Një fazë e rëndësishme e njohurive shkencore është njohuria teorike.
Specifikimi i njohurive teorike shprehet në mbështetjen e saj në bazën e saj teorike. Njohuritë teorike kanë një sërë veçorish të rëndësishme.
E para është përgjithësia dhe abstraksioni.
E përbashkëta qëndron në faktin se njohuritë teorike përshkruajnë fusha të tëra fenomenesh, duke dhënë një ide mbi modelet e përgjithshme të zhvillimit të tyre.
Abstraktiteti shprehet në faktin se njohuritë teorike nuk mund të konfirmohen ose kundërshtohen nga të dhënat eksperimentale individuale. Mund të vlerësohet vetëm në tërësi.
E dyta është sistematika, e cila konsiston në ndryshimin e elementeve individuale të njohurive teorike së bashku me ndryshimin e të gjithë sistemit në tërësi. kërkimi aksiomatik deduktiv kërkimor
E treta është lidhja e njohurive teorike me kuptimin filozofik. Kjo nuk do të thotë bashkim i tyre. Njohuritë shkencore, ndryshe nga njohuritë filozofike, janë më specifike.
E katërta është depërtimi i thellë i njohurive teorike në realitet, një pasqyrim i thelbit të fenomeneve dhe proceseve.
Njohuritë teorike mbulojnë lidhjet e brendshme, përcaktuese të fushës së fenomeneve, pasqyrojnë ligjet teorike.
Njohuritë teorike lëvizin gjithmonë nga e përgjithshme dhe abstrakte fillestare në atë konkrete të konkluduar.
Niveli teorik i kërkimit shkencor paraqet një shkallë të veçantë të njohurive shkencore, e cila ka pavarësi relative, ka qëllimet e veta të veçanta, të bazuara në qëllimet filozofike, logjike dhe materiale, të bazuara në mjetet e saj logjike dhe materiale të kërkimit. Për shkak të abstraktitetit, gjeneralitetit dhe sistematicitetit, njohuritë teorike kanë një strukturë deduktive: njohuria teorike e përgjithësisë më të vogël mund të merret nga njohuritë teorike të përgjithësisë më të madhe. Kjo do të thotë se baza e njohurive teorike është njohuria origjinale, në një farë kuptimi, më e përgjithshme, e cila përbën bazën teorike të kërkimit shkencor.
Hulumtimi teorik përbëhet nga disa faza.
Faza e parë është ndërtimi i një të reje ose zgjerimi i një baze teorike ekzistuese.
Duke studiuar problemet shkencore të pazgjidhura aktualisht, studiuesi kërkon ide të reja që do të zgjeronin pamjen ekzistuese të botës. Por nëse me ndihmën e tij studiuesi nuk arrin t'i zgjidhë këto probleme, atëherë ai përpiqet të ndërtojë një pamje të re të botës, duke futur në të elementë të rinj që, sipas tij, do të çojnë në rezultate pozitive. Elementë të tillë janë ide dhe koncepte të përgjithshme, parime dhe hipoteza që shërbejnë si bazë për ndërtimin e teorive të reja.
Faza e dytë konsiston në ndërtimin e teorive shkencore mbi një bazë të gjetur tashmë. Në këtë fazë, metodat formale për ndërtimin e sistemeve logjike dhe matematikore luajnë një rol të rëndësishëm.
Gjatë ndërtimit të teorive të reja, kthimi në fazën e parë të kërkimit teorik është i pashmangshëm. Por nuk do të thotë shpërbërja e fazës së parë në të dytën, përthithja e metodave filozofike nga ato formale.
Faza e tretë konsiston në aplikimin e teorisë për të shpjeguar ndonjë grup fenomenesh.
Shpjegimi teorik i fenomeneve konsiston në nxjerrjen nga teoria të ligjeve më të thjeshta në lidhje me grupet individuale të fenomeneve.
Një teori shkencore është një pasqyrim i lidhjeve të thella që janë të natyrshme në një fushë fenomenesh që bashkon një sërë grupesh.
Për të ndërtuar një teori, është e nevojshme të gjesh konceptet kryesore për një zonë të caktuar fenomenesh, t'i shprehësh ato në formë simbolike dhe të vendosësh një lidhje midis tyre.
Konceptet zhvillohen në bazë teorike. Dhe lidhjet mes tyre zbulohen duke përdorur parime dhe hipoteza. Shumë shpesh, për të ndërtuar një teori, përdoren të dhëna empirike që nuk kanë marrë ende justifikim teorik. Ato quhen premisa empirike e teorisë. Ato janë dy llojesh: në formën e të dhënave të caktuara eksperimentale dhe në formën e ligjeve empirike.
Parakushtet teorike janë të rëndësishme për formimin e teorive të reja. Me ndihmën e tyre përcaktohen konceptet fillestare dhe formulohen parimet dhe hipotezat, në bazë të të cilave bëhet e mundur vendosja e lidhjeve dhe marrëdhënieve midis koncepteve fillestare. Përcaktimi i koncepteve fillestare, si dhe parimet dhe hipotezat e nevojshme për të ndërtuar teorinë, quhen bazë e teorisë.
Teoria shkencore është forma më e thellë dhe më e përqendruar e shprehjes së njohurive shkencore.
Një teori shkencore ndërtohet duke përdorur metoda, të cilat përfshijnë:
A) metodë aksiomatike sipas të cilit, një teori ndërtohet duke prezantuar dhe përcaktuar formalisht konceptet dhe veprimet fillestare mbi to, të cilat përbëjnë bazën e teorisë. Metoda aksiomatike bazohet në dispozita të dukshme (aksioma) të pranuara pa prova. Në këtë metodë, teoria zhvillohet bazuar në deduksion.
Ndërtimi aksiomatik i teorisë supozon:
- * përcaktimi i objekteve ideale dhe rregullave për të bërë supozime prej tyre;
- * formulimi i sistemit origjinal të aksiomave dhe rregullave, përfundime prej tyre.
Mbi këtë bazë ndërtohet teoria si një sistem dispozitash (teoremash) që rrjedhin nga aksiomat sipas rregullave të dhëna.
Metoda aksiomatike ka gjetur aplikimin e saj në shkenca të ndryshme. Por ajo gjeti aplikimin e saj më të madh në matematikë. Dhe kjo për faktin se zgjeron ndjeshëm fushën e aplikimit të metodave matematikore dhe lehtëson procesin e kërkimit. Për një matematikan, kjo metodë bën të mundur të kuptojë më mirë objektin e kërkimit, të nxjerrë në pah drejtimin kryesor në të dhe të kuptojë unitetin dhe lidhjen e metodave dhe teorive të ndryshme.
Zbatimi më premtues i metodës aksiomatike është në ato shkenca ku konceptet e përdorura kanë qëndrueshmëri të konsiderueshme dhe ku mund të abstragohet nga ndryshimi dhe zhvillimi i tyre. Pikërisht në këto kushte bëhet i mundur identifikimi i lidhjeve formale-logjike ndërmjet komponentëve të ndryshëm të teorisë.
b) metodë gjenetike Nëpërmjet saj, krijohet një teori mbi një bazë në të cilën sa më poshtë njihen si thelbësore:
disa objekte ideale fillestare
disa veprime të pranueshme ndaj tyre.
Një teori ndërtohet si një ndërtim nga objektet fillestare të marra përmes veprimeve të lejuara në teori. Në një teori të tillë, përveç atyre origjinale, njihen si ekzistuese vetëm ato objekte që mund të ndërtohen, të paktën përmes një procesi të pafund ndërtimi.
V) metoda hipotetike-deduktive. Bazuar në zhvillimin e një hipoteze, një supozimi shkencor që përmban elemente risie. Një hipotezë duhet të shpjegojë më plotësisht dhe më mirë fenomenet dhe proceset, të konfirmohet eksperimentalisht dhe të jetë në përputhje me ligjet e përgjithshme shkencore.
Hipoteza përbën thelbin, bazën metodologjike dhe thelbin e kërkimit teorik. Është kjo që përcakton drejtimin dhe shtrirjen e zhvillimeve teorike.
