Një trapez është një rast i veçantë i një katërkëndëshi në të cilin një palë brinjë është paralele. Termi "trapezoid" vjen nga fjala greke τράπεζα, që do të thotë "tavolinë", "tavolinë". Në këtë artikull do të shqyrtojmë llojet e trapezit dhe vetitë e tij. Për më tepër, ne do të kuptojmë se si të llogarisim elementet individuale të kësaj Për shembull, diagonalja e një trapezi izoscel, vija qendrore, zona, etj. Materiali është paraqitur në stilin e gjeometrisë elementare popullore, d.m.th. në një formë lehtësisht të arritshme .
Informacione të përgjithshme
Së pari, le të kuptojmë se çfarë është një katërkëndësh. Kjo figurë është një rast i veçantë i një shumëkëndëshi që përmban katër brinjë dhe katër kulme. Dy kulme të një katërkëndëshi që nuk janë fqinjë quhen të kundërta. E njëjta gjë mund të thuhet për dy anët jo ngjitur. Llojet kryesore të katërkëndëshave janë paralelogrami, drejtkëndëshi, rombi, katrori, trapezi dhe deltoidi.
Pra, le të kthehemi te trapezoidët. Siç kemi thënë tashmë, kjo shifër ka dy anë paralele. Ato quhen baza. Dy të tjerat (jo paralele) janë anët anësore. Në materialet e provimeve dhe testeve të ndryshme, shpesh mund të gjeni probleme që lidhen me trapezoidët, zgjidhja e të cilave shpesh kërkon që studenti të ketë njohuri të paparashikuara në program. Kursi i gjeometrisë shkollore i njeh studentët me vetitë e këndeve dhe diagonaleve, si dhe me vijën e mesit të një trapezi izoscelular. Por, krahas kësaj, figura gjeometrike e përmendur ka veçori të tjera. Por më shumë rreth tyre pak më vonë...
Llojet e trapezit
Ka shumë lloje të kësaj figure. Sidoqoftë, më shpesh është zakon të merren parasysh dy prej tyre - izosceles dhe drejtkëndëshe.
1. Një trapez drejtkëndor është një figurë në të cilën njëra nga anët është pingul me bazat. Dy këndet e saj janë gjithmonë të barabarta me nëntëdhjetë gradë.
2. Një trapez izoscelular është një figurë gjeometrike anët e së cilës janë të barabarta me njëra-tjetrën. Kjo do të thotë se këndet në bazat janë gjithashtu të barabarta në çifte.
Parimet kryesore të metodologjisë për studimin e vetive të një trapezi
Parimi kryesor përfshin përdorimin e të ashtuquajturës qasje të detyrës. Në fakt, nuk ka nevojë të futen vetitë e reja të kësaj figure në kursin teorik të gjeometrisë. Ato mund të zbulohen dhe formulohen në procesin e zgjidhjes së problemeve të ndryshme (mundësisht ato të sistemit). Në të njëjtën kohë, është shumë e rëndësishme që mësuesi të dijë se çfarë detyrash duhet t'u caktohen nxënësve në një moment ose në një tjetër gjatë procesit arsimor. Për më tepër, çdo veti e një trapezi mund të përfaqësohet si një detyrë kryesore në një sistem detyrash.
Parimi i dytë është i ashtuquajturi organizim spirale i studimit të vetive "të shquara" të trapezoidit. Kjo nënkupton një kthim gjatë procesit mësimor në veçoritë individuale të një figure të caktuar gjeometrike. Kjo e bën më të lehtë për studentët t'i kujtojnë ato. Për shembull, vetia e katër pikave. Mund të vërtetohet si gjatë studimit të ngjashmërisë ashtu edhe duke përdorur më pas vektorët. Dhe ekuivalenca e trekëndëshave ngjitur me anët anësore të një figure mund të vërtetohet duke zbatuar jo vetëm vetitë e trekëndëshave me lartësi të barabarta të tërhequra në anët që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, por edhe duke përdorur formulën S = 1/2( ab*sina). Përveç kësaj, mund të punoni në një trapezoid të gdhendur ose një trekëndësh kënddrejtë në një trapezoid të gdhendur, etj.
