Fraktály v chémii. Laboratórium vesmírneho výskumu

Fraktál

Fraktál (lat. fractus- rozdrvený, zlomený, zlomený) je geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, to znamená zložený z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celému útvaru. V matematike sa fraktály v euklidovskom jazyku chápu ako množiny bodov priestoru, ktoré majú zlomkový metrický rozmer (v zmysle Minkowského alebo Hausdorffa), alebo metrický rozmer odlišný od topologického. Fraktasmus je nezávislá exaktná veda o štúdiu a skladaní fraktálov.

Inými slovami, fraktály sú geometrické objekty so zlomkovým rozmerom. Napríklad rozmer čiary je 1, plocha je 2 a objem je 3. Pre fraktál môže byť hodnota rozmeru medzi 1 a 2 alebo medzi 2 a 3. Napríklad fraktálny rozmer pokrčeného papierová guľa je približne 2,5. V matematike existuje špeciálny zložitý vzorec na výpočet dimenzie fraktálov. Vetvy tracheálnych trubíc, listy na stromoch, žily v ruke, rieka - to sú fraktály. Zjednodušene povedané, fraktál je geometrický útvar, ktorého určitá časť sa znova a znova opakuje a mení veľkosť – to je princíp sebapodobnosti. Fraktály sú si podobné, sú si podobné na všetkých úrovniach (t.j. v akejkoľvek mierke). Existuje mnoho rôznych typov fraktálov. V zásade možno tvrdiť, že všetko, čo existuje v reálnom svete, je fraktál, či už je to oblak alebo molekula kyslíka.

Slovo „chaos“ núti človeka myslieť na niečo nepredvídateľné, ale v skutočnosti je chaos celkom usporiadaný a riadi sa určitými zákonmi. Cieľom štúdia chaosu a fraktálov je predpovedať vzory, ktoré sa na prvý pohľad môžu zdať nepredvídateľné a úplne chaotické.

Priekopníkom v tejto oblasti poznania bol francúzsko-americký matematik, profesor Benoit B. Mandelbrot. V polovici 60. rokov vyvinul fraktálnu geometriu, ktorej účelom bolo analyzovať zlomené, zvrásnené a neostré tvary. Mandelbrotova množina (zobrazená na obrázku) je prvou asociáciou, ktorá sa v človeku objaví, keď počuje slovo „fraktál“. Mimochodom, Mandelbrot určil, že fraktálny rozmer anglického pobrežia je 1,25.

Fraktály nájdu všetko väčšie uplatnenie vo vede. Opisujú reálny svet dokonca lepšie ako tradičná fyzika alebo matematika. Brownov pohyb- ide napríklad o náhodný a chaotický pohyb prachových častíc suspendovaných vo vode. Tento typ pohybu je možno aspektom fraktálnej geometrie, ktorý má najpraktickejšie využitie. Náhodný Brownov pohyb má frekvenčnú odozvu, ktorú možno použiť na predpovedanie javov vrátane veľké množstváúdaje a štatistiky. Napríklad Mandelbrot predpovedal zmeny cien vlny pomocou Brownovho pohybu.

Slovo „fraktál“ možno použiť nielen ako matematický výraz. V tlači a populárnej vedeckej literatúre možno fraktál nazvať postavou, ktorá má niektorú z nasledujúcich vlastností:

Má netriviálnu štruktúru vo všetkých mierkach. Toto je na rozdiel od pravidelných útvarov (ako je kruh, elipsa, graf hladkej funkcie): ak vezmeme do úvahy malý fragment pravidelného útvaru vo veľmi veľkej mierke, bude to vyzerať ako fragment priamky. Pre fraktál nevedie zväčšenie mierky k zjednodušeniu štruktúry, na všetkých mierkach uvidíme rovnako zložitý obraz.

Je sebepodobný alebo približne sebepodobný.

Má zlomkový metrický rozmer alebo metrický rozmer, ktorý presahuje topologický rozmer.

Najužitočnejšie využitie fraktálov vo výpočtovej technike je kompresia fraktálnych dát. Zároveň sú obrázky komprimované oveľa lepšie, ako sa to robí konvenčnými metódami - až 600:1. Ďalšou výhodou fraktálnej kompresie je, že pri zväčšení nedochádza k efektu pixelizácie, čo dramaticky zhoršuje obraz. Navyše fraktálne komprimovaný obrázok po zväčšení často vyzerá ešte lepšie ako predtým. Počítačoví vedci tiež vedia, že fraktály nekonečnej zložitosti a krásy môžu byť generované jednoduchými vzorcami. Filmový priemysel vo veľkej miere využíva technológiu fraktálnej grafiky na vytváranie realistických prvkov krajiny (oblaky, skaly a tiene).

Štúdium turbulencie v tokoch sa veľmi dobre prispôsobuje fraktálom. To nám umožňuje lepšie pochopiť dynamiku zložitých tokov. Pomocou fraktálov môžete tiež simulovať plamene. Porézne materiály sú dobre zastúpené vo fraktálnej forme vďaka tomu, že majú veľmi zložitú geometriu. Na prenos dát na veľké vzdialenosti sa používajú antény s fraktálnymi tvarmi, čo výrazne znižuje ich veľkosť a hmotnosť. Fraktály sa používajú na opis zakrivenia povrchov. Nerovný povrch je charakterizovaný kombináciou dvoch rôznych fraktálov.

Mnohé objekty v prírode majú fraktálne vlastnosti, napríklad pobrežia, oblaky, koruny stromov, snehové vločky, obehový systém a alveolárny systém ľudí alebo zvierat.

Fraktály, najmä v lietadle, sú obľúbené vďaka kombinácii krásy s jednoduchosťou konštrukcie pomocou počítača.

Prvé príklady sebepodobných množín s neobvyklými vlastnosťami sa objavili v 19. storočí (napr. Bolzanova funkcia, Weierstrassova funkcia, Cantorova množina). Termín „fraktál“ zaviedol Benoit Mandelbrot v roku 1975 a získal si širokú popularitu vydaním svojej knihy „Fractal Geometry of Nature“ v roku 1977.

Obrázok vľavo ukazuje jednoduchý príklad fraktálu Darer Pentagon, ktorý vyzerá ako zhluk päťuholníkov stlačených dohromady. V skutočnosti je tvorený použitím päťuholníka ako iniciátora a rovnoramenných trojuholníkov, v ktorých sa pomer väčšej strany k menšej presne rovná takzvanému zlatému rezu (1,618033989 alebo 1/(2cos72°)). generátor. Tieto trojuholníky sú vyrezané zo stredu každého päťuholníka, výsledkom čoho je tvar, ktorý vyzerá ako 5 malých päťuholníkov prilepených k jednému veľkému.

