Në analogji me (2.1), sistemi (5.1) mund të përfaqësohet në formën ekuivalente të mëposhtme:

ku g(x) është një funksion vektorial iterativ i argumentit vektor. Sistemet e ekuacioneve jolineare shpesh lindin drejtpërdrejt në formën (5.2) (për shembull, në skemat numerike për ekuacionet diferenciale, në këtë rast, nuk kërkohet asnjë përpjekje shtesë për të transformuar ekuacionet (5.1) në sistem (5.2). Nëse e vazhdojmë analogjinë me metodën e thjeshtë të përsëritjes për një ekuacion, atëherë procesi i përsëritjes bazuar në ekuacionin (5.2) mund të organizohet si më poshtë:

• 1) disa vektor fillestar x ((,) e 5 o (x 0, A)(supozohet se x* e 5„(x 0, A));
• 2) përafrimet e mëvonshme llogariten duke përdorur formulën

atëherë procesi i përsëritjes përfundon dhe

Si më parë, duhet të zbulojmë se në çfarë kushtesh

Le ta diskutojmë këtë çështje duke bërë një analizë të thjeshtë. Fillimisht e prezantojmë gabimin e përafrimit të ith si e(^ = x(i) - x*. Pastaj mund të shkruajmë

Le t'i zëvendësojmë këto shprehje në (5.3) dhe të zgjerojmë g(x* + e (/i)) në fuqi e(k> në afërsi të x* si funksion i argumentit vektor (duke supozuar se të gjitha derivatet e pjesshme të funksionit g(x) janë të vazhdueshme). Duke marrë parasysh gjithashtu se x* = g(x*), marrim

ose në formë matrice

B = (bnm)= I (x*)1 - matrica e përsëritjes.

Nëse shkalla e gabimit ||e®|| është mjaft i vogël, atëherë termi i dytë në anën e djathtë të shprehjes (5.4) mund të neglizhohet, dhe më pas përkon me shprehjen (2.16). Për rrjedhojë, kushti për konvergjencën e procesit iterativ (5.3) pranë zgjidhjes ekzakte përshkruhet nga teorema 3.1.

Konvergjenca e metodës së thjeshtë të përsëritjes. Kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për konvergjencën e procesit iterativ (5.3):

dhe një kusht i mjaftueshëm:

Këto kushte kanë më shumë rëndësi teorike sesa praktike, pasi ne nuk e dimë x'. Në analogji me (1.11), marrim një kusht që mund të jetë i dobishëm. Le të x* e 5 o (x 0, A) dhe matrica jakobiane për funksionin g(x)

ekziston për të gjitha x e S n (x 0 , a) (vini re se C(x*) = B). Nëse elementet e matricës C(x) plotësojnë pabarazinë

për të gjitha x e 5"(x 0, A), atëherë kushti i mjaftueshëm (5.5) plotësohet edhe për çdo normë matricore.

Shembulli 5.1 (metoda e thjeshtë e përsëritjes) Merrni parasysh sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

Një mundësi për të përfaqësuar këtë sistem në formën ekuivalente (5.2) është të shprehet X nga ekuacioni i parë dhe x 2 nga ekuacioni i dytë:

Pastaj skema e përsëritjes ka formën

Zgjidhja e saktë është x* e 5„((2, 2), 1). Le të zgjedhim vektorin fillestar x (0) = (2,2) dhe ? p = CT 5. Rezultatet e llogaritjes janë paraqitur në tabelë. 5.1.

Tabela 5.1

Këto rezultate tregojnë se konvergjenca është mjaft e ngadaltë. Për të marrë një karakteristikë sasiore të konvergjencës, bëjmë një analizë të thjeshtë, duke e konsideruar x (1/) si një zgjidhje të saktë. Matrica Jakobiane C(x) për funksionin tonë iterativ ka formën

atëherë matrica B vlerësohet përafërsisht si

Është e lehtë të kontrollohet që as kushti (5.5) dhe as kushti (5.6) nuk janë të kënaqur, por konvergjenca ndodh, pasi 5(B) ~ 0.8.

