6 është një numër i thjeshtë. Numrat e thjeshtë: historia dhe faktet

Numrat e thjeshtë janë një nga fenomenet matematikore më interesante, që kanë tërhequr vëmendjen e shkencëtarëve dhe qytetarëve të thjeshtë për më shumë se dy mijëvjeçarë. Përkundër faktit se tani jetojmë në epokën e kompjuterëve dhe programeve më moderne të informacionit, shumë gjëegjëza të numrave të thjeshtë nuk janë zgjidhur ende.

Numrat e thjeshtë janë, siç e dimë nga kursi i aritmetikës elementare, ata që janë të pjesëtueshëm pa mbetje vetëm me një dhe me vetveten. Nga rruga, nëse një numër natyror është i pjesëtueshëm, përveç atyre të listuara më sipër, me ndonjë numër tjetër, atëherë ai quhet i përbërë. Një nga teoremat më të famshme thotë se çdo numër i përbërë mund të përfaqësohet si një produkt unik i mundshëm i numrave të thjeshtë.

Disa fakte interesante. Së pari, njësia është unike në kuptimin që, në fakt, nuk i përket as numrave të thjeshtë dhe as të përbërë. Në të njëjtën kohë, në komunitetin shkencor është ende zakon ta klasifikojmë atë në mënyrë specifike në grupin e parë, pasi formalisht i plotëson plotësisht kërkesat e tij.

Së dyti, i vetmi numër çift i shtrydhur në grupin "numrat kryesorë" është, natyrisht, dy. Çdo numër tjetër çift thjesht nuk mund të arrijë këtu, pasi sipas përkufizimit, përveç vetes dhe një, ai është gjithashtu i pjesëtueshëm me dy.

Numrat e thjeshtë, lista e të cilëve, siç u tha më sipër, mund të fillojë me një, përfaqësojnë një seri të pafundme, aq të pafundme sa edhe seria e numrave natyrorë. Bazuar në teoremën themelore të aritmetikës, mund të arrijmë në përfundimin se numrat e thjeshtë nuk ndërpriten asnjëherë dhe nuk mbarojnë, pasi përndryshe seria e numrave natyrorë do të ndërpritet në mënyrë të pashmangshme.

Numrat kryesorë nuk shfaqen rastësisht në seritë natyrore, siç mund të duken në shikim të parë. Pasi i keni analizuar me kujdes, mund të vini re menjëherë disa veçori, më interesantet prej të cilave lidhen me të ashtuquajturit numra "binjakë". Ata quhen kështu sepse në një mënyrë të pakuptueshme përfunduan pranë njëri-tjetrit, të ndara vetëm nga një kufizues çift (pesë dhe shtatë, shtatëmbëdhjetë dhe nëntëmbëdhjetë).

Nëse i shikoni me vëmendje, do të vini re se shuma e këtyre numrave është gjithmonë shumëfish i treshit. Për më tepër, kur ndahet e majta një me tre, mbetja mbetet gjithmonë dy, dhe e djathta mbetet gjithmonë një. Për më tepër, vetë shpërndarja e këtyre numrave mbi serinë natyrore mund të parashikohet nëse e imagjinojmë të gjithë këtë seri në formën e sinusoideve oshiluese, pikat kryesore të të cilave formohen kur numrat ndahen me tre dhe dy.

Numrat e thjeshtë nuk janë vetëm objekt i shqyrtimit të ngushtë nga matematikanët në mbarë botën, por prej kohësh janë përdorur me sukses në përpilimin e serive të ndryshme të numrave, gjë që është baza, ndër të tjera, për shifrografinë. Duhet pranuar se një numër i madh misteresh që lidhen me këto elemente të mrekullueshme janë ende në pritje për t'u zgjidhur, shumë pyetje nuk kanë vetëm rëndësi filozofike, por edhe praktike.

Të gjithë numrat natyrorë, përveç njërit, ndahen në të thjeshtë dhe të përbërë. Një numër i thjeshtë është një numër natyror që ka vetëm dy pjesëtues: një dhe vetveten. Të gjithë të tjerët quhen të përbërë. Studimi i vetive të numrave të thjeshtë kryhet nga një degë e veçantë e matematikës - teoria e numrave. Në teorinë e unazave, numrat e thjeshtë janë të lidhur me elementë të pareduktueshëm.

Këtu është një sekuencë e numrave të thjeshtë duke filluar nga 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... etj.

Sipas teoremës themelore të aritmetikës, çdo numër natyror më i madh se një mund të përfaqësohet si produkt i numrave të thjeshtë. Në të njëjtën kohë, kjo është mënyra e vetme për të paraqitur numrat natyrorë deri në rendin e faktorëve. Bazuar në këtë, mund të themi se numrat e thjeshtë janë pjesë elementare e numrave natyrorë.

Ky paraqitje e një numri natyror quhet zbërthimi i një numri natyror në numra të thjeshtë ose faktorizimi i një numri.

Një nga mënyrat më të lashta dhe më efektive për të llogaritur numrat e thjeshtë është "soshja e Erasstofenit".

Praktika ka treguar se pas llogaritjes së numrave të thjeshtë duke përdorur sitën e Erastofenit, është e nevojshme të kontrollohet nëse numri i dhënë është i thjeshtë. Për këtë qëllim janë zhvilluar teste speciale, të ashtuquajturat teste të thjeshtësisë. Algoritmi i këtyre testeve është probabilist. Ato përdoren më shpesh në kriptografi.

Nga rruga, për disa klasa numrash ekzistojnë teste të specializuara efektive të parësisë. Për shembull, për të kontrolluar parësinë e numrave Mersenne, përdoret testi Luc-Lehmer, dhe për të kontrolluar parësinë e numrave Fermat, përdoret testi Pepin.

Të gjithë e dimë se ka pafundësisht shumë numra. Me të drejtë lind pyetja: sa numra të thjeshtë ka atëherë? Ka gjithashtu një numër të pafund të numrave të thjeshtë. Prova më e lashtë e këtij propozimi është prova e Euklidit, e cila është paraqitur në Elementet. Prova e Euklidit duket si kjo:

Le të imagjinojmë se numri i numrave të thjeshtë është i fundëm. Le t'i shumëzojmë dhe të shtojmë një. Numri që rezulton nuk mund të pjesëtohet me asnjë nga grupet e fundme të numrave të thjeshtë, sepse pjesa e mbetur e pjesëtimit me cilindo prej tyre jep një. Kështu, numri duhet të jetë i pjesëtueshëm me një numër të thjeshtë që nuk përfshihet në këtë grup.

Teorema e shpërndarjes së numrave të thjeshtë thotë se numri i numrave të thjeshtë më pak se n, i shënuar π(n), rritet si n / ln(n).

Pas mijëra vitesh studimi të numrave të thjeshtë, numri më i madh i njohur është 243112609 − 1. Ky numër ka 12,978,189 shifra dhjetore dhe është numri i thjeshtë i Mersenne (M43112609). Ky zbulim u bë më 23 gusht 2008 në Fakultetin e Matematikës në Universitetin uCLA si pjesë e kërkimit të shpërndarë për projektin e numrave të thjeshtë Mersenne GIMPS.

Tipari kryesor dallues i numrave Mersenne është prania e një testi shumë efektiv të parëësisë Luc-Lemaire. Me të, numrat kryesorë të Mersenne janë, për një periudhë të gjatë kohore, numrat më të mëdhenj të parë të njohur.

Megjithatë, deri më sot, shumë pyetje në lidhje me numrat e thjeshtë nuk kanë marrë përgjigje të sakta. Në Kongresin e 5-të Ndërkombëtar të Matematikës, Edmund Landau formuloi problemet kryesore në fushën e numrave të thjeshtë:

Problemi i Goldbach ose problemi i parë i Landau është se është e nevojshme të vërtetohet ose të kundërshtohet se çdo numër çift më i madh se 2 mund të përfaqësohet si shumë e dy numrave të thjeshtë dhe çdo numër tek më i madh se 5 mund të përfaqësohet si shuma e tre numrave të thjeshtë.
Problemi i dytë i Landau kërkon gjetjen e një përgjigjeje për pyetjen: a është e pafund grupi i "binjakëve kryesorë" - numra të thjeshtë, ndryshimi i të cilëve është 2?
Hamendësimi i Lezhandrit ose problemi i tretë i Landau është: a është e vërtetë që midis n2 dhe (n + 1)2 ka gjithmonë një numër të thjeshtë?
Problemi i katërt i Landau: a është e pafund bashkësia e numrave të thjeshtë të formës n2 + 1?
Përveç problemeve të mësipërme, ekziston problemi i përcaktimit të një numri të pafund të numrave të thjeshtë në shumë sekuenca numrash të plotë si numri i Fibonaccit, numri Fermat, etj.