Përdorimi i veçorive "jashtëkurrikulare" të një figure gjeometrike në përmbajtjen e një kursi shkollor është një teknologji e bazuar në detyrë për t'i mësuar ato. Referimi i vazhdueshëm i vetive që studiohen gjatë kalimit nëpër tema të tjera u mundëson studentëve të fitojnë një kuptim më të thellë të trapezit dhe siguron suksesin në zgjidhjen e problemeve të caktuara. Pra, le të fillojmë të studiojmë këtë figurë të mrekullueshme.
Elementet dhe vetitë e një trapezi izoscelor
Siç e kemi vërejtur tashmë, kjo figurë gjeometrike ka anët e barabarta. Njihet gjithashtu si trapezi i saktë. Pse është kaq i shquar dhe pse mori një emër të tillë? E veçanta e kësaj figure është se jo vetëm anët dhe këndet në bazat janë të barabarta, por edhe diagonalet. Përveç kësaj, shuma e këndeve të një trapezi izosceles është 360 gradë. Por kjo nuk është e gjitha! Nga të gjithë trapezoidët e njohur, vetëm një izosceles mund të përshkruhet si një rreth. Kjo për faktin se shuma e këndeve të kundërta të kësaj figure është e barabartë me 180 gradë, dhe vetëm në këtë kusht mund të përshkruhet një rreth rreth katërkëndëshit. Vetia tjetër e figurës gjeometrike në shqyrtim është se distanca nga kulmi i bazës deri në projeksionin e kulmit të kundërt në vijën e drejtë që përmban këtë bazë do të jetë e barabartë me vijën e mesit.
Tani le të kuptojmë se si të gjejmë këndet e një trapezi izosceles. Le të shqyrtojmë një zgjidhje për këtë problem, me kusht që të dihen dimensionet e anëve të figurës.
Zgjidhje
Në mënyrë tipike, një katërkëndësh zakonisht shënohet me shkronjat A, B, C, D, ku BS dhe AD janë bazat. Në një trapezoid isosceles, anët janë të barabarta. Do të supozojmë se madhësia e tyre është e barabartë me X, dhe madhësitë e bazave janë të barabarta me Y dhe Z (përkatësisht më të vogla dhe më të mëdha). Për të kryer llogaritjen, është e nevojshme të vizatoni lartësinë H nga këndi B. Rezultati është një trekëndësh kënddrejtë ABN, ku AB është hipotenuza, dhe BN dhe AN janë këmbët. Llogaritim madhësinë e këmbës AN: e zbresim atë më të vogël nga baza më e madhe dhe rezultatin e ndajmë me 2. E shkruajmë në formën e një formule: (Z-Y)/2 = F. Tani, për të llogaritur akute këndi i trekëndëshit, ne përdorim funksionin cos. Marrim hyrjen e mëposhtme: cos(β) = X/F. Tani llogarisim këndin: β=arcos (X/F). Më tej, duke ditur një kënd, ne mund të përcaktojmë të dytin, për këtë kryejmë një operacion aritmetik elementar: 180 - β. Të gjitha këndet janë të përcaktuara.
Ekziston një zgjidhje e dytë për këtë problem. Së pari e ulim nga këndi në lartësinë H. Llogaritim vlerën e këmbës BN. Ne e dimë se katrori i hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve. Marrim: BN = √(X2-F2). Më pas përdorim funksionin trigonometrik tg. Si rezultat kemi: β = arctan (BN/F). Është gjetur një kënd akut. Më pas, ne e përcaktojmë atë në mënyrë të ngjashme me metodën e parë.
Vetia e diagonaleve të një trapezi dykëndor
Së pari, le të shkruajmë katër rregulla. Nëse diagonalet në një trapezoid izoscelorë janë pingul, atëherë:
Lartësia e figurës do të jetë e barabartë me shumën e bazave të pjesëtuara me dy;
Lartësia dhe vija e mesme e saj janë të barabarta;
Qendra e rrethit është pika në të cilën ;
Nëse ana anësore ndahet nga pika e tangjences në segmentet H dhe M, atëherë ajo është e barabartë me rrënjën katrore të prodhimit të këtyre segmenteve;
Katërkëndëshi që formohet nga pikat e tangjences, kulmi i trapezit dhe qendra e rrethit të brendashkruar është një katror, brinja e të cilit është e barabartë me rrezen;
Sipërfaqja e një figure është e barabartë me prodhimin e bazave dhe produktin e gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë së saj.
Trapezoide të ngjashme
Kjo temë është shumë e përshtatshme për të studiuar vetitë e kësaj Për shembull, diagonalet ndajnë një trapezoid në katër trekëndësha, dhe ato ngjitur me bazat janë të ngjashme, dhe ato ngjitur me anët janë të barabarta në madhësi. Ky pohim mund të quhet veti e trekëndëshave në të cilët ndahet trapezi me diagonalet e tij. Pjesa e parë e këtij pohimi vërtetohet përmes shenjës së ngjashmërisë në dy kënde. Për të vërtetuar pjesën e dytë, është më mirë të përdorni metodën e dhënë më poshtë.
Vërtetimi i teoremës
Pranojmë që figura ABSD (AD dhe BS janë bazat e trapezit) të ndahet me diagonale VD dhe AC. Pika e kryqëzimit të tyre është O. Marrim katër trekëndësha: AOS - në bazën e poshtme, BOS - në bazën e sipërme, ABO dhe SOD në anët. Trekëndëshat SOD dhe BOS kanë një lartësi të përbashkët nëse segmentet BO dhe OD janë bazat e tyre. Konstatojmë se diferenca ndërmjet zonave të tyre (P) është e barabartë me diferencën ndërmjet këtyre segmenteve: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Prandaj, PSOD = PBOS/K. Në mënyrë të ngjashme, trekëndëshat BOS dhe AOB kanë një lartësi të përbashkët. Ne marrim si bazë segmentet CO dhe OA. Marrim PBOS/PAOB = CO/OA = K dhe PAOB = PBOS/K. Nga kjo rezulton se PSOD = PAOB.
Për të konsoliduar materialin, nxënësve u rekomandohet të gjejnë lidhjen midis zonave të trekëndëshave që rezultojnë në të cilat ndahet trapezi me diagonalet e tij duke zgjidhur problemin e mëposhtëm. Dihet që trekëndëshat BOS dhe AOD kanë sipërfaqe të barabarta; Meqenëse PSOD = PAOB, do të thotë PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Nga ngjashmëria e trekëndëshave BOS dhe AOD del se BO/OD = √(PBOS/PAOD). Prandaj, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Ne marrim PSOD = √(PBOS*PAOD). Pastaj PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
Vetitë e ngjashmërisë
Duke vazhduar zhvillimin e kësaj teme, mund të vërtetojmë veçori të tjera interesante të trapezoideve. Kështu, duke përdorur ngjashmërinë, mund të vërtetohet vetia e një segmenti që kalon nëpër pikën e formuar nga kryqëzimi i diagonaleve të kësaj figure gjeometrike, paralel me bazat. Për ta bërë këtë, le të zgjidhim problemin e mëposhtëm: është e nevojshme të gjendet gjatësia e segmentit RK që kalon në pikën O. Nga ngjashmëria e trekëndëshave AOD dhe BOS del se AO/OS = AD/BS. Nga ngjashmëria e trekëndëshave AOP dhe ASB del se AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Nga këtu marrim se RO=BS*BP/(BS+BP). Në mënyrë të ngjashme, nga ngjashmëria e trekëndëshave DOC dhe DBS, del se OK = BS*AD/(BS+AD). Nga këtu marrim se RO=OK dhe RK=2*BS*AD/(BS+AD). Një segment që kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve, paralel me bazat dhe që lidh dy anët anësore, ndahet në gjysmë nga pika e kryqëzimit. Gjatësia e saj është mesatarja harmonike e bazave të figurës.
Konsideroni vetinë e mëposhtme të një trapezi, e cila quhet vetia e katër pikave. Pikat e kryqëzimit të diagonaleve (O), kryqëzimi i vazhdimit të anëve (E), si dhe pikat e mesit të bazave (T dhe F) shtrihen gjithmonë në të njëjtën vijë. Kjo mund të vërtetohet lehtësisht me metodën e ngjashmërisë. Trekëndëshat që rezultojnë BES dhe AED janë të ngjashëm, dhe në secilin prej tyre medianat ET dhe EJ ndajnë këndin e kulmit E në pjesë të barabarta. Prandaj, pikat E, T dhe F shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Në të njëjtën mënyrë, pikat T, O dhe Zh janë të vendosura në të njëjtën vijë të drejtë. E gjithë kjo rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave BOS dhe AOD. Nga këtu konkludojmë se të katër pikat - E, T, O dhe F - do të shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.
Duke përdorur trapezoide të ngjashme, mund t'u kërkoni nxënësve të gjejnë gjatësinë e segmentit (LS) që e ndan figurën në dy të ngjashme. Ky segment duhet të jetë paralel me bazat. Meqenëse trapezoidët rezultues ALFD dhe LBSF janë të ngjashëm, atëherë BS/LF = LF/AD. Nga kjo rrjedh se LF=√(BS*AD). Konstatojmë se segmenti që ndan trapezin në dy të ngjashëm ka një gjatësi të barabartë me mesataren gjeometrike të gjatësive të bazave të figurës.
Merrni parasysh veçorinë e mëposhtme të ngjashmërisë. Ai bazohet në një segment që e ndan trapezin në dy figura të barabarta. Supozojmë se trapezi ABSD ndahet nga segmenti EH në dy të ngjashëm. Nga kulmi B hiqet një lartësi, e cila ndahet nga segmenti EN në dy pjesë - B1 dhe B2. Marrim: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 dhe PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Më pas, ne hartojmë një sistem ekuacioni i parë i të cilit është (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 dhe i dyti (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Nga kjo rrjedh se B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) dhe BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Konstatojmë se gjatësia e segmentit që ndan trapezin në dy të barabarta është e barabartë me katrorin mesatar të rrënjëve të gjatësive të bazave: √((BS2+AD2)/2).
Gjetjet e ngjashmërisë
Kështu, ne kemi vërtetuar se:
1. Segmenti që lidh mesin e anëve anësore të një trapezi është paralel me AD dhe BS dhe është i barabartë me mesataren aritmetike të BS dhe AD (gjatësia e bazës së trapezit).
2. Drejtëza që kalon në pikën O të prerjes së diagonaleve paralele me AD dhe BS do të jetë e barabartë me mesataren harmonike të numrave AD dhe BS (2*BS*AD/(BS+AD)).
3. Segmenti që ndan trapezin në të ngjashëm ka gjatësinë e mesatares gjeometrike të bazave BS dhe AD.
4. Një element që ndan një figurë në dy të barabarta ka gjatësinë e katrorit mesatar të rrënjës së numrave AD dhe BS.
Për të konsoliduar materialin dhe për të kuptuar lidhjen midis segmenteve të konsideruara, nxënësi duhet t'i ndërtojë ato për një trapez të caktuar. Ai lehtë mund të shfaqë vijën e mesme dhe segmentin që kalon në pikën O - kryqëzimi i diagonaleve të figurës - paralel me bazat. Por ku do të vendosen i treti dhe i katërti? Kjo përgjigje do ta çojë nxënësin në zbulimin e marrëdhënies së dëshiruar ndërmjet vlerave mesatare.
Një segment që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi
Merrni parasysh vetinë e mëposhtme të kësaj figure. Supozojmë se segmenti MH është paralel me bazat dhe i përgjysmon diagonalet. Le t'i quajmë pikat e kryqëzimit Ш dhe Ш Ky segment do të jetë i barabartë me gjysmën e diferencës së bazave. Le ta shohim këtë në më shumë detaje. MS është vija e mesme e trekëndëshit ABS, është e barabartë me BS/2. MSH është vija e mesme e trekëndëshit ABD, është e barabartë me AD/2. Pastaj marrim se ShShch = MSh-MSh, pra, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
Qendra e gravitetit
Le të shohim se si përcaktohet ky element për një figurë të caktuar gjeometrike. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të shtrihen bazat në drejtime të kundërta. Çfarë do të thotë? Ju duhet të shtoni bazën e poshtme në bazën e sipërme - në çdo drejtim, për shembull, në të djathtë. Dhe ne e zgjasim atë të poshtme me gjatësinë e sipërme në të majtë. Tjetra, ne i lidhim ato në mënyrë diagonale. Pika e kryqëzimit të këtij segmenti me vijën e mesme të figurës është qendra e gravitetit të trapezit.
Trapezoidë të brendashkruar dhe të rrethuar
Le të rendisim tiparet e figurave të tilla:
1. Një trapez mund të brendashkruhet në një rreth vetëm nëse është dykëndor.
2. Një trapez mund të përshkruhet rreth një rrethi, me kusht që shuma e gjatësive të bazave të tyre të jetë e barabartë me shumën e gjatësive të brinjëve.
Pasojat e rrethit:
1. Lartësia e trapezit të përshkruar është gjithmonë e barabartë me dy rreze.
2. Ana e trapezit të përshkruar vërehet nga qendra e rrethit në një kënd të drejtë.
Pasoja e parë është e qartë, por për të vërtetuar të dytën është e nevojshme të vërtetohet se këndi SOD është i drejtë, gjë që, në fakt, gjithashtu nuk është e vështirë. Por njohja e kësaj vetie do t'ju lejojë të përdorni një trekëndësh kënddrejtë kur zgjidhni probleme.
Tani le të specifikojmë këto pasoja për një trapezoid izoscelular të gdhendur në një rreth. Gjejmë se lartësia është mesatarja gjeometrike e bazave të figurës: H=2R=√(BS*AD). Gjatë ushtrimit të teknikës bazë të zgjidhjes së problemave për trapezoidët (parimi i vizatimit të dy lartësive), nxënësi duhet të zgjidhë detyrën e mëposhtme. Supozojmë se BT është lartësia e figurës izosceles ABSD. Është e nevojshme të gjenden segmentet AT dhe TD. Duke përdorur formulën e përshkruar më sipër, kjo nuk do të jetë e vështirë për t'u bërë.
Tani le të kuptojmë se si të përcaktojmë rrezen e një rrethi duke përdorur zonën e trapezoidit të rrethuar. Ne e ulim lartësinë nga kulmi B në bazën AD. Meqenëse rrethi është i brendashkruar në një trapez, atëherë BS+AD = 2AB ose AB = (BS+AD)/2. Nga trekëndëshi ABN gjejmë sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Marrim PABSD = (BS+BP)*R, rrjedhimisht R = PABSD/(BS+BP).
Të gjitha formulat për vijën e mesit të një trapezi
Tani është koha për të kaluar në elementin e fundit të kësaj figure gjeometrike. Le të kuptojmë se me çfarë është e barabartë vija e mesme e trapezit (M):
1. Nëpër bazat: M = (A+B)/2.
2. Përmes lartësisë, bazës dhe qosheve:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Përmes lartësisë, diagonaleve dhe këndit ndërmjet tyre. Për shembull, D1 dhe D2 janë diagonalet e një trapezi; α, β - këndet midis tyre:
M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.
4. Përmes sipërfaqes dhe lartësisë: M = P/N.
Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
\[(\Large(\tekst(Trapez i lirë)))\]
Përkufizimet
Një trapez është një katërkëndësh konveks në të cilin dy anët janë paralele dhe dy anët e tjera nuk janë paralele.
Anët paralele të një trapezi quhen bazat e tij, dhe dy anët e tjera quhen anët e tij anësore.
Lartësia e një trapezi është pingulja e tërhequr nga çdo pikë e një baze në një bazë tjetër.
Teorema: vetitë e një trapezi
1) Shuma e këndeve në brinjë është \(180^\circ\) .
2) Diagonalet e ndajnë trapezin në katër trekëndësha, dy prej të cilëve janë të ngjashëm dhe dy të tjerët janë të barabartë në madhësi.
Dëshmi
1) Sepse \(AD\paralele BC\), atëherë këndet \(\këndi BAD\) dhe \(\këndi ABC\) janë të njëanshëm për këto vija dhe tërthorja \(AB\), prandaj, \(\këndi BAD +\këndi ABC=180^\circ\).
2) Sepse \(AD\parallel BC\) dhe \(BD\) janë një sekant, pastaj \(\këndi DBC=\këndi BDA\) shtrihen në tërthore.
Gjithashtu \(\këndi BOC=\këndi AOD\) si vertikal.
Prandaj, në dy kënde \(\trekëndësh BOC \sim \trekëndësh AOD\).
Le ta vërtetojmë këtë \(S_(\trekëndësh AOB)=S_(\trekëndësh COD)\). Le të jetë \(h\) lartësia e trapezit. Pastaj \(S_(\trekëndësh ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trekëndësh ACD)\). Pastaj: \
Përkufizimi
Vija e mesme e një trapezi është një segment që lidh mesin e anëve.
Teorema
Vija e mesme e trapezit është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre.
prova*
1) Le të vërtetojmë paralelizmin.
Le të vizatojmë përmes pikës \(M\) drejtëzën \(MN"\parallel AD\) (\(N"\në CD\) ). Pastaj, sipas teoremës së Talesit (pasi \(MN"\parallel AD\paralel BC, AM=MB\)) pika \(N"\) është mesi i segmentit \(CD\). Kjo do të thotë se pikat \(N\) dhe \(N"\) do të përkojnë.
2) Le të vërtetojmë formulën.
Le të bëjmë \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Le \(BB"\kap. MN=M", CC"\kap. MN=N"\).
Pastaj, sipas teoremës së Talesit, \(M"\) dhe \(N"\) janë përkatësisht pikat e mesme të segmenteve \(BB"\) dhe \(CC"\). Kjo do të thotë se \(MM"\) është vija e mesme e \(\trekëndëshit ABB"\) , \(NN"\) është vija e mesme e \(\trekëndëshit DCC"\) . Kjo është arsyeja pse: \
Sepse \(MN\parallel AD\paralel BC\) dhe \(BB", CC"\perp AD\) , pastaj \(B"M"N"C"\) dhe \(BM"N"C\) janë drejtkëndësha. Sipas teoremës së Talesit, nga \(MN\paralele AD\) dhe \(AM=MB\) rrjedh se \(B"M"=M"B\) . Prandaj, \(B"M"N"C "\) dhe \(BM"N"C\) janë drejtkëndësha të barabartë, pra, \(M"N"=B"C"=BC\) .
Kështu:
\ \[=\dfrac12 \majtas(AB"+B"C"+BC+C"D\djathtas)=\dfrac12\left(AD+BC\djathtas)\]
Teorema: veti e një trapezi arbitrar
Pikat e mesit të bazave, pika e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit dhe pika e kryqëzimit të zgjatimeve të anëve anësore shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.
prova*
Rekomandohet që të njiheni me provën pasi të keni studiuar temën "Ngjashmëria e trekëndëshave".
1) Le të vërtetojmë se pikat \(P\) , \(N\) dhe \(M\) shtrihen në të njëjtën linjë.
Le të vizatojmë një vijë të drejtë \(PN\) (\(P\) është pika e kryqëzimit të zgjatimeve të anëve anësore, \(N\) është mesi i \(BC\)). Lëreni të presë anën \(AD\) në pikën \(M\) . Le të vërtetojmë se \(M\) është mesi i \(AD\) .
Konsideroni \(\trekëndësh BPN\) dhe \(\trekëndësh APM\) . Ato janë të ngjashme në dy kënde (\(\këndi APM\) - i përgjithshëm, \(\këndi PAM=\këndi PBN\) si korrespondues në \(AD\parallel BC\) dhe \(AB\) secant). Do të thotë: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Konsideroni \(\trekëndësh CPN\) dhe \(\trekëndësh DPM\) . Ato janë të ngjashme në dy kënde (\(\këndi DPM\) - i përgjithshëm, \(\këndi PDM=\këndi PCN\) si korrespondues në \(AD\parallel BC\) dhe \(CD\) secant). Do të thotë: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Nga këtu \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Por \(BN=NC\) prandaj \(AM=DM\) .
2) Le të vërtetojmë se pikat \(N, O, M\) shtrihen në të njëjtën drejtëz.
Le të jetë \(N\) mesi i \(BC\) dhe \(O\) pika e prerjes së diagonaleve. Le të vizatojmë një vijë të drejtë \(JO\) , ajo do të presë anën \(AD\) në pikën \(M\) . Le të vërtetojmë se \(M\) është mesi i \(AD\) .
\(\trekëndëshi BNO\sim \trekëndëshi DMO\) përgjatë dy këndeve (\(\këndi OBN=\këndi ODM\) i shtrirë në mënyrë tërthore në \(BC\paralel AD\) dhe \(BD\) secant; \(\këndi BON=\këndi DOM\) si vertikal). Do të thotë: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
Po kështu \(\trekëndëshi CON\sim \trekëndëshi AOM\). Do të thotë: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
Nga këtu \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Por \(BN=CN\) prandaj \(AM=MD\) .
\[(\Large(\tekst(trapezoid isosceles)))\]
Përkufizimet
Një trapez quhet drejtkëndor nëse njëri nga këndet e tij është i drejtë.
Një trapezoid quhet izosceles nëse anët e tij janë të barabarta.
Teorema: vetitë e një trapezi izoscelular
1) Një trapezoid izoscelular ka kënde të barabarta bazë.
2) Diagonalet e një trapezi dykëndor janë të barabarta.
3) Dy trekëndësha të formuar nga diagonale dhe një bazë janë dykëndësha.
Dëshmi
1) Konsideroni trapezoidin isosceles \(ABCD\) .
Nga kulmet \(B\) dhe \(C\), ne hedhim perpendikularët \(BM\) dhe \(CN\) në anën \(AD\), respektivisht. Meqenëse \(BM\perp AD\) dhe \(CN\perp AD\) , atëherë \(BM\paralel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , atëherë \(MBCN\) është një paralelogram, pra, \(BM = CN\) .
Merrni parasysh trekëndëshat kënddrejtë \(ABM\) dhe \(CDN\) . Meqenëse hipotenuset e tyre janë të barabarta dhe kema \(BM\) është e barabartë me këmbën \(CN\), atëherë këta trekëndësha janë të barabartë, pra, \(\këndi DAB = \këndi CDA\) .
2) 
Sepse \(AB=CD, \këndi A=\këndi D, AD\)– e përgjithshme, pastaj sipas shenjës së parë. Prandaj, \(AC=BD\) .
3) Sepse \(\trekëndësh ABD=\trekëndësh ACD\), pastaj \(\këndi BDA=\këndi CAD\) . Prandaj, trekëndëshi \(\trekëndëshi AOD\) është dykëndësh. Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se \(\trekëndëshi BOC\) është dykëndësh.
Teorema: shenjat e një trapezi izoscelular
1) Nëse një trapezoid ka kënde bazë të barabarta, atëherë ai është dykëndor.
2) Nëse një trapezoid ka diagonale të barabarta, atëherë ai është dykëndor.
Dëshmi
Konsideroni trapezin \(ABCD\) të tillë që \(\këndi A = \këndi D\) .
Le të plotësojmë trapezin në trekëndëshin \(AED\) siç tregohet në figurë. Meqenëse \(\këndi 1 = \këndi 2\) , atëherë trekëndëshi \(AED\) është dykëndësh dhe \(AE = ED\) . Këndet \(1\) dhe \(3\) janë të barabarta si kënde përkatëse për drejtëzat paralele \(AD\) dhe \(BC\) dhe tërthore \(AB\). Në mënyrë të ngjashme, këndet \(2\) dhe \(4\) janë të barabartë, por \(\këndi 1 = \këndi 2\), atëherë \(\këndi 3 = \këndi 1 = \këndi 2 = \këndi 4\), pra, trekëndëshi \(BEC\) është gjithashtu dykëndësh dhe \(BE = EC\) .
Në fund \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), pra \(AB = CD\), që është ajo që duhej vërtetuar.
2) Le të \(AC=BD\) . Sepse \(\trekëndëshi AOD\sim \trekëndëshi BOC\), atëherë shënojmë koeficientin e ngjashmërisë së tyre si \(k\) . Atëherë nëse \(BO=x\) , atëherë \(OD=kx\) . Ngjashëm me \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Sepse \(AC=BD\) , pastaj \(x+kx=y+ky \Djathtas shigjetë x=y\) . Kjo do të thotë se \(\trekëndëshi AOD\) është dykëndësh dhe \(\këndi OAD=\këndi ODA\) .
Kështu, sipas shenjës së parë \(\trekëndësh ABD=\trekëndësh ACD\) (\(AC=BD, \këndi OAD=\këndi ODA, AD\)- e përgjithshme). Pra, \(AB=CD\) , pse.
