Simetrija v prostoru je lepo, harmonično in uravnoteženo sorazmerno razmerje delov ali elementov različnih oblik predmetov, organizmov ali predmetov. V prostoru okoli nas lahko opazimo veliko neživih predmetov simetrične oblike. Živi organizmi, tako preprosti kot zelo zapleteni, imajo v svoji strukturi tudi elemente simetrije.
Prizadevanje za odličnost
Simetrično obliko lahko poistovetimo s popolnostjo in harmonijo. Ni zaman, da so besede, kot sta "simetrija" in "popolnost", sopomenke v jezikih mnogih ljudstev.
Simetrijo v prostoru najdemo povsod. Raznolikost oblik rastlin in živih organizmov preseneča s svojo sorazmernostjo, doslednostjo in ergonomsko obliko. Tukaj je vse premišljeno do najmanjših podrobnosti: neverjetna lepota, eleganca razmerij in nič odveč. Vse je poskrbljeno za najboljšo funkcionalnost življenja.
Centralna simetrija
V prostoru sveta okoli nas je v strukturi kristalov jasno vidna neživa narava. Ta vrsta simetrije je jasno vidna v strukturi snežink, ki so ledeni kristali. Njihove oblike so presenetljivo raznolike. Toda vsi so središčno simetrični.
Primer centralne ali radialne simetrije so cvetovi rastlin: sončnica, kamilica, iris, astra. Ta vrsta simetrije se imenuje tudi rotacijska. Če cvetne liste rože ali žarke snežinke zasukamo glede na sredino, se bodo med seboj prekrivali.
Zrcalna simetrija
Zrcalno simetrijo v prostoru naravnega sveta okoli nas opazimo pri rastlinah in živalih. hrast ali praprot, hrošč ali metulj, pajek ali gosenica, miš ali zajec - to je le nekaj primerov, kjer lahko vidite bilateralno ali zrcalno simetrijo v živih organizmih. Oseba, pa tudi deli telesa: roke, noge, so simetrični. Pri teh oblikah opazimo nekakšen zrcalni odsev ene polovice predmeta od druge. Če predmet postavite v ravnino, se lahko njegova slika miselno upogne na sredino in ena polovica se bo prekrivala z drugo.
Hipoteza o nastanku simetrije
V znanstvenem svetu obstaja več hipotez, ki poskušajo razložiti, kako je nastala simetrija v prostoru našega sveta. Po eni od njih je vse, kar raste navzgor ali navzdol, podvrženo zakonu, in vse, kar je oblikovano vzporedno z zemeljsko površino ali nagnjeno k njej, dobi zrcalno simetrično obliko. Te lastnosti poskušajo razložiti z gravitacijo iz središča planeta in različnimi stopnjami osvetlitve predmetov s sončno svetlobo, odvisno od njihove lokacije.
Simetrija v znanosti in umetnosti
Simetrijo v prostoru so že v antiki cenili umetniki, kiparji in arhitekti. Elemente simetrije vidimo v starodavnih skalnih poslikavah, v okrasnih dekoracijah starodavnih predmetov in orožja. Egipčanske in majevske piramide, kupole slovanskih katedral, grški templji in palače, starodavni oboki in amfiteatri, pročelje Bele hiše in moskovskega Kremlja so le nekateri primeri želje po vzvišeni lepoti in resnični popolnosti.
Koncepte simetrije so resno razvili matematiki. Izvedene matematične študije so omogočile identifikacijo glavnih vzorcev simetrije na ravnini in v prostoru. Tudi fizika in kemija nista prezrli tega zanimivega naravnega vzorca. Akademik V. I. Vernadsky je verjel, da "simetrija ... zajema lastnosti vseh področij, s katerimi se ukvarjata fizik in kemik." Zaradi simetrične zgradbe atomov molekule vstopajo v različne reakcije in določajo fizikalne lastnosti nastajanja kristalov. Tudi če fizikalni zakoni, ki določajo fizikalne količine, ostanejo nespremenjeni pri različnih transformacijah, lahko rečemo, da imajo ti zakoni invariantnost ali simetrijo glede na te transformacije.
