Numëruesi dhe ajo që pjesëtohet me është emëruesi.
Për të shkruar një thyesë, fillimisht shkruani numëruesin, më pas vizatoni një vijë horizontale nën numër dhe shkruani emëruesin poshtë vijës. Vija horizontale që ndan numëruesin dhe emëruesin quhet vijë thyese. Ndonjëherë përshkruhet si një "/" ose "∕" e zhdrejtë. Në këtë rast, numëruesi shkruhet në të majtë të rreshtit, dhe emëruesi në të djathtë. Kështu, për shembull, thyesa "dy të tretat" do të shkruhet si 2/3. Për qartësi, numëruesi zakonisht shkruhet në krye të rreshtit, dhe emëruesi në fund, domethënë, në vend të 2/3 mund të gjeni: ⅔.
Për të llogaritur prodhimin e thyesave, fillimisht shumëzoni numëruesin e një thyesat tek numëruesi është i ndryshëm. Shkruani rezultatin në numëruesin e të resë thyesat. Pas kësaj, shumëzoni emëruesit. Shkruani vlerën totale në të renë thyesat. Për shembull, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër, së pari shumëzoni numëruesin e së parës me emëruesin e të dytës. Bëni të njëjtën gjë me thyesën e dytë (pjesëtuesin). Ose, para se të kryeni të gjitha veprimet, së pari "rrokullisni" pjesëtuesin, nëse është më i përshtatshëm për ju: emëruesi duhet të shfaqet në vend të numëruesit. Pastaj shumëzoni emëruesin e dividendit me emëruesin e ri të pjesëtuesit dhe shumëzoni numëruesit. Për shembull, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Burimet:
- Problemet themelore të thyesave
Numrat thyesorë ju lejojnë të shprehni vlerën e saktë të një sasie në forma të ndryshme. Ju mund të bëni të njëjtat veprime matematikore me thyesa siç mundeni me numrat e plotë: zbritje, mbledhje, shumëzim dhe pjesëtim. Të mësosh të vendosësh thyesat, duhet të kujtojmë disa nga veçoritë e tyre. Ato varen nga lloji thyesat, prania e një pjese të plotë, një emërues i përbashkët. Disa operacione aritmetike kërkojnë që pjesa e pjesshme e rezultatit të reduktohet pas ekzekutimit.
Do t'ju duhet
- - kalkulator
Udhëzimet
Shikoni nga afër numrat. Nëse midis thyesave ka dhjetore dhe të parregullta, ndonjëherë është më e përshtatshme që fillimisht të kryhen veprime me dhjetore, dhe më pas t'i shndërroni ato në formën e parregullt. Mund të përktheni thyesat në këtë formë fillimisht, duke shkruar vlerën pas presjes dhjetore në numërues dhe duke vendosur 10 në emërues. Nëse është e nevojshme, zvogëlojeni thyesën duke pjesëtuar numrat sipër dhe poshtë me një pjesëtues. Thyesat në të cilat një pjesë e plotë është e izoluar duhet të shndërrohen në formën e gabuar duke e shumëzuar atë me emëruesin dhe duke shtuar numëruesin në rezultat. Kjo vlerë do të bëhet numëruesi i ri thyesat. Për të zgjedhur një pjesë të plotë nga një fillimisht e pasaktë thyesat, ju duhet ta ndani numëruesin me emëruesin. Shkruani të gjithë rezultatin nga thyesat. Dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit do të bëhet numëruesi i ri, emëruesi thyesat nuk ndryshon. Për thyesat me një pjesë të plotë, është e mundur të kryhen veprime veçmas, fillimisht për numrin e plotë dhe më pas për pjesët thyesore. Për shembull, shuma e 1 2/3 dhe 2 ¾ mund të llogaritet:
- Shndërrimi i thyesave në formën e gabuar:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Përmbledhja e pjesëve veçmas të plotë dhe të pjesshme të termave:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Rishkruajini ato duke përdorur ndarësin “:” dhe vazhdoni me ndarjen normale.
Për të marrë rezultatin përfundimtar, zvogëloni thyesën që rezulton duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me një numër të plotë, më i madhi i mundshëm në këtë rast. Në këtë rast, duhet të ketë numra të plotë mbi dhe poshtë vijës.
Ju lutemi vini re
Mos kryeni aritmetikë me thyesa, emëruesit e të cilëve janë të ndryshëm. Zgjidhni një numër të tillë që kur shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me të, rezultati është që emëruesit e të dy thyesave të jenë të barabartë.
Këshilla të dobishme
Kur shkruani numra thyesorë, dividenti shkruhet mbi vijë. Kjo sasi caktohet si numërues i thyesës. Pjesëtuesi ose emëruesi i thyesës shkruhet poshtë vijës. Për shembull, një kilogram e gjysmë oriz si pjesë do të shkruhet si më poshtë: 1 ½ kg oriz. Nëse emëruesi i një thyese është 10, thyesa quhet dhjetore. Në këtë rast, numëruesi (dividend) shkruhet në të djathtë të gjithë pjesës, i ndarë me presje: 1,5 kg oriz. Për lehtësinë e llogaritjes, një pjesë e tillë mund të shkruhet gjithmonë në formën e gabuar: 1 2/10 kg patate. Për të thjeshtuar, ju mund të zvogëloni vlerat e numëruesit dhe emëruesit duke i ndarë ato me një numër të plotë. Në këtë shembull, mund ta ndani me 2. Rezultati do të jetë 1 1/5 kg patate. Sigurohuni që numrat me të cilët do të kryeni aritmetikë janë paraqitur në të njëjtën formë.
Veprimet me thyesa.
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Pra, çfarë janë thyesat, llojet e thyesave, shndërrimet - kujtuam. Le të kalojmë te çështja kryesore.
Çfarë mund të bëni me thyesat? Po, gjithçka është njësoj si me numrat e zakonshëm. Shtoni, zbritni, shumëzoni, pjesëtoni.
