Preden rešimo problem nihanja fiksne strune, si bomo ogledali enostavnejši problem - nihanje neskončne strune. Če si predstavljate zelo dolgo struno, je jasno, da konci strune ne bodo opazno vplivali na tresljaje, ki nastanejo v njenem srednjem delu. Torej, če vzamete dolgo raztegnjeno vrv in jo rahlo zanihate na sredini, bodo valovi tekli po vrvi v levo in desno. Slika se bo začela izkrivljati šele, ko bodo valovi dosegli konce vrvi in se odbili nazaj. Posledično brez upoštevanja vpliva koncev vrvice s tem ne bomo upoštevali vpliva odbitih valov.
Ob upoštevanju prostih vibracij moramo torej rešiti homogeno enačbo
pri začetnih pogojih
kjer so vsepovsod določene funkcije številska os. Za želeno funkcijo niso naloženi nobeni robni pogoji. Tak problem se imenuje problem z začetni pogoji ali Cauchyjev problem. Metoda za njeno reševanje, ki jo bomo sedaj orisali, se imenuje d'Alembertova metoda ali metoda potujočih valov.
Najprej bomo to pokazali splošna rešitev enačba (2.1), tj. rešitev, odvisna od dveh poljubnih funkcij (glej uvod), ima obliko
kjer se predpostavlja, da so funkcije dvakrat diferenciabilne.
Dejansko z zaporedno razlikovanjem ugotovimo:
Od tod je jasno, da
da je enakost (2.1) izpolnjena.
Naša naloga je, da z uporabo začetnih pogojev (2.2) določimo neznane funkcije. Če predpostavimo (2.3) in prilagodimo izraz za v prvem od pogojev (2.2), dobimo
Če zdaj vnesemo izraz za in uporabimo drugi pogoj (2.2), pridemo do enačbe
Z integracijo te enakosti v območju od 0 do dobimo razmerje
ki jih bomo zreducirali na obliko
kjer je neka konstantna vrednost.
Iz sistema enačb (2.4) in (2.6) poiščemo zahtevane funkcije
Z zamenjavo argumenta v formulah (2.7) z ustrezno in nadomestitvijo nastalih izrazov v formulo (2.3) najdemo funkcijo
Opaziti to
Dajmo rešitvi naslednjo obliko:
Formula (2.8) se imenuje d'Alembertova rešitev Cauchyjevega problema za enačbo nihanja strune.
Bralcu prepuščamo, da samostojno preveri, ali najdena funkcija dejansko izpolnjuje tako enačbo (2.1) kot pogoje (2.2).
Da bi ugotovili fizični pomen pridobljeno rešitev, bomo najprej ločeno obravnavali funkcije, vključene v splošni izraz(2.3) za . Začnimo s funkcijo in zgradimo grafe te funkcije z naraščajočimi vrednostmi itd. (na sliki 5 se nahajajo od zgoraj navzdol).
Drugi graf bo premaknjen glede na prvega za znesek, tretji za znesek itd. Če te risbe eno za drugo projicirate na stacionarni zaslon, bo gledalec videl, da bo graf, prikazan na zgornji risbi, »tekel ” na desno. (Ta metoda upodabljanja gibanja je, mimogrede, osnova za snemanje animiranih filmov.) Še več, če se v mislih premikate v desno po vrvici z konstantna hitrost in takrat se bo odklon vrvice ves čas zdel konstanten.
Dejansko bomo imeli, ko se začnemo premikati, recimo, v točki in se premikamo v času t do točke x
Oglejmo si problem nihanja neskončne strune. Če si predstavljate zelo dolgo struno, je jasno, da konci strune ne bodo opazno vplivali na tresljaje, ki nastanejo v njenem srednjem delu. Torej, če vzamete dolgo raztegnjeno vrv in jo rahlo zanihate na sredini, bodo valovi tekli po vrvi v levo in desno.