Ndarja e numrave natyrorë në numra të thjeshtë dhe të përbërë i atribuohet matematikanit të lashtë grek Pitagorës. Dhe nëse ndiqni Pitagorën, atëherë grupi i numrave natyrorë mund të ndahet në tre klasa: (1) - një grup i përbërë nga një numër - një; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – bashkësi numrash të thjeshtë; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) - një grup numrash të përbërë.

Seti i dytë fsheh shumë mistere të ndryshme. Por së pari, le të kuptojmë se çfarë është një numër i thjeshtë. Ne hapim "Fjalorin enciklopedik matematikor" (Yu. V. Prokhorov, shtëpia botuese "Enciklopedia Sovjetike", 1988) dhe lexojmë:

"Një numër i thjeshtë është një numër i plotë pozitiv më i madh se një, i cili nuk ka pjesëtues përveç vetes dhe një: 2,3,5,7,11,13,

Koncepti i një numri të thjeshtë është themelor në studimin e pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë; gjegjësisht, teorema themelore e aritmetikës thotë se çdo numër i plotë pozitiv përveç 1 mund të zbërthehet në mënyrë unike në një produkt të numrave të thjeshtë (rendi i faktorëve nuk merret parasysh). Ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë (ky propozim, i quajtur teorema e Euklidit, ishte i njohur për matematikanët e lashtë grekë; prova e tij mund të gjendet në librin 9 të Elementeve të Euklidit). P. Dirichlet (1837) vërtetoi se në progresionin aritmetik a + bx për x = 1. ,2,c me numrat e plotë a dhe b përmban gjithashtu pafundësisht shumë numra të thjeshtë.

Për të gjetur numrat e thjeshtë nga 1 në x, dihet që nga shekulli III. para Krishtit e. Metoda e sitës së Eratosthenes. Një ekzaminim i sekuencës (*) të numrave të thjeshtë nga 1 në x tregon se me rritjen e x bëhet, mesatarisht, më i rrallë. Ekzistojnë segmente arbitrare të gjata të një serie numrash natyrorë, ndër të cilët nuk ka asnjë numër të vetëm të thjeshtë (teorema 4). Në të njëjtën kohë, ekzistojnë numra të tillë të thjeshtë, diferenca midis të cilave është e barabartë me 2 (të ashtuquajturat binjakë). Ende nuk dihet (1987) nëse grupi i binjakëve të tillë është i fundëm apo i pafund. Tabelat e numrave të thjeshtë brenda 11 milionë numrave të parë natyrorë tregojnë praninë e binjakëve shumë të mëdhenj (për shembull, 10,006,427 dhe 10,006,429).

Zbulimi i shpërndarjes së numrave të thjeshtë në serinë natyrore të numrave është një problem shumë i vështirë në teorinë e numrave. Formulohet si studimi i sjelljes asimptotike të një funksioni që tregon numrin e numrave të thjeshtë që nuk e kalojnë një numër pozitiv x. Nga teorema e Euklidit del qartë se kur. L. Euler prezantoi funksionin zeta në 1737.

Ai gjithashtu dëshmoi se kur

Ku mbledhja kryhet mbi të gjithë numrat natyrorë dhe prodhimi merret mbi të gjithë numrat e thjeshtë. Ky identitet dhe përgjithësimet e tij luajnë një rol themelor në teorinë e shpërndarjes së numrave të thjeshtë. Bazuar në këtë, L. Euler vërtetoi se seria dhe produkti në lidhje me p kryesore ndryshojnë. Për më tepër, L. Euler vërtetoi se ka "shumë" numra të thjeshtë, sepse

Dhe në të njëjtën kohë, pothuajse të gjithë numrat natyrorë janë të përbërë, pasi në.

dhe, për çdo (d.m.th., atë që rritet si funksion). Kronologjikisht, rezultati tjetër domethënës që rafinon teoremën e Chebyshev është i ashtuquajturi. ligji asimptotik i shpërndarjes së numrave të thjeshtë (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), i cili deklaroi se kufiri i raportit me është i barabartë me 1. Më pas, përpjekjet e rëndësishme të matematikanëve u drejtuan për të sqaruar asimptotikën ligji i shpërndarjes së numrave të thjeshtë. Pyetjet e shpërndarjes së numrave të thjeshtë studiohen si me metoda elementare ashtu edhe me metoda të analizës matematikore.

Këtu ka kuptim të sigurohet një provë e disa teoremave të dhëna në artikull.

Lema 1. Nëse gcd(a, b)=1, atëherë ekzistojnë numra të plotë x, y të tillë që.

Dëshmi. Le të jenë a dhe b numra relativisht të thjeshtë. Konsideroni bashkësinë J të të gjithë numrave natyrorë z, të përfaqësuar në formë, dhe zgjidhni numrin më të vogël d në të.

Le të vërtetojmë se a është i pjesëtueshëm me d. Pjestoni a me d me mbetjen: dhe le. Meqenëse ka formën, pra,

Ne e shohim atë.

Meqenëse supozuam se d është numri më i vogël në J, marrim një kontradiktë. Kjo do të thotë se a është e pjesëtueshme me d.

Le të vërtetojmë në të njëjtën mënyrë se b është i pjesëtueshëm me d. Pra d=1. Lema është e vërtetuar.

Teorema 1. Nëse numrat a dhe b janë të dyfishtë dhe prodhimi bx pjesëtohet me a, atëherë x është i plotpjesëtueshëm me a.

Dëshmi 1. Duhet të vërtetojmë se ax është i pjesëtueshëm me b dhe gcd(a,b)=1, atëherë x është i pjesëtueshëm me b.

Nga Lema 1, ekzistojnë x, y të tilla që. Atëherë padyshim është i pjesëtueshëm me b.

Vërtetim 2. Konsideroni bashkësinë J të të gjithë numrave natyrorë z të tillë që zc të pjesëtohet me b. Le të jetë d numri më i vogël në J. Është e lehtë të shihet kjo. Ngjashëm me vërtetimin e Lemës 1, vërtetohet se a është i pjesëtueshëm me d dhe b është i pjesëtueshëm me d

Lema 2. Nëse numrat q,p1,p2,pn janë të thjeshtë dhe prodhimi është i pjesëtueshëm me q, atëherë njëri nga numrat pi është i barabartë me q.

Dëshmi. Para së gjithash, vini re se nëse një numër i thjeshtë p është i pjesëtueshëm me q, atëherë p=q. Kjo menjëherë pason deklaratën e lemës për n=1. Për n=2 rrjedh drejtpërdrejt nga teorema 1: nëse p1p2 pjesëtohet me një numër të thjeshtë q dhe, atëherë p2 pjesëtohet me q(d.m.th.).

Lemën për n=3 do ta vërtetojmë si më poshtë. Le të pjesëtohet p1 p2 p3 me q. Nëse p3 =q, atëherë gjithçka vërtetohet. Nëse, atëherë sipas teoremës 1, p1 p2 pjesëtohet me q. Kështu, ne e reduktuam rastin n=3 në rastin tashmë të shqyrtuar n=2.

Në të njëjtën mënyrë, nga n=3 mund të shkojmë në n=4, pastaj në n=5, dhe në përgjithësi, duke supozuar se pohimi n=k i lemës është i vërtetuar, mund ta vërtetojmë lehtësisht për n=k+. 1. Kjo na bind se lema është e vërtetë për të gjitha n.

Teorema themelore e aritmetikës. Çdo numër natyror mund të faktorizohet në një mënyrë unike.

Dëshmi. Supozoni se ka dy zbërthime të numrit a në faktorë të thjeshtë:

Meqenëse ana e djathtë pjesëtohet me q1, atëherë ana e majtë e barazisë duhet të pjesëtohet me q1. Sipas Lemës 2, një nga numrat është i barabartë me q1. Le të anulojmë të dyja anët e barazisë me q1.

Le të kryejmë të njëjtin arsyetim për q2, pastaj për q3, për qi. Në fund, të gjithë faktorët në të djathtë do të anulohen dhe 1 do të mbetet Natyrisht, në të majtë nuk do të mbetet asgjë përveç një. Nga këtu arrijmë në përfundimin se dy zgjerimet dhe mund të ndryshojnë vetëm në rendin e faktorëve. Teorema është vërtetuar.