Të gjitha këto veprime me dhjetore puna me thyesa nuk ndryshon nga puna me numra të plotë. Në fakt, kjo është ajo që është e mirë për ta, ato dhjetore. E vetmja gjë është që ju duhet të vendosni presjen saktë.
Numra të përzier, siç thashë tashmë, janë pak të dobishme për shumicën e veprimeve. Ata ende duhet të shndërrohen në fraksione të zakonshme.
Por veprimet me thyesat e zakonshme ata do të jenë më dinakë. Dhe shumë më e rëndësishme! Më lejoni t'ju kujtoj: të gjitha veprimet me shprehje thyesore me shkronja, sinus, të panjohura, e kështu me radhë e kështu me radhë nuk ndryshojnë nga veprimet me thyesat e zakonshme! Veprimet me thyesat e zakonshme janë baza për të gjithë algjebrën. Është për këtë arsye që ne do të analizojmë të gjithë këtë aritmetikë në detaje këtu.
Mbledhja dhe zbritja e thyesave.
Të gjithë mund të mbledhin (zbresin) thyesa me emërues të njëjtë (shpresoj vërtet!). Epo, më lejoni t'i kujtoj ata që harrojnë plotësisht: kur mbledhin (zbresin), emëruesi nuk ndryshon. Numëruesit shtohen (zbriten) për të dhënë numëruesin e rezultatit. Lloji:
Shkurtimisht, në terma të përgjithshëm:
Po sikur emëruesit të jenë të ndryshëm? Më pas, duke përdorur veçorinë bazë të një thyese (këtu na vjen sërish në punë!), i bëjmë emëruesit të njëjtë! Për shembull:
Këtu duhej të bënim thyesën 4/10 nga thyesa 2/5. Me qëllimin e vetëm që emëruesit të jenë të njëjtë. Më lejoni të vërej, për çdo rast, se 2/5 dhe 4/10 janë e njëjta fraksion! Vetëm 2/5 janë të pakëndshme për ne, dhe 4/10 janë vërtet në rregull.
Nga rruga, ky është thelbi i zgjidhjes së çdo problemi matematikor. Kur ne nga të pakëndshme bëjmë shprehje e njëjta gjë, por më e përshtatshme për zgjidhje.
Një shembull tjetër:
Situata është e ngjashme. Këtu bëjmë 48 nga 16. Me shumëzim të thjeshtë me 3. E gjithë kjo është e qartë. Por ne hasëm në diçka të tillë:
Si të jesh?! Është e vështirë të bësh një nëntë nga një shtatë! Por ne jemi të zgjuar, i dimë rregullat! Le të transformohemi çdo thyesë në mënyrë që emëruesit të jenë të njëjtë. Kjo quhet "zvogëlimi në një emërues të përbashkët":
Uau! Si e dija për 63? Shumë e thjeshtë! 63 është një numër që pjesëtohet me 7 dhe 9 në të njëjtën kohë. Një numër i tillë mund të merret gjithmonë duke shumëzuar emëruesit. Nëse shumëzojmë një numër me 7, për shembull, atëherë rezultati me siguri do të pjesëtohet me 7!
Nëse duhet të shtoni (zbrisni) disa thyesa, nuk është e nevojshme ta bëni atë në çifte, hap pas hapi. Ju vetëm duhet të gjeni emëruesin e përbashkët për të gjitha thyesat dhe të zvogëloni secilën thyesë në të njëjtin emërues. Për shembull:
Dhe cili do të jetë emëruesi i përbashkët? Sigurisht, ju mund të shumëzoni 2, 4, 8 dhe 16. Ne marrim 1024. Makth. Është më e lehtë të vlerësohet se numri 16 është plotësisht i pjesëtueshëm me 2, 4 dhe 8. Prandaj, nga këta numra është e lehtë të merret 16. Ky numër do të jetë emëruesi i përbashkët. Le ta kthejmë 1/2 në 8/16, 3/4 në 12/16, e kështu me radhë.
Nga rruga, nëse merrni 1024 si emërues të përbashkët, gjithçka do të funksionojë, në fund gjithçka do të reduktohet. Por jo të gjithë do të arrijnë në këtë qëllim, për shkak të llogaritjeve ...
Plotësoni vetë shembullin. Jo një lloj logaritmi... Duhet të jetë 29/16.
Pra, mbledhja (zbritja) e thyesave është e qartë, shpresoj? Sigurisht, është më e lehtë të punosh në një version të shkurtuar, me shumëzues shtesë. Por këtë kënaqësi e kanë ata që kanë punuar me ndershmëri në klasat e ulëta... Dhe nuk kanë harruar asgjë.
Dhe tani do të bëjmë të njëjtat veprime, por jo me thyesa, por me shprehjet thyesore. Rashe e re do të zbulohet këtu, po...
Pra, duhet të shtojmë dy shprehje thyesore:
Ne duhet t'i bëjmë emëruesit të njëjtë. Dhe vetëm me ndihmën shumëzimi! Kjo është ajo që dikton vetia kryesore e një thyese. Prandaj, unë nuk mund t'i shtoj një X në thyesën e parë në emërues. (kjo do të ishte mirë!). Por nëse shumëzoni emëruesit, shihni, gjithçka rritet së bashku! Pra, shkruajmë vijën e thyesës, lëmë një hapësirë boshe në krye, pastaj e shtojmë atë dhe shkruajmë prodhimin e emëruesve më poshtë, në mënyrë që të mos harrojmë:
Dhe, sigurisht, nuk shumëzojmë asgjë në anën e djathtë, nuk hapim kllapa! Dhe tani, duke parë emëruesin e përbashkët në anën e djathtë, kuptojmë: për të marrë emëruesin x(x+1) në thyesën e parë, duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me (x+1) . Dhe në fraksionin e dytë - në x. Kjo është ajo që ju merrni:
Kushtojini vëmendje! Këtu janë kllapat! Kjo është grabujë që shkelin shumë njerëz. Jo kllapa, sigurisht, por mungesa e tyre. Kllapat shfaqen sepse po shumëzojmë të gjitha numërues dhe të gjitha emërues! Dhe jo pjesët e tyre individuale...
