Graf enakomerne porazdelitve zvezne naključne spremenljivke. Enakomerni in eksponentni zakoni porazdelitve zvezne naključne spremenljivke

To vprašanje je že dolgo podrobno raziskano, najbolj razširjena metoda pa je metoda polarnih koordinat, ki so jo leta 1958 predlagali George Box, Mervyn Muller in George Marsaglia. Ta metoda vam omogoča, da pridobite par neodvisnih normalno porazdeljenih naključnih spremenljivk z matematičnim pričakovanjem 0 in varianco 1, kot sledi:

Kjer sta Z 0 in Z 1 želeni vrednosti, s = u 2 + v 2 in sta u in v naključni spremenljivki, enakomerno porazdeljeni na intervalu (-1, 1), izbrani tako, da je izpolnjen pogoj 0< s < 1.
Mnogi ljudje uporabljajo te formule brez razmišljanja in mnogi niti ne sumijo na njihov obstoj, saj uporabljajo že pripravljene izvedbe. Toda obstajajo ljudje, ki se sprašujejo: »Od kod ta formula? In zakaj dobiš nekaj količin naenkrat?« V nadaljevanju bom poskušal podati jasen odgovor na ta vprašanja.

Za začetek naj vas spomnim, kaj so gostota verjetnosti, porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke in inverzna funkcija. Recimo, da obstaja določena naključna spremenljivka, katere porazdelitev je določena s funkcijo gostote f(x), ki ima naslednjo obliko:

To pomeni, da je verjetnost, da bo vrednost dane naključne spremenljivke v intervalu (A, B), enaka površini osenčenega območja. In posledično mora biti površina celotnega osenčenega območja enaka eni, saj bo v vsakem primeru vrednost naključne spremenljivke padla v domeno definicije funkcije f.
Funkcija porazdelitve naključne spremenljivke je integral funkcije gostote. In v tem primeru bo njegov približni videz takšen:

Pomen tukaj je, da bo vrednost naključne spremenljivke manjša od A z verjetnostjo B. In posledično se funkcija nikoli ne zmanjša, njene vrednosti pa ležijo v intervalu.

Inverzna funkcija je funkcija, ki vrne argument izvirni funkciji, če je vanjo posredovana vrednost izvirne funkcije. Na primer, za funkcijo x 2 je inverzna funkcija ekstrakcije korena, za sin(x) je arcsin(x) itd.

Ker večina generatorjev psevdonaključnih števil proizvede samo enotno porazdelitev kot rezultat, jo je pogosto treba pretvoriti v kakšno drugo. V tem primeru za normalno Gaussovo:

Osnova vseh metod za pretvorbo enotne porazdelitve v katero koli drugo je metoda inverzne transformacije. Deluje na naslednji način. Najdemo funkcijo, ki je inverzna funkciji zahtevane porazdelitve, in ji kot argument posredujemo naključno spremenljivko, enakomerno porazdeljeno na interval (0, 1). Na izhodu dobimo vrednost z zahtevano porazdelitvijo. Zaradi jasnosti podajam naslednjo sliko.

Tako je enakomeren segment tako rekoč razmazan v skladu z novo porazdelitvijo, projiciran na drugo os preko inverzne funkcije. Toda težava je v tem, da integrala gostote Gaussove porazdelitve ni enostavno izračunati, zato so morali zgornji znanstveniki goljufati.

Obstaja porazdelitev hi-kvadrat (Pearsonova porazdelitev), ki je porazdelitev vsote kvadratov k neodvisnih normalnih naključnih spremenljivk. In v primeru, ko je k = 2, je ta porazdelitev eksponentna.

To pomeni, da če ima točka v pravokotnem koordinatnem sistemu naključne koordinate X in Y, porazdeljene normalno, potem po pretvorbi teh koordinat v polarni sistem (r, θ) kvadrat polmera (razdalja od izhodišča do točke) bo porazdeljen po eksponentnem zakonu, saj je kvadrat polmera vsota kvadratov koordinat (po Pitagorejevem zakonu). Gostota porazdelitve takih točk na ravnini bo videti takole:

Ker je enak v vseh smereh, bo imel kot θ enakomerno porazdelitev v območju od 0 do 2π. Velja tudi obratno: če definirate točko v polarnem koordinatnem sistemu z dvema neodvisnima naključnima spremenljivkama (enakomerno porazdeljen kot in eksponentno porazdeljen polmer), bodo pravokotne koordinate te točke neodvisne normalne naključne spremenljivke. In veliko lažje je pridobiti eksponentno porazdelitev iz enakomerne porazdelitve z isto metodo inverzne transformacije. To je bistvo polarne Box-Mullerjeve metode.
Zdaj pa izpeljimo formule.

(1)

Za pridobitev r in θ je treba generirati dve naključni spremenljivki, enakomerno porazdeljeni na interval (0, 1) (imenujmo ju u in v), porazdelitev ene od njih (recimo v) pa je treba pretvoriti v eksponentno v dobimo polmer. Funkcija eksponentne porazdelitve izgleda takole:

Njegova inverzna funkcija je:

Ker je enotna porazdelitev simetrična, bo transformacija delovala podobno s funkcijo

Iz formule za porazdelitev hi-kvadrat sledi, da je λ = 0,5. Zamenjajte λ, v v to funkcijo in dobite kvadrat polmera in nato sam polmer:

Kot dobimo tako, da enotski segment raztegnemo na 2π:

Sedaj zamenjamo r in θ v formule (1) in dobimo:

(2)

Te formule so že pripravljene za uporabo. X in Y bosta neodvisna in normalno porazdeljena z varianco 1 in matematičnim pričakovanjem 0. Da dobimo porazdelitev z drugimi značilnostmi, je dovolj, da pomnožimo rezultat funkcije s standardnim odklonom in dodamo matematično pričakovanje.
Vendar se je mogoče znebiti trigonometričnih funkcij tako, da določite kot ne neposredno, temveč posredno prek pravokotnih koordinat naključne točke v krogu. Nato bo prek teh koordinat mogoče izračunati dolžino vektorja radija in nato poiskati kosinus in sinus tako, da z njim delimo x oziroma y. Kako in zakaj deluje?
Izberimo naključno točko izmed enakomerno porazdeljenih v krogu enotskega polmera in označimo kvadrat dolžine vektorja radija te točke s črko s:

Izbor izvedemo tako, da določimo naključni pravokotni koordinati x in y, enakomerno porazdeljeni v intervalu (-1, 1), in zavržemo točke, ki ne pripadajo krogu, ter središčno točko, v kateri je kot radijnega vektorja ni definiran. To pomeni, da mora biti izpolnjen pogoj 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Dobimo formule kot na začetku članka. Pomanjkljivost te metode je zavrženje točk, ki niso vključene v krog. Se pravi z uporabo samo 78,5 % generiranih naključnih spremenljivk. Na starejših računalnikih je bilo pomanjkanje trigonometričnih funkcij še vedno velika prednost. Zdaj, ko en ukaz procesorja izračuna sinus in kosinus v trenutku, menim, da lahko ti metodi še vedno tekmujeta.

Osebno imam še dve vprašanji:

• Zakaj je vrednost s enakomerno porazdeljena?
• Zakaj je vsota kvadratov dveh normalnih naključnih spremenljivk porazdeljena eksponentno?

Če se podobna transformacija izvede za normalno naključno spremenljivko, se bo funkcija gostote njenega kvadrata izkazala za podobno hiperboli. In seštevanje dveh kvadratov normalnih naključnih spremenljivk je že veliko bolj zapleten proces, povezan z dvojno integracijo. In dejstvo, da bo rezultat eksponentna porazdelitev, je zame osebno še treba preveriti s praktično metodo ali sprejeti kot aksiom. In za tiste, ki jih zanima, predlagam, da si podrobneje ogledajo temo in pridobijo znanje iz teh knjig:

• Ventzel E.S. Teorija verjetnosti
• Knut D.E. Umetnost programiranja, 2. zvezek

Za zaključek je tukaj primer implementacije normalno porazdeljenega generatorja naključnih števil v JavaScriptu:

Function Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2,0 * Math.random() - 1,0; v = 2,0 * Math. random() - 1.0; s = u * u * v; while (s > 1.0 || s == 0.0); return r * v * dev + povprečje ) ) g = nov Gauss(); // ustvari objekt a = g.next(); // ustvarite par vrednosti in pridobite prvo b = g.next(); // pridobi drugi c = g.next(); // ponovno ustvarite par vrednosti in pridobite prvo
Parametra mean (matematično pričakovanje) in dev (standardni odklon) nista obvezna. Opozarjam vas na dejstvo, da je logaritem naraven.

Kot primer zvezne naključne spremenljivke razmislite o naključni spremenljivki X, enakomerno porazdeljeni po intervalu (a; b). Za naključno spremenljivko X pravimo, da je enakomerno porazdeljena na intervalu (a; b), če njegova porazdelitvena gostota na tem intervalu ni konstantna:

Iz normalizacijskega pogoja določimo vrednost konstante c. Območje pod krivuljo gostote porazdelitve mora biti enako enoti, v našem primeru pa je to območje pravokotnika z osnovo (b - α) in višino c (slika 1).

riž. 1 Enakomerna gostota porazdelitve
Od tu najdemo vrednost konstante c:

Torej je gostota enakomerno porazdeljene naključne spremenljivke enaka

Poiščimo porazdelitveno funkcijo s formulo:
1) za
2) za
3) za 0+1+0=1.
torej

Porazdelitvena funkcija je zvezna in ne pada (slika 2).

riž. 2 Porazdelitvena funkcija enakomerno porazdeljene naključne spremenljivke

Bomo našli matematično pričakovanje enakomerno porazdeljene naključne spremenljivke po formuli:

Disperzija enakomerne porazdelitve se izračuna po formuli in je enako

Primer št. 1. Vrednost razdelka merilne naprave je 0,2. Odčitki instrumenta so zaokroženi na najbližji cel razdelek. Poiščite verjetnost, da bo pri štetju nastala napaka: a) manjša od 0,04; b) velika 0,02
rešitev. Napaka zaokroževanja je naključna spremenljivka, ki je enakomerno porazdeljena v intervalu med sosednjimi celimi delitvami. Kot takšno razdelitev si oglejmo interval (0; 0,2) (slika a). Zaokroževanje se lahko izvede tako proti levi meji - 0, kot proti desni - 0,2, kar pomeni, da je lahko napaka manjša ali enaka 0,04 dvakrat, kar je treba upoštevati pri izračunu verjetnosti:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

V drugem primeru lahko vrednost napake tudi presega 0,02 na obeh mejah delitve, torej je lahko večja od 0,02 ali manjša od 0,18.


Potem je verjetnost napake, kot je ta:

Primer št. 2. Predpostavljeno je bilo, da je stabilnost gospodarskega položaja v državi (odsotnost vojn, naravnih nesreč itd.) V zadnjih 50 letih mogoče oceniti po naravi porazdelitve prebivalstva po starosti: v mirnem položaju bi moralo biti uniforma. Kot rezultat študije so bili za eno od držav pridobljeni naslednji podatki.

Rešitev izvedemo s pomočjo kalkulatorja. Tabela za izračun indikatorjev.

rešitev:
1. Poiščite ocene parametrov a * in b * enotne porazdelitve z uporabo formul:


2. Poiščite gostoto predpostavljene enakomerne porazdelitve:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Poiščimo teoretične frekvence:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0,0121(10-1,58) = 0,1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0,0121(84,42-70) = 0,17
Preostali n s bo enak:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)