Teória chaosu hovorí, že zložité nelineárne systémy sú dedične nepredvídateľné, no zároveň tvrdí, že spôsob vyjadrenia takýchto nepredvídateľných systémov sa ukazuje ako správny nie v presných rovnosti, ale v znázorneniach správania systému – v grafoch. podivné atraktory, ktoré majú formu fraktálov. Teória chaosu, ktorú mnohí považujú za nepredvídateľnosť, sa teda ukazuje ako veda o predvídateľnosti aj v tých najnestabilnejších systémoch. Štúdium dynamických systémov ukazuje, že jednoduché rovnice môžu viesť k chaotickému správaniu, v ktorom sa systém nikdy nevráti do stabilného stavu a neobjaví sa žiadny vzor. Často sa takéto systémy do určitej hodnoty kľúčového parametra správajú celkom normálne, potom zažijú prechod, v ktorom sú dve možnosti ďalšieho vývoja, potom štyri a nakoniec chaotická množina možností.

Schémy procesov vyskytujúcich sa v technických objektoch majú jasne definovanú fraktálnu štruktúru. Minimálna štruktúra technický systém(TS) znamená výskyt dvoch typov procesov v rámci TS - hlavného a podporného, pričom toto rozdelenie je podmienené a relatívne. Každý proces môže byť hlavným vo vzťahu k podporným procesom a ktorýkoľvek z podporných procesov môže byť považovaný za hlavný vo vzťahu k „svojim“ podporným procesom. Kruhy v diagrame označujú fyzikálne efekty, ktoré zabezpečujú výskyt tých procesov, pre ktoré nie je potrebné špeciálne vytvárať „svoje“ vozidlá. Tieto procesy sú výsledkom interakcií medzi látkami, poľami, látkami a poľami. Presnejšie povedané, fyzikálny efekt je vozidlo, ktorého princíp fungovania nevieme ovplyvniť a nechceme ani nemáme možnosť zasahovať do jeho dizajnu.

Tok hlavného procesu znázorneného v diagrame je zabezpečený existenciou troch podporných procesov, ktoré sú hlavné pre TS, ktoré ich generujú. Aby sme boli féroví, podotýkame, že na fungovanie aj minimálneho TS jednoznačne nestačia tri procesy, t.j. Schéma je veľmi, veľmi prehnaná.

Všetko zďaleka nie je také jednoduché, ako je znázornené na obrázku. Užitočné ( potrebné pre človeka) proces nie je možné vykonať so 100% účinnosťou. Rozptýlená energia sa vynakladá na vytváranie škodlivých procesov - zahrievanie, vibrácie atď. V dôsledku toho vznikajú škodlivé súbežne s prospešným procesom. Nie vždy je možné nahradiť „zlý“ proces „dobrým“, preto je potrebné organizovať nové procesy zamerané na kompenzáciu následkov škodlivých pre systém. Typickým príkladom je potreba bojovať proti treniu, ktorá núti organizovať dômyselné mazacie schémy, používať drahé antifrikčné materiály alebo tráviť čas mazaním komponentov a dielov alebo ich pravidelnou výmenou.

Kvôli nevyhnutnému vplyvu premenlivého prostredia môže byť potrebné riadiť užitočný proces. Ovládanie môže byť vykonávané buď pomocou automatických zariadení alebo priamo osobou. Procesná schéma je vlastne súbor špeciálnych príkazov, t.j. algoritmu. Podstatou (popisom) každého príkazu je súhrn jediného užitočného procesu, ktorý ho sprevádza škodlivé procesy a súbor nevyhnutných kontrolných procesov. V takomto algoritme je súbor podporných procesov regulárnym podprogramom – a tu objavíme aj fraktál. Metóda R. Kollera, ktorá vznikla pred štvrťstoročím, umožňuje vytvárať systémy s pomerne obmedzenou množinou iba 12 párov funkcií (procesov).

Sebepodobné množiny s neobvyklými vlastnosťami v matematike

Počnúc koniec XIX storočia sa v matematike objavujú príklady sebepodobných objektov s vlastnosťami, ktoré sú z pohľadu klasickej analýzy patologické. Patria sem nasledujúce položky:

Súprava Cantor je nikde hustá nespočetná dokonalá súprava. Úpravou postupu je možné získať aj nikde hustú množinu kladnej dĺžky.

Sierpinského trojuholník („obrus“) a Sierpinského koberec sú analógmi Cantorovho setu v lietadle.

Mengerova špongia je analógom Cantora zasadeného do trojrozmerného priestoru;

príklady Weierstrass a Van der Waerden nikde nerozlíšiteľné nepretržitá funkcia.

Kochova krivka - nepretínajúca sa súvislá krivka nekonečná dĺžka, ktorý nemá v žiadnom bode dotyčnicu;

Peanova krivka je súvislá krivka prechádzajúca všetkými bodmi štvorca.

dráha Brownovej častice tiež nie je nikde diferencovateľná s pravdepodobnosťou 1. Jeho Hausdorffov rozmer je dva

Rekurzívny postup na získanie fraktálnych kriviek

Konštrukcia Kochovej krivky

Na získanie fraktálnych kriviek v rovine existuje jednoduchý rekurzívny postup. Definujme ľubovoľnú prerušovanú čiaru s konečným počtom väzieb, nazývanú generátor. Ďalej nahradíme každý segment v ňom generátorom (presnejšie prerušovanou čiarou podobnou generátoru). Vo výslednej prerušovanej čiare opäť nahradíme každý segment generátorom. Pokračujúc do nekonečna, v limite dostaneme fraktálnu krivku. Obrázok vpravo ukazuje prvé štyri kroky tohto postupu pre Kochovu krivku.

Príklady takýchto kriviek sú:

Dračia krivka,

Kochova krivka (Kochova snehová vločka),

Lewyho krivka,

Minkowského krivka,

Hilbertova krivka,

Zlomená (krivka) draka (Fraktál Harter-Haithway),

Peanova krivka.

Podobným postupom sa získa pytagorovský strom.

Fraktály ako pevné body mapovania kontrakcií

Vlastnosť sebapodobnosti môže byť vyjadrená matematicky striktne nasledovne. Nech sú kontrakčné zobrazenia roviny. Zvážte nasledujúce zobrazenie na množine všetkých kompaktných (uzavretých a ohraničených) podmnožín roviny:

Dá sa ukázať, že mapovanie je kontrakčné mapovanie na množine kompaktov s Hausdorffovou metrikou. Preto podľa Banachovej vety má toto zobrazenie jedinečný pevný bod. Tento pevný bod bude naším fraktálom.

