Kaj je graf vektorske projekcije hitrosti? Določanje kinematičnih značilnosti gibanja z uporabo grafov

Tema lekcije: "Materialna točka. Referenčni sistem" Cilji: dati idejo o kinematiki

Opredelitev uniforma naravnost gibanje. - Kaj se imenuje hitrost? uniforma gibanje? - Poimenujte enoto za hitrost gibanje v... projekciji vektorja hitrosti glede na čas gibanje U (O. 2. Grafični uspešnost gibanje. - Na točki C...

3.1. Enakomerno gibanje v ravni liniji.

3.1.1. Enakomerno gibanje v ravni liniji- premočrtno gibanje s konstantnim pospeškom v velikosti in smeri:

3.1.2. pospešek()- fizično vektorska količina, ki kaže, za koliko se bo hitrost spremenila v 1 s.

IN vektorski obliki:

kjer je začetna hitrost telesa, je hitrost telesa v trenutku t.

V projekciji na os Ox:

kjer je projekcija začetne hitrosti na os Ox, - projekcija hitrosti telesa na os Ox v določenem trenutku t.

Predznaki projekcij so odvisni od smeri vektorjev in osi Ox.

3.1.3. Graf projekcije pospeška v odvisnosti od časa.

Pri enakomerno izmeničnem gibanju je pospešek konstanten, zato bo videti kot ravne črte, vzporedne s časovno osjo (glej sliko):

3.1.4. Hitrost med enakomernim gibanjem.

V vektorski obliki:

V projekciji na os Ox:

Za enakomerno pospešeno gibanje:

Za enakomeren počasni posnetek:

3.1.5. Graf projekcije hitrosti v odvisnosti od časa.

Graf projekcije hitrosti v odvisnosti od časa je ravna črta.

Smer gibanja: če je graf (ali njegov del) nad časovno osjo, se telo giblje v pozitivni smeri osi. Ox.

Vrednost pospeška: večji je tangens kota naklona (bolj strmo se dviga navzgor ali navzdol), večji je modul pospeška; kje je sprememba hitrosti skozi čas

Presek s časovno osjo: če graf seka časovno os, potem se je telo pred presečiščem upočasnilo (enakomerno počasno gibanje), po presečišču pa je začelo pospeševati v nasprotna stran(enakomerno pospešeno gibanje).

3.1.6. Geometrijski pomen površina pod grafom v oseh

Območje pod grafom, ko je na osi Oj hitrost je zakasnjena in na osi Ox- čas je pot, ki jo prepotuje telo.

Na sl. 3.5 prikazuje primer enakomerno pospešenega gibanja. Pot do v tem primeru bo enaka površini trapeza: (3.9)

3.1.7. Formule za izračun poti

Vse formule, predstavljene v tabeli, delujejo le, če se ohrani smer gibanja, to je dokler premica ne preseka časovne osi na grafu projekcije hitrosti v odvisnosti od časa.

Če je prišlo do križišča, je gibanje lažje razdeliti na dve stopnji:

pred prečkanjem (zaviranje):

Po križišču (pospeševanje, premikanje v hrbtna stran)

V zgornjih formulah - čas od začetka gibanja do presečišča s časovno osjo (čas pred ustavitvijo), - pot, ki jo je telo prevozilo od začetka gibanja do presečišča s časovno osjo, - pretečeni čas. od trenutka presečišča časovne osi do v tem trenutku t, - pot, ki jo je telo prehodilo v nasprotni smeri v času, ki je pretekel od trenutka prečkanja časovne osi do tega trenutka t, - modul vektorja premika za celoten čas gibanja, L- pot, ki jo telo opravi med celotnim gibanjem.

3.1.8. Gibanje v drugi sekundi.

Sčasoma telo bo šel po poti:

V tem času bo telo prevozilo naslednjo razdaljo:

Potem bo v tem intervalu telo prevozilo naslednjo razdaljo:

Kot interval se lahko vzame katero koli časovno obdobje. Najpogosteje s.

Nato v 1 sekundi telo prepotuje naslednjo razdaljo:

V 2 sekundah:

V 3 sekundah:

Če dobro pogledamo, bomo videli, da itd.

