Shtrehtësia dhe kurtoza e shpërndarjes. Llogaritja e anshmërisë dhe kurtozës së një shpërndarjeje empirike në Excel

Kur analizohen seritë e variacioneve, zhvendosja nga qendra dhe pjerrësia e shpërndarjes karakterizohen nga tregues të veçantë. Shpërndarjet empirike, si rregull, zhvendosen nga qendra e shpërndarjes djathtas ose majtas dhe janë asimetrike. Shpërndarja normale është rreptësisht simetrike në lidhje me mesataren aritmetike, e cila është për shkak të barazisë së funksionit.

Shtrëngimi i shpërndarjes lind për faktin se disa faktorë veprojnë më fuqishëm në një drejtim sesa në një tjetër, ose procesi i zhvillimit të fenomenit është i tillë që dominon ndonjë shkak. Përveç kësaj, natyra e disa fenomeneve është e tillë që ka një shpërndarje asimetrike.

Masa më e thjeshtë e asimetrisë është ndryshimi midis mesatares aritmetike, mënyrës dhe mesatares:

Për të përcaktuar drejtimin dhe madhësinë e zhvendosjes (asimetrisë) të shpërndarjes, llogaritet koeficienti i asimetrisë , që është një moment i normalizuar i rendit të tretë:

As= 3 / 3, ku  3 është momenti qendror i rendit të tretë;  3 – devijimi standard i kubizuar. 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

Për asimetri në anën e majtë koeficienti i asimetrisë (Siç<0), при правосторонней (As>0) .

Nëse pjesa e sipërme e shpërndarjes zhvendoset në të majtë dhe pjesa e djathtë e degës rezulton të jetë më e gjatë se e majta, atëherë një asimetri e tillë është me anën e djathtë, ndryshe mëngjarash .

Marrëdhënia midis modës, mesatares dhe mesatares aritmetike në seritë simetrike dhe asimetrike na lejon të përdorim një tregues më të thjeshtë si një masë asimetrie koeficienti i asimetrisë Pearson :

K a = ( –Mo)/. Nëse K a >0, atëherë asimetria është e djathtë, nëse K a<0, то асимметрия левосторонняя, при К a =0 ряд считается симметричным.

Asimetria mund të përcaktohet më saktë duke përdorur momentin qendror të rendit të tretë:

, ku 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

Nëse > 0, atëherë asimetria mund të konsiderohet e rëndësishme nëse < 0,25 асимметрию можно считать не значительной.

Për të karakterizuar shkallën e devijimit të një shpërndarjeje simetrike nga një shpërndarje normale përgjatë ordinatës, një tregues i kulmit, pjerrësia e shpërndarjes, i quajtur teprica :

Shem = ( 4 / 4) – 3, ku:  4 – momenti qendror i rendit të katërt.

Për një shpërndarje normale, Ex = 0, d.m.th.  4 / 4 = 3.  4 = (m 4 – 4m 3 m 1 + 6m 2 m 2 1 – 3 m 4 1)* k 4 .

Kurbat e majës së lartë kanë kurtozë pozitive, ndërsa kurbat e majës së ulët kanë kurtozë negative (Fig. D.2).

Treguesit e kurtozës dhe të anshmërisë janë të nevojshëm në analizën statistikore për të përcaktuar heterogjenitetin e popullatës, asimetrinë e shpërndarjes dhe afërsinë e shpërndarjes empirike me ligjin normal. Nëse ka devijime të konsiderueshme të treguesve të asimetrisë dhe kurtozës nga zero, popullsia nuk mund të konsiderohet homogjene dhe shpërndarja afër normales. Krahasimi i kthesave aktuale me ato teorike lejon që dikush të vërtetojë matematikisht rezultatet e marra statistikore, të përcaktojë llojin dhe natyrën e shpërndarjes së fenomeneve socio-ekonomike dhe të parashikojë gjasat e shfaqjes së ngjarjeve që studiohen.

4.7. Arsyetimi i afërsisë së shpërndarjes empirike (aktuale) me shpërndarjen normale teorike. Shpërndarja normale (ligji Gauss-Laplace) dhe karakteristikat e saj. "Rregulli i Tre Sigma". Kriteret e përshtatshmërisë (duke përdorur shembullin e kriterit Pearson ose Kolgomogorov).

Ju mund të vini re një lidhje të caktuar në ndryshimin e frekuencave dhe vlerave të karakteristikës së ndryshme. Me rritjen e vlerës së atributit, frekuencat fillimisht rriten dhe më pas, pasi arrijnë një vlerë maksimale të caktuar, zvogëlohen. Ndryshime të tilla të rregullta në frekuenca në seritë e variacioneve quhen modelet e shpërndarjes.

Për të identifikuar një model shpërndarjeje, është e nevojshme që seritë e variacioneve të përmbajnë një numër mjaft të madh të njësive dhe që vetë seritë të përfaqësojnë popullata cilësore homogjene.

Një poligon i shpërndarjes i ndërtuar bazuar në të dhënat aktuale është kurba empirike (aktuale) e shpërndarjes, duke reflektuar jo vetëm kushte objektive (të përgjithshme), por edhe subjektive (të rastësishme) të shpërndarjes që nuk janë karakteristike për fenomenin që studiohet.

Në punën praktike, ligji i shpërndarjes gjendet duke krahasuar shpërndarjen empirike me njërën nga ato teorike dhe duke vlerësuar shkallën e dallimit apo korrespondencës ndërmjet tyre. Kurba teorike e shpërndarjes pasqyron në formën e tij të pastër, pa marrë parasysh ndikimin e faktorëve të rastësishëm, modelin e përgjithshëm të shpërndarjes së frekuencës (dendësia e shpërndarjes) në varësi të vlerave të karakteristikave të ndryshme.

Llojet e ndryshme të shpërndarjeve teorike janë të zakonshme në statistikë: normale, binomiale, Poisson, etj. Secila prej shpërndarjeve teorike ka specifikat dhe shtrirjen e vet.

Ligji i shpërndarjes normale karakteristikë e shpërndarjes së ngjarjeve po aq të mundshme që ndodhin gjatë bashkëveprimit të shumë faktorëve të rastit. Ligji i shpërndarjes normale qëndron në themel të metodave statistikore për vlerësimin e parametrave të shpërndarjes, përfaqësimin e vëzhgimeve të mostrës dhe matjen e marrëdhënieve të dukurive masive. Për të kontrolluar se sa mirë përputhet shpërndarja aktuale me atë normale, është e nevojshme të krahasohen frekuencat e shpërndarjes aktuale me frekuencat teorike karakteristike të ligjit të shpërndarjes normale. Këto frekuenca janë një funksion i devijimeve të normalizuara. Prandaj, sipas të dhënave të serisë së shpërndarjes empirike, llogariten devijimet e normalizuara t. Më pas përcaktohen frekuencat teorike përkatëse. Kjo rrafshon shpërndarjen empirike.

Shpërndarja normale ose ligji Gauss-Laplace përshkruhet nga ekuacioni
, ku y t është ordinata e kurbës së shpërndarjes normale, ose frekuenca (probabiliteti) i vlerës x të shpërndarjes normale; – pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e vlerave x individuale. Nëse vlerat (x - ) masë (shpreh) në terma të devijimit standard , d.m.th. në devijimet e standardizuara (normalizuara) t = (x – )/, atëherë formula do të marrë formën:
. Shpërndarja normale e dukurive socio-ekonomike në formën e saj të pastër është e rrallë, megjithatë, nëse ruhet homogjeniteti i popullsisë, shpërndarjet aktuale shpesh janë afër normales. Modeli i shpërndarjes së sasive të studiuara zbulohet duke kontrolluar përputhshmërinë e shpërndarjes empirike me ligjin teorik të shpërndarjes normale. Për ta bërë këtë, shpërndarja aktuale përafrohet me kurbën normale dhe llogaritet kriteret e pëlqimit .

Shpërndarja normale karakterizohet nga dy parametra të rëndësishëm që përcaktojnë qendrën e grupimit të vlerave individuale dhe formën e kurbës: mesatarja aritmetike. dhe devijimi standard . Lakoret e shpërndarjes normale ndryshojnë në pozicionin e qendrës së shpërndarjes në boshtin x dhe një opsion shpërndarës rreth kësaj qendre  (Fig. 4.1 dhe 4.2). Një tipar i kurbës së shpërndarjes normale është simetria e saj në lidhje me qendrën e shpërndarjes - në të dy anët e mesit të saj, formohen dy degë në rënie të njëtrajtshme, duke iu afruar asimptotikisht boshtit të abscisës. Prandaj, në një shpërndarje normale, mesatarja, mënyra dhe mediana janë të njëjta: = Mo = Unë.

  x

Kurba e shpërndarjes normale ka dy pika të përkuljes (kalimi nga konveksiteti në konkavitet) në t = 1, d.m.th. kur opsionet devijojnë nga mesatarja (x - ), e barabartë me devijimin standard . Brenda  me shpërndarje normale është 68.3%, brenda 2 – 95,4%, brenda 3 – 99.7% e numrit të vëzhgimeve ose frekuencave të serisë së shpërndarjes. Në praktikë, pothuajse nuk ka devijime që kalojnë 3prandaj, marrëdhënia e dhënë quhet " rregulli tre sigma ».

