Piramida e gdhendur në një kon
Një piramidë quhet e gdhendur në një kon nëse baza e saj është e gdhendur në bazën e konit dhe maja e saj përkon me majën e konit. Në këtë rast, koni thuhet se është i rrethuar rreth piramidës.
Një kon mund të përshkruhet rreth një piramide nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së saj.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigjet dhe zgjidhjet shfaqen pasi klikoni miun
Ushtrimi 1
Gjeni anën e bazës së një piramide të rregullt trekëndore të gdhendur në një kon, rrezja e bazës së së cilës është 1.
Ushtrimi 2
Gjeni anën e bazës së një piramide të rregullt katërkëndëshe të gdhendur në një kon, rrezja e bazës së së cilës është 1.
Ushtrimi 3
Gjeni anën e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore të gdhendur në një kon, rrezja bazë e së cilës është 1.
Piramida e rrethuar rreth një koni
Një piramidë thuhet se është e rrethuar rreth një koni nëse baza e saj është e rrethuar rreth bazës së konit dhe maja e saj përkon me majën e konit. Në këtë rast, koni thuhet se është i gdhendur në piramidë.
Një kon mund të futet në një piramidë nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të brendashkruhet në bazën e saj.
Ushtrimi 1
Gjeni anën e bazës së një piramide të rregullt trekëndore të rrethuar rreth një kon, rrezja e bazës së të cilit është 1.
Ushtrimi 2
Gjeni anën e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore të rrethuar rreth një kon, rrezja e bazës së të cilit është 1.
Ushtrimi 3
Gjeni anën e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore të rrethuar rreth një kon, rrezja e bazës së të cilit është 1.
Sferë e gdhendur në një kon
Një sferë thuhet se është e gdhendur në një kon nëse prek bazën dhe sipërfaqen anësore të saj (prek çdo gjenerator). Në këtë rast, koni thuhet se është i rrethuar rreth sferës.
Një sferë mund të futet në çdo kon (drejt, rrethor). Qendra e tij është në lartësinë e konit, dhe rrezja e saj është e barabartë me rrezen e rrethit të gdhendur në trekëndësh, i cili është seksioni boshtor i konit.
Kujtojmë se rrezja r rrethi i brendashkruar në një trekëndësh gjendet me formulën
Ku S- katror, fq– gjysmëperimetri i një trekëndëshi.
Ushtrimi 1
Një sferë është e gdhendur në një kon, rrezja bazë e të cilit është 1 dhe gjenerata e të cilit është 2. Gjeni rrezen e saj.
Zgjidhje. Trekëndëshi S.A.B. barabrinjës. Lartësia SH e barabartë me Sipërfaqja S e barabartë me gjysmëperimetrin fqështë e barabartë me 3. Sipas formulës r = S/p marrim
Ushtrimi 2
Një sferë me rreze 1 është e gdhendur në një kon, rrezja e bazës së të cilit është 2. Gjeni lartësinë e konit.
Zgjidhje. Le të shënojmë h lartësia SH kon Nga formula r = S/p ne kemi:
Ku r = 1, a=FG= 4, p =
Zgjidhja e ekuacionit
Ushtrimi 3
Rrezja e bazës së konit është 1. Gjenerata është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 45 gradë. Gjeni rrezen e sferës së brendashkruar.
Zgjidhje. Lartësia SH koni është i barabartë me 1. Gjenerator.
Gjysemperimetri fq barazohet
Sipas formulës r = S/p, kemi
Ushtrimi 4
Lartësia e konit është 8, duke formuar 10. Gjeni rrezen e sferës së brendashkruar.
Zgjidhje. Rrezja e bazës së konit është 6. Sipërfaqja e trekëndëshit SFGështë e barabartë me 48, gjysmëperimetri 16. Sipas formulës r = S/p ne kemi r = 3.
Përgjigje: r = 3.
Ushtrimi 5
A është e mundur të vendosni një sferë në një kon të prirur?
Përgjigje: Jo.
Sferë e gdhendur në një kon të cunguar
Një sferë thuhet se është e gdhendur në një kon të cunguar nëse prek bazën dhe sipërfaqen anësore të saj (prek çdo gjenerator). Në këtë rast, koni i cunguar thuhet se është i rrethuar rreth sferës.