Teorema e Euklidit. Seria e numrave të thjeshtë është e pafundme.

Dëshmi. Supozoni se seria e numrave të thjeshtë është e fundme, dhe numrin e fundit të thjeshtë e shënojmë me shkronjën N. Le të hartojmë prodhimin

Le t'i shtojmë 1. Ne marrim:

Ky numër, duke qenë një numër i plotë, duhet të përmbajë të paktën një faktor të thjeshtë, domethënë duhet të jetë i pjesëtueshëm me të paktën një numër të thjeshtë. Por të gjithë numrat e thjeshtë, sipas supozimit, nuk e kalojnë N, dhe numri M+1 nuk është i pjesëtueshëm pa mbetje me ndonjë nga numrat e thjeshtë më të vogël ose të barabartë me N - sa herë që mbetja është 1. Teorema vërtetohet.

Teorema 4. Seksionet e numrave të përbërë ndërmjet numrave të thjeshtë mund të jenë të çdo gjatësie. Tani do të vërtetojmë se seria përbëhet nga n numra të përbërë të njëpasnjëshëm.

Këta numra vijnë direkt pas njëri-tjetrit në serinë natyrore, pasi secili tjetër është 1 më shumë se ai i mëparshmi. Mbetet të vërtetohet se janë të gjitha të përbëra.

Numri i parë

Madje, pasi që të dy termat e tij përmbajnë një faktor 2. Dhe çdo numër çift më i madh se 2 është i përbërë.

Numri i dytë përbëhet nga dy terma, secili prej të cilëve është shumëfish i 3. Kjo do të thotë se ky numër është i përbërë.

Në të njëjtën mënyrë, ne përcaktojmë se numri tjetër është shumëfish i 4, etj. Me fjalë të tjera, çdo numër në serinë tonë përmban një faktor të ndryshëm nga uniteti dhe vetvetja; prandaj është i përbërë. Teorema është vërtetuar.

Pasi kemi studiuar provat e teoremave, ne vazhdojmë të shqyrtojmë artikullin. Teksti i tij përmendte metodën e sitës së Eratosthenes si një mënyrë për të gjetur numrat e thjeshtë. Le të lexojmë për këtë metodë nga i njëjti fjalor:

"Sosha e Eratosthenes është një metodë e zhvilluar nga Eratosthenes që ju lejon të shoshitni numrat e përbërë nga seritë natyrore. Thelbi i sitës së Eratosthenes është si më poshtë. Njësia është e kryqëzuar. Numri dy është i thjeshtë. Të gjithë numrat natyrorë të pjesëtueshëm me 2 janë të kryqëzuar - numri i parë i pakryqëzuar do të jetë i thjeshtë. Më pas, të gjithë numrat natyrorë që plotpjesëtohen me 3 janë të kryqëzuara. Numri 5, numri tjetër i paprekur, do të jetë i thjeshtë. Duke vazhduar llogaritjet e ngjashme, mund të gjeni një segment të gjatë arbitrarisht të një sekuence numrash të thjeshtë. Sita e Eratosthenes si një metodë teorike për studimin e teorisë së numrave u zhvillua nga V. Brun (1919).

Këtu është numri më i madh i njohur aktualisht si i thjeshtë:

Ky numër ka rreth shtatëqind shifra dhjetore. Llogaritjet me të cilat u vërtetua se ky numër është kryesor u kryen në kompjuterët modernë.

"Funksioni zeta Riemann, -funksioni, është një funksion analitik i një ndryshoreje komplekse, për σ>1 i përcaktuar në mënyrë absolute dhe uniforme nga një seri konvergjente Dirichlet:

Për σ>1, paraqitja në formën e produktit të Euler është e vlefshme:

(2) ku p kalon nëpër të gjithë numrat e thjeshtë.

Identiteti i serisë (1) dhe produktit (2) është një nga vetitë kryesore të funksionit zeta. Na lejon të marrim marrëdhënie të ndryshme që lidhin funksionin zeta me funksionet më të rëndësishme teorike të numrave. Prandaj, funksioni zeta luan një rol të madh në teorinë e numrave.

Funksioni zeta u prezantua si funksion i një ndryshoreje reale nga L. Euler (1737, botim 1744), i cili tregoi vendndodhjen e tij në produktin (2). Pastaj funksioni zeta u konsiderua nga P. Dirichlet dhe veçanërisht me sukses nga P. L. Chebyshev në lidhje me studimin e ligjit të shpërndarjes së numrave të thjeshtë. Megjithatë, veçoritë më të thella të funksionit zeta u zbuluan pas punës së B. Riemann, i cili për herë të parë në 1859 e konsideroi funksionin zeta si një funksion të një ndryshoreje komplekse ai prezantoi gjithashtu emrin "funksioni zeta" dhe the emërtimi """.

Por lind pyetja: çfarë zbatimi praktik ka gjithë kjo punë mbi numrat e thjeshtë? Në të vërtetë, nuk ka pothuajse asnjë përdorim për to, por ka një zonë ku numrat e thjeshtë dhe vetitë e tyre përdoren edhe sot e kësaj dite. Kjo është kriptografi. Këtu numrat kryesorë përdoren në sistemet e enkriptimit pa transferimin e çelësave.

Fatkeqësisht, kjo është gjithçka që dihet për numrat e thjeshtë. Kanë mbetur ende shumë mistere. Për shembull, nuk dihet nëse bashkësia e numrave të thjeshtë të paraqitur si dy katrorë është e pafundme.

“KRYET E VËSHTIRËS”.

Vendosa të bëj një kërkim të vogël për të gjetur përgjigje për disa pyetje në lidhje me numrat e thjeshtë. Para së gjithash, unë përpilova një program që prodhon të gjithë numrat e thjeshtë të njëpasnjëshëm më të vogël se 1,000,000,000 Përveç kësaj, unë përpilova një program që përcakton nëse numri i futur është i thjeshtë. Për të studiuar problemet e numrave të thjeshtë, unë ndërtova një grafik që tregon varësinë e madhësisë së një numri të thjeshtë nga numri rendor, si një plan kërkimor të mëtejshëm, vendosa të përdor artikullin e I. S. Zeltser dhe B. A. Kordemsky "Trupe interesante të numrave të thjeshtë". numrat.” Autorët identifikuan rrugët e mëposhtme të kërkimit:

1. 168 vende në një mijë numrat e parë natyrorë i zënë numrat e thjeshtë. Nga këto, 16 numra janë palindromikë - secili është i barabartë me inversin e tij: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 9299,

Ekzistojnë vetëm 1061 numra të thjeshtë katërshifrorë dhe asnjëri prej tyre nuk është palindromik.

Ka shumë numra palindromikë të thjeshtë pesëshifrorë. Ato përfshijnë bukuri të tilla: 13331, 15551, 16661, 19991. Pa dyshim që ka tufa të këtij lloji: ,. Por sa ekzemplarë ka në secilën tufë të tillë?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Mund të shihet se shuma e shifrave të numrave është e pjesëtueshme me 3, prandaj edhe vetë këta numra janë të pjesëtueshëm me 3.

Për sa u përket numrave të formularit, midis tyre numrat e thjeshtë janë 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. Në njëmijë numrat e parë ka pesë "kuartete" të përbëra nga numra të thjeshtë të njëpasnjëshëm, shifrat e fundit të të cilëve formojnë sekuencën 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Sa kuarteta të tillë ka midis numrave të thjeshtë n-shifror për n›3?

Duke përdorur programin që shkrova, u gjet një kuartet që u mungua nga autorët: (479, 467, 463, 461) dhe kuartet për n = 4, 5, 6. Për n = 4, janë 11 kuartete

3. Një tufë me nëntë numra të thjeshtë: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 është tërheqëse jo vetëm sepse përfaqëson një progresion aritmetik me një ndryshim prej 210, por edhe sepse mund të përshtatet në nëntë qelizat në mënyrë që të formohet një katror magjik me një konstante të barabartë me ndryshimin e dy numrave të thjeshtë: 3119 – 2:

Termi tjetër, i dhjetë i progresionit në shqyrtim, 2089, është gjithashtu një numër kryesor. Nëse hiqni numrin 199 nga tufa, por përfshini 2089, atëherë edhe në këtë përbërje tufa mund të formojë një shesh magjik - një temë për të kërkuar.

