Stopinje so merilo kota. Centralni kot - kot med dvema polmeroma

Stopinjska mera kota. Radianska mera kota. Pretvarjanje stopinj v radiane in obratno.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

V prejšnji lekciji smo se naučili meriti kote na trigonometričnem krogu. Naučil se je šteti pozitivne in negativne kote. Naučili smo se narisati kot, večji od 360 stopinj. Čas je, da ugotovimo, kako meriti kote. Sploh pri številu "pi", ki nas hoče zmešati pri kočljivih opravilih, ja...

Standardne naloge v trigonometriji s številom "Pi" so dobro rešene. Vizualni spomin pomaga. Toda vsako odstopanje od šablone je katastrofa! Da bi se izognili padcu - razumeti potrebno. Kar bomo zdaj uspešno storili. Mislim, vse bomo razumeli!

Torej, kaj ali koti štejejo? Pri šolskem tečaju trigonometrije se uporabljata dve meri: stopinjska mera kota in meritev radianskega kota. Poglejmo te ukrepe. Brez tega v trigonometriji ni nikamor.

Stopinjska mera kota.

Na stopinje smo se nekako navadili. Vsaj geometrijo smo opravili ... In v življenju pogosto naletimo na frazo "obrnjen za 180 stopinj", na primer. Diploma je skratka enostavna stvar...

da? Potem mi odgovori kaj je diploma? Kaj, ne gre takoj? to je to...

Stopnje so izumili v starem Babilonu. Bilo je davno ... pred 40 stoletji ... In prišli so do preproste ideje. Vzeli so in razdelili krog na 360 enakih delov. 1 stopinja je 1/360 kroga. To je vse. Lahko bi ga razbili na 100 kosov. Ali 1000. Ampak razdelili so ga na 360. Mimogrede, zakaj ravno 360? Kako je 360 ​​boljši od 100? 100 se zdi nekako bolj gladko ... Poskusite odgovoriti na to vprašanje. Ali šibek proti staremu Babilonu?

Nekje v istem času jih je v starem Egiptu mučilo še eno vprašanje. Kolikokrat je dolžina kroga večja od dolžine njegovega premera? Pa so izmerili tako, pa tako ... Vse se je izkazalo za nekaj več kot tri. Ampak nekako je izpadlo kosmato, neenakomerno ... Ampak oni, Egipčani, niso krivi. Za njimi so trpeli še 35 stoletij. Dokler niso končno dokazali, da ne glede na to, kako drobno izrežeš krog na enake kose, lahko iz takšnih kosov narediš gladka dolžina premera je nemogoča ... Načeloma je nemogoča. No, kolikokrat je obseg večji od premera, je bilo seveda ugotovljeno. Približno. 3,1415926... krat.

To je število "Pi". Tako kosmat, tako kosmat. Za decimalno vejico je neskončno število števil brez kakršnega koli reda ... Takšna števila imenujemo iracionalna. To, mimogrede, pomeni, da iz enakih kosov kroga premer gladka ne zlagaj. Nikoli.

Za praktično uporabo je običajno, da si zapomnimo le dve števki za decimalno vejico. Ne pozabite:

Ker razumemo, da je obseg kroga večji od njegovega premera za "pi"-krat, si je smiselno zapomniti formulo za obseg kroga:

kje L- obseg in d- njegov premer.

Uporabno v geometriji.

Za splošno izobrazbo bom dodal, da število "Pi" najdemo ne samo v geometriji ... V različnih vejah matematike, zlasti v teoriji verjetnosti, se to število pojavlja nenehno! Samo po sebi. Onkraj naših želja. Takole.

Toda vrnimo se k stopinjam. Ali ste ugotovili, zakaj je bil v starem Babilonu krog razdeljen na 360 enakih delov? In ne za 100, na primer? ne? OK. Dal ti bom različico. Ne morete vprašati starih Babiloncev ... Za gradnjo ali, recimo, astronomijo je priročno razdeliti krog na enake dele. Zdaj pa ugotovi, s katerimi številkami je deljiv popolnoma 100 in katere - 360? In v kateri različici teh delilnikov popolnoma- več? Ta delitev je zelo priročna za ljudi. ampak...

Kot se je izkazalo veliko pozneje kot v starem Babilonu, vsi ne marajo diplom. Višja matematika jih ne mara ... Višja matematika je resna dama, urejena po zakonih narave. In ta gospa izjavi: "Danes si razdelil krog na 360 delov, jutri ga boš razdelil na 100, pojutrišnjem na 245 ... In kaj naj storim? Ne, res ..." Moral sem poslušati. Narave ne moreš pretentati...