Një sferë mund të futet në një kon të cunguar nëse një rreth mund të futet në seksionin e tij boshtor. Rrezja e këtij rrethi do të jetë e barabartë me rrezen e sferës së brendashkruar.
Ushtrimi 1
Një sferë është e gdhendur në një kon të cunguar, rrezet bazë të të cilit janë 2 dhe 1. Gjeni rrezen e sferës dhe lartësinë e konit të cunguar.
Zgjidhje. Ne kemi: A 1 B=A 1 O 1 = 2, A 2 B=A 2 O 2 = 1. Prandaj, A 1 A 2 = 3 , A 1 C= 1.
Kështu,
Ushtrimi 2
Një sferë me rreze 1 është brendashkruar në një kon të cunguar, rrezja e njërës bazë të të cilit është 2. Gjeni rrezen e bazës së dytë.
Zgjidhje. Le A 1 O 1 = 2. Le të shënojmë r = A 2 O 2 . Ne kemi: A 1 A 2 = 2+ r , A 1 C= 2 – r. Sipas teoremës së Pitagorës, ekziston një barazi nga e cila rezulton se barazia është e plotësuar Zgjidhja e ekuacionit që rezulton për r, gjejmë
Ushtrimi 3
Në një kon të cunguar, rrezja e bazës më të madhe është 2, gjenerata është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 60 gradë. Gjeni rrezen e sferës së brendashkruar.
Zgjidhje. Vini re se pjesa boshtore e konit nga e cila është marrë koni i cunguar është një trekëndësh barabrinjës me brinjë 2. Rrezja r e një sfere të brendashkruar në një kon të cunguar është e barabartë me rrezen e një rrethi të brendashkruar në këtë trekëndësh barabrinjës, d.m.th.
Ushtrimi 4
Gjenerata e konit të cunguar është 2, zona e seksionit boshtor është 3. Gjeni rrezen e sferës së gdhendur.
Zgjidhje. Le të përdorim formulën r = S/p, Ku S- zona e seksionit boshtor, fq – gjysmëperimetri Në rastin tonë S= 3. Për të gjetur gjysmëperimetrin, kujtoni se për një katërkëndësh të rrethuar rreth një rrethi, shumat e brinjëve të kundërta janë të barabarta. Kjo do të thotë se gjysmëperimetri është i barabartë me dyfishin e gjeneratorit të cilindrit, d.m.th. p = 4. Prandaj, r = ¾.
Ushtrimi 5
A është e mundur të vendosni një sferë në një kon të prirur të cunguar?
Përgjigje: Jo.
Sfera e rrethuar rreth një koni
Një sferë thuhet se është e rrethuar rreth një koni nëse kulmi dhe perimetri i bazës së konit shtrihen mbi sferën. Në këtë rast, koni thuhet se është i gdhendur në sferë.
Rreth çdo kon (drejt, rrethor) mund të përshkruani një sferë. Qendra e tij është në lartësinë e konit dhe rrezja e tij është e barabartë me rrezen e rrethit të përshkruar rreth trekëndëshit, i cili është seksioni boshtor i konit.
Kujtojmë se rrezja R rrethi i rrethuar i një trekëndëshi gjendet me formulën
Ku S- katror, a , b , c- brinjët e trekëndëshit.
Ushtrimi 1
Një sferë është e rrethuar rreth një koni, rrezja bazë e të cilit është 1 dhe gjenerata është 2. Gjeni rrezen e saj.
Zgjidhje. Trekëndëshi S.A.B. barabrinjës me brinjën 2. Lartësia SH e barabartë me Sipërfaqja S e barabartë me Sipas formulës R = abc /4 S marrim
Ushtrimi 2
Një sferë me rreze 5 është e rrethuar rreth një kon rrezja e bazës së të cilit është 4. Gjeni lartësinë h kon
Zgjidhje. ne kemi OB = 5 , HB = 4. Prandaj, OH = 3. Duke pasur parasysh se SO=OB= 5, marrim h = 8.
Përgjigje: h = 8.
Ushtrimi 3
Rrezja e bazës së konit është 1. Gjenerata është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 45 gradë. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar.
Zgjidhje. Trekëndëshi S.A.B.– drejtkëndëshe, dykëndëshe. Prandaj, rrezja R e sferës së rrethuar është e barabartë me rrezen e bazës së cilindrit, d.m.th. R= 1.
Përgjigje: R= 1.
Ushtrimi 4
Lartësia e konit është 8, duke formuar 10. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar.