Duhet të theksohet se ka katrorë të tjerë magjikë që përbëhen nga numra të thjeshtë:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Sheshi i propozuar është interesant sepse

1. Është një katror magjik 7x7;

2. Përmban një katror magjik 5x5;

3. Sheshi magjik 5x5 përmban një katror magjik 3x3;

4. Të gjithë këta katrorë kanë një numër qendror të përbashkët - 3407;

5. Të 49 numrat e përfshirë në një katror 7x7 përfundojnë me numrin 7;

6. Të 49 numrat e përfshirë në një katror 7x7 janë numra të thjeshtë;

7. Secili nga 49 numrat e përfshirë në një katror 7x7 mund të përfaqësohet si 30n + 17.

Programet e përdorura janë shkruar nga unë në gjuhën programuese Dev-C++ dhe tekstet e tyre i jap në shtojcë (shih skedarët me shtesën . srr). Përveç të gjitha sa më sipër, kam shkruar një program që zbërthen numrat natyrorë të njëpasnjëshëm në faktorë të thjeshtë (shih Pjesëtuesit 1. срр) dhe një program që zbërthen vetëm numrin e futur në faktorë të thjeshtë (shih Pjesëtuesit 2. срр). Meqenëse këto programe zënë shumë hapësirë ​​në formë të përpiluar, jepen vetëm tekstet e tyre. Megjithatë, çdokush mund t'i përpilojë ato nëse ka programin e duhur.

BIOGRAFIA E SHKENCËNVE TË PËRFSHIRË NË PROBLEMIN E PRIMES

EUCLIDES

(rreth 330 pes – rreth 272 pes)

Shumë pak informacione të besueshme janë ruajtur për jetën e matematikanit më të famshëm të Antikitetit. Besohet se ai studioi në Athinë, gjë që shpjegon mjeshtërinë e tij të shkëlqyer të gjeometrisë, të zhvilluar nga shkolla e Platonit. Sidoqoftë, me sa duket, ai nuk ishte i njohur me veprat e Aristotelit. Ai dha mësim në Aleksandri, ku fitoi vlerësime të larta për veprimtaritë e tij mësimore gjatë mbretërimit të Ptolemeut I Soter. Ekziston një legjendë që ky mbret kërkoi që ai të zbulonte një mënyrë për të arritur sukses të shpejtë në matematikë, për të cilën Euklidi u përgjigj se nuk ka mënyra mbretërore në gjeometri (një histori e ngjashme, megjithatë, tregohet edhe për Menchem, i cili gjoja u pyet për e njëjta nga Aleksandri i Madh). Tradita e ka ruajtur kujtimin e Euklidit si një person dashamirës dhe modest. Euklidi është autor i traktateve për tema të ndryshme, por emri i tij lidhet kryesisht me një nga traktatet e quajtur Elementet. Bëhet fjalë për një koleksion veprash të matematikanëve që kanë punuar para tij (më i famshmi prej tyre ishte Hipokrati i Kos), rezultatet e të cilave ai i solli në përsosmëri falë aftësisë së tij për të përgjithësuar dhe punës së palodhur.

EULER LEONARD

(Bazel, Zvicër 1707 – Shën Petersburg, 1783)

Matematikan, mekanik dhe fizikant. Lindur në familjen e një pastori të varfër, Paul Euler. Ai mori arsimin e tij fillimisht nga i ati, dhe në 1720–24 në Universitetin e Bazelit, ku ndoqi leksionet mbi matematikën nga I. Bernoulli.

Në fund të vitit 1726, Euler u ftua në Akademinë e Shkencave të Shën Petersburgut dhe në maj 1727 mbërriti në Shën Petersburg. Në akademinë e sapoorganizuar, Euler gjeti kushte të favorshme për veprimtarinë shkencore, të cilat e lejuan atë të fillonte menjëherë të studionte matematikën dhe mekanikën. Gjatë 14 viteve të periudhës së parë të Shën Petersburgut të jetës së tij, Euler përgatiti rreth 80 vepra për botim dhe botoi mbi 50. Në Shën Petersburg ai studioi gjuhën ruse.

Euler mori pjesë në shumë fusha të veprimtarisë së Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut. Ai u ligjëroi studentëve në universitetin akademik, mori pjesë në provime të ndryshme teknike, punoi në përpilimin e hartave të Rusisë dhe shkroi një "Manual për Aritmetikën" në dispozicion të publikut (1738-40). Me udhëzime të veçanta nga Akademia, Euler përgatiti për botim "Shkenca Detare" (1749), një vepër themelore mbi teorinë e ndërtimit të anijeve dhe lundrimit.

Në 1741, Euler pranoi ofertën e mbretit prusian Frederick II për t'u transferuar në Berlin, ku do të bëhej riorganizimi i Akademisë së Shkencave. Në Akademinë e Shkencave të Berlinit, Euler mori postin e drejtorit të klasës së matematikës dhe anëtar i bordit, dhe pas vdekjes së presidentit të saj të parë P. Maupertuis, për disa vjet (nga 1759) ai në fakt drejtoi akademinë. Gjatë 25 viteve të jetës së tij në Berlin, ai përgatiti rreth 300 vepra, duke përfshirë një numër monografish të mëdha.

Gjatë qëndrimit në Berlin, Euler nuk pushoi së punuari intensivisht për Akademinë e Shkencave të Shën Petërburgut, duke ruajtur titullin e anëtarit të nderit të saj. Ai zhvilloi korrespondencë të gjerë shkencore dhe shkencore-organizative, në veçanti korrespondonte me M. Lomonosov, të cilin e vlerësonte shumë. Euler redaktoi departamentin matematikor të trupit shkencor akademik rus, ku gjatë kësaj kohe ai botoi pothuajse po aq artikuj sa në "Kujtimet" e Akademisë së Shkencave të Berlinit. Ai mori pjesë aktive në trajnimin e matematikanëve rusë; Akademikët e ardhshëm S. Kotelnikov, S. Rumovsky dhe M. Sofronov u dërguan në Berlin për të studiuar nën udhëheqjen e tij. Ojler i dha ndihmë të madhe Akademisë së Shkencave të Shën Petërburgut, duke blerë literaturë dhe pajisje shkencore për të, duke negociuar me kandidatët për pozicione në akademi etj.

17 (28) korrik 1766 Euler dhe familja e tij u kthyen në Shën Petersburg. Pavarësisht moshës së shtyrë dhe verbërisë thuajse të plotë që i ndodhi, ai punoi me produktivitet deri në fund të jetës. Gjatë 17 viteve të qëndrimit të mesëm në Shën Petersburg, ai përgatiti rreth 400 vepra, duke përfshirë disa libra të mëdhenj. Euler vazhdoi të merrte pjesë në punën organizative të akademisë. Në 1776, ai ishte një nga ekspertët e projektit të një ure me një hark mbi Neva, të propozuar nga I. Kulibin, dhe nga i gjithë komisioni, ai ishte i vetmi që dha mbështetje të gjerë për projektin.

Meritat e Euler-it si një shkencëtar i madh dhe organizator i kërkimit shkencor u vlerësuan shumë gjatë jetës së tij. Krahas akademive të Shën Peterburgut dhe Berlinit, ai ishte anëtar i institucioneve më të mëdha shkencore: Akademisë së Shkencave të Parisit, Shoqërisë Mbretërore të Londrës etj.

Një nga aspektet dalluese të punës së Euler-it është produktiviteti i tij i jashtëzakonshëm. Vetëm gjatë jetës së tij, u botuan rreth 550 nga librat dhe artikujt e tij (lista e veprave të Euler përmban afërsisht 850 tituj). Në vitin 1909, Shoqëria Zvicerane e Shkencave të Natyrës filloi të botojë veprat e plota të Euler-it, e cila përfundoi në 1975; përbëhet nga 72 vëllime. Korrespondenca shkencore kolosale e Euler-it (rreth 3000 letra) është gjithashtu me interes të madh, ajo deri tani është botuar vetëm pjesërisht.