Shpesh është e mundur të përshpejtohet konvergjenca e metodës së thjeshtë të përsëritjes duke ndryshuar paksa procesin e llogaritjes. Ideja e këtij modifikimi është shumë e thjeshtë: të llogaritet n komponentët e vektorit x (A+1) mund të përdoret jo vetëm (t = n,..., N), por edhe komponentët tashmë të llogaritur të vektorit të përafrimit të radhës x k^ (/= 1,p - 1). Kështu, metoda e modifikuar e përsëritjes së thjeshtë mund të përfaqësohet si skema e mëposhtme e përsëritjes:

Nëse përafrimet e krijuara nga procesi përsëritës (5.3) konvergojnë, atëherë procesi përsëritës (5.8) tenton të konvergojë më shpejt për shkak të përdorimit më të plotë të informacionit.

Shembulli 5.2 (metoda e modifikuar e përsëritjes së thjeshtë) Përsëritja e thjeshtë e modifikuar për sistemin (5.7) paraqitet si

Si më parë, ne zgjedhim vektorin fillestar x (0) = (2, 2) dhe g r = = 10 -5. Rezultatet e llogaritjes janë paraqitur në tabelë. 5.2.

Tabela 5.2

I Ndryshimi i madh në rendin e llogaritjeve çoi në përgjysmimin e numrit të përsëritjeve, dhe rrjedhimisht një përgjysmim të numrit të operacioneve.

1. Le të njihet një segment që përmban një rrënjë të ekuacionit f(x) = 0. Funksioni f është një funksion vazhdimisht i diferencueshëm në këtë segment (f(x)ОC 1 ). Nëse plotësohen këto kushte, mund të përdoret metoda e thjeshtë e përsëritjes.

2. Duke përdorur funksionin f(x), ndërtohet një funksion j(x) që plotëson tre kushte: duhet të jetë vazhdimisht i diferencueshëm (j(x)ОC 1 ), i tillë që ekuacioni x = j(x) është ekuivalente me ekuacionin f(x)=0; duhet gjithashtu përktheni një segment në veten tuaj.

Do të themi se funksioni j ( x ) përkthen segmentin [ a , b ] në veten tuaj, nëse për dikë x Î [ a , b ], y = j ( x ) gjithashtu i përket[ a , b ] ( y Î [ a , b ]).

Kushti i tretë i imponohet funksionit j(x):

Formula e metodës: x n +1 = j(xn).

3. Nëse plotësohen këto tre kushte për çdo përafrim fillestar x 0 О sekuenca e përsëritjeve x n +1 = j(x n) konvergon në rrënjën e ekuacionit: x = j(x) në segmentin ().

Si rregull, si x 0 zgjidhet një nga skajet.

,

ku e është saktësia e specifikuar

Numri x n +1 kur plotësohet kushti për ndalimin e procesit iterativ, është vlera e përafërt e rrënjës së ekuacionit f(x) = 0 në segmentin , gjetur me metodën e thjeshtë të përsëritjes me saktësi e .

Ndërtoni një algoritëm për të qartësuar rrënjën e ekuacionit: x 3 + 5x – 1 = 0 në një segment duke përdorur metodën e përsëritjes së thjeshtë me saktësi e .

1. Funksioni f(x) = x 3 +5x-1 është vazhdimisht i diferencueshëm në intervalin që përmban një rrënjë të ekuacionit.

2. Vështirësia më e madhe në metodën e përsëritjes së thjeshtë është ndërtimi i një funksioni j(x) që plotëson të gjitha kushtet:

Merrni parasysh: .

Ekuacioni x = j 1 (x) është ekuivalent me ekuacionin f(x) = 0, por funksioni j 1 (x) nuk është vazhdimisht i diferencueshëm në interval.