§ 1 Kaj je simetrija
Citat iz te lekcije bo izjava slavnega znanstvenika, ustvarjalca kibernetike Norberta Wienerja, ki zelo natančno izraža vse, o čemer bomo danes razpravljali.
"Najvišji namen matematike je najti lepoto, harmonijo in red v kaosu, ki nas obdaja."
Simetrija je eden od zakonov, ki zagotavlja harmonijo vesolja, danes se bomo pogovarjali o tem in razširili pojme, ki smo jih uvedli pri pouku planimetrije.
V vsakdanjem jeziku se beseda simetrija uporablja v dveh pomenih. V nekem smislu simetrično pomeni nekaj, kar je dobro proporcionalno, uravnoteženo, simetrija pa označuje takšno skladnost posameznih delov, ki jih združuje v enotno celoto. Lepota je tesno povezana s simetrijo. O tem na primer v svoji knjigi o proporcih govori Poliklet, kipar, čigar skulpture so starodavni občudovali zaradi harmonične dovršenosti. Podoba lusk je naravna povezava, ki vodi do drugega pomena besede simetrija, ki se uporablja v našem času: zrcalna simetrija - simetrija leve in desne, tako opazna v strukturi teles višjih živali in ljudi.
Zrcalna simetrija deluje kot poseben primer geometrijskega koncepta simetrije, ki se nanaša na operacije, kot sta odboj ali rotacija.
Pitagorejci so za najpopolnejše geometrijske like na ravnini smatrali krog, v prostoru pa kroglo zaradi njihove popolne rotacijske simetrije.
Simetrija, v širšem ali ožjem pomenu, je ideja, s katero človek že stoletja poskuša dojeti in ustvariti red, lepoto in popolnost. Tako lastnosti prostora in časa vodijo k simetriji, k pravilnosti v naravi kot manifestaciji njene harmonije.
§ 2 Simetrija glede na točko
Pri planimetriji smo obravnavali like, ki so simetrični glede na točko in glede na premico. V stereometriji se upošteva simetrija glede na točko, premico in ravnino.
Točki A in A1 se imenujeta simetrični glede na točko O (središče simetrije), če je O sredina segmenta AA1. Točka O velja za simetrično sama sebi. Primer centralne simetrije bi bila roža ali vzorec
§ 3 Simetrija glede na premico
Točki A in A1 se imenujeta simetrični glede na ravno črto a (simetrijsko os), če premica a poteka skozi sredino segmenta AA1 in je pravokotna na ta segment. Vsaka točka premice a velja za simetrično sama sebi.
Primer takšne simetrije ne vidimo samo v lepih metuljih, ampak celo v celih zgradbah, kot je npr.
stavba Moskovske državne univerze poimenovana po. Lomonosov,
Katedrala Kristusa Odrešenika,
mavzolej-mošeja Taj Mahal.
§ 4 Simetrija glede na ravnino
V prostorski geometriji dodajmo simetrijo glede na ravnino.
Točki A in A1 se imenujeta simetrični glede na ravnino α (ravnina simetrije), če ravnina α poteka skozi sredino segmenta AA1 in je pravokotna na ta segment. Vsaka točka ravnine α velja za simetrično sama sebi.
Pri proučevanju stereometrije lahko govorimo tudi o središču, osi in ravnini simetrije figure.
Točka (premica, ravnina) se imenuje središče (osi, ravnina) simetrije figure, če je vsaka točka figure glede na to simetrična na neko točko iste figure. Če ima lik središče (os, simetrično ravnino), potem pravimo, da ima središčno (osno, zrcalno) simetrijo.
Na slikah lahko zdaj vidite pravokotni paralelepiped, pa tudi njegovo simetrično središče, simetrijsko os, simetrijsko ravnino.
Paralelepiped, ki ni pravokoten, ampak je ravna prizma, ima ravnino (ali ravnine, če je osnova romb), os in simetrično središče.