Tako pridemo do formule:

Z besedami: poti, ki jih telo prehodi v zaporednih časovnih obdobjih, so med seboj povezane kot niz lihih števil in to ni odvisno od pospeška, s katerim se telo giblje. Poudarjamo, da to razmerje velja za

3.1.9. Enačba koordinat telesa za enakomerno gibanje

Koordinatna enačba

Predznaki projekcije začetne hitrosti in pospeška so odvisni od relativni položaj ustrezni vektorji in osi Ox.

Za reševanje problemov je treba enačbi dodati enačbo za spremembo projekcije hitrosti na os:

3.2. Grafi kinematičnih veličin za premočrtno gibanje

3.3. Telo prostega pada

S prostim padom razumemo naslednji fizikalni model:

1) Padec se zgodi pod vplivom gravitacije:

2) Ni zračnega upora (v težavah včasih napišejo "zanemarjanje zračnega upora");

3) Vsa telesa, ne glede na maso, padajo z enakim pospeškom (včasih dodajo "ne glede na obliko telesa", vendar upoštevamo samo gibanje materialna točka, tako da oblika telesa ni več upoštevana);

4) Pospešek gravitacije je usmerjen strogo navzdol in je enak na površini Zemlje (v težavah, ki jih pogosto predpostavljamo zaradi udobja izračunov);

3.3.1. Enačbe gibanja v projekciji na os Oj

Za razliko od gibanja vzdolž vodoravne ravne črte, ko vse naloge ne vključujejo spremembe smeri gibanja, ko prosti pad najbolje je takoj uporabiti enačbe, zapisane v projekcijah na os Oj.

Enačba telesnih koordinat:

Enačba projekcije hitrosti:

Praviloma je pri težavah priročno izbrati os Oj kot sledi:

os Oj usmerjen navpično navzgor;

Izhodišče sovpada z nivojem Zemlje ali najnižjo točko trajektorije.

S to izbiro bosta enačbi in prepisani v naslednji obliki:

3.4. Gibanje v ravnini Oxy.

Preverjali smo gibanje telesa s pospeškom po premici. Vendar pa to enakomerno gibanje ni omejeno. Na primer telo, vrženo pod kotom na vodoravno. Pri takšnih težavah je treba upoštevati gibanje po dveh oseh hkrati:

Ali v vektorski obliki:

In spreminjanje projekcije hitrosti na obeh oseh:

3.5. Uporaba koncepta odvoda in integrala

Tukaj ne bomo dali podrobna opredelitev odvod in integral. Za reševanje problemov potrebujemo le majhen niz formul.

Izpeljanka:

kje A, B in to stalne vrednosti.

Integral:

Zdaj pa poglejmo, kako se uporablja koncept odvoda in integrala fizikalne količine. V matematiki je odvod označen z """, v fiziki je odvod po času označen z "∙" nad funkcijo.

Hitrost:

to pomeni, da je hitrost odvod vektorja radija.

Za projekcijo hitrosti:

Pospešek:

to pomeni, da je pospešek derivat hitrosti.

Za projekcijo pospeška:

Torej, če poznamo zakon gibanja, potem zlahka najdemo hitrost in pospešek telesa.

Zdaj pa uporabimo koncept integrala.

Hitrost:

to pomeni, da je hitrost mogoče najti kot časovni integral pospeška.

Vektor polmera:

to pomeni, da je vektor radija mogoče najti tako, da vzamemo integral funkcije hitrosti.

Torej, če je funkcija znana, zlahka najdemo tako hitrost kot zakon gibanja telesa.

Konstante v formulah so določene iz začetni pogoji- vrednosti in čas

3.6. Trikotnik hitrosti in trikotnik premika

3.6.1. Trikotnik hitrosti

V vektorski obliki pri stalni pospešek zakon spremembe hitrosti ima obliko (3.5):

Ta formula pomeni, da je vektor enak vektorski vsoti vektorjev in vektorsko vsoto lahko vedno upodobimo s sliko (glej sliko).

Pri vsakem problemu bo trikotnik hitrosti imel svojo obliko, odvisno od pogojev. Ta predstavitev omogoča uporabo geometrijskih premislekov pri rešitvi, kar pogosto poenostavi rešitev problema.