Oriz. 2.4. Grafiku i funksionit j 2 (x)

Nga ana tjetër, pra,. Prandaj: është një funksion vazhdimisht i diferencueshëm. Vini re se ekuacioni: x = j 2 (x) është ekuivalent me ekuacionin f(x) = 0 . Nga grafiku (Fig. 2.4) duket qartë se funksioni j 2 (x) e shndërron segmentin në vetvete.

Kushti që funksioni j(x) merr segmentin në vetvete mund të riformulohet si më poshtë: le të jetë domeni i përkufizimit të funksionit j(x) dhe le të jetë fusha e variacionit të j(x).

, .

Të gjitha kushtet për funksionin j(x) janë plotësuar.

Formula e procesit iterativ: x n +1 = j 2 (xn).

3. Përafrimi fillestar: x 0 = 0.

4. Kushti për ndalimin e procesit përsëritës:

Oriz. 2.5. Kuptimi gjeometrik i metodës së thjeshtë të përsëritjes

.

Nëse plotësohet ky kusht x n +1 - vlera e përafërt e rrënjës në segment, gjetur me përsëritje të thjeshtë me saktësi e. Në Fig. 2.5. Është ilustruar aplikimi i metodës së thjeshtë të përsëritjes.

Teorema e konvergjencës dhe vlerësimi i gabimit

Lëreni segmentin përmban një rrënjë të ekuacionit x = j(x), funksionin j(x ) është vazhdimisht i diferencueshëm në interval , përkthen segmentin në vetvete dhe kushti plotësohet:

.

Pastaj për çdo përafrim fillestar x 0 О pasardhës konvergon në rrënjën e ekuacionit y = j(x ) në segment dhe vlerësimi i gabimit është i drejtë:

.

Stabiliteti i metodës së thjeshtë të përsëritjes. Kur plotësohen kushtet e teoremës së konvergjencës, algoritmi i metodës së përsëritjes së thjeshtë është i qëndrueshëm.

Kompleksiteti i metodës së thjeshtë të përsëritjes. Sasia e memories kompjuterike e nevojshme për të zbatuar metodën e thjeshtë të përsëritjes është e parëndësishme. Në çdo hap ju duhet të ruani x n , x n +1 , q Dhe e.

Le të vlerësojmë numrin e veprimeve aritmetike të nevojshme për të zbatuar metodën e thjeshtë të përsëritjes. Le të shkruajmë një vlerësim për numrin n 0 = n 0 (e) të tillë që për të gjithë n ³ n 0 pabarazia vlen:

Nga ky vlerësim del se sa më afër të jetë q me një, aq më ngadalë konvergjon metoda.

Komentoni. Nuk ka rregull të përgjithshëm për ndërtimin e j(x) nga f(x) në mënyrë që të plotësohen të gjitha kushtet e teoremës së konvergjencës. Shpesh përdoret qasja e mëposhtme: funksioni j(x) = x + k× f(x) zgjidhet si funksion j, ku k – konstante.

Kur programoni metodën e thjeshtë të përsëritjes, ndalimi i procesit përsëritës shpesh kërkon përmbushjen e njëkohshme të dy kushteve:

Dhe .

Të gjitha metodat e tjera iterative që do të shqyrtojmë janë raste të veçanta të metodës së thjeshtë të përsëritjes. Për shembull, kur Metoda e Njutonit është një rast i veçantë i metodës së përsëritjes së thjeshtë.

Metodat përsëritëse

Në metodat përsëritëse, supozohen tre fazat e mëposhtme: ndërtimi për llogaritjen e përafrimeve të njëpasnjëshme të një procesi përsëritës që konvergohet në një zgjidhje të saktë (d.m.th., ndërtimi i një sekuence vektorësh që konvergojnë në një zgjidhje të saktë ; përcaktimi i kriterit të konvergjencës së këtij procesi, i cili na lejon të përcaktojmë momentin kur arrihet saktësia e kërkuar; studimi i shpejtësisë së konvergjencës dhe optimizimi i procesit iterativ në mënyrë që të zvogëlohet numri i operacioneve të nevojshme për të arritur saktësinë e kërkuar.

