Mostra e intervalit të besimit. Përcaktimi i intervalit të besimit

Intervali i besimit

Intervali i besimit- një term i përdorur në statistikat matematikore për vlerësimin interval (në krahasim me pikën) të parametrave statistikorë, i cili preferohet kur madhësia e kampionit është e vogël. Një interval besimi është ai që mbulon një parametër të panjohur me një besueshmëri të caktuar.

Metoda e intervaleve të besimit u zhvillua nga statisticieni amerikan Jerzy Neumann, bazuar në idetë e statisticienit anglez Ronald Fisher.

Përkufizimi

Intervali i besimit të parametrit θ shpërndarja e ndryshoreve të rastësishme X me nivelin e besimit 100 p%, e krijuar nga kampioni ( x 1 ,…,x n), quhet një interval me kufij ( x 1 ,…,x n) dhe ( x 1 ,…,x n), të cilat janë realizime të ndryshoreve të rastit L(X 1 ,…,X n) dhe U(X 1 ,…,X n), e tillë që

Quhen pikat kufitare të intervalit të besimit kufijtë e besimit.

Një interpretim i bazuar në intuitë e intervalit të besimit do të ishte: nëse fqështë i madh (të themi 0,95 ose 0,99), atëherë intervali i besimit pothuajse me siguri përmban vlerën e vërtetë θ .

Një interpretim tjetër i konceptit të një intervali besimi: ai mund të konsiderohet si një interval i vlerave të parametrave θ të pajtueshme me të dhënat eksperimentale dhe jo në kundërshtim me to.

Shembuj

• Intervali i besimit për pritshmërinë matematikore të një kampioni normal;
• Intervali i besimit për variancën normale të mostrës.

Intervali i besimit Bayesian

Në statistikat Bayesian, ekziston një përkufizim i ngjashëm, por i ndryshëm në disa detaje kyçe të një intervali besimi. Këtu, vetë parametri i vlerësuar konsiderohet një variabël i rastësishëm me një shpërndarje të mëparshme të dhënë (në rastin më të thjeshtë, uniforme), dhe kampioni është fiks (në statistikat klasike gjithçka është saktësisht e kundërta). Një interval besimi Bayesian është një interval që mbulon vlerën e parametrit me probabilitetin e pasëm:

Në përgjithësi, intervalet e besimit klasik dhe Bayesian janë të ndryshme. Në literaturën në gjuhën angleze, intervali i besimit Bayesian zakonisht quhet term interval i besueshëm, dhe ai klasik - intervali i besimit.

Shënime

Fondacioni Wikimedia.

• 2010.
• Fëmijë (film)

Kolonist

Intervali i besimit- një interval i llogaritur nga të dhënat e mostrës, i cili me një probabilitet (besueshmëri) të caktuar mbulon vlerën e panjohur të vërtetë të parametrit të vlerësuar të shpërndarjes. Burimi: GOST 20522 96: Tokat. Metodat për përpunimin statistikor të rezultateve... Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik

intervali i besimit- për një parametër skalar të popullsisë, ky është një segment që ka shumë të ngjarë të përmbajë këtë parametër. Kjo frazë është e pakuptimtë pa elaborim të mëtejshëm. Meqenëse kufijtë e intervalit të besimit vlerësohen nga kampioni, është e natyrshme që... ... Fjalori i Statistikave Sociologjike

INTERVALI I BESIMIT- një metodë e vlerësimit të parametrave që ndryshon nga vlerësimi në pikë. Le të mostrës x1, . . ., xn nga një shpërndarje me densitet probabiliteti f(x, α), dhe a*=a*(x1, . . . ., xn) vlerësimi i densitetit të probabilitetit α, g(a*, α). Ne jemi në kërkim të ... ... Enciklopedia gjeologjike

INTERVALI I BESIMIT- (intervali i besimit) Një interval në të cilin besueshmëria e vlerës së parametrit për popullatën e marrë në bazë të një studimi të mostrës ka një shkallë të caktuar probabiliteti, për shembull 95%, që është për shkak të vetë kampionit. Gjerësia…… Fjalori ekonomik

intervali i besimit- – është intervali në të cilin është vendosur vlera e vërtetë e sasisë së përcaktuar me një probabilitet të caktuar besimi. Kimia e përgjithshme: tekst shkollor / A. V. Zholnin ... Termat kimike

Intervali i besimit CI- Intervali i besimit, intervali i të dhënave CI *, intervali i intervalit të besimit CI * i vlerës karakteristike, i llogaritur për k.l. parametri i shpërndarjes (për shembull, vlera mesatare e një karakteristike) në të gjithë kampionin dhe me një probabilitet të caktuar (për shembull, 95% për 95% ... Gjenetika. Fjalor Enciklopedik

INTERVALI I BESIMIT- një koncept që lind kur vlerësohet një parametër statistikor. shpërndarja sipas intervalit të vlerave. D. dhe. për parametrin q, që korrespondon me këtë koeficient. besimi P, është i barabartë me një interval të tillë (q1, q2) që për çdo shpërndarje probabiliteti të pabarazisë... ... Enciklopedia fizike

intervali i besimit- - Temat e telekomunikacionit, konceptet bazë EN intervali i besimit ... Udhëzues teknik i përkthyesit

intervali i besimit- pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: angl. intervali i besimit vok. Vertrauensbereich, m rus.…… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

intervali i besimit- pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: angl. intervali i besimit rus. zona e besimit; intervali i besimit... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Synimi– u mësoni studentëve algoritme për llogaritjen e intervaleve të besueshmërisë së parametrave statistikorë.

Gjatë përpunimit statistikor të të dhënave, mesatarja aritmetike e llogaritur, koeficienti i variacionit, koeficienti i korrelacionit, kriteret e diferencës dhe statistikat e tjera të pikës duhet të marrin kufijtë sasiorë të besimit, të cilët tregojnë luhatje të mundshme të treguesit në drejtime më të vogla dhe më të mëdha brenda intervalit të besimit.

