Koncepti limitov zaporedij in funkcij. Kadar je treba najti limito zaporedja, to zapišemo takole: lim xn=a. V takem zaporedju zaporedij teži xn k a in n k neskončnosti. Zaporedje je običajno predstavljeno kot niz, na primer:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Sekvence delimo na naraščajoče in padajoče. Na primer:
xn=n^2 - naraščajoče zaporedje
yn=1/n - zaporedje
Tako je na primer meja zaporedja xn=1/n^:
lim 1/n^2=0
x→∞
Ta meja je enaka nič, ker n→∞ in zaporedje 1/n^2 teži k nič.
Običajno se spremenljiva količina x nagiba k končni meji a, x pa se nenehno približuje a, količina a pa je konstantna. To je zapisano takole: limx =a, medtem ko se n lahko nagiba tudi k ničli ali neskončnosti. Obstaja neskončno število funkcij, pri katerih meja teži k neskončnosti. V drugih primerih, ko na primer funkcija upočasnjuje vlak, je možna omejitev, ki teži k ničli.
Omejitve imajo številne lastnosti. Običajno ima katera koli funkcija samo eno omejitev. To je glavna lastnost limita. Drugi so navedeni spodaj:
* Omejitev zneska je enaka vsoti limitov:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Omejitev izdelka je enaka zmnožku omejitev:
lim(xy)=lim x*lim y
* Limit količnika je enak količniku limitov:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Konstantni faktor je vzet zunaj mejnega znaka:
lim(Cx)=C lim x
Glede na funkcijo 1 /x, v kateri je x →∞, je njena meja enaka nič. Če je x→0, je limita takšne funkcije ∞.
Za trigonometrične funkcije obstaja nekaj teh pravil. Ker funkcija sin x vedno teži k enoti, ko se približuje ničli, zanjo velja istovetnost:
lim sin x/x=1
V številnih funkcijah obstajajo funkcije, pri katerih se pri izračunu meja pojavi negotovost - situacija, v kateri meje ni mogoče izračunati. Edini izhod iz te situacije je L'Hopital. Obstajata dve vrsti negotovosti:
* negotovost oblike 0/0
* negotovost oblike ∞/∞
Podana je na primer meja naslednje oblike: lim f(x)/l(x) in f(x0)=l(x0)=0. V tem primeru se pojavi negotovost oblike 0/0. Za rešitev takega problema se obe funkciji diferencirata, po čemer se najde meja rezultata. Za negotovosti tipa 0/0 je meja:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (pri x→0)
Enako pravilo velja tudi za negotovosti tipa ∞/∞. Toda v tem primeru velja naslednja enakost: f(x)=l(x)=∞
Z uporabo L'Hopitalovega pravila lahko najdete vrednosti vseh meja, v katerih se pojavljajo negotovosti. Predpogoj za
obseg - brez napak pri iskanju izpeljank. Tako je na primer odvod funkcije (x^2)" enak 2x. Od tu lahko sklepamo, da:
f"(x)=nx^(n-1)
Oglejmo si nekaj ilustrativnih primerov.
Naj bo x numerična spremenljivka, X območje njene spremembe. Če je vsako število x, ki pripada X, povezano z določenim številom y, potem rečemo, da je funkcija definirana na množici X, in zapišemo y = f(x).
Set X je v tem primeru ravnina, sestavljena iz dveh koordinatnih osi - 0X in 0Y. Na primer, upodabljajmo funkcijo y = x 2. Osi 0X in 0Y tvorita X - območje njegove spremembe. Slika jasno prikazuje, kako se funkcija obnaša. V tem primeru pravijo, da je funkcija y = x 2 definirana na množici X.
Množica Y vseh delnih vrednosti funkcije se imenuje množica vrednosti f(x). Z drugimi besedami, nabor vrednosti je interval vzdolž osi 0Y, kjer je funkcija definirana. Prikazana parabola jasno kaže, da je f(x) > 0, ker x2 > 0. Zato bo obseg vrednosti . Številne vrednosti gledamo na 0Y.
Množica vseh x se imenuje domena f(x). Gledamo veliko definicij z 0X in v našem primeru je obseg sprejemljivih vrednosti [-; +].
Točko a (a pripada ali X) imenujemo mejna točka množice X, če so v kateri koli okolici točke a točke množice X, ki so različne od a.
Prišel je čas, da razumemo, kaj je meja funkcije?
Imenuje se čisti b, h kateremu funkcija teži, ko x teži k številu a omejitev funkcije. To je zapisano takole:
Na primer, f(x) = x 2. Ugotoviti moramo, čemu funkcija teži (ni enaka) pri x 2. Najprej zapišemo mejo:
Poglejmo graf.
Narišimo premico, vzporedno z osjo 0Y skozi točko 2 na osi 0X. Naš graf bo sekal v točki (2;4). Spustimo navpičnico iz te točke na os 0Y in pridemo do točke 4. K temu stremi naša funkcija pri x 2. Če zdaj vrednost 2 nadomestimo s funkcijo f(x), bo odgovor enak.
Zdaj, preden preidemo na izračun omejitev, uvedemo osnovne definicije.
Uvedel ga je francoski matematik Augustin Louis Cauchy v 19. stoletju.
Recimo, da je funkcija f(x) definirana na določenem intervalu, ki vsebuje točko x = A, vendar sploh ni nujno, da je vrednost f(A) definirana.
Potem, po Cauchyjevi definiciji, omejitev funkcije f(x) bo določeno število B z x, ki teži k A, če za vsak C > 0 obstaja število D > 0, za katerega
Tisti. če je funkcija f(x) pri x A omejena z mejo B, je to zapisano kot
Omejitev zaporedja imenujemo določeno število A, če za poljubno majhno pozitivno število B > 0 obstaja število N, za katero vse vrednosti v primeru n > N izpolnjujejo neenakost
Ta meja je videti kot.
Zaporedje, ki ima mejo, bomo imenovali konvergentno; če ne, ga bomo imenovali divergentno.
Kot ste že opazili, so meje označene z ikono lim, pod katero je zapisan nek pogoj za spremenljivko, nato pa je zapisana še funkcija. Tak nabor se bo bral kot "meja funkcije, ki je predmet ...". Na primer:
- limita funkcije, ko x teži k 1.
Izraz "približevanje 1" pomeni, da x zaporedoma prevzame vrednosti, ki se približujejo 1 neskončno blizu.
Zdaj postane jasno, da je za izračun te meje dovolj, da x nadomestimo vrednost 1:
Poleg določene številske vrednosti se lahko x nagiba tudi v neskončnost. Na primer:
Izraz x pomeni, da x nenehno narašča in se v nedogled približuje neskončnosti. Če zamenjamo neskončnost za x, postane očitno, da bo funkcija 1-x težila k , vendar z nasprotnim predznakom:
torej izračun omejitev se spušča v iskanje njegove specifične vrednosti ali določenega območja, v katerem pade funkcija, omejena z mejo.
Na podlagi zgoraj navedenega sledi, da je pri izračunu omejitev pomembno upoštevati več pravil:
Razumevanje bistvo meje in osnovna pravila mejni izračuni, boste pridobili ključen vpogled v to, kako jih rešiti. Če vam katera koli omejitev povzroča težave, napišite v komentarje in zagotovo vam bomo pomagali.
Opomba: Pravna praksa je veda o zakonih, ki pomaga v konfliktih in drugih življenjskih težavah.
Pri izračunu omejitev je treba upoštevati naslednja osnovna pravila:
1. Meja vsote (razlike) funkcij je enaka vsoti (razliki) meja izrazov:
2. Limita produkta funkcij je enaka produktu limitov faktorjev:
3. Meja razmerja dveh funkcij je enaka razmerju meja teh funkcij:
.
4. Konstantni faktor lahko vzamemo preko mejnega znaka:
.
5. Meja konstante je enaka konstanti sami:
6. Pri neprekinjenih funkcijah je mogoče zamenjati simbole omejitev in funkcij:
.
Iskanje meje funkcije se mora začeti z zamenjavo vrednosti v izrazu za funkcijo. Poleg tega, če je dosežena številčna vrednost 0 ali ¥, je bila želena meja najdena.
Primer 2.1. Izračunajte mejo.
rešitev.
.
Izrazi oblike , , , , , se imenujejo negotovosti.
Če dobite negotovost oblike, morate za iskanje meje transformirati funkcijo, da razkrijete to negotovost.
Negotovost oblike običajno dobimo, ko je podana meja razmerja dveh polinomov. V tem primeru je za izračun meje priporočljivo faktorizirati polinome in zmanjšati s skupnim faktorjem. Ta množitelj je pri mejni vrednosti nič X .
Primer 2.2. Izračunajte mejo.
rešitev.
Če nadomestimo , dobimo negotovost:
.
Razčlenimo števec in imenovalec:
;
Zmanjšajmo s skupnim faktorjem in dobimo
.
Negotovost oblike dobimo, ko je meja razmerja dveh polinomov podana pri . V tem primeru je za izračun priporočljivo, da oba polinoma delite z X v višji stopnji.
Primer 2.3. Izračunajte mejo.
rešitev. Pri zamenjavi ∞ dobimo negotovost oblike , zato vse člene izraza delimo z x 3.
.
Tu se upošteva, da.
Pri izračunu limitov funkcije, ki vsebuje korene, je priporočljivo, da funkcijo pomnožite in delite s konjugatom.
Primer 2.4. Izračunajte mejo
rešitev.
Pri izračunu meja za razkrivanje negotovosti oblike ali (1) ∞ se pogosto uporabljata prva in druga izjemna meja:
Številni problemi, povezani z nenehnim naraščanjem neke količine, vodijo do druge izjemne meje.
Razmislimo o primeru Ya. I. Perelmana, ki podaja razlago števila e v problemu obrestnih obresti. V hranilnicah se obresti letno prištevajo k osnovnemu kapitalu. Če se pristop izvaja pogosteje, potem kapital raste hitreje, saj je pri oblikovanju obresti udeležen večji znesek. Vzemimo čisto teoretičen, zelo poenostavljen primer.
Naj bo 100 denijev položenih v banko. enote na podlagi 100 % letno. Če se obrestni denar doda stalnemu kapitalu šele po enem letu, potem do tega časa 100 den. enote se bo spremenilo v 200 denarnih enot.
Zdaj pa poglejmo, v kaj se bo spremenilo 100 denizejev. enote, če se obresti dodajo osnovnemu kapitalu vsakih šest mesecev. Po šestih mesecih 100 den. enote bo zrasel za 100 × 1,5 = 150, po nadaljnjih šestih mesecih pa za 150 × 1,5 = 225 (den. enot). Če se pristop izvaja vsako 1/3 leta, potem po enem letu 100 den. enote se bo spremenilo v 100 × (1 +1/3) 3 "237 (den. enot).
Povečali bomo pogoje za dodajanje obresti na 0,1 leta, na 0,01 leta, na 0,001 leta itd. Potem od 100 den. enote po enem letu pa bo:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. enote),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. enote),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. enote).
Z neomejenim znižanjem pogojev za dodajanje obresti akumulirani kapital ne raste v nedogled, ampak se približuje določeni meji, ki je enaka približno 271. Kapital, položen pri 100% letno, se ne more povečati za več kot 2,71-krat, tudi če natečene obresti so se v kapital dodajale vsako sekundo, ker
Primer 2.5. Izračunaj limito funkcije
rešitev.
Primer 2.6. Izračunaj limito funkcije .
rešitev. Z zamenjavo dobimo negotovost:
.
S pomočjo trigonometrične formule pretvorimo števec v produkt:
Kot rezultat dobimo
Tu je upoštevana druga izjemna meja.
Primer 2.7. Izračunaj limito funkcije
rešitev.
.
Če želite razkriti negotovost oblike ali, lahko uporabite L'Hopitalovo pravilo, ki temelji na naslednjem izreku.
Izrek. Meja razmerja dveh infinitezimalnih ali neskončno velikih funkcij je enaka meji razmerja njunih odvodov
Upoštevajte, da je to pravilo mogoče uporabiti večkrat zapored.
Primer 2.8. Najdi
rešitev. Pri zamenjavi imamo oblikovno negotovost. Če uporabimo L'Hopitalovo pravilo, dobimo
Kontinuiteta delovanja
Pomembna lastnost funkcije je zveznost.
Opredelitev. Upošteva se funkcija neprekinjeno, če majhna sprememba vrednosti argumenta povzroči majhno spremembo vrednosti funkcije.
Matematično je to zapisano takole: kdaj
Z in je mišljen prirastek spremenljivk, to je razlika med naslednjo in prejšnjo vrednostjo: , (slika 2.3)
Slika 2.3 – Povečanje spremenljivk |
Iz definicije v točki zvezne funkcije sledi, da . Ta enakost pomeni, da so izpolnjeni trije pogoji:
rešitev. Za funkcijo točka je sumljiva za diskontinuiteto, preverimo to in poiščimo enostranske meje
torej , pomeni - prelomna točka
Odvod funkcije
Omejitev delovanja- številka a bo meja neke spremenljive količine, če se ta spremenljiva količina v procesu njenega spreminjanja neomejeno približuje a.
Ali z drugimi besedami, število A je meja funkcije y = f(x) na točki x 0, če za katero koli zaporedje točk iz domene definicije funkcije , ni enako x 0, in ki konvergira do točke x 0 (lim x n = x0), zaporedje ustreznih funkcijskih vrednosti konvergira k številu A.
Graf funkcije, katere meja je glede na argument, ki teži v neskončnost, enaka L:
Pomen A je limit (mejna vrednost) funkcije f(x) na točki x 0 v primeru katerega koli zaporedja točk , ki konvergira k x 0, ki pa ne vsebuje x 0 kot enega od njegovih elementov (tj. v preluknjani bližini x 0), zaporedje funkcijskih vrednosti konvergira k A.
Limit funkcije po Cauchyju.
Pomen A bo omejitev funkcije f(x) na točki x 0če za katero koli vnaprej vzeto nenegativno število ε najdeno bo ustrezno nenegativno število δ = δ(ε) tako da za vsak argument x, ki izpolnjuje pogoj 0 < | x - x0 | < δ , bo neenakost izpolnjena | f(x)A |< ε .
Zelo preprosto bo, če boste razumeli bistvo meje in osnovna pravila za njeno iskanje. Kakšna je meja funkcije f (x) pri x prizadevanje za a enako A, je zapisan takole:
Poleg tega vrednost, h kateri teži spremenljivka x, je lahko ne samo število, ampak tudi neskončnost (∞), včasih +∞ ali -∞, ali pa omejitve sploh ni.
Da bi razumeli, kako najti limite funkcije, si je najbolje ogledati primere rešitev.
Treba je najti limite funkcije f (x) = 1/x pri:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Poiščimo rešitev za prvo mejo. Če želite to narediti, lahko preprosto zamenjate xštevilo, h kateremu teži, tj. 2, dobimo:
Poiščimo drugo mejo funkcije. Tukaj namesto tega nadomestite čisto 0 x je nemogoče, saj Ne morete deliti z 0. Lahko pa vzamemo vrednosti blizu nič, na primer 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 in tako naprej ter vrednost funkcije f (x) se bo povečalo: 100; 1000; 10000; 100.000 in tako naprej. Tako je mogoče razumeti, da ko x→ 0 vrednost funkcije, ki je pod mejnim znakom, bo neomejeno naraščala, tj. stremi proti neskončnosti. Kar pomeni:
Glede tretje meje. Ista situacija kot v prejšnjem primeru je nemogoča zamenjava ∞ v najčistejši obliki. Upoštevati moramo primer neomejenega povečanja x. Zamenjamo 1000 enega za drugim; 10000; 100000 in tako naprej, imamo to vrednost funkcije f (x) = 1/x se bo zmanjšala: 0,001; 0,0001; 0,00001; in tako naprej, ki se nagiba k ničli. Zato:
Treba je izračunati limit funkcije
Ko začnemo reševati drugi primer, vidimo negotovost. Od tu najdemo najvišjo stopnjo števca in imenovalca - to je x 3, ga vzamemo iz oklepaja v števcu in imenovalcu in ga nato zmanjšamo za:
Odgovori
Prvi korak v iskanje te meje, namesto tega nadomestite vrednost 1 x, kar povzroča negotovost. Da jo rešimo, faktorizirajmo števec in to naredimo z metodo iskanja korenin kvadratne enačbe x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Torej bo števec:
Odgovori
To je definicija njene specifične vrednosti ali določenega območja, kamor spada funkcija, ki je omejena z mejo.
Če želite odpraviti omejitve, upoštevajte pravila:
Ko smo razumeli bistvo in glavno pravila za reševanje limita, boste dobili osnovno razumevanje, kako jih rešiti.