Okoli krogle opisani poliedri. Polieder je opisan okrog krogle, če se ravnine vseh njegovih ploskev dotikajo krogle. Sama krogla naj bi bila vpisana v polieder. Izrek. Krogla je lahko včrtana v prizmo, če in samo če je mogoče v njeno osnovo včrtati krog, višina prizme pa je enaka premeru tega kroga. Izrek. Kroglo lahko vstavite v katero koli trikotno piramido in samo eno.
1. naloga Izbrišite kvadrat in narišite dva paralelograma, ki predstavljata zgornjo in spodnjo ploskev kocke. Poveži njihova oglišča z odseki. Pridobite sliko krogle, včrtane v kocko. Nariši kroglo, včrtano v kocko, kot na prejšnjem diapozitivu. Če želite to narediti, narišite elipso, vpisano v paralelogram, ki ga dobite s stiskanjem kroga in kvadrata 4-krat. Označi poli krogle ter tangentni točki elipse in paralelograma.
1. naloga V pravilno štirikotno prizmo je včrtana krogla, katere osnova je romb s stranico 1 in ostrim kotom 60 stopinj. Poiščite polmer krogle in višino prizme. rešitev. Polmer krogle je enak polovici višine osnove DG, tj. Višina prizme je enaka premeru krogle, tj.
4. naloga V pravilno štirikotno prizmo je včrtana krogla, katere osnova je štirikotnik, obseg 4 in ploščina 2. Poiščite polmer r včrtane krogle. rešitev. Upoštevajte, da je polmer krogle enak polmeru kroga, včrtanega na dnu prizme. Izkoristimo dejstvo, da je polmer kroga, vpisanega v mnogokotnik, enak površini tega mnogokotnika, deljeni z njegovim polobodom. dobimo,
3. naloga Poiščite polmer krogle, včrtane v pravilno trikotno piramido, katere stranica osnovke je 2, diedrski koti na osnovki pa 60°. rešitev. Izkoristimo dejstvo, da je središče včrtane krogle presečišče simetral ravnin diedrskih kotov na dnu piramide. Za polmer krogle OE velja enakost: Zato
4. naloga Poiščite polmer krogle, včrtane v pravilno trikotno piramido, katere stranski robovi so enaki 1, ravninski koti pri vrhu pa 90°. Odgovor: Rešitev. V tetraedru SABC imamo: SD = DE = SE = Iz podobnosti trikotnikov SOF in SDE dobimo enačbo, ki jo rešimo.
1. naloga Poiščite polmer krogle, včrtane v pravilno štirikotno piramido, katere vsi robovi so enaki 1. Uporabimo dejstvo, da za polmer r kroga, včrtanega trikotniku, velja formula: r = S/ p, kjer je S ploščina, p je polobseg trikotnika. V našem primeru je S = p = rešitev. Polmer krogle je enak polmeru kroga, včrtanega v trikotnik SEF, v katerem je SE = SF = EF=1, SG = Torej,
2. naloga Poiščite polmer krogle, včrtane v pravilno štirikotno piramido, katere osnovna stranica je 1, stranski rob pa 2. Uporabimo dejstvo, da za polmer r kroga, včrtanega v trikotnik, velja formula velja: r = S/p, kjer je S – ploščina, p – polobseg trikotnika. V našem primeru je S = p = rešitev. Polmer krogle je enak polmeru kroga, včrtanega v trikotnik SEF, v katerem je SE = SF = EF=1, SG = Torej,
3. naloga Poiščite polmer krogle, včrtane v pravilno štirikotno piramido, katere stranica je 2, diedrski koti pri dnu pa so 60°. rešitev. Izkoristimo dejstvo, da je središče včrtane krogle presečišče simetral ravnin diedrskih kotov na dnu piramide. Za polmer krogle OG velja enakost:
Naloga 4 V pravilno štirikotno piramido je včrtana enotska krogla, stranica dna je 4. Poiščite višino piramide. Uporabimo dejstvo, da za polmer r kroga, včrtanega v trikotnik, velja formula: r = S/p, kjer je S ploščina, p polobseg trikotnika. V našem primeru je S = 2h, p = rešitev. Označimo višino SG piramide s h. Polmer krogle je enak polmeru kroga, včrtanega trikotniku SEF, v katerem je SE = SF = EF=4. Posledično imamo enakost, iz katere najdemo