Në numëruesin e anës së djathtë shkruajmë shumën e numëruesve, gjithçka është si në thyesat numerike, pastaj hapim kllapat në numëruesin e anës së djathtë, d.m.th. Ne shumëzojmë gjithçka dhe japim të ngjashme. Nuk ka nevojë të hapni kllapat në emërues ose të shumëzoni ndonjë gjë! Në përgjithësi, në emërues (çdo) produkti është gjithmonë më i këndshëm! Ne marrim:
Kështu që e morëm përgjigjen. Procesi duket i gjatë dhe i vështirë, por varet nga praktika. Pasi të zgjidhni shembujt, të mësoheni me të, gjithçka do të bëhet e thjeshtë. Ata që i kanë zotëruar thyesat në kohën e duhur, i bëjnë të gjitha këto veprime me njërën dorë të majtë, automatikisht!
Dhe një shënim më shumë. Shumë merren me zgjuarsi me thyesat, por ngecin në shembujt me të e tërë numrat. Si: 2 + 1/2 + 3/4= ? Ku të fiksoni dy pjesë? Nuk keni nevojë ta fiksoni askund, duhet të bëni një pjesë nga dy. Nuk është e lehtë, por shumë e thjeshtë! 2=2/1. Si kjo. Çdo numër i plotë mund të shkruhet si thyesë. Numëruesi është vetë numri, emëruesi është një. 7 është 7/1, 3 është 3/1 e kështu me radhë. Është e njëjta gjë me letrat. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etj. Dhe pastaj ne punojmë me këto thyesa sipas të gjitha rregullave.
Epo, njohuritë e mbledhjes dhe zbritjes së thyesave u rifreskuan. Shndërrimi i thyesave nga një lloj në tjetrin u përsërit. Ju gjithashtu mund të kontrolloheni. A do ta rregullojmë pak?)
Llogaritni:
Përgjigjet (në rrëmujë):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Shumëzimi/pjestimi i thyesave - në orën e ardhshme. Ekzistojnë gjithashtu detyra për të gjitha veprimet me thyesa.
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Le të pajtohemi që "veprimet me thyesa" në mësimin tonë do të nënkuptojnë veprime me thyesa të zakonshme. Një thyesë e zakonshme është një thyesë që ka atribute të tilla si një numërues, një vijë thyese dhe një emërues. Kjo dallon një thyesë të zakonshme nga një dhjetore, e cila fitohet nga një thyesë e zakonshme duke reduktuar emëruesin në një shumëfish të 10. Thyesa dhjetore shkruhet me presje që ndan të gjithë pjesën nga pjesa thyesore. Do të flasim për veprimet me thyesat e zakonshme, pasi janë ato që shkaktojnë vështirësitë më të mëdha për nxënësit që kanë harruar bazat e kësaj teme, të trajtuara në gjysmën e parë të lëndës së matematikës shkollore. Në të njëjtën kohë, gjatë transformimit të shprehjeve në matematikën e lartë, përdoren kryesisht veprime me thyesa të zakonshme. Vetëm shkurtesat e fraksioneve ia vlejnë! Thyesat dhjetore nuk shkaktojnë ndonjë vështirësi të veçantë. Pra, vazhdo!
Dy thyesa thuhet se janë të barabarta nëse .
Për shembull, që nga
Thyesat dhe (pasi), dhe (pasi) janë gjithashtu të barabarta.
Natyrisht, të dyja thyesat dhe janë të barabarta. Kjo do të thotë se nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese të caktuar shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër natyror, do të fitohet një thyesë e barabartë me atë të dhënë: .
Kjo veti quhet veti themelore e një thyese.
Vetia themelore e një thyese mund të përdoret për të ndryshuar shenjat e numëruesit dhe të emëruesit të një thyese. Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me -1, marrim . Kjo do të thotë se vlera e një thyese nuk do të ndryshojë nëse shenjat e numëruesit dhe emëruesit ndryshojnë në të njëjtën kohë. Nëse ndryshoni shenjën vetëm të numëruesit ose vetëm të emëruesit, atëherë thyesa do të ndryshojë shenjën e saj:
Thyesat reduktuese
Duke përdorur vetinë bazë të një thyese, ju mund të zëvendësoni një thyesë të dhënë me një thyesë tjetër që është e barabartë me atë të dhënë, por me një numërues dhe emërues më të vogël. Ky zëvendësim quhet reduktim fraksioni.
Le të jepet, për shembull, një thyesë. Numrat 36 dhe 48 kanë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të 12. Atëherë
.
Në përgjithësi, zvogëlimi i një thyese është gjithmonë i mundur nëse numëruesi dhe emëruesi nuk janë numra të thjeshtë reciprokisht. Nëse numëruesi dhe emëruesi janë numra reciprokisht të thjeshtë, atëherë thyesa quhet e pakalueshme.
Pra, të reduktosh një thyesë do të thotë të ndash numëruesin dhe emëruesin e thyesës me një faktor të përbashkët. E gjithë sa më sipër vlen edhe për shprehjet thyesore që përmbajnë variabla.
Shembulli 1. Zvogëloni një pjesë
Zgjidhje. Për të faktorizuar numëruesin, fillimisht duke paraqitur monomin - 5 xy si shumë - 2 xy - 3xy, marrim
Për të faktorizuar emëruesin, ne përdorim formulën e diferencës së katrorëve:
Si rezultat
.
Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët
Le të dy thyesa dhe . Ata kanë emërues të ndryshëm: 5 dhe 7. Duke përdorur veçorinë bazë të thyesave, mund t'i zëvendësoni këto thyesa me të tjera që janë të barabarta me to, dhe të tilla që thyesat që rezultojnë të kenë emërues të njëjtë. Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 7, marrim
Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 5, marrim
Pra, thyesat reduktohen në një emërues të përbashkët:
.