Për të llogaritur frekuencat teorike, përdoret formula:

.

Madhësia
është funksion i t ose dendësisë së shpërndarjes normale, e cila përcaktohet nga një tabelë e veçantë, fragmente nga e cila janë dhënë në tabelë. 4.2.

Vlerat normale të densitetit të shpërndarjes Tabela 4.2

Grafiku në Fig. 4.3 tregon qartë afërsinë e shpërndarjeve empirike (2) dhe normale (1).

Oriz. 4.3. Shpërndarja e degëve të shërbimit postar sipas numrit

punëtorë: 1 – normal; 2 – empirike

Për të vërtetuar matematikisht afërsinë e shpërndarjes empirike me ligjin e shpërndarjes normale, llogarisni kriteret e pëlqimit .

Kriteri Kolmogorov - një kriter i përshtatshmërisë që lejon njeriun të vlerësojë shkallën e afërsisë së shpërndarjes empirike me normalen. A. N. Kolmogorov propozoi përdorimin e diferencës maksimale midis frekuencave të grumbulluara ose frekuencave të këtyre serive për të përcaktuar korrespondencën midis shpërndarjeve normale empirike dhe teorike. Për të testuar hipotezën se shpërndarja empirike korrespondon me ligjin e shpërndarjes normale, llogaritet kriteri i përshtatshmërisë = D/.
, ku D është diferenca maksimale midis frekuencave kumulative (të grumbulluara) empirike dhe teorike, n është numri i njësive në popullatë, duke përdorur një tabelë të veçantë, përcaktohet P() - probabiliteti për të arritur , që do të thotë se nëse. një karakteristikë variacionale shpërndahet sipas një ligji normal, atëherë për arsye të rastësishme, mospërputhja maksimale midis frekuencave të akumuluara empirike dhe teorike nuk do të jetë më e vogël se ajo e vëzhguar në të vërtetë. Bazuar në vlerën e P(), nxirren përfundime të caktuara: nëse probabiliteti P() është mjaft i madh, atëherë hipoteza se shpërndarja aktuale i përgjigjet ligjit normal mund të konsiderohet e konfirmuar; nëse probabiliteti P() është i vogël, atëherë hipoteza zero hidhet poshtë dhe mospërputhjet midis shpërndarjeve aktuale dhe teorike konsiderohen të rëndësishme.

Vlerat e probabilitetit për kriterin e përshtatshmërisë  Tabela 4.3

Kriteret e Pearson 2 ("chi-katror") - kriteri i përshtatshmërisë që lejon dikë të vlerësojë shkallën e afërsisë së shpërndarjes empirike me normalen:
,ku f i, f" i janë frekuencat e shpërndarjeve empirike dhe teorike në një interval të caktuar. Sa më i madh të jetë ndryshimi midis frekuencave të vëzhguara dhe teorike, aq më i madh është kriteri  2. Për të dalluar rëndësinë e dallimeve në frekuencat e shpërndarjet empirike dhe teorike sipas kriterit  2 nga dallimet për shkak të mostrave të rastësishme, vlera e llogaritur e kriterit  2 kalc krahasohet me tabelën  2 me numrin përkatës të shkallëve të lirisë dhe një nivel të caktuar rëndësie niveli zgjidhet ashtu që P( 2 kalc > 2 tabela) = . h–l, Ku h– numri i grupeve; l– numri i kushteve që duhet të plotësohen gjatë llogaritjes së frekuencave teorike. Për të llogaritur frekuencat teorike të lakores së shpërndarjes normale duke përdorur formulën
ju duhet të dini tre parametra , , f, prandaj numri i shkallëve të lirisë është h–3. Nëse  2 kalc > 2 skedë, d.m.th.  2 bie në rajonin kritik, atëherë mospërputhja midis frekuencave empirike dhe teorike është domethënëse dhe nuk mund të shpjegohet me luhatje të rastësishme në të dhënat e mostrës. Në këtë rast, hipoteza zero hidhet poshtë. Nëse  2 llogaritje  2 tabela, d.m.th. kriteri i llogaritur nuk e kalon divergjencën maksimale të mundshme të frekuencave që mund të lindin për shkak të rastësisë, atëherë në këtë rast pranohet hipoteza për korrespondencën e shpërndarjeve. Kriteri Pearson është efektiv me një numër të konsiderueshëm vëzhgimesh (n50), dhe frekuencat e të gjitha intervaleve duhet të numërojnë të paktën pesë njësi (me një numër më të vogël, intervalet janë të kombinuara), dhe numri i intervaleve (grupeve) duhet të të jetë i madh (h>5), pasi vlerësimi  2 varet nga numri i shkallëve të lirisë.

Kriteri Romanovsky - një kriter i përshtatshmërisë që lejon njeriun të vlerësojë shkallën e afërsisë së shpërndarjes empirike me normalen V.I. Romanovsky propozoi të vlerësohej afërsia e shpërndarjes empirike me kurbën e shpërndarjes normale në lidhje me:

, ku h është numri i grupeve.

Nëse raporti është më i madh se 3, atëherë mospërputhja midis frekuencave të shpërndarjeve empirike dhe normale nuk mund të konsiderohet e rastësishme dhe hipoteza e një ligji të shpërndarjes normale duhet të hidhet poshtë. Nëse raporti është më i vogël ose i barabartë me 3, atëherë mund të pranojmë hipotezën se shpërndarja e të dhënave është normale.

Për të marrë një ide të përafërt të formës së shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme, vizatohet një grafik i serisë së shpërndarjes së tij (poligoni dhe histogrami), funksioni ose dendësia e shpërndarjes. Në praktikën e kërkimit statistikor hasen shpërndarje shumë të ndryshme. Popullatat homogjene karakterizohen, si rregull, nga shpërndarjet me një kulm. Multivertex tregon heterogjenitetin e popullsisë që studiohet. Në këtë rast, është e nevojshme të rigrupohen të dhënat për të identifikuar grupe më homogjene.

Përcaktimi i natyrës së përgjithshme të shpërndarjes së një variabli të rastësishëm përfshin vlerësimin e shkallës së homogjenitetit të tij, si dhe llogaritjen e treguesve të asimetrisë dhe kurtozës. Në një shpërndarje simetrike, në të cilën pritshmëria matematikore është e barabartë me mesataren, d.m.th. , mund të konsiderohet se nuk ka asimetri. Por sa më e dukshme të jetë asimetria, aq më i madh është devijimi midis karakteristikave të qendrës së shpërndarjes - pritjes matematikore dhe mesatares.

Mund të konsiderohet koeficienti më i thjeshtë i asimetrisë së shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme, ku është pritshmëria matematikore, është mediana dhe është devijimi standard i ndryshores së rastit.

Në rastin e asimetrisë së anës së djathtë, asimetrisë së anës së majtë. Nëse , asimetria konsiderohet të jetë e ulët, nëse - e mesme dhe në - e lartë. Një ilustrim gjeometrik i asimetrisë së anës së djathtë dhe të majtë është paraqitur në figurën më poshtë. Ai tregon grafikët e densitetit të shpërndarjes së llojeve përkatëse të variablave të rastësishme të vazhdueshme.

Vizatim. Ilustrimi i asimetrisë së anës së djathtë dhe të majtë në grafikët e densitetit të shpërndarjeve të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme.

Ekziston një koeficient tjetër i asimetrisë së shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Mund të vërtetohet se një moment qendror jozero i një rendi tek tregon një asimetri në shpërndarjen e ndryshores së rastësishme. Në treguesin e mëparshëm kemi përdorur një shprehje të ngjashme me momentin e rendit të parë. Por zakonisht në këtë koeficient tjetër asimetrie përdoret momenti qendror i rendit të tretë , dhe në mënyrë që ky koeficient të bëhet pa dimension, ai pjesëtohet me kubin e devijimit standard. Koeficienti i asimetrisë që rezulton është: . Për këtë koeficient asimetrie, si për të parin në rastin e asimetrisë së anës së djathtë, nga ana e majtë - .

Kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme

Kurtoza e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme karakterizon shkallën e përqendrimit të vlerave të saj pranë qendrës së shpërndarjes: sa më i lartë të jetë përqendrimi, aq më i lartë dhe më i ngushtë do të jetë grafiku i densitetit të shpërndarjes së tij. Treguesi i kurtozës (mprehtësisë) llogaritet duke përdorur formulën: , ku është momenti qendror i rendit të 4-të dhe është devijimi standard i ngritur në fuqinë e 4-të. Meqenëse fuqitë e numëruesit dhe emëruesit janë të njëjta, kurtoza është një sasi pa dimension. Në këtë rast, pranohet si standard i mungesës së kurtozës, kurtoza zero, për të marrë shpërndarjen normale. Por mund të vërtetohet se për një shpërndarje normale . Prandaj, në formulën për llogaritjen e kurtozës, numri 3 zbritet nga kjo fraksion.

Kështu, për një shpërndarje normale kurtoza është zero: . Nëse kurtoza është më e madhe se zero, d.m.th. , atëherë shpërndarja është më e lartë se normalja. Nëse kurtoza është më e vogël se zero, d.m.th. , atëherë shpërndarja është më pak e kulmuar se normalja. Vlera kufizuese e kurtozës negative është vlera e ; madhësia e kurtozës pozitive mund të jetë pafundësisht e madhe. Si duken grafikët e densitetit të shpërndarjes me majë dhe të sheshtë të variablave të rastësishëm në krahasim me shpërndarjen normale, tregohet në figurë.

Vizatim. Ilustrimi i shpërndarjeve të densitetit me majë dhe me majë të sheshtë të variablave të rastësishëm krahasuar me shpërndarjen normale.

Asimetria dhe kurtoza e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme tregojnë se sa shumë devijon nga ligji normal. Për asimetri të mëdha dhe kurtoza, formulat e llogaritjes për shpërndarjen normale nuk duhet të përdoren. Niveli i pranueshmërisë së asimetrisë dhe kurtozës për përdorimin e formulave të shpërndarjes normale në analizën e të dhënave për një ndryshore specifike të rastësishme duhet të përcaktohet nga studiuesi bazuar në njohuritë dhe përvojën e tij.

Shtrëngimi dhe kurtoza e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

090309-matmetody.txt

Karakteristikat e asimetrisë.

Masa kryesore e asimetrisë është koeficienti i asimetrisë. Kjo do të thotë, shkalla në të cilën grafiku i shpërndarjes së frekuencës devijon nga një formë simetrike në lidhje me vlerën mesatare. Përcaktohet me shkronjën A me indeksin s dhe llogaritet sipas formulës (Fig. 8). Koeficienti i asimetrisë ndryshon nga minus pafundësi në plus pafundësi. Asimetria është e majtë (pozitive) kur koeficienti është më i madh se zero - As>0 dhe nga ana e djathtë (negative) - si<0. При левосторонней ассиметрии чаще встречаются значения ниже среднего арифметического. При правой, соответственно чаще всего встречаются значения, превосходящие среднее арифметическое. Для симметричных распределений коэффициент ассиметрии равен нулю, а мода, медиана и среднее арифметическое значение совпадают между собой.

Karakteristikat e kurtozës.

Karakterizon koeficientin e tij të kurtozës (ose kulmit) - llogaritur duke përdorur formulën.

Shpërndarja e pikut karakterizohet nga kurtoza pozitive, shpërndarja e pikut të sheshtë karakterizohet nga kurtoza negative dhe shpërndarja e pikut të mesëm ka kurtozë zero.

Së pari, së dyti,

Nëse ju -(zakonisht interval).

Metoda grafike(P- P Komplote, R-RKomplote).

Ku N- madhësia e mostrës.

Vetitë e shpërndarjes normale të një ndryshoreje të rastësishme.

090309-matmetody.txt

Shpërndarja normale.

Një shpërndarje normale karakterizohet nga fakti se vlerat ekstreme të karakteristikave janë relativisht të rralla, dhe ato afër mesatares aritmetike janë relativisht të zakonshme. Kurba e shpërndarjes normale ka një formë zile. Kjo është një shpërndarje unimodale, vlerat e mesatares, mënyrës dhe mesatares aritmetike të së cilës përkojnë me njëra-tjetrën, koeficientët e anshmërisë dhe kurtozës shtrihen në intervalin nga zero në dy (të pranueshme), por në mënyrë ideale janë të barabarta me zero.

Që nga gjysma e dytë e shekullit të 19-të, metodat e matjes dhe llogaritjes në psikologji janë zhvilluar bazuar në parimin e mëposhtëm. Nëse indiendryshueshmëria vizuale e një vetie të caktuar është pasojë e veprimit të shumë shkaqeve, pastaj shpërndarja e frekuencës për të gjithë shumëllojshmërinë e manifestimevekjo veti në popullatën e përgjithshme i përgjigjet lakores normaleshpërndarjet. Ky është ligji i shpërndarjes normale.

Ligji i shpërndarjes normale ka një sërë pasojash shumë të rëndësishme, të cilave do t'u referohemi më shumë se një herë. Tani vërejmë se nëse, kur studiojmë një pronë të caktuar, e kemi matur atë në një kampion subjektesh dhe kemi marrë një shpërndarje që ndryshon nga ajo normale, kjo do të thotë që ose kampioni nuk është përfaqësues i popullatës së përgjithshme, ose matjet nuk ishin bërë në një shkallë me intervale të barabarta.

TE
Çdo veti psikologjike (ose më gjerësisht, biologjike) korrespondon me shpërndarjen e saj në popullatën e përgjithshme. Më shpesh është normale dhe karakterizohet nga parametrat e tij: mesatar (M) dhe devijimi standard (o). Vetëm këto dy vlera dallojnë nga njëra-tjetra një grup të pafund kthesash normale të së njëjtës formë, të dhëna nga ekuacioni (5.1). Mesatarja specifikon pozicionin e kurbës në boshtin e numrave dhe vepron si disa fillestare vlera standarde e matjes. Devijimi standard përcakton gjerësinë e kësaj kurbë, varet nga njësitë e matjes dhe vepron si shkallë matëse(Fig. 5.3).

Figura 5.3. Familja e kurbave normale, shpërndarja e parë ndryshon nga e dyta nga devijimi standard (σ 1< σ 2), 2-е от 3-го средним арифметическим (M 2 < M 3)

E gjithë shumëllojshmëria e shpërndarjeve normale mund të reduktohet në një kurbë nëse zbatojmë transformimin ^ (sipas formulës 4.8) për të gjitha matjet e mundshme të vetive. Atëherë çdo veti do të ketë një mesatare prej 0 dhe një devijim standard prej 1. Në Fig. 5.4 është paraqitur grafiku i shpërndarjes normale M= 0 dhe a = 1. Kjo është ajoshpërndarja normale e njësisë, OBSH-tufa përdoret si standard - standard. Le ta konsiderojmë atë veti të rëndësishme.

Njësia matëse për një shpërndarje normale njësi është devijimi standard.

Kurba i afrohet boshtit Z në skajet në mënyrë asimptotike - duke mos e prekur kurrë atë.

Lakorja është simetrike rreth M=0. Asimetria dhe kurtoza e saj janë zero.

Kurba ka një kthesë karakteristike: pika e përkuljes shtrihet saktësisht në një distancë prej një σ nga M.

Zona midis kurbës dhe boshtit Z është 1.

Prona e fundit shpjegon emrin beqare shpërndarje normale dhe është jashtëzakonisht e rëndësishme. Falë kësaj prone sipërfaqja nën kurbë interpretohet si probabilitet, ose relativefrekuenca. Në të vërtetë, e gjithë zona nën kurbë korrespondon me probabilitetin që karakteristika të marrë ndonjë vlerë nga i gjithë diapazoni i ndryshueshmërisë së saj (nga -oo në +oo). Sipërfaqja nën një kurbë normale njësi në të majtë ose në të djathtë të pikës zero është 0.5. Kjo korrespondon me faktin se gjysma e popullsisë së përgjithshme ka një vlerë karakteristike më të madhe se 0, dhe gjysma - më pak se 0. Frekuenca relative e shfaqjes në popullatën e përgjithshme e vlerave karakteristike në intervalin nga Z\ te Zi e barabartë me sipërfaqen nën kurbë që shtrihet midis pikave përkatëse. Le të vërejmë përsëri se çdo shpërndarje normale mund të reduktohet në një shpërndarje normale njësi me z- transformimet.

Pra, vetia më e rëndësishme e përbashkët e kurbave të ndryshme të shpërndarjes normale është proporcioni i njëjtë i zonës nën kurbë midis dy vlerave të njëjta të atributit, e shprehur në njësi të devijimit standard.