Vyššie opísaný rekurzívny postup na získanie fraktálnych kriviek je špeciálnym prípadom tejto konštrukcie. Všetky mapovania v nej sú mapovania podobnosti a - počet odkazov generátora.

Pre Sierpinského trojuholník a mapu , , sú homotecie so stredmi vo vrcholoch pravidelného trojuholníka a koeficient 1/2. Je ľahké vidieť, že Sierpinského trojuholník sa pri zobrazení premení na seba.

V prípade, že zobrazenia sú transformáciami podobnosti s koeficientmi, možno rozmer fraktálu (za určitých dodatočných technických podmienok) vypočítať ako riešenie rovnice. Pre Sierpinského trojuholník teda získame .

Tou istou Banachovou vetou, počnúc akoukoľvek kompaktnou množinou a aplikovaním iterácií mapy na ňu, získame postupnosť kompaktných množín konvergujúcich (v zmysle Hausdorffovej metriky) k nášmu fraktálu.

Fraktály v komplexnej dynamike

Julia sada

Ďalší set Julia

Fraktály vznikajú prirodzene pri štúdiu nelineárnych dynamických systémov. Najviac skúmaný je prípad, keď je dynamický systém špecifikovaný iteráciami polynómu alebo holomorfnej funkcie komplexnej premennej v rovine. Prvé štúdie v tejto oblasti pochádzajú zo začiatku 20. storočia a sú spojené s menami Fatou a Julia.

Nechaj F(z) - polynóm, z 0 je komplexné číslo. Zvážte nasledujúcu postupnosť: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Zaujíma nás správanie sa tejto postupnosti, ako má tendenciu n do nekonečna. Táto sekvencia môže:

usilovať sa o nekonečno,

usilovať sa o konečný limit

prejavujú cyklické správanie v limite, napríklad: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

správať sa chaoticky, teda nepreukazovať žiadny z troch spomínaných typov správania.

Súbory hodnôt z 0, pre ktorú sekvencia vykazuje jeden konkrétny typ správania, ako aj viaceré bifurkačné body medzi rôznymi typmi, majú často fraktálne vlastnosti.

Množina Júlia je teda množinou bodov rozvetvenia polynómu F(z)=z 2 +c(alebo iná podobná funkcia), teda tie hodnoty z 0, pre ktoré správanie sekvencie ( z n) sa môže dramaticky meniť s ľubovoľne malými zmenami z 0 .

Ďalšou možnosťou získania fraktálnych množín je zavedenie parametra do polynómu F(z) a zváženie množiny tých hodnôt parametrov, pre ktoré sekvencia ( z n) vykazuje určité správanie pri pevnom z 0 Mandelbrotova množina je teda množinou všetkých , pre ktoré ( z n) Pre F(z)=z 2 +c A z 0 nejde do nekonečna.

Ďalší slávny príklad Newtonove bazény sú tohto druhu.

Je populárne vytvárať nádherné grafické obrázky založené na komplexnej dynamike farbením rovinných bodov v závislosti od správania zodpovedajúcich dynamických systémov. Napríklad na dokončenie sady Mandelbrot môžete body zafarbiť v závislosti od rýchlosti aspirácie ( z n) do nekonečna (definované povedzme ako najmenšie číslo n, pri ktorej | z n| prekročí pevnú veľkú hodnotu A.

Biomorfy sú fraktály postavené na základe komplexnej dynamiky a pripomínajúce živé organizmy.

Stochastické fraktály

Randomizovaný fraktál založený na Julii

Prírodné objekty majú často fraktálny tvar. Na ich modelovanie je možné použiť stochastické (náhodné) fraktály. Príklady stochastických fraktálov:

dráha Brownovho pohybu v rovine a v priestore;

hranica dráhy Brownovho pohybu v rovine. V roku 2001 Lawler, Schramm a Werner dokázali Mandelbrotovu hypotézu, že jej rozmer je 4/3.

Schramm-Löwnerove evolúcie sú konformne invariantné fraktálne krivky, ktoré vznikajú v kritických dvojrozmerných modeloch štatistickej mechaniky, napríklad v Isingovom modeli a perkolácii.

rôzne typy randomizovaných fraktálov, teda fraktály získané pomocou rekurzívnej procedúry, do ktorej sa v každom kroku zavedie náhodný parameter. Plazma je príkladom použitia takéhoto fraktálu v počítačová grafika.

V prírode

Pohľad spredu na priedušnicu a priedušky

Bronchiálny strom

Sieť krvných ciev

Aplikácia

Prírodné vedy

Vo fyzike fraktály vznikajú prirodzene pri modelovaní nelineárnych procesov, ako je turbulentné prúdenie tekutín, zložité procesy difúzia-adsorpcia, plamene, oblaky atď. Fraktály sa používajú pri modelovaní poréznych materiálov, napríklad v petrochémii. V biológii sa používajú na modelovanie populácií a na opis systémov vnútorných orgánov (systém krvných ciev).

Rádiotechnika

Fraktálne antény

Využitie fraktálnej geometrie pri navrhovaní anténnych zariadení prvýkrát použil americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bola inštalácia externých antén na budovy zakázaná. Nathan vyrezal tvar Kochovej krivky z hliníkovej fólie a prilepil ho na kus papiera a potom ho pripojil k prijímaču. Cohen založil vlastnú spoločnosť a rozbehol ich sériovú výrobu.

Počítačová veda

Kompresia obrazu

Hlavný článok: Algoritmus fraktálnej kompresie

Fraktálny strom

Existujú algoritmy kompresie obrázkov pomocou fraktálov. Sú založené na myšlienke, že namiesto samotného obrázku je možné uložiť kompresnú mapu, pre ktorú je tento obrázok (alebo nejaký blízky) pevným bodom. Použil sa jeden z variantov tohto algoritmu [ zdroj neuvedený 895 dní] spoločnosťou Microsoft pri vydávaní svojej encyklopédie, ale rozšírené tieto algoritmy neboli prijaté.

Počítačová grafika

Ďalší fraktálny strom

Fraktály sú široko používané v počítačovej grafike na vytváranie obrázkov prírodných objektov, ako sú stromy, kríky, horské krajiny, morské povrchy atď. Na generovanie fraktálových obrázkov sa používa veľa programov, pozri Fractal Generator (program).