Shembulli 3.1 . Shpërndarja e kalciumit në serumin e gjakut të majmunëve, siç është përcaktuar më parë, karakterizohet nga treguesit e mëposhtëm të mostrës: = 11,94 mg%; = 0,127 mg%; n= 100. Kërkohet të përcaktohet intervali i besimit për mesataren e përgjithshme ( ) me probabilitet besimi P = 0,95.

Mesatarja e përgjithshme vendoset me një probabilitet të caktuar në intervalin:

, Ku – mostra e mesatares aritmetike; t– Testi i studentit; – gabim i mesatares aritmetike.

Duke përdorur tabelën “Vlerat e testit t të nxënësit” gjejmë vlerën me një probabilitet besimi 0.95 dhe numrin e shkallëve të lirisë k= 100-1 = 99. Është e barabartë me 1,982. Së bashku me vlerat e mesatares aritmetike dhe gabimit statistikor, ne e zëvendësojmë atë në formulën:

ose 11.69
12,19

Kështu, me një probabilitet prej 95%, mund të thuhet se mesatarja e përgjithshme e kësaj shpërndarjeje normale është ndërmjet 11.69 dhe 12.19 mg%.

Shembulli 3.2 . Përcaktoni kufijtë e intervalit të besimit 95% për variancën e përgjithshme ( ) shpërndarja e kalciumit në gjakun e majmunëve, nëse dihet se
= 1,60, në n = 100.

Për të zgjidhur problemin, mund të përdorni formulën e mëposhtme:

Ku – gabim statistikor i dispersionit.

Ne gjejmë gabimin e variancës së kampionimit duke përdorur formulën:
. Është e barabartë me 0.11. Kuptimi t- kriteri me probabilitet besimi 0.95 dhe numri i shkallëve të lirisë k= 100–1 = 99 dihet nga shembulli i mëparshëm.

Le të përdorim formulën dhe të marrim:

ose 1.38
1,82

Më saktë, intervali i besimit të variancës së përgjithshme mund të ndërtohet duke përdorur (chi-square) - Testi Pearson. Pikat kritike për këtë kriter janë dhënë në një tabelë të veçantë. Gjatë përdorimit të kriterit Për të ndërtuar një interval besimi, përdoret një nivel i rëndësisë së dyanshme. Për kufirin e poshtëm, niveli i rëndësisë llogaritet duke përdorur formulën
, për majat -
. Për shembull, për nivelin e besimit = 0,99= 0,010,= 0,990. Prandaj, sipas tabelës së shpërndarjes së vlerave kritike , me nivele të llogaritura besimi dhe numrin e shkallëve të lirisë k= 100 – 1= 99, gjeni vlerat
Dhe
. marrim
është e barabartë me 135.80, dhe
është e barabartë me 70.06.

Për të gjetur kufijtë e besimit për variancën e përgjithshme duke përdorur Le të përdorim formulat: për kufirin e poshtëm
, për kufirin e sipërm
. Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura për të dhënat e problemit në formula:
= 1,17;
= 2,26. Kështu, me një probabilitet besimi P= 0,99 ose 99% variancë e përgjithshme do të shtrihet në intervalin nga 1,17 deri në 2,26 mg% përfshirëse.

Shembulli 3.3 . Në mesin e 1000 farërave të grurit nga grumbulli i marrë në ashensor, 120 fara u gjetën të infektuara me ergot. Është e nevojshme të përcaktohen kufijtë e mundshëm të proporcionit të përgjithshëm të farave të infektuara në një grumbull të caktuar gruri.

Këshillohet që të përcaktohen kufijtë e besimit për aksionin e përgjithshëm për të gjitha vlerat e tij të mundshme duke përdorur formulën:

,

Ku n – numri i vëzhgimeve; m– madhësia absolute e njërit prej grupeve; t– devijimi i normalizuar.

Përqindja e mostrës së farave të infektuara është
ose 12%. Me probabilitet besimi R= 95% devijim i normalizuar ( t-Testi i studentit në k =
)t = 1,960.

Ne zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:

Prandaj, kufijtë e intervalit të besimit janë të barabartë me = 0,122-0,041 = 0,081, ose 8,1%; = 0,122 + 0,041 = 0,163, ose 16,3%.

Kështu, me një probabilitet besimi prej 95% mund të thuhet se përqindja e përgjithshme e farave të infektuara është midis 8.1 dhe 16.3%.

Shembulli 3.4 . Koeficienti i variacionit që karakterizon variacionin e kalciumit (mg%) në serumin e gjakut të majmunëve ishte i barabartë me 10.6%. Madhësia e mostrës n= 100. Është e nevojshme të përcaktohen kufijtë e intervalit të besimit 95% për parametrin e përgjithshëm Cv.

Kufijtë e intervalit të besimit për koeficientin e përgjithshëm të variacionit Cv përcaktohen nga formulat e mëposhtme:

Dhe
, Ku K vlera e ndërmjetme e llogaritur me formulë
.

Duke e ditur këtë me probabilitet besimi R= 95% devijim i normalizuar (Testi i studentit në k =
)t = 1,960, së pari le të llogarisim vlerën PËR:

.

ose 9.3%

ose 12.3%

Kështu, koeficienti i përgjithshëm i variacionit me një nivel besimi 95% qëndron në intervalin nga 9.3 në 12.3%. Me mostra të përsëritura, koeficienti i variacionit nuk do të kalojë 12.3% dhe nuk do të jetë nën 9.3% në 95 raste nga 100.

Pyetje për vetëkontroll:

Probleme për zgjidhje të pavarur.

1. Përqindja mesatare e yndyrës në qumësht gjatë laktacionit të lopëve të kryqëzuara Kholmogory ishte si më poshtë: 3.4; 3.6; 3.2; 3.1; 2.9; 3.7; 3.2; 3.6; 4.0; 3.4; 4.1; 3.8; 3.4; 4.0; 3.3; 3.7; 3.5; 3.6; 3.4; 3.8. Vendosni intervale besimi për mesataren e përgjithshme në nivelin 95% të besimit (20 pikë).

