Zgjidhja e provimit të sistemeve me një parametër. Studimi i trinomit kuadratik

Ekuacioni i formës f(x; a) = 0 quhet ekuacioni me ndryshore X dhe parametri A.

Zgjidhja e ekuacionit me parametër A- kjo do të thotë për çdo vlerë A gjeni vlera X, duke përmbushur këtë ekuacion.

Shembulli 1. Oh= 0

Shembulli 2. Oh = A

Shembulli 3.

x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – a) = -2

Nëse 1 - A= 0, d.m.th. A= 1, atëherë X 0 = -2 pa rrënjë

Nëse 1 - A 0, d.m.th. A 1, atëherë X =

Shembulli 4.

(A 2 – 1) X = 2A 2 + A – 3
(A – 1)(A + 1)X = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)X = (1A – 3)(A – 1)

Nëse A= 1, pastaj 0 X = 0
X- çdo numër real

Nëse A= -1, pastaj 0 X = -2
pa rrënjë

Nëse A 1, A-1, atëherë X= (zgjidhja e vetme).

Kjo do të thotë se për çdo vlerë të vlefshme A përputhet me një vlerë të vetme X.

Për shembull:

Nëse A= 5, atëherë X = = ;

Nëse A= 0, atëherë X= 3, etj.

1. Oh = X + 3

2. 4 + Oh = 3X – 1

3. A = +

në A= 1 pa rrënjë.

në A= 3 pa rrënjë.

në A = 1 X– çdo numër real përveç X = 1

në A = -1, A= 0 nuk ka zgjidhje.

në A = 0, A= 2 pa zgjidhje.

në A = -3, A = 0, 5, A= -2 pa zgjidhje

në A = -Me, Me= 0 nuk ka zgjidhje.

Ekuacionet kuadratike me parametër

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin

(A – 1)X 2 = 2(2A + 1)X + 4A + 3 = 0

Në A = 1 6X + 7 = 0

Në rast A 1, ne theksojmë ato vlera të parametrave në të cilat D shkon në zero.

D = (2 (2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2 + 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2 + 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16

20A + 16 = 0

20A = -16

Nëse A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.

Nëse A> -4/5 dhe A 1, atëherë D > 0,

X =

Nëse A= 4/5, atëherë D = 0,

Shembulli 2. Në cilat vlera të parametrit a bën ekuacioni

x 2 + 2( A + 1)X + 9A– 5 = 0 ka 2 rrënjë të ndryshme negative?

D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2 – 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6)

4(A – 1)(A – 6) > 0

nëpërmjet t. X 1 + X 2 = -2(A + 1)
X 1 X 2 = 9A – 5

Sipas kushteve X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0

Në fund

4(A – 1)(A – 6) > 0 - 2(A + 1) < 0 9A – 5 > 0

A < 1: а > 6 A > - 1 A > 5/9

(Oriz. 1) < a < 1, либо a > 6

Shembulli 3. Gjeni vlerat A, për të cilin ky ekuacion ka një zgjidhje.

x 2 - 2 ( A – 1)X + 2A + 1 = 0

D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2 – 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A

4A 2 – 16 0

4A(A – 4) 0

A( A – 4)) 0

A( A – 4) = 0

a = 0 ose A – 4 = 0
A = 4

(Oriz. 2)

Përgjigje: A 0 dhe A 4

Material didaktik

1. Me çfarë vlere A ekuacioni Oh 2 – (A + 1) X + 2A– 1 = 0 ka një rrënjë?

2. Me çfarë vlere A ekuacioni ( A + 2) X 2 + 2(A + 2)X+ 2 = 0 ka një rrënjë?

3. Për cilat vlera të a është ekuacioni ( A 2 – 6A + 8) X 2 + (A 2 – 4) X + (10 – 3A – A 2) = 0 ka më shumë se dy rrënjë?