Decentralizované siete

Systém prideľovania IP adries v sieti Netsukuku využíva princíp kompresie fraktálnych informácií na kompaktné ukladanie informácií o sieťových uzloch. Každý uzol v sieti Netsukuku uchováva len 4 KB informácií o stave susedných uzlov, pričom každý nový uzol sa pripája do spoločnej siete bez potreby centrálnej regulácie distribúcie IP adries, čo je napríklad typické pre tzv. internet. Princíp kompresie fraktálnych informácií teda zaručuje úplne decentralizovanú, a teda najstabilnejšiu prevádzku celej siete.

Často brilantné objavy, zdokonalený vo vede, môže radikálne zmeniť naše životy. Napríklad vynález vakcíny môže zachrániť veľa ľudí, ale vytvorenie nových zbraní vedie k vraždám. Doslova včera (v meradle histórie) človek „skrotil“ elektrinu a dnes si už bez nej nevie predstaviť svoj život. Sú však aj objavy, ktoré, ako sa hovorí, zostávajú v tieni, napriek tomu, že aj ony majú ten či onen dopad na náš život. Jedným z týchto objavov bol fraktál. Väčšina ľudí o tomto koncepte nikdy ani nepočula a nebude vedieť vysvetliť jeho význam. V tomto článku sa pokúsime pochopiť otázku, čo je to fraktál, a zvážiť význam tohto pojmu z pohľadu vedy a prírody.

Poriadok v chaose

Aby sme pochopili, čo je fraktál, mali by sme začať s rozborom z pozície matematiky, ale predtým, ako sa do toho ponoríme, si trochu zafilozofujeme. Každý človek má v sebe prirodzenú zvedavosť, vďaka ktorej sa učí svet. Často sa pri hľadaní vedomostí pokúša použiť logiku vo svojich úsudkoch. Analýzou procesov, ktoré sa okolo neho vyskytujú, sa teda snaží vypočítať vzťahy a odvodiť určité vzorce. Najviac skvelé mysle planéty sú zaneprázdnené riešením týchto problémov. Zhruba povedané, naši vedci hľadajú vzory tam, kde žiadne nie sú a ani by nemali byť. A predsa aj v chaose existuje spojenie medzi určitými udalosťami. Toto spojenie je to, čo je fraktál. Ako príklad si uveďme zlomený konár ležiaci na ceste. Keď sa naň pozrieme pozorne, uvidíme, že so všetkými svojimi konármi a vetvičkami vyzerá ako strom. Táto podobnosť samostatnej časti s jediným celkom naznačuje takzvaný princíp rekurzívnej sebapodobnosti. Fraktály možno nájsť všade v prírode, pretože mnoho anorganických a organických foriem vzniká podobným spôsobom. Sú to oblaky, mušle, ulity slimákov, koruny stromov a dokonca obehový systém. Tento zoznam môžeme pokračovať donekonečna. Všetky tieto náhodné tvary sú ľahko opísané fraktálnym algoritmom. Teraz sme sa zamysleli nad tým, čo je fraktál z pohľadu exaktných vied.

Pár suchých faktov

Samotné slovo „fraktál“ je preložené z latinčiny ako „čiastočný“, „rozdelený“, „fragmentovaný“ a pokiaľ ide o obsah tohto pojmu, neexistuje žiadna formulácia ako taká. Obvykle sa interpretuje ako sebepodobný súbor, časť celku, ktorý opakuje svoju štruktúru na mikroúrovni. Tento termín zaviedol v sedemdesiatych rokoch dvadsiateho storočia Benoit Mandelbrot, ktorý je uznávaný ako otec. Dnes pojem fraktál znamená grafický obrázok určitú štruktúru, ktorá po zväčšení bude podobná sebe samej. Matematický základ pre vytvorenie tejto teórie bol však položený ešte pred narodením samotného Mandelbrota, ale nemohol sa rozvíjať, kým sa neobjavili elektronické počítače.

Historické pozadie alebo ako to všetko začalo

Na prelome 19. a 20. storočia bolo skúmanie povahy fraktálov sporadické. Vysvetľuje to skutočnosť, že matematici uprednostňovali štúdium predmetov, na ktorých je možné študovať všeobecné teórie a metódy. Nemecký matematik K. Weierstrass zostrojil v roku 1872 príklad spojitej funkcie, ktorá nie je nikde diferencovateľná. Táto konštrukcia sa však ukázala ako úplne abstraktná a ťažko vnímateľná. Ďalej prišiel Švéd Helge von Koch, ktorý v roku 1904 zostrojil súvislú krivku, ktorá nikde nemala dotyčnicu. Kreslenie je pomerne jednoduché a ukázalo sa, že má fraktálne vlastnosti. Jeden z variantov tejto krivky bol pomenovaný po jej autorovi - „Kochova snehová vločka“. Myšlienku sebapodobnosti postáv ďalej rozvinul budúci mentor B. Mandelbrot Francúz Paul Levy. V roku 1938 publikoval článok „Rovinné a priestorové krivky a plochy pozostávajúce z častí podobných celku“. V ňom opísal nový druh- Leviho C-krivka. Všetky vyššie uvedené obrázky sú konvenčne klasifikované ako geometrické fraktály.

Dynamické alebo algebraické fraktály

TO túto triedu odkazuje na Mandelbrotovu množinu. Prvými výskumníkmi v tomto smere boli Francúzski matematici Pierre Fatou a Gaston Julia. V roku 1918 Julia publikovala článok založený na štúdiu iterácií racionálneho komplexné funkcie. Tu opísal rodinu fraktálov, ktoré úzko súvisia s Mandelbrotovou množinou. Napriek tomu, že táto práca preslávila autorku medzi matematikmi, rýchlo sa na ňu zabudlo. A len o pol storočia neskôr vďaka počítačom dostala Juliina práca druhý život. Počítače umožnili každému zviditeľniť krásu a bohatstvo sveta fraktálov, ktoré matematici mohli „vidieť“ tým, že ich zobrazili prostredníctvom funkcií. Mandelbrot bol prvý, kto použil počítač na vykonanie výpočtov (taký objem sa nedá urobiť ručne), čo umožnilo zostaviť obraz týchto čísel.

Človek s priestorovou predstavivosťou

Mandelbrot začal svoje vedeckej kariéry V výskumné stredisko IBM. Skúmanie možností prenosu dát do dlhé vzdialenosti, vedci čelia skutočnosti veľké straty ktoré vznikli v dôsledku rušenia šumom. Benoit hľadal spôsoby, ako tento problém vyriešiť. Pri pohľade na výsledky meraní si všimol zvláštny vzorec, konkrétne: grafy hluku vyzerali rovnako v rôznych časových mierkach.

