Potreben vektor 
Če , potem sistem (1) imenujemo slabo pogojen. V tem primeru lahko napake v matričnih koeficientih in desnih straneh ali napake pri zaokroževanju v izračunih močno popačijo rešitev.
Pri reševanju mnogih problemov so desna stran sistema (1) in koeficienti matrike A približno znani. V tem primeru imamo namesto točnega sistema (1) nek drug sistem
tako da
Predvidevamo, da sta vrednosti in d znani.
Ker imamo namesto sistema (1) sistem (2), lahko najdemo le približno rešitev sistema (1). Metoda za izgradnjo približne rešitve sistema (1) mora biti stabilna na majhne spremembe začetnih podatkov.
Psevdorešitev sistema (1) je vektor, ki minimizira neskladje v celotnem prostoru.
Naj bo x 1 nek fiksni vektor iz , običajno določen s stavkom problema.
Rešitev sistema (1), normalna glede na vektor x 1, je psevdorešitev x 0 z minimalno normo, tj.
kjer je F množica vseh psevdo rešitev sistema (1).
Poleg tega 
kjer so ¾ komponente vektorja x.
Za vsak sistem tipa (1) obstaja normalna rešitev in je edinstvena. Problem iskanja normalne rešitve za slabo pogojen sistem (1) je napačno postavljen.
Za iskanje približne normalne rešitve sistema (1) uporabimo metodo regularizacije.
Po tej metodi konstruiramo gladilni funkcional forme
in poiščite vektor, ki minimizira to funkcionalnost. Poleg tega je regularizacijski parameter a enolično določen iz pogoja
Kje 
.
Degenerirani in slabo kondicionirani sistemi so lahko nerazločljivi znotraj dane natančnosti. Če pa obstajajo informacije o rešljivosti sistema (1), potem je treba namesto pogoja (5) uporabiti naslednji pogoj:
Komponente 
vektorji so rešitve sistema linearnih algebrskih enačb, ki jih dobimo iz pogoja za minimum funkcionala (4)
in izgleda kot
kjer je E identitetna matrika,
¾ Hermitova konjugirana matrika.
V praksi izbira vektorja zahteva dodatne premisleke. Če niso prisotni, predpostavimo =0.
Za =0 zapišemo sistem (7) v obliki
Kje 
Najdeni vektor bo približna normalna rešitev sistema (1).
Osredotočimo se na izbiro parametra a. Če je a=0, se sistem (7) spremeni v slabo pogojen sistem. Če je a velik, bo sistem (7) dobro pogojen, vendar regularizirana rešitev ne bo blizu želene rešitve sistema (1). Zato prevelik ali premajhen a ni primeren.
Običajno se v praksi izračuni izvajajo s številnimi vrednostmi parametra a. na primer
Za vsako vrednost a poiščite element, ki minimizira funkcional (4). Za želeno vrednost regularizacijskega parametra se šteje število a, za katero je enakost (5) ali (6) izpolnjena z zahtevano natančnostjo.
III. VADBA
1. Konstruirajte sistem linearnih algebrskih enačb, sestavljen iz treh enačb s tremi neznankami, z determinanto, katere vrednost je reda 10 -6.
2. Konstruirajte drugi sistem, podoben prvemu, vendar z drugimi prostimi členi, ki se od prostih členov prvega sistema razlikujejo za 0,00006.
3. Konstruirane sisteme rešite z metodo regularizacije (ob predpostavki =0 in d=10 -4) in katero drugo metodo (npr. Gaussova metoda).
4. Primerjajte dobljene rezultate in sklepajte o uporabnosti uporabljenih metod.
IV. OBLIKOVANJE POROČILA
Poročilo mora vsebovati:
1. Naslov dela.
2. Izjava problema.
3. Opis algoritma (metode) reševanja.
4. Besedilo programa z opisom.
5. Rezultati programa.
BIBLIOGRAFSKI SEZNAM
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metode reševanja napačno postavljenih problemov. - M.: Nauka, 1979. 286 str.
2. Bakhvalov N.S., Židkov N.P., Kobelkov G.M. Numerične metode. - M.: BINOM. Laboratorij znanja, 2007 636 str.
Laboratorijsko delo št. 23
Prepis
1 6. Degenerirani in slabo pogojeni SLAE 1 6. Degenerirani in slabo pogojeni SLAE Oglejmo si zdaj dva tipa SLAE (27) s kvadratno matriko A velikosti MxM: degeneriran sistem (z ničelno determinanto A =0); slabo pogojen sistem (determinanta A ni enaka nič, število pogojev pa je zelo veliko). Kljub temu, da se tovrstni sistemi enačb med seboj precej razlikujejo (za prvega ni rešitve, za drugega pa je le ena), je s praktičnega vidika računalnika veliko skupnega med njim. Degeneriran sistem je sistem, ki ga opisuje matrika z ničelno determinanto A =0 (singularna matrika). Ker so nekatere enačbe, vključene v tak sistem, predstavljene z linearno kombinacijo drugih enačb, potem je dejansko sam sistem premalo določen. Zlahka je ugotoviti, da je odvisno od vrste desnega vektorja b bodisi neskončno število rešitev bodisi nobene. Oglejmo si prvi primer, ko SLAE A x=b s singularno kvadratno matriko A nima ene rešitve. Ta možnost se zmanjša na konstruiranje običajne psevdo-rešitve (tj. Iz neskončne množice rešitev izberete tisto, ki je najbližje določenemu, na primer ničelnemu vektorju). Navedimo primer takega problema (za sistem dveh enačb) A= , b= (37) SLAE (37) je prikazan na sl. 19, ki kaže, da enačbi, ki določata sistem, določata dve vzporedni premici na ravnini (x 1, x 2). Črte se ne sekajo v nobeni točki
2 2 6. Degenerirane in slabo pogojene SLAE v eni točki koordinatne ravnine in temu primerno ne obstaja nobena rešitev sistema. Upoštevajte, da SLAE, definirana z nesingularno kvadratno matriko velikosti 2x2, določa par sekajočih se premic na ravnini (glejte spodnjo sliko). Prav tako je vredno povedati, da če bi bil sistem konsistenten, bi bila geometrijska predstavitev enačb dve sovpadajoči črti, ki opisujeta neskončno število rešitev. riž. 19. Grafični prikaz nezdružljivega SLAE Sl. 20. Graf odsekov ostanka f(x)= A x b v odvisnosti od x 1 Zlahka je uganiti, da bo v obravnavanem singularnem primeru neskončno veliko psevdorešitev sistema (37), ki minimizirajo ostanke A x b, in bodo ležali na tretji ravni črti, vzporedni z dvema, prikazanima na sl. 19 in se nahaja na sredini med njima. To je prikazano na sl. 20, ki prikazuje več odsekov rezidualne funkcije f(x) = A x b, ki kažejo na prisotnost družine minimumov enake globine. Za določitev edinstvene rešitve je treba iz celotne množice psevdorešitev izbrati tisto, ki jo ima