Zgjidhje. Në një trekëndësh S.A.B. ne kemi: SA=SB= 10, SH= 8. Sipas teoremës së Pitagorës, AH = 6 dhe për këtë arsye S= 48. Duke përdorur formulën R = abc /4 S, marrim
Ushtrimi 5
A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një koni të prirur?
Përgjigje: Po.
Sfera e rrethuar rreth një koni të cunguar
Një sferë thuhet se është e rrethuar rreth një koni të cunguar nëse perimetri dhe bazat e konit të cunguar shtrihen në sferë. Në këtë rast, ngarkesa e cunguar quhet e shkruar në sferë.
Një sferë mund të përshkruhet rreth një koni të cunguar, nëse një rreth mund të përshkruhet rreth seksionit të tij boshtor. Rrezja e këtij rrethi do të jetë e barabartë me rrezen e sferës së rrethuar.
Ushtrimi 1
Një sferë përshkruhet rreth një koni të cunguar, rrezet e të cilit janë të barabarta me 2 dhe 1, dhe gjenerata e së cilës është e barabartë me 2. Gjeni rrezen e tij.
Zgjidhje. Vini re se A 1 O 1 B 2 O 2 dhe O 1 B 1 B 2 A 2 – rombet. Trekëndëshat A 1 O 1 A 2 , O 1 A 2 B 2 , O 1 B 1 B 2 - barabrinjës dhe, për rrjedhojë, A 1 B 1 - diametri. Prandaj, R= 2.
Përgjigje: R= 2,
Ushtrimi 2
Rrezja e bazës më të vogël të konit të cunguar është 1, gjenerata është 2 dhe bën një kënd prej 45° me rrafshin e bazës tjetër. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar.
Zgjidhje. ne kemi A 2 O 2 = 1, A 1 A 2 = 2, O 1 O 2 = , O.O. 1 = O 1 C= 1. Prandaj, O.O. 2 = 1 + dhe, për rrjedhojë,
Ushtrimi 3
Rrezja e njërës bazë të konit të cunguar është 4, lartësia është 7, rrezja e sferës së rrethuar është 5. Gjeni rrezen e bazës së dytë të konit të cunguar.
Zgjidhje. ne kemi O.O. 1 = 3 , O.O. 2 = 4 dhe për këtë arsye O 2 A 2 = 3.
Ushtrimi 4
Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një koni të cunguar, rrezet bazë të të cilit janë 2 dhe 4 dhe lartësia e të cilit është 5.
Zgjidhje. Le të shënojmë R rrezja e sferës së kufizuar. Pastaj
Duke pasur parasysh atë O 1 O 2 = 6, kemi barazi
Duke e zgjidhur atë relativisht R, gjejmë
Ushtrimi 5
A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një koni të pjerrët të cunguar?
Një piramidë e gdhendur në një kon Një piramidë quhet e brendashkruar në një kon nëse baza e saj është e gdhendur në bazën e konit dhe maja e saj përkon me majën e konit. Në këtë rast, koni thuhet se është i rrethuar rreth piramidës. Një piramidë e gdhendur në një kon Një kon mund të përshkruhet rreth një piramide nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së saj. Ushtrimi 1 Gjeni faqen e bazës së një piramide të rregullt trekëndore të gdhendur në një kon, rrezja e bazës së të cilit është e barabartë me 1. Përgjigjuni: 3. Ushtrimi 2 Gjeni faqen e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore të gdhendur në një kon, diametri i bazës së së cilës është e barabartë me 1. Përgjigje: 2 2. Ushtrimi 3 Gjeni anën e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore të gdhendur në një kon, rrezja e bazës së të cilit është 1. Përgjigja: 1. Një piramidë e rrethuar rreth një kon Një piramidë thuhet se është e rrethuar rreth një koni nëse baza e saj është e rrethuar rreth baza e konit dhe maja e tij përkon me majën e konit. Në këtë rast, koni thuhet se është i gdhendur në piramidë. Një piramidë e rrethuar rreth një koni Një kon mund të futet në një piramidë nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të brendashkruhet në bazën e