Në procesin e kërkimit shkencor, një hipotezë përdoret për dy qëllime: për të shpjeguar faktet ekzistuese me ndihmën e saj dhe për të parashikuar të reja, të panjohura. Detyra e studimit është të vlerësojë shkallën e probabilitetit të hipotezës. Duke nxjerrë përfundime të ndryshme nga një hipotezë, studiuesi gjykon përshtatshmërinë e saj teorike dhe empirike. Nëse nga një hipotezë rrjedhin pasoja kontradiktore, atëherë hipoteza është e pavlefshme.
Thelbi i kësaj metode është nxjerrja e pasojave nga hipoteza.
Kjo metodë kërkimore është kryesore dhe më e zakonshme në shkencat e aplikuara.
Kjo për faktin se ato kanë të bëjnë kryesisht me të dhëna vëzhguese dhe eksperimentale.
Duke përdorur këtë metodë, studiuesi, pasi përpunon të dhënat eksperimentale, përpiqet t'i kuptojë dhe shpjegojë ato teorikisht. Hipoteza shërben si një shpjegim paraprak. Por këtu është e nevojshme që pasojat e hipotezës të mos kundërshtojnë faktet eksperimentale.
Metoda hipotetike-deduktive është më e përshtatshme për studiuesit e strukturës së një numri të konsiderueshëm teorish të shkencave natyrore. Kjo është ajo që përdoret për ndërtimin e tyre.
Kjo metodë përdoret më gjerësisht në fizikë.
Metoda hipotetike-deduktive kërkon të unifikojë të gjitha njohuritë ekzistuese dhe të vendosë një lidhje logjike midis tyre. Kjo metodë bën të mundur studimin e strukturës dhe marrëdhënies jo vetëm midis hipotezave të niveleve të ndryshme, por edhe natyrën e konfirmimit të tyre nga të dhënat empirike. Për shkak të vendosjes së një lidhjeje logjike midis hipotezave, konfirmimi i njërës prej tyre do të tregojë indirekt konfirmimin e hipotezave të tjera të lidhura logjikisht me të.
Në procesin e kërkimit shkencor, detyra më e vështirë është zbulimi dhe formulimi i atyre parimeve dhe hipotezave që shërbejnë si bazë për përfundime të mëtejshme.
Metoda hipotetike-deduktive luan një rol ndihmës në këtë proces, pasi me ndihmën e saj nuk parashtrohen hipoteza të reja, por testohen vetëm pasojat që rrjedhin prej tyre, të cilat kontrollojnë procesin e kërkimit.
G) metodat matematikore Termi "metoda matematikore" nënkupton përdorimin e aparatit të çdo teorie matematikore nga shkenca specifike.
Duke përdorur këto metoda, objektet e një shkence specifike, vetitë dhe varësitë e tyre përshkruhen në gjuhën matematikore.
Matematizimi i një shkence specifike është i frytshëm vetëm kur ajo ka zhvilluar koncepte mjaftueshëm të specializuara qartësisht që kanë përmbajtje të formuluar qartë dhe një fushë zbatimi të përcaktuar rreptësisht. Por në të njëjtën kohë, studiuesi duhet të dijë se teoria matematikore në vetvete nuk përcakton përmbajtjen që është ngulitur në këtë formë. Prandaj, është e nevojshme të bëhet dallimi midis formës matematikore të njohurive shkencore dhe përmbajtjes së saj reale.
Shkenca të ndryshme përdorin teori të ndryshme matematikore.
Kështu, në disa shkenca, formulat matematikore përdoren në nivelin e aritmetikës, por në të tjera, përdoren mjetet e analizës matematikore, në të tjera, aparati edhe më kompleks i teorisë së grupeve, teoria e probabilitetit etj.
Por në të njëjtën kohë, nuk është gjithmonë e mundur të shprehen në formë matematikore të gjitha vetitë ekzistuese dhe varësitë e objekteve të studiuara nga një shkencë e veçantë. Përdorimi i metodave matematikore lejon, para së gjithash, të pasqyrojë anën sasiore të fenomeneve. Por do të ishte gabim të reduktohej përdorimi i matematikës vetëm në përshkrimin sasior. Matematika moderne ka mjete teorike që bëjnë të mundur shfaqjen dhe përgjithësimin në gjuhën e saj të shumë tipareve cilësore të objekteve të realitetit.
Metodat matematikore mund të zbatohen pothuajse në çdo shkencë.
Kjo për faktin se objektet e studiuara nga çdo shkencë kanë siguri sasiore, e cila studiohet duke përdorur matematikën. Por shkalla në të cilën përdoren metodat matematikore në shkenca të ndryshme ndryshon. Metodat matematikore mund të zbatohen në një shkencë të caktuar vetëm kur ajo është e pjekur për këtë, domethënë kur në të është bërë më shumë punë paraprake për studimin cilësor të fenomeneve duke përdorur metodat e vetë shkencës.
Përdorimi i metodave matematikore është i frytshëm për çdo shkencë. Ajo çon në një përshkrim të saktë sasior të fenomeneve, kontribuon në zhvillimin e koncepteve të qarta dhe të qarta dhe në nxjerrjen e përfundimeve që nuk mund të arrihen në mënyra të tjera.
Në disa raste, përpunimi matematik i vetë materialit çon në shfaqjen e ideve të reja. Përdorimi i metodave matematikore nga një shkencë e caktuar tregon nivelin më të lartë teorik dhe logjik të saj.
Shkenca moderne është kryesisht e sistemuar. Nëse në të kaluarën e afërt metodat matematikore përdoreshin në astronomi, fizikë, kimi, mekanikë, tani ajo përdoret me sukses në biologji, sociologji, ekonomi dhe shkenca të tjera.
Në ditët e sotme, në kohën e kompjuterëve, është bërë e mundur zgjidhja matematikore e problemeve që konsideroheshin të pazgjidhshme për shkak të kompleksitetit të llogaritjeve.
Aktualisht, rëndësia heuristike e metodave matematikore në shkencë është gjithashtu e madhe. Matematika po bëhet gjithnjë e më shumë një mjet për zbulimin shkencor. Ai jo vetëm që e lejon njeriun të parashikojë fakte të reja, por gjithashtu çon në formimin e ideve dhe koncepteve të reja shkencore.
Metoda aksiomatike u aplikua fillimisht me sukses nga Euklidi për të ndërtuar gjeometrinë elementare. Që nga ajo kohë, kjo metodë ka pësuar një evolucion të konsiderueshëm dhe ka gjetur aplikime të shumta jo vetëm në matematikë, por edhe në shumë degë të shkencës ekzakte natyrore (mekanika, optika, elektrodinamika, teoria e relativitetit, kozmologjia, etj.).
Zhvillimi dhe përmirësimi i metodës aksiomatike ndodhi në dy linja kryesore: së pari, përgjithësimi i vetë metodës dhe, së dyti, zhvillimi i teknikave logjike të përdorura në procesin e nxjerrjes së teoremave nga aksiomat. Për të imagjinuar më qartë natyrën e ndryshimeve që kanë ndodhur, le t'i drejtohemi aksiomatikës origjinale të Euklidit. Siç dihet, konceptet fillestare dhe aksiomat e gjeometrisë interpretohen në një mënyrë dhe të vetme. Me pikë, vijë dhe plan, si konceptet bazë të gjeometrisë, nënkuptohen objektet hapësinore të idealizuara dhe vetë gjeometria konsiderohet si studim i vetive të hapësirës fizike. Gradualisht u bë e qartë se aksiomat e Euklidit doli të ishin të vërteta jo vetëm për përshkrimin e vetive të objekteve gjeometrike, por edhe të objekteve të tjera matematikore dhe madje fizike. Pra, nëse me një pikë nënkuptojmë një trefish të numrave realë, dhe me një vijë të drejtë dhe një plan - ekuacionet lineare përkatëse, atëherë vetitë e të gjitha këtyre objekteve jogjeometrike do të plotësojnë aksiomat gjeometrike të Euklidit. Akoma më interesant është interpretimi i këtyre aksiomave me ndihmën e objekteve fizike, për shembull, gjendjet e një sistemi mekanik dhe fiziko-kimik ose shumëllojshmëria e ndjesive të ngjyrave. E gjithë kjo tregon se aksiomat e gjeometrisë mund të interpretohen duke përdorur objekte të një natyre shumë të ndryshme.