Është e dobishme të mbani mend se për çdo shpërndarje normale ekzistojnë korrespondencat e mëposhtme midis gamës së vlerave dhe zonës nën kurbë:

Një shpërndarje e vetme normale vendos një lidhje të qartë midis devijimit standard dhe numrit relativ të rasteve në popullatë për çdo shpërndarje normale. Për shembull, duke ditur vetitë e shpërndarjes normale të njësisë, ne mund t'u përgjigjemi pyetjeve të mëposhtme. Nga cila pjesë e popullsisë së përgjithshme ka një shprehje pronësie nga - \O deri në +1o? Ose sa është probabiliteti që një përfaqësues i përzgjedhur rastësisht i popullatës së përgjithshme të ketë një intensitet të pronës që është më i madh se vlera mesatare? Në rastin e parë, përgjigja do të jetë 68.26% e të gjithë popullsisë, pasi nga - 1 në +1 përmban 0.6826 të sipërfaqes së një njësie të shpërndarjes normale. Në rastin e dytë, përgjigjja është: (100-99,72)/2 = 0,14%.

Ekziston një tabelë e veçantë që ju lejon të përcaktoni zonën nën kurbë në të djathtë të çdo pozitive z (Shtojca 1). Duke përdorur atë, ju mund të përcaktoni probabilitetin e shfaqjes së vlerave të atributeve nga çdo varg. Kjo përdoret gjerësisht në interpretimin e të dhënave të testit.

Pavarësisht postulatit fillestar se pronat në popullatë kanë një shpërndarje normale, të dhënat aktuale të marra nga një kampion rrallë shpërndahen normalisht. Për më tepër, janë zhvilluar shumë metoda që bëjnë të mundur analizimin e të dhënave pa asnjë supozim për natyrën e shpërndarjes së tyre, si në kampion ashtu edhe në popullatë. Këto rrethana ndonjëherë çojnë në besimin e rremë se shpërndarja normale është një abstraksion matematikor bosh që nuk ka asnjë lidhje me psikologjinë. Megjithatë, siç do të shohim më vonë, ekzistojnë të paktën tre aspekte të rëndësishme të aplikimit të shpërndarjes normale:

Zhvillimi i shkallëve të testimit.

Kontrollimi i normalitetit të shpërndarjes së mostrave për të marrë një vendim
vendimet se në çfarë shkalle matet atributi - metrikë apo konvencionale
private

Testimi statistikor i hipotezave, veçanërisht gjatë përcaktimit të rrezikut
duke marrë vendimin e gabuar.

Shpërndarja normale standarde. Standardizimi i shpërndarjeve.

(Për të gjithë pyetjen nr. 12 + rreth standardizimit, shih më poshtë)

091208-matmetody.txt

Standardizimi metodat psikodiagnostike (më shumë për këtë në pyetjen nr. 17)

Popullsia dhe mostra.

091208-matmetody.txt

Popullata të përgjithshme.

Çdo teknikë psikodiagnostike ka për qëllim ekzaminimin e një kategorie të caktuar të madhe individësh. Ky grup quhet popullsia.

Për të përcaktuar shkallën e shprehjes së një prone të veçantë në një person specifik, duhet të dini se si shpërndahet kjo cilësi në të gjithë popullsinë. Është pothuajse e pamundur të anketohet popullata e përgjithshme, kështu që ata përdorin një mostër nga popullata e përgjithshme, domethënë një pjesë përfaqësuese e popullatës së përgjithshme. Është kjo përfaqësim (përndryshe quhet "përfaqësueshmëri") që është kërkesa kryesore për kampionin. Është e pamundur të sigurohet një përputhje absolutisht e saktë e kësaj kërkese. Mund t'i afroheni idealit vetëm duke përdorur metoda të caktuara. Ato kryesore janë 1) rastësia dhe 2) modelimi.

1) Kampionimi i rastësishëm supozon se subjektet do të përfshihen në të në mënyrë të rastësishme. Po merren masa për të siguruar që të mos shfaqen modele.

2) Gjatë modelimit, së pari përzgjidhen ato veti që mund të ndikojnë në rezultatet e testit. Zakonisht këto janë karakteristika demografike, brenda të cilave dallohen gradimet: intervalet e moshës, nivelet e arsimimit etj. Në bazë të këtyre të dhënave ndërtohet një model matricë i popullatës së përgjithshme.

Në mënyrë tipike, metodat standardizohen në një kampion prej 200 deri në 800 persona.

Standardizimi i metodave psikodiagnostike është procedura për marrjen e një shkalle që ju lejon të krahasoni një rezultat individual të testit me rezultatet e një grupi të madh.

Hulumtimi zakonisht fillon me disa supozime që kërkojnë verifikim duke përdorur fakte. Ky supozim - një hipotezë - formulohet në lidhje me lidhjen e fenomeneve ose vetive në një grup të caktuar objektesh.

Për të testuar supozime të tilla kundrejt fakteve, është e nevojshme të maten vetitë përkatëse të bartësve të tyre. Por është e pamundur të matet ankthi tek të gjitha femrat dhe meshkujt, ashtu siç është e pamundur të matet agresiviteti tek të gjithë adoleshentët. Prandaj, gjatë kryerjes së hulumtimit, ai kufizohet vetëm në një grup relativisht të vogël përfaqësuesish të popullatave përkatëse të njerëzve.

Popullsia- ky është tërësia e objekteve në lidhje me të cilat formulohet një hipotezë kërkimore.

Në shembullin e parë, popullata të tilla të përgjithshme janë të gjithë burra dhe të gjitha gra. Në të dytën - të gjithë adoleshentët që shikojnë programe televizive që përmbajnë skena dhune. Popullatat e përgjithshme në lidhje me të cilat studiuesi do të nxjerrë përfundime bazuar në rezultatet e studimit mund të jenë më modeste në përmasa.

Kështu, popullsia e përgjithshme është, megjithëse jo një numër i pafund njerëzish, por, si rregull, një grup subjektesh potenciale të paarritshme për kërkime të vazhdueshme.

Mostra- ky është një grup objektesh të kufizuara në numër (në psikologji - lëndë, të anketuar), të zgjedhur posaçërisht nga popullata e përgjithshme për të studiuar vetitë e tij. Prandaj, studimi i vetive të një popullate të përgjithshme duke përdorur një mostër quhet studim kampionimi. Pothuajse të gjitha studimet psikologjike janë selektive dhe përfundimet e tyre vlejnë për popullatën e përgjithshme.

Kështu, pasi është formuluar hipoteza dhe janë identifikuar popullatat përkatëse, studiuesi përballet me problemin e organizimit të kampionit. Mostra duhet të jetë e tillë që të justifikohet përgjithësimi i përfundimeve të studimit kampion - përgjithësimi, shtrirja e tyre në popullatën e përgjithshme. Kriteret kryesore për përcaktiminvlefshmërinë e gjetjeve të hulumtimit- kjo është përfaqësimi i kampionit dhebesueshmëria statistikore e rezultateve (empirike).

Përfaqësueshmëria e kampionit- me fjalë të tjera, përfaqësimi i tij është aftësia e kampionit për të përfaqësuar plotësisht fenomenet në studim nga pikëpamja e ndryshueshmërisë së tyre në popullatën e përgjithshme.

Natyrisht, vetëm popullata e përgjithshme mund të japë një pasqyrë të plotë të fenomenit që studiohet, në të gjithë gamën e tij dhe nuancat e ndryshueshmërisë. Prandaj, përfaqësimi është gjithmonë i kufizuar në masën që kampioni është i kufizuar. Dhe është përfaqësimi i kampionit ai që është kriteri kryesor në përcaktimin e kufijve të përgjithësimit të gjetjeve të kërkimit. Megjithatë, ka teknika që bëjnë të mundur marrjen e një kampioni përfaqësues që është i mjaftueshëm për studiuesin. (Pyetja #15 është vazhdim i kësaj pyetjeje)

Metodat bazë të kampionimit.

Me. 13 (20) (Pyetja #14 është një prelud i kësaj pyetjeje)

Teknika e parë dhe kryesore është e thjeshtë e rastësishme (e rastësishme)përzgjedhje. Ai përfshin sigurimin e kushteve të tilla që çdo anëtar i popullatës të ketë shanse të barabarta me të tjerët për t'u përfshirë në kampion. Përzgjedhja e rastësishme siguron që një shumëllojshmëri përfaqësuesish të popullatës së përgjithshme mund të përfshihen në kampion. Në këtë rast, merren masa të veçanta për të parandaluar shfaqjen e ndonjë modeli gjatë përzgjedhjes. Dhe kjo na lejon të shpresojmë se në fund, në kampion, prona që studiohet do të përfaqësohet, nëse jo në të gjitha, atëherë në diversitetin maksimal të mundshëm.

Mënyra e dytë për të siguruar përfaqësimin është përzgjedhje e rastësishme e shtresuar, ose përzgjedhje në bazë të vetive të popullsisë. Ai përfshin një përcaktim paraprak të atyre cilësive që mund të ndikojnë në ndryshueshmërinë e pronës që studiohet (kjo mund të jetë gjinia, niveli i të ardhurave ose arsimimi, etj.). Më pas përcaktohet raporti në përqindje i numrit të grupeve (shtresave) që ndryshojnë në këto cilësi në popullatën e përgjithshme dhe sigurohet një përqindje identike e grupeve përkatëse në kampion. Më pas, subjektet përzgjidhen në secilin nëngrup të kampionit sipas parimit të përzgjedhjes së thjeshtë të rastësishme.