Gama e aktiviteteve të Euler ishte jashtëzakonisht e gjerë, duke mbuluar të gjitha departamentet e matematikës dhe mekanikës bashkëkohore, teorinë e elasticitetit, fizikën matematikore, optikën, teorinë e muzikës, teorinë e makinerive, balistikën, shkencën detare, sigurimin, etj. Rreth 3/5 e punimeve të Euler kanë të bëjnë në matematikë, 2/5 e mbetur kryesisht në aplikimet e saj. Shkencëtari sistemoi rezultatet e tij dhe ato të marra nga të tjerët në një numër monografish klasike, të shkruara me qartësi të mahnitshme dhe të pajisura me shembuj të vlefshëm. Këto janë, për shembull, "Mekanika, ose shkenca e lëvizjes, e shpjeguar në mënyrë analitike" (1736), "Hyrje në analizë" (1748), "Njehsimi diferencial" (1755), "Teoria e lëvizjes së trupit të ngurtë" (1765), “Universal Arithmetic” (1768–69), i cili kaloi rreth 30 botime në 6 gjuhë, “Integral Calculus” (1768–94), etj. Në shekullin XVIII. , dhe pjesërisht në shekullin e 19-të. "Letra për çështje të ndryshme fizike dhe filozofike, të shkruara për një princeshë të caktuar gjermane", e disponueshme publikisht, u bë jashtëzakonisht e popullarizuar. (1768–74), i cili kaloi mbi 40 botime në 10 gjuhë. Pjesa më e madhe e përmbajtjes së monografive të Euler-it u përfshi më pas në tekstet shkollore për shkollat ​​e larta dhe pjesërisht të mesme. Është e pamundur të renditen të gjitha teoremat, metodat dhe formulat e Euler-it ende në përdorim, prej të cilave vetëm disa shfaqen në literaturë me emrin e tij [për shembull, metoda e vijës së thyer të Euler-it, zëvendësimet e Euler-it, konstanta e Euler-it, ekuacionet e Euler-it, formulat e Euler-it, Funksioni i Euler-it, numrat e Euler-it, formula e Euler-it - Maclaurin, formulat e Ojler-Furierit, Karakteristika e Euler-it, integralet e Euler-it, Këndet e Euler-it].

Në Mekanikë, Euler përvijoi fillimisht dinamikën e një pike duke përdorur analizën matematikore: lëvizjen e lirë të një pike nën ndikimin e forcave të ndryshme si në zbrazëti ashtu edhe në një mjedis me rezistencë; lëvizja e një pike përgjatë një vije ose sipërfaqe të caktuar; lëvizje nën ndikimin e forcave qendrore. Në 1744, ai për herë të parë formuloi saktë parimin mekanik të veprimit më të vogël dhe tregoi aplikimet e tij të para. Në "Teoria e lëvizjes së trupit të ngurtë", Euler zhvilloi kinematikën dhe dinamikën e një trupi të ngurtë dhe dha ekuacionet për rrotullimin e tij rreth një pike fikse, duke hedhur themelet për teorinë e xhiroskopëve. Në teorinë e tij të anijes, Euler dha një kontribut të vlefshëm në teorinë e stabilitetit. Zbulimet e Euler ishin të rëndësishme në mekanikën qiellore (për shembull, në teorinë e lëvizjes së hënës), mekanikën e vazhdueshme (ekuacionet themelore të lëvizjes së një lëngu ideal në formën e Euler-it dhe në të ashtuquajturat variabla të Lagranzhit, lëkundjet e gazit në tuba , etj.). Në optikë, Euler dha (1747) formulën për një lente bikonvekse dhe propozoi një metodë për llogaritjen e indeksit të thyerjes së një mediumi. Euler iu përmbajt teorisë valore të dritës. Ai besonte se ngjyra të ndryshme korrespondojnë me gjatësi vale të ndryshme të dritës. Euler propozoi mënyra për të eliminuar devijimet kromatike të lenteve dhe dha metoda për llogaritjen e përbërësve optikë të një mikroskopi. Euler i kushtoi një seri të gjerë veprash, të filluara në 1748, fizikës matematikore: problemet e dridhjeve të një vargu, pllake, membrane, etj. Të gjitha këto studime stimuluan zhvillimin e teorisë së ekuacioneve diferenciale, metodave të përafërta të analizës dhe teknikave speciale. . funksionet, gjeometria diferenciale, etj. Shumë nga zbulimet matematikore të Euler-it përmbahen në këto vepra.

Puna kryesore e Euler-it si matematikan ishte zhvillimi i analizës matematikore. Ai hodhi themelet e disa disiplinave matematikore, të cilat ishin vetëm në formën e tyre rudimentare ose mungonin plotësisht në llogaritjen pafundësisht të vogël të I. Newton, G. Leibniz dhe vëllezërve Bernoulli. Kështu, Euler ishte i pari që prezantoi funksionet e një argumenti kompleks dhe hetoi vetitë e funksioneve themelore elementare të një ndryshoreje komplekse (funksionet eksponenciale, logaritmike dhe trigonometrike); në veçanti, ai nxori formula që lidhin funksionet trigonometrike me funksionet eksponenciale. Puna e Euler-it në këtë drejtim hodhi themelet për teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse.

Euler ishte krijuesi i llogaritjes së variacioneve, të përshkruara në veprën "Metoda e gjetjes së linjave të lakuara që kanë vetitë e një maksimumi ose minimumi. "(1744). Metoda me të cilën Euler në 1744 nxori kushtin e nevojshëm për ekstremin e një funksioni - ekuacioni i Euler-it - ishte prototipi i metodave të drejtpërdrejta të llogaritjes së variacioneve të shekullit të 20-të. Euler krijoi teorinë e ekuacioneve diferenciale të zakonshme si një disiplinë e pavarur dhe hodhi themelet për teorinë e ekuacioneve diferenciale të pjesshme. Këtu ai është përgjegjës për një numër të madh zbulimesh: metoda klasike e zgjidhjes së ekuacioneve lineare me koeficientë konstante, metoda e ndryshimit të konstanteve arbitrare, sqarimi i vetive themelore të ekuacionit Riccati, integrimi i ekuacioneve lineare me koeficientë të ndryshueshëm duke përdorur seri të pafundme. , kriteret për zgjidhje të veçanta, doktrina e faktorit integrues, metoda të ndryshme të përafërta dhe një sërë teknikash për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të pjesshme. Euler mblodhi një pjesë të konsiderueshme të këtyre rezultateve në "Njehsimin integral" të tij.

Euler pasuroi gjithashtu llogaritjen diferenciale dhe integrale në kuptimin e ngushtë të fjalës (për shembull, doktrina e ndryshimeve të ndryshoreve, teorema mbi funksionet homogjene, koncepti i integralit të dyfishtë dhe llogaritja e shumë integraleve të veçanta). Në "Llogaritja diferenciale", Euler shprehu dhe mbështeti me shembuj besimin e tij në këshillueshmërinë e përdorimit të serive divergjente dhe metodave të propozuara për përmbledhjen e përgjithësuar të serive, duke parashikuar idetë e teorisë moderne strikte të serive divergjente, të krijuar në fund të datës 19 dhe shekujt e 20-të. Përveç kësaj, Euler mori shumë rezultate konkrete në teorinë e serive. Ai zbuloi të ashtuquajturat. formula e përmbledhjes Euler-Maclaurin, propozoi transformimin e serive që mban emrin e tij, përcaktoi shumat e një numri të madh serish dhe futi në matematikë lloje të reja të rëndësishme serish (për shembull, seritë trigonometrike). Kjo përfshin gjithashtu kërkimin e Euler-it mbi teorinë e fraksioneve të vazhdueshme dhe proceseve të tjera të pafundme.

Euler është themeluesi i teorisë së funksioneve speciale. Ai ishte i pari që e konsideroi sinusin dhe kosinusin si funksione, dhe jo si segmente në një rreth. Ai mori pothuajse të gjitha zgjerimet klasike të funksioneve elementare në seri dhe produkte të pafundme. Punimet e tij krijuan teorinë e funksionit γ. Ai hetoi vetitë e integraleve eliptike, funksionet hiperbolike dhe cilindrike, funksionin ζ, disa funksione θ, logaritmin integral dhe klasat e rëndësishme të polinomeve të veçanta.