2. Në 400 bimë hibride të thekrës, lulet e para u shfaqën mesatarisht 70,5 ditë pas mbjelljes. Devijimi standard ishte 6.9 ditë. Përcaktoni gabimin e mesatares dhe intervaleve të besimit për mesataren e përgjithshme dhe variancën në nivelin e rëndësisë W= 0,05 dhe W= 0,01 (25 pikë).

3. Gjatë studimit të gjatësisë së gjetheve të 502 ekzemplarëve të luleshtrydheve të kopshtit, u morën të dhënat e mëposhtme: = 7,86 cm; σ = 1,32 cm, =± 0,06 cm Përcaktoni intervalet e besueshmërisë për mesataren aritmetike me nivele të rëndësishme prej 0,01; 0,02; 0.05. (25 pikë).

4. Në një studim me 150 burra të rritur, gjatësia mesatare ishte 167 cm, dhe σ = 6 cm Cilët janë kufijtë e mesatares së përgjithshme dhe të variancës së përgjithshme me probabilitet besimi 0,99 dhe 0,95? (25 pikë).

5. Shpërndarja e kalciumit në serumin e gjakut të majmunëve karakterizohet nga treguesit e mëposhtëm selektiv: = 11,94 mg%, σ = 1,27, n = 100. Ndërtoni një interval besimi 95% për mesataren e përgjithshme të kësaj shpërndarjeje. Njehsoni koeficientin e variacionit (25 pikë).

6. Është studiuar përmbajtja totale e azotit në plazmën e gjakut të minjve albino në moshën 37 vjeç dhe 180 ditë. Rezultatet shprehen në gram për 100 cm 3 plazma. Në moshën 37 ditësh, 9 minj kishin: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0.87. Në moshën 180 ditëshe, 8 minj kishin: 1.20; 1.18; 1,33; 1.21; 1.20; 1.07; 1.13; 1.12. Vendosni intervalet e besimit për diferencën në një nivel besimi prej 0,95 (50 pikë).

7. Përcaktoni kufijtë e intervalit të besimit 95% për variancën e përgjithshme të shpërndarjes së kalciumit (mg%) në serumin e gjakut të majmunëve, nëse për këtë shpërndarje madhësia e kampionit është n = 100, gabim statistikor i variancës së mostrës s σ 2 = 1.60 (40 pikë).

8. Përcaktoni kufijtë e intervalit të besueshmërisë 95% për variancën e përgjithshme të shpërndarjes së 40 bishtave të grurit përgjatë gjatësisë (σ 2 = 40,87 mm 2). (25 pikë).

9. Pirja e duhanit konsiderohet si faktori kryesor predispozues për sëmundjet obstruktive pulmonare. Pirja pasive e duhanit nuk konsiderohet si një faktor i tillë. Shkencëtarët dyshuan në padëmshmërinë e pirjes pasive të duhanit dhe ekzaminuan kalueshmërinë e rrugëve të frymëmarrjes të jo-duhanpirësve, duhanpirësve pasivë dhe aktivë. Për të karakterizuar gjendjen e traktit respirator, morëm një nga treguesit e funksionit të frymëmarrjes së jashtme - shkallën maksimale të rrjedhës vëllimore të skadimit të mesëm. Një rënie në këtë tregues është një shenjë e pengimit të rrugëve të frymëmarrjes. Të dhënat e anketës janë paraqitur në tabelë.

Duke përdorur të dhënat e tabelës, gjeni 95% intervale besimi për mesataren e përgjithshme dhe variancën e përgjithshme për secilin grup. Cilat janë ndryshimet midis grupeve? Paraqisni rezultatet në mënyrë grafike (25 pikë).

10. Përcaktoni kufijtë e intervaleve të besueshmërisë 95% dhe 99% për variancën e përgjithshme në numrin e derrave në 64 gropa, nëse gabimi statistikor i variancës së mostrës s σ 2 = 8.25 (30 pikë).

11. Dihet se pesha mesatare e lepujve është 2.1 kg. Përcaktoni kufijtë e intervaleve të besimit 95% dhe 99% për mesataren e përgjithshme dhe variancën në n= 30, σ = 0,56 kg (25 pikë).

12. Përmbajtja e kokrrave në kalli është matur për 100 kallinj ( X), gjatësia e veshit ( Y) dhe masa e grurit në kalli ( Z). Gjeni intervalet e besimit për mesataren e përgjithshme dhe variancën në P 1 = 0,95, P 2 = 0,99, P 3 = 0,999 nëse = 19, = 6,766 cm, = 0,554 g; σ x 2 = 29.153, σ y 2 = 2. 111, σ z 2 = 0. 064. (25 pikë).

13. Në 100 kallinj të grurit dimëror të përzgjedhur rastësisht, u numërua numri i thumbave. Popullata e mostrës u karakterizua nga treguesit e mëposhtëm: = 15 spikeleta dhe σ = 2,28 copë. Përcaktoni saktësinë me të cilën është marrë rezultati mesatar ( ) dhe ndërtoni një interval besimi për mesataren e përgjithshme dhe variancën në nivelet e rëndësisë 95% dhe 99% (30 pikë).

14. Numri i brinjëve në guaskat e molusqeve fosile Ortambonitë kaligramë:

Dihet se n = 19, σ = 4,25. Përcaktoni kufijtë e intervalit të besimit për mesataren e përgjithshme dhe variancën e përgjithshme në nivelin e rëndësisë W = 0,01 (25 pikë).

15. Për të përcaktuar rendimentin e qumështit në një fermë komerciale të qumështit, u përcaktua produktiviteti i 15 lopëve në ditë. Sipas të dhënave për vitin, çdo lopë jepte mesatarisht sasinë e mëposhtme të qumështit në ditë (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; 30; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Ndërtoni intervale besimi për variancën e përgjithshme dhe mesataren aritmetike. A mund të presim që rendimenti mesatar vjetor i qumështit për lopë të jetë 10,000 litra? (50 pikë).

