nekatere funkcije. Če obnovimo funkcijo iz njenega celotnega diferenciala, bomo našli splošni integral diferencialne enačbe. Spodaj bomo govorili o metoda obnavljanja funkcije iz njenega totalnega diferenciala.
Leva stran diferencialne enačbe je skupni diferencial neke funkcije U(x, y) = 0, če je pogoj izpolnjen.
Ker popolna diferencialna funkcija U(x, y) = 0 to 
, kar pomeni, da je ob izpolnjenem pogoju navedeno, da .
potem, 
.
Iz prve enačbe sistema dobimo 
. Funkcijo najdemo z drugo enačbo sistema:
Tako bomo našli želeno funkcijo U(x, y) = 0.
Primer.
Poiščimo splošno rešitev za DE 
.
rešitev.
V našem primeru. Pogoj je izpolnjen, ker:
Nato je leva stran začetne diferencialne enačbe skupni diferencial neke funkcije U(x, y) = 0. To funkcijo moramo najti.
Ker 
je skupni diferencial funkcije U(x, y) = 0, Pomeni:
.
Integriramo se s x 1. enačbo sistema in diferenciraj glede na l rezultat:
.
Iz 2. enačbe sistema dobimo . Pomeni:
Kje Z- poljubna konstanta.
Tako bo splošni integral dane enačbe 
.
Obstaja še drugi metoda izračuna funkcije iz njenega celotnega diferenciala. Sestoji iz črtnega integrala fiksne točke (x 0, y 0) do točke s spremenljivimi koordinatami (x, y): 
. V tem primeru je vrednost integrala neodvisna od poti integracije. Kot integracijsko pot je priročno vzeti zlomljeno črto, katere povezave so vzporedne s koordinatnimi osemi.
Primer.
Poiščimo splošno rešitev za DE 
.
rešitev.
Preverimo izpolnjevanje pogoja:
Tako je leva stran diferencialne enačbe celoten diferencial neke funkcije U(x, y) = 0. Poiščimo to funkcijo z izračunom krivuljnega integrala točke (1; 1) prej (x, y). Kot integracijsko pot vzamemo lomljeno črto: prvi odsek lomljene črte poteka po ravni črti y = 1 od točke (1, 1) prej (x, 1), drugi odsek poti vodi odsek ravne črte od točke (x, 1) prej (x, y):
Torej, splošna rešitev daljinskega upravljalnika izgleda takole: 
.
Primer.
Določimo splošno rešitev DE.
rešitev.
Ker , kar pomeni, da pogoj ni izpolnjen, potem leva stran diferencialne enačbe ne bo popoln diferencial funkcije in morate uporabiti drugo metodo rešitve (ta enačba je diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami).
Diferencial imenujemo enačba oblike
p(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,
kjer je leva stran skupni diferencial katere koli funkcije dveh spremenljivk.
Označimo neznano funkcijo dveh spremenljivk (to je tisto, kar moramo najti pri reševanju enačb v totalnih diferencialih) z F in kmalu se bomo vrnili k temu.
Prva stvar, na katero morate biti pozorni, je, da mora biti na desni strani enačbe ničla, na levi strani pa znak, ki povezuje oba člena, plus.
Drugič, treba je upoštevati nekaj enakosti, ki potrjuje, da je ta diferencialna enačba enačba v totalnih diferencialih. To preverjanje je obvezen del algoritma za reševanje enačb v totalnih diferencialih (je v drugem odstavku te lekcije), zato je postopek iskanja funkcije F precej delovno intenzivno in pomembno je, da že na začetni stopnji poskrbimo, da ne izgubljamo časa.
Torej je neznana funkcija, ki jo je treba najti, označena z F. Vsota parcialnih diferencialov za vse neodvisne spremenljivke daje skupni diferencial. Če je torej enačba popolna diferencialna enačba, je leva stran enačbe vsota parcialnih diferencialov. Potem po definiciji
dF = p(x,y)dx + Q(x,y)dy .
Spomnimo se formule za izračun celotnega diferenciala funkcije dveh spremenljivk:
Reševanje zadnjih dveh enačb lahko zapišemo
.
Prvo enakost razlikujemo glede na spremenljivko "y", drugo - glede na spremenljivko "x":
.
kar je pogoj, da je dana diferencialna enačba resnično totalna diferencialna enačba.