Por kjo nuk është e vetmja zgjidhje për problemin: për shembull, këto fraksione gjithashtu mund të reduktohen në një emërues të përbashkët prej 70:
,
dhe në përgjithësi me çdo emërues të pjesëtueshëm me 5 dhe 7.
Le të shqyrtojmë një shembull tjetër: le t'i sjellim thyesat dhe në një emërues të përbashkët. Duke argumentuar si në shembullin e mëparshëm, marrim
,
.
Por në këtë rast, është e mundur të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët që është më i vogël se produkti i emëruesve të këtyre thyesave. Le të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 24 dhe 30: LCM(24, 30) = 120.
Meqenëse 120:4 = 5, për të shkruar një fraksion me emërues 120, duhet të shumëzoni si numëruesin ashtu edhe emëruesin me 5, ky numër quhet një faktor shtesë. Mjetet 
.
Më pas, marrim 120:30=4. Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me një faktor shtesë prej 4, marrim 
.
Pra, këto thyesa reduktohen në një emërues të përbashkët.
Shumëfishi më i vogël i përbashkët i emëruesve të këtyre thyesave është emëruesi më i vogël i mundshëm i përbashkët.
Për shprehjet thyesore që përfshijnë variabla, emëruesi i përbashkët është një polinom që ndahet me emëruesin e secilës fraksion.
Shembulli 2. Gjeni emëruesin e përbashkët të thyesave dhe.
Zgjidhje. Emëruesi i përbashkët i këtyre thyesave është një polinom, pasi është i pjesëtueshëm me të dyja dhe. Megjithatë, ky polinom nuk është i vetmi që mund të jetë një emërues i përbashkët i këtyre thyesave. Mund të jetë gjithashtu një polinom 
, dhe polinom 
, dhe polinom 
etj. Zakonisht ata marrin një emërues të tillë të përbashkët sa që çdo emërues tjetër i përbashkët ndahet me atë të zgjedhur pa mbetje. Ky emërues quhet emëruesi më i ulët i përbashkët.
Në shembullin tonë, emëruesi më i ulët i përbashkët është . Marrë:
;
.
Ne ishim në gjendje t'i reduktonim thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët. Kjo ndodhi duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me , dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me . Polinome quhen faktorë shtesë, përkatësisht për thyesën e parë dhe të dytë.
Mbledhja dhe zbritja e thyesave
Mbledhja e thyesave përcaktohet si më poshtë:
.
Për shembull,
.
Nëse b = d, Kjo
.
Kjo do të thotë se për të mbledhur thyesa me emërues të njëjtë, mjafton të mblidhen numëruesit dhe të lihet emëruesi i njëjtë. Për shembull,
.
Nëse shtoni thyesa me emërues të ndryshëm, zakonisht i zvogëloni thyesat në emëruesin më të ulët të përbashkët dhe më pas shtoni numëruesit. Për shembull,
.
Tani le të shohim një shembull të shtimit të shprehjeve thyesore me ndryshore.
Shembulli 3. Shndërroni shprehjen në një thyesë
.
Zgjidhje. Le të gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët. Për ta bërë këtë, ne fillimisht faktorizojmë emëruesit.
Ky artikull ka të bëjë me thyesat e zakonshme. Këtu do të prezantojmë konceptin e një thyese të një tërësie, i cili do të na çojë në përkufizimin e një thyese të përbashkët. Më pas do të ndalemi në shënimin e pranuar për thyesat e zakonshme dhe do të japim shembuj të thyesave, le të themi për numëruesin dhe emëruesin e një thyese. Pas kësaj, ne do të japim përkufizime të thyesave të duhura dhe të pahijshme, pozitive dhe negative, dhe gjithashtu do të shqyrtojmë pozicionin e numrave thyesorë në rrezet koordinative. Si përfundim, rendisim veprimet kryesore me thyesa.
Navigimi i faqes.
Aksionet e tërësisë
Fillimisht prezantojmë koncepti i aksionit.
Le të supozojmë se kemi një objekt të përbërë nga disa pjesë absolutisht identike (d.m.th., të barabarta). Për qartësi, mund të imagjinoni, për shembull, një mollë të prerë në disa pjesë të barabarta, ose një portokall të përbërë nga disa feta të barabarta. Secila nga këto pjesë të barabarta që përbëjnë të gjithë objektin quhet pjesë të së tërës ose thjesht aksionet.
Vini re se aksionet janë të ndryshme. Le ta shpjegojmë këtë. Le të kemi dy mollë. Pritini mollën e parë në dy pjesë të barabarta, dhe të dytën në 6 pjesë të barabarta. Është e qartë se pjesa e mollës së parë do të jetë e ndryshme nga pjesa e mollës së dytë.
Në varësi të numrit të aksioneve që përbëjnë të gjithë objektin, këto aksione kanë emrat e tyre. Le ta zgjidhim emrat e rrahjeve. Nëse një objekt përbëhet nga dy pjesë, secila prej tyre quhet një pjesë e dytë e të gjithë objektit; nëse një objekt përbëhet nga tre pjesë, atëherë ndonjëra prej tyre quhet një pjesë e tretë, e kështu me radhë.
Një aksion i dytë ka një emër të veçantë - gjysma. Një e treta quhet e treta, dhe një çerek pjesë - një çerek.
Për hir të shkurtësisë, u prezantuan sa vijon: simbolet e rrahjes. Një aksion i dytë është caktuar si ose 1/2, një e treta aksion është caktuar si ose 1/3; një e katërta pjesë - si ose 1/4, e kështu me radhë. Vini re se shënimi me një shirit horizontal përdoret më shpesh. Për të përforcuar materialin, le të japim edhe një shembull: hyrja tregon njëqind e gjashtëdhjetë e shtatë pjesë e së tërës.