16. Për përcaktimin e rendimentit mesatar të grurit për ndërmarrjen bujqësore është kryer kositja në parcela provuese prej 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 dhe 2 hektarësh. Produktiviteti (c/ha) nga parcelat ishte 39.4; 38; 35,8; 40; 35; 42.7; 39.3; 41.6; 33; 42; 29 respektivisht. Ndërtoni intervale besimi për variancën e përgjithshme dhe mesataren aritmetike. A mund të presim që rendimenti mesatar bujqësor të jetë 42 c/ha? (50 pikë).

Intervali i besimit për pritjet matematikore - ky është një interval i llogaritur nga të dhënat që, me një probabilitet të njohur, përmban pritshmërinë matematikore të popullsisë së përgjithshme. Një vlerësim natyror për pritshmërinë matematikore është mesatarja aritmetike e vlerave të saj të vëzhguara. Prandaj, gjatë gjithë mësimit do të përdorim termat “mesatare” dhe “vlera mesatare”. Në problemet e llogaritjes së një intervali besimi, një përgjigje që kërkohet më shpesh është diçka si "Intervali i besimit të numrit mesatar [vlera në një problem të caktuar] është nga [vlera më e vogël] në [vlera më e madhe]". Duke përdorur një interval besimi, ju mund të vlerësoni jo vetëm vlerat mesatare, por edhe përqindjen e një karakteristike të veçantë të popullatës së përgjithshme. Në mësim diskutohen vlerat mesatare, dispersioni, devijimi standard dhe gabimi, përmes të cilave do të arrijmë në përkufizime dhe formula të reja. Karakteristikat e kampionit dhe popullatës .

Vlerësimet e pikës dhe intervalit të mesatares

Nëse vlera mesatare e popullsisë vlerësohet me një numër (pikë), atëherë një mesatare specifike, e cila llogaritet nga një mostër e vëzhgimeve, merret si një vlerësim i vlerës mesatare të panjohur të popullsisë. Në këtë rast, vlera e mesatares së mostrës - një ndryshore e rastësishme - nuk përkon me vlerën mesatare të popullatës së përgjithshme. Prandaj, kur tregoni mesataren e mostrës, duhet të tregoni njëkohësisht gabimin e kampionimit. Masa e gabimit të kampionimit është gabimi standard, i cili shprehet në të njëjtat njësi me mesataren. Prandaj, shpesh përdoret shënimi i mëposhtëm: .

Nëse vlerësimi i mesatares duhet të shoqërohet me një probabilitet të caktuar, atëherë parametri i interesit në popullatë duhet të vlerësohet jo me një numër, por me një interval. Një interval besimi është një interval në të cilin, me një probabilitet të caktuar P gjendet vlera e treguesit të vlerësuar të popullsisë. Intervali i besimit në të cilin është e mundshme P = 1 - α gjendet ndryshorja e rastësishme, e llogaritur si më poshtë:

,

α = 1 - P, e cila mund të gjendet në shtojcën e pothuajse çdo libri mbi statistikat.

Në praktikë, mesatarja e popullsisë dhe varianca nuk dihen, kështu që varianca e popullatës zëvendësohet me variancën e mostrës, dhe mesatarja e popullatës me mesataren e mostrës. Kështu, intervali i besimit në shumicën e rasteve llogaritet si më poshtë:

.

Formula e intervalit të besimit mund të përdoret për të vlerësuar mesataren e popullsisë nëse

• dihet devijimi standard i popullatës;
• ose devijimi standard i popullatës është i panjohur, por madhësia e kampionit është më e madhe se 30.

Mesatarja e mostrës është një vlerësim i paanshëm i mesatares së popullsisë. Nga ana tjetër, varianca e mostrës nuk është një vlerësim i paanshëm i variancës së popullsisë. Për të marrë një vlerësim të paanshëm të variancës së popullatës në formulën e variancës së mostrës, madhësia e kampionit n duhet të zëvendësohet nga n-1.

Shembulli 1. Informacioni u mblodh nga 100 kafene të zgjedhura rastësisht në një qytet të caktuar që numri mesatar i të punësuarve në to është 10.5 me një devijim standard prej 4.6. Përcaktoni intervalin 95% të besimit për numrin e punonjësve të kafenesë.

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Kështu, intervali i besimit 95% për numrin mesatar të punonjësve të kafeneve varionte nga 9.6 në 11.4.

Shembulli 2. Për një kampion të rastësishëm nga një popullsi prej 64 vëzhgimesh, u llogaritën vlerat totale të mëposhtme:

shuma e vlerave në vëzhgime,

shuma e devijimeve në katror të vlerave nga mesatarja .

Llogaritni intervalin 95% të besimit për pritjen matematikore.

Le të llogarisim devijimin standard:

,

Le të llogarisim vlerën mesatare:

.

Ne i zëvendësojmë vlerat në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Ne marrim:

Kështu, intervali i besimit 95% për pritshmërinë matematikore të këtij kampioni varionte nga 7.484 në 11.266.

Shembulli 3. Për një mostër të rastësishme të popullsisë prej 100 vëzhgimesh, mesatarja e llogaritur është 15.2 dhe devijimi standard është 3.2. Llogaritni intervalin e besimit 95% për vlerën e pritur, pastaj intervalin 99% të besimit. Nëse fuqia e mostrës dhe variacioni i saj mbeten të pandryshuara dhe koeficienti i besimit rritet, a do të ngushtohet apo zgjerohet intervali i besimit?

Ne i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Ne marrim:

.

Kështu, intervali i besimit 95% për mesataren e këtij kampioni varionte nga 14.57 në 15.82.

Ne përsëri i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,01 .

Ne marrim:

.

Kështu, intervali i besimit 99% për mesataren e këtij kampioni varionte nga 14.37 në 16.02.

Siç e shohim, me rritjen e koeficientit të besimit, rritet edhe vlera kritike e shpërndarjes normale standarde, dhe, për rrjedhojë, pikat e fillimit dhe të përfundimit të intervalit janë të vendosura më larg nga mesatarja, dhe kështu rritet intervali i besimit për pritshmërinë matematikore. .