3.6.2. Trikotnik gibov

V vektorski obliki ima zakon gibanja s stalnim pospeškom obliko:

Pri reševanju problema lahko izberete referenčni sistem na najprimernejši način, zato lahko brez izgube splošnosti izberemo referenčni sistem tako, da postavimo izhodišče koordinatnega sistema na točko, kjer telo se nahaja v začetnem trenutku. Potem

to pomeni, da je vektor enak vektorski vsoti vektorjev in ga upodobimo na sliki (glej sliko).

Kot v prejšnjem primeru bo glede na pogoje trikotnik premika imel svojo obliko. Ta predstavitev omogoča uporabo geometrijskih premislekov pri rešitvi, kar pogosto poenostavi rešitev problema.

Navodila

Razmislite o funkciji f(x) = |x|. Za začetek je to nepredznačeni modul, to je graf funkcije g(x) = x. Ta graf je premica, ki poteka skozi izhodišče, kot med to premico in pozitivno smerjo osi x pa je 45 stopinj.

Ker je modul nenegativna količina, mora biti del, ki je pod abscisno osjo, zrcaljen glede na to. Za funkcijo g(x) = x ugotovimo, da bo graf po taki preslikavi videti kot V. To nov urnik in bo grafična interpretacija funkcije f(x) = |x|.

Video na temo

Prosimo, upoštevajte

Graf modula funkcije nikoli ne bo v 3. in 4. četrtini, ker modul ne more sprejeti negativne vrednosti.

Koristen nasvet

Če funkcija vsebuje več modulov, jih je treba zaporedno razširiti in nato zložiti enega na drugega. Rezultat bo želeni graf.

Viri:

• kako narisati graf funkcije z moduli

Kinematične težave, pri katerih morate računati hitrost, čas ali pot enakomerno in premočrtno gibajočih se teles, ki se srečajo v šolski tečaj algebra in fizika. Za njihovo rešitev poiščite v pogoju količine, ki jih je mogoče izenačiti. Če pogoj zahteva opredelitev čas pri znani hitrosti, uporabite naslednja navodila.

Potrebovali boste

• - pero;
• - papir za zapiske.

Navodila

Najenostavnejši primer je gibanje enega telesa z dano uniformo hitrost Yu. Razdalja, ki jo je telo prepotovalo, je znana. Ugotovite na poti: t = S/v, ura, kjer je S razdalja, v povprečje hitrost telesa.

Drugi je vklopljen prihajajoči promet tel. Avto se premika od točke A do točke B hitrost 50 km/h. Moped z a hitrost 30 km/h. Razdalja med točkama A in B je 100 km. Treba najti čas preko katerega se bosta srečala.

Označi točko srečanja K. Naj bo razdalja AK avtomobila x km. Potem bo motoristova pot dolga 100 km. Iz problemskih pogojev izhaja, da čas Na cesti imata avto in moped enako izkušnjo. Sestavite enačbo: x/v = (S-x)/v’, kjer so v, v’ – in moped. Z zamenjavo podatkov rešite enačbo: x = 62,5 km. zdaj čas: t = 62,5/50 = 1,25 ure ali 1 ura 15 minut.

Sestavite enačbo, podobno prejšnji. Toda v tem primeru čas pot z mopedom bo 20 minut daljša od vožnje z avtomobilom. Če želite izenačiti dele, odštejte tretjino ure od desne strani izraza: x/v = (S-x)/v’-1/3. Poiščite x – 56,25. Izračunaj čas: t = 56,25/50 = 1,125 ure ali 1 ura 7 minut 30 sekund.

Četrti primer je problem gibanja teles v eno smer. Avto in moped se premikata iz točke A z enakimi hitrostmi. Vemo, da je avto odpeljal pol ure kasneje. Po čem čas bo dohitel moped?

V tem primeru bo prevožena razdalja enaka vozila. Naj čas potem bo avto potoval x ur čas pot mopeda bo x+0,5 ure. Imate enačbo: vx = v’(x+0,5). Rešite enačbo z zamenjavo in poiščite x – 0,75 ure ali 45 minut.