Koncepti i pjesës natyrisht shtrihet nga objektet në sasi. Për shembull, një nga matjet e gjatësisë është metri. Për të matur gjatësitë më të shkurtra se një metër, mund të përdoren fraksione të një metri. Kështu që ju mund të përdorni, për shembull, gjysmë metri ose një të dhjetën ose të mijtën e një metri. Aksionet e sasive të tjera aplikohen në mënyrë të ngjashme.
Thyesat e zakonshme, përkufizimi dhe shembujt e thyesave
Për të përshkruar numrin e aksioneve që përdorim thyesat e zakonshme. Le të japim një shembull që do të na lejojë t'i qasemi përkufizimit të thyesave të zakonshme.
Lëreni portokallin të përbëhet nga 12 pjesë. Çdo aksion në këtë rast përfaqëson një të dymbëdhjetën e një portokalli të plotë, domethënë . Ne shënojmë dy rrahje si , tre rrahje si , dhe kështu me radhë, 12 rrahje shënojmë si . Secila prej hyrjeve të dhëna quhet thyesë e zakonshme.
Tani le të japim një gjeneral përkufizimi i thyesave të përbashkëta.
Përkufizimi i shprehur i fraksioneve të zakonshme na lejon të japim shembuj të thyesave të zakonshme: 5/10, , 21/1, 9/4, . Dhe këtu janë të dhënat 
nuk i përshtaten përkufizimit të dhënë të thyesave të zakonshme, domethënë nuk janë thyesa të zakonshme.
Numëruesi dhe emëruesi
Për lehtësi, dallohen fraksionet e zakonshme numërues dhe emërues.
Përkufizimi.
Numëruesi thyesa e përbashkët (m/n) është një numër natyror m.
Përkufizimi.
Emëruesi thyesa e përbashkët (m/n) është një numër natyror n.
Pra, numëruesi ndodhet mbi vijën e thyesës (në të majtë të vijës së pjerrët), dhe emëruesi ndodhet nën vijën e thyesës (në të djathtë të vijës së pjerrët). Për shembull, le të marrim thyesën e përbashkët 17/29, numëruesi i kësaj thyese është numri 17, dhe emëruesi është numri 29.
Mbetet për të diskutuar kuptimin që përmban numëruesi dhe emëruesi i një thyese të zakonshme. Emëruesi i një fraksioni tregon se nga sa pjesë përbëhet një objekt, dhe numëruesi, nga ana tjetër, tregon numrin e aksioneve të tilla. Për shembull, emëruesi 5 i fraksionit 12/5 do të thotë se një objekt përbëhet nga pesë aksione, dhe numëruesi 12 do të thotë se janë marrë 12 pjesë të tilla.
Numri natyror si thyesë me emërues 1
Emëruesi i një thyese të përbashkët mund të jetë i barabartë me një. Në këtë rast, mund të konsiderojmë se objekti është i pandashëm, me fjalë të tjera, ai përfaqëson diçka të tërë. Numëruesi i një thyese të tillë tregon se sa objekte të plota janë marrë. Kështu, një thyesë e zakonshme e formës m/1 ka kuptimin e një numri natyror m. Kështu e vërtetuam vlefshmërinë e barazisë m/1=m.
Le ta rishkruajmë barazinë e fundit si më poshtë: m=m/1. Kjo barazi na lejon të paraqesim çdo numër natyror m si një thyesë e zakonshme. Për shembull, numri 4 është thyesa 4/1, dhe numri 103,498 është i barabartë me thyesën 103,498/1.
Pra, çdo numër natyror m mund të paraqitet si një thyesë e zakonshme me emërues 1 si m/1, dhe çdo thyesë e zakonshme e formës m/1 mund të zëvendësohet me një numër natyror m.
Shiriti i thyesës si shenjë pjesëtimi
Paraqitja e objektit origjinal në formën e n aksioneve nuk është gjë tjetër veçse ndarje në n pjesë të barabarta. Pasi një artikull të ndahet në n aksione, ne mund ta ndajmë atë në mënyrë të barabartë midis n njerëzve - secili do të marrë një aksion.
Nëse fillimisht kemi m objekte identike, secila prej të cilave ndahet në n pjesë, atëherë mund t'i ndajmë në mënyrë të barabartë këto m objekte midis n njerëzve, duke i dhënë çdo personi një pjesë nga secili prej m objekteve. Në këtë rast, çdo person do të ketë m aksione prej 1/n, dhe m aksione prej 1/n jep thyesën e përbashkët m/n. Kështu, thyesa e përbashkët m/n mund të përdoret për të treguar ndarjen e m sendeve midis n njerëzve.
Kështu kemi marrë një lidhje të qartë midis thyesave të zakonshme dhe pjesëtimit (shih idenë e përgjithshme të pjesëtimit të numrave natyrorë). Kjo lidhje shprehet si më poshtë: drejtëza e thyesës mund të kuptohet si shenjë pjesëtimi, pra m/n=m:n.
Duke përdorur një thyesë të zakonshme, mund të shkruani rezultatin e pjesëtimit të dy numrave natyrorë për të cilët nuk mund të kryhet një pjesëtim i plotë. Për shembull, rezultati i pjesëtimit të 5 mollëve me 8 persona mund të shkruhet si 5/8, domethënë, të gjithë do të marrin pesë të tetat e një molle: 5:8 = 5/8.
Thyesat e barabarta dhe të pabarabarta, krahasimi i thyesave
Një veprim mjaft i natyrshëm është duke krahasuar thyesat, sepse është e qartë se 1/12 e një portokalli është e ndryshme nga 5/12, dhe 1/6 e një molle është e njëjtë me 1/6 e një tjetër të kësaj molle.
Si rezultat i krahasimit të dy thyesave të zakonshme, merret një nga rezultatet: thyesat janë ose të barabarta ose të pabarabarta. Në rastin e parë kemi thyesa të përbashkëta të barabarta, dhe në të dytën - thyesat e zakonshme të pabarabarta. Le të japim një përkufizim të thyesave të zakonshme të barabarta dhe të pabarabarta.
Përkufizimi.
të barabartë, nëse barazia a·d=b·c është e vërtetë.