Sipas P. Chebyshev, Euler hodhi themelet për të gjitha kërkimet që përbëjnë pjesën e përgjithshme të teorisë së numrave. Kështu, Euler vërtetoi një sërë pohimesh të bëra nga P. Fermat (për shembull, teorema e vogël e Fermatit), zhvilloi themelet e teorisë së mbetjeve të fuqisë dhe teorinë e formave kuadratike, zbuloi (por nuk vërtetoi) ligjin e reciprocitetit kuadratik, dhe studioi një sërë problemesh në analizën Diofantine. Në veprat e tij mbi ndarjen e numrave në terma dhe mbi teorinë e numrave të thjeshtë, Euler ishte i pari që përdori metodat e analizës, duke u bërë kështu krijuesi i teorisë analitike të numrave. Në veçanti, ai prezantoi funksionin ζ dhe vërtetoi të ashtuquajturin. Identiteti i Euler-it që lidh numrat e thjeshtë me të gjithë numrat natyrorë.

Euler bëri arritje të mëdha edhe në fusha të tjera të matematikës. Në algjebër, ai shkroi vepra për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta në radikale dhe mbi ekuacionet me dy të panjohura, si dhe të ashtuquajturat. Identiteti me katër katrorë i Euler-it. Euler avancoi ndjeshëm gjeometrinë analitike, veçanërisht doktrinën e sipërfaqeve të rendit të dytë. Në gjeometrinë diferenciale, ai studioi në detaje vetitë e linjave gjeodezike, ishte i pari që aplikoi ekuacionet natyrore të kthesave dhe më e rëndësishmja, hodhi themelet e teorisë së sipërfaqeve. Ai prezantoi konceptin e drejtimeve kryesore në një pikë në një sipërfaqe, vërtetoi ortogonalitetin e tyre, nxori një formulë për lakimin e çdo seksioni normal, filloi studimin e sipërfaqeve të zhvillueshme, etj.; në një vepër të botuar pas vdekjes (1862), ai parashikoi pjesërisht kërkimin e K. Gauss mbi gjeometrinë e brendshme të sipërfaqeve. Euler gjithashtu trajtoi disa çështje të topologjisë dhe vërtetoi, për shembull, një teoremë të rëndësishme mbi poliedrat konveks. Matematikani Euler shpesh karakterizohet si një "kalkulator" i shkëlqyer. Në të vërtetë, ai ishte një mjeshtër i patejkalueshëm i llogaritjeve dhe transformimeve formale në veprat e tij, shumë formula matematikore dhe simbolika morën një pamje moderne (për shembull, ai zotëronte shënimin për e dhe π). Sidoqoftë, Euler futi gjithashtu një numër idesh të thella në shkencë, të cilat tani janë të vërtetuara rreptësisht dhe shërbejnë si shembull i thellësisë së depërtimit në temën e kërkimit.

Sipas P. Laplace, Euler ishte mësuesi i matematikanëve në gjysmën e dytë të shekullit të 18-të.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, tani Gjermani, 1805 - Göttingen, po aty, 1859)

Ai studioi në Paris dhe mbajti marrëdhënie miqësore me matematikanë të shquar, në veçanti me Furierin. Me marrjen e gradës akademike, ai ishte profesor në universitetet e Breslaut (1826 - 1828), Berlinit (1828 - 1855) dhe Göttingen, ku u bë drejtues i departamentit të matematikës pas vdekjes së shkencëtarit Carl Friedrich Gauss. Kontributi i tij më i shquar në shkencë ka të bëjë me teorinë e numrave, kryesisht studimin e serive. Kjo e lejoi atë të zhvillonte teorinë e serive të propozuar nga Fourier. Krijoi versionin e tij të vërtetimit të teoremës së Fermatit, përdori funksione analitike për të zgjidhur problemet aritmetike dhe futi kriteret e konvergjencës për seritë. Në fushën e analizës matematikore, ai përmirësoi përkufizimin dhe konceptin e një funksioni në fushën e mekanikës teorike, ai u fokusua në studimin e qëndrueshmërisë së sistemeve dhe në konceptin e Njutonit për potencialin.

CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH

Matematikan rus, themelues i shkollës shkencore të Shën Petersburgut, akademik i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut (1856). Punimet e Chebyshev hodhën themelet për zhvillimin e shumë degëve të reja të matematikës.

Punimet më të shumta të Chebyshev janë në fushën e analizës matematikore. Në veçanti, atij iu kushtua një disertacion për të drejtën për të dhënë leksione, në të cilin Chebyshev hetoi integrueshmërinë e disa shprehjeve irracionale në funksionet algjebrike dhe logaritmet. Chebyshev gjithashtu i kushtoi një numër veprash të tjera integrimit të funksioneve algjebrike. Në njërën prej tyre (1853), u mor një teoremë e njohur mbi kushtet e integrueshmërisë në funksionet elementare të një binomi diferencial. Një fushë e rëndësishme e kërkimit në analizën matematikore konsiston në punën e tij në ndërtimin e një teorie të përgjithshme të polinomeve ortogonale. Arsyeja e krijimit të tij ishte interpolimi parabolik duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël. Kërkimi i Chebyshev mbi problemin e momenteve dhe formulave kuadratike është ngjitur me të njëjtin rreth idesh. Me qëllim të zvogëlimit të llogaritjeve, Chebyshev propozoi (1873) të merrte në konsideratë formulat kuadratike me koeficientë të barabartë (integrimi i përafërt). Kërkimet mbi formulat e kuadratit dhe teorinë e interpolimit ishin të lidhura ngushtë me detyrat që iu parashtruan Chebyshev në departamentin e artilerisë të komitetit shkencor ushtarak.

Në teorinë e probabilitetit, Chebyshev i atribuohet futjes sistematike të ndryshoreve të rastësishme në konsideratë dhe krijimit të një teknike të re për vërtetimin e teoremave kufitare në teorinë e probabilitetit - të ashtuquajturat. metoda e momenteve (1845, 1846, 1867, 1887). Ai e vërtetoi ligjin e numrave të mëdhenj në një formë shumë të përgjithshme; Për më tepër, prova e tij është e habitshme në thjeshtësinë dhe elementaritetin e saj. Chebyshev nuk e solli përfundimin e plotë të studimit të kushteve për konvergjencën e funksioneve të shpërndarjes së shumave të ndryshoreve të pavarura të rastësishme në ligjin normal. Sidoqoftë, përmes disa shtesave në metodat e Chebyshev, A. A. Markov arriti ta bëjë këtë. Pa përfundime strikte, Chebyshev nënvizoi gjithashtu mundësinë e sqarimit të kësaj teoreme kufitare në formën e zgjerimeve asimptotike të funksionit të shpërndarjes së shumës së termave të pavarur në fuqitë n21/2, ku n është numri i termave. Puna e Chebyshev mbi teorinë e probabilitetit përbën një fazë të rëndësishme në zhvillimin e saj; Përveç kësaj, ato ishin baza mbi të cilën u rrit shkolla ruse e teorisë së probabilitetit, fillimisht e përbërë nga studentët e drejtpërdrejtë të Chebyshev.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Saksonia e Poshtme, 1826 - Selaska, afër Intra, Itali 66)

Matematikan gjerman. Në 1846 ai hyri në Universitetin e Göttingen: ai dëgjoi leksione nga K. Gauss, shumë prej ideve të të cilit u zhvilluan prej tij më vonë. Më 1847–49 ndoqi leksione në Universitetin e Berlinit; në 1849 ai u kthye në Gottingen, ku u bë i afërt me bashkëpunëtorin e Gausit, fizikanin W. Weber, i cili zgjoi tek ai një interes të thellë për çështjet e shkencës matematikore.

Në 1851 ai mbrojti disertacionin e doktoraturës "Bazat e teorisë së përgjithshme të funksioneve të një ndryshoreje komplekse". Nga viti 1854 ishte pedagog privat dhe nga viti 1857 profesor në Universitetin e Göttingen-it.

Veprat e Riemann-it patën një ndikim të madh në zhvillimin e matematikës në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të. dhe në shekullin e 20-të. Në disertacionin e doktoraturës, Riemann hodhi themelet për drejtimin gjeometrik të teorisë së funksioneve analitike; ai prezantoi të ashtuquajturat sipërfaqet e Riemann-it, të cilat janë të rëndësishme në studimin e funksioneve me shumë vlera, zhvilloi teorinë e pasqyrave konformale dhe dha në këtë drejtim idetë themelore të topologjisë, studioi kushtet për ekzistencën e funksioneve analitike brenda fushave të lloje të ndryshme (i ashtuquajturi parimi Dirichlet), etj. Metodat e zhvilluara nga Riemann u përdorën gjerësisht në veprat e tij të mëtejshme mbi teorinë e funksioneve algjebrike dhe integraleve, në teorinë analitike të ekuacioneve diferenciale (në veçanti, ekuacionet që përcaktojnë funksionet hipergjeometrike), në teorinë analitike të numrave (për shembull, Riemann tregoi lidhjen midis shpërndarjes së numrave të thjeshtë dhe vetive të funksionit ζ, në veçanti, me shpërndarjen e zerave të tij në rajonin kompleks - e ashtuquajtura hipoteza e Riemann-it, vlefshmëria e të cilave ende nuk është vërtetuar), etj.