Podobný obraz bol pozorovaný ako počas jedného dňa, tak počas siedmich dní alebo počas jednej hodiny. Sám Benoit Mandelbrot často opakoval, že nepracuje so vzorcami, ale hrá sa s obrázkami. Tento vedec bol iný nápadité myslenie, akýkoľvek algebraický problém preložil do geometrickej oblasti, kde je správna odpoveď zrejmá. Preto nie je prekvapujúce, že sa vyznačuje bohatstvom a stal sa otcom fraktálnej geometrie. Koniec koncov, uvedomenie si tohto čísla môže prísť len vtedy, keď budete študovať kresby a premýšľať o význame týchto zvláštnych vírov, ktoré tvoria vzor. Fraktálne vzory nemajú identické prvky, ale sú podobné v akejkoľvek mierke.

Júlia - Mandelbrot

Jednou z prvých kresieb tejto postavy bola grafická interpretácia výpravy, ktorá sa zrodila z diela Gastona Juliu a ďalej ju rozvinul Mandelbrot. Gaston sa pokúsil predstaviť si, ako vyzerá súprava, postavená na základe jednoduchého vzorca, ktorý sa iteruje cez slučku spätná väzba. Pokúsme sa vysvetliť, čo bolo povedané ľudský jazyk, takpovediac na prstoch. Pre konkrétneho číselná hodnota pomocou vzorca nájdeme novú hodnotu. Dosadíme ho do vzorca a zistíme nasledovné. Výsledok je veľký. Ak chcete reprezentovať takúto množinu, musíte vykonať túto operáciu veľké množstvo krát: stovky, tisíce, milióny. Toto urobil Benoit. Spracoval sekvenciu a preniesol výsledky do grafickej podobe. Následne výsledný obrazec vyfarbil (každá farba zodpovedá určitý počet iterácie). Tento grafický obrázok bol nazvaný „Mandelbrotov fraktál“.

L. Carpenter: umenie vytvorené prírodou

Teória fraktálov rýchlo našla praktické uplatnenie. Keďže veľmi úzko súvisí s vizualizáciou sebepodobných obrazov, ako prví si osvojili princípy a algoritmy na vytváranie týchto nezvyčajné tvary, sa stali umelcami. Prvou z nich bola budúca zakladateľka Pixaru Lauren Carpenter. Pri práci na prezentácii prototypov lietadiel prišiel na nápad použiť ako pozadie obrázok hôr. Dnes sa s takouto úlohou dokáže vyrovnať takmer každý používateľ počítača, no v sedemdesiatych rokoch minulého storočia počítače takéto procesy vykonávať neboli, pretože v tom čase neexistovali grafické editory ani aplikácie pre trojrozmernú grafiku. A potom Loren natrafil na Mandelbrotovu knihu „Fractals: Form, Randomness and Dimension“. Benoit v ňom uviedol mnoho príkladov, ktoré ukazujú, že fraktály existujú v prírode (fyva), opísal ich rôzne tvary a dokázal, že sa dajú ľahko opísať. matematické výrazy. Matematik uviedol túto analógiu ako argument pre užitočnosť teórie, ktorú rozvíjal v reakcii na záplavu kritiky od svojich kolegov. Tvrdili, že fraktál je spravodlivý Pekný obrázok, ktoré nemajú žiadnu hodnotu, sú vedľajším produktom práce elektronické stroje. Carpenter sa rozhodol vyskúšať túto metódu v praxi. Po dôkladnom preštudovaní knihy začal budúci animátor hľadať spôsob, ako implementovať fraktálnu geometriu do počítačovej grafiky. Vykreslenie úplne realistického obrazu horskej krajiny na počítači mu trvalo len tri dni. A dnes je tento princíp široko používaný. Ako sa ukazuje, vytváranie fraktálov nezaberie veľa času a úsilia.

Tesárske riešenie

Princíp, ktorý Lauren použila, bol jednoduchý. Spočíva v rozdelení väčších na malé prvky a tie na podobné menšie atď. Carpenter ich pomocou veľkých trojuholníkov rozdelil na 4 malé a tak ďalej, až kým nezískal realistickú horskú krajinu. Stal sa tak prvým umelcom, ktorý použil fraktálny algoritmus v počítačovej grafike na vytvorenie požadovaného obrazu. Dnes sa tento princíp používa na napodobňovanie rôznych realistických prírodných foriem.

Prvá 3D vizualizácia pomocou fraktálneho algoritmu

Počas niekoľkých rokov Lauren aplikovala svoj vývoj v rozsiahly projekt- animované video Vol Libre, uvedené na Siggraph v roku 1980. Toto video mnohých šokovalo a jeho tvorca bol pozvaný do Lucasfilmu. Tu animátor mohol naplno využiť svoj potenciál; vytvoril trojrozmerné krajiny (celú planétu) pre celovečerný film „Star Trek“. akýkoľvek moderný program(„Fractals“) alebo 3D grafická aplikácia (Terragen, Vue, Bryce) používa rovnaký algoritmus na modelovanie textúr a povrchov.

Tom Beddard

Beddard, bývalý laserový fyzik a teraz digitálny umelec a umelec, vytvoril množstvo veľmi zaujímavých geometrických tvarov, ktoré nazval Fabergého fraktály. Navonok pripomínajú ozdobné vajíčka od ruského klenotníka, majú rovnaký brilantný, zložitý vzor. Beddard použil metódu šablóny na vytvorenie svojich digitálnych stvárnení modelov. Výsledné produkty ohromujú svojou krásou. Hoci mnohí odmietajú porovnávať produkt vlastnoručný s počítačovým programom, no treba uznať, že výsledné formy sú mimoriadne krásne. Vrcholom je, že každý môže vytvoriť takýto fraktál pomocou softvérovej knižnice WebGL. Umožňuje vám skúmať rôzne fraktálne štruktúry v reálnom čase.

Fraktály v prírode

Málokto tomu venuje pozornosť, ale tieto úžasné postavy sú prítomné všade. Príroda je vytvorená sama zo seba podobné čísla, len si to nevšímame. Stačí sa pozrieť cez lupu na našu kožu alebo list stromu a uvidíme fraktály. Alebo si vezmite napríklad ananás alebo dokonca páví chvost - pozostávajú z podobných figúrok. A odroda brokolice Romanescu je vo všeobecnosti pozoruhodná svojím vzhľadom, pretože ju možno skutočne nazvať zázrakom prírody.

Hudobná pauza

Ukazuje sa, že fraktály nie sú len geometrické obrazce, môžu to byť aj zvuky. Hudobník Jonathan Colton teda píše hudbu pomocou fraktálnych algoritmov. Tvrdí, že zodpovedá prirodzenej harmónii. Skladateľ zverejňuje všetky svoje diela na základe licencie CreativeCommons Attribution-Noncommerce, ktorá umožňuje bezplatné šírenie, kopírovanie a prevod diel iným.