Përkufizimi.
Dy thyesa të përbashkëta a/b dhe c/d jo të barabartë, nëse barazia a·d=b·c nuk vlen.
Këtu janë disa shembuj të thyesave të barabarta. Për shembull, thyesa e përbashkët 1/2 është e barabartë me thyesën 2/4, pasi 1·4=2·2 (nëse është e nevojshme, shih rregullat dhe shembujt e shumëzimit të numrave natyrorë). Për qartësi, mund të imagjinoni dy mollë identike, e para është prerë në gjysmë, dhe e dyta është prerë në 4 pjesë. Është e qartë se dy të katërtat e një mollë janë të barabarta me 1/2 pjesë. Shembuj të tjerë të thyesave të barabarta të zakonshme janë thyesat 4/7 dhe 36/63, dhe çifti i thyesave 81/50 dhe 1,620/1,000.
Por thyesat e zakonshme 4/13 dhe 5/14 nuk janë të barabarta, pasi 4·14=56, dhe 13·5=65, pra 4·14≠13·5. Shembuj të tjerë të thyesave të zakonshme të pabarabarta janë thyesat 17/7 dhe 6/4.
Nëse, kur krahasoni dy thyesa të zakonshme, rezulton se ato nuk janë të barabarta, atëherë mund t'ju duhet të zbuloni se cilat nga këto thyesa të zakonshme më pak të ndryshme, dhe cila - më shumë. Për ta zbuluar, përdoret rregulli për krahasimin e thyesave të zakonshme, thelbi i të cilit është të sillni thyesat e krahasuara në një emërues të përbashkët dhe më pas të krahasoni numëruesit. Informacioni i detajuar për këtë temë është mbledhur në artikullin e krahasimit të fraksioneve: rregulla, shembuj, zgjidhje.
Numrat thyesorë
Çdo thyesë është një shënim numër thyesor. Kjo do të thotë, një fraksion është vetëm "guaska" e një numri thyesor, pamja e tij dhe e gjithë ngarkesa semantike përmbahet në numrin thyesor. Sidoqoftë, për shkurtësi dhe lehtësi, konceptet e thyesës dhe numrit thyesor kombinohen dhe thjesht quhen thyesë. Këtu është me vend të parafrazojmë një thënie të njohur: themi thyesë - nënkuptojmë një numër thyesor, themi një numër thyesor - nënkuptojmë një thyesë.
Thyesat në një rreze koordinative
Të gjithë numrat thyesorë që korrespondojnë me thyesat e zakonshme kanë vendin e tyre unik, d.m.th., ekziston një korrespondencë një-për-një midis thyesave dhe pikave të rrezes së koordinatave.
Për të arritur në pikën e rrezes së koordinatave që korrespondon me fraksionin m/n, duhet të lini mënjanë m segmente nga origjina në drejtim pozitiv, gjatësia e të cilave është 1/n fraksion i një segmenti njësi. Segmente të tilla mund të merren duke ndarë një segment njësi në n pjesë të barabarta, gjë që mund të bëhet gjithmonë duke përdorur një busull dhe një vizore.
Për shembull, le të tregojmë pikën M në rrezen koordinative, që korrespondon me thyesën 14/10. Gjatësia e një segmenti me skajet në pikën O dhe pika më afër tij, e shënuar me një vizë të vogël, është 1/10 e një segmenti njësi. Pika me koordinatë 14/10 hiqet nga origjina në një distancë prej 14 segmentesh të tillë.
Thyesat e barabarta korrespondojnë me të njëjtin numër thyesor, domethënë, thyesat e barabarta janë koordinatat e së njëjtës pikë në rreze koordinative. Për shembull, koordinatat 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 korrespondojnë me një pikë në rrezen e koordinatave, pasi të gjitha fraksionet e shkruara janë të barabarta (ai ndodhet në një distancë prej gjysmë segmenti njësi të paraqitur nga origjina në drejtim pozitiv).
Në një rreze koordinative horizontale dhe të drejtuar djathtas, pika, koordinata e së cilës është fraksioni më i madh, ndodhet në të djathtë të pikës, koordinata e së cilës është fraksioni më i vogël. Në mënyrë të ngjashme, një pikë me një koordinatë më të vogël shtrihet në të majtë të një pike me një koordinatë më të madhe.
Thyesat e duhura dhe të pahijshme, përkufizime, shembuj
Ndër fraksionet e zakonshme ka thyesat e duhura dhe të pahijshme. Kjo ndarje bazohet në krahasimin e numëruesit dhe emëruesit.
Le të përcaktojmë thyesat e zakonshme të duhura dhe të papërshtatshme.
Përkufizimi.
Pjesa e duhurështë një thyesë e zakonshme, numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi, domethënë nëse m Përkufizimi.