Besueshmëria statistikore, ose rëndësisë statistikore, rezultatet e një studimi përcaktohen duke përdorur metodat e konkluzionit statistikor. Ne do t'i shqyrtojmë këto metoda në detaje në pjesën e dytë të këtij libri. Tani vetëm vërejmë se ata kanë kërkesa të caktuara për numrin, ose madhësia e mostrës.

Fatkeqësisht, nuk ka udhëzime strikte për përcaktimin paraprak të madhësisë së kërkuar të mostrës. Për më tepër, pyetja për numrin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm studiuesi zakonisht e merr shumë vonë - vetëm pasi të ketë analizuar të dhënat e një kampioni tashmë të anketuar. Sidoqoftë, rekomandimet më të përgjithshme mund të formulohen:

□ Madhësia më e madhe e mostrës kërkohet kur zhvillohet një teknikë diagnostike - nga 200 në 1000-2500 njerëz.

Nëse është e nevojshme të krahasohen 2 mostra, numri total i tyre duhet të jetë
të jenë të paktën 50 persona; numri i mostrave të krahasuara duhet
të jetë afërsisht e njëjtë.

P Nëse po studiohet marrëdhënia midis ndonjë prone, atëherë madhësia e kampionit duhet të jetë së paku 30-35 persona.

□ Sa më shumë ndryshueshmëria prona që studiohet, aq më e madhe duhet të jetë
madhësia e mostrës. Prandaj, ndryshueshmëria mund të reduktohet duke u rritur
homogjeniteti i kampionit, për shembull, sipas gjinisë, moshës, etj. Në të njëjtën kohë,
Natyrisht, mundësitë për përgjithësimin e përfundimeve janë zvogëluar.

Mostrat e varura dhe të pavarura. Një situatë e zakonshme kërkimore është kur një veti me interes për një studiues studiohet në dy ose më shumë mostra për qëllime krahasimi të mëtejshëm. Këto mostra mund të jenë në përmasa të ndryshme, në varësi të procedurës për organizimin e tyre. I pavarurmostra të vlefshme karakterizohen nga fakti se probabiliteti i përzgjedhjes së ndonjë lënde në një kampion nuk varet nga përzgjedhja e ndonjë prej lëndëve në një kampion tjetër. Kundër, mostrat e varura karakterizohen nga fakti se çdo subjekt nga një kampion përputhet sipas një kriteri të caktuar nga një subjekt nga një kampion tjetër.

Në përgjithësi, mostrat e varura përfshijnë zgjedhjen në çift të subjekteve në mostra të krahasuara, dhe mostrat e pavarura nënkuptojnë një përzgjedhje të pavarur të subjekteve.

Duhet të theksohet se rastet e mostrave "pjesërisht të varura" (ose "pjesërisht të pavarura") janë të papranueshme: kjo në mënyrë të paparashikueshme cenon përfaqësimin e tyre.

Si përfundim, vërejmë se mund të dallohen dy paradigma të kërkimit psikologjik. E ashtuquajtura R-metodologjia përfshin studimin e ndryshueshmërisë së një vetie të caktuar (psikologjike) nën ndikimin e një ndikimi, faktori ose vetie tjetër të caktuar. Mostra është shumë- numri i lëndëve . Një qasje tjetër P- Metodologjia, përfshin studimin e ndryshueshmërisë së një subjekti (individi) nën ndikimin e stimujve të ndryshëm (kushte, situata, etj.). Ajo korrespondon me situatën kur mostra është ka shumë stimuj .

Kontrollimi i mostrës për vlera anormale.

Për të testuar normalitetin, përdoren procedura të ndryshme për të përcaktuar nëse shpërndarja e mostrës së një variabli të matur ndryshon nga normalja. Nevoja për një krahasim të tillë lind kur dyshojmë se në çfarë shkalle përfaqësohet atributi - rendor apo metrikë. Dhe dyshime të tilla lindin shumë shpesh, pasi ne, si rregull, nuk e dimë paraprakisht se në çfarë shkalle do të jetë e mundur të matet prona që studiohet (duke përjashtuar, natyrisht, rastet e matjeve qartësisht nominative).

Rëndësia e përcaktimit se në çfarë shkalle matet një tipar nuk mund të mbivlerësohet, për të paktën dy arsye. Kjo varet nga kjo Së pari, plotësia e marrjes parasysh të informacionit fillestar empirik (në veçanti, për dallimet individuale), së dyti, disponueshmëria e shumë metodave të analizës së të dhënave. Nëse studiuesi vendos të masë në një shkallë rendore, atëherë renditja e pashmangshme e mëvonshme çon në humbjen e një pjese të informacionit origjinal në lidhje me ndryshimet midis subjekteve, grupeve të studiuara, marrëdhëniet midis karakteristikave, etj. Përveç kësaj, të dhënat metrike lejojnë përdorimin e një gamë dukshëm më të gjerë të metodave të analizës dhe, si rezultat, i bëjnë përfundimet e kërkimit më të thella dhe më kuptimplote.

Argumenti më bindës në favor të faktit që karakteristika matet në një shkallë metrike është korrespondenca e shpërndarjes së mostrës me normalen. Kjo është pasojë e ligjit të shpërndarjes normale. Nëse ju -shpërndarja Boroch nuk ndryshon nga ajo normale, kjo do të thotë sevetia e matur është pasqyruar në shkallën metrike(zakonisht interval).

Ka shumë mënyra të ndryshme për të testuar për normalitet, nga të cilat ne do të përshkruajmë shkurtimisht vetëm disa, duke supozuar se lexuesi do t'i kryejë këto teste duke përdorur programe kompjuterike.

Metoda grafike(P- P Komplote, R-RKomplote). Ata ndërtojnë ose grafikët kuantile ose grafikët e frekuencave të grumbulluara. Parcela sasiore (P- P Komplote) janë ndërtuar si më poshtë. Së pari, përcaktohen vlerat empirike të karakteristikës që studiohet, që korrespondojnë me përqindjen e 5-të, të 10-të, ..., të 95-të. Rezultatet Z (teorike) më pas përcaktohen nga tabela e shpërndarjes normale për secilin prej këtyre përqindjeve. Dy seritë rezultuese të numrave përcaktojnë koordinatat e pikave në grafik: vlerat empirike të atributit vizatohen në boshtin e abshisës dhe vlerat teorike përkatëse vizatohen në boshtin e ordinatave. Për një shpërndarje normale, të gjitha pikat do të jenështypni në ose afër të njëjtës linjë. Sa më e madhe të jetë distanca nga pikat në vijën e drejtë, aq më pak shpërndarja korrespondon me normalen. Grafikët e frekuencave të grumbulluara (PPKomplote) janë ndërtuar në mënyrë të ngjashme. Vlerat e frekuencave relative të grumbulluara vizatohen në boshtin e abshisës në intervale të barabarta, për shembull 0.05; 0.1; ...; 0,95. Më pas, përcaktohen vlerat empirike të karakteristikës që studiohet, që korrespondojnë me secilën vlerë të frekuencës së grumbulluar, të cilat shndërrohen në rezultate z. Ngatabela e shpërndarjes normale përcakton akumulimin teorikfrekuencat e matura (zona nën kurbë) për secilën nga vlerat r të llogaritura, të cilat janë paraqitur në ordinatë. Nëse shpërndarja ështëkorrespondon me normalen, pikat e marra në grafik shtrihen në të njëjtën gjëe drejtpërdrejtë.

Kriteret për shtrembërimin dhe kurtozën. Këto kritere përcaktojnë shkallën e lejuar të devijimit të vlerave empirike të anshmërisë dhe kurtozës nga vlerat zero që korrespondojnë me shpërndarjen normale. Shkalla e pranueshme e devijimit është ajo që na lejon të konsiderojmë se këto statistika nuk ndryshojnë ndjeshëm nga parametrat normalë. Sasia e devijimeve të lejuara përcaktohet nga të ashtuquajturat gabime standarde të asimetrisë dhe kurtozës. Për formulën e asimetrisë (4.10), gabimi standard përcaktohet nga formula:

Ku N- madhësia e mostrës.

Vlerat e mostrës së anshmërisë dhe kurtozës janë dukshëm të ndryshme nga zero nëse nuk i tejkalojnë gabimet e tyre standarde. Kjo mund të konsiderohet si një shenjë që shpërndarja e kampionit korrespondon me ligjin normal. Duhet të theksohet se programet kompjuterike llogaritin treguesit e asimetrisë, kurtozës dhe gabimeve standarde përkatëse duke përdorur formula të tjera, më komplekse.