saj. Ushtrimi 1 Gjeni brinjën e bazës së një piramide të rregullt trekëndore të rrethuar rreth një kon, rrezja e bazës së të cilit është e barabartë me 1. Përgjigja: 2 3. Ushtrimi 2 Gjeni faqen e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore të rrethuar rreth një kon, rrezja bazë e së cilës është 1. Përgjigja: 2. Ushtrimi 3 Gjeni faqen e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore të rrethuar rreth një koni, rrezja e bazës së të cilit është 1. Përgjigja: 2 3 3. Një sferë e gdhendur në një kon Një sferë quhet e brendashkruar në një kon nëse prek bazën dhe sipërfaqen e saj anësore (prek çdo gjenerator). Në këtë rast, koni thuhet se është i rrethuar rreth sferës. Një sferë e gdhendur në një kon Një sferë quhet e brendashkruar në një kon nëse prek bazën dhe sipërfaqen e saj anësore (prek secilën gjeneratë). Në këtë rast, koni thuhet se është i kufizuar rreth sferës. Një sferë mund të futet në çdo kon (drejt, rrethor). Qendra e tij është në lartësinë e konit, dhe rrezja e saj është e barabartë me rrezen e rrethit të gdhendur në trekëndësh, i cili është seksioni boshtor i konit. Kujtojmë se rrezja r e një rrethi të brendashkruar në një trekëndësh gjendet S me formulën r, p ku S është sipërfaqja, p është gjysmëperimetri i trekëndëshit. Ushtrimi 1 Një sferë futet në një kon, rrezja bazë e të cilit është 1 dhe gjenerata e saj është 2. Gjeni rrezen e saj. Zgjidhje. Trekëndëshi SAB është barabrinjës. Lartësia e SH është 3. Sipërfaqja S është e barabartë me Gjysmëperimetri p është i barabartë me 3. Duke përdorur formulën r = S/p marrim r 3 3 . 3. Ushtrimi 2 Një sferë me rreze 1 brendashkrohet në një kon, rrezja e bazës së të cilit është 2. Gjeni lartësinë e konit. Zgjidhje. Le të tregojmë h lartësinë SH të konit. Nga formula r = S/p kemi: 2 rp h, a ku r = 1, a = FG = 4, p = 2 Duke zgjidhur ekuacionin gjejmë h 8 3 2h 2. 4 h. 2 4 h, 2 Ushtrimi 3 Rrezja e bazës së konit është e barabartë me 1. Gjenerata është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 45°. Gjeni rrezen e sferës së brendashkruar. Zgjidhje. Lartësia SH e konit është e barabartë me 1. Gjenerator.2 Gjysmëperimetri p është i barabartë me 1 Me formulën r = S/p kemi r 1 1 Përgjigje: r 2 1. 2 2 1. 2. Ushtrim 4 Lartësia e konit është 8, duke gjeneruar 10. Gjeni rrezen e sferave të brendashkruara. Zgjidhje. Rrezja e bazës së konit është 6. Sipërfaqja e trekëndëshit SFG është 48, gjysmëperimetri është 16. Duke përdorur formulën r = S/p, kemi r = 3. Përgjigje: r = 3. Ushtrimi 5 A është e mundur të futet një sferë në një kon të prirur? Përgjigje: Jo. Një sferë e gdhendur në një kon të cunguar Një sferë quhet e gdhendur në një kon të cunguar nëse prek bazat dhe sipërfaqen anësore të saj (prek çdo gjenerator). Në këtë rast, koni i cunguar thuhet se është i rrethuar rreth sferës. Një sferë mund të futet në një kon të cunguar nëse një rreth mund të futet në seksionin e tij boshtor. Rrezja e këtij rrethi do të jetë e barabartë me rrezen e sferës së brendashkruar. Ushtrimi 1 Një sferë futet në një kon të cunguar, rrezet bazë të të cilit janë 2 dhe 1. Gjeni rrezen e sferës dhe lartësinë e konit të cunguar. Zgjidhje. Kemi: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. Prandaj, A1A2 = 3, A1C = 1. O 1O 2 A 2 C A1 A 2 A1 C 2 Kështu, r 2, h 2 2. 