Vlerësimet e pikës dhe intervalit të peshës specifike

Pjesa e disa tipareve të mostrës mund të interpretohet si një vlerësim pikë i aksionit fq të së njëjtës karakteristikë në popullatën e përgjithshme. Nëse kjo vlerë duhet të shoqërohet me probabilitetin, atëherë duhet të llogaritet intervali i besueshmërisë së gravitetit specifik. fq karakteristike në popullatën me probabilitet P = 1 - α :

.

Shembulli 4. Në një qytet ka dy kandidatë A Dhe B konkurrojnë për kryetar bashkie. 200 banorë të qytetit u anketuan rastësisht, nga të cilët 46% u përgjigjën se do të votonin për kandidatin A, 26% - për kandidatin B dhe 28% nuk ​​e dinë se për kë do të votojnë. Përcaktoni intervalin 95% të besimit për përqindjen e banorëve të qytetit që mbështesin kandidatin A.

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur këtë shërbim, mund të përcaktoni:

• intervali i besimit për mesataren e përgjithshme, intervali i besimit për variancën;
• intervali i besimit për devijimin standard, intervali i besimit për pjesën e përgjithshme;

Shembulli nr. 1. Në një fermë kolektive, nga një tufë totale prej 1000 delesh, 100 dele iu nënshtruan qethjes me kontroll selektiv. Si rezultat, u krijua një prerje mesatare e leshit prej 4.2 kg për dele. Përcaktoni me një probabilitet prej 0,99 gabimin mesatar katror të kampionit kur përcaktoni prerjen mesatare të leshit për dele dhe kufijtë brenda të cilëve përmbahet vlera e prerjes nëse varianca është 2,5. Mostra nuk është e përsëritur.
Shembulli nr. 2. Nga një grup produktesh të importuara në postën e Doganës Veriore të Moskës, 20 mostra të produktit "A" u morën me kampionim të përsëritur rastësor. Si rezultat i testit, u përcaktua përmbajtja mesatare e lagështisë së produktit "A" në mostër, e cila rezultoi të jetë e barabartë me 6% me një devijim standard prej 1%.
Përcaktoni me probabilitet 0,683 kufijtë e përmbajtjes mesatare të lagështisë së produktit në të gjithë grupin e produkteve të importuara.
Shembulli nr. 3. Një anketë me 36 studentë tregoi se numri mesatar i teksteve të lexuara prej tyre gjatë vitit akademik ishte i barabartë me 6. Duke supozuar se numri i teksteve të lexuara nga një student për semestër ka një ligj të shpërndarjes normale me një devijim standard të barabartë me 6, gjeni : A) me një besueshmëri prej 0,99 vlerësimi interval për pritshmërinë matematikore të kësaj ndryshoreje të rastësishme; B) me çfarë probabiliteti mund të themi se numri mesatar i teksteve të lexuara nga një student për semestër, i llogaritur nga ky kampion, do të devijojë nga pritshmëria matematikore në vlerë absolute jo më shumë se 2.

Klasifikimi i intervaleve të besimit

Sipas llojit të mostrës:

1. Intervali i besimit për një mostër të pafundme;
2. Intervali i besimit për kampionin përfundimtar;

Llogaritja e gabimit mesatar të kampionimit për kampionim të rastësishëm

Formulat mesatare të gabimit të kampionimit
rizgjedhje		përsërit përzgjedhjen
për mesataren	për ndarje	për mesataren	për ndarje

Formulat për llogaritjen e madhësisë së kampionit duke përdorur një metodë kampionimi thjesht rastësor

Në nënseksionet e mëparshme kemi shqyrtuar çështjen e vlerësimit të një parametri të panjohur A një numër. Ky quhet një vlerësim "pikë". Në një numër detyrash, jo vetëm që duhet të gjeni për parametrin A vlerë numerike të përshtatshme, por edhe për të vlerësuar saktësinë dhe besueshmërinë e saj. Ju duhet të dini se në çfarë gabimesh mund të çojë zëvendësimi i një parametri A vlerësimi pikësor i tij A dhe me çfarë shkalle besimi mund të presim që këto gabime të mos kalojnë kufijtë e njohur?

Problemet e këtij lloji janë veçanërisht të rëndësishme me një numër të vogël vëzhgimesh, kur vlerësohet pikë dhe nëështë kryesisht i rastësishëm dhe zëvendësimi i përafërt i a me a mund të çojë në gabime serioze.

Për të dhënë një ide mbi saktësinë dhe besueshmërinë e vlerësimit A,

Në statistikat matematikore përdoren të ashtuquajturat intervale besimi dhe probabilitete besimi.

Le për parametrin A vlerësim i paanshëm i marrë nga përvoja A. Ne duam të vlerësojmë gabimin e mundshëm në këtë rast. Le të caktojmë një probabilitet mjaft të madh p (për shembull, p = 0,9, 0,95 ose 0,99) të tillë që një ngjarje me probabilitet p të mund të konsiderohet praktikisht e besueshme dhe të gjejmë një vlerë s për të cilën

Pastaj diapazoni i vlerave praktikisht të mundshme të gabimit që lind gjatë zëvendësimit A në A, do të jetë ± s; Gabimet e mëdha në vlerë absolute do të shfaqen vetëm me një probabilitet të ulët a = 1 - p. Le ta rishkruajmë (14.3.1) si:

Barazia (14.3.2) do të thotë se me probabilitet p vlera e panjohur e parametrit A bie brenda intervalit

Është e nevojshme të theksohet një rrethanë. Më parë, ne kemi konsideruar në mënyrë të përsëritur probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një interval të caktuar jo të rastësishëm. Këtu situata është ndryshe: madhësia A nuk është i rastësishëm, por intervali / p është i rastësishëm. Pozicioni i tij në boshtin x është i rastësishëm, i përcaktuar nga qendra e tij A; Në përgjithësi, gjatësia e intervalit 2s është gjithashtu e rastësishme, pasi vlera e s llogaritet, si rregull, nga të dhënat eksperimentale. Prandaj, në këtë rast do të ishte më mirë të interpretohej vlera p jo si probabiliteti i "goditjes" së pikës A në intervalin / p, dhe si probabiliteti që një interval i rastësishëm / p do të mbulojë pikën A(Fig. 14.3.1).