§ 5 Asimetrija
Lik ima lahko eno ali več simetrijskih središč (osi, simetrijske ravnine). Na primer, kocka ima samo eno simetrijsko središče in več simetrijskih osi in ravnin. Obstajajo figure, ki imajo neskončno veliko središč, osi ali ravnin simetrije. Najenostavnejši od teh likov sta premica in ravnina. Nasprotno pa obstajajo figure, ki nimajo središč, osi ali ravnin simetrije. V tem primeru govorimo o drugem matematičnem pojmu asimetrija, kar pomeni odsotnost simetrije. Danes poskušajo biologi in psihologi, kemiki in zdravniki sodelovati pri reševanju skrivnosti simetrije in razvozlati skrivnosti levice in desnice. Vsak dan se pogledamo v ogledalo, le redko pomislimo na to, da se v odsevu desna roka spremeni v levo. Zakaj je narava ustvarila in podvojila nekatere funkcije hemisfer, rok, nog, oči, ljudje pa imamo samo ena usta? Presenetljivo je, da smo kljub vsej naši simetriji asimetrični. Sodobne računalniške tehnologije omogočajo, da vidimo, kakšen bi bil človek le z leve polovice obraza ali z desne. Rezultat osupne večino tistih, ki vidijo nastale portrete. Posamezniki z desno in levo hemisfero se med seboj razlikujejo. Poglejte okoli sebe, morda boste videli simetrijo in asimetrijo okoli sebe in jo občudovali.
- Geometrija. 10. – 11. razred: učbenik za splošno izobraževanje. ustanove: osnovne in profilne. stopnje / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomcev in drugi]. – 22. izd. – M.: Izobraževanje, 2013. – 255 str. : ill. – (MSU - v šoli)
- Izobraževalni in metodološki priročnik za pomoč šolskim učiteljem Sestavil Yarovenko V.A. Razvoj lekcij v geometriji za izobraževalni sklop L. S. Atanasyan et al. (M.: Prosveshcheniye) 10. razred
- Rabinovich E. M. Naloge in vaje na že pripravljenih risbah. 10 – 11 razred. Geometrija. – M.: Ilexa, 2006. – 80 s.
- M. Ya Vygodsky Priročnik za osnovno matematiko M.: AST Astrel, 2006. - 509 str.
- Avanta+. Enciklopedija za otroke. Zvezek 11. Matematika 2. izdaja, revidirana. - M.: Svet enciklopedij Avanta+: Astrel 2007. - 621 str. Ed. odbor: M. Aksenova, V. Volodin, M. Samsonov
V tej lekciji bomo opisali vrste simetrije v prostoru in se seznanili s konceptom pravilnega poliedra.
Kot v planimetriji bomo tudi v prostoru upoštevali simetrijo glede na točko in glede na premico, poleg tega pa se bo pojavila simetrija glede na ravnino.
Opredelitev.
Točke A se imenujejo simetrične glede na točko O (središče simetrije), če je O sredina segmenta. Točka O je simetrična sama sebi.
Da bi dobili točko, ki je simetrična glede na točko O za dano točko A, morate skozi točki A in O narisati ravno črto, iz točke O narisati odsek, ki je enak OA, in dobiti želeno točko (slika 1 ).
riž. 1. Simetrija glede na točko
Podobno so točke B simetrične glede na točko O, saj je O sredina odseka.
Tako je podan zakon, po katerem gre vsaka točka ravnine v drugo točko ravnine, in rekli smo, da se v tem primeru ohranijo morebitne razdalje, tj.
Razmislimo o simetriji ravne črte v prostoru.
Da bi dobili simetrično točko za dano točko A glede na neko ravno črto a, morate spustiti navpičnico iz točke A na ravno črto in na njej narisati enak segment (slika 2).
riž. 2. Simetrija glede na premico v prostoru
Opredelitev.
Točke A in se imenujejo simetrične glede na premico a (simetrijsko os), če premica a poteka skozi sredino odseka in je pravokotna nanjo. Vsaka točka na premici je sama sebi simetrična.
Opredelitev.
Točke A se imenujejo simetrične glede na ravnino (ravnina simetrije), če ravnina poteka skozi sredino segmenta in je pravokotna nanjo. Vsaka točka ravnine je sama sebi simetrična (slika 3).
riž. 3. Simetrija glede na ravnino
Nekatere geometrijske figure imajo lahko simetrijsko središče, simetrijsko os ali simetrijsko ravnino.
Opredelitev.
Točko O imenujemo središče simetrije figure, če je vsaka točka figure simetrična glede na točko neke točke iste figure.
Na primer, v paralelogramu in paralelopipedu je točka presečišča vseh diagonal središče simetrije. Ilustrirajmo za paralelepiped.
riž. 4. Središče simetrije paralelepipeda
Torej, s simetrijo glede na točko O v paralelepipedu 
točka A preide v točko, točka B v točko itd., torej paralelepiped preide vase.
Opredelitev.
Ravna črta se imenuje simetrijska os figure, če je vsaka točka figure simetrična glede na to na neko točko iste figure.
Na primer, vsaka diagonala romba je zanj simetrična os; romb se spremeni vase, ko je simetričen glede na katero koli od diagonal.
Razmislimo o primeru v prostoru - pravokotnem paralelepipedu (stranski robovi so pravokotni na osnove, na osnovah pa so enaki pravokotniki). Tak paralelepiped ima simetrijske osi. Eden od njih poteka skozi središče simetrije paralelepipeda (točka presečišča diagonal) ter središča zgornje in spodnje baze.
Opredelitev.
Ravnina se imenuje simetrijska ravnina lika, če je vsaka točka lika simetrična glede na to do neke točke istega lika.
Na primer, pravokotni paralelepiped ima simetrijske ravnine. Eden od njih poteka skozi sredine nasprotnih reber zgornje in spodnje baze (slika 5).
riž. 5. Simetrijska ravnina pravokotnega paralelopipeda
Elementi simetrije so lastni pravilnim poliedrom.
Opredelitev.
Konveksni polieder se imenuje pravilen, če so vse njegove ploskve enaki pravilni mnogokotniki in v vsakem oglišču konvergira enako število robov.
Izrek.
Ne obstaja pravilni polieder, katerega ploskve so pravilni n-kotniki za .
Dokaz:
Razmislimo o primeru, ko je pravilni šesterokotnik. Vsi njegovi notranji koti so enaki:
Potem bodo notranji koti večji.
V vsakem oglišču poliedra se stekajo vsaj trije robovi, kar pomeni, da ima vsako oglišče vsaj tri ravninske kote. Njihova skupna vsota (pod pogojem, da je vsaka večja ali enaka ) je večja ali enaka . To je v nasprotju s trditvijo: v konveksnem poliedru je vsota vseh ravninskih kotov pri vsakem oglišču manjša.
Izrek je dokazan.
Kocka (slika 6):
riž. 6. Kocka
Kocka je sestavljena iz šestih kvadratov; kvadrat je pravilni mnogokotnik;
Vsako oglišče je oglišče treh kvadratov, na primer oglišče A je skupno ploskvam kvadrata ABCD, 
;
Vsota vseh ravninskih kotov pri vsakem oglišču je , saj je sestavljeno iz treh pravih kotov. To je manj od tistega, kar zadovoljuje koncept pravilnega poliedra;
Kocka ima središče simetrije - točko presečišča diagonal;
Kocka ima simetrijske osi, na primer ravni črti a in b (slika 6), kjer premica a poteka skozi središča nasprotnih ploskev, b pa skozi središča nasprotnih robov;
Kocka ima simetrijske ravnine, na primer ravnino, ki poteka skozi premici a in b.