Në një numër veprash, Riemann studioi zbërthimin e funksioneve në seri trigonometrike dhe, në lidhje me këtë, përcaktoi kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për integrueshmërinë në kuptimin Riemannian, i cili ishte i rëndësishëm për teorinë e grupeve dhe funksioneve të një ndryshoreje reale. Riemann propozoi gjithashtu metoda për integrimin e ekuacioneve diferenciale të pjesshme (për shembull, duke përdorur të ashtuquajturat invariante Riemann dhe funksionin Riemann).

Në leksionin e tij të famshëm të vitit 1854 "Mbi hipotezat që bazohen në gjeometri" (1867), Riemann dha një ide të përgjithshme të hapësirës matematikore (sipas fjalëve të tij, "manifolds"), duke përfshirë hapësirat funksionale dhe topologjike. Këtu ai e konsideroi gjeometrinë në një kuptim të gjerë si studimin e manifoldeve të vazhdueshme n-dimensionale, d.m.th., koleksionet e çdo objekti homogjen dhe, duke përgjithësuar rezultatet e Gausit në gjeometrinë e brendshme të një sipërfaqeje, ai dha konceptin e përgjithshëm të një elementi linear ( diferenciali i distancës ndërmjet pikave të manifoldit), duke përcaktuar kështu ato që quhen hapësira Finsler. Riemann shqyrtoi më në detaje të ashtuquajturat hapësira Riemanniane, duke përgjithësuar hapësirat e gjeometrisë eliptike Euklidiane, Lobachevsky dhe Riemanniane, të karakterizuara nga një lloj i veçantë elementi linear dhe zhvilloi doktrinën e lakimit të tyre. Duke diskutuar zbatimin e ideve të tij në hapësirën fizike, Riemann ngriti çështjen e "shkaqeve të vetive metrike" të saj, sikur të parashikonte atë që bëhej në teorinë e përgjithshme të relativitetit.

Idetë dhe metodat e propozuara nga Riemann hapën rrugë të reja në zhvillimin e matematikës dhe gjetën zbatim në mekanikë dhe teorinë e përgjithshme të relativitetit. Shkencëtari vdiq në 1866 nga tuberkulozi.

Përkufizimi 1. Numri kryesor− është një numër natyror më i madh se ai që pjesëtohet vetëm me vetveten dhe 1.

Me fjalë të tjera, një numër është i thjeshtë nëse ka vetëm dy pjesëtues natyrorë të dallueshëm.

Përkufizimi 2. Çdo numër natyror që ka pjesëtues të tjerë përveç tij dhe një quhet një numër i përbërë.

Me fjalë të tjera, numrat natyrorë që nuk janë numra të thjeshtë quhen numra të përbërë. Nga përkufizimi 1 rezulton se një numër i përbërë ka më shumë se dy faktorë natyrorë. Numri 1 nuk është as i thjeshtë as i përbërë sepse ka vetëm një pjesëtues 1 dhe, përveç kësaj, shumë teorema në lidhje me numrat e thjeshtë nuk vlejnë për unitet.

Nga përkufizimet 1 dhe 2 rrjedh se çdo numër i plotë pozitiv më i madh se 1 është ose një numër i thjeshtë ose një numër i përbërë.

Më poshtë është një program për të shfaqur numrat kryesorë deri në 5000. Plotësoni qelizat, klikoni në butonin "Krijo" dhe prisni disa sekonda.

Tabela e numrave të thjeshtë

deklaratë 1. Nëse fq- numri i thjeshtë dhe açdo numër i plotë, atëherë ose a ndarë nga fq, ose fq Dhe a numrat koprim.

Vërtet. Nëse fq Një numër i thjeshtë ndahet vetëm me vetveten dhe 1 nëse a nuk ndahet me fq, atëherë pjesëtuesi më i madh i përbashkët a Dhe fqështë e barabartë me 1. Atëherë fq Dhe a numrat koprim.

deklaratë 2. Nëse prodhimi i disa numrave të numrave a 1 , a 2 , a 3, ... pjesëtohet me një numër të thjeshtë fq, pastaj të paktën një nga numrat a 1 , a 2 , a 3, ...pjestueshëm me fq.

Vërtet. Nëse asnjë nga numrat nuk ishte i pjesëtueshëm me fq, pastaj numrat a 1 , a 2 , a 3, ... do të ishin numra të dyfishtë në lidhje me fq. Por nga përfundimi 3 () rrjedh se produkti i tyre a 1 , a 2 , a 3, ... është gjithashtu relativisht kryesor në lidhje me fq, që bie ndesh me kushtin e deklaratës. Prandaj të paktën një nga numrat është i pjesëtueshëm me fq.

Teorema 1. Çdo numër i përbërë gjithmonë mund të përfaqësohet, dhe në një mënyrë unike, si prodhim i një numri të fundëm numrash të thjeshtë.

Dëshmi. Le k numër i përbërë, dhe le a 1 është një nga pjesëtuesit e tij i ndryshëm nga 1 dhe vetvetja. Nëse a 1 është i përbërë, pastaj ka përveç 1 dhe a 1 dhe një pjesëtues tjetër a 2. Nëse a 2 është një numër i përbërë, atëherë ai ka, përveç 1 dhe a 2 dhe një pjesëtues tjetër a 3. Duke arsyetuar në këtë mënyrë dhe duke marrë parasysh se numrat a 1 , a 2 , a 3 , ... zvogëlohet dhe kjo seri përmban një numër të kufizuar termash, do të arrijmë një numër të thjeshtë fq 1. Pastaj k mund të paraqitet në formë

Supozoni se ka dy zbërthime të një numri k:

Sepse k=p 1 fq 2 fq 3 ...pjestueshëm me një numër të thjeshtë q 1, pastaj të paktën një nga faktorët, për shembull fq 1 pjesëtohet me q 1. Por fq 1 është një numër i thjeshtë dhe pjesëtohet vetëm me 1 dhe me vetveten. Prandaj fq 1 =q 1 (sepse q 1 ≠1)

Atëherë nga (2) mund të përjashtojmë fq 1 dhe q 1:

Kështu, ne jemi të bindur se çdo numër i thjeshtë që shfaqet si faktor në zgjerimin e parë një ose më shumë herë shfaqet edhe në zgjerimin e dytë të paktën po aq herë, dhe anasjelltas, çdo numër i thjeshtë që shfaqet si faktor në zgjerimin e dytë. një ose më shumë herë shfaqet edhe në zgjerimin e parë të paktën të njëjtin numër herë. Prandaj, çdo numër i thjeshtë shfaqet si faktor në të dy zgjerimet një numër herë të njëjtë dhe, kështu, këto dy zgjerime janë të njëjta.■

Zgjerimi i një numri të përbërë k mund të shkruhet në formën e mëposhtme

Ku fq 1 , fq 2, ... numra të thjeshtë të ndryshëm, α, β, γ ... numrat e plotë pozitiv.

Zgjerimi (3) quhet zgjerim kanonik numrat.

Numrat e thjeshtë ndodhin në mënyrë të pabarabartë në serinë e numrave natyrorë. Në disa pjesë të rreshtit ka më shumë prej tyre, në të tjera - më pak. Sa më tej lëvizim përgjatë serisë së numrave, aq më pak të zakonshëm janë numrat e thjeshtë. Shtrohet pyetja, a ka një numër të thjeshtë më të madh? Matematikani i lashtë grek Euklidi vërtetoi se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Këtë provë e paraqesim më poshtë.

Teorema 2. Numri i numrave të thjeshtë është i pafund.

Dëshmi. Supozoni se ka një numër të kufizuar numrash të thjeshtë dhe le të jetë numri më i madh i thjeshtë fq. Le t'i konsiderojmë të gjithë numrat më të mëdhenj fq. Sipas supozimit të pohimit, këta numra duhet të jenë të përbërë dhe duhet të jenë të pjesëtueshëm me të paktën një nga numrat e thjeshtë. Le të zgjedhim një numër që është prodhimi i të gjithë këtyre numrave të thjeshtë plus 1:

Numri z më shumë fq sepse 2p tashmë më shumë fq. fq nuk është i pjesëtueshëm me asnjë nga këta numra të thjeshtë, sepse kur pjesëtohet me secilën prej tyre jep një mbetje prej 1. Kështu vijmë në një kundërthënie. Prandaj ka një numër të pafund numrash të thjeshtë.