Metodat përsëritëse bëjnë të mundur marrjen e një zgjidhjeje me një saktësi të paracaktuar nëse vërtetohet konvergjenca e metodës. Metodat përsëritëse nuk ofrojnë një zgjidhje rreptësisht të saktë, pasi ajo arrihet si kufiri i një sekuence vektorësh. Metoda e drejtpërdrejtë, në përgjithësi, jep një zgjidhje të saktë, por për shkak të gabimeve të rrumbullakosjes që ndodhin në të gjithë kompjuterët, ajo nuk mund të arrihet dhe a priori Madje është e vështirë të vlerësohet se sa ndryshon kjo zgjidhje nga ajo e saktë. Në lidhje me sa më sipër, metodat përsëritëse ndonjëherë lejojnë që dikush të marrë një zgjidhje me saktësi më të madhe se ato të drejtpërdrejta.

Le të shqyrtojmë disa metoda përsëritëse për zgjidhjen e ekuacioneve lineare.

Metoda e thjeshtë e përsëritjes

Në metodën e thjeshtë të përsëritjes, sistemi (2.1) i ekuacioneve algjebrike lineare Sëpata = b reduktohet në një sistem ekuivalent të formës

Zgjidhja e sistemit (2.9) dhe, rrjedhimisht, zgjidhja e sistemit origjinal (2.1) kërkohet si kufi i një sekuence vektorësh në:

k = 0, 1, 2,…,(2.10)

ku është përafrimi fillestar për vektorin e zgjidhjes.

Kushti i mjaftueshëm për konvergjencën e metodës së thjeshtë të përsëritjes përcaktohet nga teorema e mëposhtme.

TEOREMA 1. Nëse ndonjë normë e matricës , në përputhje me normën e vektorit në shqyrtim, është më e vogël se një (), atëherë sekuenca në metodën e përsëritjes së thjeshtë konvergon në zgjidhjen e saktë të sistemit (2.9) me një shpejtësi jo më të vogël se shpejtësia e progresionit gjeometrik me emëruesin për çdo përafrim fillestar .

DËSHMI. Për të vërtetuar teoremën, ne paraqesim një gabim. Duke zbritur barazinë (2.10) nga relacioni, marrim . Duke iu kthyer normave, ne kemi

Vini re se pabarazia nga shprehja e mëparshme është kushti për konsistencën e normës së matricës dhe vektorit. Nëse , atëherë për çdo vektor të gabimit fillestar (ose ndryshe, për çdo vektor fillestar), norma e gabimit tenton në zero jo më ngadalë se një progresion gjeometrik me emërues .

Nëse zgjedhim normën si normë të matricës ose atëherë për të zgjidhur çështjen e konvergjencës së metodës së përsëritjes së thjeshtë, mund të përdorni përfundimin nga teorema 1: metoda e përsëritjes së thjeshtë konvergjon nëse një nga kushtet e mëposhtme plotësohet për matricën:

, i =1,2, …, n,

, j = 1, 2, …, n.(2.11)

Mënyra më e thjeshtë dhe më e zakonshme për të sjellë një sistem Ax= b në formën (2.9), i përshtatshëm për përsëritje, është të zgjidhni elemente diagonale, me secilin i-të ekuacioni zgjidhet në lidhje me i-të i panjohur:

, i = 1, 2, ..., n, (2.12)

dhe metoda e thjeshtë e përsëritjes do të shkruhet si

Matrica pastaj ka formën

.

Një element i kësaj matrice mund të shkruhet si ku është simboli Kronecker. Në këtë rast, kushti i mjaftueshëm për konvergjencën e metodës së thjeshtë të përsëritjes mund të formulohet si kusht për mbizotërimin e elementeve diagonale të matricës. A, që rrjedh nga (2.11) dhe shënimi i matricës, d.m.th.

i = 1, 2, …, n.

