1. Obseg. Krog je zaprta ravna kriva črta, katere vse točke so enako oddaljene od ene točke (O), imenovane središče kroga (slika 27).
Krog je narisan s šestilom. Če želite to narediti, ostro nogo kompasa postavite v sredino, drugo (s svinčnikom) pa zavrtite okoli prve, dokler konec svinčnika ne nariše celotnega kroga. Razdalja od središča do katere koli točke na krogu se imenuje njegova polmer. Iz definicije sledi, da so vsi polmeri enega kroga med seboj enaki.
Imenuje se odsek ravne črte (AB), ki povezuje kateri koli dve točki kroga in poteka skozi njegovo središče premer. Vsi premeri enega kroga so med seboj enaki; premer je enak dvema polmeroma.
Kako najti obseg kroga? V skoraj nekaterih primerih lahko obseg ugotovite z neposredno meritvijo. To je mogoče storiti na primer pri merjenju obsega relativno majhnih predmetov (vedro, kozarec itd.). Če želite to narediti, lahko uporabite merilni trak, pletenico ali vrvico.
V matematiki se uporablja tehnika posrednega določanja obsega. Sestavljen je iz izračuna po že pripravljeni formuli, ki jo bomo zdaj izpeljali.
Če vzamemo več večjih in manjših okroglih predmetov (kovanec, kozarec, vedro, sod itd.) in vsakemu izmed njih izmerimo obseg in premer, dobimo za vsak predmet dve števili (eno meri obseg, drugo pa številko dolžina premera). Seveda bodo za majhne predmete te številke majhne, za velike pa velike.
Če pa v vsakem od teh primerov vzamemo razmerje obeh dobljenih števil (obsega in premera), potem bomo s skrbnim merjenjem našli skoraj enako število. Obseg kroga označimo s črko Z, dolžina črke premera D, potem bo njuno razmerje videti takole C:D. Dejanske meritve vedno spremljajo neizogibne netočnosti. Toda, ko smo zaključili navedeni poskus in opravili potrebne izračune, dobimo razmerje C:D približno naslednje številke: 3,13; 3,14; 3.15. Te številke se med seboj zelo malo razlikujejo.
V matematiki je s teoretičnimi premisleki ugotovljeno, da je želeno razmerje C:D se nikoli ne spremeni in je enak neskončnemu neperiodičnemu ulomku, katerega približna vrednost, natančno na desettisočinke, je enaka 3,1416 . To pomeni, da je vsak krog enakokrat daljši od svojega premera. To številko običajno označujemo z grško črko π (pi). Nato bo razmerje med obodom in premerom zapisano na naslednji način: C:D = π . To število bomo omejili le na stotinke, tj π = 3,14.
Zapišimo formulo za določitev obsega.
Ker C:D= π , To
C = πD
tj. obseg je enak zmnožku števila π na premer.
Naloga 1. Poiščite obseg ( Z) okrogle sobe, če je njen premer D= 5,5 m.
Ob upoštevanju zgoraj navedenega moramo za rešitev tega problema povečati premer za 3,14-krat:
5,5 3,14 = 17,27 (m).
Naloga 2. Poiščite polmer kolesa, katerega obseg je 125,6 cm.
Ta naloga je obratna od prejšnje. Poiščimo premer kolesa:
125,6 : 3,14 = 40 (cm).
Poiščimo zdaj polmer kolesa:
40 : 2 = 20 (cm).
2. Območje kroga. Da bi določili površino kroga, bi lahko na papir narisali krog določenega polmera, ga prekrili s prozornim karirastim papirjem in nato prešteli celice znotraj kroga (slika 28).
Toda ta metoda je neprijetna iz več razlogov. Prvič, v bližini obrisa kroga dobimo številne nepopolne celice, katerih velikost je težko oceniti. Drugič, velikega predmeta (okrogle gredice, bazena, vodnjaka itd.) ne morete pokriti s listom papirja. Tretjič, po štetju celic še vedno ne prejmemo nobenega pravila, ki bi nam omogočilo rešitev drugega podobnega problema. Zaradi tega bomo ravnali drugače. Primerjajmo krog z neko nam znano figuro in naredimo takole: izrežemo krog iz papirja, ga prerežemo najprej na pol po premeru, nato vsako polovico na pol, vsako četrtino na pol itd., dokler ne prerežemo krog, na primer, na 32 delov v obliki zob (slika 29).
Nato jih prepognemo, kot je prikazano na sliki 30, torej najprej 16 zob razporedimo v obliki žage, nato pa v nastale luknje vtaknemo 15 zob in nazadnje zadnji preostali zob prerežemo po radiju na pol in pritrdite en del na levo, drugi - desno. Potem boste dobili figuro, ki spominja na pravokotnik.
Dolžina te figure (osnove) je približno enaka dolžini polkroga, višina pa približno enaka polmeru. Nato lahko površino takšne figure poiščete tako, da pomnožite številke, ki izražajo dolžino polkroga in dolžino polmera. Če območje kroga označimo s črko S, obseg črke Z, polmerna črka r, potem lahko zapišemo formulo za določitev površine kroga:
ki se glasi takole: Površina kroga je enaka dolžini polkroga, pomnoženi s polmerom.
Naloga. Poiščite ploščino kroga, katerega polmer je 4 cm. Najprej poiščite dolžino kroga, nato dolžino polkroga in jo nato pomnožite s polmerom.
1) Obseg Z = π D= 3,14 8 = 25,12 (cm).
2) Dolžina polkroga C / 2 = 25,12 : 2 = 12,56 (cm).
3) Območje kroga S = C / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (kv. cm).
§ 118. Površina in prostornina valja.
Naloga 1. Poiščite celotno površino valja, katerega osnovni premer je 20,6 cm in višina 30,5 cm.
Valjasto obliko (sl. 31) imajo: vedro, kozarec (nefasetiran), lonec in številni drugi predmeti.
Celotno ploskev valja (kot celotno ploskev pravokotnega paralelepipeda) sestavljajo stranska ploskev in ploskvi dveh bazic (slika 32).
Da bi si jasno predstavljali, o čem govorimo, morate skrbno narediti model valja iz papirja. Če temu modelu odštejemo dve osnovici, to je dva kroga, stransko ploskev pa prerežemo po dolžini in jo razgrnemo, bo popolnoma jasno, kako izračunati celotno površino valja. Stranska površina se bo razvila v pravokotnik, katerega osnova je enaka dolžini kroga. Zato bo rešitev problema izgledala takole:
1) Obseg: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).
2) Stranska površina: 64,684 30,5 = 1972,862 (cm2).
3) Površina ene baze: 32,342 10,3 = 333,1226 (sq.cm).
4) Celotna površina cilindra:
1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (kv. cm) ≈ 2639 (kv. cm).
Naloga 2. Poiščite prostornino železnega soda v obliki valja z merami: osnovni premer 60 cm in višina 110 cm.
Če želite izračunati prostornino valja, se morate spomniti, kako smo izračunali prostornino pravokotnega paralelepipeda (koristno je prebrati § 61).
Naša enota za merjenje prostornine bo kubični centimeter. Najprej morate ugotoviti, koliko kubičnih centimetrov lahko postavite na osnovno površino, nato pa dobljeno številko pomnožite z višino.
Če želite izvedeti, koliko kubičnih centimetrov je mogoče položiti na osnovno površino, morate izračunati osnovno površino valja. Ker je osnova krog, morate najti območje kroga. Nato, da določite prostornino, jo pomnožite z višino. Rešitev problema ima obliko:
1) Obseg: 60 3,14 = 188,4 (cm).
2) Površina kroga: 94,2 30 = 2826 (sq. cm).
3) Prostornina valja: 2826.110 = 310.860 (cc. cm).
Odgovori. Prostornina soda 310,86 kubičnih metrov. dm.