Testi i normalitetit statistikor Kolmogorov-Smirnov konsiderohet më i përshtatshmi për përcaktimin e shkallës së përputhshmërisë së shpërndarjes empirike me atë normale. Kjo ju lejon të vlerësoni probabilitetin që një kampion i caktuar i përket një popullate me një shpërndarje normale. Nëse ky probabilitet r< 0.05, atëherë kjo shpërndarje empirike ndryshon dukshëm nga normalja, dhe nëse r> 0.05, atëherë ata arrijnë në përfundimin se kjo shpërndarje empirike përafërsisht korrespondon me atë normale.

Arsyet e devijimit nga normaliteti. Arsyeja e përgjithshme për devijimin e formës së shpërndarjes së mostrës së një karakteristike nga forma normale është më shpesh një tipar i procedurës së matjes: shkalla e përdorur mund të ketë ndjeshmëri të pabarabartë ndaj vetive të matura në pjesë të ndryshme të diapazonit të ndryshueshmërisë së saj. .

SHEMBULL Supozoni se ashpërsia e një aftësie të caktuar përcaktohet nga numri i detyrave të kryera në kohën e caktuar. Nëse detyrat janë të thjeshta ose koha është shumë e gjatë, atëherë kjo procedurë matjeje do të ketë ndjeshmëri të mjaftueshme vetëm për një pjesë të subjekteve për të cilët këto detyra janë mjaft të vështira. Dhe një pjesë shumë e madhe e lëndëve do të zgjidhë të gjitha ose pothuajse të gjitha detyrat. Si rezultat, do të marrim një shpërndarje me asimetri të theksuar në anën e djathtë. Sigurisht, është e mundur që më pas të përmirësohet cilësia e matjes përmes normalizimit empirik duke shtuar detyra më komplekse ose duke zvogëluar kohën e nevojshme për të përfunduar një grup të caktuar detyrash. Nëse e ndërlikojmë shumë procedurën e matjes, atëherë do të lindë situata e kundërt kur shumica e subjekteve do të zgjidhin një numër të vogël detyrash dhe shpërndarja empirike do të fitojë një asimetri të anës së majtë.

Kështu, devijimet nga forma normale, të tilla si asimetria në anën e djathtë ose të majtë ose kurtoza shumë e madhe (më e madhe se 0), shoqërohen me ndjeshmërinë relativisht të ulët të procedurës së matjes në rajonin e modalitetit (maja e grafikut të shpërndarjes së frekuencës ).

Pasojat e devijimit nga normaliteti. Duhet të theksohet se detyra për të përftuar një shpërndarje empirike që korrespondon rreptësisht me ligjin normal nuk haset shpesh në praktikën kërkimore. Në mënyrë tipike, raste të tilla kufizohen në zhvillimin e një procedure të re matjeje ose shkallë testimi, kur normalizimi empirik ose jolinear përdoret për të "korrigjuar" shpërndarjen empirike. Në shumicënrastet e konformitetit ose mospërputhjes me normalitetin është natyra evetia e karakteristikës së matur, të cilën studiuesi duhet ta ketë parasysh kurpërzgjedhja e procedurave statistikore për analizën e të dhënave.

Në përgjithësi, nëse ka një devijim të konsiderueshëm të shpërndarjes empirike nga ajo normale, duhet hequr dorë nga supozimi se karakteristika matet në një shkallë metrike. Por pyetja mbetet e hapur: cila është masa e rëndësisë së këtij devijimi? Për më tepër, metoda të ndryshme të analizës së të dhënave kanë ndjeshmëri të ndryshme ndaj devijimeve nga normaliteti. Zakonisht, kur justifikohen perspektivat e këtij problemi, citohet parimi i R. Fisher, një nga "etërit themelues" të statistikave moderne: “Devijimet nga normaljatë këtij lloji, nëse nuk janë shumë të dukshme, mund të zbulohen vetëm në masëmostra të reja; vetvetiu ato bëjnë pak ndryshim në kriterin statistikorria dhe çështje të tjera”. Për shembull, me mostra të vogla por tipike për kërkime psikologjike (deri në 50 persona), kriteri Kolmogorov-Smirnov nuk është mjaft i ndjeshëm në përcaktimin e devijimeve edhe shumë të dukshme "nga syri" nga normaliteti. Në të njëjtën kohë, disa procedura për analizimin e të dhënave metrike lejojnë plotësisht devijimet nga shpërndarja normale (disa në një masë më të madhe, të tjera në një masë më të vogël). Në të ardhmen, gjatë prezantimit të materialit, nëse është e nevojshme, do të përcaktojmë shkallën e ngurtësisë së kërkesës së normalitetit.

Rregullat bazë për standardizimin e teknikave psikodiagnostike.

091208-matmetody.txt

Standardizimi metodat psikodiagnostikeështë procedura për marrjen e një shkalle që ju lejon të krahasoni një rezultat individual të testit me rezultatet e një grupi të madh.

Shkallët e testimit zhvillohen për të vlerësuar një rezultat individual të testit duke e krahasuar atë me normat e testimit të marra nga një mostër standardizimi. Kampionimi i standardizimitështë krijuar posaçërisht për zhvillimin e një shkalle testimi - ajo duhet të jetë përfaqësuese e popullatës së përgjithshme për të cilën është planifikuar të përdoret ky test. Më pas, gjatë testimit, supozohet se si personi që testohet ashtu edhe kampioni i standardizimit i përkasin të njëjtës popullatë të përgjithshme.

Parimi fillestar kur zhvillohet një shkallë testimi është supozimi se prona që matet shpërndahet në popullatën e përgjithshme në përputhje me ligjin normal. Prandaj, matja e kësaj vetie në shkallën e provës në kampionin e standardizimit duhet të sigurojë gjithashtu një shpërndarje normale. Nëse është kështu, atëherë shkalla e provës është metrike - më saktë, intervale të barabarta. Nëse nuk është kështu, atëherë prona mund të pasqyrohet, në rastin më të mirë, në shkallën e rendit. Natyrisht, shumica e shkallëve standarde të provës janë metrike, gjë që ju lejon të interpretoni rezultatet e testit në më shumë detaje - duke marrë parasysh vetitë e shpërndarjes normale - dhe të aplikoni saktë çdo metodë të analizës statistikore. Kështu, problemi kryesor i standardittest test është për të zhvilluar një shkallë në të cilën shpërndarjaReduktimi i treguesve të testimit në kampionin e standardizimit do të korrespondonteshpërndarje normale.

Rezultatet fillestare të testit janë numri i përgjigjeve për pyetje të caktuara të testit, koha ose numri i problemeve të zgjidhura, etj. Ato quhen gjithashtu pikë primare ose "të papërpunuara". Rezultati i standardizimit janë normat e provës - një tabelë për shndërrimin e notave "të papërpunuara" në shkallë testimi standarde.

Ka shumë shkallë testimi standarde, qëllimi kryesor i të cilave është të paraqesin rezultatet individuale të testit në një formë të përshtatshme për interpretim. Disa nga këto shkallë janë paraqitur në Fig. 5.5. E përbashkëta e tyre është pajtueshmëria me shpërndarjen normale, dhe ato ndryshojnë vetëm në dy tregues: vlerën mesatare dhe shkallën (devijimi standard - o), i cili përcakton granularitetin e shkallës.

Sekuenca e përgjithshme e standardizimit(zhvillimi i standardeve të testit - tabelat për shndërrimin e notave "të papërpunuara" në rezultatet standarde të testit) është si më poshtë:

përcaktohet popullata e përgjithshme për të cilën po zhvillohet
metodologjia dhe formohet një mostër përfaqësuese e standardizimit;

Bazuar në rezultatet e aplikimit të versionit primar të testit, një shpërndarje
përcaktimi i vlerësimeve “të papërpunuara”;

kontrolloni përputhshmërinë e shpërndarjes që rezulton me një normale
kon;

nëse shpërndarja e vlerësimeve “të papërpunuara” korrespondon me normalen, pro-
i ngacmuar standardizimi linear;

nëse shpërndarja e vlerësimeve "të papërpunuara" nuk korrespondon me normalen, atëherë
dy opsione janë të mundshme:

para standardizimit linear, prodhohet një standard empirik -
lizim;

kryejnë normalizim jolinear.

Shpërndarja e vlerësimeve "të papërpunuara" kontrollohet për pajtueshmërinë me ligjin normal duke përdorur kritere të veçanta, të cilat do t'i shqyrtojmë më vonë në këtë kapitull.

Standardizimi linear qëndron në faktin se përcaktohen kufijtë e intervaleve të vlerësimeve "të papërpunuara", që korrespondojnë me treguesit standard të testit. Këta kufij llogariten duke i shtuar pikëve mesatare "të papërpunuara" (ose duke zbritur prej tij) pjesët e devijimeve standarde që korrespondojnë me shkallën e testit.