Le të theksojmë edhe një herë se format e konsideruara të kushtit të konvergjencës për metodën e përsëritjes janë vetëm të mjaftueshme. Përmbushja e tyre garanton konvergjencën e metodës, por dështimi i tyre në rastin e përgjithshëm nuk do të thotë se metoda e thjeshtë e përsëritjes divergjente. Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për konvergjencën e metodës së thjeshtë të përsëritjes është kushti që pjesa e plotë (ku është eigenvlera maksimale e modulit të matricës A); ky kusht përdoret rrallë në praktikën kompjuterike.

Le të kalojmë në çështjen e vlerësimit të gabimit të zgjidhjes. Dy relacione për vlerësimin e gabimit të zgjidhjes janë me interes: e para lidh normën e gabimit me normën e diferencës midis dy përafrimeve të njëpasnjëshme dhe mund të përdoret për të vlerësuar gabimin vetëm në procesin e llogaritjeve; e dyta lidh normën e gabimit me normat e vektorit të përafrimit fillestar dhe vektorit të termit të lirë në sistem (2.9). Marrëdhëniet e nevojshme jepen nga dy teoremat e mëposhtme.

TEOREMA 2. Nëse ndonjë normë e matricës është në përputhje me normën e vektorit në shqyrtim X

. (2.13)

DËSHMI. Le të zbresim barazinë (2.10) nga barazia:

Duke zbritur vlerën e përafrimit nga të dyja anët, ne e transformojmë këtë lidhje në formë

Duke kaluar te normat, marrim

Meqenëse sipas kushteve të teoremës, atëherë

Duke përdorur relacionin nga rrjedh se më në fund marrim:

TEOREMA 3. Nëse ndonjë normë e matricës është në përputhje me normën e vektorit në shqyrtim X, është më pak se një (), atëherë bëhet vlerësimi i mëposhtëm i gabimit:

Le të bëjmë dy komente. Së pari, relacioni (2.13) mund të shkruhet në formë

duke na lejuar të marrim një vlerësim gabimi bazuar në rezultatet e dy përsëritjeve të para. Së pari, kur përdorni metodën e përsëritjes, ndonjëherë rekomandohet të përdoret norma e diferencës midis dy përafrimeve të njëpasnjëshme si një vlerësim i gabimit të llogaritjes. Nga relacionet për gabimin del se në rastin e përgjithshëm kjo nuk është e vërtetë. Nëse norma është afër unitetit, atëherë koeficienti në mund të jetë mjaft i madh.

Gabimet e përsëritjeve të njëpasnjëshme lidhen nga relacioni

ato. gabimi ndryshon në mënyrë lineare gjatë hapit. Thuhet se metoda ka konvergjencë lineare ose rendit i parë i konvergjencës. Megjithatë, numri i përsëritjeve të nevojshme për të arritur saktësinë e kërkuar varet nga vlera dhe përafrimi fillestar.

Pra, duke përdorur metodën e thjeshtë të përsëritjes si shembull, demonstrohen tre faza të metodave iterative: ndërtimi i një sekuence vektorësh të krijuar nga formula (1.10); përcaktimi i kushtit të konvergjencës duke përdorur teoremën 1 dhe vlerësimi i shkallës së konvergjencës duke përdorur teoremat 2 dhe 3.

Metoda Seidel

Metoda e thjeshtë e përsëritjes nuk përdor mundësinë në dukje të dukshme të përmirësimit të konvergjencës së procesit përsëritës - futjen e menjëhershme të komponentëve të vektorit të llogaritur rishtazi në llogaritje. Kjo veçori përdoret në metodën iterative Seidel. Procesi përsëritës për sistemin (2.9) plotësohet sipas relacionit

i = 1, 2, …, n (2.14)

ose për sistemin (1.1)

Pa hyrë në detaje, vërejmë se metoda e përsëritjes Seidel shpesh çon në konvergjencë më të shpejtë sesa metoda e thjeshtë e përsëritjes. Sidoqoftë, mund të ketë raste kur metoda e përsëritjes së Seidel konvergon më ngadalë se metoda e përsëritjes së thjeshtë, madje edhe raste kur metoda e përsëritjes së thjeshtë konvergjon, por metoda e përsëritjes së Seidel divergjent.