Oriz. 14.3.1

Probabiliteti p zakonisht quhet probabiliteti i besimit, dhe intervali / p - intervali i besimit. Kufijtë e intervalit Nëse. a x =a- s dhe a 2 = a + dhe quhen kufijtë e besimit.

Le t'i japim një interpretim tjetër konceptit të një intervali besimi: ai mund të konsiderohet si një interval i vlerave të parametrave. A, të pajtueshme me të dhënat eksperimentale dhe jo në kundërshtim me to. Në të vërtetë, nëse pranojmë të konsiderojmë një ngjarje me probabilitet a = 1-p praktikisht të pamundur, atëherë ato vlera të parametrit a për të cilat a - a> s duhet të njihen si të dhëna eksperimentale kontradiktore, dhe ato për të cilat |a - A a t na 2 .

Le për parametrin A ka një vlerësim të paanshëm A. Nëse do të dinim ligjin e shpërndarjes së sasisë A, detyra për të gjetur një interval besimi do të ishte shumë e thjeshtë: do të mjaftonte të gjesh një vlerë s për të cilën

Vështirësia është se ligji i shpërndarjes së vlerësimeve A varet nga ligji i shpërndarjes së sasisë X dhe, për rrjedhojë, në parametrat e tij të panjohur (në veçanti, në vetë parametrin A).

Për të kapërcyer këtë vështirësi, mund të përdorni teknikën e mëposhtme përafërsisht të përafërt: zëvendësoni parametrat e panjohur në shprehjen për s me vlerësimet e tyre të pikës. Me një numër relativisht të madh eksperimentesh n(rreth 20...30) kjo teknikë zakonisht jep rezultate të kënaqshme për sa i përket saktësisë.

Si shembull, merrni parasysh problemin e një intervali besimi për pritshmërinë matematikore.

Le të prodhohet n X, karakteristikat e të cilit janë pritshmëria matematikore T dhe variancë D- e panjohur. Për këto parametra janë marrë vlerësimet e mëposhtme:

Kërkohet të ndërtohet një interval besimi / p që korrespondon me probabilitetin e besimit p për pritshmërinë matematikore T sasive X.

Gjatë zgjidhjes së këtij problemi do të përdorim faktin se sasia T paraqet shumën n variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara identike Xh dhe sipas teoremës së kufirit qendror, për një mjaftueshëm të madh n ligji i shpërndarjes së tij është afër normales. Në praktikë, edhe me një numër relativisht të vogël termash (rreth 10...20), ligji i shpërndarjes së shumës mund të konsiderohet përafërsisht normal. Ne do të supozojmë se vlera T shpërndahet sipas ligjit normal. Karakteristikat e këtij ligji - pritshmëria matematikore dhe varianca - janë përkatësisht të barabarta T Dhe

(shih kapitullin 13 nënseksionin 13.3). Le të supozojmë se vlera D ne e dimë dhe do të gjejmë një vlerë Ep për të cilën

Duke përdorur formulën (6.3.5) të kapitullit 6, ne shprehim probabilitetin në anën e majtë të (14.3.5) përmes funksionit të shpërndarjes normale

ku është devijimi standard i vlerësimit T.

Nga barazimi.

gjeni vlerën e Sp:

ku arg Ф* (х) është funksioni i anasjelltë i Ф* (X), ato. një vlerë e tillë e argumentit për të cilin funksioni i shpërndarjes normale është i barabartë me X.

Dispersion D, përmes të cilit shprehet sasia A 1P, ne nuk e dimë saktësisht; si vlerë e përafërt e tij, mund të përdorni vlerësimin D(14.3.4) dhe vendosni përafërsisht:

Kështu, problemi i ndërtimit të një intervali besimi është zgjidhur afërsisht, i cili është i barabartë me:

ku gp përcaktohet me formulën (14.3.7).

Për të shmangur interpolimin e kundërt në tabelat e funksionit Ф* (l) kur llogaritet s p, është e përshtatshme të përpilohet një tabelë e veçantë (Tabela 14.3.1), e cila jep vlerat e sasisë

në varësi të r. Vlera (p përcakton për ligjin normal numrin e devijimeve standarde që duhet të vizatohen djathtas dhe majtas nga qendra e shpërndarjes në mënyrë që probabiliteti për të hyrë në zonën që rezulton të jetë i barabartë me p.

Duke përdorur vlerën 7 p, intervali i besimit shprehet si:

Tabela 14.3.1

Shembulli 1. Mbi sasinë janë kryer 20 eksperimente X; rezultatet janë paraqitur në tabelë. 14.3.2.

Tabela 14.3.2

Kërkohet të gjendet një vlerësim nga për pritshmërinë matematikore të sasisë X dhe ndërtoni një interval besimi që korrespondon me probabilitetin e besimit p = 0.8.

Zgjidhje. Ne kemi:

Duke zgjedhur l: = 10 si pikë referimi, duke përdorur formulën e tretë (14.2.14) gjejmë vlerësimin e paanshëm D :

Sipas tabelës 14.3.1 gjejmë

Kufijtë e besimit:

Intervali i besimit:

Vlerat e parametrave T, që shtrihen në këtë interval janë në përputhje me të dhënat eksperimentale të dhëna në tabelë. 14.3.2.

Një interval besimi për variancën mund të ndërtohet në mënyrë të ngjashme.

Le të prodhohet n eksperimente të pavarura mbi një ndryshore të rastësishme X me parametra të panjohur si për A ashtu edhe për dispersion D u mor një vlerësim i paanshëm:

Kërkohet të ndërtohet afërsisht një interval besimi për variancën.

Nga formula (14.3.11) shihet qartë se sasia D përfaqëson

shuma n variablat e rastësishëm të formës . Këto vlera nuk janë

e pavarur, pasi ndonjëra prej tyre përfshin sasinë T, varur nga të gjithë të tjerët. Megjithatë, mund të tregohet se me rritjen n edhe ligji i shpërndarjes së shumës së tyre i afrohet normales. Pothuajse në n= 20...30 tashmë mund të konsiderohet normale.