Normat e provës - tabela për shndërrimin e pikave "të papërpunuara" në mure

Duke përdorur këtë tabelë të normave të testimit, rezultati individual (rezultati "i papërpunuar") konvertohet në një shkallë muri, e cila lejon njeriun të interpretojë ashpërsinë e pronës që matet.

Normalizimi empirik përdoret kur shpërndarja e pikëve "të papërpunuara" ndryshon nga normalja. Ai konsiston në ndryshimin e përmbajtjes së detyrave të testimit. Për shembull, nëse rezultati "i papërpunuar" është numri i problemeve të zgjidhura nga testuesit në kohën e caktuar dhe fitohet një shpërndarje me asimetri në anën e djathtë, atëherë kjo do të thotë se një pjesë shumë e madhe e testuesve zgjidhin më shumë. se gjysma e detyrave. Në këtë rast, është e nevojshme ose të shtoni detyra më të vështira ose të zvogëloni kohën e zgjidhjes.

Normalizimi jolinear përdoret nëse normalizimi empirik është i pamundur ose i padëshirueshëm, për shembull, nga pikëpamja e kohës dhe burimeve. Në këtë rast, shndërrimi i vlerësimeve "të papërpunuara" në ato standarde kryhet duke gjetur kufijtë e përqindjes së grupeve në shpërndarjen origjinale, që korrespondojnë me kufijtë e përqindjes së grupeve në shpërndarjen normale të shkallës standarde. Çdo interval i shkallës standarde shoqërohet me një interval të shkallës së vlerësimit "të papërpunuar" që përmban të njëjtën përqindje të mostrës së standardizimit. Vlerat e aksioneve përcaktohen nga sipërfaqja nën kurbën normale të njësisë, e mbyllur midis vlerësimeve r që korrespondojnë me një interval të caktuar të shkallës standarde.

Për shembull, për të përcaktuar se çfarë rezultati "të papërpunuar" duhet të korrespondojë me murin e kufirit të poshtëm 10, së pari duhet të zbuloni se me cilën vlerë r korrespondon ky kufi. (z = 2). Pastaj, duke përdorur tabelën e shpërndarjes normale (Shtojca 1), është e nevojshme të përcaktohet se cila pjesë e sipërfaqes nën lakoren normale është në të djathtë të kësaj vlere (0.023). Pas kësaj, përcaktohet se cila vlerë pret 2.3% të vlerave më të larta të pikëve "të papërpunuara" të kampionit të standardizimit. Vlera e gjetur do të korrespondojë me kufirin e mureve të 9-të dhe 10-të.

Bazat e deklaruara të psikodiagnostikës na lejojnë të formulojmë kërkesat matematikisht të shëndosha për testin. Procedura e testimit duhet të përputhetmbaj:

përshkrimi i mostrës së standardizimit;

karakteristikat e shpërndarjes së pikëve “të papërpunuara” që tregojnë mesataren dhe
devijimi standard;

emri, karakteristikat e shkallës standarde;

normat e testit - tabela për shndërrimin e rezultateve "të papërpunuara" në pikë të shkallës.

Shkalla e pikës Z. (???)

091208-matmetody.txt

Devijimi i standardizuar (ose standard) zakonisht shënohet me shkronjën Z. (Fig. 1 në fletore) merren pikët Z.

Një vend të veçantë midis shpërndarjeve normale zë e ashtuquajtura shpërndarje normale standarde ose njësi. Kjo shpërndarje fitohet me kusht që mesatarja aritmetike të jetë zero dhe devijimi standard të jetë 1. Shpërndarja normale është e përshtatshme sepse çdo shpërndarje mund të reduktohet në të me standardizim.

Operacioni i standardizimit është si më poshtë: mesatarja aritmetike zbritet nga çdo vlerë individuale e parametrit. Ky operacion quhet qendërzim. Dhe ndryshimi që rezulton ndahet me devijimin standard. Ky operacion quhet normalizim.

Me. 47 (54) (shih foton me peshore atje)

monitorimi2.htm

Kështu, nëse zbresim rezultatin e një subjekti të caktuar nga mesatarja dhe pjesëtojmë ndryshimin me devijimin standard, ne mund ta shprehim rezultatin individual si një pjesë e devijimit standard. Ndarjet diagnostike të marra në këtë mënyrë quhen rezultate Z. Z – rezultati është baza e çdo shkalle standarde. Vetia më tërheqëse e rezultateve z është se ato karakterizojnë pozicionin relativ të rezultatit të subjektit midis të gjitha rezultateve të grupit, pavarësisht nga mesatarja dhe devijimi standard. Për më tepër, rezultatet z janë pa njësi. Falë këtyre dy vetive të rezultateve z, ato mund të përdoren për të krahasuar rezultatet e marra në mënyra të ndryshme dhe në një sërë aspektesh të mostrës së sjelljes.

Shkalla stanine
Shkalla e murit
Shkalla T
Shkalla e IQ-së

Shkallët që rrjedhin nga shkalla e rezultatit Z.

monitorimi2.htm (ka gjithashtu një fillim të mirë për standardizimin dhe devijimin standard)

Disavantazhi i rezultatit z është se ju duhet të merreni me vlera fraksionale dhe negative. Prandaj, zakonisht shndërrohet në të ashtuquajturat peshore standarde, të cilat janë më të përshtatshme për t'u përdorur. Tradicionalisht dhe më shpesh se të tjerët në diagnostikim, përdoren shkallët e mëposhtme:

Shkalla stanine
Shkalla e murit
Shkalla T
Shkalla e IQ-së

Me. 47 (54) (shih foton me peshore atje)

0028.htm 7. Standardizimi i pyetësorit psikologjik

Normalizimi i treguesve të testimit.

Në mënyrë që pyetësori psikologjik të përdoret praktikisht, d.m.th. Për të bërë një parashikim të sjelljes së tij në situata të reja bazuar në plotësimin e tij nga një subjekt i përzgjedhur rastësisht (duke përdorur kriteret e vlefshmërisë së këtij pyetësori), është e nevojshme të normalizohen treguesit në një kampion normativ. Vetëm përdorimi i standardeve statistikore bën të mundur gjykimin e rritjes ose uljes së ashpërsisë së një cilësie të caktuar psikologjike në një subjekt të caktuar. Edhe pse normat janë të rëndësishme për psikologjinë e aplikuar, është më e lehtë për kërkimin psikologjik të përdorin masat e papërpunuara drejtpërdrejt.

Performanca e një subjekti të caktuar duhet të krahasohet me performancën e një grupi adekuat normativ. Kjo realizohet përmes disa transformimeve që zbulojnë statusin e atij individi në lidhje me grupin e caktuar.

Transformimet lineare dhe jolineare të vlerave të shkallës së papërpunuar. Treguesit standardë mund të merren nga transformimi linear dhe jolinear i treguesve parësorë. Shndërrimet lineare fitohen duke zbritur një konstante nga treguesi primar dhe duke pjesëtuar më tej me një konstante tjetër, prandaj të gjitha marrëdhëniet karakteristike të treguesve parësorë vlejnë edhe për ato lineare. Më i përdoruri është rezultati z (Formula 3).

Por për faktin se shpesh shpërndarja e pikëve përfundimtare në njërën apo tjetrën shkallë nuk është normale, përqindjet nuk mund të nxirren nga këta tregues të standardizuar, d.m.th. vlerësoni se sa për qind e lëndëve kanë marrë të njëjtin tregues me lëndën e dhënë.

Nëse normalizimi i përqindjes me shndërrim në mure dhe normalizimi linear me konvertim në mure japin të njëjtat vlera të murit, atëherë shpërndarja konsiderohet normale brenda një dhjetëshe standarde.

Për të arritur krahasueshmërinë e rezultateve që i përkasin shpërndarjeve të formave të ndryshme, mund të zbatohet një transformim jolinear.

Rezultatet standarde të normalizuara të marra duke përdorur një transformim jolinear janë pikë standarde që korrespondojnë me një shpërndarje që është transformuar në mënyrë që të bëhet normale. Për llogaritjen e tyre, krijohen tabela të veçanta për shndërrimin e pikave të papërpunuara në ato standarde. Ato japin përqindjen e rasteve të shkallëve të ndryshme të devijimeve (në njësi σ nga vlera mesatare). Kështu, vlera mesatare që korrespondon me arritjen e 50% të rezultateve të grupit mund të barazohet me 0. Mesatarja minus devijimi standard mund të barazohet me -1, kjo vlerë e re do të vërehet në rreth 16% të kampionit, dhe vlera +1 - në rreth 84%.

Puna “Puna e grupeve të terapisë së të folurit”; 2. “Respektimi i... standardeve sanitare në mensat e shkollave”; 3. "Oh puna Administrata e shkollës speciale (korrektuese) të Voivodeship...