Fraktálny indikátor

Táto technika našla veľmi neočakávané uplatnenie. Na jeho základe bol vytvorený nástroj na analýzu burzového trhu a vďaka tomu sa začal používať na devízovom trhu. V súčasnosti sa fraktálny indikátor nachádza na všetkých obchodných platformách a používa sa v obchodnej technike nazývanej prerazenie cien. Túto techniku vyvinul Bill Williams. Ako autor komentuje svoj vynález, tento algoritmus je kombináciou niekoľkých „sviec“, v ktorých centrálna odráža maximálny alebo naopak minimálny krajný bod.

Konečne

Pozreli sme sa teda na to, čo je fraktál. Ukazuje sa, že v chaose, ktorý nás obklopuje, skutočne existujú dokonalé tvary. Príroda je najlepší architekt, ideálny staviteľ a inžinier. Je usporiadaný veľmi logicky a ak nenájdeme vzor, neznamená to, že neexistuje. Možno sa musíme pozrieť v inej mierke. Môžeme s istotou povedať, že fraktály majú stále veľa tajomstiev, ktoré ešte musíme objaviť.

Na prezentáciu celej škály fraktálov je vhodné uchýliť sa k ich všeobecne akceptovanej klasifikácii.

2.1 Geometrické fraktály

Fraktály tejto triedy sú najvizuálnejšie. V dvojrozmernom prípade sa získajú pomocou nejakej prerušovanej čiary (alebo plochy v trojrozmernom prípade), tzv generátor. V jednom kroku algoritmu sa každý zo segmentov, ktoré tvoria lomenú čiaru, nahradí generátorovou líniou vo vhodnej mierke. V dôsledku nekonečného opakovania tohto postupu sa získa geometrický fraktál.

Obr 1. Konštrukcia krivky Kochovej triády.

Zoberme si jeden z týchto fraktálnych objektov - triadickú Kochovu krivku. Konštrukcia krivky začína segmentom jednotkovej dĺžky (obr. 1) – ide o 0. generáciu Kochovej krivky. Ďalej je každý odkaz (jeden segment v nulovej generácii) nahradený formačný prvok 1, označený na obr n=1. V dôsledku tohto nahradenia sa získa ďalšia generácia Kochovej krivky. V 1. generácii je to krivka štyroch priamych článkov, každá dĺžka 1/3 . Na získanie 3. generácie sa vykonajú rovnaké akcie - každý článok je nahradený zmenšeným tvarovacím prvkom. Takže na získanie každej nasledujúcej generácie musia byť všetky články predchádzajúcej generácie nahradené redukovaným tvarovacím prvkom. Krivka n-th generácia pre akúkoľvek konečnú n volal prefraktálny. Obrázok 1 zobrazuje päť generácií krivky. O n Keď sa Kochova krivka blíži k nekonečnu, stáva sa z nej fraktálny objekt.

Obrázok 2. Konštrukcia „draka“ Harter-Haithway.

Ak chcete získať ďalší fraktálny objekt, musíte zmeniť pravidlá konštrukcie. Nech formovacím prvkom sú dva rovnaké segmenty spojené v pravých uhloch. V nultej generácii nahradíme jednotkový segment na tento tvarovací prvok tak, že roh je navrchu. Dá sa povedať, že pri takejto výmene dochádza k posunutiu stredu článku. Pri konštrukcii nasledujúcich generácií sa dodržiava pravidlo: úplne prvý článok vľavo sa nahradí tvarovacím prvkom tak, že stred článku sa posunie doľava od smeru pohybu a pri výmene nasledujúcich článkov sa smery posunutie stredov segmentov sa musí striedať. Obrázok 2 zobrazuje niekoľko prvých generácií a 11. generáciu krivky zostavenej podľa vyššie opísaného princípu. Limitná fraktálna krivka (at n tendencia k nekonečnu) sa nazýva Harter-Haithwayov drak .

IN strojová grafika použitie geometrických fraktálov je nevyhnutné pri získavaní obrázkov stromov, kríkov a pobrežia. Dvojrozmerné geometrické fraktály sa používajú na vytváranie trojrozmerných textúr (vzorov na povrchu objektu).

2.2 Algebraické fraktály

Toto je najviac veľká skupina fraktály. Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerné priestory. Najviac študované sú dvojrozmerné procesy. Interpretáciou nelineárneho iteračného procesu ako diskrétneho dynamického systému je možné použiť terminológiu teórie týchto systémov: fázový portrét, stabilný proces, atraktor atď.

Je známe, že nelineárne dynamické systémy majú niekoľko stabilných stavov. Stav, v ktorom sa dynamický systém nachádza po určitom počte iterácií, závisí od jeho počiatočného stavu. Preto má každý stabilný stav (alebo, ako sa hovorí, atraktor) určitú oblasť počiatočných stavov, z ktorých systém nevyhnutne spadne do uvažovaných konečných stavov. Fázový priestor systému je teda rozdelený na oblasti príťažlivosti atraktory. Ak je fázový priestor dvojrozmerný, potom je možné získať zafarbením oblastí príťažlivosti rôznymi farbami portrét farebnej fázy tento systém (iteratívny proces). Zmenou algoritmu výberu farieb môžete získať zložité fraktálne vzory s bizarnými viacfarebnými vzormi. Prekvapením pre matematikov bola schopnosť vytvárať veľmi zložité netriviálne štruktúry pomocou primitívnych algoritmov.

Obr 3. Mandelbrotova súprava.

Ako príklad uveďme Mandelbrotovu množinu (pozri obr. 3 a obr. 4). Algoritmus na jeho konštrukciu je pomerne jednoduchý a je založený na jednoduchom iteratívnom výraze:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

Kde Z ja a C- komplexné premenné. Pre každý počiatočný bod sa vykonávajú iterácie C obdĺžniková alebo štvorcová oblasť - podmnožina komplexnej roviny. Iteračný proces pokračuje až do Z[i] neprekročí kružnicu s polomerom 2, ktorej stred leží v bode (0,0), (to znamená, že atraktor dynamického systému je v nekonečne), alebo po dostatočne veľkom počte iterácií (napríklad 200 – 500) Z[i] bude konvergovať k nejakému bodu na kruhu. V závislosti od počtu iterácií, počas ktorých Z[i] zostal vo vnútri kruhu, môžete nastaviť farbu bodu C(Ak Z[i] zostane vo vnútri kruhu dostatočne veľký počet iterácií, proces iterácie sa zastaví a tento rastrový bod sa zafarbí na čierno).