Kjo qasje abstrakte ndaj aksiomatikës u përgatit kryesisht nga zbulimi i gjeometrive jo-Euklidiane nga N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss dhe B. Riemann. Shprehja më konsekuente e pikëpamjes së re të aksiomave si forma abstrakte që lejojnë shumë interpretime të ndryshme u gjet në veprën e famshme të D. Hilbert "Themelet e gjeometrisë" (1899). “Ne mendojmë, - shkruante ai në këtë libër, - për tre sisteme të ndryshme të gjërave: gjërat e sistemit të parë i quajmë pika dhe shënojmë A, B, C,...; Gjërat e sistemit të dytë i quajmë të drejtpërdrejta dhe shënojmë a, b, c,...; Gjërat e sistemit të tretë i quajmë plane dhe i caktojmë si a, B, y,...”. Nga kjo është e qartë se me "pikë", "vijë të drejtë" dhe "rrafsh" mund të nënkuptojmë çdo sistem objektesh. Është e rëndësishme vetëm që vetitë e tyre të përshkruhen nga aksiomat përkatëse. Hapi tjetër në rrugën drejt abstraksionit nga përmbajtja e aksiomave shoqërohet me paraqitjen e tyre simbolike në formën e formulave, si dhe me specifikimin e saktë të atyre rregullave të konkluzionit që përshkruajnë se si formula të tjera (teorema) merren nga disa formula ( aksiomat). Si rezultat i kësaj, arsyetimi kuptimplotë me konceptet në këtë fazë të kërkimit kthehet në disa operacione me formula sipas rregullave të paracaktuara. Me fjalë të tjera, të menduarit kuptimplotë reflektohet këtu në llogaritje. Sistemet aksiomatike të këtij lloji shpesh quhen sisteme sintaksore të formalizuara, ose gurë.
Të tre llojet e aksiomatizimit të konsideruara përdoren në shkencën moderne. Sistemet aksiomatike të formalizuara përdoren kryesisht kur studiohen bazat logjike të një shkence të veçantë. Një kërkim i tillë ka fituar shtrirjen më të madhe në matematikë në lidhje me zbulimin e paradokseve në teorinë e grupeve. Sistemet formale luajnë një rol të rëndësishëm në krijimin e gjuhëve të veçanta shkencore, me ndihmën e të cilave është e mundur të eliminohen sa më shumë pasaktësitë e gjuhës së zakonshme, natyrore.
Disa shkencëtarë e konsiderojnë këtë pikë si pothuajse gjënë kryesore në procesin e aplikimit të metodave logjiko-matematikore në shkencat specifike. Kështu, shkencëtari anglez I. Woodger, i cili është një nga pionierët e përdorimit të metodës aksiomatike në biologji, beson se aplikimi i kësaj metode në biologji dhe në degët e tjera të shkencës natyrore konsiston në krijimin e një gjuhe të përsosur shkencërisht në të cilën llogaritja është e mundur. Baza për ndërtimin e një gjuhe të tillë është një metodë aksiomatike, e shprehur në formën e një sistemi të formalizuar, ose llogaritje. Simbolet fillestare të dy llojeve shërbejnë si alfabet i një gjuhe të formalizuar: logjike dhe individuale.
Simbolet logjike përfaqësojnë lidhje logjike dhe marrëdhënie të përbashkëta për shumë ose shumicën e teorive. Simbolet individuale përfaqësojnë objekte të teorisë në studim, për shembull matematikore, fizike ose biologjike. Ashtu si një sekuencë e caktuar shkronjash të alfabetit formon një fjalë, ashtu edhe një koleksion i kufizuar simbolesh të renditura formon formulat dhe shprehjet e një gjuhe të formalizuar. Për të dalluar shprehjet kuptimplote të një gjuhe, prezantohet koncepti i një formule të ndërtuar saktë. Për të përfunduar procesin e ndërtimit të një gjuhe artificiale, mjafton të përshkruhen qartë rregullat për nxjerrjen ose konvertimin e një formule në një tjetër dhe të nënvizohen disa formula të ndërtuara saktë si aksioma. Kështu, ndërtimi i një gjuhe të formalizuar ndodh në të njëjtën mënyrë si ndërtimi i një sistemi aksiomatik kuptimplotë. Meqenëse arsyetimi kuptimplotë me formula është i papranueshëm në rastin e parë, derivimi logjik i pasojave këtu zbret në kryerjen e operacioneve të përcaktuara saktësisht për trajtimin e simboleve dhe kombinimeve të tyre.
Qëllimi kryesor i përdorimit të gjuhëve të formalizuara në shkencë është një analizë kritike e arsyetimit me ndihmën e të cilit merren njohuri të reja në shkencë. Meqenëse gjuhët e formalizuara pasqyrojnë disa aspekte të arsyetimit kuptimplotë, ato mund të përdoren gjithashtu për të vlerësuar mundësitë e automatizimit të aktivitetit intelektual.
Sistemet abstrakte aksiomatike përdoren më gjerësisht në matematikën moderne, e cila karakterizohet nga një qasje jashtëzakonisht e përgjithshme ndaj temës së hulumtimit. Në vend që të flasë për numra konkretë, funksione, vija, sipërfaqe, vektorë e të ngjashme, matematikani modern merr në konsideratë grupe të ndryshme objektesh abstrakte, vetitë e të cilave formulohen saktësisht me anë të aksiomave. Koleksione ose grupe të tilla, së bashku me aksiomat që i përshkruajnë ato, tani shpesh quhen struktura matematikore abstrakte.
Çfarë përparësish do t'i japë matematikës metoda aksiomatike? Së pari, ai zgjeron ndjeshëm fushën e aplikimit të metodave matematikore dhe shpesh lehtëson procesin e kërkimit. Kur studion fenomene dhe procese specifike në një fushë të caktuar, një shkencëtar mund të përdorë sisteme abstrakte aksiomatike si mjete të gatshme analize. Duke u siguruar që dukuritë në shqyrtim plotësojnë aksiomat e një teorie të caktuar matematikore, studiuesi mund të përdorë menjëherë të gjitha teoremat që rrjedhin nga aksiomat pa punë shtesë intensive. Qasja aksiomatike shpëton një specialist në një shkencë specifike nga kryerja e një kërkimi matematikor mjaft kompleks dhe të vështirë.
Për një matematikan, kjo metodë bën të mundur të kuptojë më mirë objektin e kërkimit, të nxjerrë në pah drejtimet kryesore në të dhe të kuptojë unitetin dhe lidhjen e metodave dhe teorive të ndryshme. Uniteti që arrihet me ndihmën e metodës aksiomatike, në shprehjen figurative të N. Bourbaki-t, nuk është uniteti “që jep një skelet pa jetë. Është lëngu ushqyes i trupit në zhvillim të plotë, një instrument kërkimor i lakueshëm dhe frytdhënës...” Falë metodës aksiomatike, veçanërisht në formën e saj të formalizuar, bëhet e mundur zbulimi i plotë i strukturës logjike të teorive të ndryshme. Në formën e saj më të përsosur, kjo vlen për teoritë matematikore. Në njohuritë e shkencës natyrore, ne duhet të kufizohemi në aksiomatizimin e thelbit kryesor të teorive. Më tej, përdorimi i metodës aksiomatike bën të mundur kontrollin më të mirë të rrjedhës së arsyetimit tonë, duke arritur ashpërsinë e nevojshme logjike. Sidoqoftë, vlera kryesore e aksiomatizimit, veçanërisht në matematikë, është se ai vepron si një metodë për të eksploruar modele të reja, duke vendosur lidhje midis koncepteve dhe teorive që më parë dukeshin të izoluara nga njëra-tjetra.