3 6. Degenerirani in slabo pogojeni SLAE 3 po najmanjši normi. Tako je v posameznem primeru, da bi dobili razločno rešitev, potrebno numerično rešiti večdimenzionalni problem minimizacije. Vendar, kot bomo videli kasneje, je učinkovitejši način uporaba regulacije ali ortogonalne matrične razgradnje (glej 7 oziroma 10). Pojdimo zdaj k slabo pogojenim sistemom, tj. SLAE z matriko A, katere determinanta ni enaka nič, vendar je število pogojev A -1 A veliko. Kljub temu, da imajo slabo klimatizirani sistemi edinstveno rešitev, je v praksi pogosto nesmiselno iskati te rešitve. Oglejmo si lastnosti slabo pogojenih SLAE z uporabo dveh specifičnih primerov zelo podobnih slabo pogojenih SLAE z enako desno stranjo b in rahlo različnima matrikama A in B: A= B=, b=, 3 5. (38 ) Kljub bližini teh sistemov se njihove natančne rešitve izkažejo za zelo oddaljene druga od druge, in sicer: y A = , y B = (39) Če se spomnimo prisotnosti šuma, tj. o vedno prisotni napaki v vhodnih podatkih postane jasno, da reševanje slabo pogojenih sistemov s standardnimi metodami sploh nima smisla. Spomnimo se, da se težave, pri katerih majhne napake modela (matrika A in vektor b) povzročijo velike napake rešitve, imenujejo nepravilne. Tako so slabo pogojeni SLAE tipičen primer napačno postavljenih problemov. Poleg tega je treba opozoriti, da je za sistem dveh enačb enostavno dobiti natančno rešitev, vendar pri reševanju visokodimenzionalne SLAE (vključno z "natančnim" algoritmom
4 4 6. Degenerirane in slabo pogojene Gaussove SLAE) celo manjše napake pri zaokroževanju, ki se neizogibno kopičijo med izračuni, povzročijo velike napake v rezultatih. Postavlja se vprašanje: ali je smiselno iskati numerično rešitev, če je vnaprej znano, da se lahko zaradi nestabilnosti samega problema izkaže za popolnoma napačno? Za nadaljnje razumevanje vzroka nepravilnosti je koristno primerjati grafično interpretacijo vrtine (slika 21) in slabo (slika 22) pogojenega sistema dveh enačb. Rešitev sistema je vizualizirana s točko presečišča dveh ravnih črt, ki predstavljata vsako od enačb. riž. 21. Graf dobro pogojenega SLAE Sl. 22. Graf slabo pogojenega SLAE Iz sl. 22 je razvidno, da se ravne črte, ki ustrezajo slabo pogojenemu SLAE, nahajajo v neposredni bližini ena drugi (skoraj vzporedne). V zvezi s tem lahko majhne napake v lokaciji vsake črte povzročijo znatne napake pri lokalizaciji točke njihovega presečišča (rešitve SLAE), v nasprotju s primerom dobro pogojenega sistema, ko majhne napake v naklon črt malo vpliva na lokacijo njihovega presečišča (slika 21).
5 6. Degenerirani in slabo pogojeni SLAE 5 Upoštevajte, da je slabo pogojena matrika značilna tudi pri rekonstrukciji eksperimentalnih podatkov, ki jih dajejo preveč določeni (nezdružljivi) SLAE (na primer pri problemih tomografije). Za reševanje napačno postavljenih problemov, zlasti degeneriranih in slabo pogojenih SLAE, je bila razvita zelo učinkovita metoda, imenovana regularizacija. Temelji na upoštevanju dodatnih apriornih informacij o strukturi rešitve, ki so zelo pogosto na voljo v praktičnih primerih.
10. QR- in SVD-dekompozicije: “slabe” SLAE 1 10. QR- in SVD-dekompozicije: “slabe” SLAE Med matričnimi dekompozicijami imajo posebno vlogo ortogonalne, ki imajo lastnost ohranjanja norme vektor. Naj vas spomnimo
7. Regularizacija 1 7. Regularizacija Za reševanje napačno zastavljenih problemov je sovjetski matematik Tihonov predlagal preprosto, a izjemno učinkovito metodo, imenovano regularizacija, ki temelji na vključevanju
Primer: tehtanje 1 Primer: tehtanje Naj podamo še enostavnejšo razlago inverznega problema, povezanega z obdelavo rezultatov poskusa, na primer tehtanje predmetov dveh vrst
Tema Numerične metode linearne algebre - - Tema Numerične metode linearne algebre Klasifikacija Obstajajo štirje glavni deli linearne algebre: Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE)
UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE YSU po imenu KTynystanov O PRIBLIŽNI REŠITVI NEPOGOJENIH SISTEMOV LINEARNIH ALGEBRAIČNIH ENAČB Ta članek predstavlja algoritme za dve metodi za reševanje slabih
Posebna računalniška delavnica z znanstvenimi raziskavami Nikolaj Matvejevič Andruševski, Fakulteta za računalništvo, Moskovska državna univerza Povzetek Delavnica temelji na podrobni študiji metode singularne razgradnje matrik in njene uporabe.
Predoločeni sistemi linearnih enačb Skalko Jurij Ivanovič Cibulin Ivan Ševčenko Aleksander Predoločeni SLAE Predoločeni SLAE Upoštevajte SLAE Ax = b, vendar v primeru, ko je enačb več,
Sistemi linearnih algebrskih enačb Osnovni koncepti Sistem linearnih algebrskih enačb (SLAE) je sistem oblike a a a, a a a, a a a Lahko ga predstavimo kot matrično enačbo
Ne LA izpit za diplomirane ekonomiste v študijskem letu 04-0 Poišči vektor Ne (6 4; 6 8) in Ne DEMO možnost 0 (x; y) (za katero sta Ne in x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Enačba premice v prostoru 1 Premica je presečišče dveh ravnin. Sistem dveh linearnih enačb s tremi neznankami. Ravno črto v prostoru lahko definiramo kot presečišče dveh ravnin. Pustiti
PREDAVANJE 6 SPEKTRALNE NALOGE. Metode spuščanja V zadnjem predavanju so bile obravnavane iterativne metode variacijskega tipa. Za sistem Au = f, za katerega je A = A, je bil uveden funkcional Φ(u, u).
11. Linearna redukcija 1 11. Linearna redukcija. Zaključimo pogovor o linearnih inverznih problemih s predstavitvijo drugega pristopa, imenovanega redukcija. V bistvu je zelo blizu ureditvi (v nekaterih
01 1. Poiščite splošne in osnovne rešitve sistema enačb: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, pri čemer za osnovni spremenljivki izberemo x in x. Odgovor: Če kot osnovne spremenljivke izberemo
Demo 01 1. Poiščite splošne in osnovne rešitve sistema enačb: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, pri čemer za osnovni spremenljivki izberete x in x. 2. Poiščite osnovo sistema
Moskovska državna tehnična univerza po imenu NE Bauman Fakulteta za temeljne vede Oddelek za matematično modeliranje ÀÍ Kasikov,
UDC 57.9 Igrunova S.V., kandidatka socioloških znanosti, izredna profesorica, izredna profesorica Oddelka za informacijske sisteme Rusija, Belgorod Kichigina A.K. Študent 4. letnika, Inštitut za inženirske tehnologije in naravoslovje
6 Metode aproksimacije funkcij. Najboljši približek. Metode aproksimacije, obravnavane v zadnjem poglavju, zahtevajo, da vozlišča mrežnih funkcij strogo pripadajo nastalemu interpolantu. Če ne zahtevate
ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE KLASIFIKACIJA MATRIK IN OPERACIJE NA NJIH Definiraj matriko Razvrstitev matrik po velikosti Kaj sta ničelna in identitetna matrika? Pod katerimi pogoji se matrike štejejo za enake?