Obr. 4. Rez hranice Mandelbrotovej množiny, zväčšená 200-krát.

Vyššie uvedený algoritmus poskytuje aproximáciu takzvanej Mandelbrotovej množiny. Sada Mandelbrot obsahuje body, ktoré počas nekonečné počet iterácií nejde do nekonečna (body sú čierne). Body patriace k hranici množiny (tu sa nachádza zložité štruktúry) ísť do nekonečna pre konečné číslo iterácií a body ležiace mimo množiny idú po niekoľkých iteráciách do nekonečna (biele pozadie).

2.3 Stochastické fraktály

Ďalšou známou triedou fraktálov sú stochastické fraktály, ktoré sa získajú, ak sa niektoré jeho parametre náhodne zmenia v iteratívnom procese. V tomto prípade sú výsledné objekty veľmi podobné prírodným - asymetrické stromy, členité pobrežia atď. Dvojrozmerné stochastické fraktály sa používajú pri modelovaní terénu a morskej hladiny.

Existujú aj iné klasifikácie fraktálov, napríklad rozdelenie fraktálov na deterministické (algebraické a geometrické) a nedeterministické (stochastické).

Fraktálny príklad

„Fractal“ zaviedli do používania matematici pred necelým polstoročím a čoskoro sa stal spolu so synergetikou a atraktorom jedným z „troch pilierov“ mladej teórie deterministického chaosu a dnes je už uznávaný ako jeden z základné prvky štruktúry vesmíru.

S sa prekladá latinské slovo fractus ako "rozbité", moderné latinské jazyky dal tomu význam „roztrhané“. Fraktál je niečo, čo je identické s celkom/väčším, ktorého je súčasťou, a zároveň kopíruje každý svoj vlastný komponent. „Fraktalita“ je teda nekonečná podobnosť „všetkého“ s jeho komponentmi, to znamená, že ide o sebapodobnosť na akejkoľvek úrovni. Každá úroveň fraktálnej vetvy sa nazýva „iterácia“; čím rozvinutejší je popísaný alebo graficky znázornený systém, tým viac fraktálnych iterácií pozorovateľ vidí. V tomto prípade sa bod, v ktorom dochádza k rozdeleniu (napríklad kmeň na vetvy, rieka na dva toky atď.), nazývaný bod bifurkácie.

Termín fraktus bol vybraný matematikom Benoitom Mandelbrotom v roku 1975, aby opísal vedecký objav a stal sa populárnym o niekoľko rokov neskôr – po tom, čo túto tému rozvinul pre širšie publikum vo svojej knihe Fractal Geometry of Nature.

Dnes je fraktál všeobecne známy ako fantastické vzory takzvaného „fraktálneho umenia“, ktoré vytvoril počítačové programy. Ale s pomocou počítača môžete vytvárať nielen krásne abstraktné obrázky, ale aj veľmi vierohodné prírodné krajiny - hory, rieky, lesy. Tu je v skutočnosti bod prechodu vedy do skutočný život, alebo naopak, ak predpokladáme, že je všeobecne možné ich oddeliť.

Faktom je, že fraktálny princíp vhodné nielen na popis objavov v exaktné vedy. Toto je predovšetkým princíp štruktúry a vývoja samotnej prírody. Všetko okolo nás sú fraktály! Najviditeľnejšou skupinou príkladov sú rieky s prítokmi, žilový systém s vlásočnicami, blesky, mrazy, stromy... Novšie vedci, testujúci fraktálna teória, experimentálne overili, že na základe diagramu jedného stromu možno vyvodiť závery o lesnej oblasti, kde tieto stromy rastú. Ďalšie príklady fraktálových skupín: atóm – molekula – planetárny systém – slnečná sústava- galaxie - vesmír... Minúta - hodina - deň - týždeň - mesiac - rok - storočie... Aj spoločenstvo ľudí sa organizuje podľa princípov fraktality: ja - rodina - klan - národnosť - národnosti - rasy.. Jednotlivec - skupina - strana - štát. Zamestnanec - oddelenie - oddelenie - podnik - koncern... Aj božské panteóny rôznych náboženstiev sú postavené na rovnakom princípe, vrátane kresťanstva: Boh Otec - Trojica - svätí - cirkev - veriaci, nehovoriac o organizácii božských panteónov r. pohanské náboženstvá.

Príbeh uvádza, že sebepodobné súbory boli prvýkrát zaznamenané v 19. storočí v prácach vedcov - Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, ale pravdou je, že už pohanskí Slovania nám zanechali dôkaz, že ľudia chápali individuálnu existenciu ako malý detail v nekonečnosti vesmíru. Ide o objekt, ktorý študovali historici umenia Bieloruska a Ukrajiny ľudovej kultúry, nazývaný "pavúk". Je akýmsi prototypom sochy moderný štýl"mobil" (súčiastky sú in neustály pohyb voči sebe navzájom). „Pavúk“ je často vyrobený zo slamy, pozostáva z identicky tvarovaných malých, stredných, veľké prvky, zavesené od seba tak, že každá menšia časť presne opakuje väčšiu časť a celú štruktúru ako celok. Tento dizajn bol zavesený v hlavnom rohu domu, akoby označoval svoj domov ako prvok celého sveta.

Teória fraktality dnes funguje všade, vrátane filozofie, ktorá hovorí, že počas každého života a každého života ako celku sú fraktálne „body rozdvojenia“, keď viac vysoké úrovne vývoj môže ísť rôznymi spôsobmi a moment, keď sa človek „ocitne pred voľbou“, je skutočným „bufurkačným bodom“ vo fraktáloch jeho života.

Teória deterministického chaosu hovorí, že vývoj každého fraktálu nie je nekonečný. Vedci sa domnievajú, že v určitom momente príde hranica, za ktorou sa rast iterácií zastaví a fraktál sa začne „zužovať“, postupne dosiahne svoju pôvodnú jednotkovú mieru, a potom proces opäť ide v kruhu – podobne ako pri nádychu a výdychu, zmeny rána a noci, zimy a leta v prírode.

Redaktori NNN náhodou narazili na veľmi zaujímavý materiál, prezentované v blogu používateľa xtsarx, venovanom prvkom teórie fraktály a jej praktické uplatnenie. Ako je známe, teória fraktálov má ďaleko posledná rola vo fyzike a chémii nanosystémov. Tým, že som prispel k tomuto dobrému materiálu, prezentovanému v jazyku dostupnom pre veľký rozsahčitateľov a podporené množstvom grafického a dokonca aj video materiálu, predstavujeme vám ho. Dúfame, že čitatelia NNN považujú tento materiál za zaujímavý.