Përdorimi i kufizuar i metodës aksiomatike në shkencën e natyrës shpjegohet kryesisht me faktin se teoritë e saj duhet të kontrollohen vazhdimisht nga përvoja.
Për shkak të kësaj, teoria e shkencës natyrore nuk përpiqet kurrë për plotësi dhe izolim të plotë. Ndërkohë, në matematikë ata preferojnë të merren me sisteme aksiomash që plotësojnë kërkesën e plotësisë. Por siç tregoi K. Gödel, çdo sistem konsistent aksiomash të një natyre jo të parëndësishme nuk mund të jetë i plotë.
Kërkesa për konsistencën e një sistemi aksiomash është shumë më e rëndësishme sesa kërkesa për plotësinë e tyre. Nëse një sistem aksiomash është kontradiktor, ai nuk do të ketë ndonjë vlerë për dijen. Duke u kufizuar në sisteme jo të plota, është e mundur të aksiomatizojmë vetëm përmbajtjen kryesore të teorive të shkencave natyrore, duke lënë mundësinë e zhvillimit dhe përsosjes së mëtejshme të teorisë përmes eksperimentit. Edhe një synim kaq i kufizuar në një numër rastesh rezulton të jetë shumë i dobishëm, për shembull, për zbulimin e disa premisave dhe supozimeve të nënkuptuara të teorisë, monitorimin e rezultateve të marra, sistemimin e tyre etj.
Zbatimi më premtues i metodës aksiomatike është në ato shkenca ku konceptet e përdorura kanë qëndrueshmëri të konsiderueshme dhe ku mund të abstragohet nga ndryshimi dhe zhvillimi i tyre.
Pikërisht në këto kushte bëhet i mundur identifikimi i lidhjeve formale-logjike ndërmjet komponentëve të ndryshëm të teorisë. Kështu, metoda aksiomatike, në një masë më të madhe se metoda hipotetike-deduktive, është përshtatur për studimin e njohurive të gatshme, të arritura.
Analiza e shfaqjes së dijes dhe e procesit të formimit të saj kërkon kthimin në dialektikën materialiste, si doktrina më e thellë dhe më gjithëpërfshirëse e zhvillimit.
Metoda aksiomatike është një metodë e ndërtimit të një teorie matematikore në të cilën si bazë përdoren dispozita të caktuara që pranohen pa prova (aksioma), dhe të gjitha të tjerat rrjedhin prej tyre në një mënyrë krejtësisht logjike. Me një aplikim radikal të kësaj qasjeje, matematika reduktohet në logjikë të pastër, gjëra të tilla si intuita, paraqitjet gjeometrike vizuale, arsyetimi induktiv, etj., përjashtohen prej saj. Ajo që është thelbi i krijimtarisë matematikore zhduket. Pse atëherë u shpik kjo metodë? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje duhet të kthehemi në fillimet e matematikës.
1. Aksiomat: dy kuptime
Siç e kujtojmë nga shkolla, provat matematikore, aksiomat dhe teoremat u shfaqën në Greqinë e Lashtë. Ndërtimi aksiomatik i gjeometrisë u kanonizua në librin nga i cili u mësuan shumë breza matematika - në Elementet e Euklidit. Sidoqoftë, në ato ditë koncepti i një aksiome kuptohej ndryshe nga tani. Deri më tani, tekstet shkollore ndonjëherë thonë se aksiomat janë të vërteta të dukshme të pranuara pa prova. Në shekullin e 19-të, ky koncept ndryshoi shumë sepse fjala "e dukshme" u zhduk. Aksiomat nuk janë më të dukshme, ato ende pranohen pa prova, por në parim mund të jenë deklarata krejtësisht arbitrare. Pas këtij ndryshimi të vogël, në shikim të parë, është një ndryshim mjaft radikal në pozicionin filozofik - një refuzim për të njohur realitetin e vetëm të mundshëm matematikor. Rolin kryesor në këtë ndryshim, natyrisht, e luajti historia e shfaqjes së gjeometrisë jo-Euklidiane, e cila ndodhi në shekullin e 19-të falë punës së shkencëtarëve të tillë si N. I. Lobachevsky dhe J. Bolyai.
2. Problemi i aksiomës së drejtëzave paralele
Historia e gjeometrisë jo-Euklidiane filloi me përpjekjet për të provuar të ashtuquajturin postulat të pestë të Euklidit - aksiomën e famshme të paraleleve: përmes një pike jashtë vijës, jo më shumë se një drejtëz mund të tërhiqet paralelisht me atë të dhënë. Kjo deklaratë ishte dukshëm e ndryshme në natyrë nga pjesa tjetër e aksiomave të Euklidit. Shumëve iu duk se duhej vërtetuar se nuk ishte aq e dukshme sa aksiomat e tjera. Këto përpjekje nuk ishin të suksesshme për shekuj me radhë, shumë matematikanë propozuan "zgjidhjet" e tyre, në të cilat matematikanët e tjerë gjetën gabime. (Tani ne e dimë se këto përpjekje ishin padyshim të dënuara me dështim; ky ishte një nga shembujt e parë të pohimeve matematikore të paprovueshme).
3. Gjeometria Lobachevsky
Vetëm në shek. Çfarë bëri Lobachevsky? Ai bëri atë që bëjnë shpesh matematikanët kur përpiqen të vërtetojnë një deklaratë. Një teknikë e preferuar është vërtetimi me kontradiktë: supozoni se pohimi i dhënë është i rremë. Çfarë rrjedh nga kjo? Për të vërtetuar teoremën, matematikanët përpiqen të nxjerrin një kontradiktë nga supozimi i bërë. Por në këtë rast, Lobachevsky mori gjithnjë e më shumë pasoja të reja matematikore, gjeometrike nga supozimi i bërë, por ato u rreshtuan në një sistem shumë të bukur, të qëndrueshëm nga brenda, i cili megjithatë ndryshonte nga ai Euklidian me të cilin jemi mësuar. Një botë e re e gjeometrisë jo-Euklidiane, ndryshe nga ajo me të cilën jemi mësuar, po shpalosej para syve të tij. Kjo e çoi Lobachevsky-n të kuptonte se një gjeometri e tillë ishte e mundur. Në të njëjtën kohë, aksioma e paraleleve në gjeometrinë e Lobachevskit kundërshtoi qartë intuitën tonë të përditshme gjeometrike: jo vetëm që nuk ishte intuitivisht e qartë, por nga pikëpamja e kësaj intuite ishte e rreme.
Megjithatë, është një gjë të imagjinohet se kjo është e mundur në parim, dhe një tjetër është të provosh rreptësisht matematikisht se një sistem i tillë aksiomash për gjeometrinë është i qëndrueshëm. Kjo u arrit disa dekada më vonë në veprat e matematikanëve të tjerë - Beltrami, Klein dhe Poincaré, të cilët propozuan modele të aksiomave të gjeometrisë jo-Euklidiane brenda kornizës së gjeometrisë së zakonshme Euklidiane. Ata vërtetuan se mospërputhja e gjeometrisë së Lobachevskit do të sillte mospërputhjen e gjeometrisë Euklidiane të njohur për ne. E kundërta është gjithashtu e vërtetë, domethënë, nga pikëpamja e logjikës, të dy sistemet rezultojnë të jenë plotësisht të barabartë.
Duke thënë këtë, ka një paralajmërim që duhet bërë. Historia e gjeometrisë jo-Euklidiane ilustrohet mirë nga një fenomen tjetër i vërejtur më shumë se një herë në historinë e shkencës. Ndonjëherë zgjidhja e një problemi lind jo më pas, por përpara se vetë problemi të marrë një formulim të saktë që kuptohet mirë nga të gjithë. Kështu ishte në këtë rast: në mesin e shekullit të 19-të, një listë e plotë e aksiomave të gjeometrisë elementare nuk ekzistonte ende. Elementet e Euklidit nuk ishin mjaftueshëm konsistente për sa i përket zbatimit të metodës aksiomatike. Shumë nga argumentet e Euklidit iu drejtuan intuitës vizuale, qartësisht, aksiomat e tij nuk ishin të mjaftueshme as për një formulim kuptimplotë të problemit të paprovueshmërisë së postulatit paralel. Lobachevsky me Bolyai, dhe Beltrami me Klein dhe Poincaré ishin në një pozicion të ngjashëm. Vendosja e problemit të paprovueshmërisë në nivelin e duhur të ashpërsisë kërkonte zhvillimin e një aparati krejtësisht të ri të logjikës matematikore dhe të së njëjtës metodë aksiomatike.
