолтуудаас нэг дор, геометрийн хувьд дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: шулуун шугамын хоорондох цахим зурвас ямар ч байсан. y = A-eyu = A + e шугамуудад x = N >0 шулуун шугам байгаа бөгөөд баруун талд y = /(x) функцийн график бүхэлдээ заасан e-зуранд агуулагдсан байна (Зураг 10). ). Энэ тохиолдолд x +oo үед y = /(x) функцийн график асимптотоор y = A шулуунд ойртдог гэж тэд хэлдэг. Жишээ нь, /(x) = jtjj- функц нь бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогддог ба бутархай нь тогтмол байх ба хуваагч нь |x| байдлаар хязгааргүй нэмэгддэг бутархай юм. +өө. lim /(x)=0 гэж хүлээх нь зүйн хэрэг. Үүнийг үзүүлье. M Харьцаа явагдахын тулд, аль нь ижил, үүгээс үүссэн буюу хангагдсан тэгш бус байдлыг нөхцлийн дагуу аль ч e > 0-г авъя. Хэрэв бид үүнийг авбал бид үүнийг авах болно. Энэ нь тоо нь өгөгдсөн функцийн хязгаар гэсэн үг юм. Радикал илэрхийлэл нь зөвхөн t ^ 1-д зориулагдсан гэдгийг анхаарна уу. c тэгш бус байдал бүгдэд автоматаар хангагдах тохиолдолд y = - тэгш функцийн график нь шулуун руу асимптотоор ойртоно. шугамын асуудал. §5 ямар утгатай болохыг тэгш бус байдлыг ашиглан томъёол. Хязгааргүй жижиг функцууд a(x) функцийг x0 цэгээс бусад тохиолдолд xo цэгийн зарим хэсэгт тодорхойлъё. Тодорхойлолт. a(x) функцийг хязгааргүй жижиг функц (хязгааргүй жижиг функц гэж товчилсон) гэж нэрлэдэг бөгөөд х нь xo-д чиглэдэг Функцийн тухай ойлголт Функцийг тодорхойлох аргууд Функцийн жишээ Функцийн аналитик тодорхойлолт Функцийг тодорхойлох график арга Функцийн хязгаар. цэг дээр Функцийн теоремыг тодорхойлох хүснэгтийн арга o хязгаарын цорын ганц байдлыг хязгаарлана тэгш бус байдал дахь хязгаар руу шилжих хязгаартай функцийн хязгаарлагдмал байдал Хязгааргүй дэх функцийн хязгаар Хязгааргүй жижиг функцууд Төгсгөлгүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд Жишээ нь: a(x) = x - 1 функц нь b. m.f. x 1 үед lim(x-l) = 0 тул y = x-1 1-1 функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. II. Ерөнхийдөө a(x) = x-x0 функц нь b-ийн хамгийн энгийн жишээ юм. m.f. x-»ho үед. Цэг дэх функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг харгалзан, тодорхойлолт b. m.f. ингэж томъёолж болно. a(x) функцийг x -» oo хувьд хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг, хэрэв тэгвэл a(x) функцийг хязгааргүй жижиг гэж нэрлэнэ, эсвэл хувьд. a(x ) = e~x функц нь x -* +oo-ийн хувьд хязгааргүй жижиг функц тул бид дүрмээр бол функцын хязгаартай холбоотой бүх ойлголт, теоремуудыг зөвхөн . тухайн цэг дэх функцийн хязгаарын тохиолдлыг уншигчдад үлдээж, тухайн өдрийн ижил төстэй теоремуудыг нотолж, хязгааргүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд Теорем 5. Хэрэв a(x) ба P(x) - b. m.f. x -* xo-ын хувьд тэдгээрийн a(x) + P(x) нийлбэр нь мөн b.m. е. for x -» xo. 4 Ямар ч e > 0-г ав. a(x) нь b.m.f. x -* xo-ийн хувьд “51 > 0 байгаа бөгөөд ингэснээр бүх x Φ xo нөхцөлийг хангаж байгаа нь P(x) нөхцөлөөр мөн b.m.f. x xo-ийн хувьд нөхцөлийг хангасан бүх x Φ xo-ийн хувьд 6 = min(«5j, 62) тэгш бус байдал үнэн болно. Дараа нь нөхцөлийг хангасан бүх x Ф xo хувьд тэгш бус байдал (1) ба (2) нэгэн зэрэг үнэн болно. Тиймээс a(x) +/3(x) нийлбэр нь b.m.f байна гэсэн үг. x xq дээр.
Хэрэв x ба у-ийн хоорондын хамаарлыг у-ийн талаар шийдсэн томъёогоор өгвөл, өөрөөр хэлбэл. y = f(x) хэлбэртэй байна, тэгвэл тэд жишээ нь х-ийн функцийг тодорхой өгсөн гэж хэлдэг. Хэрэв x ба y-ийн утгууд нь F(x,y) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр хамааралтай бол өөрөөр хэлбэл. томьёо y-тэй холбоотой шийдэгдээгүй бол функцийг далд хэлбэрээр зааж өгсөн гэж үзнэ. Жишээлбэл,. Далд функц бүрийг y = f (x) хэлбэрээр илэрхийлж болохгүй, харин ямар ч тодорхой функцийг үргэлж далд хэлбэрээр төлөөлж болно. 
. Аргумент x ба y функц нь гуравдагч хэмжигдэхүүн - t параметрийн функц байх үед функцийн аналитик тодорхойлолтын өөр нэг төрөл бол параметр юм. 
, Хаана 
, T - зарим интервал. Энэ аргыг механик болон геометрт өргөн ашигладаг.
Аналитик арга нь функцийг тодорхойлох хамгийн түгээмэл арга юм. Авсаархан байдал, өгөгдсөн функцэд математик шинжилгээ хийх чадвар, аливаа аргументын утгын функцийн утгыг тооцоолох чадвар нь түүний гол давуу тал юм.
4. Аман арга.Энэ арга нь функциональ хамаарлыг үгээр илэрхийлэхээс бүрддэг. Жишээлбэл, E(x) функц нь х тооны бүхэл хэсэг, Дирихлегийн функц, Риманы функц, n!, r(n) нь натурал n тооны хуваагчийн тоо юм.
5. Хагас график арга.Энд функцийн утгуудыг сегмент хэлбэрээр, аргументуудын утгыг функцийн утгыг харуулсан сегментийн төгсгөлд байрлуулсан тоогоор дүрсэлсэн болно. Жишээлбэл, термометр нь тоонуудтай тэнцүү хуваалт бүхий хуваарьтай байдаг. Эдгээр тоонууд нь аргументийн (температур) утгууд юм. Тэд температурын өөрчлөлтийн үр дүнд эзлэхүүний тэлэлтийн улмаас мөнгөн усны баганын график суналтыг (функцийн утга) тодорхойлдог газар байрладаг.
Эдгээр үгс нь ямар утгатай вэ? "функц тохируулах"?Тэд юу гэсэн үг вэ: юу мэдэхийг хүссэн хүн бүрт тайлбарла тодорхой функцбид ярьж байна. Түүнээс гадна тодорхой бөгөөд хоёрдмол утгагүй тайлбарла!
Үүнийг яаж хийх вэ? Яаж функц тохируулах уу?
Та томьёо бичиж болно. Та график зурж болно. Та ширээ хийж болно. Ямар ч арга зам Бидний сонгосон x утгын i-ийн утгыг олж мэдэх зарим дүрэм.Тэдгээр. "функцийг тохируулах", энэ нь x нь у болж хувирдаг хууль, дүрмийг харуулна гэсэн үг юм.
Ихэвчлэн янз бүрийн даалгавар байдаг аль хэдийн бэлэн болсонфункцууд. Тэд бидэнд өгдөг аль хэдийн тохируулсан байна.Өөрөө шийд, тиймээ, шийд.) Гэхдээ ... Ихэнхдээ сургуулийн сурагчид (тэр ч байтугай оюутнууд) томъёогоор ажилладаг. Тэд дасдаг юм байна ш дээ... Тэд үүнд дасдаг болохоор функцийг өөр аргаар тодорхойлохтой холбоотой ямар ч энгийн асуулт тухайн хүнийг шууд бухимдуулдаг...)
Ийм тохиолдлуудаас зайлсхийхийн тулд функцийг тодорхойлох янз бүрийн аргыг ойлгох нь зүйтэй. Мэдээжийн хэрэг, энэ мэдлэгийг "зөв" асуултуудад хэрэглээрэй. Энэ нь маш энгийн. Хэрэв та функц гэж юу болохыг мэддэг бол ...)
Явцгаая?)
Функцийг тодорхойлох аналитик арга.
Хамгийн түгээмэл бөгөөд хүчирхэг арга. Аналитик аргаар тодорхойлсон функцЭнэ бол өгөгдсөн функц юм томъёо.Үнэндээ энэ бол бүхэл бүтэн тайлбар юм.) Хүн бүрт танил болсон функцууд (би итгэхийг хүсч байна!), жишээлбэл: y = 2x,эсвэл y = x 2гэх мэт. гэх мэт. аналитик байдлаар тодорхойлогддог.
Дашрамд хэлэхэд томъёо бүр функцийг тодорхойлж чадахгүй. Томьёо бүр функцийн тодорхойлолтоос авсан хатуу нөхцөлийг хангадаггүй. Тухайлбал - X бүрийн хувьд зөвхөн байж болно нэгигрек.Жишээлбэл, томъёонд y = ±x, Учир нь нэгутгууд x = 2, энэ нь болж байна хоёр y утгууд: +2 ба -2. Энэ томъёо нь өвөрмөц функцийг тодорхойлж чадахгүй. Дүрмээр бол тэд математикийн энэ салбарт, тооцоололд олон утгатай функцтэй ажилладаггүй.
Функцийг тодорхойлох аналитик арга нь юугаараа сайн бэ? Учир нь хэрэв та томьёотой бол функцийг мэддэг Бүгд!Та тэмдэг хийж болно. График байгуулах. Энэ онцлогийг бүрэн эхээр нь судлаарай. Энэ функц хаана, хэрхэн ажиллахыг урьдчилан таамаглах. Бүх математик шинжилгээ нь функцийг тодорхойлох энэ арга дээр суурилдаг. Хүснэгтийн деривативыг авах нь маш хэцүү гэж бодъё...)
Аналитик арга нь нэлээд танил бөгөөд асуудал үүсгэдэггүй. Энэ аргын зарим хувилбарууд оюутнуудад тулгардаг. Би параметрийн болон далд функцүүдийн тухай ярьж байна.) Гэхдээ ийм функцууд нь тусгай хичээлд байдаг.
Функцийг тодорхойлох бага мэддэг аргууд руу шилжье.
Функцийг тодорхойлох хүснэгтийн арга.
Нэрнээс нь харахад энэ арга нь энгийн тэмдэг юм. Энэ хүснэгтэд x тус бүр нь ( дагуу тавьдаг) тоглоомын зарим утга. Эхний мөрөнд аргументийн утгуудыг агуулна. Хоёрдахь мөрөнд харгалзах функцийн утгуудыг агуулна, жишээлбэл:
Хүснэгт 1.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
Анхаарна уу! Энэ жишээнд тоглоом нь X-ээс хамаарна ямар ч байсан.Би үүнийг зориудаар гаргасан.) Ямар ч загвар байхгүй. Зүгээр дээ, болдог. гэсэн үг, яг тиймБи энэ тусгай функцийг тодорхойлсон. Энэ нь зөвБи X нь Y болж хувирдаг дүрмийг тогтоосон.
Та нөхөж болно өөрхээ агуулсан хавтан. Энэ тэмдэг нь харуулах болно бусадфункц, жишээ нь:
Хүснэгт 2.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
Та загварыг барьж чадсан уу? Энд тоглоомын бүх утгыг x-ийг хоёроор үржүүлснээр олж авна. Эндээс эхний "зөв" асуулт байна: 2-р хүснэгтийг ашиглан тодорхойлсон функцийг функц гэж үзэж болох уу? y = 2x? Одоо бодоод үз дээ, хариулт нь доор, график хэлбэрээр байх болно. Тэнд бүх зүйл маш тодорхой байна.)