Algoritem za reševanje diferencialnih enačb v totalnih diferencialih
Korak 1. Prepričajte se, da je enačba popolna diferencialna enačba. Da bi do izraza 
je bil skupni diferencial neke funkcije F(x, y) je potrebno in zadostno, da . Z drugimi besedami, vzeti morate delni odvod glede na x in delni odvod glede na l drug člen in, če so ti derivati enaki, potem je enačba popolna diferencialna enačba.
2. korak Zapišite sistem parcialnih diferencialnih enačb, ki sestavljajo funkcijo F:
3. korak Integrirajte prvo enačbo sistema - z x (l F:
,
l.
Druga možnost (če je na ta način lažje najti integral) je integracija druge enačbe sistema - z l (x ostane konstanta in je vzeta iz integralnega predznaka). Na ta način se povrne tudi funkcija F:
,
kjer je še neznana funkcija X.
4. korak Rezultat 3. koraka (najdeni splošni integral) se diferencira z l(alternativno - glede na x) in enačijo z drugo enačbo sistema:
,
in v alternativni različici - na prvo enačbo sistema:
.
Iz dobljene enačbe določimo (alternativno)
5. korak Rezultat 4. koraka je integracija in iskanje (alternativno iskanje).
6. korak Rezultat koraka 5 nadomestite z rezultatom koraka 3 - v funkcijo, ki je bila obnovljena z delno integracijo F. Poljubna konstanta C pogosto zapisano za enačajom – na desni strani enačbe. Tako dobimo splošno rešitev diferencialne enačbe v totalnih diferencialih. Kot že omenjeno, ima obliko F(x, y) = C.
Primeri rešitev diferencialnih enačb v totalnih diferencialih
Primer 1.
Korak 1. enačba v totalnih diferencialih
x en izraz na levi strani izraza
in delni odvod glede na l drug izraz
enačba v totalnih diferencialih
.
2. korak F:
3. korak Avtor: x (l ostane konstanta in je vzeta iz predznaka integrala). Tako obnovimo funkcijo F:
kjer je še neznana funkcija l.
4. korak l
.
.
5. korak
6. korak F. Poljubna konstanta C
:
.
Do katere napake je najverjetneje prišlo tukaj? Najpogostejše napake so, da vzamemo delni integral nad eno od spremenljivk za običajen integral produkta funkcij in poskušamo integrirati po delih ali nadomestni spremenljivki ter tudi, da vzamemo parcialni odvod dveh faktorjev kot odvod faktorja. produkt funkcij in poiščite odvod z ustrezno formulo.
To si je treba zapomniti: pri izračunu delnega integrala glede na eno od spremenljivk je druga konstanta in je vzeta iz predznaka integrala, pri izračunu delnega odvoda glede na eno od spremenljivk pa je druga je tudi konstanta in izpeljanka izraza se najde kot izpeljanka "delujoče" spremenljivke, pomnožene s konstanto.
Med enačbe v totalnih diferencialih Nič nenavadnega ni, da najdemo primere z eksponentno funkcijo. To je naslednji primer. Znan je tudi po tem, da njegova rešitev uporablja alternativno možnost.
Primer 2. Reši diferencialno enačbo
.
Korak 1. Prepričajmo se, da je enačba pravilna enačba v totalnih diferencialih
. Da bi to naredili, najdemo delni odvod glede na x en izraz na levi strani izraza 
in delni odvod glede na l drug izraz
. Ti derivati so enaki, kar pomeni, da je enačba enaka enačba v totalnih diferencialih
.
2. korak Zapišimo sistem parcialnih diferencialnih enačb, ki sestavljajo funkcijo F:
3. korak Integrirajmo drugo enačbo sistema - s l (x ostane konstanta in je vzeta iz predznaka integrala). Tako obnovimo funkcijo F:
kjer je še neznana funkcija X.
4. korak Rezultat 3. koraka (najdeni splošni integral) razlikujemo glede na X
in enačimo s prvo enačbo sistema:
Iz dobljene enačbe določimo:
.
5. korak Integriramo rezultat 4. koraka in ugotovimo: 
.