Thyesë e papërshtatshmeështë një thyesë e zakonshme në të cilën numëruesi është më i madh ose i barabartë me emëruesin, domethënë nëse m≥n, atëherë thyesa e zakonshme është e papërshtatshme. Këtu janë disa shembuj të thyesave të duhura: 1/4, , 32,765/909,003. Në të vërtetë, në secilën prej thyesave të zakonshme të shkruara numëruesi është më i vogël se emëruesi (nëse është e nevojshme, shihni artikullin që krahason numrat natyrorë), kështu që ata janë të saktë nga përkufizimi. Këtu janë shembuj të thyesave të pahijshme: 9/9, 23/4, . Në të vërtetë, numëruesi i të parës nga thyesat e zakonshme të shkruara është i barabartë me emëruesin, dhe në thyesat e mbetura numëruesi është më i madh se emëruesi. Ekzistojnë gjithashtu përkufizime të thyesave të duhura dhe të pahijshme, bazuar në krahasimin e thyesave me një. Përkufizimi. korrekte, nëse është më pak se një. Përkufizimi. Një thyesë e zakonshme quhet gabim, nëse është i barabartë me një ose më i madh se 1. Pra, thyesa e përbashkët 7/11 është e saktë, që nga 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1, dhe 27/27=1. Le të mendojmë se si thyesat e zakonshme me numërues më të madh ose të barabartë me emëruesin e meritojnë një emër të tillë - "i pahijshëm". Për shembull, le të marrim thyesën e papërshtatshme 9/9. Kjo pjesë do të thotë se nëntë pjesë janë marrë nga një objekt që përbëhet nga nëntë pjesë. Kjo do të thotë, nga nëntë pjesët e disponueshme ne mund të krijojmë një objekt të tërë. Kjo do të thotë, fraksioni i papërshtatshëm 9/9 në thelb jep të gjithë objektin, domethënë 9/9 = 1. Në përgjithësi, thyesat e pahijshme me numërues të barabartë me emëruesin tregojnë një objekt të plotë, dhe një pjesë e tillë mund të zëvendësohet me numrin natyror 1. Tani merrni parasysh thyesat e papërshtatshme 7/3 dhe 12/4. Është shumë e qartë se nga këto shtatë pjesë të treta mund të kompozojmë dy objekte të tëra (një objekt i tërë përbëhet nga 3 pjesë, pastaj për të kompozuar dy objekte të tëra do të na duhen 3 + 3 = 6 pjesë) dhe do të ketë akoma një të tretën. pjesa e majtë. Kjo do të thotë, fraksioni i papërshtatshëm 7/3 në thelb nënkupton 2 objekte dhe gjithashtu 1/3 e një objekti të tillë. Dhe nga dymbëdhjetë çerek pjesë mund të bëjmë tre objekte të tëra (tre objekte me katër pjesë secila). Kjo do të thotë, thyesa 12/4 në thelb nënkupton 3 objekte të tëra. Shembujt e shqyrtuar na çojnë në përfundimin e mëposhtëm: thyesat e gabuara mund të zëvendësohen ose me numra natyrorë, kur numëruesi pjesëtohet në mënyrë të barabartë me emëruesin (për shembull, 9/9=1 dhe 12/4=3), ose nga shuma të një numri natyror dhe të një thyese të duhur, kur numëruesi nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me emëruesin (për shembull, 7/3=2+1/3). Ndoshta kjo është pikërisht ajo që u dha fraksioneve të papërshtatshme emrin "të parregullt". Me interes të veçantë është paraqitja e një thyese të papërshtatshme si shumë e një numri natyror dhe një thyese të duhur (7/3=2+1/3). Ky proces quhet izolimi i të gjithë pjesës nga një fraksion i papërshtatshëm dhe meriton një konsideratë të veçantë dhe më të kujdesshme. Vlen gjithashtu të theksohet se ekziston një lidhje shumë e ngushtë midis thyesave të pasakta dhe numrave të përzier. Çdo thyesë e zakonshme korrespondon me një numër thyesor pozitiv (shih artikullin mbi numrat pozitivë dhe negativë). Kjo është, thyesat e zakonshme janë thyesat pozitive. Për shembull, thyesat e zakonshme 1/5, 56/18, 35/144 janë thyesa pozitive. Kur duhet të theksoni pozitivitetin e një fraksioni, para tij vendoset një shenjë plus, për shembull, +3/4, +72/34. Nëse vendosni një shenjë minus përpara një thyese të zakonshme, atëherë kjo hyrje do të korrespondojë me një numër thyesor negativ. Në këtë rast mund të flasim për thyesat negative. Këtu janë disa shembuj të thyesave negative: −6/10, −65/13, −1/18. Thyesat pozitive dhe negative m/n dhe −m/n janë numra të kundërt. Për shembull, thyesat 5/7 dhe −5/7 janë thyesa të kundërta. Thyesat pozitive, si numrat pozitivë në përgjithësi, tregojnë një shtesë, të ardhura, një ndryshim lart në çdo vlerë, etj. Fraksionet negative korrespondojnë me shpenzimin, borxhin ose një ulje në çdo sasi. Për shembull, fraksioni negativ -3/4 mund të interpretohet si një borxh vlera e të cilit është e barabartë me 3/4. Në një drejtim horizontal dhe djathtas, fraksionet negative janë të vendosura në të majtë të origjinës. Pikat e vijës së koordinatave, koordinatat e së cilës janë thyesa pozitive m/n dhe thyesa negative −m/n, ndodhen në të njëjtën distancë nga origjina, por në anët e kundërta të pikës O. Këtu vlen të përmenden thyesat e formës 0/n. Këto thyesa janë të barabarta me numrin zero, pra 0/n=0. Thyesat pozitive, thyesat negative dhe thyesat 0/n kombinohen për të formuar numra racionalë. Ne kemi diskutuar tashmë një veprim me thyesat e zakonshme - duke krahasuar thyesat - më lart. Janë përcaktuar edhe katër funksione aritmetike veprimet me thyesa– mbledhjen, zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin e thyesave. Le të shohim secilën prej tyre. Thelbi i përgjithshëm i veprimeve me thyesa është i ngjashëm me thelbin e veprimeve përkatëse me numra natyrorë. Le të bëjmë një analogji. Shumëzimi i thyesave mund të mendohet si veprimi i gjetjes së një thyese nga një thyesë. Për ta sqaruar, le të japim një shembull. Le të kemi 1/6 e mollës dhe duhet të marrim 2/3 e saj. Pjesa që na nevojitet është rezultat i shumëzimit të thyesave 1/6 dhe 2/3. Rezultati i shumëzimit të dy thyesave të zakonshme është një thyesë e zakonshme (e cila në një rast të veçantë është e barabartë me një numër natyror). Më pas, ju rekomandojmë të studioni informacionin në artikullin Shumëzimi i thyesave - Rregullat, Shembujt dhe Zgjidhjet. Referencat. Ky seksion mbulon veprimet me fraksione të zakonshme. Nëse është e nevojshme të kryhet një veprim matematikor me numra të përzier, atëherë