2. Pravilni tetraeder (pravilna trikotna piramida, katere vsi robovi so enaki drug drugemu):
riž. 7. Pravilni tetraeder
Pravilni tetraeder je sestavljen iz štirih enakostraničnih trikotnikov;
Vsota vseh ravninskih kotov na vsakem vertexu je , saj je pravilni tetraeder sestavljen iz treh ravninskih kotov vzdolž . To je manj od tistega, kar zadovoljuje koncept pravilnega poliedra;
Pravilni tetraeder ima simetrične osi, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov, na primer premica MN. Poleg tega je MN razdalja med križajočima se ravnima AB in CD, MN je pravokotna na robova AB in CD;
Pravilni tetraeder ima simetrijske ravnine, od katerih vsaka poteka skozi rob in sredino nasprotnega roba (slika 7);
Pravilni tetraeder nima središča simetrije.
3. Pravilni oktaeder:
Sestavljen je iz osmih enakostraničnih trikotnikov;
Štirje robovi se stekajo na vsakem oglišču;
Vsota vseh ravninskih kotov na vsakem vertexu je , saj je pravilni oktaeder sestavljen iz štirih ravninskih kotov vzdolž . To je manj kot , kar zadošča konceptu pravilnega poliedra.
4. Pravilni ikozaeder:
Sestavljen je iz dvajsetih enakostraničnih trikotnikov;
Pet robov konvergira na vsakem oglišču;
Vsota vseh ravninskih kotov pri vsakem oglišču je , saj je pravilni ikozaeder sestavljen iz petih ravninskih kotov vzdolž . To je manj kot , kar zadošča konceptu pravilnega poliedra.
5. Pravilni dodekaeder:
Sestavljen je iz dvanajstih pravilnih petkotnikov;
Trije robovi konvergirajo na vsaki točki;
Vsota vseh ravninskih kotov pri vsakem oglišču je 
. To je manj kot , kar zadošča konceptu pravilnega poliedra.
Tako smo preučili vrste simetrije v prostoru in podali stroge definicije. Opredelili smo tudi pojem pravilnega poliedra, si ogledali primere takih poliedrov in njihove lastnosti.
Reference
- I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometrija. Razredi 10-11: učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov (osnovna in specializirana raven) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izd., rev. in dodatno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
- Sharygin I. F. Geometrija. Razredi 10-11: Učbenik za splošne izobraževalne ustanove / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str .: ilustr.
- E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometrija. 10. razred: Učbenik za splošnoizobraževalne ustanove s poglobljenim in specializiranim študijem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 str .: ilustr.
- Matemonline.com ().
- Fmclass.ru ().
- 5klass.net ().
domača naloga
- Navedite število simetrijskih osi pravokotnega paralelopipeda;
- označite število simetrijskih osi pravilne peterokotne prizme;
- navedite število simetrijskih ravnin oktaedra;
- zgraditi piramido, ki ima vse elemente simetrije.
Cilji lekcije:
Učence seznani s konceptom simetrije v prostoru.
Razmislite o konceptu simetrije z uporabo pomembnih povezav iz matematike, fizike, kemije in biologije.
Razmislite o naslednjih vrstah simetrije: centralna, aksialna, zrcalna, rotacijska, vijačna.
Povečati motivacijo učencev za učenje matematike.
Izobraževalni:
1. Spodbujanje razvoja kognitivne dejavnosti.
2. Spodbujanje razvoja domišljije.
3. Spodbujati razvoj komunikacijskih veščin in sposobnosti timskega dela.
Izobraževalni:
Spodbujati razvoj estetskega dojemanja učencev.
Pomagajte študentom razširiti obzorja.
Vrsta lekcije: učenje nove snovi.
2 tedna pred to lekcijo naj učitelj razdeli razred v ekipe. Vsaka ekipa pripravi sporočilo na eno od naslednjih tem: »Simetrija«, »Simetrija pri rastlinah«, »Simetrija pri živalih«, »Simetrija pri ljudeh«, »Simetrija v kemiji«. Pri razdelitvi v ekipe se upošteva zanimanje učencev za določene predmete. Interes določi učitelj na podlagi osebnih opažanj in pogovorov z učenci.