) Koncept SLAE) Cramerjevo pravilo za reševanje SLAE) Gaussova metoda 4) Rang matrike, Kronecker-Capellijev izrek 5) Reševanje SLAE z inverzijo matrike, koncept pogojevanja matrik) Koncept SLAE O. Sistem SLAE
Vzporedni izračuni v tomografiji Algebraične metode računalniške tomografije. Problem računalniške tomografije v diskretni obliki Problem računalniške tomografije v diskretni obliki. V nasprotju
PREDAVANJE 2 NUMERIČNO REŠEVANJE SLAE Pri reševanju večine praktičnih problemov se problem reševanja sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE) praviloma pojavlja v obliki kakšne pomožne podnaloge.
Vzorci osnovnih problemov v LA Gaussovi metodi Nekateri sistemi linearnih enačb Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo 6
Operacijska raziskava Definicija Operacija je dogodek, namenjen doseganju določenega cilja, ki omogoča več možnosti in njihovo upravljanje Definicija Operacijska raziskava niz matematičnih
Predavanje 3. 3. Newtonova metoda (tangente. Postavimo nek začetni približek [,b] in linearizirajmo funkcijo f(v soseščini z uporabo segmenta Taylorjevega niza f(= f(+ f "((-. (5 Namesto enačbe) (rešujemo
Enačbe premice in ravnine Enačba premice na ravnino. Splošna enačba premice. Znak vzporednosti in pravokotnosti črt. V kartezičnih koordinatah je definirana vsaka premica na ravnini Oxy
Moskovska državna tehnična univerza po imenu N.E. Bauman Fakulteta za temeljne vede Oddelek za matematično modeliranje A.N. Kasikov,
Primeri izpolnjevanja izpitnih nalog pri pouku na daljavo Izpitna naloga 1 (CR-1) Tema 1. Linearna algebra Naloga 1 Rešiti je treba sistem enačb, predstavljen v nalogi v obliki Konstantni parametri
Moskovska državna tehnična univerza poimenovana po. N.E. Baumanova Fakulteta Oddelek za temeljne vede Višja matematika Analitična geometrija Modul 1. Matrična algebra. Vektorska algebra Predavanje
Vstopnica. Matrike, dejanja nanje.. Enačba parabole v kanoničnem koordinatnem sistemu. Vstopnica. Lastnosti matričnih operacij. Kot med njima, pogoji vzporednosti
3 VSEBINA 1. Cilji in cilji stroke 4. Mesto stroke v strukturi BOP 4 3. Struktura in vsebina stroke 5 3.1. Struktura discipline 5 3.. Vsebina discipline 6 4. Seznam izobraževalnih in metodoloških gradiv
PRAKTIČNI POUK Lekcija POTREBNI IN ZADOSTNI POGOJI ZA BREZPOGOJNI EKSTREM Postavka problema Dana dvakrat zvezno diferenciabilna funkcija f (), definirana na množici X R Zahtevano za raziskovanje
Rešitve nalog iz algebre za drugi semester D.V. Gorkovets, F.G. Korablev, V.V. Korableva 1 Linearni vektorski prostori Problem 1. Ali so vektorji v R4 linearno odvisni? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Zvezna državna izobraževalna proračunska ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Finančna univerza pod vlado Ruske federacije" (Finančna univerza) ODDELEK ZA "MATEMATIKO"
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Pokaži, da je vektor;;) ;;) ; ;) tvori osnovo vektorja in zapiši linearno kombinacijo vektorja If;;) na teh vektorjih poišči X iz enačbe Pokaži, da je vektor;)
Kronecker-Capellijev izrek. Reševanje SLAE z uporabo Gaussove metode. Matrični rang. Razmislite o pravokotni matriki z m vrsticami in stolpci: A. m m m V tej matriki izberimo poljubne vrstice in stolpce. Elementi
Sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama Sistem enačb oblike imenujemo sistem linearnih enačb z dvema spremenljivkama. Rešitev sistema enačb v dveh spremenljivkah je par vrednosti
LINEARNA ALGEBRA Predavanje Premica in ravnina v prostoru Vsebina: Enačba ravnine Medsebojna razporeditev ravnin Vektorsko-parametrična enačba premice Enačbe premice iz dveh točk Premica
DRŽAVNA UNIVERZA ST. PETERBURG Fakulteta za uporabno matematiko procesov upravljanja A. P. IVANOV, Y. V. OLEMSKOY PRAKTIKUM O NUMERIČNIH METODAH MINIMIZACIJE KVADRATNE FUNKCIJE Metodični
0 g 6 Zbornik FORA ŠTEVILO POGOJA MATRIKE KOT INDIKATOR STABILNOSTI PRI REŠEVANJU APLIKACIJSKIH PROBLEMOV R Tsey, MM Shumafov Državna univerza Adygea, Maikop Število pogojev matrike
MATRIKE, DETERMINANTE, SISTEMI LINEARNIH ENAČB Metoda obrobnih minorjev za iskanje ranga matrike A = m m m minor Minor k reda k matrike A je vsaka determinanta k-tega reda te matrike,
PREDAVANJE 4 ITERATIVNE METODE ZA REŠEVANJE SLAE Da bi zmanjšali napako, povezano z zaokroževanjem, se zateči k naslednjemu algoritmu. Naj bo u natančna rešitev sistema, u numerična rešitev. Nato uvedemo
1. Linearni sistemi in matrike 1. Definiraj matrično množenje. Ali je ta operacija komutativna? Pojasni odgovor. Produkt C matrik A in B je definiran kot m p m p A B ij = A ik B kj. Operacija ni komutativna.
MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE TOMSK DRŽAVNA UNIVERZA ZA NADZORNE SISTEME IN RADIO ELEKTRONIKO (TUSUR) Yu.E. Voskobojnikov A.A. Mitzel NEPRAVILNE MATEMATIČNE TEŽAVE
NUMERIČNE METODE LINEARNE ALGEBRE Poglavje “Numerične metode linearne algebre” obravnava numerične metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE) in numerične metode za reševanje problemov.
ANALITIČNA GEOMETRIJA 3 TOK Predavatelj P. V. Golubtsov 1.1. Vektorji. Seznam vprašanj za prvi del izpita 1. Oblikujte definicijo linearnih operacij na vektorje. Naštej lastnosti linearnih operacij
Sistemi linearnih algebrskih enačb Razmislite o sistemu m linearnih algebrskih enačb z neznankami b b () m m m bm Sistem () se imenuje homogen, če so vsi njegovi prosti členi b b b m enaki.
4. Sistemi linearnih enačb. Osnovni pojmi. Enačba se imenuje linearna, če vsebuje neznanke samo prve stopnje in ne vsebuje produktov neznank, tj. če ima obliko + + +
Linearna algebra Predavanje 7 Vektorji Uvod V matematiki obstajata dve vrsti količin: skalarji in vektorji Skalar je število, vektor pa se intuitivno razume kot objekt, ki ima velikost in smer Vektorski račun.