Ямар сайн юм бэ функцийг тодорхойлох хүснэгтийн арга уу?Тийм ээ, учир нь та юу ч тоолох шаардлагагүй. Бүх зүйлийг аль хэдийн тооцоолж, хүснэгтэд бичсэн.) Гэхдээ үүнээс илүү сайн зүйл байхгүй. Бид X-ийн функцийн утгыг мэдэхгүй, хүснэгтэд байхгүй.Энэ аргын хувьд ийм x утгууд нь энгийн байдаг байхгүй.Дашрамд хэлэхэд, энэ бол төвөгтэй асуултын сануулга юм.) Хүснэгтээс гадуур функц хэрхэн ажилладагийг бид олж чадахгүй байна. Бид юу ч хийж чадахгүй. Мөн энэ аргын тодорхой байдал нь маш их зүйлийг хүсдэг ... График арга нь ойлгомжтой болгоход сайн.
Функцийг тодорхойлох график арга.
Энэ аргын хувьд функцийг графикаар илэрхийлнэ. Аргумент (x) нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу, функцын утгыг (y) ордны тэнхлэгийн дагуу зурна. Хуваарийн дагуу та ямар ч сонголт хийх боломжтой Xхаргалзах утгыг ол цагт. График нь ямар ч байж болно, гэхдээ ... аль нэг нь биш.) Бид зөвхөн хоёрдмол утгагүй функцтэй ажилладаг. Ийм функцийн тодорхойлолтод тодорхой заасан байдаг: тус бүр Xдагуу тавьдаг цорын ганц цагт. НэгНэг тоглоом, хоёр, гурав биш... Жишээ нь, тойрог графикийг харцгаая:
Тойрог бол тойрогтой адил... Яагаад функцийн график байж болохгүй гэж? Аль тоглоом X-ийн утгатай тохирохыг олъё, жишээ нь 6? Бид курсорыг график дээр шилжүүлж (эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрнэ) ба ... энэ x нь тохирч байгааг бид харж байна. хоёрТоглоомын утга: y=2 ба y=6.
Хоёр ба зургаа! Тиймээс ийм график нь функцийн график хуваарилалт биш юм. Асаалттай нэг x эзэлж байна хоёртоглоом. Энэ график нь функцийн тодорхойлолттой тохирохгүй байна.
Гэхдээ хоёрдмол утгагүй нөхцөл хангагдсан бол график нь юу ч байж болно. Жишээ нь:
Яг энэ муруй байдал нь Х-г Y болгож хувиргах хууль юм. Хоёрдмол утгагүй. Бид функцийн утгыг мэдэхийг хүссэн x = 4,Жишээ нь. Бид x тэнхлэг дээрх дөрвийг олж, энэ x-тэй ямар тоглоом тохирохыг харах хэрэгтэй. Бид хулганыг зураг дээр шилжүүлж, функцийн утгыг харна уу цагтУчир нь x=4тавтай тэнцэнэ. X-ийг Y болгон хувиргахад ямар томъёолол тодорхойлогддогийг бид мэдэхгүй. Тэгээд болохгүй. Бүх зүйлийг хуваарийн дагуу хийдэг.
Одоо бид "зөвхөн" асуулт руу буцаж болно у=2х.Энэ функцийг зурцгаая. Энд байна:
Мэдээжийн хэрэг, энэ графикийг зурахдаа бид хязгааргүй тооны утгыг аваагүй X.Бид хэд хэдэн утгыг авч тооцоолсон у,тэмдэг хийсэн - бүх зүйл бэлэн боллоо! Хамгийн бичиг үсэгт тайлагдсан хүмүүс X-ийн хоёр утгыг л авсан! Тэгээд ч зөв. Шулуун шугамын хувьд танд илүү их зүйл хэрэггүй. Яагаад нэмэлт ажил гэж?
Гэхдээ бид баттай мэдэж байсан x гэж юу байж болох вэ хэн ч.Бүхэл тоо, бутархай, сөрөг... Дурын. Энэ нь томъёоны дагуу юм у=2ххарагдахуйц. Тиймээс бид график дээрх цэгүүдийг хатуу шугамаар зоригтой холбосон.