Le të supozojmë se është kështu, dhe le të gjejmë karakteristikat e këtij ligji: pritjet matematikore dhe dispersionin. Që nga vlerësimi D- atëherë i paanshëm M[D] = D.

Llogaritja e variancës D D shoqërohet me llogaritje relativisht komplekse, kështu që ne e paraqesim shprehjen e tij pa derivim:

ku q 4 është momenti i katërt qendror i madhësisë X.

Për të përdorur këtë shprehje, duhet të zëvendësoni vlerat \u003d 4 dhe D(të paktën të afërmit). Në vend të D ju mund të përdorni vlerësimin e tij D. Në parim, momenti i katërt qendror mund të zëvendësohet gjithashtu nga një vlerësim, për shembull, një vlerë e formës:

por një zëvendësim i tillë do të japë saktësi jashtëzakonisht të ulët, pasi në përgjithësi, me një numër të kufizuar eksperimentesh, momentet e rendit të lartë përcaktohen me gabime të mëdha. Mirëpo, në praktikë shpesh ndodh që lloji i ligjit të shpërndarjes së sasisë X i njohur paraprakisht: vetëm parametrat e tij janë të panjohur. Pastaj mund të përpiqeni të shprehni μ 4 deri D.

Le të marrim rastin më të zakonshëm, kur vlera X shpërndahet sipas ligjit normal. Pastaj momenti i katërt qendror i tij shprehet në terma të dispersionit (shih Kapitullin 6, nënseksionin 6.2);

dhe formula (14.3.12) jep ose

Zëvendësimi i të panjohurës në (14.3.14) D vlerësimin e tij D, marrim: nga ku

Momenti μ 4 mund të shprehet përmes D edhe në disa raste të tjera, kur shpërndarja e vlerës X nuk është normale, por dihet pamja e saj. Për shembull, për ligjin e densitetit uniform (shih Kapitullin 5) kemi:

ku (a, P) është intervali në të cilin specifikohet ligji.

Prandaj,

Duke përdorur formulën (14.3.12) marrim: ku gjejmë përafërsisht

Në rastet kur lloji i ligjit të shpërndarjes për sasinë 26 është i panjohur, kur bëhet një vlerësim i përafërt i vlerës a/, rekomandohet të përdoret formula (14.3.16), përveç nëse ka arsye të veçanta për të besuar se ky ligj është shumë i ndryshëm nga ai normal (ka një kurtozë të dukshme pozitive ose negative) .

Nëse vlera e përafërt a/) merret në një mënyrë ose në një tjetër, atëherë mund të ndërtojmë një interval besimi për variancën në të njëjtën mënyrë siç e ndërtuam atë për pritshmërinë matematikore:

ku sipas tabelës gjendet vlera në varësi të probabilitetit të dhënë p. 14.3.1.

Shembulli 2. Gjeni afërsisht 80% interval besimi për variancën e një ndryshoreje të rastësishme X në kushtet e shembullit 1, nëse dihet se vlera X shpërndahet sipas një ligji afër normales.

Zgjidhje. Vlera mbetet e njëjtë si në tabelë. 14.3.1:

Sipas formulës (14.3.16)

Duke përdorur formulën (14.3.18) gjejmë intervalin e besimit:

Gama përkatëse e vlerave të devijimit standard: (0.21; 0.29).

14.4. Metodat e sakta për ndërtimin e intervaleve të besimit për parametrat e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndara sipas një ligji normal

Në nënseksionin e mëparshëm, ne shqyrtuam metoda afërsisht të përafërta për ndërtimin e intervaleve të besimit për pritjet dhe variancën matematikore. Këtu do të japim një ide të metodave të sakta për të zgjidhur të njëjtin problem. Theksojmë se për të gjetur me saktësi intervalet e besimit është absolutisht e nevojshme të dihet paraprakisht forma e ligjit të shpërndarjes së sasisë. X, kurse për aplikimin e metodave të përafërta kjo nuk është e nevojshme.

Ideja e metodave të sakta për ndërtimin e intervaleve të besimit zbret në vijim. Çdo interval besimi gjendet nga një kusht që shpreh probabilitetin e përmbushjes së pabarazive të caktuara, të cilat përfshijnë vlerësimin që na intereson A. Ligji i shpërndarjes së vlerësimit A në rastin e përgjithshëm varet nga parametra të panjohur të sasisë X. Megjithatë, ndonjëherë është e mundur të kalohet në pabarazi nga një ndryshore e rastësishme A te disa funksione të tjera të vlerave të vëzhguara X p X 2, ..., X f. ligji i shpërndarjes së të cilit nuk varet nga parametra të panjohur, por varet vetëm nga numri i eksperimenteve dhe nga lloji i ligjit të shpërndarjes së sasisë. X. Këto lloj variablash të rastësishëm luajnë një rol të rëndësishëm në statistikat matematikore; ato janë studiuar më hollësisht për rastin e shpërndarjes normale të sasisë X.

Për shembull, është vërtetuar se me një shpërndarje normale të vlerës X ndryshore e rastësishme

i bindet të ashtuquajturit Ligji i shpërndarjes së studentëve Me n- 1 shkallë lirie; dendësia e këtij ligji ka formën

ku G(x) është funksioni i njohur i gama:

Gjithashtu është vërtetuar se ndryshorja e rastit

ka një "shpërndarje %2" me n- 1 shkallë lirie (shih Kapitullin 7), dendësia e së cilës shprehet me formulën

Pa u ndalur në derivacionet e shpërndarjeve (14.4.2) dhe (14.4.4), ne do të tregojmë se si ato mund të zbatohen kur ndërtojmë intervale besimi për parametrat ty D.

Le të prodhohet n eksperimente të pavarura mbi një ndryshore të rastësishme X, të shpërndara normalisht me parametra të panjohur T&O. Për këto parametra janë marrë vlerësime

Kërkohet të ndërtohen intervale besimi për të dy parametrat që korrespondojnë me probabilitetin e besimit p.

Le të ndërtojmë së pari një interval besimi për pritshmërinë matematikore. Është e natyrshme që ky interval të merret simetrik në lidhje me T; le të shënojmë s p gjysmën e gjatësisë së intervalit. Vlera s p duhet të zgjidhet në mënyrë që kushti të plotësohet

Le të përpiqemi të lëvizim në anën e majtë të barazisë (14.4.5) nga ndryshorja e rastësishme T në një ndryshore të rastësishme T, shpërndahet sipas ligjit të Studentit. Për ta bërë këtë, shumëzoni të dy anët e pabarazisë |m-w?|

me një vlerë pozitive: ose, duke përdorur shënimin (14.4.1),

Le të gjejmë një numër / p të tillë që vlera / p të mund të gjendet nga kushti

Nga formula (14.4.2) është e qartë se (1) është një funksion çift, prandaj (14.4.8) jep

Barazia (14.4.9) përcakton vlerën / p në varësi të p. Nëse keni në dispozicion një tabelë vlerash integrale

atëherë vlera e /p mund të gjendet me interpolim të kundërt në tabelë. Sidoqoftë, është më e përshtatshme të hartoni një tabelë me vlerat / p paraprakisht. Një tabelë e tillë është dhënë në Shtojcën (Tabela 5). Kjo tabelë tregon vlerat në varësi të nivelit të besimit p dhe numrit të shkallëve të lirisë n- 1. Duke përcaktuar / p nga tabela. 5 dhe duke supozuar

do të gjejmë gjysmën e gjerësisë së intervalit të besimit / p dhe vetë intervalin

Shembulli 1. Janë kryer 5 eksperimente të pavarura mbi një variabël të rastësishëm X, të shpërndara normalisht me parametra të panjohur T dhe o. Rezultatet e eksperimenteve janë dhënë në tabelë. 14.4.1.

Tabela 14.4.1

Gjeni vlerësimin T për pritshmërinë matematikore dhe ndërtoni një interval besimi 90% / p për të (d.m.th., intervali që korrespondon me probabilitetin e besimit p = 0,9).

Zgjidhje. Ne kemi:

Sipas tabelës 5 të aplikimit për p - 1 = 4 dhe p = 0,9 gjejmë ku

Intervali i besimit do të jetë

Shembulli 2. Për kushtet e shembullit 1 të nënseksionit 14.3, duke supozuar vlerën X të shpërndara normalisht, gjeni intervalin e saktë të besimit.

Zgjidhje. Sipas tabelës 5 të shtojcës gjejmë në p - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; nga këtu

Duke krahasuar me zgjidhjen e shembullit 1 të nënseksionit 14.3 (e p = 0.072), jemi të bindur se mospërputhja është shumë e parëndësishme. Nëse e ruajmë saktësinë në shifrën e dytë dhjetore, atëherë intervalet e besimit të gjetura nga metodat e sakta dhe të përafërta përkojnë:

Le të kalojmë në ndërtimin e një intervali besimi për variancën. Merrni parasysh vlerësuesin e paanshëm të variancës

dhe shpreh ndryshoren e rastit D përmes madhësisë V(14.4.3), me shpërndarje x 2 (14.4.4):

Njohja e ligjit të shpërndarjes së sasisë V, mund të gjeni intervalin /(1) në të cilin bie me një probabilitet të caktuar p.

Ligji i shpërndarjes kn_x(v) magnituda I 7 ka formën e treguar në Fig. 14.4.1.

Oriz. 14.4.1

Shtrohet pyetja: si të zgjidhni intervalin / p? Nëse ligji i shpërndarjes së madhësisë V ishte simetrik (si ligji normal ose shpërndarja e Studentit), do të ishte e natyrshme të merrej intervali /p simetrik në lidhje me pritshmërinë matematikore. Në këtë rast ligji k p_x (v) asimetrike. Le të biem dakord të zgjedhim intervalin /p në mënyrë që probabiliteti i vlerës të jetë V përtej intervalit djathtas dhe majtas (zonat me hije në Fig. 14.4.1) ishin të njëjta dhe të barabarta

Për të ndërtuar një interval /p me këtë veti, ne përdorim tabelën. 4 aplikacione: përmban numra y) të tilla që

për vlerën V, që ka x 2 -shpërndarje me r shkallë lirie. Në rastin tonë r = n- 1. Le të rregullojmë r = n- 1 dhe gjeni në rreshtin përkatës të tabelës. 4 dy kuptime x 2 - njëra që i korrespondon probabilitetit tjetra - probabilitet Le t'i shënojmë këto

vlerat në 2 Dhe xl? Intervali ka y 2, me të majtën tuaj dhe y~ fundi i djathtë.

Tani le të gjejmë nga intervali / p intervalin e dëshiruar të besimit /|, për shpërndarjen me kufijtë D, dhe D2, që mbulon pikën D me probabilitet p:

Le të ndërtojmë një interval / (, = (?> ь А) që mbulon pikën D nëse dhe vetëm nëse vlera V bie në intervalin /r. Le të tregojmë se intervali

plotëson këtë kusht. Në të vërtetë, pabarazitë janë ekuivalente me pabarazitë

dhe këto pabarazi plotësohen me probabilitetin p. Kështu, intervali i besimit për variancën është gjetur dhe është shprehur me formulën (14.4.13).

Shembulli 3. Gjeni intervalin e besimit për variancën sipas kushteve të shembullit 2 të nënseksionit 14.3, nëse dihet se vlera X shpërndahet normalisht.

Zgjidhje. ne kemi . Sipas tabelës 4 të shtojcës

gjejmë në r = n - 1 = 19

Duke përdorur formulën (14.4.13) gjejmë intervalin e besimit për variancën

Intervali përkatës për devijimin standard është (0.21; 0.32). Ky interval vetëm pak e tejkalon intervalin (0.21; 0.29) të marrë në shembullin 2 të nënseksionit 14.3 duke përdorur metodën e përafërt.

• Figura 14.3.1 konsideron një interval besimi simetrik rreth a. Në përgjithësi, siç do ta shohim më vonë, kjo nuk është e nevojshme.