Príroda je taká tajomná, že čím viac ju študujete, tým viac otázok sa objavuje... Nočné blesky - modré „trysky“ rozvetvených výbojov, mrazivé vzory na okne, snehové vločky, hory, oblaky, kôra stromov - to všetko presahuje bežné Euklidovská geometria. Nemôžeme opísať skalu alebo hranice ostrova pomocou priamych čiar, kruhov a trojuholníkov. A tu nám prichádzajú na pomoc fraktály. Čo sú títo známi cudzinci?

„Pod mikroskopom to zistil na blchách
Blcha, ktorá hryzie životy;
Na tej blche je malá blcha,
Zub nahnevane prepichne blchu
Blcha a tak do nekonečna.“ D. Swift.

Trochu histórie

Prvé nápady fraktálna geometria vznikla v 19. storočí. Cantor pomocou jednoduchého rekurzívneho (opakujúceho sa) postupu premenil čiaru na zbierku nesúvislých bodov (tzv. Cantor Dust). Zobral riadok a odstránil strednú tretinu a potom to isté zopakoval so zvyšnými časťami.

Ryža. 1. Peanova krivka 1,2–5 iterácií.

Peano kreslil zvláštny druh linky. Peano urobil nasledovné:: V prvom kroku vzal priamku a nahradil ju 9 segmentmi 3-krát kratšími, ako je dĺžka pôvodnej čiary. Potom urobil to isté s každým segmentom výslednej čiary. A tak ďalej do nekonečna. Jeho jedinečnosťou je, že vypĺňa celú rovinu. Je dokázané, že pre každý bod na rovine sa dá nájsť bod patriaci do línie Peano. Peanova krivka a Cantorov prach presahovali bežné geometrické objekty. Nemali jasný rozmer. Cantorov prach sa zdal byť postavený na základe jednorozmernej priamky, no pozostával z bodov (rozmer 0). A Peanova krivka bola postavená na základe jednorozmernej čiary a výsledkom bola rovina. V mnohých iných oblastiach vedy sa objavili problémy, ktorých riešenie viedlo k zvláštnym výsledkom podobným tým, ktoré sú opísané vyššie (Brownov pohyb, ceny akcií). Tento postup zvládne každý z nás...

Otec fraktálov

Do 20. storočia údaje o takých zvláštne predmety bez akéhokoľvek pokusu o ich systematizáciu. To bolo dovtedy, kým som si ich nevzal Benoit Mandelbrot – otec modernej fraktálnej geometrie a slovo fraktál.

Ryža. 2. Benoit Mandelbrot.

Keď pracoval ako matematický analytik v IBM, študoval hluk v elektronické obvody, ktoré nebolo možné opísať pomocou štatistík. Postupným porovnávaním faktov dospel k objavu nového smeru v matematike - fraktálna geometria.

Termín „fraktál“ zaviedol B. Mandelbrot v roku 1975. Podľa Mandelbrota, fraktál(z latinského „fractus“ - zlomkový, zlomený, zlomený) sa nazýva štruktúra pozostávajúca z častí podobných celku. Vlastnosť sebapodobnosti ostro odlišuje fraktály od objektov klasickej geometrie. Termín sebapodobnosť znamená prítomnosť jemnej, opakujúcej sa štruktúry, a to ako na najmenších mierkach objektu, tak aj na makroúrovni.

Ryža. 3. Smerom k definícii pojmu „fraktál“.

Príklady sebapodobnosti sú: Koch, Levy, Minkowského krivky, Sierpinského trojuholník, Mengerova špongia, Pytagorov strom atď.

S matematický bod vízia, fraktál- toto je v prvom rade, súbor s zlomkovou (strednou, „nie celočíselnou“) dimenziou. Zatiaľ čo hladká euklidovská čiara vypĺňa presne jednorozmerný priestor, fraktálna krivka presahuje hranice jednorozmerného priestoru a zasahuje za hranice do dvojrozmerného priestoru. Fraktálny rozmer Kochovej krivky bude teda medzi 1 a 2 To v prvom rade znamená, že pre fraktálny objekt nie je možné presne zmerať jeho dĺžku! Z týchto geometrických fraktálov je prvý veľmi zaujímavý a celkom známy - Kochova snehová vločka.

Ryža. 4. Smerom k definícii pojmu „fraktál“.

Je postavená na základe rovnostranný trojuholník . Každý riadok je nahradený 4 riadkami, každý 1/3 pôvodnej dĺžky. Pri každej iterácii sa teda dĺžka krivky zväčší o tretinu. A ak áno nekonečné číslo iterácie - dostaneme fraktál - Kochovu snehovú vločku nekonečnej dĺžky. Ukazuje sa, že naša nekonečná krivka pokrýva obmedzená oblasť. Pokúste sa urobiť to isté pomocou metód a obrázkov z euklidovskej geometrie.
Koch rozmer snehovej vločky(keď sa snehová vločka zväčší 3-krát, jej dĺžka sa zväčší 4-krát) D=log(4)/log(3)=1,2619.

O samotnom fraktále

Fraktály nachádzajú stále viac aplikácií vo vede a technike. Hlavným dôvodom je to, že opisujú skutočný svet niekedy dokonca lepšie ako tradičná fyzika alebo matematika. Môžete donekonečna uvádzať príklady fraktálnych objektov v prírode - sú to oblaky, snehové vločky, hory a záblesk blesku a nakoniec karfiol. Fraktálne ako prírodný objekt– to je večný nepretržitý pohyb, nové formovanie a vývoj.

Ryža. 5. Fraktály v ekonómii.

okrem toho fraktály nachádzajú uplatnenie v decentralizovaných počítačové siete A "fraktálne antény" . Takzvané „Brownove fraktály“ sú veľmi zaujímavé a sľubné na modelovanie rôznych stochastických (nedeterministických) „náhodných“ procesov. V prípade nanotechnológií zohrávajú úlohu aj fraktály dôležitá úloha , pretože vzhľadom na ich hierarchickú samoorganizáciu mnohí nanosystémy majú neceločíselný rozmer, to znamená, že ide o fraktály vo svojej geometrickej, fyzikálno-chemickej alebo funkčnej povahe. Napríklad, žiarivý príklad chemické fraktálne systémy sú molekuly "dendriméry" . Princíp fraktality (samopodobná, škálovacia štruktúra) je navyše odrazom hierarchickej štruktúry systému a je teda všeobecnejší a univerzálnejší ako štandardné prístupy k popisu štruktúry a vlastností nanosystémov.

Ryža. 6. Molekuly „dendriméru“.