Slika se bo začela izkrivljati šele, ko bodo valovi dosegli konce vrvi in se odbili nazaj. Posledično brez upoštevanja vpliva koncev vrvice s tem ne bomo upoštevali vpliva odbitih valov.
Tako pridemo do problema prostih nihanj neomejenega niza, ki ga formuliramo takole: rešimo homogeno linearno diferencialna enačba hiperbolični tip
pri začetnih pogojih
kjer sta funkciji in določeni na celotni številski premici. Za zahtevano funkcijo niso naloženi nobeni drugi pogoji. Tak problem imenujemo problem z začetnimi pogoji ali Cauchyjev problem. Metoda za njeno reševanje se imenuje d'Alembertova metoda ali metoda potujočega vala.
Enačba značilnosti 
razdeli na dvoje:
Značilnosti so neposredne:
Z uvedbo novih spremenljivk dobimo kanoničnega pogleda vibracijske enačbe:
Z integracijo te enačbe čez , dobimo:
Z integracijo zadnje enačbe (za fiksno vrednost) bomo imeli:
Prejeto splošni integral Zapišemo, zamenjamo in:
Ob upoštevanju začetnih pogojev (4.19) dobimo:
Z integracijo enačbe (4.22) dobimo:
. (4.23)
Če rešimo enačbo (4.23) skupaj z enačbo (4.21), bomo imeli:
, (4.24)
. (4.25)
Glede na to, da sta funkciji in definirani za poljuben argument, zamenjamo x v enačbi (4.24) z in v enačbi (4.25) z .
Če nadomestimo dobljene izraze v enačbo (4.20), dobimo:
. (4.26)
Izraz (4.26) imenujemo d'Alembertova formula ali d'Alembertova rešitev Cauchyjevega problema za enačbo nihanja neomejenega struna. Prikazuje tudi obstoj in edinstvenost rešitve tega problema.
Ugotovimo fizični pomen dobljene rešitve. Razmislimo o dveh posebnih primerih.
Naj bodo začetne hitrosti točk strune enake nič in struna vibrira kot posledica začetnega odklona. V tem primeru moramo v formuli (4.26) dati . Potem
. (4.27)
Nihanje lahko obravnavamo kot superpozicijo (superpozicijo) nihanj dveh valov:
· prvi val se širi s hitrostjo a v desno (ravni val);
· drugi val se širi z enako hitrostjo v levo (obraten val).
IN začetni trenutekčas t= 0, profila obeh valov sovpadata in ponavljata začetni odklon strune s polovično amplitudo.
Naj bo začetni premik , in različen od nič v intervalu in zunaj tega intervala. V tem primeru pravijo, da ima struna le začetni impulz (impulzni val). Potem ima rešitev v skladu z (4.26) obliko:
. (4.28)
Upoštevajte funkcijo
. (4.29)
Z izrazom (4.29) zapišemo enačbo (4.28) v obliki:
To pomeni, da se vzdolž vrvice širita dva impulzna vala: naprej in nazaj, nastali val pa je vsota (superpozicija) teh valov.
Sklep: delovanje impulza je, da se točke vrvice sčasoma premaknejo za segment, ki ga določa integral (4.28), in ostanejo v tem položaju. Zdi se, da val po svojem prehodu pusti sled.
Dobljenih rezultatov za nihanje neskončnega niza ni mogoče uporabiti za realna nihanja fizični niz. Pri njihovi izpeljavi namreč niso bili upoštevani številni dejavniki. Zlasti izkušnja nas uči, da struna katere koli dolžine, ki jo spravimo iz ravnotežja ali udarimo, zavibrira. Zakoni nihanja neskončne strune (4.27) in (4.28) tega ne pokažejo, ker nihanje končne strune nastane zaradi odboja odstopanj od fiksnih koncev strune, pri obravnavanju neskončne strune pa ne upoštevajte vpliva koncev. Zato so v praksi rešitve enačb (4.27) in (4.28) uporabne samo za take trenutke t, za katere odstopanja točk vrvice niso imela časa doseči svojih koncev. Poleg tega začetne funkcije in mora biti taka, da gre med celotnim procesom za majhno vrednost, ki jo je mogoče zanemariti v primerjavi z enoto.
Razmislimo o dveh posebnih primerih, ki dajeta predstavo o obnašanju rešitve enačbe, primer 1. Naj ima graf funkcije obliko, prikazano na sl. Za. Zaradi poenostavitve predpostavimo, da je a = 1. Potem bo d'Alembertova formula prevzela obliko iz grafa y>o(x) - s prepolovitvijo vsake ordinate (črtkana črta na zgornji sliki). premaknite enega od teh grafov kot celoto za t v desno v smeri pozitivne pol-osi Ox> in drugega - za t v levo nov urnik, katerega ordinata za vsako vrednost x je enaka vsoti ordinat obeh premaknjenih grafov. Na sl. 3 b, 3 c in 3 d so bili s to metodo izdelani grafi rx (x, j), u (x, j) oziroma (x, 1). Vidimo, da pri izbranih začetnih pogojih v vsaki točki strune po prehodu obeh valov (za točke, ki ležijo izven območja začetnega premika, po prehodu samo enega) nastopi mirovanje. SyauchaL 2. Naj Pravilnost postavitve problema Primer Hadamarda napačno zastavljenega problema Prosta nihanja homogene strune, pritrjene na koncih Študija d'Alembertove formule V tem primeru pravijo, da ima struna le začetni impulz. Rešitev (8) ima obliko (zaradi poenostavitve privzamemo a=1): Za vsak fiksen x bo rešitev u(xyt) enaka nič do presečišča intervala (x-t, x +1) z intervalom ( -5 "?)", kjer je MO7*0, prazno; u(x,0 se bo spreminjal v času, dokler naraščajoči interval (x-t, x 4-1) ne pokrije vseh večina interval (-5, 3). Ko interval (x-t, x + t) zajame interval (-5, 3), bo vrednost u(r,0) ostala nespremenjena in enaka. Da bi dobili graf, ki predstavlja obliko niza pri različnih t, nadaljujemo kot sledi. Označimo skozi F(g) nekaj antiderivativna funkcija za 4>\(z). Nato, da zgradimo graf u(x, t), narišemo grafe funkcij in nato vsakega od teh grafov kot celoto premaknemo za razdaljo £ vzdolž ax in Ox, prvi graf v levo, drugi na desno. S seštevanjem ordinat zamaknjenih grafov dobimo graf funkcije ti(x, t) (slika 5).času se bo vsaka točka vrvice premaknila in prejela stacionarno odstopanje "st", ki ga določa integral (9). V tem primeru imamo torej preostalo deformacijo (histerezo). § 3. Pravilnost navedbe problema. Hadamardov primer napačno zastavljenega problema V povezavi s preučevanjem fizikalno določenih pojavov je uveden pojem pravilnosti problema. Opredelitev. Pravijo, da je matematični problem zastavljen pravilno, če 1) rešitev problema obstaja v nekem razredu M\ funkcij; 2) rešitev problema je edinstvena v določenem razredu funkcij M2; 3) rešitev problema je stalno odvisna od podatkov problema (začetni in robni pogoji, koeficienti enačbe itd.). Nastavite M| Funkcije P M2 se imenujejo razred pravilnosti obravnavanega matematičnega problema. V teoriji navadnih diferencialnih enačb je dokazano, da je Cauchyjev problem zastavljen pravilno, če je funkcija /(x, y) zvezna v nizu argumentov in ima omejen odvod v neki domeni, ki vsebuje točko. Razmislite o Cauchyjevem problemu za neomejen niz Zgoraj smo ugotovili, da rešitev problema ( 1)-(2) 1) obstaja in 2) je edinstvena. Pokažimo, da se z zveznim spreminjanjem začetnih pogojev ta rešitev zvezno spreminja. Izrek 1. Ne glede na segment )