Če prostornino valja označimo s črko V, osnovna površina S, višina cilindra H, potem lahko napišete formulo za določitev prostornine valja:
V = S H
ki se glasi takole: Prostornina valja je enaka površini osnove, pomnoženi z višino.
§ 119. Tabele za izračun obsega kroga po premeru.
Pri reševanju različnih proizvodnih problemov je pogosto treba izračunati obseg. Predstavljajmo si delavca, ki izdeluje okrogle dele po premerih, ki so mu določeni. Vsakič, ko pozna premer, mora izračunati obseg. Da bi prihranil čas in se zavaroval pred napakami, se obrne na že pripravljene tabele, ki označujejo premere in pripadajoče obsegne dolžine.
Predstavili bomo majhen del takih tabel in vam povedali, kako jih uporabljati.
Vemo, da je premer kroga 5 m Pogledamo v tabelo v navpičnem stolpcu pod črko Dštevilka 5. To je dolžina premera. Zraven te številke (desno, v stolpcu z imenom »Obseg«) bomo videli številko 15,708 (m). Na povsem enak način ugotovimo, da če D= 10 cm, potem je obseg 31,416 cm.
Z istimi tabelami lahko izvedete tudi obratne izračune. Če poznate obseg kroga, lahko v tabeli najdete ustrezni premer. Naj bo obseg približno 34,56 cm. Poiščimo v tabeli najbližje število. To bo 34,558 (razlika 0,002). Premer, ki ustreza temu obsegu, je približno 11 cm.
Tukaj omenjene tabele so na voljo v različnih referenčnih knjigah. Zlasti jih je mogoče najti v knjigi V. M. Bradisa "Štirimestne matematične tabele". in v knjigi aritmetičnega problema S. A. Ponomarev in N. I. Sirneva.
Ne glede na to, na katerem področju gospodarstva človek dela, hote ali nehote uporablja matematično znanje, nabrano skozi stoletja. Naprave in mehanizme, ki vsebujejo kroge, srečamo vsak dan. Kolo ima okroglo obliko, pica, številna zelenjava in sadje se razrežejo v krog, tako kot krožniki, skodelice in še veliko več. Vendar pa vsi ne vedo, kako pravilno izračunati obseg.
Če želite izračunati obseg kroga, se morate najprej spomniti, kaj je krog. To je množica vseh točk ravnine, ki so enako oddaljene od te. Krog je geometrijsko mesto točk na ravnini, ki se nahaja znotraj kroga. Iz zgoraj navedenega sledi, da sta obseg kroga in obseg eno in isto.
Metode za iskanje obsega kroga
Poleg matematične metode iskanja obsega kroga obstajajo tudi praktične.
- Vzemite vrv ali vrvico in jo enkrat ovijte.
- Nato izmerite vrv, dobljeno število bo obseg.
- Enkrat zavrtite okrogel predmet in preštejte dolžino poti. Če je predmet zelo majhen, ga lahko večkrat ovijete z vrvico, nato odvijete nit, izmerite in delite s številom obratov.
- Poiščite zahtevano vrednost s formulo:
L = 2πr = πD ,
kjer je L zahtevana dolžina;
π – konstanta, približno enaka 3,14 r – polmer kroga, razdalja od njegovega središča do katere koli točke;
D je premer, enak je dvema polmeroma.
Uporaba formule za iskanje obsega kroga
- Primer 1: Tekalna steza teče po krogu s polmerom 47,8 metra. Poiščite dolžino te tekalne steze, vzemite π = 3,14.
L = 2πr =2*3,14*47,8 ≈ 300(m)
Odgovor: 300 metrov
- Primer 2. Kolo kolesa je po 10 vrtenju prevozilo 18,85 metra. Poiščite polmer kolesa.
18,85: 10 =1,885 (m) je obseg kolesa.
1,885: π = 1,885: 3,1416 ≈ 0,6(m) – zahtevani premer
Odgovor: premer kolesa 0,6 metra
Neverjetno število pi
Kljub navidezni preprostosti formule si jo mnogi iz neznanega razloga težko zapomnijo. Očitno je to posledica dejstva, da formula vsebuje iracionalno število π, ki ni prisotno v formulah za območje drugih figur, na primer kvadrata, trikotnika ali romba. Zapomniti si morate le, da je to konstanta, to je konstanta, ki pomeni razmerje med obsegom in premerom. Pred približno 4 tisoč leti so ljudje opazili, da je razmerje med obsegom kroga in njegovim polmerom (ali premerom) enako za vse kroge.
Stari Grki so število π približali z ulomkom 22/7. Dolgo časa je bil π izračunan kot povprečje med dolžinami včrtanega in opisanega mnogokotnika v krogu. V tretjem stoletju našega štetja je kitajski matematik izvedel izračun za 3072-gon in dobil približno vrednost π = 3,1416. Ne smemo pozabiti, da je π vedno konstanten za kateri koli krog. Njegova oznaka z grško črko π se je pojavila v 18. stoletju. To je prva črka grških besed περιφέρεια - krog in περίμετρος - obod. V osemnajstem stoletju je bilo dokazano, da je ta količina iracionalna, torej je ni mogoče predstaviti v obliki m/n, kjer je m celo število, n pa naravno število.
Krog je sestavljen iz številnih točk, ki so enako oddaljene od središča. To je ravna geometrijska figura in iskanje njene dolžine ni težko. S krožkom in krogom se človek srečuje vsak dan, ne glede na to, na katerem področju dela. Veliko zelenjave in sadja, naprave in mehanizmi, posoda in pohištvo so okrogle oblike. Krog je množica točk, ki leži znotraj meja kroga. Zato je dolžina figure enaka obodu kroga.
Značilnosti figure
Poleg tega, da je opis pojma krog precej preprost, so njegove značilnosti tudi lahko razumljive. Z njihovo pomočjo lahko izračunate njegovo dolžino. Notranji del kroga je sestavljen iz številnih točk, med katerimi sta dve - A in B - vidni pod pravim kotom. Ta segment se imenuje premer, sestavljen je iz dveh radijev.
Znotraj kroga so točke X take, ki se ne spreminja in ni enako enoti, razmerje AX/BX. V krogu mora biti ta pogoj izpolnjen; v nasprotnem primeru ta lik nima oblike kroga. Za vsako točko, ki sestavlja sliko, velja naslednje pravilo: vsota kvadratov razdalj od teh točk do drugih dveh vedno presega polovico dolžine odseka med njima.
Osnovni pojmi kroga
Da bi lahko našli dolžino figure, morate poznati osnovne pojme v zvezi z njo. Glavni parametri figure so premer, polmer in tetiva. Polmer je segment, ki povezuje središče kroga s katero koli točko na njegovi krivulji. Velikost tetive je enaka razdalji med dvema točkama na krivulji slike. Premer - razdalja med točkami, ki poteka skozi sredino figure.
Osnovne formule za izračune
Parametri se uporabljajo v formulah za izračun dimenzij kroga:
Premer v formulah za izračun
V ekonomiji in matematiki je pogosto treba najti obseg kroga. Toda v vsakdanjem življenju se lahko srečate s to potrebo, na primer pri gradnji ograje okoli okroglega bazena. Kako izračunati obseg kroga po premeru? V tem primeru uporabite formulo C = π*D, kjer je C želena vrednost, D je premer.
Na primer, širina bazena je 30 metrov, stebrički ograje pa naj bi bili postavljeni na razdalji deset metrov od njega. V tem primeru je formula za izračun premera: 30+10*2 = 50 metrov. Zahtevana vrednost (v tem primeru dolžina ograje): 3,14*50 = 157 metrov. Če ograjni stebri stojijo na razdalji treh metrov drug od drugega, jih bo skupaj potrebnih 52.
Izračun radija
Kako izračunati obseg kroga iz znanega polmera? Če želite to narediti, uporabite formulo C = 2*π*r, kjer je C dolžina, r je polmer. Polmer kroga je polovica premera in to pravilo je lahko uporabno v vsakdanjem življenju. Na primer v primeru priprave pite v drsni obliki.
Da se kulinarični izdelek ne umaže, je potrebno uporabiti okrasni ovoj. Kako izrezati papirnati krog ustrezne velikosti?
Tisti, ki se malo spoznajo na matematiko, razumejo, da morate v tem primeru število π pomnožiti z dvakratnim polmerom uporabljene oblike. Na primer, premer oblike je 20 centimetrov, njen polmer pa 10 centimetrov. Z uporabo teh parametrov najdemo zahtevano velikost kroga: 2 * 10 * 3, 14 = 62,8 centimetra.
Priročne metode izračuna
Če obsega ni mogoče najti s formulo, uporabite razpoložljive metode za izračun te vrednosti:
- Če je okrogel predmet majhen, lahko njegovo dolžino ugotovite z vrvjo, ki jo enkrat ovijete okoli njega.
- Velikost velikega predmeta se izmeri na naslednji način: vrv je položena na ravno površino in po njej enkrat valjani krog.
- Sodobni študentje in šolarji uporabljajo kalkulatorje za izračune. Na spletu lahko ugotovite neznane količine z znanimi parametri.
Okrogli predmeti v zgodovini človeškega življenja
Prvi izdelek okrogle oblike, ki si ga je človek izmislil, je bilo kolo. Prve strukture so bile majhne okrogle hlode, nameščene na osi. Nato so prišla kolesa iz lesenih naper in platišč. Postopoma so izdelku dodajali kovinske dele za zmanjšanje obrabe. Znanstveniki preteklih stoletij so iskali formulo za izračun te vrednosti, da bi ugotovili dolžino kovinskih trakov za oblazinjenje koles.
Lončarsko vreteno ima obliko kolesa, večina delov zapletenih mehanizmov, zasnove vodnih mlinov in kolovratov. V gradbeništvu pogosto najdemo okrogle predmete - okvirje okroglih oken v romanskem arhitekturnem slogu, luknje v ladjah. Arhitekti, inženirji, znanstveniki, mehaniki in oblikovalci se vsak dan v svojih poklicnih dejavnostih srečujejo s potrebo po izračunu dimenzij kroga.
Circle calculator je storitev, posebej zasnovana za izračun geometrijskih dimenzij oblik na spletu. Zahvaljujoč tej storitvi lahko enostavno določite kateri koli parameter figure na podlagi kroga. Na primer: poznate prostornino žoge, vendar morate ugotoviti njeno površino. Nič ne bi moglo biti lažje! Izberite ustrezno možnost, vnesite številsko vrednost in kliknite gumb Izračunaj. Storitev ne prikazuje samo rezultatov izračunov, temveč tudi formule, po katerih so bili narejeni. Z našo storitvijo lahko enostavno izračunate polmer, premer, obseg (obseg kroga), površino kroga in krogle ter prostornino krogle.
Izračunajte radij
Naloga izračuna vrednosti polmera je ena najpogostejših. Razlog za to je precej preprost, saj s poznavanjem tega parametra zlahka določite vrednost katerega koli drugega parametra kroga ali krogle. Naše spletno mesto je zgrajeno točno na tej shemi. Ne glede na to, kateri začetni parameter ste izbrali, je prvi korak izračun vrednosti polmera in vsi nadaljnji izračuni temeljijo na njej. Za večjo natančnost izračunov spletno mesto uporablja število Pi, zaokroženo na 10. decimalno mesto.
Izračunajte premer
Izračun premera je najpreprostejši način izračuna, ki ga lahko izvede naš kalkulator. Vrednosti premera sploh ni težko pridobiti ročno, za to sploh ni treba uporabiti interneta. Premer je enak vrednosti polmera, pomnoženi z 2. Premer je najpomembnejši parameter kroga, ki se zelo pogosto uporablja v vsakdanjem življenju. Popolnoma vsak bi ga moral znati izračunati in pravilno uporabiti. Z uporabo zmogljivosti naše spletne strani boste premer izračunali z veliko natančnostjo v delčku sekunde.
Ugotovite obseg
Sploh si ne morete predstavljati, koliko okroglih predmetov je okrog nas in kako pomembno vlogo imajo v našem življenju. Sposobnost izračuna oboda je potrebna za vse, od običajnega voznika do vodilnega inženirja. Formula za izračun obsega je zelo preprosta: D=2Pr. Izračun je mogoče enostavno narediti na listu papirja ali s tem spletnim pomočnikom. Prednost slednjega je, da vse izračune ponazarja s slikami. In poleg vsega drugega je druga metoda veliko hitrejša.
Izračunaj površino kroga
Območje kroga - tako kot vsi parametri, navedeni v tem članku - je osnova sodobne civilizacije. Sposobnost izračuna in poznavanja površine kroga je koristna za vse segmente prebivalstva brez izjeme. Težko si je predstavljati področje znanosti in tehnologije, na katerem ne bi bilo potrebno poznati območja kroga. Formula za izračun spet ni zahtevna: S=PR 2. Ta formula in naš spletni kalkulator vam bosta pomagala ugotoviti površino katerega koli kroga brez dodatnega truda. Naše spletno mesto zagotavlja visoko natančnost izračunov in njihovo bliskovito hitro izvedbo.
Izračunaj površino krogle
Formula za izračun površine krogle ni nič bolj zapletena od formul, opisanih v prejšnjih odstavkih. S=4Pr 2 . Ta preprost niz črk in številk ljudem že vrsto let omogoča dokaj natančen izračun površine žoge. Kje se to lahko uporabi? Da povsod! Na primer, veste, da je površina sveta 510.100.000 kvadratnih kilometrov. Neuporabno je naštevati, kje je mogoče uporabiti poznavanje te formule. Obseg formule za izračun površine krogle je preširok.
Izračunaj prostornino žoge
Za izračun prostornine žoge uporabite formulo V = 4/3 (Pr 3). Uporabili smo ga za ustvarjanje naše spletne storitve. Spletna stran omogoča izračun prostornine krogle v nekaj sekundah, če poznate katerega od naslednjih parametrov: polmer, premer, obseg, ploščino kroga ali površino krogle. Uporabite ga lahko tudi za obratne izračune, na primer, da poznate prostornino krogle in dobite vrednost njenega polmera ali premera. Hvala, ker ste si na hitro ogledali zmogljivosti našega krožnega kalkulatorja. Upamo, da vam je bilo naše spletno mesto všeč in ste ga že dodali med zaznamke.
Obseg kroga je označen s črko C in se izračuna po formuli:
C = 2πR,
kje R - polmer kroga.
Izpeljava formule za izražanje obsega
Pot C in C’ sta dolžini krogov polmerov R in R’. Vsakemu izmed njih vpišimo pravilni n-kotnik in njuna oboda označimo s P n in P" n, stranice pa z a n in a" n. Z uporabo formule za izračun stranice pravilnega n-kotnika a n = 2R sin (180°/n) dobimo:
P n = n a n = n 2R sin (180°/n),
P" n = n · a" n = n · 2R" sin (180°/n).
torej
P n / P" n = 2R / 2R". (1)
Ta enakost velja za katero koli vrednost n. Zdaj bomo število n neomejeno povečevali. Ker je P n → C, P" n → C", n → ∞, potem je meja razmerja P n / P" n enaka C / C". Po drugi strani pa je na podlagi enakosti (1) ta meja enaka 2R/2R". Tako je C/C" = 2R/2R". Iz te enakosti sledi, da je C/2R = C"/2R" , tj. Razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom je enako število za vse kroge. To število običajno označujemo z grško črko π ("pi").
Iz enakosti C / 2R = π dobimo formulo za izračun obsega kroga s polmerom R:
C = 2πR.
Dolžina krožnega loka
Ker je dolžina celotnega kroga 2πR, je dolžina l loka 1° enaka 2πR / 360 = πR / 180.
zato dolžina l krožnega loka s stopenjsko mero α izraženo s formulo
l = (πR / 180) α.