Seznam vprašanj za izpit iz numeričnih metod (28. 5. 2018) 0.1 Numerična integracija 1. Naštejte metode za izračun nepravilnih integralov. Sestavite kvadraturno formulo za izračun integrala
Paralelni izračuni v tomografiji Metoda enostavne iteracije. Metoda hitrega spuščanja. ART metoda. Metoda SIRT. Pri enostavni iteracijski metodi relaksacijski faktorji τ k in matrike H k niso odvisni od števila
Uvod v linearno matrično algebro. Opredelitev. Tabelo z m n števili oblike m m n n mn, sestavljeno iz m vrstic in n stolpcev, imenujemo matrika. Elementi matrike so oštevilčeni podobno kot elementi determinante
PREDAVANJE 7 INTERPOLACIJA Na zadnjem predavanju je bil obravnavan problem reševanja naddoločenega sistema. Tak sistem ima obliko: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
TEORETIČNA VPRAŠANJA I. MATRIKE, DETERMINANTE 1) Podajte definicijo matrike. Kaj sta ničelna in identitetna matrika? Pod katerimi pogoji se matrike štejejo za enake? Kako se izvede operacija transpozicije? Kdaj
Predavanje 7 REDUCIJA KRIVULJE DRUGEGA REDA NA KANONIČNO OBLIKO. Transformacija baz in koordinat na ravnini. Naj sta na ravnini podana dva pravokotna kartezična koordinatna sistema s skupnim izhodiščem:
Linearna algebra Modul 1. Linearni in evklidski prostori. Linearni operatorji v linearnem prostoru Predavanje 1.4 Povzetek Lastni vektorji in lastne vrednosti linearnega operatorja, njihove lastnosti.
UDK. SINTEZA REKURZIVNIH DIGITALNIH FILTROV Z IMPULSNIMI KARAKTERISTIKAMI, DOLOČENIMI Z ELEMENTARNO MATEMATIČNO FUNKCIJO Nikitin D.A., Khanov V.Kh. Uvod V sodobnem arzenalu metod za sintezo rekurzivnih
Poglavje 8 Funkcije in grafi Spremenljivke in odvisnosti med njimi. Dve količini se imenujeta neposredno sorazmerni, če je njuno razmerje konstantno, to je, če je =, kjer je konstantno število, ki se s spremembami ne spreminja.
Gaussova metoda (metoda izločanja neznank) Dva sistema imenujemo enakovredna (ekvivalentna), če njuni rešitvi sovpadata. Do enakovrednega sistema lahko greste z uporabo elementarnih transformacij
Laboratorijsko delo št. 3
Reševanje slabo pogojenih sistemov linearnih algebrskih enačb
Metoda regulacije
Vhodni parametri: n-pozitivno celo število, enako vrstnemu redu n sistema; a je niz n x n realnih števil, ki vsebuje matriko sistemskih koeficientov; b - niz n realnih števil, ki vsebuje stolpec prostih členov sistema (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
Izhodni parametri: x – sistemska rešitev; p-število ponovitev.
Diagram algoritma je prikazan na sliki 18.
Besedilo programa:
procedure regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvektor; alfa,s1,s:resnično; največ,eps:resnično; i,j,k,l:celo število;
Out_Slau_T(n,a,b);
Za I:=1 To n Do (prejem A T A)
Za K:=1 Za N Naredi
Za J:=1 Za N Naredi S:=S+A*A;
Za I:=1 Za N Naredi (prejem A T B)
Za J:=1 Za N Naredi
Začetek S:=S+A*B[j];
alfa:=0; (začetna vrednost alfa)
k:=0; (število ponovitev)
alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=a1;
za i:=1 do N naredi a2:=a1+alfa; (prejem A T A+alfa)
za i:=1 do N naredite b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (prejem A T B+alfa)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
za i:=2 do n naredi
if abs(b2[i]-X[i])>max then max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Slika 18 - Shema algoritma metode regularizacije
Variante nalog za reševanje slabo pogojenih sistemov z metodo regulacije so podane v tabeli 3.
Metoda vrtenja (Givens)
Diagram algoritma je prikazan na sliki 19.
Primer. Reši sistem enačb
Besedilo programa:
POSTOPEK Vrash;
Var I,J,K: Celo število; M,L,R: Real; F1:BESEDILO; Oznaka M1,M2;
Out_Slau_T(nn,aa,b);
za i:=1 do Nn do
Za I:=1 Za Nn-1 Začni
Za K:=I+1 Za Nn Do Začni
Če (Aa0.0) Potem Pojdi na M1; Če (Aa0.0) Potem Pojdi na M1;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1,0*Aa/M;
M2:Za J:=1 Za Nn Do Začni
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
Za I:=Nn Downto 1 Do Begin
Za K:=0 Za Nn-I-1 Ali Začni M:=M+Aa*Aa; Konec;
Aa:=(Aa-M)/Aa; Konec;
za i:=1 do Nn do x[i]:=Aa;Konec;
Izračuni po programu so privedli do naslednjih rezultatov:
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Slika 19 - Shema algoritma Givensove metode (rotacija)
Možnosti nalog
Tabela 3
|
Matrika A |
Matrika A |
||||||
Tema laboratorijskega dela št. 3 za kontrolo znanja je ponazorjena s programom kontrole in usposabljanja.
Laboratorijsko delo št. 4
Reševanje nelinearnih enačb in sistemov nelinearnih enačb
Enostavna iteracijska metoda
Postopek izvajanja laboratorijskega dela:
Poiščite ničelni približek rešitve;
Pretvorimo sistem f(x) = 0 v obliko x = Ф(x);
Preverite konvergenčni pogoj metode.
Diagram algoritma je prikazan na sliki 20.
Primer. Rešite sistem z metodo enostavne iteracije
Kot ničelni približek izberemo točko x = 1, y = 2,2, z = 2. Transformirajmo sistem v obliko
Besedilo programa:
POSTOPEK Iteraz;
Različica I,J,K,J1: Celo število;
X2,X3,Eps: Real;
Eps:=0,01; X2:=0,0; K:=1;
Za J:=1 Za Nn Začni
Za I:=1 To Nn Do Begin S:=S+Aa*Xx[i]; Konec;
Za J1:=1 To Nn Do Begin Xx:=R; Konec; X3:=Xx;
Za I:=1 To Nn Ali Začni If (Xx[i]>=X3) Potem X3:=Xx[i]; Konec;
Za I:=1 To Nn Do Begin Xx[i]:=Xx[i]/X3; Konec;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
Če (U1>=Eps) potem X2:=X1;
Dokler ((K>=50)ali(U1
Izračuni po programu so privedli do naslednjih rezultatov:
X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365
Število ponovitev: 5
Slika 20 - Diagram algoritma metode preproste iteracije
Newtonova metoda
Program se lahko uporablja za reševanje sistemov reda, ki ni višji od desetine.
Vhodni parametri: n - število enačb sistema (sovpada s številom neznank), n £ 10; niz x n realnih števil, ki vsebuje začetno ugibanje rešitve; f je ime zunanje procedure f(n, x, y), ki na podlagi danih vrednosti x, ki se nahajajo v elementih matrike x, izračuna trenutne vrednosti funkcije f in jih postavi v elementi matrike y; g - ime zunanje procedure g(n, x, d), ki izračuna elemente matrike iz danih vrednosti x iz matrike x 
, ki se nahaja v nizu d dimenzije n x n; eps - vrednost pogoja za zaključek iterativnega procesa.
Izhodni parametri: x - niz n realnih števil (znan tudi kot vhod) vsebuje približno vrednost rešitve ob izhodu iz podprograma; k je število ponovitev.
UDC 519.61:621.3
V.P. VOLOBOEV*, V.P. KLIMENKO*
O ENEM PRISTOPU REŠEVANJA NEPOGOJENEGA SISTEMA LINEARNIH ALGEBRAIČNIH ENAČB, KI OPISUJEJO FIZIČNI OBJEKT
Inštitut za probleme matematičnih strojev in sistemov Nacionalne akademije znanosti Ukrajine, Kijev, Ukrajina
Povzetek. Dokazano je, da verjetnost rezultatov modeliranja fizičnih objektov, katerih diskretni model opisuje sistem linearnih algebrskih enačb (SLAR), ni posledica slabe zasnove matrike, temveč posledica nepravilna izbira spremenljivega SLAR na stopnji zloženih nivojev z uporabo metode potencialov vozlišč ali njenih analogov in metode same. To je velik odmik od metode pravilne nastavitve naloge Metoda za preverjanje pravilnosti SLAR, ki jo tvori Predlagana je bila metoda potencialov vozlišč, ki ima nedotaknjeno simetrično matriko, ki jo je potrebno transformirati v pravilno obliko.
Ključne besede: sistem, modeliranje, nepravilna nastavitev, slabo sklepanje, sistem linearnih algebrskih enačb, metoda potencialov vozlišč, metoda pravilne postavitve naloge, preverjanje pravilnosti.
Opomba. Dokazano je, da zanesljivost rezultatov modeliranja fizičnih objektov, katerih diskretni model opisuje sistem linearnih algebrskih enačb (SLAE), ni odvisna od slabe pogojenosti matrike, temveč od nepravilne izbire spremenljivk SLAE. na stopnji sestavljanja enačb z uporabo metode nodalnih potencialov ali njenih analogov, sama metoda pa je poseben primer metode pravilne formulacije problema. Predlagana je tehnika za preverjanje pravilnosti SLAE, sestavljenega z metodo nodalnih potencialov, ki ima nedegenerirano in simetrično matriko, in jo po potrebi pretvori v pravilno obliko.
Ključne besede: sistem, modeliranje, napačno zastavljen problem, slabo pogojevanje, sistem linearnih algebrskih enačb, metoda nodalnih potencialov, metoda pravilne postavitve problema, preverjanje pravilnosti.
Povzetek. V prispevku je prikazano, da zanesljivost rezultatov simulacije fizičnih objektov, katerih diskretni model opisuje sistem linearnih algebrskih enačb (SLAE), ni odvisna od slabo pogojene matrike, temveč od nepravilne izbire spremenljivke SLAE na stopnji generiranja enačb. z metodo potenciala vozlišča ali njenimi analogi, metoda pa je poseben primer metode pravilne postavitve problema. Predlagana je bila metoda preverjanja pravilnosti SLAE, izdelana z metodo vozliščnega potenciala, ki ima nesingularno in simetrično matriko in, če je potrebno, njeno transformacijo v pravilno obliko.
Ključne besede: sistem, simulacija, nepravilen problem, slabo pogojeno, sistem linearnih algebrskih enačb, metoda potenciala vozlišča, metoda pravilne postavitve problema, preverjanje pravilnosti.
1. Uvod
Številni problemi modeliranja fizičnih (tehničnih) objektov se spustijo na reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE). Ker se vsi izračuni pri reševanju takih sistemov izvajajo s končnim številom pomembnih števk, se lahko natančnost zaradi napak pri zaokroževanju znatno izgubi. Za slabo pogojen (nestabilen) sistem ali v splošni formulaciji nepravilno zastavljen problem se šteje problem, ki ob fiksni stopnji napak vhodnih podatkov in točnosti izračuna ne zagotavlja nobene točnosti rešitve. Številka pogoja se uporablja kot a priori najslabša ocena možnih napak pri reševanju SLAE. Kot je razvidno iz literature, se razvoj metod za reševanje napačno zastavljenih problemov obravnava kot čisto matematični problem, pri katerem se ne upoštevajo lastnosti fizičnih (tehničnih) objektov, kljub dejstvu, da je numerično reševanje številnih problemov matematične fizike in matematičnega modeliranja kompleksnih fizikalnih procesov
© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014
sove in tehničnih sistemov je neizčrpen vir problemov linearne algebre. Za navedeni razred problemov se pri razvoju metod reševanja ne upošteva stopnja sestavljanja SLAE, na kateri je tako ali drugače mogoče upoštevati značilnosti določenega problema. Da je treba to stopnjo upoštevati, potrjujejo rezultati naslednjih del.
Najprej velja opozoriti na delo, ki podaja primere matrik, pri katerih je izguba natančnosti pri reševanju SLAE majhna, vrednost pogojnega števila pa ogromna, to pomeni, da je prikazano, da je splošno sprejeto merilo za apriorna ocena točnosti reševanja SLAE na podlagi številke pogoja je nujna, vendar ne zadostna. V delu je bil predlagan popolnoma nov pristop k reševanju napačno postavljenega problema. To je v tem, da je za povečanje natančnosti reševanja SLAE, tudi z veliko vrednostjo pogojnega števila, na stopnji opisovanja diskretnega modela fizičnega objekta predlagano pravilno sestavljanje SLAE. To ne pomeni le, da takšne matrike obstajajo, kot je navedeno v delu, ampak tudi, da je bila predlagana metoda za pravilno sestavljanje matrike SLAE, ki opisuje diskretni model predmeta. Metoda za sestavljanje matrike SLAE je obravnavana v povezavi s problemi modeliranja obnašanja električnih tokokrogov, elektroenergetskih sistemov, paličnih sistemov mehanike in eliptičnih enačb matematične fizike.
Bistvo te metode je, da se za razliko od obstoječih metod pri oblikovanju SLAE upoštevajo parametri diskretnega modela fizičnega objekta s ciljno izbiro spremenljivk. Opozoriti je treba, da je metoda uporabna samo za tiste objekte, katerih topologija diskretnega modela je predstavljena z grafom.
To zahtevo izpolnjuje projektni model električnega tokokroga in napajalnega sistema. Za številne probleme matematičnega modeliranja kompleksnih fizikalnih procesov, tehničnih sistemov in matematične fizike se predstavitev topologije diskretnega modela v obliki grafa ne uporablja. Dela kažejo, da je zgornja omejitev odpravljena s predstavitvijo topologije elementov načrtovalskih shem diskretnega modela fizičnega objekta v obliki grafa. Obstaja tudi metoda za predstavitev topologije elementov v obliki grafov.
V prispevku bomo predlagali metodo za popravek nepravilno zastavljenega problema za primer, ko topologija diskretnega modela ni predstavljena v obliki grafa. Pri razvoju metode upoštevamo dejstvo, da je splošno sprejeta metoda za opisovanje diskretnih modelov problemov matematične fizike in kompleksnih fizikalnih procesov in tehničnih sistemov (metoda nodalnih potencialov) poseben primer metode za pravilno sestavljanje matrike SLAE. .
2. Povezava med natančnostjo rešitve SLAE, ki opisuje diskretni model objekta, in načinom sestavljanja enačb
Akademik Voevodin V.V. je v svojem delu pokazal, da je največja natančnost rezultatov reševanja SLAE z Gaussovo metodo dosežena pri uporabi metode z izbiro glavnega elementa. Na podlagi te ideje je izšlo ogromno del. Vendar pa je reševanje praktičnih problemov pokazalo, da se natančnost reševanja SLAE, zlasti v primeru slabo pogojenih matrik, močno izgubi zaradi napak pri zaokroževanju, kar pomeni, da za povečanje natančnosti rezultatov na stopnji rešitve ni dovolj. samo uporabiti Gaussovo metodo z izbiro glavnih elementov.
Nadaljnji razvoj te ideje je metoda, predlagana v delu, kjer je predlagano, da se na stopnji sestavljanja opisa diskretnega modela predmeta oblikujejo diagonalni elementi matrike kot glavni. Za to se pri sestavljanju opisa uporabijo dodatne informacije, in sicer parametri diskretnega modela. Učinkovitost tega pristopa, in sicer odvisnost natančnosti rešitve SLAE, ki opisuje diskretno
ISSN 1028-9763. Matematični stroji in sistemi, 2014, št. 4
Na modelnem primeru bo demonstriran nov model objekta iz metode sestavljanja enačb. V nadaljevanju bomo razmislili o sestavljanju opisa primera modela z uporabo metode, opisane v, z izbiro glavnega elementa in brez nje ter njegove rešitve.
Kot modelni primer je bil izbran električni tokokrog, prikazan na sliki 1. 1.
riž. 1. Električni tokokrog
Znano je, da je pogojenost SLAE, ki opisuje električno vezje, odvisna od obsega širjenja vrednosti prevodnosti (upornosti) komponent vezja. Izbrani obseg sprememb prevodnosti komponent električnega tokokroga, ki je enak 15 redom, zagotavlja slabo pogojenost SLAE in s tem, kot se običajno verjame, nepravilnost problema. Na primeru izračuna potenciala vozlišča 2 (napetost na komponenti G2) bomo analizirali odvisnost zanesljivosti rezultatov izračuna od metode oblikovanja diagonalnega elementa pri sestavljanju opisa električnega tokokroga.
Spodaj so glavne določbe, potrebne za reševanje primera modela z metodo pravilne formulacije problema. Izdelava matematičnega modela električnega tokokroga s to metodo temelji na osnovnem sistemu enačb električnega tokokroga, ki vključuje komponentne enačbe in enačbe, sestavljene na podlagi Kirchhoffovih zakonov. Za primer modela ima komponentna enačba obliko
kjer je U i napetost, ki pade na komponento, I je tok, ki teče skozi komponento, Gt je prevodnost komponente.
Za opis grafa električnega tokokroga in s tem enačb, ki temeljijo na Kirchhoffovih zakonih, se uporabljajo topološke matrike kontur in odsekov. Graf vezja sovpada z električnim vezjem. Sestavljanje topoloških matrik kontur in odsekov vključuje izbiro drevesa grafov vezja in risanje kontur za izbrano drevo. Drevo grafa električnega vezja je izbrano tako, da so v drevo vključeni vsi napetostni viri, vsi tokovni viri pa v akordih. Elementi v napetostnih vektorjih U in tokovih I komponent vezja so razvrščeni v tiste, ki so vključeni v drevo (indeks D), to je veje in strune (indeks X), tako:
Konture so oblikovane s spajanjem akordov v drevo grafa vezja. V tem primeru
topološka matrika kontur ima obliko
kjer je 1 enotska podmatrika akordov, t
Označuje transpozicijo matrike, topološka matrika odsekov pa ima obliko |1 -F, kjer je 1 enotska podmatrika vej. Kot izhaja iz , diagonalni členi matrike
ISSN 1028-9763. Matematični stroji in sistemi, 2014, št. 4
bodo glavni v primeru, ko imajo prevodnosti drevesnih komponent v tokokrogih največjo prevodnost. Ob upoštevanju vrste topoloških matrik lahko enačbe vezja, sestavljene na podlagi Kirchhoffovih zakonov, zapišemo v matrični obliki na naslednji način:
njihov =-ґid, (3)
Spremenljivke sestavljenega sistema enačb so izbrane izmed napetosti in/ali tokov komponent kot rezultat analize glavnega sistema enačb. Če so komponente, vključene v veje drevesa, izbrane kot spremenljive napetosti, lahko enačbe komponent (1) in enačbe (3), (4) pretvorimo v naslednjo obliko:
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.
Spodaj bomo predstavili sestavo enačb za primer modela. Najprej je sestavljen opis električnega tokokroga, tako da so diagonalni členi matrike glavni. To zahtevo izpolnjuje nabor komponent E1, G6, G3, G2, vključen v drevo (na sliki 1 so veje drevesa poudarjene s krepko črto). Izbranemu drevesu ustrezajo naslednji vektorji napetosti in tokov komponent:
in topološke matrike
Enačba (5) ima ob upoštevanju (6), (7) in komponentnih enačb po transformacijah naslednjo obliko:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) je slabo pogojen, saj so lastne vrednosti matrike \= 1,5857864376253, R2 = 5,0E +14+j5,0E +14, A, = 5,0E +14 - j5,0E +14. Da bi ugotovili, kako je natančnost rezultatov reševanja sistema odvisna od izbire možnosti za sestavo enačb, bo izračun potenciala Uq vozlišča 2 izveden v splošni obliki:
ISSN 1028-9763. Matematični stroji in sistemi, 2014, št. 4
(g1+g2 +g4 +g5)-
Iz analize računalniškega procesa (9-11) izhaja, da kljub velikemu razponu sprememb vrednosti prevodnosti (15 vrst velikosti) ni strogih zahtev za končno natančnost predstavitve števil tako, ko sestavljanju enačb in pri njihovem reševanju. Za pridobitev zanesljivega rezultata je dovolj, da izvedemo računski postopek sestavljanja in reševanja SLAE z natančnostjo predstavitve števil na dve pomembni številki.
Upoštevati je treba, da je v SLAE (8) diagonalni element druge vrstice (stolpca) matrike G+G4+G5I bistveno večji (za 15 velikostnih redov) od vsote preostalih členov
vrstice (stolpci) | G4 + 2G51. To pomeni, da lahko z UG = 0 poenostavimo SLAE
(8), ohranjanje zanesljivosti rezultatov. V dobi ročnega štetja je ta tehnika ustrezala kombinaciji vozlišča 2 s 3 (slika 1).
V drugem primeru (brez izbire diagonalnega elementa kot glavnega) je dovolj, da v drevesu izberete komponente Ex, G6, G4, G2 (na sliki 1 so veje drevesa označene s črtkanimi črtami).
vrstica). Padci napetosti na teh komponentah ustrezajo potencialom vozlišč 1, 4, 3, 2, šteto od ničelnega vozlišča. To pomeni, da pri takšni izbiri komponent v drevesu metoda za pravilno sestavo matrike SLAE sovpada z metodo nodalnih potencialov. Izbranemu drevesu in akordom ustrezajo naslednji vektorji napetosti in tokov komponent:
U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 ig G2 G5
in topološke matrike
Enačba (5) bo ob upoštevanju (12), (13) in komponentnih enačb upoštevala naslednje
ISSN 1028-9763. Matematični stroji in sistemi, 2014, št. 4
G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
Sistem enačb (14) je slabo pogojen, saj ima naslednje lastne vrednosti matrike: 1 = 1,0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Tako kot v prvi različici primera bo potencialni UG vozlišča 2 izračunan v splošni obliki:
(G + G + G)-----------
V 3 4 U (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
Iz analize računskega procesa reševanja sistema enačb (15-17) izhaja, da je zanesljivost rezultatov odvisna tako pri sestavljanju kot pri reševanju enačb od končne točnosti prikaza števil. Torej, če se računski postopek reševanja sistema (15-17) izvede z natančnostjo manj kot 15 pomembnih števk, bo rezultat
1015 +1015 ~ o,
in v primeru, da je natančnost več kot 15 pomembnih številk, bo
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
Iz primerjave matrik (8) in (14) ter računskih procesov za reševanje sistemov enačb sledijo naslednji zaključki.
Metoda nodalnih potencialov je poseben primer metode, predlagane v , in sicer so pri metodi nodalnih potencialov v drevo vedno izbrani robovi grafa, ki povezujejo osnovno vozlišče z ostalimi.
Diagonalni elementi matrike so po modulu večji od drugih elementov, tako v vrsticah kot stolpcih, ne glede na to, ali je matrika sestavljena z izbiro največjih diagonal ali brez njih. Edina razlika je v tem, koliko so diagonalni elementi večji od nediagonalnih. To pomeni, da reševanje te vrste SLAE z uporabo Gaussove metode z izbiro glavnega elementa ne poveča natančnosti rezultatov za ta razred problemov.
ISSN 1028-9763. Matematični stroji in sistemi, 2014, št. 4
Končno število pomembnih številk, uporabljenih v Gaussovi rešitvi, je močno odvisno od tega, ali je matrika sestavljena z izbiro največjih diagonalnih elementov ali brez nje. Razlika med eno in drugo različico problema je le v tem, da se v fazi sestavljanja enačb v enem primeru v drevo izbere komponenta z največjo prevodnostjo in tako napetost te komponente deluje kot spremenljivka v SLAE. Prevodnost te komponente je vključena samo v tvorbo diagonalnega elementa matrice. V drugem primeru ta komponenta pade v akorde. Kot izhaja iz enačbe (3), je komponentna napetost določena preko napetosti drevesnih komponent. Iz enačbe (4) sledi, da je prevodnost komponente vključena v tvorbo elementov vrstic in stolpcev, zato prevodnost tetive določa velikost teh matričnih elementov.
3. Transformacija matrike SLAE, sestavljene z metodo nodalnih potencialov, v obliko, ki ustreza pravilni formulaciji
Pri numeričnem reševanju problemov matematične fizike in matematičnega modeliranja kompleksnih fizikalnih procesov in tehničnih sistemov za sestavljanje SLAE, ki opisujejo diskretne modele teh problemov, se v glavnem uporablja metoda nodalnih potencialov ali njenih analogov. Posebnost te metode je, da se kot spremenljivke SLAE uporabljajo potenciali načrtovalne sheme diskretnega modela, šteto od osnovnega vozlišča do preostalih vozlišč, preprost algoritem za sestavljanje enačb in šibko zapolnjena matrika SLAE. Cena za takšno učinkovitost je lahko nepravilnost naloge. Glede na to, da je metoda nodalnih potencialov le ena od variant metode za pravilno zastavitev problema, lahko napačno zastavljen problem popravimo z uporabo matrične transformacije. Spodaj bomo obravnavali algoritem za preoblikovanje problema, ki je nepravilno sestavljen z metodo nodalnih potencialov.
Od vse vrste fizičnih objektov bodo obravnavani le tisti objekti, katerih linearni diskretni model opisuje SLAE z nedegenerirano in simetrično matriko.
3.1. Algoritem matrične transformacije
Pri razvoju algoritma transformacije matrike se uporablja dejstvo, da je j-ti nediagonalni element i-te vrstice matrike vključen v matriko z znakom minus in vsebuje diskretni parameter modela, ki opisuje povezavo med i-tim in j-tim vozliščem diskretnega modela. Diagonalni element je vključen v matriko s pozitivnim predznakom, vsebuje vsoto nediagonalnih elementov in diskretni parameter modela, ki opisuje povezavo med i-tim vozliščem in osnovnim. Običajno se pri oštevilčevanju vozlišč diskretnega modela osnovno vozlišče šteje za nič.
Kot izhaja iz zgoraj opravljene študije, se nepravilnost problema na ravni sestavljenega SLAE pojavi le, če je vsaj eden od nediagonalnih elementov premice bistveno večji od parametra diskretnega modela, ki je vključen samo v diagonalnem elementu. Spodaj je metodologija za preverjanje pravilnosti sestavljenega SLAE.
Naj ima SLAE obliko
kjer je x vektor nodalnih potencialov (nodalnih vplivov), y je vektor zunanjih tokov, A je matrika oblike
ISSN 1028-9763. Matematični stroji in sistemi, 2014, št. 4
а11 а1і a1j a1n
аі1 а,і aj ain , (21)
aJ1 an1 аі aJJ ann
kjer je n velikost matrike. Elementi matrike izpolnjujejo naslednje zahteve:
ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
Spodaj bomo obravnavali preverjanje pravilnosti i-te vrstice matrike in po potrebi njen popravek.
Najprej se določi parameter diskretnega modela ait, ki je vključen le v diagonalni element i-te vrstice matrike,
Šteje se, da je i-ta vrstica matrike pravilno sestavljena, če parameter ait izpolnjuje pogoj
1 < j < n, при j Ф і.
Če pogoj (24) ni izpolnjen, se prilagodi i-ta vrstica. Najprej je izbran največji od nediagonalnih elementov. Naj bo to j -ti element i -te vrstice. Enostavno je preveriti, da je zaradi specifike sestave matrike (pogoj (22)) parameter diskretnega modela, ki sodeluje pri oblikovanju elementov o. in a.^ i-te in j-te vrstice, je vključen kot sestavni del v elementih aii in a. . Bistvo prilagajanja i-te vrstice je transformacija i-te in j-te vrstice matrike tako, da je vrednost elementa a. je bil vključen le v element aii. To je enostavno videti, ko predstavljamo spremenljivko xi v obliki
X = xj + xj (25)
in izvajanje naslednje transformacije elementov j-tega stolpca matrike SLAE
o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)
dobimo nov j-ti stolpec matrike, v katerem so transformirani elementi a. in a. ne vsebujejo parametra diskretnega modela, ki tvori elemente a. in a. .
Naslednji korak je transformacija j-te vrstice z uporabo formule
aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)
Elementi a i transformiranega j-niza ne vsebujejo več parametra diskretnega modela, ki ustreza elementu a i.
ISSN 1028-9763. Matematični stroji in sistemi, 2014, št. 4
Preverjanje pravilnosti matrike SLAE in popravljanje nepravilnih vrstic se izvede za celotno matriko. V tem delu je obravnavan le pristop k izdelavi algoritma za pretvorbo matrike v pravilno obliko. Vprašanja, povezana z razvojem učinkovitega algoritma za pretvorbo matrike v pravilno obliko, v tem delu niso obravnavana. Spodaj bomo podali primer transformacije matrike SLAE (14), sestavljene z metodo vozliščnih potencialov.
3.2. Demo primer
Najprej je treba poudariti, da je matrika (14) simetrična in nedegenerirana. Koeficienti matrike izpolnjujejo pogoj (22). Nodalni potenciali ustrezajo padcu napetosti na komponentah
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
Ob upoštevanju (28) lahko SLAE (14) predstavimo na naslednji način:
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
Preverjanje pravilnosti matrike vključuje naslednje operacije.
Samo določitev parametra diskretnega modela ait s formulo (23).
v diagonalni element. Za prvo vrstico matrike bo G6, za drugo vrstico G4 in za tretjo - (Gl + G2).
Preverjanje pravilnosti vrstic matrike se izvede v skladu s formulo (24). Kot rezultat tega preverjanja se izkaže, da druga vrstica ne izpolnjuje zahteve pravilnosti, saj (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . Parameter G3 je vključen tudi v tretjo vrstico matrike, zato je v skladu s formulo (25) predstavitev spremenljivke U3 izbrana v obliki
U3 = U2 + U23, (30)
Kot rezultat transformacije elementov 3. stolpca v skladu s formulo (26) dobimo matriko (29) naslednje oblike:
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4 + g5
in po transformaciji tretje vrstice bo v skladu s formulo (27) matrika (31) imela obliko
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) izpolnjuje zahtevo glede pravilnosti, zato se nastavitev šteje za dokončano. Spremenljivke SLAE (32) ustrezajo spremenljivkam SLAE (8), to je v
ISSN 1028-9763. Matematični stroji in sistemi, 2014, št. 4
Kot rezultat transformacije v drevo so bile izbrane enake komponente kot pri metodi pravilne formulacije problema. Iz primerjave SLAE (8) in (32) sledi, da se nediagonalni elementi matrike (32) drugega stolpca in druge vrstice po predznaku razlikujejo od matrike (8). To je posledica dejstva, da je bila pri transformaciji matrike (14) izbrana smer toka komponente G3, nasprotna smeri, izbrani pri sestavljanju SLAE (8). Z zamenjavo spremenljivke U23 z U23 = -U23 in spremembo predznakov elementov v drugi enačbi v nasprotno dobimo matriko (8).