2.6 Skewness dhe kurtosis

Në statistikat matematikore, për të përcaktuar formën gjeometrike të densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme, përdoren dy karakteristika numerike që lidhen me momentet qendrore të rendit të tretë dhe të katërt.

Përkufizimi 2.22 Koeficienti i asimetrisë së mostrësx 1 , x 2 , …, x nështë një numër i barabartë me raportin e momentit qendror të mostrës së rendit të tretë me kubin e devijimit standard S:

Që kur , atëherë koeficienti i asimetrisë shprehet përmes momenteve qendrore me formulën e mëposhtme:

Nga këtu marrim një formulë që shpreh koeficientin e asimetrisë përmes momenteve fillestare:

, e cila lehtëson llogaritjet praktike.

Karakteristika teorike përkatëse paraqitet duke përdorur pikat teorike.

Përkufizim 2.23 Koeficienti i asimetrisë së një ndryshoreje të rastësishmeXnumri i thirrure barabartë me raportin e momentit qendror të rendit të tretënë kubin e devijimit standard:

Nëse një ndryshore e rastësishme X ka një shpërndarje simetrike në lidhje me pritshmërinë matematikore μ, atëherë koeficienti i asimetrisë teorike të saj është i barabartë me 0, por nëse shpërndarja e probabilitetit është asimetrike, atëherë koeficienti i asimetrisë është i ndryshëm nga zero. Një vlerë pozitive e koeficientit të asimetrisë tregon se shumica e vlerave të ndryshores së rastësishme janë të vendosura në të djathtë të pritjes matematikore, domethënë, dega e djathtë e kurbës së densitetit të probabilitetit është më e gjatë se e majta. Një vlerë negative për koeficientin e asimetrisë tregon se pjesa më e gjatë e kurbës ndodhet në të majtë. Kjo deklaratë ilustrohet nga figura e mëposhtme.

Figura 2.1 – Asimetria pozitive dhe negative

shpërndarjet

Shembulli 2.29 Le të gjejmë koeficientin e asimetrisë së mostrës bazuar në të dhënat nga studimi i situatave stresuese nga shembulli 2.28.

Duke përdorur vlerat e llogaritura më parë të momenteve të mostrës qendrore, marrim

.

Rrumbullakosni lart = 0,07. Vlera e gjetur jozero e koeficientit të asimetrisë tregon anshmërinë e shpërndarjes në raport me mesataren. Një vlerë pozitive tregon se dega më e gjatë e lakores së densitetit të probabilitetit është në të djathtë.

Konstanta e mëposhtme karakterizon shpërndarjen e vlerave të variablave të rastësishme rreth modaliteteve të vlerës modale X.

Përkufizimi 2.24 Kurtoza e kampionitx 1 , x 2 , …, x nnumri i thirrur , të barabartë

,

Ku– momenti qendror selektiv i rendit të katërt,

S 4 – shkalla e katërt e standarditdevijimetS.

Koncepti teorik i kurtozës është një analog i kampionimit.

Përkufizimi 2.25 Kurtoza e një ndryshoreje të rastësishmeXnumri i thirrur e, të barabartë

,

Ku– momenti qendror teorik i rendit të katërt,

–shkalla e katërt e devijimit standard.

Vlera e kurtozës e karakterizon pjerrësinë relative të majës së kurbës së densitetit të shpërndarjes rreth pikës maksimale. Nëse kurtoza është një numër pozitiv, atëherë kurba përkatëse e shpërndarjes ka një kulm më të mprehtë. Një shpërndarje me kurtozë negative ka një majë më të lëmuar dhe më të sheshtë. Figura e mëposhtme ilustron rastet e mundshme.

Figura 2.2 – Shpërndarjet me vlera të kurtozës pozitive, zero dhe negative

Skewness llogaritet nga funksioni SKES. Argumenti i tij është intervali i qelizave me të dhëna, për shembull, =SKES(A1:A100), nëse të dhënat përmbahen në intervalin e qelizave nga A1 në A100.

Kurtoza llogaritet nga funksioni KURTESS, argumenti i të cilit janë të dhëna numerike, zakonisht të specifikuara si një interval qelizash, për shembull: =KURTESS(A1:A100).

§2.3. Mjeti i analizës Statistikat përshkruese

NË Excelështë e mundur të llogariten të gjitha karakteristikat e pikës së një kampioni menjëherë duke përdorur mjetin e analizës Statistikat përshkruese, e cila përmbahet në Paketa e analizës.

Statistikat përshkruese krijon një tabelë të karakteristikave bazë statistikore për grupin e të dhënave. Kjo tabelë do të përmbajë karakteristikat e mëposhtme: mesatarja, gabimi standard, dispersioni, devijimi standard, modaliteti, mesatarja, diapazoni i variacionit të intervalit, vlerat maksimale dhe minimale, asimetria, kurtoza, vëllimi i popullsisë, shuma e të gjithë elementëve të popullsisë, intervali i besueshmërisë (niveli i besueshmërisë ). Mjet Statistikat përshkruese thjeshton ndjeshëm analizën statistikore në atë që nuk ka nevojë të thirret secili funksion për të llogaritur veçmas karakteristikat statistikore.

Për të thirrur Statistikat përshkruese, vijon:

1) në meny Shërbimi zgjidhni një ekip Analiza e të dhënave;

2) në listë Mjetet e analizës kuti dialogu Analiza e të dhënave zgjidhni instrumentin Statistikat përshkruese dhe shtypni OK.

Në dritare Statistikat përshkruese nevojshme:

· në grup Të dhëna hyrëse në fushë Intervali i hyrjes specifikoni gamën e qelizave që përmbajnë të dhëna;

· nëse rreshti i parë në diapazonin e hyrjes përmban një kokë kolone, atëherë Fusha e etiketave në rreshtin e parë duhet të kontrollohet;

· në grup Opsionet e daljes aktivizoni çelësin (kontrolloni kutinë) Statistikat përmbledhëse, nëse keni nevojë për një listë të plotë të karakteristikave;

· aktivizoni çelësin Niveli i besueshmërisë dhe specifikoni besueshmërinë në % nëse keni nevojë të llogaritni një interval besimi (besueshmëria e paracaktuar është 95%). Klikoni OK.

Si rezultat, do të shfaqet një tabelë me vlerat e llogaritura të karakteristikave statistikore të mësipërme. Menjëherë, pa hequr zgjedhjen e kësaj tabele, ekzekutoni komandën Formati® Kolona® Zgjedhja automatike e gjerësisë.

Pamja e kutisë së dialogut Statistikat përshkruese:

Detyra praktike

2.1. Llogaritja e statistikave bazë të pikëve duke përdorur funksione standarde Excel

I njëjti voltmetër mati tensionin në një seksion të qarkut 25 herë. Si rezultat i eksperimenteve, u morën vlerat e mëposhtme të tensionit në volt:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

Gjeni mesataren, mostrën dhe variancën e korrigjuar, devijimin standard, diapazonin e variacionit, modalitetin, mesataren. Provoni devijimin nga shpërndarja normale duke llogaritur anshmërinë dhe kurtozën.

Për të përfunduar këtë detyrë, plotësoni hapat e mëposhtëm.

1. Shkruani rezultatet e eksperimentit në kolonën A.

2. Në qelizën B1 tipi “Mesatar”, në B2 – “Varianca e mostrës”, në B3 – “Devijimi standard”, në B4 – “Varianca e korrigjuar”, në B5 – “Devijimi standard i korrigjuar”, në B6 – “Maksimumi”, në B7 – “Minimumi”, në B8 – “Raga e variacionit”, në B9 – “Modaliteti”, në B10 – “Medianë”, në B11 – “Asimetria”, në B12 – “Kurtosis”.

3. Rregulloni gjerësinë e kësaj kolone duke përdorur Përzgjedhja automatike gjerësia.

4. Zgjidhni qelizën C1 dhe klikoni në butonin me shenjën “=” në shiritin e formulave. Duke përdorur Magjistarët e funksionit në kategori Statistikore gjeni funksionin AVERAGE, më pas theksoni gamën e qelizave të të dhënave dhe klikoni OK.

5. Zgjidhni qelizën C2 dhe klikoni në shenjën = në shiritin e formulave. Duke përdorur Magjistarët e funksionit në kategori Statistikore gjeni funksionin VAR, më pas theksoni gamën e qelizave të të dhënave dhe klikoni OK.

6. Bëni vetë të njëjtat hapa për të llogaritur karakteristikat e mbetura.

7. Për të llogaritur diapazonin e variacionit në qelizën C8, futni formulën: =C6-C7.

8. Shtoni një rresht para tabelës suaj, në të cilën shkruani titujt e kolonave përkatëse: “Emri i karakteristikave” dhe “Vlerat numerike”.