Vini re se Metoda e Seidelit konvergon nëse matricë A pozitive e caktuar dhe simetrike.

Le të tregojmë se metoda e përsëritjes Seidel është ekuivalente me një metodë të thjeshtë përsëritjeje me një matricë dhe vektor të ndërtuar posaçërisht në relacion (2.10). Për ta bërë këtë, ne e shkruajmë sistemin (2.14) në formën ku F është matrica e sipërme trekëndore e koeficientëve të matricës dhe e rishkruajmë sistemin në formën ku E është matrica e identitetit. Matricë (E-N)- matricë trekëndore e poshtme me elemente diagonale të barabarta me një. Rrjedhimisht, përcaktori i kësaj matrice është jozero (i barabartë me një) dhe ka një matricë të anasjelltë. Pastaj

Duke e krahasuar këtë marrëdhënie me zgjidhjen (2.10), mund të konkludojmë se metoda e përsëritjes së Seidel është me të vërtetë ekuivalente me metodën e përsëritjes së thjeshtë në kuptimin që për të vendosur kushtin dhe kriterin për konvergjencën e metodës së përsëritjes së Seidel, mund të përdorim teoremat dhënë për metodën e përsëritjes së thjeshtë, nëse vendosim Procesi i përsëritjes për sistemin (2.12) është shkruar gjithashtu në një formë më të përgjithshme, përkatësisht

Metoda e thjeshtë e përsëritjes bazohet në zëvendësimin e ekuacionit origjinal me një ekuacion ekuivalent:

Le të dihet përafrimi fillestar me rrënjën x = x 0. Duke e zëvendësuar atë në anën e djathtë të ekuacionit (2.7), marrim një përafrim të ri , atëherë në një mënyrë të ngjashme marrim etj.:

. (2.8)

Jo në të gjitha kushtet, procesi përsëritës konvergjon në rrënjën e ekuacionit X. Le të hedhim një vështrim më të afërt në këtë proces. Figura 2.6 tregon një interpretim grafik të një procesi konvergjent dhe divergjent njëkahësh. Figura 2.7 tregon proceset konvergjente dhe divergjente të dyanshme. Një proces divergjent karakterizohet nga një rritje e shpejtë e vlerave të argumentit dhe funksionit dhe përfundimi jonormal i programit përkatës.

Me një proces të dyanshëm, çiklizmi është i mundur, pra përsëritja e pafundme e të njëjtit funksion dhe vlera të argumentit. Looping ndan një proces divergjent nga një konvergjent.

Nga grafikët është e qartë se për proceset e njëanshme dhe të dyanshme, konvergjenca me rrënjën përcaktohet nga pjerrësia e kurbës pranë rrënjës. Sa më i vogël të jetë pjerrësia, aq më e mirë është konvergjenca. Siç dihet, tangjentja e pjerrësisë së një lakore është e barabartë me derivatin e kurbës në një pikë të caktuar.

Prandaj, sa më i vogël të jetë numri pranë rrënjës, aq më shpejt procesi konvergon.

Në mënyrë që procesi i përsëritjes të jetë konvergjent, pabarazia e mëposhtme duhet të plotësohet në afërsi të rrënjës:

Kalimi nga ekuacioni (2.1) në ekuacionin (2.7) mund të kryhet në mënyra të ndryshme në varësi të llojit të funksionit f(x). Në një tranzicion të tillë, është e nevojshme të ndërtohet funksioni në mënyrë që kushti i konvergjencës (2.9) të plotësohet.