Хэрэв функцийг 2-р хүснэгтэд өгсөн бол бид x-ийн утгыг авах шаардлагатай болно зөвхөн ширээнээс.Учир нь бусад Х (болон Ү) нь бидэнд өгөгддөггүй, тэднийг авах газар байхгүй. Эдгээр утгууд энэ функцэд байхгүй байна. Хуваарь нь биелэх болно цэгүүдээс.Бид хулганаа зураг дээр шилжүүлж, 2-р хүснэгтэд заасан функцийн графикийг харна уу. Би тэнхлэг дээр x-y утгыг бичээгүй, та үүнийг нүдээр нь олж мэдэх үү?)
"Зөв" асуултын хариулт энд байна. Хүснэгт 2 болон функцээр тодорхойлсон функц у=2х - өөр.
График арга нь тодорхой байдлын хувьд сайн байдаг. Та функц хэрхэн ажиллаж, хаана нэмэгдэж байгааг шууд харах боломжтой. хаана буурдаг. Графикаас та функцийн зарим чухал шинж чанарыг нэн даруй олж мэдэх боломжтой. Мөн деривативтай сэдэвт график бүхий даалгаварууд хаа сайгүй байна!
Ерөнхийдөө функцийг тодорхойлох аналитик болон график аргууд нь хамт явдаг. Томъёотой ажиллах нь график бүтээхэд тусална. График нь ихэвчлэн томьёонд анзаарагдахгүй шийдлүүдийг санал болгодог... Бид графиктай найзууд байх болно.)
Бидний сая үзсэн функцийг тодорхойлох гурван аргыг бараг бүх оюутан мэддэг. Гэхдээ асуултанд: "Бас дөрөв дэх нь!?" - сайтар хөлддөг.)
Ийм арга бий.
Функцийн аман тайлбар.
Тийм, тийм! Функцийг үгээр нэлээд тодорхой зааж өгч болно. Агуу, хүчирхэг орос хэл нь маш их чадвартай!) Функцийг хэлье у=2хдараах аман тайлбараар тодорхойлж болно. Аргумент x-ийн бодит утга бүр нь түүний давхар утгатай холбоотой.Үүнтэй адил! Дүрэм тогтоогдсон, функцийг зааж өгсөн.
Нэмж дурдахад та томьёог ашиглан тодорхойлоход маш хэцүү, эсвэл боломжгүй функцийг амаар зааж өгч болно. Жишээ нь: Байгалийн аргументын утга бүр нь x-ийн утгыг бүрдүүлдэг цифрүүдийн нийлбэртэй холбоотой байдаг.Жишээлбэл, хэрэв x=3,Тэр y=3.Хэрэв x=257,Тэр у=2+5+7=14.гэх мэт. Үүнийг томъёогоор бичих нь асуудалтай байдаг. Гэхдээ тэмдгийг хийхэд хялбар байдаг. Мөн хуваарь гарга. Дашрамд хэлэхэд, график нь инээдтэй харагдаж байна ...) Үүнийг үзээрэй.
Амаар дүрслэх арга нь нэлээд чамин юм. Гэхдээ заримдаа тэгдэг. Би үүнийг гэнэтийн, ер бусын нөхцөл байдалд итгэх итгэлийг өгөхийн тулд энд авчирсан. Та зөвхөн үгийн утгыг ойлгох хэрэгтэй "Функцийг тодорхойлсон ..."Энд байна, энэ нь гэсэн утгатай:
хооронд нь нэг нэгээр нь захидал харилцааны хууль байгаа бол XТэгээд цагт- энэ нь функц байгаа гэсэн үг юм. Ямар хууль, ямар хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн нь - томьёо, таблет, график, үг, дуу, бүжиг зэрэг нь асуудлын мөн чанарыг өөрчлөхгүй. Энэ хууль нь X-ийн утгаас Y-ийн харгалзах утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Бүгд.
Одоо бид энэ гүнзгий мэдлэгээ зарим стандарт бус даалгаварт ашиглах болно.) Хичээлийн эхэнд амласан ёсоор.
Даалгавар 1:
y = f(x) функцийг 1-р хүснэгтэд үзүүлэв.
Хүснэгт 1.
p(x)= f(x) - g(x) бол p(4) функцийн утгыг ол.
Хэрэв та юу болохыг огт ойлгохгүй байгаа бол өмнөх хичээлийг "Функц гэж юу вэ?" Ийм үсэг, хаалтны талаар маш тодорхой бичсэн байдаг.) Хэрэв зөвхөн хүснэгтийн хэлбэр нь таныг төөрөлдүүлж байвал бид үүнийг энд эрэмбэлэх болно.
Өмнөх хичээлээс харахад хэрэв: p(x) = f(x) - g(x), Тэр p(4) = f(4) - g(4). Захидал еТэгээд gгэдэг нь X бүр өөрийн гэсэн тоглоомыг хуваарилах дүрмийг хэлнэ. үсэг бүрийн хувьд ( еТэгээд g) - чинийхдүрэм. Үүнийг харгалзах хүснэгтээр өгсөн болно.
Функцийн утга f(4)Хүснэгт 1. Энэ нь 5. Функцийн утга болно g(4)Хүснэгт 2-ын дагуу тодорхойлно. Энэ нь 8 байх болно. Хамгийн хэцүү зүйл хэвээр байна.)
p(4) = 5 - 8 = -3
Энэ бол зөв хариулт юм.
f(x) > 2 тэгш бус байдлыг шийд
Ингээд л болоо! Энэ нь (ердийн хэлбэрээр) гайхалтай байхгүй байгаа тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх шаардлагатай байна! Үлдсэн зүйл бол даалгавраа өгөх эсвэл толгойгоо эргүүлэх явдал юм. Бид хоёрыг сонгоод ярилцана.)
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гэж юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бидэнд өгсөн нөхцөл хангагдсан x-ийн бүх утгыг олох гэсэн үг юм f(x) > 2. Тэдгээр. бүх функцийн утгууд ( цагт) хоёроос их байх ёстой. Манай график дээр бид бүх тоглоомтой... Мөн хоёр илүү, цөөн байна... Мөн тодорхой болгохын тулд энэ хоёрын дагуу зааг зурцгаая! Бид курсорыг зургийн дээгүүр хөдөлгөж, энэ хүрээг харна.
Хатуухан хэлэхэд энэ хил нь функцийн график юм y=2,гэхдээ гол нь энэ биш. Хамгийн гол нь одоо график хаана байгааг маш тодорхой харуулж байна. X дээр,функцын утгууд, өөрөөр хэлбэл. у, хоёроос илүү.Тэд илүү X > 3. At X > 3 бидний бүх функц дамждаг илүү өндөрхил хязгаар y=2.Энэ бол шийдэл. Гэхдээ толгойгоо хаахад эрт байна!) Би хариултаа бичих хэрэгтэй хэвээр байна ...
Графикаас харахад бидний функц зүүн, баруун хязгааргүй хүртэл үргэлжлэхгүй. Графикийн төгсгөлд байгаа цэгүүд үүнийг харуулж байна. Функц тэнд дуусна. Тиймээс бидний тэгш бус байдалд функцийн хязгаараас хэтэрсэн бүх X нь ямар ч утгагүй болно. Эдгээр X-ийн үйл ажиллагааны хувьд байхгүй.Үнэндээ бид функцийн тэгш бус байдлыг шийддэг ...
Зөв хариулт нь:
3 < X ≤ 6
Эсвэл өөр хэлбэрээр:
X ∈ (3; 6]
Одоо бүх зүйл байх ёстой шигээ байна. Хариултанд гурвыг оруулаагүй, учир нь анхны тэгш бус байдал нь хатуу байна. Тэгээд зургаан асаалттай, учир нь зургаа дахь функц байгаа бөгөөд тэгш бус байдлын нөхцөл хангагдсан байна. Бид (ердийн хэлбэрээр) байхгүй тэгш бус байдлыг амжилттай шийдсэн ...
Зарим мэдлэг, энгийн логик нь таныг стандарт бус тохиолдолд авардаг.)
"Функц" гэсэн ойлголтын сонгодог тодорхойлолтуудын нэг бол захидал харилцаанд үндэслэсэн тодорхойлолт юм. Ийм хэд хэдэн тодорхойлолтыг танилцуулъя.
Тодорхойлолт 1
Бие даасан хувьсагчийн утга тус бүр нь хамааралтай хувьсагчийн нэг утгатай тохирч байх хамаарлыг гэнэ функц.