Kjo teoremë është një rast i veçantë i një teoreme më të përgjithshme:

Teorema 3. Le të jepet një progresion aritmetik

Pastaj çdo numër kryesor i përfshirë në n, duhet të përfshihet në m, pra në n faktorë të tjerë kryesorë që nuk përfshihen në m dhe, për më tepër, këta faktorë kryesorë në n përfshihen jo më shumë herë se në m.

E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Nëse çdo faktor kryesor i një numri n përfshirë të paktën po aq herë në numër m, Kjo m ndarë nga n.

deklaratë 3. Le a 1 ,a 2 ,a 3,... numra të thjeshtë të ndryshëm të përfshirë në m Pra

Ku i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Vini re se α i pranon α vlerat +1, β j pranon β vlerat +1, γ k pranon γ vlerat +1, ... .

Në këtë artikull ne do të shqyrtojmë numrat e thjeshtë dhe të përbërë. Së pari, ne do të japim përkufizime të numrave të thjeshtë dhe të përbërë, dhe gjithashtu do të japim shembuj. Pas kësaj do të vërtetojmë se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Më pas, do të shkruajmë një tabelë të numrave të thjeshtë dhe do të shqyrtojmë metodat për përpilimin e një tabele të numrave të thjeshtë, duke i kushtuar vëmendje të veçantë metodës së quajtur sita e Eratosthenes. Si përfundim, ne do të theksojmë pikat kryesore që duhet të merren parasysh kur vërtetohet se një numër i caktuar është i thjeshtë ose i përbërë.

Navigimi i faqes.

Numrat e thjeshtë dhe të përbërë - Përkufizime dhe shembuj

Konceptet e numrave të thjeshtë dhe numrave të përbërë i referohen numrave që janë më të mëdhenj se një. Numra të tillë të plotë, në varësi të numrit të pjesëtuesve të tyre pozitivë, ndahen në numra të thjeshtë dhe të përbërë. Pra për të kuptuar përkufizimet e numrave të thjeshtë dhe të përbërë, ju duhet të kuptoni mirë se çfarë janë pjesëtuesit dhe shumëfishat.

Përkufizimi.

Numrat e thjeshtë janë numra të plotë, njësi të mëdha, që kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë, përkatësisht veten dhe 1.

Përkufizimi.

Numrat e përbërë janë numra të plotë, të mëdhenj, që kanë të paktën tre pjesëtues pozitivë.

Më vete, vërejmë se numri 1 nuk vlen as për numrat e thjeshtë dhe as për numrat e përbërë. Njësia ka vetëm një pjesëtues pozitiv, që është vetë numri 1. Kjo e dallon numrin 1 nga të gjithë numrat e tjerë të plotë pozitivë që kanë të paktën dy pjesëtues pozitivë.

Duke marrë parasysh se numrat e plotë pozitivë janë , dhe se njëri ka vetëm një pjesëtues pozitiv, mund të japim formulime të tjera të përkufizimeve të deklaruara të numrave të thjeshtë dhe të përbërë.

Përkufizimi.

Numrat e thjeshtë janë numra natyrorë që kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë.

Përkufizimi.

Numrat e përbërë janë numra natyrorë që kanë më shumë se dy pjesëtues pozitivë.

Vini re se çdo numër i plotë pozitiv më i madh se një është ose një numër i thjeshtë ose një numër i përbërë. Me fjalë të tjera, nuk ka asnjë numër të vetëm që nuk është as i thjeshtë as i përbërë. Kjo rrjedh nga vetia e pjesëtueshmërisë, e cila thotë se numrat 1 dhe a janë gjithmonë pjesëtues të çdo numri të plotë a.

Bazuar në informacionin në paragrafin e mëparshëm, mund të japim përkufizimin e mëposhtëm të numrave të përbërë.

Përkufizimi.

Numrat natyrorë që nuk janë të thjeshtë quhen të përbëra.

Le të japim shembuj të numrave të thjeshtë dhe të përbërë.

Shembuj të numrave të përbërë përfshijnë 6, 63, 121 dhe 6,697. Edhe kjo deklaratë ka nevojë për sqarim. Numri 6, përveç pjesëtuesve pozitivë 1 dhe 6, ka edhe pjesëtues 2 dhe 3, pasi 6 = 2 3, prandaj 6 është me të vërtetë një numër i përbërë. Faktorët pozitivë të 63 janë numrat 1, 3, 7, 9, 21 dhe 63. Numri 121 është i barabartë me prodhimin 11·11, kështu që pjesëtuesit pozitivë të tij janë 1, 11 dhe 121. Dhe numri 6,697 është i përbërë, pasi pjesëtuesit pozitivë të tij, përveç 1 dhe 6,697, janë edhe numrat 37 dhe 181.

Në përfundim të kësaj pike, unë do të doja gjithashtu të tërhiqja vëmendjen për faktin se numrat e thjeshtë dhe numrat e përbashkët janë larg nga e njëjta gjë.

Tabela e numrave të thjeshtë

Numrat e thjeshtë, për lehtësinë e përdorimit të tyre të mëtejshëm, regjistrohen në një tabelë të quajtur tabelë e numrave të thjeshtë. Më poshtë është tabela e numrave të thjeshtë deri në 1000.

Lind një pyetje logjike: "Pse e plotësuam tabelën e numrave të thjeshtë vetëm deri në 1000, a nuk është e mundur të krijohet një tabelë e të gjithë numrave të thjeshtë ekzistues"?

Le t'i përgjigjemi së pari pjesës së parë të kësaj pyetjeje. Për shumicën e problemeve që kërkojnë përdorimin e numrave të thjeshtë, do të mjaftojnë numrat e thjeshtë brenda një mijë. Në raste të tjera, ka shumë të ngjarë, do t'ju duhet të drejtoheni në disa teknika të veçanta zgjidhjeje. Megjithëse sigurisht që mund të krijojmë një tabelë me numra të thjeshtë deri në një numër të plotë pozitiv të fundëm arbitrarisht të madh, qoftë 10,000 ose 1,000,000,000, në paragrafin tjetër do të flasim për metodat për krijimin e tabelave të numrave të thjeshtë, në veçanti, do të shikojmë një metodë thirrur.

Tani le të shohim mundësinë (ose më mirë, pamundësinë) e përpilimit të një tabele të të gjithë numrave të thjeshtë ekzistues. Ne nuk mund të bëjmë një tabelë me të gjithë numrat e thjeshtë, sepse ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Pohimi i fundit është një teoremë që do ta vërtetojmë pas teoremës ndihmëse vijuese.

Teorema.

Pjesëtuesi më i vogël pozitiv përveç 1 i një numri natyror më të madh se një është një numër i thjeshtë.

Dëshmi.

Le a është një numër natyror më i madh se një, dhe b është pjesëtuesi më i vogël pozitiv i një numri tjetër nga një. Le të vërtetojmë se b është një numër i thjeshtë me anë të kundërthënies.

Le të supozojmë se b është një numër i përbërë. Pastaj ka një pjesëtues të numrit b (le ta shënojmë b 1), i cili është i ndryshëm nga 1 dhe b. Nëse marrim parasysh gjithashtu se vlera absolute e pjesëtuesit nuk e kalon vlerën absolute të dividentit (këtë e dimë nga vetitë e pjesëtueshmërisë), atëherë kushti 1 duhet të plotësohet.

Meqenëse numri a është i pjesëtueshëm me b sipas kushtit, dhe ne thamë se b është i pjesëtueshëm me b 1, koncepti i pjesëtueshmërisë na lejon të flasim për ekzistencën e numrave të plotë q dhe q 1 të tillë që a=b q dhe b=b 1 q 1 , nga ku a= b 1 ·(q 1 ·q) . Nga kjo rrjedh se prodhimi i dy numrave të plotë është një numër i plotë, atëherë barazia a=b 1 ·(q 1 ·q) tregon se b 1 është pjesëtues i numrit a. Duke marrë parasysh pabarazitë e mësipërme 1

Tani mund të vërtetojmë se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë.