Območje pravokotnika morda ne zveni arogantno, vendar je pomemben koncept. V vsakdanjem življenju se z njo nenehno srečujemo. Ugotovite velikost polj, zelenjavnih vrtov, izračunajte količino barve, potrebno za beljenje stropa, koliko tapet bo potrebno za lepljenje
denar in več.
Geometrijski lik
Najprej se pogovorimo o pravokotniku. To je lik na ravnini, ki ima štiri prave kote in ima nasprotne stranice enake. Njegove stranice se običajno imenujejo dolžina in širina. Merijo se v milimetrih, centimetrih, decimetrih, metrih itd. Zdaj pa odgovorimo na vprašanje: "Kako najti površino pravokotnika?" Če želite to narediti, morate dolžino pomnožiti s širino.
Površina=dolžina*širina
A še opozorilo: dolžina in širina morata biti izraženi v istih merskih enotah, torej meter in meter, ne meter in centimeter. Območje je napisano z latinično črko S. Za udobje označimo dolžino z latinsko črko b, širino pa z latinsko črko a, kot je prikazano na sliki. Iz tega sklepamo, da je enota za ploščino mm 2, cm 2, m 2 itd.
Oglejmo si poseben primer, kako najti območje pravokotnika. Dolžina b=10 enot. Širina a=6 enot. Rešitev: S=a*b, S=10 enot*6 enot, S=60 enot 2. Naloga. Kako ugotoviti površino pravokotnika, če je dolžina 2-krat večja od širine in je 18 m? Rešitev: če je b=18 m, potem je a=b/2, a=9 m. Kako najti ploščino pravokotnika, če sta znani obe stranici? Tako je, nadomestite ga s formulo. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Odgovor: 162 m2. Naloga. Koliko zvitkov tapet morate kupiti za sobo, če so njene mere: dolžina 5,5 m, širina 3,5 m in višina 3 m? Mere zvitka tapete: dolžina 10 m, širina 50 cm Rešitev: naredite izris prostora.
Ploščini nasprotnih stranic sta enaki. Izračunajmo površino stene z dimenzijami 5,5 m in 3 m S stene 1 = 5,5 * 3,
S stena 1 = 16,5 m 2. Zato ima nasprotna stena površino 16,5 m2. Poiščimo površino naslednjih dveh sten. Njihove stranice so 3,5 m in 3 m S stene 2 = 3,5 * 3, S stene 2 = 10,5 m 2. To pomeni, da je tudi nasprotna stran enaka 10,5 m2. Seštejmo vse rezultate. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Kako izračunati površino pravokotnika, če so stranice izražene v različnih merskih enotah. Prej smo površine izračunali v m2, v tem primeru pa bomo uporabili metre. Nato bo širina zvitka tapete enaka 0,5 m zvitka S = 10 * 0,5, zvitka S = 5 m 2. Zdaj bomo ugotovili, koliko zvitkov je potrebnih za pokrivanje sobe. 54:5=10,8 (zvitki). Ker se merijo v celih številih, morate kupiti 11 zvitkov tapet. Odgovor: 11 rol tapet. Naloga. Kako izračunati površino pravokotnika, če je znano, da je širina 3 cm krajša od dolžine, vsota stranic pravokotnika pa je 14 cm? Rešitev: naj bo dolžina x cm, potem je širina (x-3) cm x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm. - dolžina pravokotnika, 5-3=2 cm - širina pravokotnika, S=5*2, S=10 cm 2 Odgovor: 10 cm 2.
Nadaljevanje
Upam, da je po ogledu primerov postalo jasno, kako najti območje pravokotnika. Naj te spomnim, da se morata merski enoti za dolžino in širino ujemati, sicer boš dobil napačen rezultat. Da se izogneš napakam, natančno preberi nalogo. Včasih se lahko stran izrazi skozi drugo stran, ne bojte se. Oglejte si naše rešene težave, povsem možno je, da vam lahko pomagajo. Toda vsaj enkrat v življenju se soočimo z iskanjem ploščine pravokotnika.
Spomnimo se šolske geometrije:
Obseg pravokotnika je vsota dolžin vseh stranic, površina pravokotnika pa je zmnožek njegovih dveh sosednjih strani (dolžina na širino).
V tem primeru poznamo tako ploščino kot obseg pravokotnika. Velika sta 56 cm^2 in 30 cm.
Torej, rešitev:
S - površina = a x b;
P - obseg = a + b + a + b = 2a + 2b;
30 = 2 (a + b);
Naredimo zamenjavo:
56 = (15 - b) x b;
56 = 15 b - b^2;
b^2 - 15b + 56 = 0.
Dobili smo kvadratno enačbo, z reševanjem katere dobimo: b1 = 8, b2 = 7.
Najdemo drugo stran pravokotnika:
a1 = 15 - 8 = 7;
a2 = 15 - 7 = 8.
Odgovor: Stranici pravokotnika sta 8 in 7 cm ali 7 in 8 cm.
Če je obseg pravokotnika P = 30 cm in njegova ploščina S = 56 cm, bodo njegove stranice enake:
a - ena stran, b - druga stran pravokotnika.
Po rešitvi tega sistema pridemo do zaključka, da bo stranica a enaka 7 cm, stranica b pa 8 cm.
a = 7 cm b = 8 cm.
Podano: S = 56 cm
P = 30 cm
Strani=?
rešitev:
Naj bosta stranici pravokotnika a in b.
Potem: območje S = a * b, obseg P=2*(a + b),
Dobimo sistem enačb:
(a*b=56 ? (ab=56
(2(a+b)=30, (a+b=15, izraz b skozi a dobimo kvadratno enačbo:
b=15-a, a^2 -15a +56 =0 , rešitev katere dobimo:
b1=8, b2=7. Se pravi stranice pravokotnika: a=7,b=8 ali obratno: a=8,b=7.
Torej, najprej si poglejmo formule za iskanje površine in oboda:
1) S = a * b = 56 cm2;
2) P = 2a + 2b = 30 cm.
Navsezadnje vemo, da ima pravokotnik dve enaki stranici.
Zato moramo rešiti sistem dveh enačb:
Iz tega vidimo, da je ena stran 7, druga pa 8.
Če poznamo formule za obseg pravokotnika in njegovo površino, se stranice iščejo v obliki reševanja sistema dveh enačb. Najprej izrazimo vrednost ene strani skozi drugo in na primer območje je videti takole: A = S / B = 56 / B
Nato ta izraz nadomestimo s črko A v enačbi za obseg:
P=2(56/V + V)=30
Dobimo, da je 56/B+B=15
V tej enačbi vam je sploh ni treba rešiti - vsakdo, ki pozna tabelo množenja, lahko takoj vidi, da je 56 produkt 7 in 8, in ker je vsota teh števil le 15, sta to vrednosti stranic pravokotnika, ki ga potrebujemo.
To težavo lahko poskusite rešiti tako, da ustvarite sistem enačb.
Obseg pravokotnika je: p=2a+2b;
Ploščina pravokotnika je: s=a*b;
Ker poznamo obseg in površino, takoj zamenjamo številke:
Izrazite b z a v drugi enačbi:
In nadomestite 56/a namesto b v prvi enačbi:
Pomnožite obe strani z a:
Dobimo kvadratno enačbo:
Iskanje korenin te kvadratne enačbe:
(15(15-4*1*56))/2*1 = (15(225-224))/2 = (151)/2 = (151)/2
Izkazalo se je, da so korenine te enačbe:
a1=(15+1)/2=16/2=8;
a2=(15-1)/2=14/2=7;
Izkazalo se je, da imamo 2 možni možnosti za pravokotnike.
Spomnimo se, kaj smo izrazili: b=56/a;
Od tu najdemo možne b:
b1=56/a1=56/8=7;
b2=56/a2=56/7=8;
Kot se je izkazalo, sta ta dva različna pravokotnika en in isti, lahko preprosto dosežete obseg 30 s površino 56:
Če je a=7 in b=8.
Ali obratno: a=8 in b=7.
To pomeni, da imamo v bistvu isti pravokotnik, le da je v eni različici navpična stranica večja od vodoravne, v drugi pa je, nasprotno, vodoravna stran večja od navpične.
Odgovor: ena stranica je 7 centimetrov, druga pa 8 centimetrov.
Če želite rešiti problem, morate ustvariti sistem enačb in ga rešiti
dobimo kvadratno enačbo, ki jo zlahka rešimo, če vanjo nadomestimo vrednosti obsega in površine
Diskriminanta je 1 in enačba ima dva korena 7 in 8, torej eno od strani enaka 7 cm, druga 8 cm ali obratno.
Tukaj sem posebej napisal diskriminator, saj je zelo enostaven za krmarjenje
če sta v pogoju problema iskanja stranic pravokotnika vrednost obsega in ploščine določena tako, da ta diskriminanta več kot nič, potem imamo pravokotnik;
če je diskriminatorna enako nič- potem imamo kvadrat(P=30, S=56,25, kvadrat s stranico 7,5);
če je diskriminatorna manj kot nič, potem pa takole pravokotnik ne obstaja(P=20, S=56 - ni rešitve)
Obseg 30, ploščina 56. Imenujmo stranici pravokotnika a in c. Nato lahko ustvarimo naslednje enačbe:
Eno stran označimo s črko X, drugo s črko Y.
Ploščino pravokotnika izračunamo z množenjem dolžin stranic, tako da lahko oblikujemo prvo enačbo:
Obseg je vsota dolžin stranic, zato je druga enačba:
Dobimo sistem dveh enačb.
S prvo enačbo izberite X: X=56:Y, to nadomestite z drugo enačbo:
2*56:Y+2Y=30 Od tu je enostavno najti vrednost Y: Y=7, nato X=8.
Našel sem drugo rešitev:
Znano je, da je obseg pravokotnika 30 in ploščina 56, potem:
obseg = 2*(dolžina + širina) ali 2L + 2W
površina = dolžina * širina ali D * Š
2L + 2W = 30 (oba dela delite z 2)
L * (15 - L) = 56
Iskreno povedano, rešitve nisem povsem razumel, a mislim, da jo bo razumel vsak, ki matematike še ni povsem pozabil.
Stran A=7, stran B=8
S takšnim konceptom, kot je področje, se moramo soočati v vsakdanjem življenju. Tako, na primer, ko gradite hišo, jo morate poznati, da lahko izračunate količino potrebnega materiala. Velikost vrtne parcele bo značilna tudi njegova površina. Tudi prenove v stanovanju ne gre brez te definicije. Zato se vprašanje, kako najti površino pravokotnika, pojavlja zelo pogosto in je pomembno ne le za šolarje.
Za tiste, ki ne vedo, je pravokotnik ploska figura, pri kateri sta nasprotni stranici enaki in imata kota 90 stopinj. Za označevanje površine v matematiki se uporablja angleška črka S. Meri se v kvadratnih enotah: metrih, centimetrih itd.
Zdaj bomo poskušali dati podroben odgovor na vprašanje, kako najti območje pravokotnika. To vrednost lahko določite na več načinov. Najpogosteje naletimo na metodo določanja površine s pomočjo širine in dolžine.
Vzemimo pravokotnik s širino b in dolžino k. Če želite izračunati površino danega pravokotnika, morate širino pomnožiti z dolžino. Vse to je mogoče predstaviti v obliki formule, ki bo videti tako: S = b * k.
Zdaj pa si poglejmo to metodo na konkretnem primeru. Določiti je treba površino vrtne parcele s širino 2 metra in dolžino 7 metrov.
S = 2 * 7 = 14 m2
Pri matematiki, predvsem pri matematiki, moramo ploščino določiti na druge načine, saj velikokrat ne poznamo ne dolžine ne širine pravokotnika. Hkrati obstajajo druge znane količine. Kako najti površino pravokotnika v tem primeru?
- Če poznamo dolžino diagonale in enega od kotov, ki sestavljajo diagonalo s katero koli stranjo pravokotnika, potem si bomo v tem primeru morali zapomniti območje, če ga pogledate, pravokotnik je sestavljen iz dva enaka pravokotna trikotnika. Torej, vrnimo se k ugotovljeni vrednosti. Najprej morate določiti kosinus kota. Dobljeno vrednost pomnožite z dolžino diagonale. Kot rezultat dobimo dolžino ene od strani pravokotnika. Podobno, vendar z uporabo definicije sinusa, lahko določite dolžino druge stranice. Kako zdaj najti površino pravokotnika? Da, zelo preprosto je, pomnožite dobljene vrednosti.
V obliki formule bo videti takole:
S = cos(a) * sin(a) * d2, kjer je d dolžina diagonale
- Drug način za določitev površine pravokotnika je skozi krog, vpisan vanj. Uporablja se, če je pravokotnik kvadrat. Če želite uporabiti to metodo, morate vedeti, kako izračunati površino pravokotnika na ta način? Seveda po formuli. Tega ne bomo dokazali. In izgleda takole: S = 4 * r2, kjer je r polmer.
Zgodi se, da namesto polmera poznamo premer včrtanega kroga. Potem bo formula videti takole:
S=d2, kjer je d premer.
- Če sta znani ena od strani in obod, kako v tem primeru ugotoviti površino pravokotnika? Če želite to narediti, morate narediti vrsto preprostih izračunov. Kot vemo, sta nasprotni stranici pravokotnika enaki, zato je treba od vrednosti oboda odšteti znano dolžino, pomnoženo z dvema. Rezultat delite z dva in dobite dolžino druge stranice. No, potem je standardna tehnika pomnožiti obe strani in dobiti površino pravokotnika. V obliki formule bo videti takole:
S=b* (P - 2*b), kjer je b dolžina stranice, P je obseg.
Kot lahko vidite, lahko površino pravokotnika določite na različne načine. Vse je odvisno od tega, kakšne količine poznamo, preden se lotimo tega vprašanja. Seveda se z najnovejšimi računskimi metodami skoraj nikoli ne srečamo v življenju, vendar so lahko uporabne za reševanje številnih problemov v šoli. Morda bo ta članek koristen za reševanje vaših težav.
4a, kjer je a stranica kvadrata ali romba. Nato dolžina straneh enako eni četrtini obsega: a = p/4.
Ta problem je mogoče enostavno rešiti tudi za trikotnik. Ima tri enako dolge straneh, torej je obseg p enakostraničnega trikotnika 3a. Potem je stranica enakostraničnega trikotnika a = p/3.
Za preostale številke boste potrebovali dodatne podatke. Na primer, lahko najdete straneh, poznajo njegov obseg in površino. Recimo, da je dolžina dveh nasprotnih strani pravokotnika a, dolžina drugih dveh strani pa b. Potem je obseg p pravokotnika enak 2(a+b), ploščina s pa ab. Dobimo sistem z dvema neznankama:
p = 2(a+b)
s = ab Iz prve enačbe izrazite: a = p/2 - b. Nadomestite v drugo in poiščite b: s = pb/2 - b². Diskriminanta te enačbe je D = p²/4 - 4s. Potem je b = (p/2±D^1/2)/2. Zavrzite koren, ki je manjši od nič, in ga nadomestite z straneh a.
Viri:
- Poišči stranice pravokotnika
Če poznate vrednost a, potem lahko rečete, da ste rešili kvadratno enačbo, saj boste njene korene našli zelo enostavno.
Potrebovali boste
- -diskriminantna formula za kvadratno enačbo;
- -poznavanje tabele množenja
Navodila
Video na temo
Koristen nasvet
Diskriminanta kvadratne enačbe je lahko pozitivna, negativna ali enaka 0.
Viri:
- Reševanje kvadratnih enačb
- celo diskriminatorno
Poseben primer paralelograma - pravokotnik - pozna le evklidska geometrija. U pravokotnik Vsi koti so enaki in vsak posebej tvori 90 stopinj. Na podlagi zasebnih lastnin pravokotnik, in tudi iz lastnosti paralelograma lahko ugotovimo o vzporednosti nasprotnih stranic straneh figure vzdolž danih diagonal in kot iz njihovega presečišča. Računanje strani pravokotnik temelji na dodatnih konstrukcijah in uporabi lastnosti nastalih figur.
Navodila
S črko A označite presečišče diagonal. Razmislite o EFA, ki jih tvorijo konstrukti. Glede na premoženje pravokotnik njegovi diagonali sta enaki in razpolovljeni s presečiščem A. Izračunajte vrednosti FA in EA. Ker je trikotnik EFA enakokrak in njegov straneh EA in FA sta med seboj enaki oziroma enaki polovici diagonale EG.
Nato izračunajte prvi EF pravokotnik. Ta stranica je tretja neznana stranica obravnavanega trikotnika EFA. V skladu s kosinusnim izrekom uporabite ustrezno formulo za iskanje stranice EF. Če želite to narediti, nadomestite predhodno pridobljene vrednosti stranic FA EA in kosinusa znanega kota med njimi α v formulo kosinusa. Izračunajte in zapišite dobljeno vrednost EF.
Poiščite drugo stran pravokotnik F.G. Če želite to narediti, razmislite o drugem trikotniku EFG. Je pravokoten, kjer poznamo hipotenuzo EG in krak EF. V skladu s Pitagorovim izrekom poiščite drugi krak FG z ustrezno formulo.
Nasvet 4: Kako najti obseg enakostraničnega trikotnika
Enakostranični trikotnik je poleg kvadrata morda najpreprostejša in najbolj simetrična figura v planimetriji. Seveda vse relacije, ki veljajo za navaden trikotnik, veljajo tudi za enakostranični trikotnik. Vendar pa za navaden trikotnik vse formule postanejo veliko enostavnejše.
Potrebovali boste
- kalkulator, ravnilo
Navodila
Če želite izmeriti dolžino ene od njegovih strani in meritev pomnožiti s tri. To lahko zapišemo takole:
Prt = Ds * 3,
Prt – obseg trikotnika,
Ds je dolžina katere koli njegove stranice.
Obseg trikotnika bo enakih dimenzij kot dolžina njegove stranice.
Ker ima enakostranični trikotnik visoko stopnjo simetrije, za izračun njegovega oboda zadostuje eden od parametrov. Na primer ploščina, višina, včrtan ali opisan krog.
Če poznate polmer vpisanega kroga enakostraničnega trikotnika, uporabite naslednjo formulo za izračun njegovega obsega:
Prt = 6 * √3 * r,
kjer je: r polmer včrtanega kroga.
To pravilo izhaja iz dejstva, da je polmer vpisanega kroga enakostraničnega trikotnika izražen z dolžino njegove stranice z naslednjim razmerjem:
r = √3/6 * Ds.
Za izračun obsega glede na polmer kroga uporabite formulo:
Prt = 3 * √3 * R,
kjer je: R polmer opisanega kroga.
To zlahka izpeljemo iz dejstva, da je polmer opisa pravilnega trikotnika izražen skozi dolžino njegove stranice z naslednjim razmerjem: R = √3/3 * Ds.
Za izračun obsega enakostraničnega trikotnika skozi znano območje uporabite naslednje razmerje:
Srt = Dst² * √3 / 4,
kjer je: Sрт – površina enakostraničnega trikotnika.
Od tu lahko sklepamo: Dst² = 4 * Sрт / √3, torej: Dst = 2 * √(Sрт / √3).
Če nadomestimo to razmerje v formulo oboda skozi dolžino stranice enakostraničnega trikotnika, dobimo:
Prt = 3 * Dst = 3 * 2 * √(Srt / √3) = 6 * √Sst / √(√3) = 6√Sst / 3^¼.
Video na temo
Kvadrat je geometrijski lik, sestavljen iz štirih enako dolgih stranic in štirih pravih kotov, od katerih ima vsak 90°. Določitev površine oz obod kakršen koli štirikotnik ni potreben le pri reševanju geometrijskih problemov, ampak tudi v vsakdanjem življenju. Te veščine lahko postanejo uporabne na primer pri popravilih pri izračunu potrebne količine materialov - obloge za tla, stene ali strope, pa tudi za postavitev trate in postelj itd.
4. Formula za polmer kroga, ki je opisan okoli pravokotnika skozi diagonalo kvadrata:
5. Formula za polmer kroga, ki je opisan okoli pravokotnika skozi premer kroga (opisano):
6. Formula za polmer kroga, ki je opisan okoli pravokotnika skozi sinus kota, ki meji na diagonalo, in dolžino stranice, ki je nasproti tega kota:
7. Formula za polmer kroga, ki je opisan okoli pravokotnika skozi kosinus kota, ki meji na diagonalo, in dolžino stranice tega kota:
8. Formula za polmer kroga, ki je opisan okoli pravokotnika skozi sinus ostrega kota med diagonalami in površino pravokotnika:
Kot med stranico in diagonalo pravokotnika.
Formule za določanje kota med stranico in diagonalo pravokotnika:
1. Formula za določanje kota med stranjo in diagonalo pravokotnika skozi diagonalo in stran:
2. Formula za določanje kota med stranico in diagonalo pravokotnika skozi kot med diagonalami:
Kot med diagonalama pravokotnika.
Formule za določanje kota med diagonalama pravokotnika:
1. Formula za določanje kota med diagonalami pravokotnika skozi kot med stranjo in diagonalo:
β = 2α
2. Formula za določitev kota med diagonalama pravokotnika skozi ploščino in diagonalo.