Тодорхойлолт 2
$X$ ба $Y$ хоосон бус хоёр багцыг өгье. X$-д $x\-д нэг бөгөөд зөвхөн нэг $y\-д Y$-тэй таарч байгаа $f$ захидал харилцааг нэрлэнэ. функц($f:X → Y$).
Тодорхойлолт 3
$M$ ба $N$ хоёр дурын тооны олонлог байг. X$ дахь $x\ элемент бүр $N$-ын нэг бөгөөд зөвхөн нэг элементтэй холбогдсон бол $f$ функцийг $N$-аас утгыг авч, $M$ дээр тодорхойлогддог.
Хувьсах хэмжигдэхүүний тухай ойлголтоор дамжуулан дараах тодорхойлолтыг өгсөн болно. Хувьсах хэмжигдэхүүн нь тухайн судалгаанд өөр өөр тоон утгыг авдаг хэмжигдэхүүн юм.
Тодорхойлолт 4
$M$-г $x$ хувьсагчийн утгуудын багц гэж үзье. Дараа нь M$ дахь $x\ утга бүр өөр нэг хувьсагчийн тодорхой утгатай тохирч байвал $y$ $M$ багц дээр тодорхойлсон $x$ утгын функц болно.
Тодорхойлолт 5
$X$ ба $Y$-г зарим тооны багц гэж үзье. Функц гэдэг нь $(x,\y)$ тоонуудын $x\-д X$, $y\\-д Y$ ба $x$ бүр нь зөвхөн нэг хос тоонд багтсан $f$ багц юм. энэ багц бөгөөд $y$ бүр дор хаяж нэг хос байна.
Тодорхойлолт 6
Дурын багц $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ $\left(x,\ y\right)$ захиалгатай хосуудын хувьд $\left(x",\y" $y"≠ y""$ нөхцөлөөс $\left(x"",\ y""\right)\f$-д \right)\f$ ба $\left(x"",\ y""\right)\in f$-д $x"≠x""$ байна гэсэн үг. функц эсвэл дэлгэц гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 7
$f:X → Y$ функц нь $f$ дараалсан хосуудын $\left(x,\y\right)\X\times Y$-ийн багц бөгөөд X$-ын дурын $x\ элементийн хувьд $\left(x,\ y\right)\in f$, өөрөөр хэлбэл функц нь $\left(f,\ X,\ Y\right) объектуудын багц юм. доллар.
Эдгээр тодорхойлолтуудад
$x$ нь бие даасан хувьсагч юм.
$y$ нь хамааралтай хувьсагч юм.
$x$ хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг ба $y$ хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг.
Функцийг тодорхойлох аналитик арга
Энэ аргын хувьд бидэнд аналитик илэрхийлэл гэсэн ойлголт хэрэгтэй.
Тодорхойлолт 8
Аналитик илэрхийлэл нь аливаа тоо, хувьсагчид дээр хийж болох бүх математик үйлдлүүдийн үржвэр юм.
Функцийг тодорхойлох аналитик арга бол аналитик илэрхийлэл ашиглан тодорхойлох явдал юм.
Жишээ 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Давуу тал:
- Томъёо ашиглан бид $x$ хувьсагчийн тодорхой утгын функцийн утгыг тодорхойлж болно;
- Ийм байдлаар тодорхойлсон функцуудыг математик шинжилгээний аппарат ашиглан судалж болно.
Сул тал:
- Харагдах байдал бага.
- Заримдаа та маш төвөгтэй тооцоолол хийх хэрэгтэй болдог.
Функцийг тодорхойлох хүснэгтийн арга
Даалгаврын энэ арга нь бие даасан хувьсагчийн хэд хэдэн утгуудын хувьд хамааралтай хувьсагчийн утгыг бичихээс бүрдэнэ. Энэ бүгдийг хүснэгтэд оруулсан болно.
Жишээ 2
Зураг 1.
Дээрээс нь:Хүснэгтэд орсон $x$ бие даасан хувьсагчийн дурын утгын хувьд $y$ функцийн харгалзах утга шууд мэдэгдэнэ.
Сул тал:
- Ихэнх тохиолдолд функцын бүрэн тодорхойлолт байдаггүй;
- Харагдах байдал бага.