2 2 2. Ushtrimi 2 Një sferë me rreze 1 futet në një kon të cunguar, rrezja e njërës bazë është 2. Gjeni rrezen e bazës së dytë. Zgjidhje. Le të shënojmë A1O1= 2. Të shënojmë r = A2O2. Kemi: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. Sipas teoremës së Pitagorës, vlen barazia O 1 O 2 2 A1 A 2 2 A1 C 2, nga e cila rezulton se vlen 2 2 4 (r 2) (2 r). Duke zgjidhur barazinë e ekuacionit që rezulton për r, gjejmë 1 r. 2 Ushtrimi 3 Në një kon të cunguar, rrezja e bazës më të madhe është 2, gjenerata është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 60 °. Gjeni rrezen e sferës së brendashkruar. Zgjidhje. Vini re se seksioni boshtor i konit nga i cili fitohet koni i cunguar është një trekëndësh barabrinjës me brinjë 2. Rrezja r e sferës së brendashkruar në konin e cunguar është e barabartë me rrezen e rrethit të brendashkruar në këtë trekëndësh barabrinjës, d.m.th. 3r. 3 Ushtrimi 4 Gjenerata e konit të cunguar është 2, sipërfaqja e seksionit boshtor është 3. Gjeni rrezen e sferës së brendashkruar. Zgjidhje. Le të përdorim formulën r = S/p, ku S është zona e prerjes kryq boshtore, p është gjysmëperimetri. Në rastin tonë, S = 3. Për të gjetur gjysmëperimetrin, kujtoni se për një katërkëndësh të rrethuar rreth një rrethi, shumat e brinjëve të kundërta janë të barabarta. Kjo do të thotë se gjysmëperimetri është i barabartë me dyfishin e gjeneratorit të cilindrit, d.m.th. p = 4. Prandaj, r = ¾. Përgjigje: r 3 4 . Ushtrimi 5 A është e mundur të vendoset një sferë në një kon të zhdrejtë të cunguar? Përgjigje: Jo. Një sferë e rrethuar rreth një kon Një sferë thuhet se është e rrethuar rreth një kon nëse kulmi dhe perimetri i bazës së konit shtrihen mbi sferën. Në këtë rast, koni thuhet se është i gdhendur në sferë. Një sferë e rrethuar rreth një koni Një sferë mund të përshkruhet rreth çdo koni (e drejtë, rrethore). Qendra e tij është në lartësinë e konit dhe rrezja e tij është e barabartë me rrezen e rrethit të përshkruar rreth trekëndëshit, i cili është seksioni boshtor i konit. Kujtojmë se rrezja R e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi gjendet me formulën R a b c , 4S ku S është sipërfaqja, a, b, c janë brinjët e trekëndëshit. Ushtrimi 1 Përshkruhet një sferë rreth një koni, rrezja bazë e të cilit është 1 dhe gjenerata është 2. Gjeni rrezen e tij. Zgjidhje. Trekëndëshi SAB është barabrinjës me brinjën 2. Lartësia SH është 3. Sipërfaqja e S është 3. Duke përdorur formulën R = abc/4S marrim R 2 3 3 . Ushtrimi 2 Një sferë me rreze 5 është e rrethuar rreth një koni, rrezja bazë e të cilit është 4. Gjeni lartësinë h të konit. Zgjidhje. Kemi, OB = 5, HB = 4. Prandaj, OH = 3. Duke marrë parasysh se SO = OB = 5, marrim h = 8. Përgjigje: h = 8. Ushtrimi 3 Rrezja e bazës së konit është e barabartë me 1. Gjenerata është e prirur në rrafshin e bazës nën këndin 45o. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. Zgjidhje. Trekëndëshi SAB është një trekëndësh dykëndësh drejtkëndëshe. Rrjedhimisht, rrezja R e sferës së rrethuar është e barabartë me rrezen e bazës së cilindrit, d.m.th. R = 1. Përgjigje: R = 1. Ushtrimi 4 Lartësia e konit është 8, duke formuar 10. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. Zgjidhje. Në trekëndëshin SAB kemi: SA = SB = 10, SH = 8. Nga teorema e Pitagorës, AH = 6 dhe për rrjedhojë S = 48. Duke përdorur formulën R = abc/4S, marrim R 25 6. Ushtrimi 5 A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një koni të pjerrët? Përgjigje: Po. Një sferë e rrethuar rreth një koni të cunguar Një sferë quhet e rrethuar rreth një koni të cunguar nëse rrathët e bazave të konit të cunguar shtrihen mbi sferën. Në këtë rast, koni i cunguar thuhet se është i gdhendur në një sferë. Një sferë mund të përshkruhet rreth një koni të cunguar, nëse një rreth mund të përshkruhet rreth seksionit të tij boshtor. Rrezja e këtij rrethi do të jetë e barabartë me rrezen e sferës së rrethuar. Ushtrimi 1 Përshkruhet një sferë rreth një koni të cunguar, rrezet e të cilit janë të barabarta me 2 dhe 1, dhe gjenerata është e barabartë me 2. Gjeni rrezen e tij. Zgjidhje. Vini re se A1O1B2O2 dhe O1B1B2A2 janë rombe. Trekëndëshat A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 janë barabrinjës dhe, për rrjedhojë, A1B1 është diametri. Prandaj, R = 2. Përgjigje: R = 2, Ushtrimi 2 Rrezja e bazës më të vogël të konit të cunguar është 1, gjenerata është 2 dhe bën një kënd 45° me rrafshin e bazës tjetër. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. Zgjidhje. Kemi A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = 2, OO1 = O1C = 1. Prandaj, OO2 = 1 + 2 dhe, pra, R AO2 4 2 2. Ushtrimi 3 Rrezja e njërës bazë të një koni të cunguar është 4. , lartësia është 7, rrezja e sferës së rrethuar 5. Gjeni rrezen e bazës së dytë të konit të cunguar. Zgjidhje. Kemi OO1 = 3, OO2 = 4 dhe prandaj O2A2 = 3. Përgjigje: 3. Ushtrimi 4 Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një koni të cunguar, rrezet bazë të së cilës janë 2 dhe 4 dhe lartësia 5. Zgjidhje. Le të tregojmë R rrezen e sferës së kufizuar. Atëherë O O1 R 2 4 , OO2 R 2 1. Duke marrë parasysh se O1O2 = 6, kemi barazinë 5 R 2 4 R 2 1. Duke e zgjidhur për R, gjejmë R 221 5. Ushtrimi 5 A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një koni të pjerrët të cunguar? Përgjigje: Jo.
Sfera dhe topi Një sferë është bashkësia e të gjitha pikave në hapësirë që janë në një distancë të caktuar nga një pikë e caktuar. Pika O quhet qendra e sferës. Çdo segment që lidh qendrën e sferës me çdo pikë të sferës quhet rrezja e sferës (R). sferën. Një akord i një sfere është një segment që lidh dy pika të një sfere (KN).
Topi Një top me qendër në pikën O dhe rreze R është bashkësia e të gjitha pikave në hapësirë të vendosura nga pika O në një distancë jo më të madhe se R. Një top është një trup i kufizuar nga një sferë. Një top formohet duke rrotulluar një gjysmërreth rreth diametrit të tij fiks (AB) Ky diametër quhet boshti i topit dhe të dy skajet e diametrit të specifikuar janë polet e topit. Sipërfaqja e një topi quhet sferë. R A B
Pjesa e topit (sferës) e shkëputur prej tij me një rrafsh (ABC) quhet segment sferik. Rrethi ABC quhet baza e segmentit sferik. Segmenti pingul MN i tërhequr nga qendra N e rrethit ABC deri në kryqëzimin me sipërfaqen sferike quhet lartësia e segmentit sferik. Pika M quhet kulm i segmentit sferik. Formula e segmentit të topit: V=1/3P 2 H(3R-H)
Shtresa sferike Pjesa e sferës e mbyllur ndërmjet dy rrafsheve paralele ABC dhe DEF që e prenë sipërfaqen sferike quhet shtresë sferike Sipërfaqja e lakuar e shtresës sferike quhet brez sferik. Rrathët ABC dhe DEF janë bazat e brezit sferik. Distanca NK ndërmjet bazave të brezit sferik është lartësia e tij.
Sfera e gdhendur në kon Një sferë quhet e gdhendur në një kon nëse prek të gjithë përbërësit e konit dhe bazën e tij. Ju mund të vendosni një sferë në çdo kon. Qendra e sferës shtrihet në boshtin e konit dhe është qendra e një rrethi të gdhendur në pjesën boshtore të konit. Formulat për rrezen e topit të gdhendur në një kon: R - rrezja e topit të brendashkruar, r - rrezja e bazës së konit, l - gjatësia e gjeneratorit të konit, H - lartësia e konit, A - këndi i prirjes e gjeneratorit të konit në bazën e tij. l H l r Formulat: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) L r R R O1 A A/2
Problemi 1 Detyra 1. Një top me rreze r është i gdhendur në një kon. Gjeni vëllimin e konit nëse lartësia e tij është h. Zgjidhje: Seksioni boshtor i këtij kombinimi të topit dhe konit është një trekëndësh dykëndësh PAB, i rrethuar rreth një rrethi me qendër O dhe rreze R, PC = h – lartësia e konit, OD PB. Vëllimi i konit Që prandaj ose prej nga rrjedh Prandaj, Përgjigju:
Problemi 2 Një kon me lartësi N është brendashkruar në një top me rreze R. Gjeni këndin ndërmjet gjeneratrit të konit dhe rrafshit të bazës. Konsideroni seksionin diametral të topit, siç tregohet në figurën b). Siç e dini, këndi midis një vije të drejtë dhe një rrafshi është këndi midis kësaj vije të drejtë dhe projeksionit të saj në këtë plan. Në rastin tonë, AB është një linjë e drejtpërdrejtë, dhe AP është një projeksion. OSE = BP-OV = H-R (ku H është lartësia e konit, R është rrezja e sferës) Nga trekëndëshi kënddrejtë OAR, përcaktojmë këmbën AR duke përdorur teoremën e Pitagorës: R H Përgjigje: O
Konas Konas është një trup që përftohet duke kombinuar të gjitha rrezet që dalin nga një pikë (kulmi i konasit) dhe kalojnë nëpër një sipërfaqe të sheshtë. Ndonjëherë një konas është një pjesë e një trupi të tillë që përftohet duke kombinuar të gjitha segmentet që lidhin kulmin dhe pikat e një sipërfaqeje të sheshtë (kjo e fundit në këtë rast quhet baza e konasit, dhe konas quhet e mbështetur në këtë bazë). Nëse baza e konasit është një shumëkëndësh, konasi bëhet një piramidë. Një trup gjeometrik i krijuar duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë rreth njërës prej këmbëve të tij
Elementet dhe pjesët e një konasi Maja është një pikë në një kënd akut fiks të një trekëndëshi kënddrejtë rrotullues që formon një konas. Baza është një rreth që kufizon konin, i përshkruar nga këmba e lëvizshme e trekëndëshit formues. Lartësia e një segmenti pingul me bazën, që kalon nëpër kulm, këmbën e fiksuar të trekëndëshit formues, si dhe gjatësinë e këtij segmenti. Formimi i një segmenti që lidh kulmin dhe një pikë në rrethin që kufizon bazën, hipotenuzën e trekëndëshit rrethues. Sipërfaqja anësore është një sipërfaqe konike që kufizon konin, e formuar nga hipotenuza e trekëndëshit gjenerues. o p SIPËRFAQJA ANËSORE QË FORMON BAZËN E AXISIT TË KAPIT TË RREZESËS SË KONIT
Koni i cunguar Një kon i cunguar është një trup rrotullimi i formuar nga rrotullimi i një trapezi drejtkëndor pranë anës pingul me bazat. Rrathët O dhe O1 janë bazat e tij, përbërësit e tij AA1 janë të barabartë me njëri-tjetrin, drejtëza OO1 është boshti, segmenti OO1 është lartësia. Seksioni i tij boshtor është një trapezoid isosceles.
Përkufizime të ngjashme Një segment i rënë pingul nga maja në rrafshin e bazës (si dhe gjatësia e një segmenti të tillë) quhet lartësia e konit. Vija e drejtë që lidh majën dhe qendrën e bazës quhet boshti i konit. Rrethore konas a konas baza e të cilit është një rreth. Një kon që mbështetet në një elips, parabolë ose hiperbolë quhet përkatësisht kon eliptik, parabolik dhe hiperbolik (dy të fundit kanë vëllim të pafund). Pjesa e konit që shtrihet midis bazës dhe një rrafshi paralel me bazën dhe që ndodhet midis majës dhe bazës quhet kon i cunguar.
Një kon i gdhendur në një rreth Një top quhet i rrethuar rreth një poliedri, dhe një shumëkëndësh i gdhendur në një top nëse sipërfaqja e topit kalon nëpër të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. Një top quhet i rrethuar rreth një koni të cunguar (kon) nëse rrathët e bazave (rrethi bazë dhe kulmi) i përkasin sipërfaqes së topit. Qendra e një topi të rrethuar rreth një poliedri shtrihet në pikën e kryqëzimit të rrafsheve pingul me të gjitha skajet e poliedrit dhe që kalon nëpër pikat e mesit të tyre. Mund të vendoset brenda, në sipërfaqe ose jashtë poliedrit. Një kon është i gdhendur në një sferë (një sferë përshkruhet rreth një koni) nëse kulmi i tij i përket sferës dhe baza e tij është një seksion i një sfere (AOC) i kufizuar nga një sferë e caktuar Një sferë mund të përshkruhet gjithmonë rreth një koni . Qendra e tij shtrihet në boshtin e konit dhe përkon me qendrën e rrethit të përshkruar rreth trekëndëshit, i cili është seksioni boshtor i konit. A B AC O Formulat: R 2 =(H-R) 2 +r 2 R-rrezja e topit r-rrezja e bazës së konit H-lartësia e konit
Përkufizimi. Sfera quhet të gdhendura në një cilindër, kon, kon i cunguar, nëse çdo gjenerator i një cilindri, koni, koni i cunguar është tangjent me sferën, dhe çdo rrafsh i bazës së cilindrit, konit, konit të cunguar prek sferën në një pikë që shtrihet brenda bazës.
Në këtë rast, ata thonë se një cilindër, një kon ose një kon i cunguar përshkruhen rreth një sfere.
Teorema 1. Ka një sferë të gdhendur në një kon.
Ne duhet të vërtetojmë se një sferë mund të jetë e gdhendur në një kon. Meqenëse e dimë se një kon është simetrik në lidhje me çdo seksion që kalon në lartësinë e tij, atëherë nëse vërtetojmë se një rreth mund të futet në çdo seksion të tillë (qendra e të gjithë rrathëve është e njëjtë), atëherë do të vërtetojmë se një rreth mund të futet në një sferë konike.
Konsideroni një pjesë të një koni që kalon nga lartësia e konit.
Seksioni kryq i konit do të jetë një trekëndësh dykëndësh me bazën BC. Lartësia OA do të jetë gjithashtu një përgjysmues. Prandaj, qendra e rrethit të brendashkruar O 1 do të vendoset në OA (një rreth, siç dihet, mund të gdhendet në çdo trekëndësh). Dhe meqenëse të gjitha seksionet e tjera në shqyrtim do të jenë të barabarta me ABC, atëherë, për rrjedhojë, qendrat e rrathëve të gdhendur do të përkojnë. Kjo do të thotë që një sferë me qendër O 1 dhe rreze O 1 mund të futet në kon.
Teorema 2.Një sferë mund të futet në një cilindër nëse dhe vetëm nëse lartësia e saj është e barabartë me diametrin e bazave.
Këtu kemi parasysh seksionet që do të jenë drejtkëndësha. Një rreth mund të futet vetëm në një katror, prandaj kushti që lartësia të jetë e barabartë me diametrin e bazës.
Teorema 3. Një sferë mund të futet në një kon të cunguar nëse dhe vetëm nëse gjenerata e saj është e barabartë me shumën e rrezeve të bazave.
Detyrat kryesore.
Detyra 1. Janë dy topa identikë me rreze R, të cilët prekin njëri-tjetrin nga jashtë dhe në një plan. Gjeni distancën midis pikave të kontaktit të topave dhe aeroplanit.
Le të shqyrtojmë një seksion pingul me rrafshin në të cilin shtrihen topat. Meqenëse këta topa prekin njëri-tjetrin, ekziston një rrafsh që ata e prekin në pikën K. Ky plan do të jetë pingul me rrafshin e parë. Prandaj, këndet AO 1 K dhe KO 2 B janë kënde të drejta, dhe për këtë arsye ABO 2 O 1 është një drejtkëndësh. Prandaj, AB=2R.
Detyra 2. Dy topa me rreze R 1 dhe R 2 shtrihen në aeroplan dhe preken nga jashtë. Gjeni distancën midis pikave të kontaktit të topave dhe aeroplanit.
Le të shqyrtojmë një seksion pingul me rrafshin në të cilin shtrihen topat. Pikat A dhe B janë pikat e kontaktit midis topave dhe aeroplanit. Le të ulim pingul O 2 K në AO 1. KO 1 = AO 1 -KA. Nëse marrim parasysh se KA = O 2 B = R 2, dhe O 1 O 2 = R 1+ R 2, atëherë sipas teoremës së Pitagorës 
. Dhe meqenëse KABO 2 është një drejtkëndësh, atëherë KA = AB, Prandaj 