6. korak Rezultat 5. koraka nadomestimo z rezultatom 3. koraka - v funkcijo, obnovljeno z delno integracijo F. Poljubna konstanta C pišemo za enačajom. Tako dobimo skupno reševanje diferencialne enačbe v totalnih diferencialih
:
.
V naslednjem primeru se vrnemo z alternativne možnosti na glavno.
Primer 3. Reši diferencialno enačbo
Korak 1. Prepričajmo se, da je enačba pravilna enačba v totalnih diferencialih
. Da bi to naredili, najdemo delni odvod glede na l en izraz na levi strani izraza
in delni odvod glede na x drug izraz 
. Ti derivati so enaki, kar pomeni, da je enačba enaka enačba v totalnih diferencialih
.
2. korak Zapišimo sistem parcialnih diferencialnih enačb, ki sestavljajo funkcijo F:
3. korak Integrirajmo prvo enačbo sistema - 
Avtor: x (l ostane konstanta in je vzeta iz predznaka integrala). Tako obnovimo funkcijo F:
kjer je še neznana funkcija l.
4. korak Rezultat 3. koraka (najdeni splošni integral) razlikujemo glede na l
in enači z drugo enačbo sistema:
Iz dobljene enačbe določimo:
.
5. korak Integriramo rezultat 4. koraka in ugotovimo: 
6. korak Rezultat 5. koraka nadomestimo z rezultatom 3. koraka - v funkcijo, obnovljeno z delno integracijo F. Poljubna konstanta C pišemo za enačajom. Tako dobimo skupno reševanje diferencialne enačbe v totalnih diferencialih
:
.
Primer 4. Reši diferencialno enačbo
Korak 1. Prepričajmo se, da je enačba pravilna enačba v totalnih diferencialih
. Da bi to naredili, najdemo delni odvod glede na l en izraz na levi strani izraza
in delni odvod glede na x drug izraz
. Ti odvodi so enaki, kar pomeni, da je enačba totalna diferencialna enačba.
2. korak Zapišimo sistem parcialnih diferencialnih enačb, ki sestavljajo funkcijo F:
3. korak Integrirajmo prvo enačbo sistema - 
Avtor: x (l ostane konstanta in je vzeta iz predznaka integrala). Tako obnovimo funkcijo F:
kjer je še neznana funkcija l.
4. korak Rezultat 3. koraka (najdeni splošni integral) razlikujemo glede na l
in enači z drugo enačbo sistema:
Iz dobljene enačbe določimo:
.
5. korak Integriramo rezultat 4. koraka in ugotovimo: 
6. korak Rezultat 5. koraka nadomestimo z rezultatom 3. koraka - v funkcijo, obnovljeno z delno integracijo F. Poljubna konstanta C pišemo za enačajom. Tako dobimo skupno reševanje diferencialne enačbe v totalnih diferencialih
:
.
Primer 5. Reši diferencialno enačbo
.
Korak 1. Prepričajmo se, da je enačba pravilna enačba v totalnih diferencialih
. Da bi to naredili, najdemo delni odvod glede na l en izraz na levi strani izraza 
in delni odvod glede na x drug izraz 
. Ti derivati so enaki, kar pomeni, da je enačba enaka enačba v totalnih diferencialih
.
Pokaže, kako prepoznati diferencialno enačbo v totalnih diferencialih. Podane so metode za njegovo reševanje. Podan je primer reševanja enačbe v totalnih diferencialih na dva načina.
VsebinaUvod
Diferencialna enačba prvega reda v totalnih diferencialih je enačba oblike:(1) ,
kjer je leva stran enačbe skupni diferencial neke funkcije U (x, y) iz spremenljivk x, y:
.
pri čemer .
Če je taka funkcija U najdena (x, y), potem ima enačba obliko:
dU (x, y) = 0.
Njegov splošni integral je:
U (x, y) = C,
kjer je C konstanta.
Če diferencialno enačbo prvega reda zapišemo v smislu njenega derivata:
,
potem ga je enostavno spraviti v obliko (1)
. Če želite to narediti, pomnožite enačbo z dx. Potem.
(1)
.
Kot rezultat dobimo enačbo, izraženo z diferenciali:
Lastnost diferencialne enačbe v totalnih diferencialih (1)
Za enačbo
(2)
.
bila enačba v totalnih diferencialih, je potrebno in zadostno, da razmerje velja:
Dokaz Nadalje predpostavljamo, da so vse funkcije, uporabljene v dokazu, definirane in imajo ustrezne odvode v nekem območju vrednosti spremenljivk x in y. Točka x 0, y 0
tudi spada v to območje..
Dokažimo nujnost pogoja (2) (1)
Naj bo leva stran enačbe (x, y):
.
je diferencial neke funkcije U
;
.
Potem
;
.
Ker drugi odvod ni odvisen od vrstnega reda diferenciacije, torej (2)
Sledi, da .
Pogoj nujnosti.
dokazano. (2)
:
(2)
.
Dokažimo zadostnost pogoja (2) (x, y) Naj bo pogoj izpolnjen
.
Pokažimo, da je takšno funkcijo U mogoče najti (x, y) da je njegov diferencial:
(3)
;
(4)
.
To pomeni, da obstaja taka funkcija U (3)
, ki zadošča enačbam: 0
Poiščimo tako funkcijo. Integrirajmo enačbo
;
;
(5)
.
z x od x (2)
:
.
na x, ob predpostavki, da je y konstanta: (4)
Razlikujemo glede na y, ob predpostavki, da je x konstanta in velja
.
Enačba 0
bo izvedena, če
;
;
.
Integracija čez y iz y (5)
:
(6)
.
tebi:
.
Nadomestni v
Torej, našli smo funkcijo, katere diferencial (6) Zadostnost je dokazana. V formuli,U (x, y)(x 0, y 0) Nadalje predpostavljamo, da so vse funkcije, uporabljene v dokazu, definirane in imajo ustrezne odvode v nekem območju vrednosti spremenljivk x in y. Točka x je konstanta - vrednost funkcije U
v točki x
. Lahko mu dodelimo poljubno vrednost.
(1)
.
Kako prepoznati diferencialno enačbo v totalnih diferencialih (2)
:
(2)
.
Razmislite o diferencialni enačbi:
Če želite ugotoviti, ali je ta enačba v skupnih razlikah, morate preveriti pogoj
Preverite, ali je enačba v totalnih razlikah:
.
Tukaj
,
.
Razlikujemo glede na y, pri čemer upoštevamo konstanto x:
.
Razlikujmo
.
Zaradi:
,
potem je dana enačba v totalnih diferencialih.
Metode reševanja diferencialnih enačb v totalnih diferencialih
Metoda sekvenčne diferencialne ekstrakcije
Najenostavnejša metoda za reševanje enačbe v totalnih diferencialih je metoda zaporedne izolacije diferenciala. Za to uporabimo diferenciacijske formule, zapisane v diferencialni obliki:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
V teh formulah sta u in v poljubna izraza, sestavljena iz poljubne kombinacije spremenljivk.
Primer 1
Reši enačbo:
.
Prej smo ugotovili, da je ta enačba v skupnih diferencialih. Preoblikujemo ga:
(P1) .
Enačbo rešimo z zaporedno izolacijo diferenciala.
;
;
;
;
.
Integracija čez y iz y (P1):
;
.
Metoda zaporedne integracije
Pri tej metodi iščemo funkcijo U (x, y), ki izpolnjuje enačbe:
(3)
;
(4)
.
Integrirajmo enačbo (3)
v x ob upoštevanju konstante y:
.
Tukaj je φ (y)- poljubna funkcija od y, ki jo je treba določiti. To je stalnica integracije. Nadomestite v enačbo (4)
:
.
Od tod:
.
Z integracijo najdemo φ (y) in tako U (x, y).
Primer 2
Rešite enačbo v totalnih diferencialih:
.
Prej smo ugotovili, da je ta enačba v skupnih diferencialih. Vstavimo naslednji zapis:
,
.
Iščete funkcijo U (x, y), katerega diferencial je leva stran enačbe:
.
Nato:
(3)
;
(4)
.
Integrirajmo enačbo (3)
v x ob upoštevanju konstante y:
(P2)
.
Razlikovati glede na y:
.
Vstavimo se (4)
:
;
.
Integrirajmo:
.
Vstavimo se (P2):
.
Splošni integral enačbe:
U (x, y) = konst.
Dve konstanti združimo v eno.
Metoda integracije po krivulji
Funkcija U, definirana z razmerjem:
dU = str (x, y) dx + q(x, y) dy,
lahko najdete z integracijo te enačbe vzdolž krivulje, ki povezuje točke V formuli in (x, y):
(7)
.
Zaradi
(8)
,
potem je integral odvisen samo od koordinat začetne V formuli in dokončno (x, y) točk in ni odvisna od oblike krivulje. Od (7)
in (8)
najdemo:
(9)
.
Tukaj x 0
in y 0
- trajno. Zato U V formuli- tudi stalna.
Primer takšne definicije U je bil pridobljen v dokazu:
(6)
.
Tu se integracija izvede najprej vzdolž segmenta, ki je vzporeden z osjo y od točke (x 0, y 0) do točke (x 0, y). Nato se izvede integracija vzdolž segmenta, ki je vzporeden z osjo x od točke (x 0, y) do točke (x, y) .
Na splošno morate predstaviti enačbo krivulje, ki povezuje točke (x 0, y 0) in (x, y) v parametrični obliki:
x 1 = s(t 1); l 1 = r(t 1);
x 0 = s(t 0); l 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
in integrirajo čez t 1
iz t 0
do t.
Najlažji način za izvedbo integracije je preko segmenta, ki povezuje točke (x 0, y 0) in (x, y). V tem primeru:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; l 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0
; t = 1
;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Po zamenjavi dobimo integral po t od 0
prej 1
.
Ta metoda pa vodi do precej okornih izračunov.
Reference:
V.V. Stepanov, Tečaj diferencialnih enačb, "LKI", 2015.
Opredelitev 8.4. Diferencialna enačba oblike
Kje 
imenujemo popolna diferencialna enačba.
Upoštevajte, da je leva stran takšne enačbe skupni diferencial neke funkcije 
.
Na splošno lahko enačbo (8.4) predstavimo kot
Namesto enačbe (8.5) lahko upoštevamo enačbo
,
katere rešitev je splošni integral enačbe (8.4). Tako je za rešitev enačbe (8.4) potrebno najti funkcijo 
. V skladu z definicijo enačbe (8.4) imamo
(8.6)
funkcija 
poiskali bomo funkcijo, ki izpolnjuje enega od teh pogojev (8.6):
Kje 
- poljubna funkcija, neodvisna od 
.
funkcija 
je definiran tako, da je izpolnjen drugi pogoj izraza (8.6).
(8.7)
Iz izraza (8.7) je določena funkcija 
. Zamenjava v izraz za 
in dobimo splošni integral prvotne enačbe.
Problem 8.3. Integriraj enačbo
Tukaj 
.
Zato ta enačba spada v vrsto diferencialnih enačb v totalnih diferencialih. funkcija 
poiskali ga bomo v obrazcu
.
Na drugi strani,
.
V nekaterih primerih stanje 
morda ne bodo izpolnjeni.
Nato se takšne enačbe reducirajo na obravnavani tip z množenjem s tako imenovanim integrirnim faktorjem, ki je v splošnem primeru samo funkcija 
oz 
.
Če ima neka enačba integrativni faktor, ki je odvisen le od 
, potem se določi s formulo
kje je razmerje 
mora biti le funkcija 
.
Podobno je integracijski faktor odvisen le od 
, se določi s formulo
kje je razmerje 
mora biti le funkcija 
.
Odsotnost v danih razmerjih, v prvem primeru, spremenljivke 
, in v drugem - spremenljivka 
, so znak obstoja integrirnega faktorja za dano enačbo.
Problem 8.4. Zmanjšajte to enačbo na enačbo v skupnih diferencialih.
.
Razmislite o razmerju:
.
Tema 8.2. Linearne diferencialne enačbe
Opredelitev 8.5. Diferencialna enačba 
se imenuje linearna, če je linearna glede na želeno funkcijo 
, njena izpeljanka 
in ne vsebuje produkta želene funkcije in njenega odvoda.
Splošno obliko linearne diferencialne enačbe predstavlja naslednja relacija:
(8.8)
Če je v relaciji (8.8) desna stran 
, potem se taka enačba imenuje linearna homogena. V primeru, ko je desna stran 
, potem takšno enačbo imenujemo linearna nehomogena.
Pokažimo, da je enačbo (8.8) mogoče integrirati v kvadraturah.
Na prvi stopnji obravnavamo linearno homogeno enačbo.
Takšna enačba je enačba z ločljivimi spremenljivkami. res,
;
/
Zadnja relacija določa splošno rešitev linearne homogene enačbe.
Za iskanje splošne rešitve linearne nehomogene enačbe se uporablja metoda spreminjanja odvoda konstante. Ideja metode je, da je splošna rešitev linearne nehomogene enačbe v enaki obliki kot rešitev ustrezne homogene enačbe, vendar poljubna konstanta 
nadomestiti z neko funkcijo 
biti odločen. Torej imamo:
(8.9)
Če v relacijo (8.8) nadomestimo ustrezne izraze 
in 
, dobimo
Če zadnji izraz zamenjamo v razmerje (8.9), dobimo splošni integral linearne nehomogene enačbe.
Tako je splošna rešitev linearne nehomogene enačbe določena z dvema kvadraturama: splošna rešitev linearne homogene enačbe in partikularna rešitev linearne nehomogene enačbe.
Problem 8.5. Integriraj enačbo 
Tako izvirna enačba spada v vrsto linearnih nehomogenih diferencialnih enačb.
Na prvi stopnji bomo našli splošno rešitev linearne homogene enačbe.
;
Na drugi stopnji določimo splošno rešitev linearne nehomogene enačbe, ki jo najdemo v obliki
,
Kje 
- funkcija, ki jo je treba določiti.
Torej imamo:
Zamenjava odnosov za 
in 
v izvirno linearno nehomogeno enačbo dobimo:
;
;
.
Splošna rešitev linearne nehomogene enačbe bo imela obliko:
.
Ima standardno obliko $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, v kateri je leva stran skupni diferencial neke funkcije $F \left( x,y\right)$ se imenuje totalna diferencialna enačba.
Enačbo v skupnih diferencialih lahko vedno prepišemo kot $dF\left(x,y\right)=0$, kjer je $F\left(x,y\right)$ funkcija, taka da je $dF\left(x, y\desno)=P\levo(x,y\desno)\cdot dx+Q\levo(x,y\desno)\cdot dy$.
Integrirajmo obe strani enačbe $dF\levo(x,y\desno)=0$: $\int dF\levo(x,y\desno)=F\levo(x,y\desno) $; integral desne ničelne strani je enak poljubni konstanti $C$. Tako je splošna rešitev te enačbe v implicitni obliki $F\levo(x,y\desno)=C$.
Da bi bila dana diferencialna enačba enačba v totalnih diferencialih, je nujno in zadostno, da je pogoj $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ biti zadovoljen. Če je navedeni pogoj izpolnjen, potem obstaja funkcija $F\left(x,y\right)$, za katero lahko zapišemo: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, iz česar dobimo dve relaciji : $\frac(\ delni F)(\delni x) =P\levo(x,y\desno)$ in $\frac(\delni F)(\delni y) =Q\levo(x,y\desno) )$.
Prvo relacijo $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ preko $x$ in dobimo $F\left(x,y\right)=\int P\ levo(x,y\desno)\cdot dx +U\levo(y\desno)$, kjer je $U\levo(y\desno)$ poljubna funkcija od $y$.
Izberimo ga tako, da bo izpolnjena druga relacija $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Da bi to naredili, diferenciramo nastalo relacijo za $F\left(x,y\right)$ glede na $y$ in rezultat enačimo z $Q\left(x,y\right)$. Dobimo: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\desno)$.
Nadaljnja rešitev je:
- iz zadnje enakosti najdemo $U"\left(y\right)$;
- integriraj $U"\levo(y\desno)$ in poišči $U\levo(y\desno)$;
- nadomestite $U\left(y\desno)$ v enakost $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\desno)\cdot dx +U\left(y\desno) $ in končno dobimo funkcijo $F\left(x,y\right)$.
Najdemo razliko:
Integriramo $U"\left(y\right)$ čez $y$ in najdemo $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.
Poiščite rezultat: $F\levo(x,y\desno)=V\levo(x,y\desno)+U\levo(y\desno)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.
Splošno rešitev zapišemo v obliki $F\left(x,y\right)=C$, in sicer:
Poiščite posebno rešitev $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kjer je $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:
Delna rešitev ima obliko: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.