Peti primer – avto in moped se premikata z enakimi hitrostmi v isto smer, vendar je moped pol ure prej zapustil točko B, ki se nahaja 10 km od točke A. Izračunajte po čem čas Po startu bo avto dohitel moped.

Prevožena razdalja z avtomobilom je 10 km večja. To razliko dodajte motoristovi poti in izenačite dele izraza: vx = v’(x+0,5)-10. Če nadomestite vrednosti hitrosti in jo rešite, dobite: t = 1,25 ure ali 1 ura 15 minut.

Viri:

• kakšna je hitrost časovnega stroja

Navodila

Izračunajte povprečje telesa, ki se enakomerno giblje po odseku poti. Takšna hitrost je najlažje izračunati, saj se ne spreminja na celotnem segmentu gibanje in je enak povprečju. To lahko izrazimo v obliki: Vрд = Vср, kjer je Vрд – hitrost uniforma gibanje, in Vav – povprečje hitrost.

Izračunaj povprečje hitrost enakomerno počasi (enakomerno pospešeno) gibanje na tem področju, za kar je treba dodati začetni in končni hitrost. Rezultat delite z dve, kar je povprečje hitrost Yu. To lahko bolj jasno zapišemo kot formulo: Vср = (Vн + Vк)/2, kjer Vн predstavlja

Za sestavo tega grafa na abscisno os nanesemo čas gibanja, na ordinatno os pa hitrost (projekcijo hitrosti) telesa. Pri enakomerno pospešenem gibanju se hitrost telesa s časom spreminja. Če se telo giblje vzdolž osi O x, je odvisnost njegove hitrosti od časa izražena s formulami
v x =v 0x +a x t in v x =at (za v 0x = 0).

Iz teh formul je razvidno, da je odvisnost v x od t linearna, zato je graf hitrosti ravna črta. Če se telo giblje z določeno začetno hitrostjo, ta premica seka ordinatno os v točki v 0x. Če je začetna hitrost telesa enaka nič, poteka graf hitrosti skozi izhodišče.

Grafi hitrosti premočrtnega enakomerno pospešenega gibanja so prikazani na sl. 9. Na tej sliki grafa 1 in 2 ustrezata gibanju s pozitivno projekcijo pospeška na os O x (hitrost narašča), graf 3 pa gibanju z negativno projekcijo pospeška (hitrost se zmanjšuje). Graf 2 ustreza gibanju brez začetne hitrosti, grafa 1 in 3 pa gibanju z začetno hitrostjo v ox. Kot nagiba a grafa na abscisno os je odvisen od pospeška telesa. Kot je razvidno iz sl. 10 in formule (1.10),

tg=(v x -v 0x)/t=a x .

S pomočjo grafov hitrosti lahko določite razdaljo, ki jo telo prepotuje v času t. Da bi to naredili, določimo območje trapeza in trikotnika, zasenčenega na sl. 11.

Na izbranem merilu je ena osnova trapeza številčno enaka modulu projekcije začetne hitrosti telesa v 0x, druga njegova osnova pa modulu projekcije njegove hitrosti v x v času t. Višina trapeza je številčno enaka trajanju časovnega intervala t. Območje trapeza

S=(v 0x +v x)/2t.

Z uporabo formule (1.11) po transformacijah ugotovimo, da je območje trapeza

S=v 0x t+pri 2/2.

prevožena pot pri premočrtnem enakomerno pospešenem gibanju z začetno hitrostjo je številčno enaka površini trapeza, omejenega z grafom hitrosti, koordinatnimi osmi in ordinato, ki ustreza vrednosti hitrosti telesa v času t.

V izbranem merilu je višina trikotnika (sl. 11, b) numerično enaka modulu projekcije hitrosti v x telesa v času t, osnova trikotnika pa je numerično enaka trajanju časovni interval t. Ploščina trikotnika S=v x t/2.

Z uporabo formule 1.12 po transformacijah ugotovimo, da je območje trikotnika

Desna stran Zadnja enakost je izraz, ki določa prepotovano pot telesa. torej pot, opravljena pri pravokotnem enakomerno pospešenem gibanju brez začetne hitrosti, je številčno enaka ploščini trikotnika, omejeno z urnikom hitrost, os x in ordinata, ki ustreza hitrosti telesa v času t.