4. Krijimi i një metode aksiomatike
Situata u kuptua pas botimit të librit të D. Hilbertit "Themelet e gjeometrisë" ai propozoi konceptin e metodës aksiomatike me të cilën filluam. Hilberti kuptoi se për të kuptuar themelet e gjeometrisë, ishte e nevojshme të përjashtohej plotësisht nga aksiomat gjithçka përveç logjikës. Ai e shprehu me plot ngjyra këtë ide si më poshtë: “Vlefshmëria e aksiomave dhe teoremave nuk do të tronditet aspak nëse termat e zakonshëm “pikë, vijë, rrafsh” i zëvendësojmë me të tjera, po aq konvencionale: “karrige, tavolinë, filxhan birre”!
Ishte Hilberti ai që ndërtoi sistemin e parë të qëndrueshëm dhe të plotë të aksiomave për gjeometrinë elementare, kjo ndodhi në fund të shekullit të 19-të. Kështu, metoda aksiomatike u krijua në të vërtetë për të vërtetuar pamundësinë e vërtetimit të pohimeve të caktuara, në këtë rast gjeometrike.
Hilberti ishte krenar për zbulimin e tij dhe mendonte se kjo metodë mund të shtrihej në të gjithë matematikën në tërësi: jo vetëm në gjeometrinë elementare, por edhe në aritmetikë, analizë dhe teori të grupeve. Ai shpalli "Programin Hilbert", qëllimi i të cilit ishte zhvillimi i sistemeve të aksiomave për të gjitha pjesët e matematikës (dhe madje edhe pjesët e fizikës) dhe më pas vendosja e konsistencës së matematikës me mjete të kufizuara. Sapo Hilberti kuptoi mundësitë e metodës aksiomatike, u duk se një rrugë e drejtpërdrejtë ishte e hapur për një zhvillim të tillë. Hilberti madje shqiptoi një frazë të famshme në vitin 1930, e cila përkthyer në rusisht tingëllon si "Ne duhet të dimë, dhe ne do të dimë", që do të thotë se gjithçka që matematikanët duhet të dinë, ata herët a vonë do ta mësojnë. Megjithatë, ky qëllim doli të ishte joreal, gjë që u bë e qartë shumë më vonë. Ajo që është më e mahnitshme është se teorema që i hodhi poshtë këto shpresa, teorema e paplotësisë së Kurt Gödel, u shpall në të njëjtën konferencë në vitin 1930, në të cilën Hilberti mbajti fjalimin e tij të famshëm, pikërisht një ditë para kësaj ngjarjeje.
5. Mundësitë e metodës aksiomatike
Metoda aksiomatike e Hilbertit lejon që dikush të ndërtojë teori matematikore mbi pohime matematikore të përcaktuara qartë, nga të cilat të tjerat mund të nxirren logjikisht. Hilberti në fakt shkoi më tej dhe vendosi që reduktimi i matematikës në logjikë mund të vazhdonte. Ju mund të bëni më tej pyetjen: "A është e mundur të heqësh qafe shpjegimin e kuptimit të asaj që është një operacion logjik?" Vetë logjika mund të hiqet nga metoda aksiomatike. Nga teoritë aksiomatike kalojmë në teoritë aksiomatike formale - këto janë teori të shkruara në formë simbolike, ndërsa matematika kthehet jo vetëm në një sekuencë përfundimesh logjike, por në një lloj loje të rishkrimit të shprehjeve formale sipas rregullave të caktuara. Është kjo lojë, e cila nuk ka absolutisht asnjë kuptim nëse e shikon me naivitet, jep modelin e saktë matematikor se çfarë është një "provë". Duke analizuar këtë lojë, mund të vërtetohet se teoremat matematikore nuk mund të vërtetohen. Por gjëja kryesore: si rezultat i formalizimit, matematikanët për herë të parë ndërtuan gjuhë plotësisht të zyrtarizuara, gjë që çoi në krijimin e gjuhëve të programimit dhe gjuhëve të bazës së të dhënave. Zhvillimi modern i teknologjisë kompjuterike bazohet përfundimisht në zbulimet që u bënë në matematikë në fillim të shekullit të 20-të.
6. Kritika e metodës aksiomatike
Shumë matematikanë kritikojnë metodën aksiomatike për atë për të cilën u krijua: ajo çliron matematikën nga kuptimi. Sepse fillimisht e çlirojmë matematikën nga konceptet e ndryshme gjeometrike, nga intuita. Duke kaluar në një teori formale aksiomatike, ne, në përgjithësi, e dëbojmë logjikën nga matematika. Dhe si rezultat, gjithçka që mbetet nga prova thelbësore është një skelet i përbërë nga simbole formale. Avantazhi i kësaj të fundit është pikërisht se ne nuk e dimë se çfarë është "kuptimi" dhe "intuita", por dimë saktësisht se çfarë janë manipulimet me vargjet e fundme të personazheve. Kjo na lejon të ndërtojmë një model të saktë matematikor të një dukurie komplekse - dëshmi - dhe t'ia nënshtrojmë atë analizës matematikore.
Prova matematikore ishte fillimisht një proces psikologjik për të bindur një bashkëbisedues për korrektësinë e një deklarate të caktuar. Në sistemin formal nuk është kështu: gjithçka është reduktuar në një proces thjesht mekanik. Ky proces thjesht mekanik mund të kryhet nga një kompjuter. Megjithatë, si çdo model, procesi mekanik përcjell vetëm disa nga tiparet e provave reale. Ky model ka kufijtë e tij të zbatueshmërisë. Është e gabuar të mendohet se provat formale janë prova matematikore "të vërteta" ose se matematikanët aktualisht punojnë brenda disa sistemeve formale.
Më vete, vlen të përmendet mësimi i matematikës. Nuk ka asgjë më të keqe sesa të bazohet edukimi i nxënësve në kryerjen e veprimeve mekanike (algoritmeve) ose në ndërtimin e përfundimeve formale logjike. Në këtë mënyrë ju mund të prishni çdo fillim krijues tek një person. Prandaj, kur mësoni matematikë, nuk duhet t'i qaseni asaj nga pozicioni i një metode strikte aksiomatike në kuptimin e Hilbertit - nuk është ajo për të cilën u krijua.
Metoda aksiomatike është një nga mënyrat e ndërtimit në mënyrë deduktive të teorive shkencore, në të cilën:
1. zgjidhet një grup i caktuar propozimesh të një teorie (aksiomash) të caktuar të pranuara pa prova;
2. konceptet e përfshira në to nuk janë të përcaktuara qartë në kuadrin e kësaj teorie;
3. rregullat e përkufizimit dhe rregullat për zgjedhjen e një teorie të caktuar janë të fiksuara, duke lejuar që dikush të futë terma (koncepte) të reja në teori dhe të nxjerrë logjikisht disa propozime nga të tjerët;
4. të gjitha propozimet e tjera të kësaj teorie (teoreme) janë nxjerrë nga 1 në bazë të 3.
Në matematikë, AM filloi në veprat e gjeometrave të lashtë grekë. Shkëlqyeshëm, duke mbetur i vetmi deri në shekullin e 19-të. Modeli për përdorimin e AM ishte gjeometrik. sistemi i njohur si "Fillimet" e Euklidit (rreth 300 para Krishtit). Edhe pse në atë kohë nuk ishte ngritur ende çështja e përshkrimit të logjikës logjike. mjetet e përdorura për nxjerrjen e pasojave kuptimplota nga aksiomat, në sistemin Euklidian ideja e marrjes së të gjithë përmbajtjes bazë të gjeometrisë është realizuar tashmë mjaft qartë. teori thjesht deduktive nga një numër i caktuar, relativisht i vogël pohimesh - aksiomash, e vërteta e të cilave dukej qartësisht e qartë.
Hapja në fillim shekulli i 19-të Gjeometria jo-Euklidiane nga N. I. Lobachevsky dhe J. Bolyai ishte shtysa për zhvillimin e mëtejshëm të AM-së, Ata vendosën se, pasi zëvendësuan postulatin e zakonshëm dhe, siç duket, i vetmi "objektivisht i vërtetë" i Euklidit për paralelet me mohimin e tij. , Ju mund të zhvilloni thjesht logjike. nga gjeometria një teori aq harmonike dhe e pasur në përmbajtje sa gjeometria e Euklidit. Ky fakt i detyroi matematikanët e shekullit të 19-të. i kushtojnë vëmendje të veçantë metodës deduktive të ndërtimit të matematikës. teoritë, të cilat përfshinin shfaqjen e problemeve të reja që lidhen me vetë konceptin e matematikës matematikore dhe matematikore formale (aksiomatike). teoritë. Si përvojë aksiomatike e grumbulluar. prezantimi i matematikës teoritë - këtu është e nevojshme të theksohet, para së gjithash, përfundimi i një ndërtimi logjikisht të patëmetë (në kontrast me Elementet e Euklidit) të gjeometrisë elementare [M. Pash (M. Pasch), J. Peano (G. Peano), D. Hilbert (D. Hilbert)] dhe përpjekjet e para për të aksiomatizuar aritmetikën (J. Peano), - u sqarua koncepti i aksiomatikës formale. sistemet (shih më poshtë); u shfaq një veçori specifike. problemet në bazë të të cilave të ashtuquajturat teoria e provave si seksioni kryesor i matematikës moderne. logjikës.
Kuptimi i nevojës për të vërtetuar matematikën dhe detyrat specifike në këtë fushë u ngrit në një formë pak a shumë të qartë tashmë në shekullin e 19-të. Në të njëjtën kohë, nga njëra anë, sqarimi i koncepteve themelore dhe zvogëlimi i koncepteve më komplekse në më të thjeshtat mbi një bazë të saktë dhe logjikisht gjithnjë e më strikte u krye nga Ch. arr. në fushën e analizës [A Cauchy, konceptet funksionale-teorike të B. Bolzano dhe K. Weierstrass, vazhdimësi e G. Cantor dhe R. Dedekind (R .Dedekind)]; nga ana tjetër, zbulimi i gjeometrive jo-Euklidiane stimuloi zhvillimin e matematikës matematikore, shfaqjen e ideve të reja dhe formulimin e problemeve të metamatematikës më të përgjithshme. karakter, para së gjithash, probleme që lidhen me konceptin e aksiomatike arbitrare. teori, të tilla si problemet e konsistencës, plotësimit dhe pavarësisë së një sistemi të caktuar aksiomash. Rezultatet e para në këtë fushë u sollën me metodën e interpretimit, e cila përafërsisht mund të përshkruhet si më poshtë. Le të shohim çdo koncept fillestar dhe relacion të një aksiomatike të caktuar. teoria T vihet në përputhje me një teori të caktuar matematikore konkrete. objekt. Mbledhja e objekteve të tilla quhet. fusha e interpretimit. Çdo pohim i teorisë T tani lidhet natyrshëm me një deklaratë të caktuar rreth elementeve të fushës së interpretimit, e cila mund të jetë e vërtetë ose e rreme. Atëherë deklarata e teorisë T thuhet se është e vërtetë ose e rreme, përkatësisht, sipas atij interpretimi. Fusha e interpretimit dhe vetitë e saj janë zakonisht objekt i shqyrtimit të një teorie matematikore, në përgjithësi një tjetër, matematikore. teoria T 1, në veçanti, mund të jetë gjithashtu aksiomatike. Metoda e interpretimit na lejon të përcaktojmë faktin e konsistencës relative në mënyrën e mëposhtme, domethënë të vërtetojmë pohime si: "nëse teoria T 1 është e qëndrueshme, atëherë teoria T është gjithashtu konsistente". Le të interpretohet teoria T në teorinë T 1 në atë mënyrë që të gjitha aksiomat e teorisë T të interpretohen nga gjykimet e vërteta të teorisë T 1 . Pastaj çdo teoremë e teorisë T, d.m.th., çdo pohim A i deduktuar logjikisht nga aksiomat në T, interpretohet në T 1 nga një pohim i caktuar i nxjerrë në T 1 nga interpretimet e aksiomave A unë, dhe për këtë arsye e vërtetë. Deklarata e fundit bazohet në një supozim tjetër që ne në mënyrë implicite bëjmë për një ngjashmëri të caktuar logjike. mjetet e teorive T dhe T 1, por në praktikë zakonisht plotësohet ky kusht. (Në agimin e aplikimit të metodës së interpretimit, ky supozim as që u mendua në mënyrë specifike: ai u mor si i mirëqenë; në fakt, në rastin e eksperimenteve të para, provat e teoremave mbi qëndrueshmërinë relative të logjikës mjetet e teorive T dhe T 1 thjesht përkonin - kjo ishte logjika klasike e kallëzuesve ) Tani le të jetë teoria T kontradiktore, domethënë, një pohim A i kësaj teorie mund të nxirret në të së bashku me mohimin e saj. Pastaj nga sa më sipër del se pohimet dhe në të njëjtën kohë do të jenë pohime të vërteta të teorisë T 1, d.m.th., se teoria T 1 është kontradiktore. Kjo metodë, për shembull, u vërtetua [F. Klein (F. Klein), A. Poincare (N. Poincare)] qëndrueshmëri e gjeometrisë Lobachevsky jo-Euklidiane nën supozimin se gjeometria Euklidiane është e qëndrueshme; dhe çështja e konsistencës së aksiomatizimit Hilbert të gjeometrisë Euklidiane u reduktua (D. Hilbert) në problemin e qëndrueshmërisë së aritmetikës. Metoda e interpretimit na lejon gjithashtu të zgjidhim çështjen e pavarësisë së sistemeve të aksiomave: të vërtetojmë se aksioma e Teorisë T nuk varet nga aksiomat e tjera të kësaj teorie, domethënë nuk është e deduktueshme prej tyre, dhe prandaj, është thelbësore për të marrë të gjithë shtrirjen e kësaj teorie, mjafton të ndërtohet një interpretim i tillë i teorisë T, në të cilin aksioma e Abylit do të ishte e rreme, dhe të gjitha aksiomat e tjera të kësaj teorie do të ishin të vërteta. Një formë tjetër e kësaj metode të vërtetimit të pavarësisë është vendosja e konsistencës së teorisë, e cila fitohet nëse në një teori të caktuar TaxiomA zëvendësohet me mohimin e saj. Reduktimi i lartpërmendur i problemit të konsistencës së gjeometrisë së Lobachevskit në problemin e konsistencës së gjeometrisë Euklidiane, dhe kjo e fundit - në çështjen e konsistencës së aritmetikës, ka si pasojë pohimin se postulati i Euklidit nuk është i deduktueshëm nga aksiomat e tjera të gjeometrisë, përveç nëse aritmetika e numrave natyrorë është e qëndrueshme. Dobësia e metodës së interpretimit është se në çështjet e konsistencës dhe pavarësisë së sistemeve të aksiomave, bën të mundur marrjen e rezultateve që pashmangshmërisht janë vetëm relative në natyrë. Por një arritje e rëndësishme e kësaj metode ishte fakti se me ndihmën e saj u zbulua mbi një bazë mjaft të saktë roli i veçantë i aritmetikës si një shkencë e tillë matematikore. teoria, një pyetje e ngjashme për një sërë teorish të tjera reduktohet në çështjen e konsistencës.
A. m mori zhvillim të mëtejshëm - dhe në një farë kuptimi ky ishte kulmi - në veprat e D. Hilbertit dhe shkollës së tij në formën e të ashtuquajturës. metodë formalizmi në bazat e matematikës. Në kuadrin e këtij drejtimi u zhvillua faza tjetër e sqarimit të konceptit të aksiomatikës. teoritë, përkatësisht koncepti sistemi formal. Si rezultat i këtij sqarimi, u bë e mundur të përfaqësoheshin vetë ato matematikore. teoritë si matematikore ekzakte objektet dhe të ndërtojnë një teori të përgjithshme, ose metateori, teori të tilla. Në të njëjtën kohë, perspektiva dukej joshëse (dhe D. Hilbert në një kohë ishte i magjepsur prej saj) për të zgjidhur të gjitha pyetjet kryesore të themelit të matematikës përgjatë kësaj rruge. Koncepti kryesor i këtij drejtimi është koncepti i një sistemi formal. Çdo sistem formal është i ndërtuar si një klasë e përcaktuar saktësisht e shprehjeve - formulave, në të cilat një nënklasë formulash, e quajtur formula, dallohet në një mënyrë të caktuar të saktë. teoremat e këtij sistemi formal. Në të njëjtën kohë, formulat e një sistemi formal nuk kanë drejtpërdrejt ndonjë kuptim kuptimplotë dhe ato mund të ndërtohen nga ikona arbitrare, në përgjithësi, ose simbole elementare, të udhëhequra vetëm nga konsideratat e komoditetit teknik. Në fakt, metoda e ndërtimit të formulave dhe koncepti i një teoreme të një sistemi të caktuar formal janë zgjedhur në atë mënyrë që i gjithë ky aparat formal të mund të përdoret për të shprehur, ndoshta në mënyrë më adekuate dhe më të plotë, një të veçantë matematikore (dhe jomatematikore ) teoria, më saktë, si faktike e saj përmbajtja dhe struktura e saj deduktive. Skema e përgjithshme për ndërtimin (specifikimin) e një sistemi formal arbitrar S është si më poshtë.
I. Gjuha e Sistemit S:
a) alfabeti - një listë e simboleve elementare të sistemit;
b) rregullat e formimit (sintaksë) - rregullat sipas të cilave formulat e sistemit S janë ndërtuar nga simbolet elementare në këtë rast, një sekuencë simbolesh elementare konsiderohet formulë nëse dhe vetëm nëse mund të ndërtohet duke përdorur rregullat e formimit; .
II. Aksiomat e sistemit S. Identifikohet një grup i caktuar formulash (zakonisht të fundme ose të numërueshme), të cilat quhen. aksiomat e sistemit S.
III. Rregullat e tërheqjes së sistemit S. Një grup (zakonisht i fundëm) kallëzuesish është i fiksuar në bashkësinë e të gjitha formulave të sistemit S. Le - k.-l. të këtyre kallëzuesve, nëse pohimi është i vërtetë për këto formula, atëherë ata thonë se formula rrjedh drejtpërdrejt nga formulat sipas rregullit
7. Teoria e probabilitetit:
Teoria e probabilitetit - një shkencë matematikore që studion modelet në fenomene të rastësishme. Një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit është koncepti ngjarje e rastësishme (ose thjesht ngjarjet ).
Ngjarjeështë çdo fakt që mund të ndodhë ose jo si rezultat i përvojës. Shembuj të ngjarjeve të rastësishme: një gjashtë që bie jashtë kur hedh një zar, një dështim i një pajisjeje teknike, një shtrembërim i një mesazhi kur e transmeton atë përmes një kanali komunikimi. Disa ngjarje lidhen me numrat , duke karakterizuar shkallën e mundësisë objektive të ndodhjes së këtyre ngjarjeve, të quajtur probabilitetet e ngjarjeve .
Ekzistojnë disa qasje ndaj konceptit të "probabilitetit".
Ndërtimi modern i teorisë së probabilitetit bazohet në qasje aksiomatike dhe bazohet në konceptet elementare të teorisë së grupeve. Kjo qasje quhet teorike e grupeve.
Le të kryhet një eksperiment me një rezultat të rastësishëm. Konsideroni grupin W të të gjitha rezultateve të mundshme të eksperimentit; do ta quajmë secilin prej elementeve të tij ngjarje elementare dhe bashkësia Ω është hapësira e ngjarjeve elementare. Çdo ngjarje A në interpretimin teorik të bashkësive ekziston një nënbashkësi e caktuar e bashkësisë Ω: .
E besueshme quhet ngjarja W që ndodh në çdo eksperiment.
E pamundur quhet një ngjarje Æ, e cila nuk mund të ndodhë si rezultat i eksperimentit.
E papajtueshme janë ngjarje që nuk mund të ndodhin njëkohësisht në të njëjtën përvojë.
Shuma(kombinim) i dy ngjarjeve A Dhe B(shënohet A+B, AÈ B) është një ngjarje që konsiston në faktin se të paktën një nga ngjarjet ndodh, d.m.th. A ose B, ose të dyja në të njëjtën kohë.
Puna(kryqëzimi) i dy ngjarjeve A Dhe B(shënohet A× B, AÇ B) është një ngjarje ku ndodhin të dyja ngjarjet A Dhe B së bashku.
Përballë ndaj ngjarjes A quhet një ngjarje e tillë, që është ajo ngjarje A nuk ndodh.
Ngjarjet Një k(k=1, 2, …, n) formë grupi i plotë , nëse ato janë të papajtueshme në çift dhe në total formojnë një ngjarje të besueshme.
Probabiliteti i ngjarjesA ata e quajnë raportin e numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme që formojnë grupin e plotë. Pra, probabiliteti i ngjarjes A përcaktohet nga formula
ku m është numri i rezultateve elementare të favorshme për A; n është numri i të gjitha rezultateve të mundshme të testit elementar.
Këtu supozohet se rezultatet elementare janë të papajtueshme, po aq të mundshme dhe formojnë një grup të plotë. Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi i probabilitetit:
Artikulli i tij 1. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një. Në të vërtetë, nëse ngjarja është e besueshme, atëherë çdo rezultat elementar i testit favorizon ngjarjen. Në këtë rast m = n, pra,
P (A) = m / n = n / n = 1.
S në rreth me t në rreth 2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero. Në të vërtetë, nëse një ngjarje është e pamundur, atëherë asnjë nga rezultatet elementare të testit nuk e favorizon ngjarjen. Në këtë rast m = 0, pra,
P (A) = m / n = 0 / n = 0.
Me në rreth me t në rreth 3. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv midis zeros dhe një Në të vërtetë, vetëm një pjesë e numrit total të rezultateve elementare të testit favorizohet nga një ngjarje e rastësishme. Në këtë rast 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 <Р (А) < 1
Pra, probabiliteti i çdo ngjarjeje plotëson pabarazinë e dyfishtë
Metoda aksiomatike e ndërtimit të një teorie shkencore në matematikë
Metoda aksiomatike u shfaq në Greqinë e Lashtë dhe tani përdoret në të gjitha shkencat teorike, kryesisht në matematikë.
Metoda aksiomatike e ndërtimit të një teorie shkencore është si vijon: identifikohen konceptet bazë, formulohen aksiomat e teorisë dhe të gjitha pohimet e tjera nxirren logjikisht, bazuar në to.
Konceptet kryesore janë theksuar si më poshtë. Dihet se një koncept duhet të shpjegohet me ndihmën e të tjerëve, të cilët, nga ana tjetër, përkufizohen edhe me ndihmën e disa koncepteve të njohura. Kështu, arrijmë te konceptet elementare që nuk mund të përkufizohen përmes të tjerëve. Këto koncepte quhen themelore.
Kur vërtetojmë një pohim, një teoremë, ne mbështetemi në premisa që konsiderohen tashmë të provuara. Por këto premisa u vërtetuan gjithashtu. Në fund vijmë në deklarata të paprovueshme dhe i pranojmë pa prova. Këto pohime quhen aksioma. Bashkësia e aksiomave duhet të jetë e tillë që, në bazë të saj, të jetë e mundur të vërtetohen pohime të mëtejshme.
Pasi kemi identifikuar konceptet bazë dhe kemi formuluar aksiomat, më pas nxjerrim teorema dhe koncepte të tjera në mënyrë logjike. Kjo është struktura logjike e gjeometrisë. Aksiomat dhe konceptet bazë përbëjnë bazat e planimetrisë.
Meqenëse është e pamundur të jepet një përkufizim i vetëm i koncepteve bazë për të gjitha gjeometritë, konceptet bazë të gjeometrisë duhet të përkufizohen si objekte të çdo natyre që plotësojnë aksiomat e kësaj gjeometrie. Kështu, në ndërtimin aksiomatik të një sistemi gjeometrik, nisemi nga një sistem i caktuar aksiomash, ose aksiomatike. Këto aksioma përshkruajnë vetitë e koncepteve bazë të sistemit gjeometrik dhe ne mund t'i paraqesim konceptet bazë në formën e objekteve të çdo natyre që kanë vetitë e specifikuara në aksioma.
Pas formulimit dhe vërtetimit të pohimeve të para gjeometrike, bëhet e mundur vërtetimi i disa pohimeve (teoremave) me ndihmën e të tjerëve. Provat e shumë teoremave i atribuohen Pitagorës dhe Demokritit.
Hipokratit të Kiosit i atribuohet përpilimi i kursit të parë sistematik të gjeometrisë bazuar në përkufizime dhe aksioma. Ky kurs dhe trajtimet e tij të mëvonshme u quajtën "Elemente".
Më pas, në shek. Para Krishtit, një libër i Euklidit me të njëjtin emër u shfaq në Aleksandri, në përkthimin rus të "Fillimet". Termi "gjeometri elementare" vjen nga emri latin "Fillimet". Përkundër faktit se veprat e paraardhësve të Euklidit nuk kanë arritur tek ne, ne mund të krijojmë një mendim për këto vepra bazuar në Elementet e Euklidit. Në "Parimet" ka seksione që logjikisht janë shumë pak të lidhura me seksionet e tjera. Pamja e tyre mund të shpjegohet vetëm me faktin se ata u prezantuan sipas traditës dhe kopjojnë "Elementet" e paraardhësve të Euklidit.
Elementet e Euklidit përbëhet nga 13 libra. Librat 1 - 6 i kushtohen planimetrisë, librat 7 - 10 kanë të bëjnë me sasitë aritmetike dhe të pakrahasueshme që mund të ndërtohen duke përdorur një busull dhe vizore. Librat 11 deri në 13 iu kushtuan stereometrisë.
Principia fillon me një prezantim të 23 përkufizimeve dhe 10 aksiomave. Pesë aksiomat e para janë "koncepte të përgjithshme", pjesa tjetër quhen "postulate". Dy postulatet e para përcaktojnë veprimet duke përdorur një sundimtar ideal, i treti - duke përdorur një busull ideal. E katërta, "të gjitha këndet e drejta janë të barabarta me njëri-tjetrin", është e tepërt, pasi mund të nxirret nga aksiomat e mbetura. Postulati i fundit, i pestë thotë: “Nëse një drejtëz bie mbi dy drejtëza dhe formon kënde të brendshme të njëanshme në shumën e më pak se dy drejtëzave, atëherë, me një shtrirje të pakufizuar të këtyre dy drejtëzave, ato do të kryqëzohen në anën ku këndet janë më pak se dy vija të drejta.
Pesë "konceptet e përgjithshme" të Euklidit janë parimet e matjes së gjatësive, këndeve, sipërfaqeve, vëllimeve: "të barabarta me të njëjtat janë të barabarta me njëri-tjetrin", "nëse i shtohen të barabarta, shumat janë të barabarta", "nëse janë të barabarta. zbritur nga të barabartat, mbetjet janë të barabarta ndërmjet tyre”, “ato të kombinuara me njëra-tjetrën janë të barabarta”, “e tëra është më e madhe se pjesa”.
Më pas filloi kritika për gjeometrinë e Euklidit. Euklidi u kritikua për tre arsye: sepse ai konsideroi vetëm ato madhësi gjeometrike që mund të ndërtohen duke përdorur një busull dhe vizore; për faktin se ai ndau gjeometrinë dhe aritmetikën dhe vërtetoi për numrat e plotë atë që kishte vërtetuar tashmë për sasitë gjeometrike dhe, së fundi, për aksiomat e Euklidit. Postulati më i kritikuar ishte postulati i pestë, më kompleks i Euklidit. Shumë e konsideruan të tepërt dhe se mund dhe duhet të nxirret nga aksioma të tjera. Të tjerë besonin se ajo duhet të zëvendësohej nga një më e thjeshtë dhe më e dukshme, ekuivalente me të: "Përmes një pike jashtë vijës, nuk mund të vizatohet më shumë se një vijë e drejtë në planin e tyre që nuk e kryqëzon vijën e dhënë".
Kritika e hendekut midis gjeometrisë dhe aritmetikës çoi në zgjerimin e konceptit të numrit në një numër real. Mosmarrëveshjet rreth postulatit të pestë çuan në faktin se në fillim të shekullit të 19-të N.I. Lobaczewski, J. Bolyai dhe K.F. Gausi ndërtoi një gjeometri të re në të cilën u plotësuan të gjitha aksiomat e gjeometrisë së Euklidit, me përjashtim të postulatit të pestë. Ai u zëvendësua nga thënia e kundërt: "Në një plan, përmes një pike jashtë një vije, mund të vizatohen më shumë se një vijë që nuk e kryqëzon atë të dhënë." Kjo gjeometri ishte po aq e qëndrueshme sa gjeometria e Euklidit.
Modeli i planimetrisë Lobachevsky në rrafshin Euklidian u ndërtua nga matematikani francez Henri Poincaré në 1882.
Le të vizatojmë një vijë horizontale në rrafshin Euklidian (shih Figurën 1). Kjo linjë quhet absolute (x). Pikat e rrafshit Euklidian që shtrihen mbi absolut janë pika të rrafshit Lobachevsky. Aeroplani Lobachevsky është një gjysmë aeroplan i hapur që shtrihet mbi absolutin. Segmentet jo-Euklidiane në modelin Poincaré janë harqe rrathësh të përqendruar në absolut ose segmente të drejtëzave pingul me absoluten (AB, CD). Një figurë në rrafshin Lobachevsky është një figurë e një gjysmë rrafshi të hapur që shtrihet mbi absoluten (F). Lëvizja jo-Euklidiane është një përbërje e një numri të kufizuar inversionesh të përqendruara në simetritë absolute dhe boshtore, boshtet e të cilave janë pingul me absoluten. Dy segmente jo-Euklidiane janë të barabarta nëse njëri prej tyre mund të transferohet te tjetri nga një lëvizje jo-Euklidiane. Këto janë konceptet bazë të aksiomatikës së planimetrisë Lobachevsky.
Të gjitha aksiomat e planimetrisë Lobachevsky janë të qëndrueshme. Përkufizimi i një drejtëze është si vijon: "Një drejtëz jo-Euklidiane është një gjysmërreth me skajet në absolute ose një rreze me fillim në absolute dhe pingul me absoluten." Kështu, pohimi i aksiomës së paralelizmit të Lobachevskit është i kënaqur jo vetëm për një vijë a dhe një pikë A që nuk shtrihet në këtë vijë, por edhe për çdo drejtëz a dhe çdo pikë A që nuk shtrihet mbi të (shih Figurën 2).
Pas gjeometrisë së Lobachevskit, u ngritën gjeometri të tjera konsistente: gjeometria projektive e ndarë nga Euklidiane, u shfaq gjeometria Euklidiane shumëdimensionale, u ngrit gjeometria Riemanniane (teoria e përgjithshme e hapësirave me një ligj arbitrar për matjen e gjatësive në një shkencë), etj. -hapësira dimensionale Euklidiane, gjeometria për 40 - 50 vjet është shndërruar në një grup teorish të ndryshme, vetëm disi të ngjashme me paraardhësin e saj - gjeometrinë Euklidiane. 60,896.