Uvesti smo morali mero kota, ki ni bila odvisna od človeških izumov. Spoznajte - radian!

Radianska mera kota.

Kaj je radian? Definicija radiana še vedno temelji na krogu. Kot 1 radiana je kot, ki seka lok iz kroga, katerega dolžina je ( L) je enaka dolžini polmera ( R). Poglejmo si slike.

Tako majhen kot, skoraj ga ni... Pomaknemo kurzor nad sliko (ali se dotaknemo slike na tablici) in vidimo približno eno radian. L = R

Ali čutite razliko?

En radian je veliko več kot ena stopinja. Kolikokrat?

Poglejmo naslednjo sliko. Na katerega sem narisal polkrog. Raztegnjeni kot je seveda 180°.

Zdaj bom ta polkrog razrezal na radiane! Kazalec premaknemo nad sliko in vidimo, da 180° ustreza 3 plus radianom.

Kdo ugane, čemu je enak ta rep!?

ja! Ta rep je 0,1415926.... Pozdravljeni, številka "Pi", nismo te še pozabili!

Dejansko 180° stopinj vsebuje 3,1415926... radianov. Kot sami razumete, je pisanje 3,1415926 ves čas ... neprijetno. Zato namesto tega neskončnega števila vedno pišejo preprosto:

Toda na internetu številka

Neprijetno je pisati ... Zato v besedilo pišem njegovo ime - "Pi". Ne daj se zmesti, prav?...

Zdaj lahko približno enakost zapišemo povsem smiselno:

Ali natančna enakost:

Ugotovimo, koliko stopinj je v enem radianu. kako Enostavno! Če je v 3,14 radiana 180° stopinj, potem je v 1 radianu 3,14-krat manj! To pomeni, da prvo enačbo (formula je tudi enačba!) delimo s 3,14:

To razmerje si je koristno zapomniti En radian je približno 60°. V trigonometriji morate pogosto oceniti in oceniti situacijo. Tu nam to znanje zelo pomaga.

Toda glavna veščina te teme je pretvarjanje stopinj v radiane in obratno.

Če je kot podan v radianih s številko "Pi", je vse zelo preprosto. Vemo, da je "Pi" radian = 180°. Zato zamenjamo radiane za "Pi" - 180°. Kot dobimo v stopinjah. Zmanjšamo, kar je zmanjšano, in odgovor je pripravljen. Na primer, ugotoviti moramo, koliko stopnje v kotu "Pi"/2 radian? Torej pišemo:

Ali bolj eksotičen izraz:

Enostavno, kajne?

Povratni prevod je nekoliko bolj zapleten. Ampak ne veliko. Če je kot podan v stopinjah, moramo ugotoviti, koliko je ena stopinja enaka v radianih, in to število pomnožiti s številom stopinj. Čemu je enak 1° v radianih?

Pogledamo formulo in ugotovimo, da če je 180° = "Pi" radianov, potem je 1° 180-krat manjši. Ali z drugimi besedami, enačbo (tudi formula je enačba!) delimo s 180. Pi ni treba predstavljati kot 3,14, tako ali tako je vedno zapisano s črko. Ugotovimo, da je ena stopinja enaka:

To je vse. Število stopinj pomnožimo s to vrednostjo in dobimo kot v radianih. Na primer:

Ali pa podobno:

Kot lahko vidite, se je v lagodnem pogovoru z liričnimi digresijami izkazalo, da so radiani zelo preprosti. In prevod ni problem ... In "Pi" je čisto znosna stvar ... Od kod torej zmeda!?

Razkril bom skrivnost. Dejstvo je, da je v trigonometričnih funkcijah zapisan simbol stopinj. Vedno. Na primer sin35°. To je sinus 35 stopnje . In radianska ikona ( vesel) - ni napisano! To je implicirano. Bodisi je matematike premagala lenoba, bodisi kaj drugega ... Pa so se odločili, da ne bodo pisali. Če znotraj sinus-kotangensa ni simbolov, potem je kot v radianih ! Na primer, cos3 je kosinus tri radianov .

To vodi v zmedo ... Oseba vidi "Pi" in verjame, da je 180°. Vedno in povsod. Mimogrede, to deluje. Zaenkrat so primeri standardni. Toda "Pi" je številka! Število je 3,14, vendar ne stopinje! To je "Pi" radian = 180°!

Še enkrat: "Pi" je število! 3.14. Neracionalno, a številka. Enako kot 5 ali 8. Lahko na primer naredite približno "pi" korake. Trije koraki in še malo. Ali kupite "Pi" kilogramov sladkarij. Če naleti izobražen prodajalec...

"Pi" je število! Kaj, sem te razjezil s tem stavkom? Ste že zdavnaj vse razumeli? OK. Preverimo. Povejte mi, katera številka je večja?

Ali kaj je manj?

To je eno v nizu nekoliko nestandardnih vprašanj, ki vas lahko spravijo v stupor ...

Če ste tudi vi padli v stupor, se spomnite uroka: "Pi" je število! 3.14. V prvem sinusu je jasno navedeno, da je kot v stopinjah! Zato je nemogoče zamenjati "Pi" za 180°! "Pi" stopinj je približno 3,14°. Zato lahko zapišemo:

V drugem sinusu ni zapisov. Torej, tam - radianov! Tukaj bo zamenjava "Pi" za 180° povsem v redu. Če pretvorimo radiane v stopinje, kot je zapisano zgoraj, dobimo:

Ostaja še primerjava teh dveh sinusov. Kaj. pozabil kako? Z uporabo trigonometričnega kroga, seveda! Nariši krog, nariši približna kota 60° in 1,05°. Poglejmo, kakšne sinuse imajo ti koti. Skratka, vse je opisano kot na koncu teme o trigonometričnem krogu. Na krogu (tudi ukrivljenem!) bo to jasno vidno greh 60° bistveno več kot sin1,05°.

Popolnoma enako bomo naredili s kosinusi. Na krog bomo narisali kote približno 4 stopnje in 4 radian(Ali ste pozabili, čemu je približno enak 1 radian?). Krog bo povedal vse! Seveda je cos4 manjši od cos4°.

Vadimo se uporabljati kotne mere.

Pretvorite te kote iz stopinj v radiane:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Te vrednosti bi morali dobiti v radianih (v drugačnem vrstnem redu!)

Mimogrede, odgovore sem posebej izpostavil v dveh vrsticah. No, ugotovimo, kakšni so vogali v prvi vrstici? Vsaj v stopinjah, vsaj v radianih?

ja! To so osi koordinatnega sistema! Če pogledate trigonometrični krog, potem gibljiva stran kota s temi vrednostmi natančno prilega osem. Te vrednosti je treba poznati. Kot 0 stopinj (0 radianov) sem opazil z dobrim razlogom. In potem nekateri preprosto ne morejo najti tega kota na krogu ... In zato se zmedejo v trigonometričnih funkcijah nič ... Druga stvar je, da položaj gibljive strani pri nič stopinj sovpada s položajem pri 360°, tako da so vedno naključja na bližnjem krogu.

V drugi vrstici so tudi posebni koti... To so 30°, 45° in 60°. In kaj je na njih tako posebnega? Nič posebnega. Edina razlika med temi koti in vsemi drugimi je v tem, da bi te kote morali poznati Vse. In kje se nahajajo in kakšne trigonometrične funkcije imajo ti koti. Recimo vrednost sin100° ni ti treba vedeti. A sin45°- prosim, bodite tako prijazni! To je obvezno znanje, brez katerega pri trigonometriji ne gre... A o tem več v naslednji lekciji.

Medtem pa nadaljujmo s treningom. Pretvorite te kote iz radiana v stopinje:

Morali bi dobiti takšne rezultate (v neredu):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Je uspelo? Potem lahko domnevamo, da pretvarjanje stopinj v radiane in nazaj- ni več vaš problem.) Toda prevajanje kotov je prvi korak k razumevanju trigonometrije. Tam morate delati tudi s sinusi in kosinusi. In tudi s tangentami in kotangensi ...

Drugi močan korak je sposobnost določitve položaja poljubnega kota na trigonometričnem krogu. Tako v stopinjah kot radianih. Skozi trigonometrijo vam bom dajal dolgočasne namige o prav tej veščini, ja ...) Če veste vse (ali mislite, da veste vse) o trigonometričnem krogu in merjenju kotov na trigonometričnem krogu, lahko to preverite. Rešite te preproste naloge:

1. V katero četrtino spadajo koti:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Enostavno? Nadaljujmo:

2. V katero četrtino spadajo vogali:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Tudi ni težav? No, poglej ...)

3. Vogale lahko postavite v četrtine:

bi lahko No, ti daš..)

4. Na katere osi bo vogal padel:

in kotiček:

Je tudi enostavno? Hm...)

5. V katero četrtino spadajo vogali:

In je uspelo!? No, potem res ne vem ...)

6. Določite, v katero četrtino spadajo vogali:

1, 2, 3 in 20 radianov.

Odgovoril bom samo na zadnje vprašanje (malo zapleteno) zadnje naloge. Kot 20 radianov bo padel v prvo četrtino.

Ostalih odgovorov ne bom dal, ne iz pohlepa.) Preprosto, če ti se niso odločili nekaj dvomite kot rezultat ali porabljen za nalogo št. 4 več kot 10 sekund, ste slabo orientirani v krogu. To bo vaša težava v vsej trigonometriji. Bolje se je takoj znebiti (težave, ne trigonometrije!). To lahko storite v temi: Praktično delo s trigonometrično krožnico v razdelku 555.

Pove, kako preprosto in pravilno rešiti takšne naloge. No, te naloge so seveda rešene. In četrta naloga je bila rešena v 10 sekundah. Da, odločeno je, da lahko to stori vsak!

Če ste povsem prepričani v svoje odgovore in vas ne zanimajo preprosti in nemoteči načini dela z radiani, vam ni treba obiskati 555. Ne vztrajam.)

Dobro razumevanje je dovolj dober razlog za nadaljevanje!)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Navodila

Lok je del kroga, sklenjen med dvema točkama, ki ležita na tem krogu. Vsak lok je mogoče izraziti s številskimi vrednostmi. Njegova glavna značilnost je poleg dolžine vrednost stopinjske mere.

Toda ko je en lok izoliran na krogu, nastane drug. Zato, da bi nedvoumno razumeli, o katerem loku govorimo, na izbranem loku označite drugo točko, na primer C. Potem bo oblika ABC.

Odsek, ki ga tvorita dve točki, ki omejujeta lok, je tetiva.

Stopinjsko mero loka lahko najdemo z vrednostjo včrtanega kota, ki ima oglišče na samem krogu in leži na danem loku. Takšen kot imenujemo včrtani kot, njegova stopinjska mera pa je enaka polovici loka, na katerem leži.

V krogu je tudi središčni kot. Prav tako se naslanja na želeni lok, njegov vrh pa ni več na krogu, ampak v središču. In njegova številčna vrednost ni več enaka polovici stopinjske mere loka, temveč njegovi celotni vrednosti.

Ko razumete, kako se izračuna lok skozi kot, ki leži na njem, lahko uporabite ta zakon v nasprotni smeri in izpeljete pravilo, da je včrtani kot, ki leži na premeru, pravi. Ker premer deli krog na dva enaka dela, to pomeni, da ima katerikoli lok vrednost 180 stopinj. Zato je včrtani kot 90 stopinj.

Prav tako glede na način iskanja stopinjske vrednosti loka velja pravilo, da imajo koti, ki temeljijo na enem loku, enako vrednost.

Stopinjska mera loka se pogosto uporablja za izračun dolžine kroga ali samega loka. Če želite to narediti, uporabite formulo L= π*R*α/180.

Beseda "" ima različne interpretacije. V geometriji je kot del ravnine, ki ga omejujeta dva žarka, ki izhajata iz ene točke – oglišča. Ko govorimo o ravnih, ostrih in razgrnjenih kotih, mislimo na geometrijske kote.

Kot vse figure v geometriji lahko tudi kote primerjamo. Enakost kotov se določi z gibanjem. Kot je enostavno razdeliti na dva enaka dela. Razdelitev na tri dele je nekoliko težja, a še vedno lahko z ravnilom in šestilom. Mimogrede, ta naloga se je zdela precej težka. Opis, da je en kot večji ali manjši od drugega, je geometrijsko preprost.

Merska enota za kote je 1/180 razvitega kota. Velikost kota je število, ki označuje, koliko se kot, izbran kot merska enota, prilega zadevni sliki.

Vsak kot ima stopinjsko mero, večjo od nič. Ravni kot je 180 stopinj. Šteje se, da je stopinjska mera kota enaka vsoti stopinjskih mer kotov, na katere je razdeljen s katerim koli žarkom na ravnini, omejeni z njegovimi stranicami.