4. Për cilat vlera të a, ekuacioni 2 X 2 + X – A= 0 ka të paktën një rrënjë të përbashkët me ekuacionin 2 X 2 – 7X + 6 = 0?

5. Për cilat vlera të një ekuacioni X 2 +Oh+ 1 = 0 dhe X 2 + X + A= 0 kanë të paktën një rrënjë të përbashkët?

1. Kur A = - 1/7, A = 0, A = 1

2. Kur A = 0

3. Kur A = 2

4. Kur A = 10

5. Kur A = - 2

Ekuacione eksponenciale me parametër

Shembulli 1.Gjeni të gjitha vlerat A, për të cilën ekuacioni

9 x - ( A+ 2)*3 x-1/x +2 A*3 -2/x = 0 (1) ka saktësisht dy rrënjë.

Zgjidhje. Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit (1) me 3 2/x, marrim ekuacionin ekuivalent

3 2(x+1/x) – ( A+ 2)*3 x+1/x + 2 A = 0 (2)

Le të jetë 3 x+1/x = në, atëherë ekuacioni (2) do të marrë formën në 2 – (A + 2)në + 2A= 0, ose

(në – 2)(në – A) = 0, prej nga në 1 =2, në 2 = A.

Nëse në= 2, d.m.th. 3 x+1/x = 2 atëherë X + 1/X= log 3 2 , ose X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.

Ky ekuacion nuk ka rrënjë reale, pasi ai D= regjistri 2 3 2 – 4< 0.

Nëse në = A, d.m.th. 3 x+1/x = A Se X + 1/X= regjistri 3 A, ose X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)

Ekuacioni (3) ka saktësisht dy rrënjë nëse dhe vetëm nëse

D = log 2 3 2 – 4 > 0, ose |log 3 a| > 2.

Nëse log 3 a > 2, atëherë A> 9, dhe nëse log 3 a< -2, то 0 < A < 1/9.

Përgjigje: 0< A < 1/9, A > 9.

Shembulli 2. Në cilat vlera të a është ekuacioni 2 2x – ( A - 3) 2 x – 3 A= 0 ka zgjidhje?

Që një ekuacion i dhënë të ketë zgjidhje, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ekuacioni t 2 – (a – 3) t – 3a= 0 kishte të paktën një rrënjë pozitive. Le të gjejmë rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta: X 1 = -3, X 2 = A = >

a është një numër pozitiv.

Përgjigje: kur A > 0

Material didaktik

1. Gjeni të gjitha vlerat e a për të cilat barazimi

25 x - (2 A+ 5)*5 x-1/x + 10 A* 5 -2/x = 0 ka saktësisht 2 zgjidhje.

2. Për cilat vlera të a është ekuacioni

2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 ka një rrënjë të vetme?

3. Për cilat vlera të parametrit a bën ekuacioni

4 x - (5 A-3)2 x +4 A 2 – 3A= 0 ka një zgjidhje unike?

Shembulli 1. Gjeni të gjitha vlerat A, për të cilën ekuacioni

regjistri 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)

ka një zgjidhje unike.

Zgjidhje. Ekuacioni (1) është i barabartë me ekuacionin

1 + Oh = 2X në X > 0, X 1/4 (3)

X = në

maj 2 - në + 1 = 0 (4)

Kushti (2) nga (3) nuk është i plotësuar.

Le A 0, atëherë AU 2 – 2në+ 1 = 0 ka rrënjë reale nëse dhe vetëm nëse D = 4 – 4A 0, d.m.th. në A 1. Për të zgjidhur pabarazinë (3), le të vizatojmë funksionet Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studim i thelluar i kursit të algjebrës dhe analizës matematikore. – M.: Arsimi, 1990

dhe të tjera Provimi i Unifikuar i Shtetit. Udhëzues studimi. – M.: Provim, 2001–2008.
1. Detyrë. a Në cilat vlera parametrash a - 1)x 2 + 2x + a ekuacioni (

- A ka 1 = 0 saktësisht një rrënjë?
1. Zgjidhje. a Në x= 1 ekuacioni është 2 x= 0 dhe padyshim ka një rrënjë të vetme a= 0. Nëse a 4a 2 - 8a Nr. 1, atëherë ky ekuacion është kuadratik dhe ka një rrënjë të vetme për ato vlera të parametrave në të cilat diskriminuesi i trinomit kuadratik është i barabartë me zero. Duke barazuar diskriminuesin me zero, marrim një ekuacion për parametrin a= 0, prej nga a = 2.

= 0 ose 1. Përgjigje: a ekuacioni ka një rrënjë të vetme në

O (0; 1; 2).
2. Detyrë. a Gjeni të gjitha vlerat e parametrave x 2 +4, për të cilin ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme+8a+3 = 0.
sëpatë
2. Zgjidhje. x 2 +4, për të cilin ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme+8a Ekuacioni +3 = 0 ka dy rrënjë të dallueshme nëse dhe vetëm nëse = 16a 2 -4(8a D a 2 -8a+3) > 0. Marrim (pas reduktimit me një faktor të përbashkët 4) 4

-3 > 0, prej nga

) DHE (1 +
3. Detyrë.
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Grafikoni funksionin f 1 (x) në a = 1.
b) Në çfarë vlere a grafikët e funksioneve f 1 (x) Dhe f 2 (x) keni një pikë të vetme të përbashkët?

3. Zgjidhje.
3.a. Le të transformohemi f 1 (x) si më poshtë
Grafiku i këtij funksioni në a= 1 është paraqitur në figurën në të djathtë.
3.b. Le të vërejmë menjëherë se grafikët e funksioneve y = kx+b Dhe y = , për të cilin ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme 2 +bx+c (a Nr. 0) priten në një pikë të vetme nëse dhe vetëm nëse ekuacioni kuadratik kx+b = , për të cilin ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme 2 +bx+c ka një rrënjë të vetme. Duke përdorur View f 1 nga 3.a, le të barazojmë diskriminuesin e ekuacionit a = 6x-x 2-6 në zero. Nga ekuacioni 36-24-4 a= 0 marrim a= 3. Bëni të njëjtën gjë me ekuacionin 2 x-a = 6x-x 2 -6 do të gjejmë a= 2. Është e lehtë të verifikohet që këto vlera të parametrave plotësojnë kushtet e problemit. Përgjigje: a= 2 ose a = 3.

4. Detyrë.
Gjeni të gjitha vlerat a, për të cilin bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë x 2 -2, për të cilin ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme-3a i 0 përmban segmentin .

4. Zgjidhje.
Koordinata e parë e kulmit të parabolës f(x) = x 2 -2, për të cilin ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme-3a e barabartë me x 0 = a. Nga vetitë e një funksioni kuadratik, kushti f(x) і 0 në segment është ekuivalente me një grup prej tre sistemesh
ka saktësisht dy zgjidhje?

5. Zgjidhje.
Le ta rishkruajmë këtë ekuacion në formë x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Ky është një ekuacion kuadratik ai ka saktësisht dy zgjidhje nëse diskriminuesi i tij është rreptësisht më i madh se zero. Duke llogaritur diskriminuesin, gjejmë se kushti për praninë e saktësisht dy rrënjëve është përmbushja e pabarazisë. a 2 +a-6 > 0. Zgjidhja e pabarazisë, gjejmë a < -3 или a> 2. E para nga pabarazitë, padyshim, nuk ka zgjidhje në numra natyrorë, dhe zgjidhja më e vogël natyrore për të dytën është numri 3.

5. Përgjigje: 3.

6. Problem (klasa e 10-të)
Gjeni të gjitha vlerat a, për të cilin grafiku i funksionit ose, pas transformimeve të dukshme, a-2 = | 2-a| . Ekuacioni i fundit është i barabartë me pabarazinë a unë 2.

6. Përgjigje: a RRETH )