1. naloga Poiščite polmer krogle, včrtane v pravilno šesterokotno piramido, katere osnovni robovi so enaki 1, stranski robovi pa 2. Uporabimo dejstvo, da je za polmer r kroga, včrtanega v trikotnik, velja formula: r = S/p, kjer je S – ploščina, p – polobseg trikotnika. V našem primeru je S = p = torej rešitev. Polmer krogle je enak polmeru kroga, včrtanega trikotniku SPQ, v katerem je SP = SQ = PQ= SH =
2. naloga Poiščite polmer krogle, včrtane v pravilno šesterokotno piramido, katere osnovni robovi so enaki 1 in diedrski koti pri dnu enaki 60°. rešitev. Izkoristimo dejstvo, da je središče včrtane krogle presečišče simetral ravnin diedrskih kotov na dnu piramide. Za polmer krogle OH velja enakost: Torej
Vaja Poiščite polmer krogle, včrtane enotskemu oktaedru. Odgovor: Rešitev. Polmer krogle je enak polmeru kroga, včrtanega v romb SESF, v katerem je SE = SF = EF=1, SO = Potem bo višina romba, spuščena iz oglišča E, enaka zahtevani polmer je enak polovici višine in je enak O
Vaja Poiščite polmer krogle, včrtane enotskemu ikozaedru. rešitev. Uporabimo dejstvo, da je polmer OA opisane krogle enak in je polmer AQ okoli enakostraničnega trikotnika s stranico 1 enak Z uporabo Pitagorovega izreka, ki se uporablja za pravokotni trikotnik OAQ, dobimo Vaja Najdi. polmer krogle, včrtane enoti dodekaeder. rešitev. Izkoristimo dejstvo, da je polmer opisane krogle enak in polmer kroga, opisanega okoli enakostraničnega peterokotnika s stranico 1, je enak Po Pitagorovem izreku, ki se uporablja za pravokotni trikotnik OFQ, dobimo
1. naloga Ali je mogoče kroglo vstaviti v prisekan tetraeder? rešitev. Upoštevajte, da mora središče O krogle, včrtane v prisekan tetraeder, sovpadati s središčem krogle, včrtane v tetraeder, ki sovpada s središčem krogle, napol včrtane v prisekan tetraeder. Razdalje d 1, d 2 od točke O do šesterokotnih in trikotnih ploskev izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka: kjer je R polmer polvčrtane krogle, r 1, r 2 polmera krogov, včrtanih šesterokotniku in trikotniku, oz. Ker je r 1 > r 2, potem je d 1 r 2, potem je d 1 
“Sfera politike” - Razmerja družbenih akterjev glede državne oblasti. Znanstveni in teoretični. Proces interakcije med politiko in ekonomijo. Skupaj z državo. Urejanje družbenih odnosov je pogojeno z družbenimi interesi. Proces interakcije med politiko in moralo. Moč države, prepričevanje, stimulacija.
“Geometrija prizme” - dana je pravilna štirikotna prizma ABCDA1B1C1D1. Evklid je verjetno menil, da gre za praktične napotke o geometriji. Ravna prizma je prizma, katere stranski rob je pravokoten na osnovo. Prizma v geometriji. Glede na lastnost 2 zvezkov je V=V1+V2, to je V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Torej sta trikotnika A1B1C1 in ABC enaka na treh stranicah.
"Prostornina prizme" - Kako najti prostornino ravne prizme? Prostornina prvotne prizme je enaka produktu S · h. Osnovni koraki pri dokazovanju izreka o direktni prizmi? Območje S baze originalne prizme. Risanje višine trikotnika ABC. Naloga. Ravna prizma. Cilji lekcije. Koncept prizme. Prostornina ravne prizme. Reševanje problema. Prizmo lahko razdelimo na ravne trikotne prizme z višino h.
"Površina krogle" - Mars. Je žoga žoga? Žoga in krogla. Zemlja. Enciklopedija. Podpiramo našo šolsko baseball ekipo. Venera. Uran. Je na sliki žoga? Malo zgodovine. Vzdušje. Odločil sem se malo raziskati..... Saturn. Ste pripravljeni odgovoriti na vprašanja?
Tema "Različne težave o poliedrih, valju, stožcu in krogli" je ena najtežjih pri predmetu geometrije v 11. razredu. Pred reševanjem geometrijskih problemov običajno preučijo ustrezne dele teorije, na katere se sklicujejo pri reševanju problemov. V učbeniku S. Atanasyana in drugih na to temo (str. 138) lahko najdemo samo definicije poliedra, opisanega okrog krogle, poliedra, včrtanega krogli, krogle, včrtane poliedru, in krogle, opisane okoli krogle. polieder. Metodološka priporočila za ta učbenik (glej knjigo "Študij geometrije v razredih 10–11" avtorjev S. M. Sahakyan in V. F. Butuzov, str. 159) pravijo, katere kombinacije teles se upoštevajo pri reševanju nalog št. 629–646 , in opozarjamo na dejstvo, da je "pri reševanju določenega problema najprej treba zagotoviti, da učenci dobro razumejo relativne položaje teles, navedenih v pogoju." Sledi rešitev nalog št. 638(a) in št. 640.
Glede na vse navedeno in dejstvo, da je za študente najtežji problem kombinacija žoge z drugimi telesi, je potrebno sistematizirati ustrezna teoretična načela in jih posredovati študentom.
Definicije.
1. Kroglica je včrtana v polieder, polieder pa je okoli krogle obpisan, če se površina kroglice dotika vseh ploskev poliedra.
2. Kroglica se imenuje okrog poliedra in polieder včrtan krogli, če ploskev krogle poteka skozi vsa oglišča poliedra.
3. Za kroglo pravimo, da je vpisana v valj, prisekan stožec (stožec), za valj, prisekan stožec (stožec) pa pravimo, da je opisana okoli krogle, če se površina krogle dotika osnov (osnove) in vseh generatrise valja, prisekan stožec (stožec).
(Iz te definicije sledi, da lahko veliki krog krogle vpišemo v kateri koli osni odsek teh teles).
4. Kroglica je opisana okoli valja, prisekanega stožca (stožca), če krogi osnovnih (osnovni krog in vrh) pripadajo površini krogle.
(Iz te definicije sledi, da je okoli katerega koli osnega odseka teh teles mogoče opisati krog večjega kroga krogle).
Splošne opombe o položaju središča krogle.
1. Središče krogle, včrtane poliedru, leži na presečišču simetralnih ravnin vseh diedrskih kotov poliedra. Nahaja se le znotraj poliedra.
2. Središče krogle, ki je obkrožena poliedru, leži na presečišču ravnin, ki so pravokotne na vse robove poliedra in potekajo skozi njihova središča. Lahko se nahaja znotraj, na površini ali zunaj poliedra.
Kombinacija krogle in prizme.
1. Ravni prizmi včrtana krogla.
1. izrek. Krogla je lahko včrtana v ravno prizmo, če in samo če je v osnovo prizme mogoče včrtati krog, višina prizme pa je enaka premeru tega kroga.
Posledica 1. Središče krogle, včrtane v pravo prizmo, leži na sredini višine prizme, ki poteka skozi središče kroga, včrtanega v osnovico.
Posledica 2. Zlasti kroglo lahko vpišemo v ravne črte: trikotne, pravilne, štirikotne (kjer so vsote nasprotnih stranic osnove enake) pod pogojem H = 2r, kjer je H višina prizma, r je polmer kroga, včrtanega v osnovico.
2. Okoli prizme opisana krogla.
2. izrek. Kroglo lahko opišemo okoli prizme, če in samo če je prizma ravna in okoli njene osnove lahko opišemo krog.
Posledica 1. Središče krogle, ki je opisana okrog ravne prizme, leži na sredini višine prizme, ki je narisana skozi središče kroga, opisanega okoli baze.
Posledica 2.Žogo lahko opišemo zlasti: v bližini pravilne trikotne prizme, v bližini pravilne prizme, v bližini pravokotnega paralelepipeda, v bližini pravilne štirikotne prizme, pri kateri je vsota nasprotnih kotov baze enaka 180 stopinj.
Iz učbenika L.S. Atanasyana lahko predlagamo naloge št. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) za kombinacijo krogle in prizme.
Kombinacija žoge s piramido.
1. Krogla, opisana v bližini piramide.
Izrek 3. Kroglo lahko opišemo okoli piramide, če in samo če lahko opišemo krog okoli njene osnove.
Posledica 1. Središče krogle, ki je opisana okoli piramide, leži v presečišču ravne črte, pravokotne na osnovo piramide, ki poteka skozi središče kroga, urejenega okoli te baze, in ravnine, pravokotne na kateri koli stranski rob, narisan skozi sredino krogle. ta rob.
Posledica 2.Če so stranski robovi piramide enaki drug drugemu (ali enako nagnjeni na ravnino baze), potem lahko kroglo opišemo okoli takšne piramide v tem primeru leži središče te krogle na presečišču višina piramide (ali njenega podaljška) s simetrično osjo stranskega roba, ki leži v ravnini stranski rob in višina.
Posledica 3. Zlasti žogico lahko opišemo: blizu trikotne piramide, blizu pravilne piramide, blizu štirikotne piramide, v kateri je vsota nasprotnih kotov 180 stopinj.
2. Piramidi včrtana krogla.
Izrek 4. Če so stranske ploskve piramide enako nagnjene na podlago, potem lahko v takšno piramido vpišemo kroglo.
Posledica 1. Središče krogle, včrtane v piramido, katere stranske ploskve so enako nagnjene na osnovo, leži na presečišču višine piramide s simetralo linearnega kota katerega koli diedričnega kota na dnu piramide, stranice od tega je višina stranske ploskve, potegnjena z vrha piramide.
Posledica 2.Žogo lahko vstavite v navadno piramido.
Iz učbenika L.S. Atanasyana lahko predlagamo naloge št. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 za kombinacijo krogle s piramido.
Kombinacija krogle s prisekano piramido.
1. Kroglica, opisana okoli pravilne prisekane piramide.
Izrek 5. Okoli vsake pravilne prisekane piramide lahko opišemo kroglo. (Ta pogoj zadostuje, ni pa nujen)
2. Kroglica, včrtana v pravilno prisekano piramido.
Izrek 6. Kroglica je lahko včrtana v pravilno prisekano piramido, če in samo če je apotem piramide enak vsoti apotem osnov.
V učbeniku L.S. Atanasjana (št. 636) obstaja le ena težava za kombinacijo krogle s prisekano piramido.
Kombinacija žoge z okroglimi telesi.
Izrek 7. Kroglo lahko opišemo okoli valja, prisekanega stožca (ravne krožnice) ali stožca.
Izrek 8. Žogo lahko vpišemo v (ravni krožni) valj, če in samo če je valj enakostranični.
Izrek 9. Žogo lahko vstavite v kateri koli stožec (ravni krožnik).
Izrek 10. Kroglica je lahko vpisana v prisekani stožec (ravna krožnica), če in samo če je njena generatrisa enaka vsoti polmerov baz.
Iz učbenika L.S. Atanasyana lahko predlagamo naloge št. 642, 643, 644, 645, 646 za kombinacijo žoge z okroglimi telesi.
Za uspešnejše preučevanje gradiva o tej temi je treba v lekcije vključiti ustne naloge:
1. Rob kocke je enak a. Poiščite polmera krogel: v kocko včrtanih in okrog nje obrobljenih. (r = a/2, R = a3).
2. Ali je mogoče opisati kroglo (kroglo) okoli: a) kocke; b) pravokotni paralelopiped; c) nagnjen paralelepiped s pravokotnikom na dnu; d) ravni paralelopiped; e) nagnjen paralelepiped? (a) da; b) da; c) ne; d) ne; d) ne)
3. Ali je res, da lahko okoli vsake trikotne piramide opišemo kroglo? (da)
4. Ali je mogoče okoli štirikotne piramide opisati kroglo? (Ne, ne v bližini nobene štirikotne piramide)
5. Katere lastnosti mora imeti piramida, da lahko opišemo kroglo okoli nje? (Na njegovem dnu naj bo mnogokotnik, okoli katerega je mogoče opisati krog)
6. Piramida je včrtana v kroglo, katere stranski rob je pravokoten na osnovo. Kako najti središče krogle? (Središče krogle je presečišče dveh geometrijskih lokusov točk v prostoru. Prvo je navpičnica, narisana na ravnino osnove piramide skozi središče kroga, ki je okrog nje opisan. Druga je ravnina pravokotno na dani stranski rob in narisano skozi njegovo sredino)
7. Pod kakšnimi pogoji lahko opišete kroglo okoli prizme, v osnovi katere je trapez? (Prvič, prizma mora biti ravna, in drugič, trapez mora biti enakokrak, da lahko okoli njega opišemo krog)
8. Katere pogoje mora izpolnjevati prizma, da je okoli nje opisana krogla? (Prizma mora biti ravna, njena osnova pa mora biti mnogokotnik, okoli katerega je mogoče opisati krog)
9. Okoli trikotne prizme je opisana krogla, katere središče leži zunaj prizme. Kateri trikotnik je osnova prizme? (Topokotni trikotnik)
10. Ali je mogoče opisati kroglo okoli nagnjene prizme? (Ne, ne moreš)
11. Pod kakšnim pogojem bo središče krogle, ki je opisana okrog prave trikotne prizme, na eni od stranskih ploskev prizme? (Osnova je pravokotni trikotnik)