Kot z določeno stopinjsko mero, ki ne presega 180, je mogoče narisati iz katerega koli žarka v dano ravnino. Poleg tega bo samo en tak kot. Mera ravninskega kota, ki je del polravnine, je stopinjska mera kota s podobnimi stranicami. Mera ravnine kota, ki vsebuje polravnino, je vrednost 360 ​​– α, kjer je α stopinjska mera kota komplementarne ravnine.

Stopinjska mera kota omogoča prehod od geometrijskega opisa k numeričnemu. Torej, pravi kot je kot enak 90 stopinj, tup kot je manjši od 180 stopinj, vendar večji od 90, ostri kot ne presega 90 stopinj.

Poleg stopinj obstaja radianska mera kota. V planimetriji je dolžina L, polmer r, ustrezni središčni kot pa α. Poleg tega so ti parametri povezani z razmerjem α = L/r. To je osnova radianske mere kotov. Če je L=r, bo kot α enak enemu radianu. Radianska mera kota je torej razmerje med dolžino loka, narisanega s poljubnim polmerom in zaprtega med stranicama tega kota, proti polmeru loka. Popolna rotacija v stopinjah (360 stopinj) ustreza 2π v radianih. Ena je 57,2958 stopinj.

Video na temo

Viri:

• formulo stopinjske mere kotov

Merjenje ravnih količin v stopinjah je bilo izumljeno v starem Babilonu že dolgo pred začetkom našega štetja. Prebivalci te države so imeli raje seksagezimalni sistem zapisov, zato je delitev kotov na 180 ali 360 enot danes videti nekoliko čudno. Vendar merske enote, predlagane v sodobnem sistemu SI, večkratniki števila Pi, niso nič manj čudne. Ti dve možnosti nista omejeni na oznake kotov, ki se danes uporabljajo, zato se pogosto pojavlja naloga pretvorbe njihovih vrednosti v stopnje.

Navodila

Če morate velikost kota v radianih pretvoriti v stopinjsko mero, izhajajte iz dejstva, da ena stopinja ustreza številu radianov, ki je enako 1/180 števila Pi. Ta matematična konstanta ima neskončno število decimalnih mest, zato je pretvorbeni faktor prav tako neskončen decimalni ulomek. To pomeni, da je nemogoče dobiti absolutno natančno vrednost v decimalni obliki, zato je treba pretvorbeni faktor zaokrožiti. Na primer, z natančnostjo milijarde enote bo izračunani koeficient enak 0,017453293. Po zaokroževanju na zahtevano število decimalnih mest prvotno število radianov delite s tem faktorjem in dobili boste stopinjsko mero kota.

Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite pozorni na naš navigator za najbolj uporabne vire za

Osnovni pojmi.

Kako dobro se spomnite vseh imen, povezanih s krogom? Za vsak slučaj naj vas spomnimo – poglejte slike – osvežite znanje.

No, najprej - Središče kroga je točka, od katere so razdalje od vseh točk kroga enake.

Drugič - polmer - daljica, ki povezuje središče in točko na krogu.

Radijev je veliko (toliko, kolikor je točk na krogu), vendar Vsi polmeri imajo enako dolžino.

Včasih na kratko polmer točno temu pravijo dolžina segmenta"središče je točka na krogu," in ne segment sam.

In evo, kaj se zgodi če povežete dve točki na krožnici? Tudi segment?

Torej, ta segment se imenuje "akord".

Tako kot v primeru polmera je premer pogosto dolžina segmenta, ki povezuje dve točki na krogu in poteka skozi središče. Mimogrede, kako sta povezana premer in polmer? Pazljivo poglejte. seveda polmer je enak polovici premera.

Poleg akordov obstajajo tudi sekante.

Se spomnite najpreprostejše stvari?

Središčni kot je kot med dvema polmeroma.

In zdaj - včrtani kot

Včrtani kot - kot med dvema tetivama, ki se sekata v točki na krožnici.

V tem primeru pravijo, da včrtani kot leži na loku (ali na tetivi).

Poglej sliko:

Meritve lokov in kotov.

Obseg. Loki in koti se merijo v stopinjah in radianih. Najprej o stopinjah. Za kote ni težav - naučiti se morate meriti lok v stopinjah.

Stopinjska mera (velikost loka) je vrednost (v stopinjah) ustreznega središčnega kota

Kaj tukaj pomeni beseda "primerno"? Pazljivo poglejmo:

Ali vidite dva loka in dva osrednja kota? No, večji lok ustreza večjemu kotu (in prav je, da je večji), manjši lok pa manjšemu kotu.

Torej smo se strinjali: lok vsebuje enako število stopinj kot pripadajoči središčni kot.

In zdaj o strašnem - o radianih!

Kakšna zver je ta "radian"?

Predstavljajte si: Radiani so način merjenja kotov... v radijih!

Radianski kot je središčni kot, katerega ločna dolžina je enaka polmeru kroga.

Potem se pojavi vprašanje - koliko radianov je v ravnem kotu?

Z drugimi besedami: koliko radijev se "prilega" v pol kroga? Ali drugače: kolikokrat je dolžina polovice kroga večja od polmera?

Znanstveniki so to vprašanje postavili že v stari Grčiji.

In tako so po dolgem iskanju ugotovili, da se razmerje med obsegom in polmerom noče izraziti v “človeških” številkah, kot je itd.

In tega odnosa sploh ni mogoče izraziti skozi korenine. Se pravi, izkaže se, da je nemogoče reči, da je polovica kroga krat ali krat večja od polmera! Si lahko predstavljate, kako neverjetno je bilo za ljudi, ko so to odkrili prvič?! Za razmerje med dolžino polkroga in polmerom "normalne" številke niso bile dovolj. Moral sem vnesti črko.

Torej, - to je število, ki izraža razmerje med dolžino polkroga in polmerom.

Zdaj lahko odgovorimo na vprašanje: koliko radianov je v ravnem kotu? Vsebuje radiane. Prav zato, ker je polovica kroga krat večja od polmera.

Starodavni (in manj starodavni) ljudje skozi stoletja (!) poskušali natančneje izračunati to skrivnostno število, ga bolje izraziti (vsaj približno) skozi »navadna« števila. In zdaj smo neverjetno leni - dva znaka po napornem dnevu sta nam dovolj, navajeni smo

Pomislite, to na primer pomeni, da je dolžina kroga s polmerom ena približno enaka, toda to natančno dolžino preprosto ni mogoče zapisati s "človeško" številko - potrebujete črko. In potem bo ta obseg enak. In seveda, obseg polmera je enak.

Vrnimo se k radianom.

Ugotovili smo že, da ravni kot vsebuje radiane.

Kaj imamo:

To pomeni, da sem vesel, se pravi, vesel sem. Na enak način dobimo ploščo z najbolj priljubljenimi koti.

Razmerje med vrednostmi vpisanih in središčnih kotov.

Obstaja neverjetno dejstvo:

Včrtani kot je za polovico manjši od ustreznega središčnega kota.

Poglejte, kako je ta izjava videti na sliki. »Ustrezen« središčni kot je tisti, katerega konci sovpadajo s koncema včrtanega kota, oglišče pa je v središču. In hkrati mora "ustrezni" osrednji kot "gledati" na isto tetivo () kot vpisani kot.

Zakaj je temu tako? Poglejmo si najprej preprost primer. Naj ena od tetiv poteka skozi sredino. Včasih se zgodi tako, kajne?

Kaj se zgodi tukaj? Razmislimo. Je enakokrak - navsezadnje in - polmeri. Torej (jih je označil).

Zdaj pa poglejmo. To je zunanji kotiček za! Spomnimo se, da je zunanji kot enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita, in zapišemo:

To je! Nepričakovan učinek. Obstaja pa tudi središčni kot za vpisano.

To pomeni, da so za ta primer dokazali, da je središčni kot dvakrat večji od včrtanega kota. Toda to je boleče poseben primer: ali ni res, da tetiva ne gre vedno naravnost skozi središče? Ampak nič hudega, zdaj nam bo ta konkreten primer zelo pomagal. Poglejte: drugi primer: središče naj leži znotraj.

Naredimo tole: narišite premer. In potem ... vidimo dve sliki, ki sta bili analizirani že v prvem primeru. Torej to že imamo

To pomeni (na risbi a)

No, ostane še zadnji primer: središče je zunaj vogala.

Naredimo isto stvar: narišemo premer skozi točko. Vse je enako, a namesto vsote je razlika.

To je to!

Iz trditve, da je včrtani kot polovica središčnega kota, oblikujmo zdaj dve glavni in zelo pomembni posledici.

Posledica 1

Vsi včrtani koti, ki temeljijo na enem loku, so med seboj enaki.

Ponazarjamo:

Obstaja nešteto včrtanih kotov, ki temeljijo na istem loku (imamo ta lok), morda so videti popolnoma drugače, vendar imajo vsi enak središčni kot (), kar pomeni, da so vsi ti včrtani koti med seboj enaki.

Posledica 2

Kot, ki ga zajema premer, je pravi kot.

Poglejte: kateri kot je osrednji?

Vsekakor,. Ampak on je enak! No, torej (kot tudi veliko več včrtanih kotov, ki počivajo na) in je enako.

Kot med dvema tetivama in sekante

Kaj pa, če kot, ki nas zanima, NI včrtan in NI središčen, ampak na primer tak:

ali takole?

Ali je to mogoče nekako izraziti skozi neke sredinske kote? Izkazalo se je, da je to mogoče. Poglejte: zanima nas.

a) (kot zunanji vogal za). Toda - vpisan, počiva na loku -. - vpisana, počiva na loku - .

Za lepoto pravijo:

Kot med tetivama je enak polovici vsote kotnih vrednosti lokov, zaprtih v tem kotu.

To pišejo zaradi kratkosti, seveda pa morate pri uporabi te formule upoštevati središčne kote

b) In zdaj - "zunaj"! Kako je to mogoče? Da, skoraj enako! Šele zdaj (spet uporabimo lastnost zunanjega kota za). To je zdaj.

In to pomeni... Vnesite lepoto in jedrnatost v opombe in besedilo:

Kot med sekanti je enak polovici razlike v kotnih vrednostih lokov, zaprtih v tem kotu.

No, zdaj ste oboroženi z vsem osnovnim znanjem o kotih, povezanih s krogom. Pojdi naprej, sprejmi izzive!

KROG IN VKROBLJENI KOT. SREDNJA NIVO

Tudi petletni otrok ve, kaj je krog, kajne? Matematiki imajo, kot vedno, nejasno definicijo o tej zadevi, vendar je ne bomo podali (glej), ampak se spomnimo, kako se imenujejo točke, črte in koti, povezani s krogom.

Pomembni pogoji

No, najprej:

Drugič:

Obstaja še en sprejet izraz: "tetiva skrči lok." Tukaj na sliki, na primer, tetiva pokriva lok. In če tetiva nenadoma prehaja skozi sredino, potem ima posebno ime: "premer".

Mimogrede, kako sta povezana premer in polmer? Pazljivo poglejte. seveda

In zdaj - imena za vogale.

Naravno, kajne? Stranice kota segajo iz središča - kar pomeni, da je kot središčen.

Tu se včasih pojavijo težave. Bodite pozorni - NOBEN kot znotraj kroga ni vpisan, ampak samo tisti, katerega vrh "sedi" na samem krogu.

Poglejmo razliko na slikah:

Drugače pravijo:

Tukaj je ena težavna točka. Kaj je »ustrezen« ali »lasten« središčni kot? Samo kot z vrhom v središču kroga in konci na koncih loka? res ne. Poglej risbo.

Eden od njih pa niti ne izgleda kot vogal - večji je. Toda trikotnik ne more imeti več kotov, krog pa lahko! Torej: manjši lok AB ustreza manjšemu kotu (oranžno), večji lok pa večjemu. Kar tako, kajne?

Razmerje med velikostmi včrtanega in središčnega kota

Zapomnite si to zelo pomembno izjavo:

V učbenikih to isto dejstvo radi zapišejo takole:

Ali ni res, da je formulacija enostavnejša s središčnim kotom?

A vseeno poiščimo ujemanje med obema formulacijama in se hkrati naučimo najti na risbah »ustrezen« osrednji kot in lok, na katerem »sloni« včrtani kot.

Poglejte: tukaj sta krog in včrtan kot:

Kje je njegov "ustrezni" središčni kot?

Poglejmo še enkrat:

Kakšno je pravilo?

ampak! V tem primeru je pomembno, da vpisani in osrednji kot "gledata" na lok z ene strani. Tukaj, na primer:

Nenavadno, modra! Ker je lok dolg, daljši od polovice kroga! Zato se nikoli ne zmedite!

Kakšno posledico lahko razberemo iz »polovice« včrtanega kota?

Toda na primer:

Kot s premerom

Ste že opazili, da matematiki radi govorijo o isti stvari z različnimi besedami? Zakaj jim je to treba? Vidite, jezik matematike, čeprav je formalen, je živ in zato, kot v običajnem jeziku, vsakič, ko ga želite povedati na način, ki je bolj udoben. No, videli smo že, kaj pomeni "kot počiva na loku". In predstavljajte si, ista slika se imenuje "kot počiva na tetivi." kateri? Ja, seveda, tistemu, ki ta lok zategne!

Kdaj je primerneje zanašati se na tetivo kot na lok?

No, še posebej, ko je ta tetiva premer.

Za takšno situacijo obstaja presenetljivo preprosta, lepa in uporabna izjava!

Poglejte: tukaj je krog, premer in kot, ki leži na njem.

KROG IN VKROBLJENI KOT. NA KRATKO O GLAVNEM

1. Osnovni pojmi.

3. Meritve lokov in kotov.

Radianski kot je središčni kot, katerega ločna dolžina je enaka polmeru kroga.

To je število, ki izraža razmerje med dolžino polkroga in njegovim polmerom.

Obseg polmera je enak.

4. Razmerje med vrednostmi vpisanih in osrednjih kotov.

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

za kaj?

Za uspešno opravljen enotni državni izpit, za vpis na fakulteto s proračunom in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Potrebovali boste reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 499 RUR

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

In za zaključek...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Kot je figura, ki je sestavljena iz točke - vrha kota in dveh različnih polpremic, ki izhajata iz te točke - strani kota (slika 14). Če sta stranici kota komplementarni polpremici, se kotu reče razvit kot.

Kot označimo bodisi z navedbo njegovega oglišča, bodisi z navedbo njegovih stranic bodisi z navedbo treh točk: oglišča in dveh točk na stranicah kota. Beseda "kot" se včasih zamenja

Simbol kota na sliki 14 je mogoče označiti na tri načine:

Za žarek c pravimo, da poteka med stranicama kota, če izhaja iz njegovega vrha in seka nek odsek s končnimi točkami na stranicah kota.

Na sliki 15 poteka žarek c med stranicama kota, ko seka odsek

V primeru ravnega kota gre vsak žarek, ki izhaja iz njegovega vrha in je drugačen od njegovih stranic, med stranicami kota.

Koti se merijo v stopinjah. Če vzamete ravni kot in ga razdelite na 180 enakih kotov, se stopinjska mera vsakega od teh kotov imenuje stopinja.

Osnovne lastnosti merjenja kota so izražene v naslednjem aksiomu:

Vsak kot ima določeno stopinjsko mero, večjo od nič. Zasukani kot je 180°. Stopinska mera kota je enaka vsoti stopinjskih mer kotov, na katere ga razdeli kateri koli žarek, ki poteka med njegovimi stranicami.

To pomeni, da če gre žarek c med stranicami kota, potem je kot enak vsoti kotov

Stopinjsko mero kota najdemo s kotomerjem.

Kot, ki je enak 90°, imenujemo pravi kot. Kot, manjši od 90°, imenujemo ostri kot. Kot, ki je večji od 90° in manjši od 180°, imenujemo top.

Formulirajmo glavno lastnost odlaganja vogalov.

Iz katere koli polpremice lahko v dano polravnino položite kot z dano stopinjsko mero, manjšo od 180°, in samo eno.

Razmislite o polpremici a. Podaljšajmo jo čez izhodišče A. Nastala premica deli ravnino na dve polravnini. Slika 16 prikazuje, kako s kotomerjem narišemo kot z dano stopinjsko mero 60° od polpremice do zgornje polravnine.

T. 1. 2. Če postavimo dva kota iz dane polpremice v eno polravnino, poteka stranica manjšega kota, ki je različna od dane polpremice, med stranicama večjega kota.

Naj bodo koti odloženi iz dane polpremice a v eno polravnino in naj bo kot manjši od kota . Izrek 1. 2 pravi, da gre žarek med stranicama kota (slika 17).

Simetrala kota je žarek, ki izhaja iz njegovega vrha, prehaja med stranicama in deli kot na pol. Na sliki 18 je žarek simetrala kota

V geometriji obstaja koncept ravninskega kota. Ravninski kot je del ravnine, ki ga omejujejo dva različna žarka, ki izhajata iz ene točke. Ti žarki se imenujejo stranice kota. Obstajata dva ravninska kota z danimi stranicami. Imenujejo se dodatni. Na sliki 19 je eden od ravninskih kotov s stranicama a in