mjafton të shndërrohet thyesa e përzier në një thyesë të jashtëzakonshme, të kryhen veprimet e nevojshme dhe, nëse është e nevojshme, të paraqitet përsëri rezultati përfundimtar në formën e një numri të përzier. . Ky operacion do të përshkruhet më poshtë. Veprim matematik. Reduktimi i një fraksioni Për të reduktuar thyesën \frac(m)(n) ju duhet të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numëruesit dhe emëruesit të saj: gcd(m,n), dhe më pas ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me këtë numër. Nëse GCD(m,n)=1, atëherë thyesa nuk mund të zvogëlohet. Shembull: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4) Zakonisht, gjetja e menjëhershme e pjesëtuesit më të madh të përbashkët duket të jetë një detyrë e vështirë, dhe në praktikë, një thyesë zvogëlohet në disa faza, duke izoluar hap pas hapi faktorët e zakonshëm të dukshëm nga numëruesi dhe emëruesi. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9) Veprim matematik. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët Për të sjellë dy thyesa \frac(a)(b) dhe \frac(c)(d) në një emërues të përbashkët, ju duhet: Kështu, ne i shndërrojmë thyesat origjinale në thyesa me emërues të njëjtë (që do të jenë të barabartë me numrin M). Për shembull, thyesat \frac(5)(6) dhe \frac(4)(9) kanë LCM(6,9) = 18. Pastaj: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Kështu, thyesat që rezultojnë kanë një emërues të përbashkët. Në praktikë, gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) të emëruesve nuk është gjithmonë një detyrë e thjeshtë. Prandaj, si emërues i përbashkët zgjidhet një numër i barabartë me prodhimin e emëruesve të thyesave origjinale. Për shembull, thyesat \frac(5)(6) dhe \frac(4)(9) reduktohen në një emërues të përbashkët N=6\cdot9: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54) Veprim matematik. Krahasimi i thyesave Për të krahasuar dy thyesa të zakonshme ju nevojiten: Kur krahasoni thyesat, ka disa raste të veçanta: Kujdes! Rregulli 1 zbatohet për çdo thyesë nëse emëruesi i tyre i përbashkët është një numër pozitiv. Rregullat 2 dhe 3 zbatohen për thyesat pozitive (ato me numërues dhe emërues më të madh se zero). Veprim matematik. Mbledhja dhe zbritja e thyesave Për të shtuar dy thyesa ju nevojiten: Shembull: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63) Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, ju duhet: Shembull: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3) Nëse thyesat origjinale kanë fillimisht një emërues të përbashkët, atëherë hapi 1 (reduktimi në një emërues të përbashkët) anashkalohet. Veprim matematik. Shndërrimi i një numri të përzier në një thyesë jo të duhur dhe anasjelltas Për të kthyer një thyesë të përzier në një thyesë të papërshtatshme, thjesht mblidhni të gjithë pjesën e thyesës së përzier me pjesën thyese. Rezultati i një shume të tillë do të jetë një thyesë e papërshtatshme, numëruesi i së cilës është i barabartë me shumën e prodhimit të të gjithë pjesës nga emëruesi i thyesës me numëruesin e thyesës së përzier, dhe emëruesi do të mbetet i njëjtë. Për shembull, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11) Për të kthyer një thyesë të gabuar në një numër të përzier: Për shembull, thyesa \frac(23)(4) . Kur pjesëtohet 23:4=5,75, pra e gjithë pjesa është 5, pjesa e mbetur e pjesëtimit është 23-5*4=3. Atëherë numri i përzier do të shkruhet: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4) Veprim matematik. Shndërrimi i një dhjetori në një thyesë Për të kthyer një thyesë dhjetore në një thyesë të zakonshme, duhet të: Shembulli 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (ka 4 shifra dhjetore, pra emëruesi është 10 4 =10000, pasi pjesa e plotë është 0, numëruesi përmban numrin pas presjes dhjetore pa zero kryesore) Shembulli 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (në numërues shkruajmë numrin pas presjes dhjetore me të gjitha zerot: “0109”, dhe më pas para tij shtojmë të gjithë pjesën e numrit origjinal “31”) Nëse e gjithë pjesa e një thyese dhjetore është jo zero, atëherë ajo mund të shndërrohet në një thyesë të përzier. Për ta bërë këtë, ne e kthejmë numrin në një thyesë të zakonshme sikur e gjithë pjesa të ishte e barabartë me zero (pikat 1 dhe 2), dhe thjesht rishkruajmë të gjithë pjesën përpara thyesës - kjo do të jetë e gjithë pjesa e numrit të përzier. . Shembull: 3,014=3\frac(14)(100) Për të kthyer një thyesë në një dhjetore, thjesht ndani numëruesin me emëruesin. Ndonjëherë përfundoni me një dhjetor të pafund. Në këtë rast, është e nevojshme të rrumbullakoset në numrin dhjetor të dëshiruar. Shembuj: \frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\afërsisht 0,6667 Veprim matematik. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave Për të shumëzuar dy thyesa të zakonshme, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e thyesave. \frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18) Për të pjesëtuar një thyesë të përbashkët me një tjetër, ju duhet të shumëzoni thyesën e parë me reciprocitetin e të dytës ( thyesë reciproke- një thyesë në të cilën këmbehen numëruesi dhe emëruesi. \frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63) Nëse një nga thyesat është numër natyror, atëherë rregullat e mësipërme të shumëzimit dhe pjesëtimit mbeten në fuqi. Thjesht duhet të keni parasysh që një numër i plotë është i njëjti fraksion, emëruesi i të cilit është i barabartë me një. Për shembull: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7Thyesat pozitive dhe negative
Veprimet me thyesa
Reduktimi i një fraksioni
Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët
Krahasimi i thyesave
Për shembull, \frac(9)(14) Mbledhja dhe zbritja e thyesave
Shndërrimi i një numri të përzier në një thyesë jo të duhur dhe anasjelltas
Shndërrimi i një dhjetori në një thyesë
Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave
