Intervali i besimit të një ndryshoreje të rastësishme. Intervalet e besimit për frekuencat dhe përmasat

Dhe të tjerat janë përllogaritje të analogëve të tyre teorikë, të cilët do të mund të merreshin nëse jo një mostër, por një popullsi e përgjithshme. Por mjerisht, popullsia e përgjithshme është shumë e shtrenjtë dhe shpesh e paarritshme.

Koncepti i vlerësimit të intervalit

Çdo vlerësim i mostrës ka njëfarë përhapjeje, sepse është një ndryshore e rastësishme në varësi të vlerave në një kampion të caktuar. Prandaj, për përfundime statistikore më të besueshme, duhet të dihet jo vetëm vlerësimi i pikës, por edhe intervali, i cili me një probabilitet të lartë γ (gama) mbulon treguesin e vlerësuar θ (theta).

Formalisht, këto janë dy vlera të tilla (statistika) T 1 (X) Dhe T 2 (X), Çfarë T 1< T 2 , për të cilat në një nivel të caktuar probabiliteti γ plotësohet kushti:

Me pak fjalë, ka gjasa γ ose më shumë treguesi i vërtetë është midis pikave T 1 (X) Dhe T 2 (X), të cilat quhen kufijtë e poshtëm dhe të sipërm intervali i besimit.

Një nga kushtet për ndërtimin e intervaleve të besimit është ngushtësia maksimale e tij, d.m.th. duhet të jetë sa më i shkurtër. Dëshira është krejt e natyrshme, sepse... studiuesi përpiqet të lokalizojë më saktë vendndodhjen e parametrit të dëshiruar.

Nga kjo rrjedh se intervali i besimit duhet të mbulojë probabilitetet maksimale të shpërndarjes. dhe vetë vlerësimi duhet të jetë në qendër.

Kjo do të thotë, probabiliteti i devijimit (i treguesit të vërtetë nga vlerësimi) lart është i barabartë me probabilitetin e devijimit poshtë. Duhet gjithashtu të theksohet se për shpërndarjet asimetrike, intervali në të djathtë nuk është i barabartë me intervalin në të majtë.

Figura e mësipërme tregon qartë se sa më i madh të jetë probabiliteti i besimit, aq më i gjerë është intervali - një marrëdhënie e drejtpërdrejtë.

Kjo ishte një hyrje e shkurtër në teorinë e vlerësimit të intervalit të parametrave të panjohur. Le të kalojmë në gjetjen e kufijve të besimit për pritjet matematikore.

Intervali i besimit për pritjet matematikore

Nëse të dhënat origjinale shpërndahen mbi , atëherë mesatarja do të jetë një vlerë normale. Kjo rrjedh nga rregulli që një kombinim linear i vlerave normale ka gjithashtu një shpërndarje normale. Prandaj, për të llogaritur probabilitetet mund të përdorim aparatin matematikor të ligjit të shpërndarjes normale.

Megjithatë, kjo do të kërkojë njohjen e dy parametrave - pritshmërinë dhe variancën, të cilat zakonisht janë të panjohura. Ju, sigurisht, mund të përdorni vlerësime në vend të parametrave (mesatarja aritmetike dhe ), por atëherë shpërndarja e mesatares nuk do të jetë plotësisht normale, ajo do të rrafshohet paksa poshtë. Ky fakt u vërejt me zgjuarsi nga shtetasi William Gosset nga Irlanda, duke publikuar zbulimin e tij në numrin e marsit 1908 të revistës Biometrica. Për qëllime të fshehtësisë, Gosset nënshkroi veten Student. Kështu u shfaq shpërndarja e Studentit.

Sidoqoftë, shpërndarja normale e të dhënave, e përdorur nga K. Gauss në analizimin e gabimeve në vëzhgimet astronomike, është jashtëzakonisht e rrallë në jetën tokësore dhe është mjaft e vështirë për t'u vendosur (për saktësi të lartë nevojiten rreth 2 mijë vëzhgime). Prandaj, është më mirë të hidhni poshtë supozimin e normalitetit dhe të përdorni metoda që nuk varen nga shpërndarja e të dhënave origjinale.

Shtrohet pyetja: cila është shpërndarja e mesatares aritmetike nëse ajo llogaritet nga të dhënat e një shpërndarjeje të panjohur? Përgjigjen e jep teoria e njohur e probabilitetit Teorema e kufirit qendror(CPT). Ekzistojnë disa variante të tij në matematikë (formulimet janë rafinuar me kalimin e viteve), por të gjitha, përafërsisht, zbresin në pohimin se shuma e një numri të madh ndryshoresh të rastësishme të pavarura i bindet një ligji normal të shpërndarjes.

Gjatë llogaritjes së mesatares aritmetike, përdoret shuma e ndryshoreve të rastësishme. Nga këtu rezulton se mesatarja aritmetike ka një shpërndarje normale, në të cilën pritshmëria është pritshmëria e të dhënave origjinale, dhe varianca është .

Njerëzit e zgjuar dinë të vërtetojnë CLT, por ne do ta verifikojmë këtë me ndihmën e një eksperimenti të kryer në Excel. Le të simulojmë një mostër prej 50 ndryshoresh të rastësishme të shpërndara në mënyrë uniforme (duke përdorur funksionin Excel RANDBETWEEN). Më pas do të bëjmë 1000 mostra të tilla dhe do të llogarisim mesataren aritmetike për secilën. Le të shohim shpërndarjen e tyre.

Mund të shihet se shpërndarja e mesatares është afër ligjit normal. Nëse madhësia dhe numri i kampionit bëhen edhe më të mëdha, ngjashmëria do të jetë edhe më e mirë.

Tani që kemi parë me sytë tanë vlefshmërinë e CLT, ne mund, duke përdorur , të llogarisim intervalet e besueshmërisë për mesataren aritmetike, të cilat mbulojnë mesataren e vërtetë ose pritshmërinë matematikore me një probabilitet të caktuar.

Për të vendosur kufijtë e sipërm dhe të poshtëm, duhet të dini parametrat e shpërndarjes normale. Si rregull, nuk ka asnjë, kështu që përdoren vlerësimet: mesatare aritmetike Dhe varianca e mostrës. E përsëris, kjo metodë jep një përafrim të mirë vetëm me mostra të mëdha. Kur mostrat janë të vogla, shpesh rekomandohet përdorimi i shpërndarjes Student. Mos e besoni! Shpërndarja Student për mesataren ndodh vetëm kur të dhënat origjinale shpërndahen normalisht, domethënë pothuajse kurrë. Prandaj, është më mirë që menjëherë të vendosni një shirit minimal për sasinë e të dhënave të kërkuara dhe të përdorni metoda asimptotike të sakta. Ata thonë se mjaftojnë 30 vëzhgime. Merrni 50 - nuk do të gaboni.

T 1.2– kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të intervalit të besimit

– mostra e mesatares aritmetike

s 0- devijimi standard i kampionit (i paanshëm)

n - madhësia e mostrës

γ - probabiliteti i besimit (zakonisht i barabartë me 0.9, 0.95 ose 0.99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– vlera e anasjelltë e funksionit standard të shpërndarjes normale. E thënë thjesht, ky është numri i gabimeve standarde nga mesatarja aritmetike në kufirin e poshtëm ose të sipërm (këto tre probabilitete korrespondojnë me vlerat 1.64, 1.96 dhe 2.58).

Thelbi i formulës është që të merret mesatarja aritmetike dhe më pas të lihet një sasi e caktuar prej saj ( me γ) gabimet standarde ( s 0 /√n). Gjithçka dihet, merreni dhe konsideroni.

Para përdorimit të gjerë të kompjuterëve personalë, ata përdorën për të marrë vlerat e funksionit të shpërndarjes normale dhe të anasjelltë të tij. Ato përdoren edhe sot, por është më efektive të përdoren formula të gatshme Excel. Të gjithë elementët nga formula e mësipërme ( , dhe ) mund të llogariten lehtësisht në Excel. Por ekziston një formulë e gatshme për llogaritjen e intervalit të besimit - BESIMI.NORMË. Sintaksa e saj është si më poshtë.

KONFIDENCE.NORM(alfa;standard_off;madhësia)

alfa– niveli i rëndësisë ose niveli i besimit, i cili në shënimin e miratuar më sipër është i barabartë me 1- γ, d.m.th. probabiliteti që matematikpritshmëria do të jetë jashtë intervalit të besimit. Me një nivel besimi prej 0.95, alfa është 0.05, etj.

standard_off– devijimi standard i të dhënave të mostrës. Nuk ka nevojë të llogaritet gabimi standard në vetvete do të ndajë me rrënjën e n.

madhësia– madhësia e mostrës (n).

Rezultati i funksionit NORM I BESIMIT është termi i dytë nga formula për llogaritjen e intervalit të besimit, d.m.th. gjysmë-interval Prandaj, pikat e poshtme dhe të sipërme janë mesatarja ± vlera e fituar.

Kështu, është e mundur të ndërtohet një algoritëm universal për llogaritjen e intervaleve të besimit për mesataren aritmetike, i cili nuk varet nga shpërndarja e të dhënave origjinale. Çmimi për universalitetin është natyra e tij asimptotike, d.m.th. nevoja për të përdorur mostra relativisht të mëdha. Megjithatë, në epokën e teknologjisë moderne, mbledhja e sasisë së kërkuar të të dhënave zakonisht nuk është e vështirë.

Testimi i hipotezave statistikore duke përdorur intervale besimi

(moduli 111)

Një nga problemet kryesore të zgjidhura në statistikë është. Thelbi i tij është shkurtimisht si më poshtë. Bëhet një supozim, për shembull, se pritshmëria e popullsisë së përgjithshme është e barabartë me një vlerë. Pastaj ndërtohet shpërndarja e mjeteve të mostrës që mund të vëzhgohen për një pritshmëri të caktuar. Më pas, ata shikojnë se ku në këtë shpërndarje të kushtëzuar ndodhet mesatarja reale. Nëse shkon përtej kufijve të pranueshëm, atëherë shfaqja e një mesatareje të tillë ka shumë pak gjasa, dhe nëse eksperimenti përsëritet një herë, është pothuajse e pamundur, gjë që bie ndesh me hipotezën e paraqitur, e cila refuzohet me sukses. Nëse mesatarja nuk shkon përtej nivelit kritik, atëherë hipoteza nuk hidhet poshtë (por as nuk vërtetohet!).

Pra, me ndihmën e intervaleve të besimit, në rastin tonë për pritshmëri, mund të testoni edhe disa hipoteza. Është shumë e lehtë për t'u bërë. Le të themi se mesatarja aritmetike për një kampion të caktuar është e barabartë me 100. Testohet hipoteza se vlera e pritur është, le të themi, 90. Kjo do të thotë, nëse e shtrojmë pyetjen në mënyrë primitive, tingëllon kështu: a mund të jetë kështu me të vërtetën vlera e mesatares e barabartë me 90, mesatarja e vëzhguar doli të jetë 100?

Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, do t'ju duhet gjithashtu informacion në lidhje me devijimin standard dhe madhësinë e mostrës. Le të supozojmë se devijimi standard është 30 dhe numri i vëzhgimeve është 64 (për të nxjerrë me lehtësi rrënjën). Atëherë gabimi standard i mesatares është 30/8 ose 3,75. Për të llogaritur një interval besimi prej 95%, do t'ju duhet të shtoni dy gabime standarde në secilën anë të mesatares (më saktë, 1.96). Intervali i besimit do të jetë afërsisht 100±7.5 ose nga 92.5 në 107.5.

Arsyetimi i mëtejshëm është si më poshtë. Nëse vlera që testohet bie brenda intervalit të besimit, atëherë ajo nuk bie në kundërshtim me hipotezën, sepse bie brenda kufijve të luhatjeve të rastësishme (me një probabilitet prej 95%). Nëse pika që kontrollohet bie jashtë intervalit të besimit, atëherë probabiliteti i një ngjarjeje të tillë është shumë i vogël, në çdo rast nën nivelin e pranueshëm. Kjo do të thotë se hipoteza refuzohet si kundërshtuese me të dhënat e vëzhguara. Në rastin tonë, hipoteza për vlerën e pritshme është jashtë intervalit të besueshmërisë (vlera e testuar prej 90 nuk përfshihet në intervalin 100±7.5), ndaj duhet hedhur poshtë. Duke iu përgjigjur pyetjes primitive të mësipërme, duhet thënë: jo, nuk mundet, në asnjë rast, kjo ndodh jashtëzakonisht rrallë. Shpesh, ato tregojnë probabilitetin specifik për të refuzuar gabimisht hipotezën (niveli p), dhe jo nivelin e specifikuar në të cilin është ndërtuar intervali i besimit, por më shumë për këtë një herë tjetër.

Siç mund ta shihni, ndërtimi i një intervali besimi për mesataren (ose pritjet matematikore) nuk është i vështirë. Gjëja kryesore është të kuptojmë thelbin, dhe më pas gjërat do të vazhdojnë. Në praktikë, shumica e rasteve përdorin një interval besimi 95%, që është afërsisht dy gabime standarde të gjera në të dyja anët e mesatares.

Kjo është e gjitha për momentin. Gjithe te mirat!

Vlerësimi i intervaleve të besimit

Statistikat marrin parasysh sa vijon dy detyra kryesore:

Ne kemi disa vlerësime të bazuara në të dhënat e mostrës dhe duam të bëjmë një deklaratë probabilistike se ku qëndron vlera e vërtetë e parametrit të vlerësuar.

Ne kemi një hipotezë specifike që duhet të testohet duke përdorur të dhënat e mostrës.

Në këtë temë shqyrtojmë detyrën e parë. Le të prezantojmë gjithashtu përkufizimin e një intervali besimi.

Pasi të keni studiuar materialin për këtë temë, ju:

mësoni se çfarë është një interval besimi për një vlerësim;

të mësojnë të klasifikojnë problemet statistikore;

zotëroni teknikën e ndërtimit të intervaleve të besimit, si duke përdorur formula statistikore ashtu edhe duke përdorur mjete softuerike;

Mësoni të përcaktoni madhësitë e kërkuara të mostrës për të arritur disa parametra të saktësisë së vlerësimeve statistikore.

Shpërndarja e karakteristikave të mostrës

Siç u diskutua më lart, shpërndarja e ndryshores së rastit është afër shpërndarjes normale të standardizuar me parametrat 0 dhe 1. Meqenëse nuk e dimë vlerën e σ, ne e zëvendësojmë atë me një vlerësim të s. Sasia tashmë ka një shpërndarje të ndryshme, përkatësisht ose Shpërndarja e nxënësve, i cili përcaktohet nga parametri n -1 (numri i shkallëve të lirisë). Kjo shpërndarje është afër shpërndarjes normale (sa më e madhe n, aq më afër shpërndarjet).

Në Fig. 95
paraqitet shpërndarja Studentore me 30 shkallë lirie. Siç mund ta shihni, është shumë afër shpërndarjes normale.

Ngjashëm me funksionet për të punuar me shpërndarjen normale NORMIDIST dhe NORMINV, ekzistojnë funksione për të punuar me shpërndarjen t - STUDIST (TDIST) dhe STUDRASOBR (TINV). Një shembull i përdorimit të këtyre funksioneve mund të shihet në skedarin STUDRASP.XLS (shaboni dhe zgjidhja) dhe në Fig. 96
.

Siç e dimë tashmë, për të përcaktuar saktësinë e vlerësimit të pritshmërisë matematikore, ne kemi nevojë për një shpërndarje t. Për të vlerësuar parametrat e tjerë, siç është varianca, nevojiten shpërndarje të ndryshme. Dy prej tyre janë shpërndarja F dhe x 2 -shpërndarja.

Intervali i besimit për mesataren

Intervali i besimit- ky është një interval që ndërtohet rreth vlerës së vlerësuar të parametrit dhe tregon se ku ndodhet vlera e vërtetë e parametrit të vlerësuar me një probabilitet të specifikuar a priori.

Ndodh ndërtimi i një intervali besimi për vlerën mesatare si më poshtë:

Shembull

Restoranti i ushqimit të shpejtë planifikon të zgjerojë asortimentin e tij me një lloj të ri sanduiç. Për të vlerësuar kërkesën për të, menaxheri planifikon të zgjedhë rastësisht 40 vizitorë nga ata që e kanë provuar tashmë dhe t'u kërkojë të vlerësojnë qëndrimin e tyre ndaj produktit të ri në një shkallë nga 1 deri në 10. Menaxheri dëshiron të vlerësojë të priturat numri i pikëve që produkti i ri do të marrë dhe ndërton një interval besimi 95% për këtë vlerësim. Si ta bëni këtë? (shih skedarin SANDWICH1.XLS (shaboni dhe zgjidhja).

Zgjidhje

Për të zgjidhur këtë problem mund të përdorni. Rezultatet janë paraqitur në Fig. 97
.

Intervali i besimit për vlerën totale

Ndonjëherë, duke përdorur të dhënat e mostrës, është e nevojshme të vlerësohet jo pritshmëria matematikore, por shuma totale e vlerave. Për shembull, në një situatë me një auditor, interesi mund të jetë në vlerësimin jo të madhësisë mesatare të llogarisë, por të shumës së të gjitha llogarive.

Le të jetë N numri i përgjithshëm i elementeve, n madhësia e kampionit, T 3 shuma e vlerave në mostër, T" vlerësimi për shumën për të gjithë popullatën, pastaj , dhe intervali i besueshmërisë llogaritet me formulën , ku s është vlerësimi i devijimit standard për kampionin dhe është vlerësimi i mesatares për kampionin.

Shembull

Le të themi se një agjenci tatimore dëshiron të vlerësojë rimbursimet totale të taksave për 10,000 tatimpagues. Tatimpaguesi ose merr një rimbursim ose paguan taksa shtesë. Gjeni intervalin e besueshmërisë 95% për shumën e rimbursimit, duke supozuar një madhësi kampion prej 500 personash (shih skedarin SHUMËSIA E RIFUND.XLS (shabllon dhe zgjidhje).

Zgjidhje

StatPro nuk ka një procedurë të veçantë për këtë rast, megjithatë, mund të vërehet se kufijtë mund të merren nga kufijtë për mesataren bazuar në formulat e mësipërme (Fig. 98
).

Intervali i besimit për proporcionin

Le të jetë p pritshmëria matematikore e pjesës së klientëve dhe le të jetë p b vlerësimi i kësaj pjese të marrë nga një mostër e madhësisë n. Mund të tregohet se për mjaftueshëm të mëdha shpërndarja e vlerësimit do të jetë afër normales me pritshmëri matematikore p dhe devijim standard . Gabimi standard i vlerësimit në këtë rast shprehet si , dhe intervali i besimit është si .

Shembull

Restoranti i ushqimit të shpejtë planifikon të zgjerojë asortimentin e tij me një lloj të ri sanduiç. Për të vlerësuar kërkesën për të, menaxheri përzgjodhi rastësisht 40 vizitorë nga ata që e kishin provuar tashmë dhe u kërkoi të vlerësonin qëndrimin e tyre ndaj produktit të ri në një shkallë nga 1 në 10. Menaxheri dëshiron të vlerësojë përqindjen e pritshme të klientët të cilët e vlerësojnë produktin e ri me të paktën 6 pikë (ai pret që këta klientë të jenë konsumatorët e produktit të ri).

Zgjidhje

Fillimisht, ne krijojmë një kolonë të re bazuar në atributin 1 nëse vlerësimi i klientit ishte më shumë se 6 pikë dhe 0 ndryshe (shih skedarin SANDWICH2.XLS (shaboni dhe zgjidhja).

Metoda 1

Duke numëruar numrin 1, ne vlerësojmë pjesën, dhe më pas përdorim formulat.

Vlera zcr merret nga tabelat e veçanta të shpërndarjes normale (për shembull, 1.96 për një interval besimi 95%).

Duke përdorur këtë qasje dhe të dhëna specifike për të ndërtuar një interval prej 95%, marrim rezultatet e mëposhtme (Fig. 99
). Vlera kritike e parametrit zcr është 1.96. Gabimi standard i vlerësimit është 0.077. Kufiri i poshtëm i intervalit të besimit është 0.475. Kufiri i sipërm i intervalit të besimit është 0,775. Kështu, menaxheri ka të drejtë të besojë me 95% besim se përqindja e klientëve që vlerësojnë produktin e ri me 6 pikë ose më shumë do të jetë midis 47.5 dhe 77.5.

Metoda 2

Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur mjete standarde StatPro. Për ta bërë këtë, mjafton të theksohet se pjesa në këtë rast përkon me vlerën mesatare të kolonës Type. Më pas aplikojmë StatPro/Përfundimi statistikor/Analiza me një mostër për të ndërtuar një interval besimi të mesatares (vlerësimi i pritshmërisë matematikore) për kolonën Tipi. Rezultatet e marra në këtë rast do të jenë shumë afër rezultateve të metodës së parë (Fig. 99).

Intervali i besimit për devijimin standard

s përdoret si një vlerësim i devijimit standard (formula është dhënë në seksionin 1). Funksioni i densitetit të vlerësimit s është funksioni chi-katror, ​​i cili, ashtu si shpërndarja t, ka n-1 shkallë lirie. Ekzistojnë funksione të veçanta për të punuar me këtë shpërndarje CHIDIST dhe CHIINV.

Intervali i besimit në këtë rast nuk do të jetë më simetrik. Një diagram konvencional i kufirit është paraqitur në Fig. 100.

Shembull

Makina duhet të prodhojë pjesë me diametër 10 cm, megjithatë, për shkak të rrethanave të ndryshme, ndodhin gabime. Kontrolluesi i cilësisë është i shqetësuar për dy rrethana: së pari, vlera mesatare duhet të jetë 10 cm; së dyti, edhe në këtë rast, nëse devijimet janë të mëdha, atëherë shumë pjesë do të refuzohen. Çdo ditë ai bën një mostër prej 50 pjesësh (shih skedarin QUALITY CONTROL.XLS (shabllon dhe zgjidhje). Çfarë përfundimesh mund të japë një mostër e tillë?

Zgjidhje

Le të ndërtojmë intervale besimi 95% për mesataren dhe devijimin standard duke përdorur StatPro/Përfundimi statistikor/Analiza me një mostër(Fig. 101
).

Më pas, duke përdorur supozimin e një shpërndarjeje normale të diametrave, ne llogarisim proporcionin e produkteve me defekt, duke vendosur një devijim maksimal prej 0,065. Duke përdorur aftësitë e tabelës së zëvendësimit (rasti i dy parametrave), do të vizatojmë varësinë e proporcionit të defekteve nga vlera mesatare dhe devijimi standard (Fig. 102
).

Intervali i besimit për ndryshimin midis dy mjeteve

Ky është një nga aplikimet më të rëndësishme të metodave statistikore. Shembuj të situatave.

Një menaxher i një dyqani veshjesh do të donte të dinte se sa më shumë ose më pak shpenzon konsumatorja mesatare femër në dyqan sesa konsumatori mesatar mashkull.

Të dy linjat ajrore fluturojnë linja të ngjashme. Një organizatë konsumatore do të donte të krahasonte ndryshimin midis kohëve mesatare të pritshme të vonesës së fluturimit për të dyja linjat ajrore.

Kompania dërgon kuponë për lloje të caktuara të mallrave në një qytet dhe jo në një tjetër. Menaxherët duan të krahasojnë vëllimet mesatare të blerjeve të këtyre produkteve gjatë dy muajve të ardhshëm.

Një tregtar makinash shpesh merret me çifte të martuara në prezantime. Për të kuptuar reagimet e tyre personale ndaj prezantimit, çiftet shpesh intervistohen veçmas. Menaxheri dëshiron të vlerësojë ndryshimin në vlerësimet e dhëna nga burrat dhe gratë.

Rasti i mostrave të pavarura

Diferenca midis mesatareve do të ketë një shpërndarje t me n 1 + n 2 - 2 gradë lirie. Intervali i besimit për μ 1 - μ 2 shprehet me relacionin:

Ky problem mund të zgjidhet jo vetëm duke përdorur formulat e mësipërme, por edhe duke përdorur mjete standarde StatPro. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni

Intervali i besimit për diferencën midis përmasave

Le të jetë pritshmëria matematikore e aksioneve. Le të jenë vlerësimet e tyre të mostrës, të ndërtuara nga mostrat e madhësisë n 1 dhe n 2, respektivisht. Pastaj është një vlerësim për diferencën. Prandaj, intervali i besimit të këtij ndryshimi shprehet si:

Këtu z cr është një vlerë e marrë nga një shpërndarje normale duke përdorur tabela të veçanta (për shembull, 1.96 për një interval besimi 95%).

Gabimi standard i vlerësimit shprehet në këtë rast me relacionin:

.

Shembull

Dyqani, duke u përgatitur për një shitje të madhe, ndërmori kërkimet e mëposhtme të marketingut. 300 blerësit kryesorë u zgjodhën dhe u ndanë rastësisht në dy grupe me nga 150 anëtarë secili. Të gjithë klientëve të përzgjedhur iu dërguan ftesa për të marrë pjesë në shitje, por vetëm anëtarët e grupit të parë morën një kupon që u jepte të drejtën për një zbritje prej 5%. Gjatë shitjes janë regjistruar blerjet e të 300 blerësve të përzgjedhur. Si mundet një menaxher të interpretojë rezultatet dhe të bëjë një gjykim për efektivitetin e kuponëve? (shih skedarin COUPONS.XLS (shabllon dhe zgjidhje)).

Zgjidhje

Për rastin tonë konkret, nga 150 klientë që kanë marrë kupon zbritje, 55 kanë bërë një blerje në shitje dhe nga 150 që nuk kanë marrë kupon, vetëm 35 kanë bërë një blerje (Fig. 103
). Pastaj vlerat e proporcioneve të mostrës janë përkatësisht 0.3667 dhe 0.2333. Dhe diferenca e mostrës midis tyre është e barabartë me 0.1333, përkatësisht. Duke supozuar një interval besimi 95%, gjejmë nga tabela e shpërndarjes normale z cr = 1.96. Llogaritja e gabimit standard të diferencës së mostrës është 0.0524. Më në fund zbulojmë se kufiri i poshtëm i intervalit të besimit 95% është 0.0307, ​​dhe kufiri i sipërm është përkatësisht 0.2359. Rezultatet e marra mund të interpretohen në atë mënyrë që për çdo 100 klientë që kanë marrë një kupon zbritje, mund të presim nga 3 deri në 23 klientë të rinj. Megjithatë, duhet të kemi parasysh se ky përfundim në vetvete nuk nënkupton efektivitetin e përdorimit të kuponëve (pasi duke ofruar një zbritje humbim fitimin!). Le ta demonstrojmë këtë me të dhëna specifike. Le të supozojmë se madhësia mesatare e blerjes është 400 rubla, nga të cilat 50 rubla. ka një fitim për dyqanin. Atëherë fitimi i pritur për 100 klientë që nuk kanë marrë një kupon është:

50 0,2333 100 = 1166,50 fshij.

Llogaritjet e ngjashme për 100 klientë që kanë marrë një kupon japin:

30 0,3667 100 = 1100,10 fshij.

Ulja e fitimit mesatar në 30 shpjegohet me faktin se, duke përdorur zbritjen, klientët që kanë marrë një kupon mesatarisht do të bëjnë një blerje për 380 rubla.

Kështu, përfundimi përfundimtar tregon joefektivitetin e përdorimit të kuponëve të tillë në këtë situatë të veçantë.

Komentoni. Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur mjete standarde StatPro. Për ta bërë këtë, mjafton ta reduktoni këtë problem në problemin e vlerësimit të ndryshimit midis dy mesatareve duke përdorur metodën dhe më pas të aplikoni StatPro/Përfundimi statistikor/Analiza me dy mostra për të ndërtuar një interval besimi për diferencën midis dy vlerave mesatare.

Kontrollimi i gjatësisë së intervalit të besimit

Gjatësia e intervalit të besimit varet nga kushtet e mëposhtme:

të dhënat drejtpërdrejt (devijimi standard);

niveli i rëndësisë;

madhësia e mostrës.

Madhësia e kampionit për vlerësimin e mesatares

Së pari, le të shqyrtojmë problemin në rastin e përgjithshëm. Le të shënojmë vlerën e gjysmës së gjatësisë së intervalit të besimit që na është dhënë si B (Fig. 104
). Ne e dimë se intervali i besimit për vlerën mesatare të disa ndryshoreve të rastësishme X shprehet si , Ku . Duke besuar:

dhe duke shprehur n, marrim .

Fatkeqësisht, ne nuk e dimë vlerën e saktë të variancës së ndryshores së rastësishme X. Për më tepër, ne nuk e dimë vlerën e tcr, pasi varet nga n përmes numrit të shkallëve të lirisë. Në këtë situatë, ne mund të bëjmë sa më poshtë. Në vend të variancës s, ne përdorim disa vlerësime të variancës bazuar në çdo zbatim të disponueshëm të ndryshores së rastësishme në studim. Në vend të vlerës t cr, ne përdorim vlerën z cr për shpërndarjen normale. Kjo është mjaft e pranueshme, pasi funksionet e densitetit të shpërndarjes për shpërndarjet normale dhe t janë shumë afër (me përjashtim të rastit të n-së së vogël). Kështu, formula e kërkuar merr formën:

.

Meqenëse formula jep, në përgjithësi, rezultate jo të plota, rrumbullakimi me një tepricë të rezultatit merret si madhësia e dëshiruar e mostrës.

Shembull

Restoranti i ushqimit të shpejtë planifikon të zgjerojë asortimentin e tij me një lloj të ri sanduiç. Për të vlerësuar kërkesën për të, menaxheri planifikon të zgjedhë rastësisht një numër vizitorësh nga ata që e kanë provuar tashmë dhe t'u kërkojë të vlerësojnë qëndrimin e tyre ndaj produktit të ri në një shkallë nga 1 në 10. Menaxheri dëshiron të vlerësojë numrin e pritur të pikëve që produkti i ri do të marrë dhe ndërtoni një interval besimi prej 95% për këtë vlerësim. Në të njëjtën kohë, ai dëshiron që gjysma e gjerësisë së intervalit të besimit të mos kalojë 0.3. Sa vizitorë ka nevojë për të intervistuar?

duket si kjo:

Këtu r otsështë një vlerësim i proporcionit p, dhe B është gjysma e dhënë e gjatësisë së intervalit të besimit. Një mbivlerësim për n mund të merret duke përdorur vlerën r ots= 0,5. Në këtë rast, gjatësia e intervalit të besimit nuk do të kalojë vlerën e specifikuar B për çdo vlerë të vërtetë të p.

Shembull

Lëreni menaxherin nga shembulli i mëparshëm të planifikojë të vlerësojë pjesën e klientëve që preferojnë një lloj të ri produkti. Ai dëshiron të ndërtojë një interval besimi 90% gjatësia e gjysmës së të cilit nuk i kalon 0.05. Sa klientë duhet të përfshihen në kampionin e rastësishëm?

Zgjidhje

Në rastin tonë, vlera e z cr = 1,645. Prandaj, sasia e kërkuar llogaritet si .

Nëse menaxheri do të kishte arsye të besonte se vlera e dëshiruar p ishte, për shembull, afërsisht 0.3, atëherë duke e zëvendësuar këtë vlerë në formulën e mësipërme, do të merrnim një vlerë më të vogël të rastit të mostrës, përkatësisht 228.

Formula për përcaktimin madhësia e rastësishme e kampionit në rast të ndryshimit midis dy mesatareve shkruar si:

.

Shembull

Disa kompani kompjuterike kanë një qendër shërbimi ndaj klientit. Kohët e fundit, numri i ankesave të klientëve për cilësinë e dobët të shërbimit është rritur. Qendra e shërbimit punëson kryesisht dy lloje punonjësish: ata që nuk kanë shumë përvojë, por kanë kryer kurse të veçanta përgatitore dhe ata që kanë përvojë të gjerë praktike, por nuk kanë kryer kurse speciale. Kompania dëshiron të analizojë ankesat e klientëve gjatë gjashtë muajve të fundit dhe të krahasojë numrin mesatar të ankesave për secilin nga dy grupet e punonjësve. Supozohet se numrat në mostrat për të dy grupet do të jenë të njëjta. Sa punonjës duhet të përfshihen në kampion për të marrë një interval 95% me një gjatësi gjysmë jo më shumë se 2?

Zgjidhje

Këtu σ ots është një vlerësim i devijimit standard të të dy variablave të rastësishëm nën supozimin se ato janë afër. Kështu, në problemin tonë ne duhet të marrim disi këtë vlerësim. Kjo mund të bëhet, për shembull, si më poshtë. Duke parë të dhënat për ankesat e klientëve gjatë gjashtë muajve të fundit, një menaxher mund të vërejë se çdo punonjës përgjithësisht merr nga 6 deri në 36 ankesa. Duke ditur se për një shpërndarje normale pothuajse të gjitha vlerat janë jo më shumë se tre devijime standarde larg mesatares, ai mund të besojë në mënyrë të arsyeshme se:

, nga ku σ ots = 5.

Duke zëvendësuar këtë vlerë në formulë, marrim .

Formula për përcaktimin madhësia e rastësishme e kampionit në rast të vlerësimit të diferencës ndërmjet proporcioneve ka formën:

Shembull

Disa kompani ka dy fabrika që prodhojnë produkte të ngjashme. Një menaxher kompanie dëshiron të krahasojë përqindjen e produkteve me defekt në të dyja fabrikat. Sipas informacioneve të disponueshme, shkalla e defektit në të dyja fabrikat varion nga 3 në 5%. Ai synon të ndërtojë një interval besimi 99% me një gjatësi gjysmë jo më shumë se 0,005 (ose 0,5%). Sa produkte duhet të zgjidhen nga çdo fabrikë?

Zgjidhje

Këtu p 1ots dhe p 2ots janë vlerësime të dy pjesëve të panjohura të defekteve në fabrikën 1 dhe 2. Nëse vendosim p 1ots = p 2ots = 0,5, atëherë marrim një vlerë të mbivlerësuar për n. Por duke qenë se në rastin tonë kemi disa informacione apriori për këto aksione, marrim vlerësimin e sipërm të këtyre aksioneve, përkatësisht 0.05. marrim

Kur vlerësohen disa parametra të popullsisë nga të dhënat e mostrës, është e dobishme të jepet jo vetëm një vlerësim pikësor i parametrit, por edhe të sigurohet një interval besimi që tregon se ku mund të qëndrojë vlera e saktë e parametrit që vlerësohet.

Në këtë kapitull u njohëm edhe me marrëdhëniet sasiore që na lejojnë të ndërtojmë intervale të tilla për parametra të ndryshëm; mësuan mënyra për të kontrolluar gjatësinë e intervalit të besimit.

Vini re gjithashtu se problemi i vlerësimit të madhësive të mostrës (problemi i planifikimit të një eksperimenti) mund të zgjidhet duke përdorur mjete standarde StatPro, përkatësisht StatPro/Përfundimi statistikor/Përzgjedhja e madhësisë së mostrës.

Intervali i besimit(CI; në anglisht, intervali i besimit - CI) i marrë në një studim me një kampion jep një masë të saktësisë (ose pasigurisë) të rezultateve të studimit në mënyrë që të nxirren përfundime për popullsinë e të gjithë pacientëve të tillë (popullata e përgjithshme). Përkufizimi i saktë i një CI 95% mund të formulohet si më poshtë: 95% e intervaleve të tilla do të përmbajnë vlerën e vërtetë në popullatë. Ky interpretim është disi më pak i saktë: CI është diapazoni i vlerave brenda të cilit mund të jeni 95% i sigurt se përmban vlerën e vërtetë. Kur përdorni një CI, theksi vihet në përcaktimin e një efekti sasior, në krahasim me vlerën P që rezulton nga testimi i rëndësisë statistikore. Vlera P nuk vlerëson asnjë sasi, por më tepër shërben si një masë e fuqisë së provave kundër hipotezës zero të "pa efekt". Vlera e P në vetvete nuk na tregon asgjë për madhësinë e ndryshimit, madje as për drejtimin e tij. Prandaj, vlerat e pavarura P janë absolutisht jo informative në artikuj ose abstrakte. Në të kundërt, CI tregon si madhësinë e efektit me interes të menjëhershëm, siç është përfitimi i një trajtimi, ashtu edhe fuqinë e provave. Prandaj, DI lidhet drejtpërdrejt me praktikën e EBM.

Qasja e vlerësimit për analizën statistikore, e ilustruar nga CI, synon të masë sasinë e një efekti interesi (ndjeshmëria e një testi diagnostik, shkalla e rasteve të parashikuara, reduktimi relativ i rrezikut me trajtimin, etj.) dhe gjithashtu të masë pasigurinë në atë efekt. Më shpesh, CI është diapazoni i vlerave në të dyja anët e vlerësimit në të cilin vlera e vërtetë ka të ngjarë të qëndrojë, dhe ju mund të jeni 95% i sigurt për të. Marrëveshja për të përdorur probabilitetin 95% është arbitrare, siç është edhe vlera P.<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

CI bazohet në idenë se i njëjti studim i kryer në mostra të ndryshme pacientësh nuk do të prodhonte rezultate identike, por se rezultatet e tyre do të shpërndaheshin rreth një vlere të vërtetë, por të panjohur. Me fjalë të tjera, CI e përshkruan atë si "ndryshueshmëri e varur nga mostra". IK nuk pasqyron pasiguri shtesë për arsye të tjera; në veçanti, ai nuk përfshin ndikimin e humbjes selektive në ndjekjen, pajtueshmërinë e dobët ose matje të pasakta të rezultatit, mungesën e verbimit, etj. Prandaj, CI gjithmonë nënvlerëson shumën totale të pasigurisë.

Llogaritja e intervalit të besimit

Tabela A1.1. Gabimet standarde dhe intervalet e besimit për matjet e zgjedhura klinike

Në mënyrë tipike, një CI llogaritet nga një vlerësim i vëzhguar i një sasie, siç është diferenca (d) midis dy proporcioneve dhe gabimi standard (SE) në vlerësimin e asaj diferencë. CI i përafërt 95% i marrë në këtë mënyrë është d ± 1,96 SE. Formula ndryshon sipas natyrës së masës së rezultatit dhe fushëveprimit të CI. Për shembull, në një provë të rastësishme, të kontrolluar me placebo të një vaksine acellulare pertusis, 72 nga 1670 (4.3%) foshnjat që morën vaksinën zhvilluan kollë të mirë dhe 240 nga 1665 (14.4%) në grupin e kontrollit. Diferenca në përqindje, e njohur si reduktimi absolut i rrezikut, është 10.1%. SE e kësaj diferencë është 0.99%. Prandaj, CI 95% është 10,1% + 1,96 x 0,99%, d.m.th. nga 8.2 në 12.0.

Pavarësisht qasjeve të tyre të ndryshme filozofike, CI dhe testet e rëndësisë statistikore janë të lidhura ngushtë matematikisht.

Kështu, vlera P është "e rëndësishme", d.m.th. R<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

Pasiguria (pasaktësia) e vlerësimit, e shprehur në CI, lidhet kryesisht me rrënjën katrore të madhësisë së kampionit. Mostrat e vogla ofrojnë më pak informacion sesa ato të mëdha, dhe CI është përkatësisht më i gjerë në një kampion më të vogël. Për shembull, një artikull që krahason performancën e tre testeve të përdorura për të diagnostikuar infeksionin Helicobacter pylori raportoi një ndjeshmëri të testit të frymëmarrjes së uresë prej 95.8% (95% CI 75-100). Ndërsa shifra 95.8% është mbresëlënëse, kampioni i vogël i 24 pacientëve të rritur me J. pylori do të thotë se ka pasiguri të konsiderueshme në këtë vlerësim, siç tregohet nga CI i gjerë. Në të vërtetë, kufiri i poshtëm prej 75% është shumë më i ulët se vlerësimi prej 95.8%. Nëse e njëjta ndjeshmëri do të vërehej në një kampion prej 240 personash, 95% CI do të ishte 92.5-98.0, duke dhënë më shumë siguri se testi është shumë i ndjeshëm.

Në provat e kontrolluara të rastësishme (RCT), rezultatet jo të rëndësishme (d.m.th., ato me P >0.05) janë veçanërisht të ndjeshme ndaj keqinterpretimit. CI është veçanërisht i dobishëm këtu sepse tregon se sa të qëndrueshme janë rezultatet me efektin e vërtetë të dobishëm klinik. Për shembull, në një RCT që krahason suturën e kolonit dhe anastomozën bazë, infeksioni i plagës u zhvillua në 10.9% dhe 13.5% të pacientëve, përkatësisht (P = 0.30). 95% CI për këtë diferencë është 2.6% (-2 në +8). Edhe në këtë studim me 652 pacientë, mbetet e mundur që të ketë një ndryshim modest në incidencën e infeksioneve që vijnë nga dy procedurat. Sa më pak kërkime, aq më e madhe është pasiguria. Sung et al. kreu një RCT për të krahasuar infuzionin e oktreotidit me skleroterapinë akute për gjakderdhjen akute variceale në 100 pacientë. Në grupin e oktreotideve, shkalla e kontrollit të gjakderdhjes ishte 84%; në grupin e skleroterapisë - 90%, që jep P = 0.56. Vini re se normat e gjakderdhjes së vazhdueshme janë të ngjashme me ato për infeksionin e plagës në studimin e përmendur. Në këtë rast, megjithatë, 95% CI për diferencën midis ndërhyrjeve është 6% (−7 deri në +19). Ky diapazon është mjaft i gjerë krahasuar me diferencën 5% që do të ishte me interes klinik. Është e qartë se studimi nuk përjashton një ndryshim të rëndësishëm në efektivitet. Prandaj, përfundimi i autorëve "infuzioni oktreotid dhe skleroterapia janë po aq efektive në trajtimin e gjakderdhjes nga venat me variçe" është padyshim i pavlefshëm. Në raste të tilla, ku, si këtu, 95% CI për reduktimin e rrezikut absolut (ARR) përfshin zero, CI për NNT (numri i nevojshëm për t'u trajtuar) është mjaft i vështirë për t'u interpretuar. NPL dhe CI i saj përftohen nga reciprocat e ACP (duke shumëzuar me 100 nëse këto vlera jepen në përqindje). Këtu marrim NPL = 100: 6 = 16.6 me një CI 95% prej -14.3 në 5.3. Siç mund të shihet nga fusnota “d” në tabelë. A1.1, ky CI përfshin vlerat e NPL nga 5.3 në pafundësi dhe NPL nga 14.3 në pafundësi.

CI mund të ndërtohen për vlerësimet ose krahasimet statistikore më të përdorura. Për RCT-të, ai përfshin ndryshimin midis proporcioneve mesatare, rreziqeve relative, raporteve të gjasave dhe NLR-ve. Në mënyrë të ngjashme, CI-të mund të merren për të gjitha vlerësimet kryesore të bëra në studimet e saktësisë së testit diagnostik - ndjeshmëria, specifika, vlera parashikuese pozitive (të gjitha janë përmasa të thjeshta) dhe raportet e gjasave - vlerësimet e marra në meta-analizat dhe krahasimet me kontrollin studimet. Një program kompjuteri personal që mbulon shumë nga këto përdorime të MDI-ve është i disponueshëm me botimin e dytë të Statistikave me besim. Makrot për llogaritjen e CI-ve për proporcione janë në dispozicion pa pagesë për Excel dhe programet statistikore SPSS dhe Minitab në http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/research/statistics/proportions, htm.

Vlerësime të shumta të efektit të trajtimit

Ndërsa ndërtimi i CI-ve është i dëshirueshëm për rezultatet e studimit parësor, ato nuk janë të nevojshme për të gjitha rezultatet. CI ka të bëjë me krahasime të rëndësishme klinikisht. Për shembull, kur krahasohen dy grupe, CI i saktë është ai i ndërtuar për ndryshimin midis grupeve, siç tregohet në shembujt e mësipërm, dhe jo CI që mund të ndërtohet për vlerësimin në secilin grup. Jo vetëm që nuk është e dobishme të sigurohen CI të veçanta për vlerësimet në secilin grup, por ky prezantim mund të jetë mashtrues. Po kështu, qasja e saktë kur krahasohet efektiviteti i trajtimeve në nëngrupe të ndryshme është krahasimi i drejtpërdrejtë i dy (ose më shumë) nëngrupeve. Është e gabuar të supozohet se një trajtim është efektiv vetëm në një nëngrup nëse CI i tij përjashton vlerën që korrespondon me asnjë efekt dhe të tjerët jo. CI-të janë gjithashtu të dobishme kur krahasohen rezultatet midis nëngrupeve të shumta. Në Fig. A 1.1 tregon rrezikun relativ të eklampsisë tek gratë me preeklampsi në nëngrupet e grave nga një RCT e kontrolluar nga placebo e sulfatit të magnezit.

Oriz. A1.2. Komploti pyjor tregon rezultatet e 11 provave klinike të rastësishme të vaksinës së rotavirusit të gjedhit për parandalimin e diarresë në krahasim me placebo. Një interval besimi prej 95% u përdor për të vlerësuar rrezikun relativ të diarresë. Madhësia e katrorit të zi është proporcionale me sasinë e informacionit. Për më tepër, tregohet vlerësimi përmbledhës i efektivitetit të trajtimit dhe intervali i besimit 95% (i treguar nga një diamant). Meta-analiza përdori një model efektesh të rastësishme më të mëdha se disa të parapërcaktuara; për shembull, kjo mund të jetë madhësia e përdorur në llogaritjen e madhësisë së mostrës. Një kriter më i rreptë kërkon që i gjithë diapazoni CI të tregojë përfitim më të madh se një minimum i paracaktuar.

Ne kemi diskutuar tashmë gabimin e marrjes së mungesës së rëndësisë statistikore si një tregues se dy trajtime janë po aq efektive. Është po aq e rëndësishme që të mos barazohet rëndësia statistikore me rëndësinë klinike. Rëndësia klinike mund të supozohet kur rezultati është statistikisht i rëndësishëm dhe madhësia e vlerësimit të efektivitetit të trajtimit

Studimet mund të tregojnë nëse rezultatet janë statistikisht të rëndësishme dhe cilat janë klinikisht të rëndësishme dhe cilat jo. Në Fig. A1.2 tregon rezultatet e katër testeve, për të cilat i gjithë CI<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

Shpesh vlerësuesi duhet të analizojë tregun e pasurive të paluajtshme të segmentit në të cilin ndodhet prona që vlerësohet. Nëse tregu është i zhvilluar, mund të jetë e vështirë të analizohet i gjithë grupi i objekteve të paraqitura, kështu që një mostër e objekteve përdoret për analizë. Ky mostër nuk rezulton gjithmonë homogjen, ndonjëherë është e nevojshme ta pastroni atë nga pikat ekstreme - ofertat shumë të larta ose shumë të ulëta të tregut; Për këtë qëllim përdoret intervali i besimit. Qëllimi i këtij studimi është të kryejë një analizë krahasuese të dy metodave për llogaritjen e intervalit të besueshmërisë dhe të zgjedhë opsionin optimal të llogaritjes kur punohet me mostra të ndryshme në sistemin estimatica.pro.

Intervali i besimit është një interval i vlerave të atributeve të llogaritura në bazë të një kampioni, i cili me një probabilitet të njohur përmban parametrin e vlerësuar të popullatës së përgjithshme.

Qëllimi i llogaritjes së një intervali besimi është të ndërtohet një interval i tillë bazuar në të dhënat e mostrës në mënyrë që të mund të thuhet me një probabilitet të caktuar që vlera e parametrit të vlerësuar është në këtë interval. Me fjalë të tjera, intervali i besimit përmban vlerën e panjohur të vlerës së vlerësuar me një probabilitet të caktuar. Sa më i gjerë të jetë intervali, aq më i lartë është pasaktësia.

Ekzistojnë metoda të ndryshme për përcaktimin e intervalit të besimit. Në këtë artikull do të shqyrtojmë 2 metoda:

• përmes devijimit mesatar dhe standard;
• nëpërmjet vlerës kritike të statistikave t (koeficienti i studentit).

Fazat e analizës krahasuese të metodave të ndryshme për llogaritjen e CI:

1. formojnë një mostër të dhënash;

2. e përpunojmë duke përdorur metoda statistikore: llogarisim vlerën mesatare, mesataren, variancën etj.;

3. Llogaritni intervalin e besimit në dy mënyra;

4. analizoni mostrat e pastruara dhe intervalet e besueshmërisë që rezultojnë.

Faza 1. Kampionimi i të dhënave

Mostra u formua duke përdorur sistemin estimatica.pro. Mostra përfshinte 91 oferta për shitjen e apartamenteve me 1 dhomë në zonën e 3-të të çmimeve me llojin e paraqitjes "Hrushovi".

Tabela 1. Mostra fillestare

Fig.1. Mostra fillestare

Faza 2. Përpunimi i mostrës fillestare

Përpunimi i një kampioni duke përdorur metoda statistikore kërkon llogaritjen e vlerave të mëposhtme:

1. Mesatarja aritmetike

2. Mediana - një numër që karakterizon kampionin: saktësisht gjysma e elementeve të mostrës janë më të mëdha se mesatarja, gjysma tjetër janë më pak se mediana

(për një mostër me një numër tek vlerash)

3. Gama - diferenca midis vlerave maksimale dhe minimale në mostër

4. Varianca - përdoret për të vlerësuar më saktë variacionin e të dhënave

5. Devijimi standard i mostrës (në tekstin e mëtejmë - SD) është treguesi më i zakonshëm i shpërndarjes së vlerave të rregullimit rreth mesatares aritmetike.

6. Koeficienti i variacionit - pasqyron shkallën e shpërndarjes së vlerave të rregullimit

7. koeficienti i lëkundjes - pasqyron luhatjen relative të vlerave ekstreme të çmimeve në mostër rreth mesatares

Tabela 2. Treguesit statistikorë të kampionit origjinal

Koeficienti i variacionit, i cili karakterizon homogjenitetin e të dhënave, është 12.29%, por koeficienti i lëkundjes është shumë i lartë. Kështu, mund të themi se kampioni origjinal nuk është homogjen, kështu që le të kalojmë në llogaritjen e intervalit të besimit.

Faza 3. Llogaritja e intervalit të besimit

Metoda 1. Llogaritja duke përdorur devijimin mesatar dhe standard.

Intervali i besimit përcaktohet si më poshtë: vlera minimale - devijimi standard zbritet nga mesatarja; vlera maksimale - devijimi standard i shtohet mesatares.

Kështu, intervali i besimit (47179 CU; 60689 CU)

Oriz. 2. Vlerat që bien brenda intervalit të besimit 1.

Metoda 2. Ndërtimi i një intervali besimi duke përdorur vlerën kritike të statistikave t (koeficienti studentor)

S.V. Gribovsky në librin e tij "Metodat matematikore për vlerësimin e vlerës së pronës" përshkruan një metodë për llogaritjen e intervalit të besimit përmes koeficientit Student. Gjatë llogaritjes duke përdorur këtë metodë, vlerësuesi duhet të vendosë vetë nivelin e rëndësisë ∝, i cili përcakton probabilitetin me të cilin do të ndërtohet intervali i besimit. Në mënyrë tipike, përdoren nivelet e rëndësisë prej 0.1; 0,05 dhe 0,01. Ato korrespondojnë me probabilitetet e besimit prej 0,9; 0,95 dhe 0,99. Me këtë metodë, vlerat e vërteta të pritshmërisë dhe variancës matematikore supozohen të jenë praktikisht të panjohura (gjë që është pothuajse gjithmonë e vërtetë kur zgjidhen problemet praktike të vlerësimit).

Formula e intervalit të besimit:

n - madhësia e mostrës;

Vlera kritike e statistikave t (Shpërndarja studentore) me një nivel sinjifikance ∝, numri i shkallëve të lirisë n-1, i cili përcaktohet nga tabela të veçanta statistikore ose duke përdorur MS Excel (→"Statistikore"→ STUDIST);

∝ - niveli i rëndësisë, merr ∝=0.01.

Oriz. 2. Vlerat që bien brenda intervalit të besimit 2.

Faza 4. Analiza e metodave të ndryshme për llogaritjen e intervalit të besimit

Dy metoda të llogaritjes së intervalit të besimit - përmes mesatares dhe koeficientit të Studentit - çuan në vlera të ndryshme të intervaleve. Prandaj, morëm dy mostra të ndryshme të pastruara.

Tabela 3. Statistikat për tre mostra.

Bazuar në llogaritjet e kryera, mund të themi se vlerat e intervalit të besimit të marra nga metoda të ndryshme kryqëzohen, kështu që ju mund të përdorni ndonjë nga metodat e llogaritjes sipas gjykimit të vlerësuesit.

Sidoqoftë, ne besojmë se kur punoni në sistemin estimatica.pro, këshillohet të zgjidhni një metodë për llogaritjen e intervalit të besimit në varësi të shkallës së zhvillimit të tregut:

• nëse tregu është i pazhvilluar, përdorni metodën e llogaritjes duke përdorur devijimin mesatar dhe standard, pasi numri i objekteve në pension në këtë rast është i vogël;
• nëse tregu është i zhvilluar, aplikoni llogaritjen përmes vlerës kritike të statistikave t (koeficienti i studentit), pasi është e mundur të formohet një mostër e madhe fillestare.

Në përgatitjen e artikullit janë përdorur këto:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Metodat matematikore për vlerësimin e vlerës së pasurisë. Moskë, 2014

2. Të dhënat e sistemit estimatica.pro

Në nënseksionet e mëparshme kemi shqyrtuar çështjen e vlerësimit të një parametri të panjohur A një numër. Ky quhet një vlerësim "pikë". Në një numër detyrash, jo vetëm që duhet të gjeni për parametrin A vlerë numerike të përshtatshme, por edhe për të vlerësuar saktësinë dhe besueshmërinë e saj. Ju duhet të dini se në çfarë gabimesh mund të çojë zëvendësimi i një parametri A vlerësimi pikësor i tij A dhe me çfarë shkalle besimi mund të presim që këto gabime të mos i kalojnë kufijtë e njohur?

Problemet e këtij lloji janë veçanërisht të rëndësishme me një numër të vogël vëzhgimesh, kur vlerësohet pikë dhe nëështë kryesisht i rastësishëm dhe zëvendësimi i përafërt i a me a mund të çojë në gabime serioze.

Për të dhënë një ide mbi saktësinë dhe besueshmërinë e vlerësimit A,

Në statistikat matematikore përdoren të ashtuquajturat intervale besimi dhe probabilitete besimi.

Le për parametrin A vlerësim i paanshëm i marrë nga përvoja A. Ne duam të vlerësojmë gabimin e mundshëm në këtë rast. Le të caktojmë një probabilitet mjaft të madh p (për shembull, p = 0,9, 0,95 ose 0,99) të tillë që një ngjarje me probabilitet p të mund të konsiderohet praktikisht e besueshme dhe të gjejmë një vlerë s për të cilën

Pastaj diapazoni i vlerave praktikisht të mundshme të gabimit që lind gjatë zëvendësimit A në A, do të jetë ± s; Gabimet e mëdha në vlerë absolute do të shfaqen vetëm me një probabilitet të ulët a = 1 - p. Le ta rishkruajmë (14.3.1) si:

Barazia (14.3.2) do të thotë se me probabilitet p vlera e panjohur e parametrit A bie brenda intervalit

Është e nevojshme të theksohet një rrethanë. Më parë, ne kemi konsideruar në mënyrë të përsëritur probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një interval të caktuar jo të rastësishëm. Këtu situata është ndryshe: madhësia A nuk është i rastësishëm, por intervali / p është i rastësishëm. Pozicioni i tij në boshtin x është i rastësishëm, i përcaktuar nga qendra e tij A; Në përgjithësi, gjatësia e intervalit 2s është gjithashtu e rastësishme, pasi vlera e s llogaritet, si rregull, nga të dhënat eksperimentale. Prandaj, në këtë rast, do të ishte më mirë të interpretohej vlera p jo si probabiliteti i "goditjes" së pikës. A në intervalin / p, dhe si probabiliteti që një interval i rastësishëm / p do të mbulojë pikën A(Fig. 14.3.1).

Oriz. 14.3.1

Probabiliteti p zakonisht quhet probabiliteti i besimit, dhe intervali / p - intervali i besimit. Kufijtë e intervalit Nëse. a x = a- s dhe a 2 = a + dhe quhen kufijtë e besimit.

Le t'i japim një interpretim tjetër konceptit të një intervali besimi: ai mund të konsiderohet si një interval i vlerave të parametrave. A, të pajtueshme me të dhënat eksperimentale dhe jo në kundërshtim me to. Në të vërtetë, nëse pranojmë të konsiderojmë një ngjarje me probabilitet a = 1-p praktikisht të pamundur, atëherë ato vlera të parametrit a për të cilat a - a> s duhet të njihen si të dhëna eksperimentale kontradiktore, dhe ato për të cilat |a - A a t na 2 .

Le për parametrin A ka një vlerësim të paanshëm A. Nëse do të dinim ligjin e shpërndarjes së sasisë A, detyra për të gjetur një interval besimi do të ishte shumë e thjeshtë: do të mjaftonte të gjesh një vlerë s për të cilën

Vështirësia është se ligji i shpërndarjes së vlerësimeve A varet nga ligji i shpërndarjes së sasisë X dhe, për rrjedhojë, në parametrat e tij të panjohur (në veçanti, në vetë parametrin A).

Për të kapërcyer këtë vështirësi, mund të përdorni teknikën e mëposhtme përafërsisht të përafërt: zëvendësoni parametrat e panjohur në shprehjen për s me vlerësimet e tyre të pikës. Me një numër relativisht të madh eksperimentesh n(rreth 20...30) kjo teknikë zakonisht jep rezultate të kënaqshme për sa i përket saktësisë.

Si shembull, merrni parasysh problemin e një intervali besimi për pritshmërinë matematikore.

Le të prodhohet n X, karakteristikat e të cilit janë pritshmëria matematikore T dhe variancë D- e panjohur. Për këto parametra janë marrë vlerësimet e mëposhtme:

Kërkohet të ndërtohet një interval besimi / p që korrespondon me probabilitetin e besimit p për pritshmërinë matematikore T sasive X.

Gjatë zgjidhjes së këtij problemi do të përdorim faktin se sasia T paraqet shumën n variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara identike Xh dhe sipas teoremës së kufirit qendror, për një mjaftueshëm të madh n ligji i shpërndarjes së tij është afër normales. Në praktikë, edhe me një numër relativisht të vogël termash (rreth 10...20), ligji i shpërndarjes së shumës mund të konsiderohet përafërsisht normal. Ne do të supozojmë se vlera T shpërndahet sipas ligjit normal. Karakteristikat e këtij ligji - pritshmëria matematikore dhe varianca - janë përkatësisht të barabarta T Dhe

(shih kapitullin 13 nënseksionin 13.3). Le të supozojmë se vlera D ne e dimë dhe do të gjejmë një vlerë Ep për të cilën

Duke përdorur formulën (6.3.5) të kapitullit 6, ne shprehim probabilitetin në anën e majtë të (14.3.5) përmes funksionit të shpërndarjes normale

ku është devijimi standard i vlerësimit T.

Nga barazimi.

gjeni vlerën e Sp:

ku arg Ф* (х) është funksioni i anasjelltë i Ф* (X), ato. një vlerë e tillë e argumentit për të cilin funksioni i shpërndarjes normale është i barabartë me X.

Dispersion D, përmes të cilit shprehet sasia A 1P, ne nuk e dimë saktësisht; si vlerë e përafërt e tij, mund të përdorni vlerësimin D(14.3.4) dhe vendosni përafërsisht:

Kështu, problemi i ndërtimit të një intervali besimi është zgjidhur afërsisht, i cili është i barabartë me:

ku gp përcaktohet me formulën (14.3.7).

Për të shmangur interpolimin e kundërt në tabelat e funksionit Ф* (l) kur llogaritet s p, është e përshtatshme të përpilohet një tabelë e veçantë (Tabela 14.3.1), e cila jep vlerat e sasisë

në varësi të r. Vlera (p përcakton për ligjin normal numrin e devijimeve standarde që duhet të vizatohen djathtas dhe majtas nga qendra e shpërndarjes në mënyrë që probabiliteti për të hyrë në zonën që rezulton të jetë i barabartë me p.

Përmes vlerës 7 p, intervali i besimit shprehet si:

Tabela 14.3.1

Shembulli 1. Mbi sasinë janë kryer 20 eksperimente X; rezultatet janë paraqitur në tabelë. 14.3.2.

Tabela 14.3.2

Kërkohet të gjendet një vlerësim nga për pritshmërinë matematikore të sasisë X dhe ndërtoni një interval besimi që korrespondon me probabilitetin e besimit p = 0.8.

Zgjidhje. Ne kemi:

Duke zgjedhur l: = 10 si pikë referimi, duke përdorur formulën e tretë (14.2.14) gjejmë vlerësimin e paanshëm D :

Sipas tabelës 14.3.1 gjejmë

Kufijtë e besimit:

Intervali i besimit:

Vlerat e parametrave T, që shtrihen në këtë interval janë në përputhje me të dhënat eksperimentale të dhëna në tabelë. 14.3.2.

Një interval besimi për variancën mund të ndërtohet në mënyrë të ngjashme.

Le të prodhohet n eksperimente të pavarura mbi një ndryshore të rastësishme X me parametra të panjohur si për A ashtu edhe për dispersion D u mor një vlerësim i paanshëm:

Kërkohet të ndërtohet afërsisht një interval besimi për variancën.

Nga formula (14.3.11) shihet qartë se sasia D përfaqëson

shuma n variablat e rastësishëm të formës . Këto vlera nuk janë

të pavarura, pasi secila prej tyre përfshin sasinë T, varur nga të gjithë të tjerët. Megjithatë, mund të tregohet se me rritjen n edhe ligji i shpërndarjes së shumës së tyre i afrohet normales. Pothuajse në n= 20...30 tashmë mund të konsiderohet normale.

Le të supozojmë se është kështu dhe të gjejmë karakteristikat e këtij ligji: pritjet matematikore dhe dispersionin. Që nga vlerësimi D- i paanshëm, pra M[D] = D.

Llogaritja e variancës D D shoqërohet me llogaritje relativisht komplekse, kështu që ne e paraqesim shprehjen e saj pa derivim:

ku q 4 është momenti i katërt qendror i madhësisë X.

Për të përdorur këtë shprehje, duhet të zëvendësoni vlerat \u003d 4 dhe D(të paktën të afërmit). Në vend të D ju mund të përdorni vlerësimin e tij D. Në parim, momenti i katërt qendror mund të zëvendësohet gjithashtu nga një vlerësim, për shembull, një vlerë e formës:

por një zëvendësim i tillë do të japë saktësi jashtëzakonisht të ulët, pasi në përgjithësi, me një numër të kufizuar eksperimentesh, momentet e rendit të lartë përcaktohen me gabime të mëdha. Mirëpo, në praktikë shpesh ndodh që lloji i ligjit të shpërndarjes së sasisë X i njohur paraprakisht: vetëm parametrat e tij janë të panjohur. Pastaj mund të përpiqeni të shprehni μ 4 deri D.

Le të marrim rastin më të zakonshëm, kur vlera X shpërndahet sipas ligjit normal. Pastaj momenti i katërt qendror i tij shprehet në terma të dispersionit (shih Kapitullin 6, nënseksionin 6.2);

dhe formula (14.3.12) jep ose

Zëvendësimi i të panjohurës në (14.3.14) D vlerësimin e tij D, marrim: nga ku

Momenti μ 4 mund të shprehet përmes D edhe në disa raste të tjera, kur shpërndarja e vlerës X nuk është normale, por dihet pamja e saj. Për shembull, për ligjin e densitetit uniform (shih Kapitullin 5) kemi:

ku (a, P) është intervali në të cilin specifikohet ligji.

Prandaj,

Duke përdorur formulën (14.3.12) marrim: ku gjejmë përafërsisht

Në rastet kur lloji i ligjit të shpërndarjes për sasinë 26 është i panjohur, kur bëhet një vlerësim i përafërt i vlerës a/, rekomandohet të përdoret formula (14.3.16), përveç nëse ka arsye të veçanta për të besuar se ky ligj është shumë i ndryshëm nga ai normal (ka një kurtozë të dukshme pozitive ose negative) .

Nëse vlera e përafërt a/) merret në një mënyrë ose në një tjetër, atëherë mund të ndërtojmë një interval besimi për variancën në të njëjtën mënyrë siç e ndërtuam atë për pritshmërinë matematikore:

ku sipas tabelës gjendet vlera në varësi të probabilitetit të dhënë p. 14.3.1.

Shembulli 2. Gjeni afërsisht 80% interval besimi për variancën e një ndryshoreje të rastësishme X në kushtet e shembullit 1, nëse dihet se vlera X shpërndahet sipas një ligji afër normales.

Zgjidhje. Vlera mbetet e njëjtë si në tabelë. 14.3.1:

Sipas formulës (14.3.16)

Duke përdorur formulën (14.3.18) gjejmë intervalin e besimit:

Gama përkatëse e vlerave të devijimit standard: (0.21; 0.29).

14.4. Metodat e sakta për ndërtimin e intervaleve të besimit për parametrat e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndara sipas një ligji normal

Në nënseksionin e mëparshëm, ne shqyrtuam metoda afërsisht të përafërta për ndërtimin e intervaleve të besimit për pritjet dhe variancën matematikore. Këtu do të japim një ide të metodave të sakta për të zgjidhur të njëjtin problem. Theksojmë se për të gjetur me saktësi intervalet e besimit është absolutisht e nevojshme të dihet paraprakisht forma e ligjit të shpërndarjes së sasisë. X, kurse për aplikimin e metodave të përafërta kjo nuk është e nevojshme.

Ideja e metodave të sakta për ndërtimin e intervaleve të besimit zbret në vijim. Çdo interval besimi gjendet nga një kusht që shpreh probabilitetin e përmbushjes së pabarazive të caktuara, të cilat përfshijnë vlerësimin që na intereson A. Ligji i shpërndarjes së vlerësimit A në rastin e përgjithshëm varet nga parametra të panjohur të sasisë X. Megjithatë, ndonjëherë është e mundur të kalohet në pabarazi nga një ndryshore e rastësishme A te disa funksione të tjera të vlerave të vëzhguara X p X 2, ..., X f. ligji i shpërndarjes së të cilit nuk varet nga parametra të panjohur, por varet vetëm nga numri i eksperimenteve dhe nga lloji i ligjit të shpërndarjes së sasisë. X. Këto lloj variablash të rastësishëm luajnë një rol të rëndësishëm në statistikat matematikore; ato janë studiuar më hollësisht për rastin e shpërndarjes normale të sasisë X.

Për shembull, është vërtetuar se me një shpërndarje normale të vlerës X ndryshore e rastësishme

i bindet të ashtuquajturit Ligji i shpërndarjes së studentëve Me n- 1 shkallë lirie; dendësia e këtij ligji ka formën

ku G(x) është funksioni i njohur i gama:

Gjithashtu është vërtetuar se ndryshorja e rastit

ka një "shpërndarje %2" me n- 1 shkallë lirie (shih Kapitullin 7), dendësia e së cilës shprehet me formulën

Pa u ndalur në derivacionet e shpërndarjeve (14.4.2) dhe (14.4.4), ne do të tregojmë se si ato mund të zbatohen kur ndërtojmë intervale besimi për parametrat ty D.

Le të prodhohet n eksperimente të pavarura mbi një ndryshore të rastësishme X, të shpërndara normalisht me parametra të panjohur T&O. Për këto parametra janë marrë vlerësime

Kërkohet të ndërtohen intervale besimi për të dy parametrat që korrespondojnë me probabilitetin e besimit p.

Le të ndërtojmë së pari një interval besimi për pritshmërinë matematikore. Është e natyrshme që ky interval të merret simetrik në lidhje me T; le të shënojmë s p gjysmën e gjatësisë së intervalit. Vlera s p duhet të zgjidhet në mënyrë që kushti të plotësohet

Le të përpiqemi të lëvizim në anën e majtë të barazisë (14.4.5) nga ndryshorja e rastësishme T në një ndryshore të rastësishme T, shpërndahet sipas ligjit të Studentit. Për ta bërë këtë, shumëzoni të dyja anët e pabarazisë |m-w?|

me një vlerë pozitive: ose, duke përdorur shënimin (14.4.1),

Le të gjejmë një numër / p të tillë që vlera / p të mund të gjendet nga kushti

Nga formula (14.4.2) është e qartë se (1) është një funksion çift, prandaj (14.4.8) jep

Barazia (14.4.9) përcakton vlerën / p në varësi të p. Nëse keni në dispozicion një tabelë vlerash integrale

atëherë vlera e /p mund të gjendet me interpolim të kundërt në tabelë. Sidoqoftë, është më e përshtatshme të hartoni një tabelë të vlerave / p paraprakisht. Një tabelë e tillë është dhënë në Shtojcën (Tabela 5). Kjo tabelë tregon vlerat në varësi të nivelit të besimit p dhe numrit të shkallëve të lirisë n- 1. Duke përcaktuar / p nga tabela. 5 dhe duke supozuar

do të gjejmë gjysmën e gjerësisë së intervalit të besimit / p dhe vetë intervalin

Shembulli 1. Janë kryer 5 eksperimente të pavarura mbi një variabël të rastësishëm X, të shpërndara normalisht me parametra të panjohur T dhe o. Rezultatet e eksperimenteve janë dhënë në tabelë. 14.4.1.

Tabela 14.4.1

Gjeni vlerësimin T për pritshmërinë matematikore dhe ndërtoni një interval besimi 90% / p për të (d.m.th., intervali që korrespondon me probabilitetin e besimit p = 0,9).

Zgjidhje. Ne kemi:

Sipas tabelës 5 të aplikimit për p - 1 = 4 dhe p = 0,9 gjejmë ku

Intervali i besimit do të jetë

Shembulli 2. Për kushtet e shembullit 1 të nënseksionit 14.3, duke supozuar vlerën X të shpërndara normalisht, gjeni intervalin e saktë të besimit.

Zgjidhje. Sipas tabelës 5 të shtojcës gjejmë kur p - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; nga këtu

Duke krahasuar me zgjidhjen e shembullit 1 të nënseksionit 14.3 (e p = 0.072), jemi të bindur se mospërputhja është shumë e parëndësishme. Nëse ruajmë saktësinë në shifrën e dytë dhjetore, atëherë intervalet e besueshmërisë të gjetura nga metodat e sakta dhe të përafërta përkojnë:

Le të kalojmë në ndërtimin e një intervali besimi për variancën. Merrni parasysh vlerësuesin e paanshëm të variancës

dhe shprehni ndryshoren e rastit D përmes madhësisë V(14.4.3), me shpërndarje x 2 (14.4.4):

Njohja e ligjit të shpërndarjes së sasisë V, mund të gjesh intervalin /(1) në të cilin bie me një probabilitet të caktuar p.

Ligji i shpërndarjes kn_x(v) magnituda I 7 ka formën e treguar në Fig. 14.4.1.

Oriz. 14.4.1

Shtrohet pyetja: si të zgjidhni intervalin / p? Nëse ligji i shpërndarjes së madhësisë V ishte simetrik (si ligji normal ose shpërndarja e Studentit), do të ishte e natyrshme të merrej intervali /p simetrik në lidhje me pritshmërinë matematikore. Në këtë rast ligji k p_x (v) asimetrike. Le të biem dakord të zgjedhim intervalin /p në mënyrë që probabiliteti i vlerës të jetë V përtej intervalit djathtas dhe majtas (zonat me hije në Fig. 14.4.1) ishin të njëjta dhe të barabarta

Për të ndërtuar një interval /p me këtë veti, ne përdorim tabelën. 4 aplikacione: përmban numra y) të tilla që

për vlerën V, që ka x 2 -shpërndarje me r shkallë lirie. Në rastin tonë r = n- 1. Le të rregullojmë r = n- 1 dhe gjeni në rreshtin përkatës të tabelës. 4 dy kuptime x 2 - njëra që i korrespondon probabilitetit tjetra - probabilitet Le t'i shënojmë këto

vlerat në 2 Dhe xl? Intervali ka y 2, me të majtën tuaj, dhe y~ fundi i djathtë.

Tani le të gjejmë nga intervali / p intervalin e dëshiruar të besimit /|, për shpërndarjen me kufijtë D, dhe D2, që mbulon pikën D me probabilitet p:

Le të ndërtojmë një interval / (, = (?> ь А) që mbulon pikën D nëse dhe vetëm nëse vlera V bie në intervalin /r. Le të tregojmë se intervali

plotëson këtë kusht. Në të vërtetë, pabarazitë janë ekuivalente me pabarazitë

dhe këto pabarazi plotësohen me probabilitetin p. Kështu, intervali i besimit për variancën është gjetur dhe është shprehur me formulën (14.4.13).

Shembulli 3. Gjeni intervalin e besimit për variancën sipas kushteve të shembullit 2 të nënseksionit 14.3, nëse dihet se vlera X shpërndahet normalisht.

Zgjidhje. ne kemi . Sipas tabelës 4 të shtojcës

gjejmë në r = n - 1 = 19

Duke përdorur formulën (14.4.13) gjejmë intervalin e besimit për variancën

Intervali përkatës për devijimin standard është (0.21; 0.32). Ky interval vetëm pak e tejkalon intervalin (0.21; 0.29) të marrë në shembullin 2 të nënseksionit 14.3 duke përdorur metodën e përafërt.

• Figura 14.3.1 konsideron një interval besimi simetrik rreth a. Në përgjithësi, siç do ta shohim më vonë, kjo nuk është e nevojshme.