4. Zaključek
Modeliranje je postalo sestavni del intelektualne dejavnosti človeštva, zanesljivost rezultatov modeliranja pa je glavno merilo za vrednotenje rezultatov modeliranja. Da bi zagotovili zanesljivost rezultatov, so potrebni novi pristopi k razvoju metod in algoritmov za opis kompleksnih objektov in njihovih rešitev.
V nasprotju z obstoječim pristopom k razvoju metod za reševanje napačno zastavljenih problemov ta prispevek predlaga, da se napačno zastavljen problem (slabo pogojen) spravi v pravilno obliko. Pokazalo se je, da ni slaba pogojenost matrike tista, ki otežuje pridobivanje zanesljivih rezultatov pri reševanju SLAE, ki opisujejo diskretne modele fizičnih objektov, temveč nepravilna izbira spremenljivk SLAE v fazi sestavljanja enačb in metoda nodalnih enačb. potencialov in njegovih analogov, ki se uporabljajo za sestavljanje SLAE, ki opisujejo diskretni model, je poseben primer metode pravilne formulacije problema. Predlagana je tehnika za preverjanje pravilnosti SLAE, sestavljene z metodo nodalnih potencialov za primer, ko je matrika SLAE nesingularna in simetrična. Obravnavan je algoritem za pretvorbo matrike v pravilno obliko.
BIBLIOGRAFIJA
1. Kalitkin N.N. Kvantitativno merilo pogojenosti za sisteme linearnih algebrskih enačb / N.N. Kalitkin, L.F. Yukhno, L.V. Kuzmina // Matematično modeliranje. - 2011. T. 23, št. 2. - Str. 3 - 26.
2. Voloboev V.P. O enem pristopu k modeliranju kompleksnih sistemov / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematični stroji in sistemi. - 2008. - Št. 4. - Str. 111 - 122.
3. Voloboev V.P. O enem pristopu k modeliranju elektroenergetskih sistemov / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematični stroji in sistemi. - 2009. - Št. 4. - Str. 106 - 118.
4. Voloboev V.P. Mehanika paličnih sistemov in teorija grafov / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematični stroji in sistemi. - 2012. - št. 2. - Str. 81 - 96.
5. Voloboev V.P. Metoda končnih elementov in teorija grafov / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematični stroji in sistemi. - 2013. - Št. 4. - Str. 114 - 126.
6. Pukhov G.E. Izbrana vprašanja teorije matematičnih strojev / Pukhov G.E. - Kijev: Založba Akademije znanosti Ukrajinske SSR, 1964. - 264 str.
7. Seshu S. Linearni grafi in električna vezja / S. Seshu, M.B. Reid. - M .: Višja šola, 1971. - 448 str.
8. Zenkevich O. Končni elementi in aproksimacija / O. Zenkevich, K. Morgan. - M.: Mir, 1986. -318 str.
9. Voevodin V.V. Računalniške osnove linearne algebre / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 str.
10. Teoretične osnove elektrotehnike: učbenik za univerze / K.S. Demirčjan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Čečurin. - . - Peter, 2003. - T. 2. - 572 str.
Vrnimo se spet k SLAU Aх=b s kvadratno matriko velikosti A MхN, ki v nasprotju z zgoraj obravnavanim "dobrim" primerom (glej razdelek 8.D) zahteva poseben pristop. Bodimo pozorni na dve podobni vrsti SLAE:
- degeneriran sistem (z ničelno determinanto |A|=0);
- slabo pogojen sistem (determinanta A ni enaka nič, število pogojev pa je zelo veliko).
Kljub temu, da se tovrstni sistemi enačb med seboj precej razlikujejo (za prvega ni rešitve, za drugega pa je le ena), je s praktičnega vidika računalnika veliko skupnega med njim.
Degenerirani SLAE
Degeneriran sistem je sistem, ki ga opisuje matrika z ničelno determinanto |A|=0(singularna matrika). Ker so nekatere enačbe, vključene v tak sistem, predstavljene z linearno kombinacijo drugih enačb, potem je dejansko sam sistem premalo določen. Zlahka je ugotoviti, da je glede na vrsto desnega vektorja b bodisi neskončno število rešitev ali pa nobene. Prva možnost se zmanjša na konstruiranje normalne psevdo-rešitve (tj. Iz neskončne množice rešitev se izbere tista, ki je najbližja določenemu, na primer ničelnemu vektorju). Ta primer je bil podrobno obravnavan v razdelku. 8.2.2 (glej sezname 8.11-8.13).
riž. 8.7. Grafični prikaz nekonsistentnega sistema dveh enačb s singularno matriko
Oglejmo si drugi primer, ko je SLAE Aх=b s singularno kvadratno matriko A nima rešitve. Primer takega problema (za sistem dveh enačb) je prikazan na sl. 8.7, na vrhu katerega je vnesena matrika A in vektor b, in tudi poskus (neuspešen, ker je matrika A singularna) rešiti sistem z uporabo funkcije izolirati. Graf, ki zavzema glavni del slike, kaže, da enačbi, ki določata sistem, določata dve vzporedni premici na ravnini (x0,x1). Črte se ne sekajo v nobeni točki koordinatne ravnine in zato ni rešitve sistema.
Opomba
Najprej upoštevajte, da SLAE, definiran z nesingularno kvadratno matriko velikosti 2x2, definira par sekajočih se premic v ravnini (glejte sliko 8.9 spodaj). Drugič, vredno je povedati, da če bi bil sistem konsistenten, bi bila geometrijska predstavitev enačb dve sovpadajoči črti, ki opisujeta neskončno število rešitev.
riž. 8.8. Graf odsekov rezidualne funkcije f (x) = |Ax-b|
Zlahka je uganiti, da v obravnavanem singularnem primeru psevdorešitev sistema, ki minimizirajo neskladje |Ax-b|, jih bo neskončno veliko in ležale bodo na tretji ravni črti, vzporedni z obema, prikazanima na sl. 8.7 in se nahaja na sredini med njima. To je prikazano na sl. 8.8, ki prikazuje več delov funkcije f(x)= | Ax-b |, ki kažejo na prisotnost družine minimumov enake globine. Če jih poskušate najti z vgrajeno funkcijo Zmanjšaj, bo njegova numerična metoda vedno našla katero koli točko omenjene premice (odvisno od začetnih pogojev). Zato je treba za določitev edinstvene rešitve iz celotne množice psevdo rešitev izbrati tisto, ki ima najmanjšo normo. Ta večdimenzionalni problem minimizacije lahko poskusite oblikovati v Mathcadu z uporabo kombinacij vgrajenih funkcij Zmanjšaj vendar pa bi bil učinkovitejši način uporaba regularizacije (glej spodaj) ali ortogonalne razgradnje matrike (glej razdelek 8.3).