Vsaka ekipa prejme okvirni načrt, po katerem je potrebno pripraviti sporočilo na predlagano temo. Zajeti je treba tiste točke, ki so navedene v načrtu.
Na primer, ekipa, ki pripravlja zgodbo o simetriji v rastlinah, dobi naslednji oris:
1) navpična simetrija;
rotacijska simetrija;
vijačna simetrija.
V prvem tednu priprav dijaki sami iščejo potrebno literaturo in izbirajo gradivo. Posledično bi moral imeti vsak član ekipe opombo. Če ima ekipa težave pri iskanju gradiva, učitelj študentom ponudi seznam literature. Poleg tega učitelj nudi svetovanje tistim ekipam, ki se ne morejo same pripraviti na lekcijo.
Študente lahko prosite, da si razdelijo odgovornosti znotraj skupine. Nato bodo nekateri učenci odgovorni za iskanje in izbiro gradiva, nekateri bodo odgovorni za izdelavo (iskanje) vizualnih pripomočkov, nekateri bodo odgovorni za predstavitev snovi v razredu, nekateri bodo odgovorni za razvoj in izdelavo predstavitve. Vendar morajo vsi učenci poznati gradivo, s katerim dela njihova ekipa, in imeti zapiske. Po nastopu vsake ekipe lahko učitelj vsakemu članu ekipe postavi kratko vprašanje o predstavljeni snovi.
Ekipe nastopajo izmenično. Med predstavitvijo ekipe vsi ostali učenci poslušajo in izpolnijo naslednjo tabelo:
Napredek lekcije:
1. Ustvarjanje izobraževalne dominante:
Učencem ponudimo naslednjo nalogo: prazne dele slik zapolnimo s številkami in oblikami, pri čemer upoštevamo vrsto simetrije.
2. Uvodna beseda učitelja:
Med neskončno raznolikostjo oblik žive in nežive narave najdemo v izobilju tako popolne primerke, katerih videz vedno pritegne našo pozornost. Takšni vzorci vključujejo nekaj kristalov in mikrobov, veliko živali in rastlin. Nenehno občudujemo lepoto vsake posamezne rože, molja ali školjke in se vedno znova trudimo prodreti v skrivnost lepote. Preseneti nas arhitektura satja, razporeditev semen na klobuku sončnice in vijačna razporeditev listov na steblu rastline.
Pozorno opazovanje razkrije, da je osnova lepote številnih oblik, ki jih je ustvarila narava, simetrija, oziroma vse njene vrste - od najpreprostejših do najbolj zapletenih.
Simetrija (iz grške symmetria - "sorazmernost") - sorazmernost, popolna skladnost v razporeditvi delov celote glede na srednjo črto, sredino; stroga pravilnost pri razporeditvi ali postavitvi česa.
3. Vsaka ekipa naredi svoje poročilo.
4. Končne besede učitelja:
Po pravični pripombi G. Weyla leži matematika pri izvoru simetrije. Hkrati simetrijo dojemamo kot element lepote nasploh in še posebej lepote narave. Danes smo si simetrijo ogledali z vidika matematike, biologije, fizike in kemije. Poleg tega se simetrija pogosto uporablja v umetnosti, zlasti v arhitekturi.
5. Domača naloga: poiščite in naredite kopije (fotokopije, fotografije itd.) Slik, ki razkrivajo temo »Simetrija v arhitekturi našega mesta«. (Iz prispelih del bo možno organizirati razstavo).
6. Sedaj bo vsak od vas napisal kratek syncwine (prazen verz), posvečen temi naše lekcije. Pravila za pisanje sinkvine: v prvi vrstici je zapisana tema (samostalnik), v drugi vrstici: opis teme z dvema pridevnikoma, v tretji vrstici: opis dejanj (trije glagoli), v četrti vrstici : fraza iz 4 besed, ki izraža odnos do teme, peta vrstica: beseda, ki razkriva bistvo teme, zapisane v prvi vrstici.
Prednosti: tabele in vizualni pripomočki za biologijo, kemijo, fiziko; Power Point predstavitve.