Le të shqyrtojmë një nga algoritmet e përgjithshme për kalimin nga ekuacioni (2.1) në ekuacionin (2.7).

Le të shumëzojmë anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit (2.1) me një konstante arbitrare b dhe shtoni të panjohurën në të dyja pjesët X. Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit origjinal nuk do të ndryshojnë:

Le të prezantojmë shënimin dhe le të kalojmë nga relacioni (2.10) në ekuacionin (2.8).

Zgjedhja arbitrare e konstantës b do të sigurojë përmbushjen e kushtit të konvergjencës (2.9). Kriteri për përfundimin e procesit përsëritës do të jetë kushti (2.2). Figura 2.8 tregon një interpretim grafik të metodës së përsëritjeve të thjeshta duke përdorur metodën e përshkruar të paraqitjes (shkallët përgjatë boshteve X dhe Y janë të ndryshme).

Nëse një funksion zgjidhet në formën , atëherë derivati ​​i këtij funksioni do të jetë . Shpejtësia më e lartë e konvergjencës do të jetë në , atëherë dhe formula e përsëritjes (2.11) kthehet në formulën e Njutonit. Kështu, metoda e Njutonit ka shkallën më të lartë të konvergjencës nga të gjitha proceset përsëritëse.

Zbatimi i softuerit të metodës së thjeshtë të përsëritjes bëhet në formën e një procedure nënrutinë Iteras(PROGRAM 2.1).

E gjithë procedura praktikisht përbëhet nga një Përsëritje ... Deri në cikël, duke zbatuar formulën (2.11) duke marrë parasysh kushtin për ndalimin e procesit përsëritës (formula (2.2)).

Procedura ka mbrojtje të integruar të ciklit duke numëruar numrin e sytheve duke përdorur variablin Niter. Në klasat praktike, duhet të siguroheni duke ekzekutuar programin se si ndikon zgjedhja e koeficientit b dhe përafrimi fillestar në procesin e kërkimit të rrënjës. Gjatë ndryshimit të koeficientit b natyra e procesit të përsëritjes për funksionin në studim ndryshon. Fillimisht bëhet i dyanshëm, dhe më pas lidhet (Fig. 2.9). Peshorja e boshtit X Dhe Y janë të ndryshme. Një vlerë edhe më e madhe e modulit b çon në një proces divergjent.

Krahasimi i metodave për zgjidhjen e përafërt të ekuacioneve

Një krahasim i metodave të përshkruara më sipër për zgjidhjen numerike të ekuacioneve u krye duke përdorur një program që lejon të vëzhgoni procesin e gjetjes së rrënjës në formë grafike në ekranin e PC. Procedurat e përfshira në këtë program dhe zbatimi i metodave të krahasuara janë dhënë më poshtë (PROGRAM 2.1).

Oriz. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 janë kopje të ekranit të PC në fund të procesit të përsëritjes.

Në të gjitha rastet, si funksion në studim është marrë ekuacioni kuadratik x 2 -x-6 = 0, i cili ka një zgjidhje analitike x 1 = -2 dhe x 2 = 3. Gabimi dhe përafrimet fillestare janë supozuar të barabarta për të gjitha metodat. Rezultatet e kërkimit rrënjë x= 3, të paraqitur në figura, janë si më poshtë. Metoda e dikotomisë konvergon më të ngadaltë - 22 përsëritje, më e shpejta është metoda e thjeshtë e përsëritjes me b = -0.2 - 5 përsëritje. Nuk ka asnjë kontradiktë këtu me deklaratën se metoda e Njutonit është më e shpejta.

Derivati ​​i funksionit në studim në pikë X= 3 është e barabartë me -0.2, domethënë, llogaritja në këtë rast është kryer praktikisht me metodën e Njutonit me vlerën e derivatit në pikën e rrënjës së ekuacionit. Gjatë ndryshimit të koeficientit b shkalla e konvergjencës bie dhe procesi gradualisht konvergjent shkon fillimisht në cikle dhe më pas bëhet divergjent.