12. Osnova piramide je enakokraki trapez, pravokotna projekcija vrha piramide na ravnino osnove je točka, ki se nahaja zunaj trapeza. Ali je mogoče opisati kroglo okrog takega trapeza? (Da, lahko. Dejstvo, da se pravokotna projekcija vrha piramide nahaja izven njenega vznožja, ni pomembno. Pomembno je, da na dnu piramide leži enakokraki trapez – mnogokotnik, okoli katerega je lahko krog opisano)
13. V bližini pravilne piramide je opisana krogla. Kako se nahaja njegovo središče glede na elemente piramide? (Središče krogle je na pravokotnici, ki poteka skozi njeno središče na ravnino osnove)
14. Pod kakšnim pogojem leži središče krogle, opisane okoli pravilne trikotne prizme: a) znotraj prizme; b) zunaj prizme? (Na dnu prizme: a) ostrokotni trikotnik; b) tupokotni trikotnik)
15. Okoli pravokotnega paralelepipeda, katerega robovi so 1 dm, 2 dm in 2 dm, je opisana krogla. Izračunaj polmer krogle. (1,5 dm)
16. V kateri prisekani stožec se lahko prilega krogla? (V prisekanem stožcu, v katerega osni izsek je mogoče vpisati krog. Osni izrez stožca je enakokraki trapez, mora biti vsota njegovih osnov enaka vsoti njegovih stranskih stranic. Z drugimi besedami, vsota polmerov osnov stožca mora biti enaka generatorju)
17. Prisekanemu stožcu je včrtana krogla. Pod katerim kotom je iz središča krogle vidna generatrisa stožca? (90 stopinj)
18. Kakšno lastnost mora imeti ravna prizma, da se vanjo prilega krogla? (Prvič, na dnu ravne prizme mora biti mnogokotnik, v katerega je mogoče vpisati krog, in drugič, višina prizme mora biti enaka premeru kroga, včrtanega v osnovi)
19. Navedite primer piramide, ki se ne prilega krogli? (Na primer štirikotna piramida s pravokotnikom ali paralelogramom na dnu)
20. Na dnu ravne prizme je romb. Ali je mogoče v to prizmo namestiti kroglo? (Ne, to je nemogoče, saj je na splošno nemogoče opisati krog okoli romba)
21. Pod kakšnim pogojem je lahko krogla včrtana v pravilno trikotno prizmo? (Če je višina prizme dvakrat večja od polmera kroga, včrtanega v osnovico)
22. Pod kakšnim pogojem je lahko krogla včrtana v pravilno štirikotno prisekano piramido? (Če je prečni prerez dane piramide ravnina, ki poteka skozi sredino stranice osnove pravokotno nanjo, je to enakokraki trapez, v katerega je mogoče vpisati krog)
23. V trikotno prisekano piramido je včrtana krogla. Katera točka piramide je središče krogle? (Središče krogle, včrtane v to piramido, je v presečišču treh simetralnih ravnin kotov, ki jih tvorijo stranske ploskve piramide z osnovo)
24. Ali je možno opisati kroglo okrog valja (pravega krožnika)? (Da, lahko)
25. Ali je mogoče opisati kroglo okrog stožca, prisekanega stožca (ravnega krožnika)? (Da, lahko, v obeh primerih)
26. Ali je možno spraviti kroglo v kateri koli valj? Kakšne lastnosti mora imeti valj, da se vanj prilega krogla? (Ne, ne vsakič: osni prerez valja mora biti kvadraten)
27. Ali lahko kroglo vpišemo v katerikoli stožec? Kako določiti položaj središča krogle, včrtane v stožec? (Da, vsekakor. Središče včrtane krogle je v presečišču višine stožca in simetrale naklonskega kota generatrise na ravnino baze)
Avtor meni, da je od treh lekcij načrtovanja na temo "Različni problemi na poliedrih, valju, stožcu in krogli" priporočljivo dve lekciji nameniti reševanju problemov kombiniranja krogle z drugimi telesi. Dokazovanje zgornjih izrekov ni priporočljivo zaradi premalo časa pri pouku. Študente, ki imajo za to dovolj znanja, lahko povabite, da jih dokažejo tako, da navedejo (po učiteljevi presoji) potek ali načrt dokazovanja.
